Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi

Mục tiêu của sáng kiến kinh nghiệm này nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp, cung cấp cho các em học sinh, đặc biệt là các em học sinh giỏi toán và yêu thích toán có thêm một tài liệu tham khảo về giới hạn của dãy số, và những kĩ thuật để tính giới hạn của các dãy cho bởi hệ thức truy hồi.

WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy  hồi PHẦN MỞ ĐẦU Bài tốn tìm giới hạn của một dãy cho bởi hệ thức truy hồi là một  dạng bài tốn khó, địi hỏi nhiều kĩ thuật. Bài tốn này thường xuất hiện  trong các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, đề thi Olympic 30 tháng 4, đề thi  quốc gia và quốc tế. Trong q trình giảng dạy chương trình tốn lớp 11  nâng cao và bồi dưỡng học sinh giỏi, tơi đã tìm tịi đúc kết và rút ra được  một số kĩ thuật tìm giới hạn của các bài tốn dạng này Hiện nay, các tài liệu chun sâu về  chun đề  giới hạn của dãy số  cũng cịn rất hạn chế; với mong muốn nâng cao chất lượng giảng dạy bồi   dưỡng học sinh giỏi các cấp, cung cấp cho các em học sinh, đặc biệt là các  em học sinh giỏi tốn và u thích tốn có thêm một tài liệu tham khảo về  giới hạn của dãy số, và những kĩ thuật để tính giới hạn của các dãy cho bởi  hệ thức truy hồi, tơi nghiên cứu và viết đề tài:  “Một số kĩ thuật tính giới   hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi”.  Xin chân thành cảm ơn! Quảng Ngãi tháng 05 năm 2011 Người thực hiện đề tài Huỳnh Đoàn Thuần  GV: Huỳnh Đoàn Thuần Trang 1 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy  hồi PHẦN NỘI DUNG Trong sách giáo khoa ĐS và GT 11 nâng cao (NXBGD 2007 do Đồn  Quỳnh chủ biên) trang 135, bài tập 7 ngun văn như sau: u1 = 10  “Cho dãy số (un) xác định như sau:  un+1 = un + 3, ∀n a) Chứng minh rằng(CMR) dãy số (vn) xác định bởi  = un − 15  là một cấp  số nhân b) Tính limun” Qua phân tích và giải quyết bài tốn trên, tơi nhận thấy: ­ Nếu như đề bài khơng cho câu a) mà chỉ u cầu tìm limun thì bài tốn trở  nên rất khó và lạ đối với học sinh. Đây là bài tốn tìm giới hạn của một dãy  cho bởi hệ thức truy hồi ­ Việc đề bài u câu thêm câu a) là để có thể xác định cơng thức tổng qt  (CTTQ) của dãy (un) nhờ vào việc tìm CTTQ của một cấp số nhân, từ đó áp  dụng các định lí về giới hạn để tính limun ­ Khai thác bài tốn trên, tơi xây dựng thành một kĩ thuật để tính giới hạn  của dãy truy hồi đó là: “ Kĩ thuật tính giới hạn của dãy truy hồi bằng cách  xác định CTTQ của dãy” Ngồi ra, trong q trình tìm tịi, nghiên cứu, giảng dạy và bồi dưỡng  học sinh giỏi, tơi đã tổng hợp và đúc kết thành một số kĩ thuật để tính giới  hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi. Trong khn khổ của đề tài này, tơi   GV: Huỳnh Đồn Thuần Trang 2 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy  hồi sẽ trình 3 kĩ thuật cơ bản để tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi  sau đây: Kĩ thuật 1: Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách  xác định CTTQ của dãy Kĩ thuật 2: Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách  sử dụng phương pháp đánh giá và ngun lí kẹp Kĩ thuật 3: Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách  sử dụng tính đơn điệu và bị chặn của dãy I/ Kĩ thuật 1: Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi  bằng cách xác định CTTQ của dãy Phương pháp xác định CTTQ của một dãy số cho bởi hệ thức truy hồi  khá phong phú và đa dạng, trong phạm vi bài viết này tơi chỉ trình bày kĩ  thuật tìm CTTQ của dãy chủ yếu sử dụng phương pháp đổi biến để đưa  dãy đã cho về cấp số cộng(CSC) hoặc cấp số nhân(CSN) hoặc tổng hiệu  của các cấp số cộng, và cấp số nhân. Quay lại bài tập 7 trang 135 sách giáo  khoa ĐS và GT 11 NC u1 = 10 Ví dụ 1: “Cho dãy số (un) xác định như sau:  a) CMR dãy số (vn) xác định bởi  = un − un+1 = un + 3, ∀n 15  là một cấp số nhân b) Tính limun”  GV: Huỳnh Đồn Thuần Trang 3 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy  hồi Giải:   a) Ta có (vn) là CSN  � vn+1 = q.vn (= const ), q �0, ∀n �1  Thật vậy, ta có vn+1 = un+1 − 15 15 15 = un + − = (vn + ) − =   Nên (vn) là một CSN  5 4 n −1 n −3 25 25 �1 � �1 � có cơng bội  q =  và v1  =  Do đó  = v1.q n−1 = � � = � � 4 �5 � �5 � n −3 15 15 �1 � 15 b) Từ câu a) suy ra  un = + = � � +  Do đó  lim un = 4 �5 � Nhận xét:  1/ Vì sao lại nghĩ ra được phép đổi biến  = un − 15  để dãy (vn) là một  1 CSN? Ta thấy  un+1 = un + , ta cần tìm số b sao cho  un+1 − b = (un − b) 5 1 15 � un+1 = b − b + un = un + � b = 5 Do vậy, nếu đặt  = un − 15  thì  vn+1 = , ∀n  nên (vn) là một CSN 2/ Ngồi ra, có thể đặt  = 5n.un , ∀n , khi đó ta có  vn+1 − = 3.5n+1 , ∀n   n −3 15 n 15 5n − 35 �1 � 15 Suy ra  = (5 − 1) + 35 � un = n = n + n = � � + 5 �5 � Ví dụ 2: (Bài 4.37 trang 139 sách bài tập ĐS và GT11 NC NXBGD 2007) Cho dãy số (un) xác định bởi  u1 = 2un+1 = un + 1, ∀n Đặt Sn = u1 + u2 +… +un ,  n  GV: Huỳnh Đồn Thuần Trang 4 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy  hồi a) CMR dãy số (vn) với vn = un – 1 ,  n  là một CSN lùi vơ hạn b) Tính limSn Giải: 1 1 a) Ta có  vn+1 = un+1 − = un + − = (un − 1) = , ∀n 2 2 Suy ra dãy số (vn) là một CSN lùi vô hạn với công bội q =   Nên n−2 �1 � = � � �2 � n−2 �1 � b) Từ câu a) suy ra  un = + = � � + 1, ∀n �2 � n n−2 n �1 � Suy ra  Sn = �uk = �( ) k −2 + n = + n − � �   �2 � k =1 k =1 n− � �1 � � 4+n­ � � �= + Vậy  limSn =lim � � �2 � � Nhận xét: Có thể tìm CTTQ của dãy (un) bằng phép đổi biến = 2n.un , ∀n   1 Ta có  vn+1 = 2n+1.un+1 = 2n +1 ( un + ) = + n , ∀n �� vn+1 − = 2n , ∀n �1 2 Do đó  = − vn−1 + vn−1 − vn−2 + + v2 − v1 + v1 = 2n−1 + 2n−2 + + + n −2 Hay  = 2(2 n −1 �1 � − 1) + = + � un = + � � �2 �  GV: Huỳnh Đồn Thuần n Trang 5 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy  hồi Ví dụ 3: (Bài 4.73 trang 148 sách bài tập ĐS và GT 11NC, NXBGD 2007) u1 = Cho dãy số (un) xác định bởi  a) CMR  un un+1 = un − , ∀n un + −4, ∀n b) CMR dãy (vn) với  = un +  là một CSN. Tính limun un + Giải:  a) Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp  un −4, ∀n Khi n = 1 ta có  u1 = −4 Giả sử  uk −4, ∀k , ta chứng minh  uk +1 lại  uk +1 = −4 , khi đó  −4  Thật vậy, giả sử ngược  uk − = −4 � uk − = −4uk − 24 � uk = −4 , trái với giả  uk + thiết quy nạp. Vậy  un −4, ∀n b) Từ câu a) suy ra vn luôn xác định với mọi  ∀n un − +1 un+1 + un + 2(un + 1) = = = , ∀n  Vậy (vn) là 1 CSN lùi  Ta có  vn+1 = un+1 + un − + 5(un + 4) un + n �2 � vô hạn với công bội q =   Suy ra  = � �  �5 � n n �2 � �2 � 4.� �− 4.� �− �5 � lim un = lim � � n = −1 Nên  un = n  Do đó  �2 � �2 � 1− � � 1− � � �5 � �5 �  GV: Huỳnh Đồn Thuần Trang 6 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy  hồi u1 = Ví dụ 4: Cho dãy số (un) xác định bởi  un+1 = un + , ∀n n(n + 1) Tính limun Giải:  Ta có  un +1 − un = 1 = − � un = un − un −1 + un −1 − un − + + u2 − u1 + u1 n(n + 1) n n +                                       � un = 1 1 1 − + − + + − + = − n −1 n n − n −1 n n Do đó limun = lim (2 − ) = u1 = Ví dụ 5: Cho dãy số (un) xác định bởi   Tính limun  �1 � un+1 = un + � � , ∀n �2 � n n �2 � � Giải: Ta có  un +1 − un = � � �� un = un − un−1 + un −1 − un − + + u2 − u1 + u1 n −1 − ( )n �1 � �1 � �1 � �1 � = 2−� �                         � un = � � + � � + + � �+ = �2 � �2 � �2 � �2 � 1− n −1 n−2 n−1 � �1 � � − Do đó limun = lim � � � �= � �2 � � Như vậy, nếu xác định được CTTQ của dãy số thì bài tốn trở nên  quen thuộc và ta có thể tính được giới hạn của dãy đó một cách dễ dàng  dựa vào các định lí về giới hạn đã được học trong chương trình của sách  giáo khoa. Sau đây là một số bài tập tương tự  GV: Huỳnh Đồn Thuần Trang 7 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy  hồi * Bài tập tham khảo: u1 = −5 1/ Cho dãy số (un) xác định bởi  Tính limun un+1 = un + 6, ∀n                                   ĐS: limSn = ­18 2/ Cho dãy số (un) xác định bởi                                    ĐS: lim u1 = un+1 = 4un − 1, ∀n Tính lim un 22 n un = 22 n u1.u2 un + 3/ Cho dãy số (un) xác định bởi  un = 124+ 4422+ n 4 43  .Tính lim ndaucan                (Đề thi HSG cấp tỉnh tỉnh Quảng Ngãi năm 2001 – 2002) HD: Tìm được CTTQ của dãy (un) là  un = cos u u u π , ∀n  và lim n n = n +1 2 π n + 4/ Cho dãy số (un) xác định bởi  un = 124− 4422+ 4 43  .Tính limun ndaucan      HD: Từ bài 3 suy ra  un = 2n − cos  GV: Huỳnh Đoàn Thuần π π = n +1.sin n +1  Do đó limun =  π n 2 Trang 8 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy  hồi II/ Kĩ thuật 2: Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi  bằng cách sử dụng nguyên lý kẹp *Cơ sở lí thuyết: Cho 3 dãy số (un), (vn), (wn) thõa mãn các điều kiện  v n un w n , ∀n  và  limv n =lmw n = a , khi đó limun = a. (Ngun lí kẹp) Kết hợp với việc sử dụng các bất đẳng thức để đánh giá và sử dụng  ngun lí kẹp, ta có thể tính được giới hạn của một số dãy số cho bởi hệ  thức truy hồi. Sau đây là một số ví dụ Ví dụ 1: (Bài 4.4 sách bài tập ĐS và GT11 NC, trang 133  NXBGD2007) u1 = Cho dãy số (un) xác định bởi  un+1 = un + , ∀n a) CMR:  un un +1 b) CMR:  u n un , ∀n , ∀n  Tính limun Giải:  a) Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh được  un , ∀n  Ta CM  un Với n = 1 thì u1 =  đúng. Giả sử  uk vậy, ta có  uk � uk  GV: Huỳnh Đoàn Thuần uk  và  uk 4 , ∀k , ta chứng minh  uk +1 3 =  Do đó  4 16 Trang 9 WWW.ToanCapBa.Net , ∀n    Thật  WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy  hồi 1 3 uk +1 uk + uk = uk < 4 16 Vậy   un , ∀n u 1 n +1 b) Từ câu a) suy ra  u = un + + = , ∀n n Do đó ta có  < un = n −1 un un −1 u u1 un −1 un − u1 3 �3 � .u1 = � � , ∀n 4 4 �4 � n −1 3� Mà lim � � � =0, nên theo ngun lí kẹp thì limun = 0 �4 � Nhận xét: Với ví dụ này, việc xác định CTTQ của dãy (un) như trong kĩ  thuật 1 đã trình bày gặp nhiều khó khăn, nhưng nếu sử dụng bất đẳng thức  để đánh giá và ngun lí kẹp thì bài tốn được giải quyết rất đơn giản Ví dụ 2: (Bài 4.5 sách bài tập ĐS và GT11 NC, trang 134  NXBGD2007) u1 = Cho dãy số (un) xác định bởi  un+1 = un +1 a) CMR:  un > và  u n un , ∀n n +1 , ∀n b) Tính limun Giải: Nhận xét: Việc xác định CTTQ của dãy (un) rất khó khăn, nhưng từ hệ  un +1 thức truy hồi ta thấy có thể đánh giá tỉ số  u  dễ dàng n  GV: Huỳnh Đồn Thuần Trang 10 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy  hồi Bài 3: Cho dãy số (un) xác định bởi  a) CMR 1 − u0 = uk +1 = uk + uk , ∀k = 0, n − n < un < n b) Tính lim un          (Đề thi HSG cấp tỉnh lớp 12 tỉnh Quảng Ngãi năm học 2006 – 2007)  GV: Huỳnh Đồn Thuần Trang 14 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy  hồi III/ Kĩ thuật 3: Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng  cách sử dụng tính đơn điệu và bị chặn * Cơ sở lí thuyết: ­ Trong sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 nâng cao, trang 154 có  nêu định lí 4 như sau: “ a) Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn   b) Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn hữu hạn” ­ Nếu dãy số ( un ) thõa mãn điều kiện  un lim un  thì  lim un M , ∀n  và tồn tại giới hạn  M ; nếu dãy số ( un ) thõa mãn điều kiện  un tại giới hạn  lim un  thì  lim un m, ∀n  và tồn  m un = lim un+1 ­ Giả sử dãy số ( un ) có giới hạn hữu hạn thì  nlim + n + Áp dụng các tính chất trên, ta có thể tính được giới hạn của các dãy  cho bởi hệ thức truy hồi. Dạng bài tập này khá phổ biến trong các đề thi  HSG cấp tỉnh, các đề thi Olympic 30/4, các đề thi HSG cấp Quốc gia và  Quốc tế. Phương pháp này tỏ ra rất hiệu quả khi giải quyết các bài tốn  tìm giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi. Sau đây ta xét một số ví  dụ minh họa Ví dụ 1: Cho dãy số ( un ) xác định bởi  u1 = un+1 = + un , ∀n  Tính lim un Giải: Trước hết ta sẽ chứng minh dãy số ( un ) tăng và bị chặn trên  GV: Huỳnh Đồn Thuần Trang 15 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy  hồi Chứng minh dãy ( un ) tăng bằng quy nạp, tức là  un+1 > un , ∀n Khi n = 1 ta có  u2 = + u1 = + > = u1 Giả sử  uk +1 > uk , khi đó  uk + = + uk +1 > + uk = uk +1  Vậy  un+1 > un , ∀n Nên ( un ) bị chặn dưới bởi   Ta sẽ chứng minh dãy ( un ) bị chặn trên bởi  2 bằng quy nạp, thật vậy Khi n = 1 ta có  u1 = < Giả sử  uk < 2, ∀k , khi đó  uk +1 = + uk < + =   Vậy dãy số (un) bị chặn trên bởi 2. Do đó dãy số (un) có giới hạn hữu hạn,  giả sử limun = a, thì  a Từ hệ thức truy hồi, lấy giới hạn hai vế ta có  lim un+1 = lim + un Hay  a = + a � a = a + � Vì  a a = −1 a=2  nên a = 2. Vậy  lim un = Nhận xét: Với ví dụ này, ta có thể tìm được CTTQ của dãy (un) là  un = 2cos π , ∀n , tuy nhiên việc xác định CTTQ của (un) khơng phải là  2n+1 đơn giản và mất nhiều thời gian. Với kĩ thuật tính giới hạn như bài giải  trên, bài tốn được giải quyết gọn nhẹ Ví dụ 2: Cho dãy số ( un ) xác định bởi   GV: Huỳnh Đoàn Thuần u1 = u2 = un+1 = un + un−1 , ∀n Trang 16 WWW.ToanCapBa.Net  Tính lim un WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy  hồi Giải: Nhận xét: Ta thấy  u1 = u2 = ,  u3 = + = > u2 ; u4 = u3 + u2 = + > u3  Dự đoán dãy số (un) là dãy dương và tăng.  Ta chứng minh bằng quy nạp, tức là  un+1 > un , ∀n Rõ ràng  un > 0, ∀n 1. Khi n = 2 ta có  u3 = > u2 = Giả sử  uk +1 > uk , ∀k  Ta có  uk + = uk +1 + uk > uk + uk −1 = uk +1 , ∀k un= u1 1, n Nên dãy (un) là dãy số dương tăng  �∀ Hơn nữa, ta thấy  ∀n 3, un = un−1 + un−2 < un + un = un Hay  un < 4un � un < 4( un > 0)  Nên (un) bị chặn trên bởi 4 Do đó dãy số (un) có giới hạn hữu hạn. Giả sử limun = a, khi đó  a Từ hệ thức truy hồi suy ra  lim un+1 = lim un + lim un−1 Hay  a = a + a � a = 4a  Do  a > 0 nên a = 4 Vậy  lim un = u1 = 2010 Ví dụ 3: Cho dãy số ( un ) xác định bởi  un − 2un un+1 + 2011 = , ∀n Chứng minh rằng dãy (un) có giới hạn và tính giới hạn đó           (Đề thi HSG cấp tỉnh khối 12 tỉnh Quảng Ngãi năm học 2010 – 2011) Giải: Trước hết ta nhận xét rằng  un > 0, với mọi n,  Thật vậy, ta có u1 = 2010 >0. Giả  sử  uk > 0, ∀k , ta chứng minh  uk +1 > uk + 2011 >0 Từ hệ thức truy hồi suy ra  2uk uk +1 = uk + 2011 > � uk +1 = 2uk  GV: Huỳnh Đồn Thuần Trang 17 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy  hồi un + 2011 2011 = (un + )  Theo bất đẳng thức Cosi, ta có  Do đó ta có  un+1 = 2un un un + 2011 un+1 = 2un un 2011 = 2011, ∀n un un+1 un + 2011 2011 = = + Mặt khác ta có  un 2un 2 2un �∀� n (vì  un = 2011, 2011 2un 2011 2.2011 1 + =1 2 ) Nên (un) là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi  2011 , do đó dãy (un) có giới  hạn hữu hạn. Giả sử limun = a, khi đó  < a 2010 un + 2011 un + 2011 a + 2011 � lim un+1 = lim �a = Và ta có  un+1 = 2un 2un 2a � a = 2011 � a = 2011  Vậy  lim un = 2011 Ví dụ 4: Cho dãy số ( un ) xác định bởi  Tính lim u1 = 30 un+1 = 30un + 3un + 2011, ∀n un+1   un        ( Đề thi HSG cấp tỉnh  khối 11 tỉnh Quảng Bình năm 2010 – 2011) Giải: Nhận xét rằng  un > 0, ∀n  ( kiểm tra bằng chứng minh quy nạp) Hơn nữa, ta có  un+1 = 30un + 3un + 2011 > 30un > un = un , ∀n Nên dãy số ( un ) là dãy tăng. Giả sử dãy ( un ) bị chặn trên, khi đó ( un ) có  giới hạn hữu hạn và ta đặt lim un  = a ( a > 0)   GV: Huỳnh Đồn Thuần Trang 18 WWW.ToanCapBa.Net   WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy  hồi Ta có  lim un+1 = lim 30un + 3un + 2011 � a = 30a + 3a + 2011 � a = 30a + 3a + 2011 � 29a + 3a + 2011 =  Phương trình này vơ  nghiệm nên dẫn đến mâu thuẫn. Vậy dãy (un) khơng bị chặn hay lim un = +   un+1 30un + 3un + 2011 2011 Mặt khác  = = 30 + + un un un un Do đó  lim un+1 2011 = 30 + lim + lim = 30 un un un u1 = Ví dụ 5:Cho dãy số ( un ) xác định bởi  Tính lim (   un un+1 = + un , ∀n 2010 u1 u1 u + + + n ) u2 u2 un+1    ( Đề thi HSG cấp tỉnh khối 12 tỉnh Quảng Bình năm 2010 – 2011) Giải: Từ hệ thức truy hồi ta có  un+1 − un = un > 0, ∀n �� 1(*) 2010 un+1 > un , ∀n �1 , do đó dãy (un) là dãy số tăng  � un > u1 = > 0, ∀n �1 un 1 un+1 − un un = 2010( − ) = Từ (*) suy ra  2010  hay  un+1 un un +1 un+1.un un +1.un          � u1 u1 u 1 + + + n = 2010( − ) = 2010(1 − ) u2 u un+1 u1 un+1 un+1 Do đó lim ( u1 u1 u + + + n ) = lim 2010.(1 − ) u2 u2 un+1 un +1  GV: Huỳnh Đồn Thuần Trang 19 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy  hồi Giả sử (un) bị chặn trên, khi đó dãy (un) có giới hạn hữu hạn, giả sử limun =  1, ∀< n a (Vì  un � a ).  un Từ hệ thức truy hồi suy ra  lim un+1 = lim( + un )   2010 a2 Hay  a = + a � a = (vô lý). Vậy (un) không bị chặn, tức là  2010 lim un = + � lim un+1 = +�. Vây lim ( u1 u1 u + + + n ) = 2010 u2 u un+1 Ví dụ 6: Cho dãy số ( un ) thõa mãn  < un < un+1 (1 − un ) > , ∀n a) CMR dãy (un) là dãy số tăng b) Tính limun Giải: a) Nhận xét rằng (un) là dãy bị chặn Hơn nữa  < un < � − un >  và  un+1 > 0, ∀n  Theo bất đẳng thức Cosi, ta  có  un+1 + (1 − un ) �2 un +1.(1 − un ) > = 1, ∀n � un+1 > un , ∀n  Do đó (un) là  dãy số tăng b) Từ câu a) và nhận xét trên suy ra dãy (un) có giới hạn hữu hạn. Giả sử  lim un = a , thì  a  Do đó  lim [ un+1 (1 − un ) ] = lim un+1.lim(1 − un ) = a(1 − a)   Mặt khác từ giả thiết suy ra,  lim [ un+1 (1 − un ) ]  GV: Huỳnh Đoàn Thuần 1 � a (1 − a ) � 4 Trang 20 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy  hồi                                  � a − a + Vậy limun =  1 �0 � ( a − ) �0 � a = 2 u1 > Ví dụ 7: Cho dãy số ( un ) xác định bởi  a  (a > 0) un+1 = (un + ), ∀n un Tính limun Giải: Nhận xét rằng (un) bị chặn dưới bởi  a   a Thật vậy, theo bất đẳng thức Cosi ta có  u2 = (u1 + ) u1 Giả sử  uk a , ∀k , ta chứng minh  uk +1 a   a Theo bất đắng thức Cosi và giả thiết quy nạp ta có  a uk +1 = (uk + ) uk uk a = a  Do đó  un uk a , ∀n , nên (un) bị chặn  dưới bởi  a   Mặt khác, ta có  Do đó  un+1 a = +  mà  un un 2un un+1 a a � ∀ = +� += un 2un 2a �∀ a ,�n 2un 2a un+1 un , n nên ( un ) là dãy giảm.  Vậy dãy số ( un ) có giới hạn hữu hạn. Giả sử lim un = α , khi đó  α > 0 Từ hệ thức truy hồi suy ra   GV: Huỳnh Đồn Thuần Trang 21 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy  hồi a a lim un+1 = lim (un + ) � α = (α + ) � α = a  (Do  α > 0) un α Vậy limun =  a u0 > Ví dụ 8: Cho dãy số ( un ) xác định bởi  un+1 =  . Tính limun un , ∀n + un Giải: Nhận xét rằng  un > 0 với mọi n. Thật vậy, u0 > 0 và u1 =  Giả sử  uk > 0, ∀k � uk +1 = u0 >0 + u0 uk u >  Do đó  n+1 = < 1, ∀n  (vì  un > 2 + uk un + u n )  � un+1 < un , ∀n � (un ) là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên ( un ) có  giới hạn hữu hạn. Đặt lim un = a, khi đó từ hệ thức truy hồi suy ra  lim un+1 = lim un a �a = � a + a = a � a =  Vậy  lim un = 2 + un 1+ a Ví dụ 9: Cho dãy số ( un ) xác định bởi  Đặt  S n = u1 = un+1 = + u1.u2 un , ∀n  .  n  Tính limSn k =1 uk Giải: Nhận xét: Dễ thấy  un >1,  ∀n � u1.u2 .uk −1 > Ta có  un+1 − un = + u1.u2 .un − un > + un − un = > � un+1 > un , ∀n �1 , do  đó ( un ) là dãy số tăng. Giả sử ( un ) là dãy bị chặn trên, khi đó dãy ( un ) có   GV: Huỳnh Đồn Thuần Trang 22 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy  hồi giới hạn hữu hạn, và ta đặt lim un = a Ta có  a = lim un+1 = lim(1 + u1.u2 un−1.un ) = + lim(u1.u2 un−1 ).lim un Vì  lim(u1.u2 un−1 ) +1 �a 1.a  Điều này vơ lí. Vậy ( un )  khơng bị  chặn trên tức là lim un = + Mặt khác ta có,  uk +1 − = u1.u2 .uk = uk (u1.u2 .uk −1 + − 1) = uk (uk − 1) � uk +1 − = 1 = − , ∀k �2 uk (uk − 1) uk − uk n n 1 1 1 � Sn = � = + � = + − = 2− u1 k =2 uk u1 u2 − un+1 − un+1 − k =1 uk Do đó limSn = lim (2 − )=2 un+1 − * Bài tập tham khảo Bài 1: Cho dãy ( un ) thõa mãn các điều kiện  Tính lim un                    (ĐS: lim un = un < un+1 (1 − un ) >   , ∀n ) u1 > Bài 2: Cho dãy ( un ) xác định bởi  a  ( Với a > 0) un+1 = (2un + ), ∀n un Tính lim un                       (ĐS: lim un = a )  GV: Huỳnh Đồn Thuần Trang 23 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy  hồi Bài 3: Cho dãy ( un ) xác định bởi  Tính  lim n + u1 =   un+1 = un − un + 2, ∀n n               (ĐS: 1) k =1 uk        (Đề thi chọn HSG Quốc gia khối 12 tỉnh Quảng Bình năm 2009 – 2010) Bài 4: Cho dãy ( un ) xác định bởi  Tính  lim n + u1 = un+1 = un − un + 1, ∀n n     (Đề thi HSG cấp tỉnh tỉnh Quảng Ngãi năm 2004 ­ 2005)  k =1 uk u1 = Bài 5: Cho dãy ( un ) xác định bởi  Chứng minh rằng dãy yn = nlim + un + 4un + un un+1 = , ∀n n                  (VMO 2009)                   (ĐS:limyn= 6) Bài 6: Cho dãy ( un ) xác định bởi  n + u1 = a > un+1 = un , ∀n   n uk k =1 uk +1 −               (Tạp chí THTT tháng 10/2010)               ĐS:   GV: Huỳnh Đồn Thuần    có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn  k =1 uk Tính  lim   Trang 24 WWW.ToanCapBa.Net a WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy  hồi u1 = a > Bài 7: Cho dãy ( un ) xác định bởi  Tính  lim n + n + un + un −   , ∀n un n     (Tạp chí THTT tháng 10/2010) k =1 uk − Bài 8: Cho dãy ( un ) xác định bởi  Tính  lim un+1 = n k =1 uk + u1 = 2009 un+1 = un ( un + 1) , ∀n      (Tạp chí THTT tháng 10/2010)      (ĐS:  nlim + Bài 9: Cho dãy ( un ) xác định bởi  Tính  lim n + n k =1 uk + = ) 2009 u1 =   un+1 = ( un + 1), ∀n n               (Tạp chí THTT tháng 10/2010)  k =1 uk + Bài 10: Cho dãy ( un ) xác định bởi  Tính  nlim +   u1 =   un+1 = ( un − 7un + 25), ∀n n               (Tạp chí THTT tháng 10/2010)  k =1 uk −  GV: Huỳnh Đồn Thuần Trang 25 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy  hồi PHẦN KẾT LUẬN Sáng kiến kinh nghiệm này là kết quả  của một q trình tự  tìm tịi,  nghiên cứu, đúc kết và rút kinh nghiệm trong q trình bồi dưỡng học sinh   giỏi cấp trường và cấp tỉnh   cả  hai khối 11 và khối 12 trong năm học  2010 – 2011. Qua một năm triển khai thực hiện đề  tài này, tơi thấy tính  hiệu quả  của đề  tài rất cao, có thể  áp dụng để  dạy bồi dưỡng học sinh   giỏi dự thi cấp tỉnh cho những năm tiếp theo. Trong năm học tới, tơi sẽ tiếp   tục nghiên cứu và bổ  sung để  đề  tài này được hồn thiện hơn, đáp  ứng  được nhu cầu bồi dưỡng cho học sinh để dự thi học sinh giỏi cấp tỉnh đạt  kết quả.  Tơi rất mong được hội đồng chun mơn Nhà trường góp ý, bổ  sung   để  đề  tài này hồn thiện hơn, và có thể  triển khai áp dụng để  dạy bồi  dưỡng học sinh giỏi cho những năm tiếp theo trong Nhà trường đạt hiệu   quả cao   Trong q trình biên soạn đề  tài tơi đã có nhiều cố  gắng, tuy nhiên  cũng khơng tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong   nhận được sự  góp ý  chân thành của các thầy cơ giáo đồng nghiệp và Hội đồng chun mơn Nhà  trường để đề tài của tơi được hồn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn! Quảng Ngãi tháng 05 năm 2011  GV: Huỳnh Đồn Thuần Trang 26 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy  hồi Duyệt của Hội đồng chun mơn nhà trường: ……………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… … Duyệt của Hội đồng chuyên môn cấp trên: ……………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………  GV: Huỳnh Đồn Thuần Trang 27 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy  hồi …………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………  GV: Huỳnh Đoàn Thuần Trang 28 WWW.ToanCapBa.Net ... Sáng? ?kiến? ?kinh? ?nghiệm –? ?Một? ?số? ?kĩ? ?thuật? ?tính? ?giới? ?hạn? ?của? ?dãy? ?cho? ?bởi? ?hệ? ?thức? ?truy? ? hồi sẽ trình 3? ?kĩ? ?thuật? ?cơ bản để? ?tính? ?giới? ?hạn? ?của? ?dãy? ?cho? ?bởi? ?hệ? ?thức? ?truy? ?hồi? ? sau đây: Kĩ? ?thuật? ?1:? ?Tính? ?giới? ?hạn? ?của? ?dãy? ?cho? ?bởi? ?hệ? ?thức? ?truy? ?hồi? ?bằng cách ... WWW.ToanCapBa.Net Sáng? ?kiến? ?kinh? ?nghiệm –? ?Một? ?số? ?kĩ? ?thuật? ?tính? ?giới? ?hạn? ?của? ?dãy? ?cho? ?bởi? ?hệ? ?thức? ?truy? ? hồi III/? ?Kĩ? ?thuật? ?3:? ?Tính? ?giới? ?hạn? ?của? ?dãy? ?cho? ?bởi? ?hệ? ?thức? ?truy? ?hồi? ?bằng  cách sử dụng? ?tính? ?đơn điệu và bị chặn... WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Sáng? ?kiến? ?kinh? ?nghiệm –? ?Một? ?số? ?kĩ? ?thuật? ?tính? ?giới? ?hạn? ?của? ?dãy? ?cho? ?bởi? ?hệ? ?thức? ?truy? ? hồi II/? ?Kĩ? ?thuật? ?2:? ?Tính? ?giới? ?hạn? ?của? ?dãy? ?cho? ?bởi? ?hệ? ?thức? ?truy? ?hồi? ? bằng cách sử dụng nguyên lý kẹp