II. VÍ D MINH H A: Ọ
Gi i bài toán v hai ph ảề ươ ng trình t ươ ng đ ương
I. PHƯƠNG PHÁP:
Cho hai phương trình: f(x, m) = 0 (1) g(x, m) = 0 (2)
V i yêu c u “Tìm đi u ki n c a tham s đ hai phớ ầ ề ệ ủ ố ể ương trình tương đương “,ta th c hi n các bự ệ ước sau:
Bước 1: Đi u ki n c n:ề ệ ầ
Gi i và bi n lu n nả ệ ậ 0 x = x0 c a (1)ủ
Đ phể ương trình a và (2) tương đương, trước h t c n x =ế ầ x0 cũng là nghi m c a (2) t c là:ệ ủ ứ
g(x0, m) = 0 m = m0
V y m = mậ 0 chính là đi u ki n c n.ề ệ ầ
Bước 2: Đi u ki n đ :ề ệ ủ
V i m = mớ 0 (1) f(x, m0) = 0 nghi m c a (1)ệ ủ (2) g(x, m0) = 0 nghi m c a (2)ệ ủ K t lu nế ậ II. M T VÀI BÀI TOÁN M U:Ộ Ẫ VD1:[2] Cho hai phương trình: (x + 5) (2 – x) = 3m x + 3x + m 12 (1) x4 + 6x3 + 9x2 – 16 = 0 (2) Tìm m đ (1) và (2) tể ương đương. Gi i:ả Gi i (2): ả (2) (x2 + 3x)2 – 16 = 0 (x – 1) (x + 4) (x2 + 3x + 4) = 0 x = 1 x = 4
Đi u ki n c n:ề ệ ầ Gi s (1) và (2) tả ử ương đương x = 1 là nghi m c a (1) ệ ủ
4 = m2(m + 3) m3+3m2–4 =0 m > 0
(m – 1) (m2 + 4m + 4) = 0
V y m = 1 là đi u ki n c n đ (1) và (2) tậ ề ệ ầ ể ương đương.
Đi u ki n đề ệ ủ: V i m = 1. Khi đó (1) có d ng:ớ ạ x2 – 3x + 10 = 0 = 3 x + 3x2 Đ t t = ặ x + 3x2 , đi u ki n t ề ệ 0 Khi đó (3) t2 +3t – 10 = 0 t 5(loai) t=2 t 2 = − � � = x + 3x2 = 2 x2 + 3x = 4 x = 1 x = 4 T c là (1) và (2) tứ ương đương v i m = 1.ớ
Chú ý: Chúng ta đã t n t i nh ng phồ ạ ữ ương trình ch a căn màứ t p nghi m c a nó là m t kho ng, do đó m t phậ ệ ủ ộ ả ộ ương trình ch aứ căn th c có th tứ ể ương đương v i m t b t phớ ộ ấ ương trình (ho c cóặ th phát bi u dể ể ướ ại d ng “nghi m đúng ệ x ”) chúng ta đi xem ví d sau:ụ
VD2:[2] Cho phương trình và b t phấ ương trình:
x 1 + 2m x 2 + x 1 + 2m x 2 = 2 (1) x2 + 3x + 2 x2 + 2x + 5 (2)
Gi i: ả Gi i (2): (2) ả (x2 + 3x + 2)2 (x2 + 2x + 5)2 (x – 3)(2x2 + 5x + 7) o x 3
Đi u ki n c nề ệ ầ : Gi i (1) và (2) tả ương đương x = 3 là nghi m c a (1)ệ ủ
Khi đó: (1) 2 + 2m + 2 2m = 2 � 4 4m = 02 � m = ±1 V y m = ậ 1 là đi u ki n đ (1) và (2) tề ệ ể ương đương.
Đi u ki n đ :ề ệ ủ V i m = 1 khi đó (1) có d ng:ớ ạ x 1 + 2 x 2 + x 1 + 2 x 2 = 2 x 2 + 1 + x 2 1 = 2 x 2 + 1 + x 2 1 = ( x 2 + 1) (+ x 2 1) ( x 2 + 1 + x 2 1) ( ) 0 1 (x 2)۳ 0۳ x 3 T c là (1) và (2) tứ ương đương.
* V i m = 1, tớ ương t (ho c có th nh n xét v tính đ iự ặ ể ậ ề ố x ng c a m trong phứ ủ ương trình)
V y, v i m = ậ ớ 1 thì (1) và (2) tương đương.
VD3:[2] Tìm m đ hai phể ương trình sau tương đương: 8mxcos2x = sin2xcos3x 12sin5x(1)
mcos2x + m cos4x + cos6x = 1 (2)
Gi i:ả
Đi u ki n c nề ệ ầ : Gi i (1) ta đả ược:
1(sin3x sinx) = (sin5x sinx) sin5x1 1
2 2 2
kπ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
sin3x = 0 3x = kπ x = , k Z 3
� � �
Do đó (1) và (2) tương đương trước h t c n x = 0 (là m tế ầ ộ nghi m c a h x = ệ ủ ọ k3π) cũng là nghi m c a (2), t c là:ệ ủ ứ
Đi u ki n đề ệ ủ:
* V i m = 0 ta đớ ược:
(2) cos6x = 1 1 – 2sin23x = 1 sin3x = 0 3x = k x = kπ , k Z
3
V y m = 0 th a mãn đi u ki n đ u bài.ậ ỏ ề ệ ầ * m < 0 ta được: (2) mcos2x – mcos4x + cos6x = 0 cos6x – 1 – m(cos4x – cos2x) = 0 2sin23x + 2msin3xsinx = 0 (sin3x – msinx)sin3x = 0 sin3x = 0 3sinx – 4 sin3x – msinx = 0 0 0 1 1 1 3 m 3 m 4 4 3 m 4 < < < >− ���� � > m m v y v iậ ớ
m=0 hoăc m>1 thì th a mãn đi u ki n đ u bàiỏ ề ệ ầ
Bài t p tham kh o chậ ả ương 2:
Tìm h th c liên h gi a a và b đ phệ ứ ệ ữ ể ương trình có nghi mệ b ng k l n nghi m còn l i.ằ ầ ệ ạ
2) Cho phương trình x3 + ax2 + bx + c = 0
Có 3 nghi m phân bi t xệ ệ 1, x2, x3. Ch ng minh 3 nghi m đóứ ệ l p thành c p s c ng khi và ch khi 2aậ ấ ố ộ ỉ 3 – 9ab + 27c = 0
3) Tìm m đ phể ương trình sau nghi m đúng ệ x [0, 2] 2 2 2x x = 1 m + (m + 1)x + x 4) Cho 2 phương trình: 3cosx + cos2x – cos3x + 1 = 28sinx9m2x mcos3x + (4 – 8m)sin2x + (7m – 4)cosx + 8m – 4 = 0 Tìm m đ m i nghi m c a (1) cũng là nghi m c a (2).ể ọ ệ ủ ệ ủ ************************
2
a +2 a x + 22 2
Chương 3:
S D NG PHỬ Ụ ƯƠNG PHÁP ĐI U KI N C N VÀ Đ GI IỀ Ệ Ầ Ủ Ả BÀI TOÁN V TÍNH CH T THAM SỀ Ấ Ố