Thiết kế và Mô phỏng Bộ lọc IIR bằng Phương pháp Biến đổi Song tuyến tính trong MATLAB

Phương pháp biến đổi song tuyến

Biến đổi song tuyến tính là công cụ đắc lực nhất của thiết kế bộ lọc IIR. Phép chiếu dùng trong biến đổi song tuyễn tính là phép chiếu dễ dùng nhất, chiếu trục jωa trên mặt phẳng S lên đường tròn đơn vị trong mặt phẳng Z, chiếu nửa mặt phẳng trái bảo đảm ổn định của mặt phẳng S thành bên trong vòng tròn đơn vị bảo đảm ổn định của mặt phẳng Z, chiếu nửa mặt phẳng phải của mặt phẳng S thành bên ngoài của vòng tròn đơn vị của mặt phẳng Z.Phép biến đổi này cho phép ánh xạ các giá trị trên trục jωa lên vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng Z mà không bị chồng chập tần số nhƣ phép biến đổi xung bất biến. - Biến đổi song tuyến tính gắn các hàm truyền đạt tương tự Ha(s) và hàm truyền đạt số H(z) trên cơ sở tích phân các phương trình vi phân và tính tích phân gần đúng bằng phương pháp số.

Bộ lọc tương tự Elip (Cauer)

Ở đây UN   x là hàm Elip Jacobian bậc N, nó được Zverev tính theo phương pháp lập bảng năm 1967 và  là tham số liên quan tới độ gợn sóng dải thông. Việc tổng hợp đạt đƣợc hiệu quả nhất nếu trải đều sai số gần đúng toàn bộ dải thông và dải chắn. Bộ lọc Elip đạt đƣợc tiêu chuẩn này và vì thế là bộ lọc tối ƣu nhất xét theo cấp nhỏ nhất với chỉ tiêu đặt ra.

Nói khác đi, với một tập chỉ tiêu, bộ lọc Elip có độ rộng băng chuyển tiếp nhỏ nhất. Cấp bộ lọc cần thiết để đạt tập chỉ tiêu đặt ra theo độ gợn sóng dải thông 1, gợn sóng dải chắn2, tỷ số chuyển tiếp. Ở đây K x  là tích phân Elip đầy đủ loại một và đƣợc tính theo công thức.

Theo tiêu chuẩn, bộ lọc Elip là tối ƣu, tuy nhiên xét trên thực tế bộ lọc Butterworth hay Chebyshev trong một số ứng dụng sẽ có đặc tuyến đáp ứng pha tốt hơn. Trong dải thông, đáp ứng pha của bộ lọc Elip không tuyến tính bằng bộ lọc Butterworth hay Chebyshev.

THIẾT KẾ VÀ MÔ PHỎNG BỘ LỌC SỐ IIR BẰNG CÔNG CỤ SPTOOL

- Giao diện của SPTool có 3 cột bao gồm tập hợp các tín hiệu, bộ lọc và phổ mặc định tương ứng với : Signals, Filters và Spectra. - Các tín hiệu, bộ lọc hoặc phổ của Matlab có thể đƣợc đƣợc đƣa vào SPTool bằng lệnh Import trong menu File của SPTool. Các tín hiệu, bộ lọc hoặc phổ đƣợc import vào SPTool tồn tại dưới dạng cấu trúc của MatLab.

Để lưu lại tín hiệu, bộ lọc và phổ đã đƣợc tạo hoặc chỉnh sửa trong SPTool ta dùng lệnh Export trong menu File. Khi đó giao diện Filter Designer dùng để thiết kế bộ lọc sẽ xuất hiện. - Filter Designer cung cấp một môi trường đồ họa tương tác để thiết kế bộ lọc số IIR hoặc FIR dựa trên các thông số do người dùng lựa chọn.

+ Các loại bộ lọc có thể thiết kế: thông thấp, thông cao, thông dải, chắn dải. - Response Type: Lựa chọn kiểu bộ lọc thông thấp, thông cao, thông dải, chắn dải.

Thiết kế những bộ lọc bổ sung

- Trong Frequency Specifications: ta điền các thông số về tần số của bộ lọc nhƣ đơn vị của tần số Units; tần số lấy mẫu Fs; Tần số cắt 1 Fc1; tần số cắt 2 Fc2. - Click vào button Design Filter, sẽ hiển thị đáp ứng biên độ (dB) của mạch loc. Cho mỗi thông số ở mỗi hàng, thiết lập những thông số đó bằng cách thay đổi giá trị của Fc1 và Fc2.

- Ứng với mỗi thông số trên một hàng của bảng T2.1, thực hiện Design Filter và save chúng với Store Filter.

THIẾT KẾ VÀ MÔ PHỎNG BỘ LỌC SỐ IIR BẰNG SPTOOL 1 Bài toán

- Trong cửa sổ Filters chọn New, Matlab sẽ chuyển đến cửa sổ Filter Design & Analysis Tool. - Click vào File\Generate M-File, chọn đường dẫn để lưu file dưới dạng mã code có tên là LowpassButterworth.m. - Trong cửa sổ Filters của công cụ SPTool chọn New, Matlab sẽ chuyển đến cửa sổ Filter Design & Analysis Tool.

Đánh giá các bộ lọc

- Đối với bộ lọc tương tự Butterworth, đáp ứng biên độ giảm đơn điệu cả ở dải thông và dải chắn.Chính vì vậy gần đúng Butterworth không cho ta kết quả tốt,. Để giảm bậc của bộ lọc tương tự,chúng ta sử dụng gần đúng Chebyshev (cho kết quả tốt hơn). - Bộ lọc Chebyshev 1 là các bộ lọc toàn cực có tính chất gợn sóng đều ở dải thông và tính đơn điệu ở dải chặn.

- Bộ lọc Chebyshev 2 là các bộ lọc chứa cả cực và zero,có tính đơn điệu ở dải thông và tính gợn sóng đều ở dải chặn. Các điểm không của bộ lọc Chebyshev loại 2 nằm trên trục ảo trong mặt phẳng s. Đáp ứng pha tuyến tính hơn trong dải thông so với bộ lọc Chebyshev loại 1.Nếu so sánh bộ lọc Butterworth với bộ lọc Chebyshev có cùng số cực, cùng dải thông và dải chặn thì bộ lọc Chebyshev có dải quá độ hẹp hơn.

+ Có tính gợn sóng ở cả dải thông cũng nhƣ dải chặn ; có các đặc trƣng đáp ứng biên độ tương tự như các bộ lọc FIR cân bằng gợn sóng. + Vì vậy các bộ lọc elliptic là các bộ lọc tối ƣu trong đó đạt đƣợc bậc tối thiểu N đối với các chỉ tiêu đã cho. + Vì rất khó để phân tích và thiết kế nên không thể dùng các công cụ đơn giản mà thường phải sử dụng các chương trình hoặc bảng để thiết kế.

Bộ lọc Elliptic cho tính năng tối ưu về đáp ứng bình phương biên độ nhưng lại có đáp ứng pha phi tuyến hơn trong dải thông.