Chuyên đề: PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT PHÂN THỨC ĐẠI SỐI-MỤC TIÊU: HS:-Nắm vũng các phép biến đổi đông nhất phân thức đại số -rút gọn phân thức -cộng trừ nhân chia phân thức -Rèn luyện kỷ
Trang 1Chuyên đề: PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
I-MỤC TIÊU:
HS:-Nắm vũng các phép biến đổi đông nhất phân thức đại số
-rút gọn phân thức
-cộng trừ nhân chia phân thức
-Rèn luyện kỷ năng chứng minh tính giá trị biểu thức nhanh hợp lý theo mỗi bài toán
II-THỜI LƯỢNG:7t lý thuyết,ôn luyện &1tKT
Tiết 1,2,3
Phần I:
ĐỊNH NGHĨA ,TÍNH CHẤT CƠ BẢN ,RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ:
Ví dụ 1:Cho phân thức
(a b c) (ab bc ca)
ca ac ab c b a c b
a
+ +
− + +
+ + + + + +
+
2
2 2
2
2
Hãy rút gọn phân thức M
HD:Chú ý rằng ;(a+b+c)2= a2+b2+c2+2(ab+ac+bc) Do đó ta đặt a2+b2+c2 =x;ab+ac+bc = y Khi đó ;(a+b+c)2= x + 2y.Ta có M = = = + =
− +
+ +
y x y
y x
y y x x
2
) 2
a2+b2+c2+ab+ac+bc (ĐK:a2+b2+c2 0≠ )
Ví dụ 2:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì phân số
1 3
2
2 4
3
+ +
+
n n
n n
là phân số tối giản
HD:Để C/m:Phân số tối giản ta C/mTử và mẫu chỉ có ước chung lớn nhất là 1
Gọi d là Ước chung của n3+2n và n4+3n2+1.Ta có n3+2n d ⇒n(n3 +2n)d =>
)
1
(
2 2
n4+3n2+1-(n4+2n2)= n2+1d ⇒(n2 +1)2 =n4 +2n2 +1d(2)
Từ (1) và (2)=>(n4+3n2+1)- (n4+2n2) d ⇒1d ⇒d =1
Ví dụ 3:
Chứng minh rằng : 1+x+x2+x3+…+x31= (1+x)(1+x2)(1+x4)(1+x8)(1+x16) (1)
HD:Gọi vế trái là A và vế phải là B
Ta có (1-x).A = 1-x32=> (1-x).B = (1-x).(1+x)(1+x2)…(1+x16)=1-x32
Nếu x 1≠ thì A và B đều viết được dưới dạng phân thức
x
x
−
−
1
1 32
,do đó A = B Nếu x = 1thì cả hai vế của (1) đều bằng 32,do đó A= B Trong cả hai trường hợp ,đẳng thức (1)đều đúng
Luyện tập:
Bài 1:Cho a>b>0 thỏa mãn 3a2+3b2 = 10ab Tính giá trị của biểu thức P =
b a
b a
+
−
HD:Tính P2 =…=
4
1 mà P>0 =>P =
2
1 (Vì a>b>0)
Bài 2:Cho x>y>0 và 2x2+2y2 = 5xy Tính giá trị của biểu thức E = x x−+y y
Trang 2HD:Như bài 1
Bài 3:Cho a,b,c đôi một khác nhau,thõa mãn ab+ac+bc =1.Tính giá trị của biểu thức:
2 2
2
1 1 ) 1 (
) ( ) ( ) (
c b a
a c c b b a
+ + +
+ +
+
( ) (2 ) (2 )2
2 2
a c c b b a
ba c
ca b
bc a
−
−
−
− +
− +
− +
HD:a)Ta có 1+a2= ab+ac +bc +a2=…=(a+b)(a+c)
Tương tự 1+b2=…=(b+a)(c+b);1+c2 = =(c+a)(c+b)
Thay vào biểu thức A= ( ) ( )
( )( )( )( )( )( ) 1
)
2 2
= + + + + + +
+ +
+
c b c a c b a b c a b a
c b c a b a
b)Ta có a2+2bc-1 = a2+2bc-ba-ca-bc = …=(a-b)(a-c)
Tương tự : b2+2ca-1=…= (b-a)(b-c) ;c2+2ab-1= (c-a)(c-b)
Thay vào và rút gọn ta có B =….=( ) ( ) ( )
( − ) ( − ) ( − ) =
−
−
−
2 2
2
2 2
2
a c c b b a
a c c b b a
-1
Bài 3:Rút gọn các phân thức.
2 2
2
3 3 3 2
3
2 3
2 2
2
3 3 3 2
3 2 2
2 2
2
) ( ) ( ) (
3 )
; 9 33 19
3
45 12 7
2
)
) ( ) ( ) (
3 )
; ) ( ) ( ) (
)
x z z y y x
xyz z
y x D
d x
x x
x x
x
C
c
x z z y y x
xyz z
y x B
b bc
b ac ab
b a c a c b c b
a
A
a
− +
− +
−
− + +
=
− +
−
+
−
−
=
− + + + +
+ +
−
= +
−
−
− +
− +
−
=
HD:
) (
2
1
1 3
5 2 ) 1 3 ( ) 3 (
) 5 2 ( ) 3 (
; ) (
2
1
; )
)(
)(
(
) )(
)(
(
2 2
z y
x
D
x
x x
x
x x
C z
y x B c b
c a c b c b
b
a
c a c b
b
a
A
+
+
=
−
+
=
−
−
+
−
= +
−
= +
−
= +
−
−
−
−
−
=
Bài 4:Chứng minh rằng phân số
1 2
1 2
+
n
n
Tối giản với mọi n là số tự nhiên
HD:Gọi d là UCLN(2n+1,2n2-1)=>2n+1 d và 2n2-1 d => n(2n+1)-(2n2-1) d => n +1 d
=>2n +2 d => (2n +2) – (2n +1)d => 1d => d =1
Bài 5:Chứng minh rằng phân số :
1
1
2 4
5
+ +
+ +
n n
n n
không tôi giản với mọi n là số nguyên dương
HD:Tử và mẫu có chứa nhân tử chung là n2+n+1>1
2 2 2
) ( ) ( )
z y x
− +
− +
−
+ +
Cho biết :x+y+z = 0
HD:(x+y+z) = 0 => (x+y+z)2 = 0 =>x2+y2+z2 = -2xy-2xz-2yz
Thay vào mẫu thức ta có A =
3 1
Bài 7:Rút gọn biểu thức P = ((314 44)()(754 44)()(119 4 44) () (21234 44))
4 4
4 4
+ +
+ +
+ +
+ +
HD:n4+4 =(n2+2)2-4n2= (n2+2+2n)(n2+2-2n)=[n(n+2)+2][n(n-2)+2] Do đó P = …= 1
Trang 3PHẦN II CÁC PHÉP TÍNH VỀ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ:
Tiết 4,5,6,7
8 1
4 1
2 1
1 1
1
x x
x x
−
Giải:Do đặc điểm của bài toán không quy đồng mẫu thức mà ta cộng lần lượt tùng phân thức
1
16
1
8 1
4 1
4 1
8 1
4 1
2 1
2
x x
x x
x x
x
−
Ví dụ 2:Rút gọn biểu thức B = 2 2 2 [ ( 1)]2
1 2
) 4 3 (
7 )
3 2 (
5 )
2 1 (
3
+
+ +
+ +
+
n n n
Giải:Đương nhiên ta không thể nào QĐMT mà ta tìm cách tách mỗi phân thức thành hiệu hai phân thức rồi dùng phương pháp khử liên tiếp
2 2
1 1
) 1 (
) 1 ( ) 1 (
1 2
+
−
= +
− +
= +
+
n n n
n
n n
n
n
n
=> B = …=1- 2 ( 1)2
) 2 ( ) 1 (
1
+
+
=
n n n
2 );
1 1 ( ) (
2 );
1 1 (
1
2 2 5 3
3 4 4
4
y
+
=
− +
=
− +
Thực hiện phép tính A+B+C
Giải:Rút gọn biểu thức A = …= 4 4 2
2 2
) (
) )(
(
y x y x
x y x y
+
− +
;Tính B+C =…= ( )2 3 3
) ( 2
y x y x
x y
+
−
Tính A+B+C = …= x4y4
x
y−
Ví dụ 5:Cho a,b,c thỏa mãn ĐK:abc =2005.Tính giá trị biểu thức
P =
1 2005
2005 2005
2005
+ +
+ +
+
+ +
c b
bc
b a
ab
a
Giải:Ta không thể QĐMT Thay 2005 =abc
1
=
= + +
+ + +
+ +
c abc
b bc
b abc
a abc
ab
a abc
Luyện tập Bài 1:Rút gọn các biểu thức:
; ) )(
(
1 )
)(
(
1
)
c b a b b c a b
a
a
A
a
−
−
+
−
−
=
) )(
(
1 )
)(
(
1 )
)(
(
1
)
b c a c c c b a b b c a b
a
a
B
b
−
−
+
−
−
+
−
−
=
c b c a b a
ab
b a
) )(
(
1 )
; ) )(
)(
−
− +
=
−
−
−
−
−
Bài 2:Rút gọn biểu thức A = 2 2 2 ( () )(( ))( ( ) )
2 2
2
a c c b b a
a c c b b a a c c b b
− +
− +
− +
−
+
−
+
−
HD:Đặt a-b =x;b-c =y ; c-a = z =>x+y+z = 0 Ta có A = 2 2 2 0
2 2 2
=
= + + + + +
xyz
z y x z y x
Trang 4Bài 3:Cho + − − + − − + − =0
ac
b c a bc
a c b ab
c b a
.Chúng minh rằng trong ba phân thức ở vế trái có ít nhất một phân thức bằng 0
HD:Biến đổi vế trái ta được một phân thức có tử thức (a+b-c)(a-b-c) = 0 =>a-b+c =0 hoặc
a+c-b = 0
Bài 4:Cho a,b,c là các số nguyên đôi một khác nhau Chứng minh rằng biểu thức:
A =
) )(
( ) )(
( ) )(
(
3 3
3
b c a c
c c
b a b
b c
a
b
a
a
−
−
+
−
−
+
−
c b c a b a
b a c a c b c b
−
−
−
− +
− +
) )(
)(
(
) ( ) ( )
3
(Phân tích tử thành nhân tử)
Bài 5:Rút gọn biểu thức ;
(2 2) 1
1 2
1 6
5 1 4
3 1 2
1 )
;
1 1
4
1 1 3
1 1 2
1
1
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
+
−
−
−
=
−
−
−
−
=
n
n B
b n A
a
1
1
1 3
1 3
1
2
1
2
3 3
3 3
3
+
− +
− +
−
=
n
n C
c
4 3 2
) 1 .(
5 4 3
4 3 2
) 1 .(
4 3 2 1 ) 1 )(
1 (
4
5 3 3
4
2
2
3
1
2 2
2
2
+
=
+
= +
−
= +
−
B=
3
2
1
+
) 1 ( 3
) 1 (
2
3
1
) 1 (
2 1 )
1 .(
13 7 3
) 1 )(
1 .(
21 13
7
)
1
(
2
1
) 1 ) (
1 3 3 )(
1 2 2 (
) 1 ) (
1 3 3 )(
1 2 2 ( ) 1
(
5
4
3
) 1
(
3
2
1
) 1 )(
1 (
) 1 )(
1 (
) 1 1
2
2
)(
1
2
(
) 1 1
2
2
)(
1
2
(
2 2
2
2 2
2 2
2
2 2
2
2
2 2
2
2 2
+
+ +
=
= + + +
= +
−
+ + +
− +
=
+
− +
− +
−
+ + +
+ +
+ +
−
=
+
− +
+ +
− +
−
+
+ +
−
n n
n n n
n n n n
n
n n n n n
n
n n
n n n
n
n n n
n n n
Bài 6:Rút gọn các biểu thức:
) 5 3 )(
2 3 (
1
11 8
1 8 5
1 5 2
1 )
; ) 1 (
1
4 3
1 3 2
1
2
1
1
)
+ +
+ + + +
=
− + + + +
=
n n
B b n n A
a
) 1 ( ) 1 (
1
5 4 3
1 4 3 2
1 3
2
1
1
)
+
− + + +
+
=
n n n C
c
HD:
) 5 3 ( 2
1 5
3
1 2
1 5
3
1 2 3
1 3
1 ) 5 3
)(
2
3
(
1
)
1 1
1 )
1
(
1
)
+
+
=
+
−
=
+
− +
= + +
−
−
=
−
n
n n
n n
n n
b
n n
n
n
a
3
1 B quả Kết
1) 4n(n
2) 1)(n -(n : quả Kết
+
+
+
−
−
= +
1 )
1 (
1 2
1 ) 1 (
)
1
(
1
)
n n n n n
n
n
c
Bài 7:
a)Tìm các số m,n để :x(x1−1) = x m−1+n x HD:m=1;n=-1
Trang 5b)Rút gọn biểu thức:M=
30 11
1 20
9
1 12
7
1 6
5
1
2 2
2
a
HD:Tách mỗi phân thức:(a−2)(1a−3) = a1−3−a1−2Tương tự
Bài 8:Cho x+y+z=a và 1x+ 1y +1z = a1Hãy chứng minh:tồn tại một trong ba số có một số bằng a
HD:theo bài toán ta có : 1x+ 1y +1z = x+1y+z <=>…<=> (x+y)(x+z)(y+z) = 0
Bài 9:Cho a+b+c =0 (a≠0;b≠0;c≠0)Rút gọn biểu thức :
b a c
c a
c b
b c
b
a
a
−
−
+
−
−
+
−
−
HD:Ta có a+b+c = 0 =>a3+b3+c3=3abc và a3+b3+c3-3abc = (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc) Từ a+b+c =0 =>b+c=-a =>a2-b2-c2=2bc.Tương tự cho các trường hợp cò lại
b2-c2-a2=2ac; c2-a2-b2 = 2ab
Thay vào biểu thức:A =
2
3
2 2
2 2
3 3 3 2 2 2
=
= + +
= + +
abc
c b a ab
c ac
b bc a
b
ca a
bc c
b
c
ab P : thức biểu trị giá Tính HD:Vận dụng công thức x+y+z = 0 => x3+y3+z3= 3xyz Áp dụng giải :
3
3 1
1
1
3 3 3 2 2 3
3
a
abc b
abc c
abc b
ca a
bc abc
c
b
ab P đó Do
Bài 11:Cho a3+b3+c3=3abc.Tính giá trị của biểu thức A=
+
+
+
a
c c
b b
a
1 1
1
HD:Từ a3+b3+c3=3abc <=>(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)=0<=> …<=>
=
−
−
− +
+
= + +
0
0
2
2
a
c b a
Nếu a+b+c =0 thì A = …= -1
Nếu a2+b2+c2-ab-ac-bc =0 <=> (a-b)2+(a-c)2+(b-c)2 = 0 <=> a=b=c Khi đó A = 8
Bài 12:Cho a+b+c = 0
−
+
−
+
−
a c
b c b
a b a
c b
a c a
c b c
b a
b
a c a
c b c
b a
,ta có
abc
c ab
c ab
b a c b a
b
a
c
ab
a ac bc b b a
c b
a c a
c b b a
c b
a
c
M
3 2
2 2
2 1
2 1 ) )(
(
1
1
1
+
= +
=
−
−
−
−
+
=
=
− +
−
− +
=
− +
=
−
Tương tự cho các trường hợp còn lại:
3 3 3
= + + +
=
−
+
−
+
c b a a
c
b M c b
a M b
a
c
Trang 6Bài 13:Cho a+b+c =0,x+y+z=0, + + =0
z
c y
b x
a
Chứng minh ax2+by2+cz2=0
HD:Từ x+y+z =0 => x2 = (y+z)2 Tương tự cho các trường hợp còn lại
Do đó ax2+by2+cz2=a(y+z)2+b(x+z)2+c(x+y)2 =a(y2+2yz+z2)+b(x2+2xz+z2)+c(x2+2xy+y2)= Khai triển ta có =x2(b+c)+y2(a+c)+z2(a+b)+2(ayz+bxz+cxy)(1)
Thay b+c =-a; .a+b =-c; a+c = -b và ayz+bxz+cxy = 0( vì + + =0
z
c y
b x
a
)vào (1)Ta có
ax2+by2+cz2=-ax2-by2-cz2=>…=> ax2+by2+cz2=0
−
+
−
+
−
=
−
+
−
+
c c
a
b c
b b
a
c a c
b c b
−
+
−
+
c a c
b c
b
a
2 2
a b c a
c ca ba b a b
c c a
b c b
a
−
−
− +
−
=
−
+
−
=
−
Nhân hai vế cho
) )(
)(
( ) (
c ca ba b c
b
a c
− +
−
=
−
⇒
Tương tự cho các trường hợp còn lại:
) 3 ( ) )(
)(
( ) ( ) 2 (
; ) )(
)(
(
)
(
2 2
2
2 2
b cb ca a b
a
c c
a a c c b
a ba bc c
c
a
b
−
−
−
− +
−
=
−
−
−
−
− +
−
=
−
) ( ) ( )
−
+
−
+
c c
a
b c
b
a
2 2
= +
+ +
+ +
= +
+ +
+
c a c
b c b b
a
c a c
b c
b
+
+ +
+
c a c
b c b
a
Cho a+b+c ta có :
c b a c b a
c b a c
b a
c
b
a
c b a b
a
a b c c a
c
a c b b c
b
c
b
a
a
+ +
= + + + + + +
+
+
⇒
+ +
= +
+ + + +
+ + + +
+
+
2 2
2
2 2
=>Điều phải chứng minh
********************************************