Trường THPT Lương Thế Vinh BÀI TẬP HÀNG TUẦN NĂM HỌC 2020-2021 HƯỚNG TỚI OLYMPIC TOÁN THÁNG Bài Gọi S tập tất số tự nhiên có tám chữ số đơi khác Chọn ngẫu nhiên số tập S Hỏi có số chia hết cho 45 S Lời giải bạn Trần Tôn Thành lớp 11A1 Gọi số tự nhiên có chữ số cần tìm abcdefgh Một số chia hết cho 45 số chia hết cho chia hết cho Ta có + + + + = 45 chia hết để tạo số có chữ số đơi khác ta lấy chữ số 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 mà tổng chữ số chia hết cho Suy phải bỏ hai chữ số có tổng Tức bỏ 0;9 , 1;8 , 2;7 , 3;6 , 4;5 Mặt khác số cần tìm chia hết phải chứa TH1 Chỉ chứa hai số - Loại 0;9 Chữ số cuối nên có 7! = 5040 số - Loại 4;5 Chữ số cuối nên có 7! = 5040 số TH2 Có hai 0;9 4;5 Trong TH ta loại ba 1;8 , 2;7 , 3;6 Chẳng hạn loại 1;8 ta lập 7! + 6.6! = 9360 Vậy TH có 3.9360 = 28080 Vậy hai TH có 28080 + 2.5040 = 38160 Lời giải bạn Nguyễn Hữu Bảo lớp 11A1 Gọi số tự nhiên có chữ số chia hết cho 45 cần tìm abcdefgh BÀI TẬP TUẦN Trường THPT Lương Thế Vinh BÀI TẬP HÀNG TUẦN NĂM HỌC 2020-2021 abcdefgh Suy abcdefgh TH1: h = • Có cách chọn h • ( a + b + c + d + e + f ) g = có cách chọn g • (a + b + c + d + e + f ) chia dư Suy g =8: có cách chọn g • … Suy có 19 = cách chọn g Vậy có A86 cách chọn a, b, c, d, e, f Vậy có 1.A86 19 = 20160 số thỏa u cầu tốn TH2: h = • Có cách chọn h ➢ TH2.1: Chữ số chữ số không xuất ( + ++ = 36 ) o Có ! cách chọn a, b, c, d, e, f, g ➢ TH2.2: Chữ số chữ số có xuất abcdefg Suy 42 a + b + c + d + e + f + g + 30 Mà ( a + b + c + d + e + f + g + ) a + b + c + d + e + f + g + = 36 a + b + c + d + e + f + g = 31 Giả sử f, g chọn để đặt 0, a + b + c + d + e = 22 Khi a, b, c, d, e thuộc 1; 3; 4; 6; 8 , 1; 2; 4; 7; 8 , 2; 3; 4; 6; 7 Số cách chọn a: cách ( a ) BÀI TẬP TUẦN Trường THPT Lương Thế Vinh BÀI TẬP HÀNG TUẦN NĂM HỌC 2020-2021 Số cách chọn b,c, d, e, f, g: 6! Số cách chọn TH2.2 6.6!.3 Vậy có 20160 + 7!+ 6.6!.3 = 38160 số thỏa u cầu tốn Bình luận Ngồi lời giải trên, bạn Điêu Vũ Hùng, bạn Đỗ Hồng Phúc lớp 11A1 đưa lời giải tương tự Bài Có số tự nhiên có chữ số cho số có chữ số xuất hai lần, chữ số lại xuất không lần Lời giải bạn Nguyễn Hữu Bảo lớp 11A1 Gọi abcd số cần tìm TH1 ab , ac , ad giống khác 00 ( ví dụ a=b, a=c a=d) có cách chọn khác 00 Hai số cịn lại có 9.8 cách Vậy có 3.9.9.8 số thỏa TH1 TH2 cd , bc , bd giống khác 00: có cách chọn khác 00 a có cách chọn khác Có cách chọn cho số cịn lại ( c=d số cịn lại b) Có 3.9.8.8 số thỏa TH2 TH3 bc , bd , cd giống giống 00: Phân tích tương tự Có 9.1.8.3 thỏa TH3 Vậy có 9.9.8.3+9.8.8.3+9.1.8.3=3888 số thỏa yêu cầu toán Lời giải bạn Phạm Tiến Khoa lớp 11A2 – Điêu Vũ Hùng lớp 11A1 • TH1: Chữ số xuất lần Có C32 cách chọn vị trí cho chữ số Có A92 cách xếp chữ số chữ số vào vị trí cịn lại BÀI TẬP TUẦN 3 Trường THPT Lương Thế Vinh BÀI TẬP HÀNG TUẦN NĂM HỌC 2020-2021 Vậy có C32 A92 số có chữ số thỏa mãn trường hợp • TH2: Chữ số a (khác 0) xuất lần a vị trí (vị trí hàng nghìn) Có cách chọn a Có cách chọn thêm vị trí cho a Có A92 cách xếp chữ số chữ số vào vị trí cịn lại Vậy có 9.3.A92 số có chữ số thỏa mãn trường hợp • TH3: Chữ số a (khác 0) xuất lần a khơng xuất vị trí hàng nghìn Có cách chọn a Có C32 cách chọn vị trí cho chữ số a Có cách chọn chữ số (khác khác a) vào vị trí hàng nghìn Có cách chọn chữ số vào vị trí cịn lại Vậy có 9.8.8.C32 số có chữ số thỏa mãn trường hợp Vậy có C32 A92 + 9.3 A92 + 9.8.8.C32 = 3888 số thỏa mãn đề Lời giải bạn Đỗ Hồng Phúc lớp 11A1 • TH1 Chữ số lặp Có C32 cách chọn vị trí chữ số lặp Có A92 cách chọn chữ số lại từ số Vậy có C32 A92 = 216 số thỏa TH1 • TH2 Chữ số lặp khơng phải Có C91 cách chọn chữ số lặp Có C41 cách chọn vị trí lặp Có A92 cách chọn chữ số cịn lại từ số Suy có C91 C42 A92 − C91 C32 A82 = 3672 số ( ta loại trường hợp có chữ số đứng đầu) Vậy có tổng cộng 3888 số thỏa yêu cầu toán BÀI TẬP TUẦN ... tương tự Có 9.1.8 .3 thỏa TH3 Vậy có 9.9.8 .3+ 9.8.8 .3+ 9.1.8 .3= 3888 số thỏa yêu cầu to? ?n Lời giải bạn Phạm Tiến Khoa lớp 11A2 – Điêu Vũ Hùng lớp 11A1 • TH1: Chữ số xuất lần Có C32 cách chọn vị trí... cịn lại Vậy có 9.8.8.C32 số có chữ số thỏa mãn trường hợp Vậy có C32 A92 + 9 .3 A92 + 9.8.8.C32 = 38 88 số thỏa mãn đề Lời giải bạn Đỗ Hồng Phúc lớp 11A1 • TH1 Chữ số lặp Có C32 cách chọn vị trí... e + f + g = 31 Giả sử f, g chọn để đặt 0, a + b + c + d + e = 22 Khi a, b, c, d, e thuộc 1; 3; 4; 6; 8 , 1; 2; 4; 7; 8 , 2; 3; 4; 6; 7 Số cách chọn a: cách ( a ) BÀI TẬP TUẦN Trường