Đang tải... (xem toàn văn)
Khi giải phương trình học sinh được giới thiệu rất nhiều phương pháp, trong đó phương pháp sử dụng điều kiện cần và đủ để giải phương trình được dùng một cách ẩn tàng ( như phép giải các phương trình hệ quả và phép thử nghiệm). Một khái niệm được hình thành luôn tiềm tàng đã nhân rộng cách giải phương trình lên đáng kể. Trong sáng kiến này, tác giả làm sáng tỏ thêm khái niệm đó để xét được các ứng dụng đẹp (nhất là trong các bài toán có chứa tham số) của nó trong phạm vi cho phép.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN KHOA TỐN LỚP SƯ PHẠM TỐN K29 =====0===== Đề tài: SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Sinh viên thực hiện: Phan Duy Luân Lê Thị Lư Nguyễn Thị Ly Lê Nguyễn Hoàng Lý Nguyễn Trọng Minh Nguyễn Thị Nga Hồ Văn Nguyên Gv hướng dẫn: Dương Thanh Vỹ Quy Nhơn: 11/2009 LỜI NÓI ĐẦU Như chúng ta đã biết trong thực tế khi giải phương trình học sinh giới thiệu nhiều phương pháp, trong đó phương pháp sử dụng điều kiện cần và đủ để giải phương trình được dùng một cách ẩn tàng ( như phép giải các phương trình hệ quả và phép thử nghiệm). Một khái niệm được hình thành ln tiềm tàng đã nhân rộng cách giải phương trình lên đáng kể. Ở đây chúng tơi quyết định làm sáng tỏ thêm khái niệm đó để xét được các ứng dụng đẹp (nhất là trong các bài tốn có chứa tham số) của nó trong phạm vi cho phép. Ở đây chúng tơi chỉ trình bày một số bài tốn điển hình của phương pháp này mà nó thường hay xuất hiện. Tuy nhiên do đây là một phương pháp khơng quen thuộc đối với học sinh nên các em thường ít sử dụng. Nhưng nếu các em sử dụng thì có những bài tốn sẽ được nhanh hơn Vì thời gian có hạn, cịn rất nhiều dạng tốn khác của chun đề này khơng được trình bày đây. Hy vọng một dịp nào đó chúng tơi sẽ trình bày một cách đầy đủ hơn. Với phương pháp này mong rằng sẽ trang bị cho các bạn thêm một phương pháp mới về giải phương trình. Cuối cùng chúng tơi mong nhận được sự góp ý, phê bình của độc giả về nội dung, cách trình bày của chun đề này. Xin chân thành cảm ơn! Nhóm sinh viên thực hiện MỤC LỤC LỜI NĨI ĐẦU Chương I: SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ ĐỂ GIẢI BÀI TỐN VỀ TÍNH CHẤT DUY NHẤT NGHIỆM Dạng. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình f(x, m) =0 có nghiệm duy nhất Chương II: SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ ĐỂ GIẢI BÀI TỐN VỀ TÍNH CHẤT NGHIỆM Dạng 1. Giải bài tốn về tính chất các nghiệm cho phương trình Dạng 2. Giải bài tốn về tập nghiệm Dạng 3. Giải bài tốn về phương trình hệ quả Dang 4. Giải bài tốn về hai phương trình tương đương Chương III: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ GIẢI BÀI TỐN VỀ TÍNH CHẤT THAM SỐ Dạng. Phương trình nghiệm đúng với giá trị xác định của tham số TÀI LIỆU THAM KHẢO CHƯƠNG I: SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ ĐỂ GIẢI BÀI TỐN VỀ TÍNH CHẤT NGHIỆM Dạng . Tìm điều kiện của tham số m để phương trình f(x, m) =0 (1) có nghiệm duy nhất PHƯƠNG PHÁP: Bước 1: Đặt điều kiện để các biểu thức trong (1) có nghĩa I Bước 2: Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm là x = x , khi đó: a Dựa trên tính chất đối xứng của các biểu thức giải tích trong (1), ta đi khẳng định khi đó x = φ ( x ) cũng là nghiệm của (1) b Do đó, để hệ có nghiệm duy nhất cần có: x = φ ( x ) Giá trị x (2) c Thay (2) vào (1) ta xác định được điều kiện cần cho tham số m để (1) có nghiệm duy nhất, giả sử m Dm Bước 3: Điều kiện đủ: Với m Dm , ta đi kiểm tra lại tính duy nhất nghiệm cho (1) Thơng thường trong bước này, ta chỉ phải xét các phương trình cụ thể (thường là khơng có tham số hoặc nếu có thì đã được đơn giản đi nhiều). Kết quả của bước này cho phép ta loại đi khỏi tập Dm các giá trị khơng thích hợp của m Bước 4: Kết hợp ba bước giải trên ta tìm được đáp số II VÍ DỤ MINH HỌA Trước tiên chúng ta minh họa các ví dụ sử dụng tính chất hàm chẵn để xác định điều kiện cần, tức là xuất phát từ nhận xét: Giả sử phương trình có nghiệm x khẳng định rằng nó cũng nhận − x nghiệm Vậy để phương trình có nghiệm duy nhất điều kiện là: x = − x � x = Ví dụ 1:[1] Tìm m để phương trình: mx − 2(m −1)x + m −1 = (1) Có nghiệm duy nhất Giải Điều kiện cần: Giải sử (1) có nghiệm x , suy ra m.x − 2(m −1).x + m −1 = � m( −x ) − 2(m −1)( −x ) + m −1 = Tức là − x cũng là nghiệm của phương trình Vậy để phương trình có nghiệm duy nhất điều kiện là: − x = x � x = Khi đó: (1) � m − = � m = Điều kiện đủ: Với m=1, ta có: x = � x = là nghiệm duy nhất của phương trình Vậy, với m=1 phương trình có nghiệm duy nhất Chú ý: u cầu trên hồn tồn có thể được thực hiện bằng phương pháp đặt ẩn phụ, cụ thể: Đặt t = x , t Phương trình có dạng: f(t) = mt −2(m −1)t +m −1 = (2) Trường hợp 1. Với m = 0 (2) � 2t − = � t = 1 � x2 = � x = � 2 Phương trình có hai nghiệm phân biệt Trường hợp 2. Với m Phương trình (1) có nghiệm duy nhất (2) có nghiệm t1 � =t 2(m −1) S m � � � � P =0 m −1 =0 m � m =1 Vậy, với m=1 phương trình có nghiệm duy nhất Như vậy, để tìm điều kiện của tham số sao cho phương trình trùng phương: a.x + bx + c = (1) Có nghiệm duy nhất, bằng phương pháp điều kiện cần và đủ được thực hiện theo các bước: Bước 1: Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm x , suy ra − x cũng là nghiệm của phương trình. Vậy để phương trình có nghiệm duy nhất điều kiện là: − x = x0 �x = Khi đó: (1) � c = Đó chính là điều kiện cần để phương trình có nghiệm duy nhất Bước 2: Điều kiện đủ: Thực hiện việc thử lại với c=0 Ví dụ 2 : [1]Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất : − x + − x = m (1) Giải Điều kiện cần: Nhận xét rằng nếu phương trình có nghiệm x , thì cũng nhận − x làm nghiệm Do đó phương trình có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là x = − x � x = Khi đó: (1) � + = m � m = Điều kiện đủ: Với m=3, khi đó phương trình có dạng: − x + − x = Vì: 1− x2 1− x2 � − x + − x �3 Do đó phương trình có nghiệm khi và chỉ khi − x =1 − x =1 � x = Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m=3 Ví dụ 3 :[1]Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: x + mx + 2mx + mx +1 = (1) Giải Nhận xét rằng x=0 khơng phải là nghiệm của phương trình Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm x 0, suy ra x + mx 03 + 2mx + mx +1 = �1 + m 1 1 + 2m + m + = x0 x0 x0 x0 �1 � �1 � �1 � � � �+ m � �+ 2m � �+ m +1 = x x x x �0 � �0 � �0 � Tức là x cũng là nghiệm của phương trình Vậy để phương trình có nghiệm duy nhất điều kiện là: = x �x = � x0 Với x = , ta được: (1) � + m + 2m + m + = � m = − Với x = −1 , ta được: (1) � − m + 2m − m + = , vô nghiệm Vậy, m = − là điều kiện cần để phương trình có nghiệm duy Điều kiện đủ: Với m = − , ta có: 1 (1) � x − x − x − x + = � 2x − x − 2x − x + = 2 � (x − 1) (2x + 3x + 2) = � x = 1 Vậy, m = − phương trình có nghiệm duy nhất Chú ý: u cầu trên hồn tồn có thể được thực hiện bằng phương pháp đặt ẩn phụ Nhận xét rằng x=0 khơng phải là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế của phương trình cho x , ta được: 1 x + mx + 2m + m + = x x �2 � � � �� x + 2� + m � x+ � + 2m = x x � � � � Đặt t = x + � x2 + , điều kiện t x = t − 2 x Khi đó phương trình có dạng: f(t) = t + mt + 2m − = (2) Phương trình (1) có nghiệm duy nhất pt (2) có đúng một nghiệm thỏa mãn t Như vậy, để tìm điều kiện của tham số sao cho phương trình hồi quy: a.x + bx + cx + bx + a = 0, với a (1) Có nghiệm duy nhất, bằng phương pháp điều kiện cần và đủ được thực hiện theo các bước: Bước 1: Nhận xét rằng x=0 khơng phải là nghiệm của phương trình Bước 2: Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm x , suy ra x cũng là nghiệm của phương trình. Vậy để phương trình có nghiệm duy nhất điều kiện là: = x �x =� � Giá trị tham số x0 Đó chính là điều kiện cần để phương trình có nghiệm duy nhất Bước 3: Điều kiện đủ: Thực hiện việc thử lại Ví dụ 4:[1] Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: x + − x + x + − x = m (1) Giải Điều kiện cần : Giả sử phương trình (1) có nghiệm là x = x suy ra 2 x cũng là nghiệm của (1) Vậy (1) có nghiệm duy nhất khi x = − x � x =1 Thay x =1 vào (1), ta được m=4 Điều kiện đủ: Với m=4 , khi đó (1) có dạng: x + − x + x + − x = (2) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được: x + − x và x + − x Do đó: x + −x = (2) x + −x = �x =1 Ví dụ 4 : Tìm a, b, c để phương trình sau có nghiệm duy nhất: Với câu hỏi “Nên lấy những giá trị nào từ tập Dx để làm điểm thuận lợi” chỉ có thể trả lời rằng cần sử dụng trực giác và kinh nghiệm của từng người. Các em học sinh cần tích lũy dần những kinh nghiệm này thơng qua các ví dụ II. VÍ DỤ MINH HỌA: VD1: Tìm m để phương trình sau nghiệm đúng x 2: x – m = x + 4 (1) Giải: Điều kiện cần: pt nghiệm đúng x 2 suy ra x = 2 là nghiệm của (1), tức là: m =0 m =− m + 2 = 2 Điều kiện đủ: Với m = 0, ta có: x = x + 4 Nhận thấy x = 0 [2, ) khơng phải là nghiệm của phương trình. Do đó, m = 0 khơng thỏa mãn Với m = 4, ta có: x + 4 = x + 4 đúng với x 2 Vậy, với m = 4 pt nghiệm đúng x 2 Chú ý: Bài tốn trên cịn có thể phát biểu dưới dạng: “Tìm m để phương trình x m = x + 4 tương đương với bất phương trình f(x) 0 (hoặc f(x) 0)”(2) Trong đó nghiệm của BPT (2) là x 2 VD2: [3]Tìm m để pt sau nghiệm đúng x 2 lg(x – m)2 = 2(x + 4) (1) Giải: Điều kiện x m Trước hết để pt nghiệm đúng x 2, ta phải có m