chuyen de ve bien doi dong nhat

Chuyên đề: PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT PHÂN THỨC ĐẠI SỐ I-MỤC TIÊU: HS:-Nắm vũng các phép biến đổi đông nhất phân thức đại số -rút gọn phân thức -cộng trừ nhân chia phân thức -Rèn luyện kỷ năng chứng minh tính giá trò biểu thức nhanh hợp lý theo mỗi bài toán II-THỜI LƯNG:7t lý thuyết,ôn luyện &1tKT Tiết 1,2,3. Phần I: ĐỊNH NGHĨA ,TÍNH CHẤT CƠ BẢN ,RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ: Ví dụ 1:Cho phân thức M = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cabcabcba caacabcbacba ++−++ +++++++ 2 2 222 Hãy rút gọn phân thức M HD:Chú ý rằng ;(a+b+c) 2 = a 2 +b 2 +c 2 +2(ab+ac+bc) Do đó ta đặt a 2 +b 2 +c 2 =x;ab+ac+bc = y Khi đó ;(a+b+c) 2 = x + 2y.Ta có M = =+== −+ ++ yx yyx yyxx 2 )2( 2 a 2 +b 2 +c 2 +ab+ac+bc (ĐK:a 2 +b 2 +c 2 0≠ ) Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì phân số 13 2 24 3 ++ + nn nn là phân số tối giản. HD:Để C/m:Phân số tối giản ta C/mTử và mẫu chỉ có ước chung lớn nhất là 1 Gọi d là Ước chung của n 3 +2n và n 4 +3n 2 +1.Ta có n 3 +2n dnnnd  )2( 3 +⇒ => )1(2 24 dnn + n 4 +3n 2 +1-(n 4 +2n 2 )= n 2 +1 )2(12)1( 2422 dnnnd  ++=+⇒ Từ (1) và (2)=>(n 4 +3n 2 +1)- (n 4 +2n 2 ) 11 =⇒⇒ ddd  Ví dụ 3: Chứng minh rằng : 1+x+x 2 +x 3 +…+x 31 = (1+x)(1+x 2 )(1+x 4 )(1+x 8 )(1+x 16 ) (1) HD:Gọi vế trái là A và vế phải là B Ta có (1-x).A = 1-x 32 => (1-x).B = (1-x).(1+x)(1+x 2 )…(1+x 16 )=1-x 32 Nếu x 1≠ thì A và B đều viết được dưới dạng phân thức x x − − 1 1 32 ,do đó A = B Nếu x = 1thì cả hai vế của (1) đều bằng 32,do đó A= B .Trong cả hai trường hợp ,đẳng thức (1)đều đúng Luyện tập: Bài 1:Cho a>b>0 thỏa mãn 3a 2 +3b 2 = 10ab .Tính giá trò của biểu thức P = ba ba + − HD:Tính P 2 =…= 4 1 mà P>0 =>P = 2 1 (Vì a>b>0) Bài 2:Cho x>y>0 và 2x 2 +2y 2 = 5xy .Tính giá trò của biểu thức E = yx yx − + 1 HD:Như bài 1 Bài 3:Cho a,b,c đôi một khác nhau,thõa mãn ab+ac+bc =1.Tính giá trò của biểu thức: a) A = ( )( ) 222 222 11)1( )()()( cba accbba +++ +++ ;b) B = ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) 222 222 121212 accbba baccabbca −−− −+−+−+ HD:a)Ta có 1+a 2 = ab+ac +bc +a 2 =…=(a+b)(a+c) Tương tự 1+b 2 =…=(b+a)(c+b);1+c 2 = =(c+a)(c+b) Thay vào biểu thức A= ( ) ( ) ( ) 1 ))()()()(( )( 2 22 = ++++++ +++ cbcacbabcaba cbcaba b)Ta có a 2 +2bc-1 = a 2 +2bc-ba-ca-bc = …=(a-b)(a-c) Tương tự : b 2 +2ca-1=…= (b-a)(b-c) ;c 2 +2ab-1= (c-a)(c-b) Thay vào và rút gọn ta có B =….= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = −−− −−− 222 222 accbba accbba -1 Bài 3:Rút gọn các phân thức. 222 333 23 23 222 333 2322 222 )()()( 3 ); 933193 451272 ) )()()( 3 ); )()()( ) xzzyyx xyzzyx Dd xxx xxx Cc xzzyyx xyzzyx Bb bcbacab bacacbcba Aa −+−+− −++ = −+− +−− = −++++ ++− = +−− −+−+− = HD: )( 2 1 13 52 )13()3( )52()3( ;)( 2 1 ; ))()(( ))()(( 2 2 zyxD x x xx xx CzyxB cb ca cbcbba cacbba A ++= − + = −− +− =+−= + − = +−− −−− = Bài 4:Chứng minh rằng phân số 12 12 2 − + n n Tối giản với mọi n là số tự nhiên HD:Gọi d là UCLN(2n+1,2n 2 -1)=>2n+1  d và 2n 2 -1  d => n(2n+1)-(2n 2 -1)  d => n +1  d =>2n +2  d => (2n +2) – (2n +1)  d => 1  d => d =1. Bài 5:Chứng minh rằng phân số : 1 1 24 5 ++ ++ nn nn không tôi giản với mọi n là số nguyên dương HD:Tử và mẫu có chứa nhân tử chung là n 2 +n+1>1 Bài 6:Rút gọn biểu thức:A = 222 222 )()()( yxxzzy zyx −+−+− ++ Cho biết :x+y+z = 0 HD:(x+y+z) = 0 => (x+y+z) 2 = 0 =>x 2 +y 2 +z 2 = -2xy-2xz-2yz . Thay vào mẫu thức ta có A = 3 1 Bài 7:Rút gọn biểu thức P = )423) (411)(47)(43( )421) (49)(45)(41( 4444 4444 ++++ ++++ HD:n 4 +4 =(n 2 +2) 2 -4n 2 = (n 2 +2+2n)(n 2 +2-2n)=[n(n+2)+2][n(n-2)+2] Do đó P = …= 577 1 2 PHẦN II CÁC PHÉP TÍNH VỀ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ: Tiết 4,5,6,7 Ví dụ 1:Rút gọn biểu thức :A = 842 1 8 1 4 1 2 1 1 1 1 xxx xx + + + + + + + + − Giải:Do đặc điểm của bài toán không quy đồng mẫu thức mà ta cộng lần lượt tùng phân thức A = 168448422 1 16 1 8 1 4 1 4 1 8 1 4 1 2 1 2 xxxxxxxx − == + + + + − = + + + + + + − Ví dụ 2:Rút gọn biểu thức B = [ ] 2222 )1( 12 )4.3( 7 )3.2( 5 )2.1( 3 + + ++++ nn n Giải:Đương nhiên ta không thể nào QĐMT mà ta tìm cách tách mỗi phân thức thành hiệu hai phân thức rồi dùng phương pháp khử liên tiếp. Ta có : [ ] 2222 22 2 )1( 11 )1( )1( )1( 12 + −= + −+ = + + nnnn nn nn n => B = …=1- 22 )1( )2( )1( 1 + + = + n nn n Ví dụ 3:Cho A = ( ) ) 11 ( )( 2 ); 11 ( )( 2 ); 11 ( 1 225334443 yxyx C yxyx B yx yx − + =− + =− + Thực hiện phép tính A+B+C Giải:Rút gọn biểu thức A = …= 244 22 )( ))(( yxyx xyxy + −+ ;Tính B+C =…= 332 )( )(2 yxyx xy + − Tính A+B+C = …= 44 yx xy − Ví dụ 5:Cho a,b,c thỏa mãn ĐK:abc =2005.Tính giá trò biểu thức P = 1200520052005 2005 ++ + ++ + ++ cac c bbc b aab a Giải:Ta không thể QĐMT .Thay 2005 =abc =>P = 1 1. . == ++ + ++ + ++ cac c abcbbc b abcaabcab aabc Luyện tập Bài 1:Rút gọn các biểu thức: ; ))(( 1 ))(( 1 ) cbabbcabaa Aa −− + −− = ))(( 1 ))(( 1 ))(( 1 ) bcacccbabbcabaa Bb −− + −− + −− = HD:A = abcbcacc ABb cbcabaab bac 1 ))(( 1 ); ))()(( == −− += −−− −− Bài 2:Rút gọn biểu thức A = ))()(( )()()(222 222 accbba accbba accbba −−− −+−+− + − + − + − HD:Đặt a-b =x;b-c =y ; c-a = z =>x+y+z = 0 Ta có A = 0 222 222 == ++ +++ xyz zyx zyx 3 Bài 3:Cho 0= −+ − −+ − −+ ac bca bc acb ab cba .Chúng minh rằng trong ba phân thức ở vế trái có ít nhất một phân thức bằng 0 HD:Biến đổi vế trái ta được một phân thức có tử thức (a+b-c)(a-b-c) = 0 =>a-b+c =0 hoặc a+c-b = 0. Bài 4:Cho a,b,c là các số nguyên đôi một khác nhau .Chứng minh rằng biểu thức: A = ))(())(())(( 333 bcac c cbab b caba a −− + −− + −− .Có giá trò nguyên HD:A = cba cbcaba bacacbcba ++== −−− −+−+− ))()(( )()()( 333 (Phân tích tử thành nhân tử) Bài 5:Rút gọn biểu thức ; ( ) ( ) 122 12 16 5 . 14 3 . 12 1 ); 1 1 4 1 1 3 1 1 2 1 1) 2 2 2 2 2 2 2 2 2222 −+ + −−− =       −       −       −       −= n n Bb n Aa 1 1 13 13 . 12 12 ) 3 3 3 3 3 3 + − + − + − = n n Cc HD:A= n nn nn n n n n nn 2 1 2 1 . 1 4.3.2 )1 (5.4.3 . 4.3.2 )1 (4.3.2.1)1)(1( 4 5.3 . 3 4.2 . 2 3.1 2222 + = + = +− = +− B= 32 1 +n ; )1(3 )1(2 3 1 . )1( 2.1 )1 (13.7.3 )1)(1 (21.13.7 . )1( 2.1 )1) (133)(122( )1) (133)(1.22( . )1 (5.4.3 )1 (3.2.1 )1)(1( )1)(1( )11.22)(12( )11.22)(12( 22 2 22 222 222 2 2 22 22 + ++ == ++ + = +− +++− + = +−+−+− ++++++ + − = +−+ ++− +−+ ++− nn nnnn nn nn nnnn nn nn nn n n nnn nnn Bài 6:Rút gọn các biểu thức: )53)(23( 1 11.8 1 8.5 1 5.2 1 ); )1( 1 4.3 1 3.2 1 2.1 1 ) ++ ++++= − ++++= nn Bb nn Aa )1()1( 1 5.4.3 1 4.3.2 1 3.2.1 1 ) +− ++++= nnn Cc HD: )53(2 1 53 1 2 1 53 1 23 1 3 1 )53)(23( 1 ) 1 1 1 )1( 1 ) + + =       + −=       + − + = ++ − − = − n n nnnnn b nnnn a 3 1 B quảKết 1)4n(n 2)1)(n-(n :quảKết + +       + − − = +− )1( 1 )1( 1 2 1 )1()1( 1 ) nnnnnnn c Bài 7: a)Tìm các số m,n để : x n x m xx + − = − 1)1( 1 . HD:m=1;n=-1 4 b)Rút gọn biểu thức:M= 3011 1 209 1 127 1 65 1 2222 +− + +− + +− + +− aaaaaaaa HD:Tách mỗi phân thức: 2 1 3 1 )3)(2( 1 − − − = −− aaaa Tương tự Bài 8:Cho x+y+z=a và azyx 1111 =++ Hãy chứng minh:tồn tại một trong ba số có một số bằng a HD:theo bài toán ta có : zyxzyx ++ =++ 1111 <=>…<=> (x+y)(x+z)(y+z) = 0 Bài 9:Cho a+b+c =0 )0;0;0( ≠≠≠ cba Rút gọn biểu thức : A= 222 2 222 2 222 2 bac c acb b cba a −− + −− + −− HD:Ta có a+b+c = 0 =>a 3 +b 3 +c 3 =3abc và a 3 +b 3 +c 3 -3abc = (a+b+c)(a 2 +b 2 +c 2 -ab-ac-bc) Từ a+b+c =0 =>b+c=-a =>a 2 -b 2 -c 2 =2bc.Tương tự cho các trường hợp cò lại b 2 -c 2 -a 2 =2ac; c 2 -a 2 -b 2 = 2ab Thay vào biểu thức:A = 2 3 2222 333222 == ++ =++ abc cba ab c ac b bc a Bài 10:Cho 22 0 111 b ca a bc cba ++==++ 2 c ab P:thức biểutrò giá Tính HD:Vận dụng công thức x+y+z = 0 => x 3 +y 3 +z 3 = 3xyz Áp dụng giải : 3 3111 33322333 ==++=++==++ a abc b abc c abc b ca a bc abc cba 2 c ab P đó Do Bài 11:Cho a 3 +b 3 +c 3 =3abc.Tính giá trò của biểu thức A=       +       +       + a c c b b a 111 HD:Từ a 3 +b 3 +c 3 =3abc <=>(a+b+c)(a 2 +b 2 +c 2 -ab-ac-bc)=0<=> …<=>    =−−−++ =++ 0 0 222 cbacabcba cba Nếu a+b+c =0 thì A = …= -1 Nếu a 2 +b 2 +c 2 -ab-ac-bc =0 <=> (a-b) 2 +(a-c) 2 +(b-c) 2 = 0 <=> a=b=c Khi đó A = 8 Bài 12:Cho a+b+c = 0 Tính giá trò của biểu thức :A =       − + − + −       − + − + − ac b cb a ba c b ac a cb c ba . HD:Gọi M =       − + − + − b ac a cb c ba ,ta có abc c ab c ab bacba ba c ab aacbcb ba c b ac a cb ba c ba c M 32 22 2 1 2 1 ))(( .1 .11. +=+= −−− − += = −+− − +=       − + − − += − Tương tự cho các trường hợp còn lại: A = 9 )(2 3 333 = ++ += − + − + − abc cba ac b M cb a M ba c M (Vì a 3 +b 3 +c 3 =3abc) 5 Bài 13:Cho a+b+c =0,x+y+z=0, 0=++ z c y b x a Chứng minh ax 2 +by 2 +cz 2 =0 HD:Từ x+y+z =0 => x 2 = (y+z) 2 Tương tự cho các trường hợp còn lại Do đó ax 2 +by 2 +cz 2 =a(y+z) 2 +b(x+z) 2 +c(x+y) 2 =a(y 2 +2yz+z 2 )+b(x 2 +2xz+z 2 )+c(x 2 +2xy+y 2 )= Khai triển ta có =x 2 (b+c)+y 2 (a+c)+z 2 (a+b)+2(ayz+bxz+cxy)(1) Thay b+c =-a; .a+b =-c; a+c = -b và ayz+bxz+cxy = 0( vì 0=++ z c y b x a )vào (1)Ta có ax 2 +by 2 +cz 2 =-ax 2 -by 2 -cz 2 =>…=> ax 2 +by 2 +cz 2 =0 Bài 14:Cho 0 )()()( 222 = − + − + − = − + − + − ba c ca b cb ba c ac b cb a a : rằng minh 0Chúng HD:Từ 0= − + − + − ba c ac b cb a => ))(( 22 abca ccabab ab c ca b cb a −− −+− = − + − = − Nhân hai vế cho ))()(( )( 1 22 2 accbba ccabab cb a cb −−− −+− = − ⇒ − (1) Tương tự cho các trường hợp còn lại: )3( ))()(( )( )2(; ))()(( )( 22 2 22 2 cbbaac bcbcaa ba c caaccb ababcc ca b −−− −+− = − −−− −+− = − Cộng (1),(2)và (3)Ta có 0 )()()( 222 = − + − + − ba c ca b cb a Bài 15: 0;1 22 = + + + + + = + + + + + ba c ac b cbba c ac b cb a 2 a minh Chứng HD:Nhân hai vế của 1= + + + + + ba c ac b cb a Cho a+b+c ta có : cbac ba c b ac b a cb a cba ba abcc ac acbb cb cbaa ++=+ + ++ + ++ + ⇒ ++= + ++ + + ++ + + ++ 222 222 )()()( =>Điều phải chứng minh. ******************************************** 6