Thiết kế và mô phỏng bộ lọc số iir bằng matlab

Tín hiệu xuất hiện hầu như ở tất cả các ngành khoa học và kĩ thuật; ví như trong âm học, sinh học, thông tin liên lạc, hệ thống điều khiển, rađa, vật lý học, địa chất học và khí tượng học. C

1.2.2 Các tính chất của biến đổi z: 7

Chương II: THIẾT KẾ BỘ LỌC IIR 9

2.1 CÁC PHƯƠNG PHÁP TỔNG HỢP BỘ LỌC SỐ IIR TỪ BỘ LỌC TƯƠNG TỰ 9

2.1.1 Phương pháp bất biến xung 9

2.1.2 Phương pháp biến đổi song tuyến 13

2.1.3 Phương pháp tương đương vi phân 16

2.2 TỔNG HỢP CÁC BỘ LỌC TƯƠNG TỰ THÔNG THẤP 17

2.2.1 Bộ lọc tương tự Butterworth: 17

2.2.2 Bộ lọc Chebyshev 20

2.2.3 Bộ lọc tương tự Elip (Cauer) 28

Chương 3 THIẾT KẾ VÀ MÔ PHỎNG BỘ LỌC SỐ IIR BẰNG CÔNG CỤ SPTOOL 30

3.1 GIỚI THIỆU VỀ CÔNG CỤ SPTOOL 30

3.1.1 Thiết kế bộ lọc số bằng công cụ SPTool: 30

2

LỜI MỞ ĐẦU

Tín hiệu xuất hiện hầu như ở tất cả các ngành khoa học và kĩ thuật; ví như trong âm học, sinh học, thông tin liên lạc, hệ thống điều khiển, rađa, vật lý học, địa chất học và khí tượng học Có hai dạng tín hiệu được biết đến Đó là tín hiệu liên tục theo thời gian và tín hiệu rời rạc theo thời gian

Một tín hiệu rời rạc, cũng như một tín hiệu liên tục, có thể được biểu diễn bởi một hàm của tần số và được biết đến như là phổ tần của tín hiệu

Lọc số là một quá trình mà ở đó phổ tần của tín hiệu có thể bị thay đổi, biến dạng tuỳ thuộc vào một số đặc tính mong muốn Nó có thể dẫn đến sự khuếch đại hoặc suy giảm trong một dải tần số, bỏ đi hoặc cô lập một thành phần tần số cụ thể,… Sử dụng bộ lọc số rất nhiều vẻ, ví như: để loại đi thành phần làm bẩn tín hiệu như nhiễu, loại bỏ méo xuyên giữa các kênh truyền dẫn hoặc sai lệch trong đo lường, để phân tách hai hoặc nhiều tín hiệu riêng biệt đã được trộn lẫn theo chủ định nhằm cực đại hoá sự sử dụng kênh truyền, để phân tích các tín hiệu trong các thành phần tần số của chúng, để giải nén tín hiệu, để chuyển tín hiệu rời rạc theo thời gian sang tín hiệu liên tục theo thời gian

Bộ lọc số là một hệ thống số có thể được sử dụng để lọc các tín hiệu rời rạc theo thời gian

Tiểu luận này trình bày lý thuyết thiết kế bộ lọc IIR và tính toán các hệ số bộ lọc viết bằng ngôn ngữ MATLAB, được chia thành 3 chương nhỏ:

Chương 1 Tổng quan về bộ lọc số: Chương này giới thiệu khái quát về lý thuyết bộ lọc số và cơ sở toán học của bộ lọc số

Chương 2 Thiết kế bộ lọc số IIR.: Chương này trình bày phương pháp tổng hợp bộ lọc số IIR từ bộ lọc tương tự và các phương pháp tổng hợp các bộ lọc tương tự thông thấp

Chương 3 Thiết kế và mô phỏng bộ lọc số IIR bằng công cụ SPTool Trong chương này trình bày trình tự mô phỏng các bộ lọc số IIR thông thấp và đánh giá so sánh các thông số đáp ứng biên độ của các bộ lọc

3

Chương I TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ

Trong kỹ thuật tương tự (Analog) bộ lọc tín hiệu đóng một vai trò quan trọng Người ta chia chúng làm 2 loại cơ bản: Bộ lọc tích cực và bộ lọc thụ động Song thành phần cơ bản tác động đến biên độ _tần số tín hiệu là các thành phần điện kháng như : điện cảm L và điện dung C Chúng được mắc với nhau theo những cấu trúc riêng nhằm đáp ứng yêu cầu của bộ lọc như : Bộ lọc thông thấp, thông cao, thông một dải hoặc các bộ chặn tần v.v Để thiết kế chúng người ta phải giải các phương trình vi tích phân Một phương pháp phổ biến nữa là người ta xây dựng hàm truyền đạt biên độ tần số H(jω), qua đó ta có thể xác định chính xác đáp ứng của tín hiệu đầu ra Y(t) khi đầu vào là hàm X(t) xác định

Khi kỹ thuật số (Digital) bùng nổ, việc xây dựng các bộ lọc số được xây dựng trên nền tảng là các chương trình, các thuật toán nhằm đáp ứng yêu cầu cho các bộ lọc số Các chương trình, thuật toán này có thể đựơc thực hiện bằng phần mềm hoặc bằng các kết cấu cứng

Xét một cách tổng quát thì bộ lọc số và bộ lọc tương tự có nhiều nét tương đồng kể cả về chức năng cũng như phương pháp luận trong việc xây dựng chúng Trong chương này chúng ta sẽ có cái nhìn tổng quát về các bộ lọc số và công cụ toán học khi nghiên cứu bộ lọc số để làm cơ sở cho việc nghiên cứu các chương tiếp theo

1.1 TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ

Bộ lọc số là một hệ thống dùng để làm biến dạng sự phân bố tần số của các thành phần của tín hiệu theo các chỉ tiêu đã cho Bộ lọc số là hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian Thông số vào và ra của hệ thống quan hệ với nhau bằng tổng

chập ( )( ) * ()

y nx nh nk

Bộ lọc số được chia làm hai loại cơ bản là bộ lọc IIR (Infinite-Duration Impulse Response) có đáp xung h(n) vô hạn và bộ lọc FIR (Finite-Duration Impulse Response) có đáp ứng xung hữu hạn.Bộ lọc IIR mang tính tổng quát hơn bộ lọc FIR

vì IIR là bộ lọc đệ quy còn bộ lọc FIR là bộ lọc không đệ quy Để thấy rõ hơn ta xét

4

hệ xử lý số tuyến tính bất biến nhân quả (TTBBNQ) được mô tả bằng phương trình

sai phân tuyến tính hệ số hằng bậc N ≥ 1:

Hệ xử lý số TTBBNQ có quan hệ vào ra là hệ đệ quy, sơ đồ cấu trúc của nó

gồm hai nhóm, nhóm thứ nhất là phần giữ chậm tác động vào x(n), nhóm thứ hai là phần phản hồi giữ chậm phản ứng y(n) Trên hình 1.1 là sơ đồ cấu trúc dạng chẩn

tắc 1 của hệ

Hình 1.1: Sơ đồ cấu trúc dạng chuẩn tắc 1 của hệ IIR đệ quy

Đối với các hệ xử lý số TTBBNQ, đổi thứ tự của hai khối liên kết nối tiếp không

làm thay đổi phản ứng y(n), nên có thể đưa sơ đồ cấu trúc trên hình 1.1 về dạng

chuyển vị trên hình 1.2

Hình 1.2: Sơ đồ cấu trúc chuyển vị của hệ IIR đệ quy

5

Thay hai dãy trễ của sơ đồ cấu trúc ở hình 1.2 bằng một dãy trễ, nhận được

sơ đồ cấu trúc dạng chuẩn tắc 2 trên hình 1.3 với N phần tử trễ ít hơn (khi giả thiết M > N ) Xét phương trình (1.1) khi các hệ số ar =0 thì phương trình trở thành:

Hình 1.3: Sơ đồ cấu trúc dạng chuẩn tắc 2 của hệ IIR đệ quy

Khi đổi vị trí các phần tử trễ, nhận được sơ đồ cấu trúc dạng chuyển vị trên hình 1.4b

Như vậy bộ lọc FIR chỉ là một dạng đặc biệt của bộ lọc IIR nhưng nó có ưu

điểm là đơn giản về mặt toán học và tính ổn định của nó cao hơn bộ lọc IIR.Bộ lọc IIR có cấu trúc thường gọn nhẹ hơn và hệ số phẩm chất của nó thường cao hơn so với bộ lọc FIR

6

Hình 1.4: Sơ đồ cấu trúc của hệ xử lý số FIR không đệ quy

1.2 CÔNG CỤ TOÁN HỌC ĐỂ THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ

Trong nhiều trường hợp, việc giải các bài toán phân tích hệ xử lý số trong miền thời gian là phức tạp và khó khăn Để giải các bài toán được dễ dàng hơn, người ta thường sử dụng các phép biến đổi để chuyển bài toán sang miền biến số

khác Biến đổi Laplace được dùng để phân tích hệ tương tự, đối với hệ xử lý số sử dụng biến đổi Z

1.2.1 Phép biến đổi z

Phép biến đổi Z được sử dụng cho các dãy số Biến đổi Z thuận để chuyển các dãy biến số nguyên n thành hàm biến số phức z, biến đổi Z ngược để chuyển các hàm biến số phức z thành dãy biến số nguyên n

a Biến đổi Z thuận:

* Biến đổi Z hai phía: Biến đổi Z hai phía của dãy x(n) là chuỗi lũy thừa của biến số phức z :

  (1.3)

Miền xác định của hàm X(z) là các giá trị của z để chuỗi hội tụ Ký hiệu:

ZT[x(n)] = X (z) (1.4)

Hay:

x nX z zdz

  (1.9)

Tích phân (1.9) chính là biểu thức của phép biến đổi Z ngƣợc, nó đƣợc ký

hiệu nhƣ sau : IZT[X (z)] = x(n) (1.10)

Hay: X z( )IZTx n( ) (1.11)

(IZT là chữ viết tắt của thuật ngữ tiếng Anh : Invertse Z Transform)

1.2.2 Các tính chất của biến đổi z:

Khi phân tích hệ xử lý số qua biến đổi Z, vận dụng các tính chất của biến đổi Z sẽ giúp cho việc giải quyết bài toán đƣợc dễ dàng hơn

1.2.2.1 Các tính chất của biến đổi Z hai phía

* Tính chất tuyến tính : Hàm ảnh Z của tổ hợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp

tuyến tính các hàm ảnh Z thành phần

Nếu ZT x n i( )X zi( ) với RC X z i( ) : Ri z Ri thì : ( ) ( ) i ( )ii. i( )

8

 ( )( ) ( ) ( ) dX z

Y zZT y nn x nzdz

Với RC Y z ( ) : max[ Ri] z min[Ri]

Miền hội tụ của hàm Y(z) là giao các miền hội tụ của X1(z) và X2(z)

Đường cong kín C của tích phân (1.14) phải bao quanh gốc tọa độ và thuộc miền hội tụ của cả X1(z) và X2(z) trong mặt phẳng phức

* Định lý giá trị đầu của dãy nhân quả : Nếu x(n) là dãy nhân quả và

( ) [ ( )] ( ) ( )

R z ZT r m  X z X z (1.16)

1.2.2.2 Các tính chất của biến đổi Z một phía

Biến đổi Z một phía có hầu hết tất cả các tính chất giống như biến đổi Z hai

[( )][( )]

RC Y z RC X z , trừ điểm z=0

Chương II: THIẾT KẾ BỘ LỌC IIR

Để thiết kế bộ lọc số IIR, ta có một số phương pháp như: thiết kế từ bộ lọc tương tự, chuyển đổi tần số, phương pháp bình phương tối thiểu Trong đó phổ biến nhất là phương pháp thiết từ bộ lọc tương tự, tức là ta thiết kế một bộ lọc tương tự thỏa mãn các yêu cầu đặt ra, sau đó dùng các phương pháp chuyển đổi từ miền Laplace sang miền Z ta được bộ lọc số

2.1 CÁC PHƯƠNG PHÁP TỔNG HỢP BỘ LỌC SỐ IIR TỪ BỘ LỌC TƯƠNG TỰ

Tương tự như bộ lọc số FIR, người ta thường dùng một số phương pháp tổng hợp bộ lọc số IIR có đáp ứng xung có chiều dài vô hạn Phương pháp được đưa ra ở đây là biến đổi từ bộ lọc tương tự sang bộ lọc số theo các phép ánh xạ Việc tổng hợp bộ lọc tương tự đã được giới thiệu ở phần trước, khi tổng hợp bộ lọc số IIR ta sẽ bắt đầu việc tổng hợp bộ lọc trong miền tương tự tức là xác định hàm truyền đạt

Ha(s) và sau đó biến đổi sang miền số

Có 3 phương pháp chính để chuyển từ bộ lọc tương tự sang bộ lọc số tương đương:

- Phương pháp bất biến xung - Phương pháp biến đổi song tuyến - Phương pháp tương đương vi phân

Ngoài ra ta có thể sử dụng phương pháp biến đổi dải tần bộ lọc số thông thấp đã được thiết kế để thiết kế các bộ lọc thông thấp khác với tần số cắt khác hoặc bộ lọc thông cao, thông dải, chắn dải

2.1.1 Phương pháp bất biến xung

Phương pháp này dựa trên quan hệ cuả đáp ứng xung ha(t) cuả bộ lọc tương tự và dãy h(n) rời rạc được xác định bởi lấy mẫu ha(t):

Với hàm ha(t) ta có ảnh Laplace là Ha(t) , (t nT ) là hàm xung Dirac

Với hàm h(n) ta có ảnh Z là H(z) và biến đổi Fourrier là H(ej)

Trong miền thời gian liên tục, gọi :

- Biến đổi Fourier của ha(t) là Ha(a)- Biến đổi Fourier của ( )

 

Nhƣ vậy gọi biến đổi Fourier của h(n) là H e( j), ta có :

 

 Về mối quan hệ giữa 2 tần số ω và ωa ta nhận xét :

- Đối với tín hiệu số : x(n) = Acosnω thì n đƣợc hiểu là số nguyên không đơn vị nên ω phải có đơn vị góc là radian, ω gọi là tần số số

11 Hình 2.1

- Đối với tín hiệu tương tự :x(t)= Acosωat, trong đó ωa là tần số góc ( rad/s), khi lấy mẫu đều ở các thời điểm t=nT ( với T là chu kỳ lấy mẫu ) thì ta được tín hiệu số :

x(n)= AcosωaT Vậy đối chiếu với tín hiệu số : x(n) = A cos(nω)

Ta có mối quan hệ : ω= ωaT

 Thiết kế xung bất biến có thể tóm tắt theo các bước sau :

- Cần đặt chỉ tiêu cho bộ lọc rời rạc bằng đặc tuyến tần số H e( j), và cần thiết lập chỉ tiêu tưng tự tương ứng với việc lựa chọn tần số lấy mẫu đúng

  hay là f

s≥2fa ) fs là tần số lấy mẫu, fa là tần số tín hiệu liên tục vào - Cần hàm truyền đạt tương tự Ha(s) thỏa mãn các chỉ tiêu tương tự đã đặt ra Trong nhiều trường hợp Ha(s) coi như được cho và chỉ cần thực hiện các bước sau :

+ Từ hàm Ha(s) với biến đổi ngược Laplace cần xác định hàm đáp ứng xung tương tự Ha(t)

+ Từ Ha(t) xác định dãy h(n) sau đó xác định ảnh H(z) có thể thực hiện bởi một chuẩn nào đó

Để khai thác hết hiệu quả của phương pháp đáp ứng xung bất biến , ta biểu diễn hàm truyền đạt của mạnh lọc tương tự H(s) dưới dạng khai triển thành các phân thức tối giản như sau :

 với Spk : là các điểm cực đơn của Ha(s)

Qua các phép biến đổi Laplace ngược, lấy mẫu với điều kiện hội tụ Spk<0 ta có hàm truyền đạt H(z) của bộ lọc số được chuyển tương đương theo phương pháp bất biến xung sẽ là :

( )

(1 pk s )

ks Tk

AH z

AH s

s s

 

( )

(1 pk s )

ks Tk

AH z

Hay các điểm cực Spk = δ +jω của Ha(s) lọc tương tự được chuyển thành các điểm cực

Ví dụ 1 : Hãy chuyển sang mạch số bằng phương pháp bất biến xung, biết

mạch điện tương tự cho như sau :

Giải:

13

1( )( )

H z

a zez

a  e

 Phương trình sai phân : y(n) + a1y(n-1) = b0x(n)  Sơ đồ thực hiện hệ thống :

2.1.2 Phương pháp biến đổi song tuyến

Biến đổi song tuyến tính là công cụ đắc lực nhất của thiết kế bộ lọc IIR Phép chiếu dùng trong biến đổi song tuyễn tính là phép chiếu dễ dùng nhất, chiếu

trục jωa trên mặt phẳng S lên đường tròn đơn vị trong mặt phẳng Z, chiếu nửa mặt phẳng trái bảo đảm ổn định của mặt phẳng S thành bên trong vòng tròn đơn vị bảo đảm ổn định của mặt phẳng Z, chiếu nửa mặt phẳng phải của mặt phẳng S thành bên ngoài của vòng tròn đơn vị của mặt phẳng Z.Phép biến đổi này cho phép ánh xạ các giá trị trên trục jωa lên vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng Z mà không bị chồng chập tần số như phép biến đổi xung bất biến

- Biến đổi song tuyến tính gắn các hàm truyền đạt tương tự Ha(s) và hàm truyền đạt số H(z) trên cơ sở tích phân các phương trình vi phân và tính tích phân gần đúng bằng phương pháp số

- Để xác định quan hệ, chúng ta bắt đầu từ phương trình vi phân bậc 1 có dạng :

( )

( ) ( ) ( )0

dy t

Y tdtY tdt

Nếu ta lấy tích phân trên đoạn ngắn, hoạc trong khoảng thời gian giữa mẫu tín hiệu kế tiếp nhau, luc đó với các biến : t = nT và t0 = (n-1)T ta có phương trình :

( )( )

D Tz

Y zH z

2 11

 ( 2.9)

Phép biến đổi này gọi là phép biến đổi song tuyến tính Quan hệ giữa các hàm truyền đạt Ha (s) với H(z) là :

11

( ) ( ) 2 11

H zH szs

U sH s

1( )

22(1 )

11(1 )

TTzKKH z



16 Với K= 2RC+Ts

<=>

( )1

bb zH z

a z



Với bo= 1 Tsb

 và 1 Ts 2RCa

=>Phương trình sai phân : y(n) + a1y(n-1) = b0x(n) + b1(n-1) Ta có sơ đồ thực hiện hệ thống :

2.1.3 Phương pháp tương đương vi phân

Một trong những phương pháp đơn giản nhất để biến đổi bộ lọc tương tự sang bộ lọc số là lấy gần đúng phương trình vi phân bằng một phương trình sai phân tương đương Phép gần đúng này thường được dùng để giải phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng nhờ máy tính

Đối với đạo hàm dy(t)/dt tại t = nT ta thay bằng phép sai phân lùi [y( nT) - y(nT - 1)]/T, như vậy:

1 z

sT

17 ( ) a( ) 11

Khi  biến thiên từ - ∞ đến ∞ quỹ tích tương ứng của các điểm trong mặt

phẳng z là một đường tròn bán kính ½ và có tâm tại z = ½ như minh họa

Hình 2.3 : Ánh xạ s = 1 - z-1

/T biến LHP trong mặt phẳng s thành các điểm nằm bên

trong đường tròn bán kình ½ và tâm ½ trong mặt phẳng z

2.2 TỔNG HỢP CÁC BỘ LỌC TƯƠNG TỰ THÔNG THẤP 2.2.1 Bộ lọc tương tự Butterworth:

Đây là mạch lọc thông thấp có đáp ứng biên độ H a thỏa mãn đồ thị mạch lọc :

18 Hình: 2.4 Nhận xét:

- Bậc của bộ lọc n càng tăng thì càng gần với bộ lọc lý tưởng

  

Điểm cực dưới được xác định bởi:  2   2

1 spkn    0 1 1nspkn 0- Nếu n chẵn 2n

   

 Với k = 1,2,3…2n

19

Để bảo đảm hệ thống là ổn định thì các điểm cực của Ha s phải nằm bên

trái trục ảo Vậy trong các điểm cực của Ha s Ha s ta sẽ chọn ra các điểm cực nằm bên trái trục ảo để làm cực của Ha s đối với bộ lọc ổn định

H0 1 1 222 1

   

 Với k = 1,2,3…n - Theo tần số không chuẩn hóa H0 acn

   

 Với k = 1,2,3…n

Hình: 2.5

 Gọi  là độ suy giảm của đặc tuyến mạch lọc tại tần số: as



20

   thì   40dB0,01

Vậy bậc của bộ lọc  4 

log 10 1

6,642log 2

  

Với: ac 2 fac 2 500 1000  



1 21214

    

 k = 1,2…….7

2.2.2 Bộ lọc Chebyshev

Đối với bộ lọc này ta có hai loại:

- Loại 1: đáp ứng biên độ gợn sóng ở dải thông , giảm đơn điệu ở dải chắn - Loại 2: đáp ứng biên độ giảm đơn điệu ở dải thông, gợn sóng ở dải chắn Trước hết ta xét đa thức Chebyshev

Theo định nghĩa:  coscos

Ta có các hệ thức: Tn1 x Tn1 x 2xTn x 

Vậy n = 0 T0 x cos0 1

21 n = 1 T1 x cosx

Với n: bậc của đa thức Chebyshev chính là bậc của bộ lọc

 : là 1 tham số xác định biên độ gợn sóng ở dải thông Về mặt toán học hàm Tn a đƣợc định nghĩa:

Tại tần số a=1,Tn 11 từ đó ta có hình vẽ trình bày đáp ứng tần số Ha a

Theo anhƣ sau:

Nếu gọi1 là độ gợn sóng dải thông ta có:

22 Hình 2.6

- Bộ lọc tương tự Chebysher loại 1 ở tần số không chuẩn hóa:

Ở dải chắn ta có a as( chưa chuẩn hóa)

 nghĩa là as a Vậy Tn asa

 dao động trong dải chắn

Vậy 2 còn gọi là biên độ tối đa của gơn sóng ở dải chắn

 Trong dải thông a as hay

 thì Tn asa

 tăng đơn điệu

khi a giảm dần về 0 tại

Ở đây aslà tần số đã đƣợc chuẩn hóa so với ac là tần số cắt của bộ lọc