SKKN: Sử dụng phép biến hình vào một số bài toán viết phương trình đường tròn

Mục tiêu của đề tài là Nhằm đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực, tạo hứng thú cho học sinh khi học toán. Rèn luyện khả năng sáng tạo linh hoạt của học sinh. Tạo giờ học thân thiện, góp phần thực hiện phong trào “ Trường học thân thiện, học sinh tích cực”. Giúp học sinh khai thác thêm ứng dụng của các phép biến hình trong thực hành giải toán, đặc biệt là với phương pháp toạ độ trong mặt phẳng.

Sử dụng phép biến hình vào một số bài tốn viết phương trình đường trịn ĐỀ TÀI SKKN: SỬ DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH VÀO MỘT SỐ BÀI  TỐN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ Lý do chọn đề tài Đất nước ta đang trên con đường cơng nghiệp hóa và hiện đại hóa, để  thành cơng thì yếu tố con người đóng vai trị quyết định. Do vậy xã hội đang rất   cần những con người có khả  năng lao động tự  chủ, sáng tạo có năng lực giải  quyết những vấn đề khó Quan điểm chung về  đổi mới phương pháp dạy học mơn Tốn   trường   phổ  thơng là làm cho học sinh học tập tích cực, chủ  động sáng tạo, chống lại  thói quen học tập thụ động. Việc bồi dưỡng năng lực giải tốn cho học sinh khá   giỏi là đặc biệt quan trọng và cần được bồi dưỡng thường xun bời chính các  em là thế hệ nhân tài của đất nước Trong chương trình Tốn THPT, Phép biến hình được giảng dạy ở lớp 11,  là một nội dung khó, tài liệu tham khảo khơng nhiều, và có nhiều ứng dụng hay  nhưng chưa được khai thác. Vì vậy tơi xin trình bày một ứng dụng của phép biến  hình trong giải tốn hình học, cụ thể  là “SỬ  DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH VÀO MỘT  SỐ BÀI TỐN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN” Khi gặp bài tốn u cầu viết phương trình đường trịn trên mặt phẳng toạ  độ Oxy chúng ta thường hướng học sinh vào suy nghĩ thơng thường đó là tìm tâm  và bán kính của đường trịn. Trong đa số các bài tốn thì việc xác định tâm và bán   kính của đường trịn dựa trên sự mơ tả của giả thiết về đường trịn đó, tuy nhiên  có một số bài tốn giả thiết lại khơng mơ tả về đường trịn đó mà lại mơ tả  về  một đường trịn có liên quan đến đường trịn phải tìm, bằng một phép biến hình   bài tốn đó được giải quyết thế nào? Trong nội dung bài viết này tơi xin trình bày  cách sử  dụng phép biến hình để  giải quyết một số  bài tốn như  vậy. Do kinh   nghiệm cơng tác cịn hạn chế, thời gian tìm hiểu nội dung cịn hạn chế  nên bài  viết chắc chắn cịn thiếu sót rất mong nhận  được sự  chia sẻ  của các đồng  nghiệp 2.  Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu 2.1. Mục tiêu 1/19 Sử dụng phép biến hình vào một số bài tốn viết phương trình đường trịn Nhằm đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực, tạo hứng thú   cho học sinh khi học tốn. Rèn luyện khả năng sáng tạo linh hoạt của học sinh Tạo giờ học thân thiện, góp phần thực hiện phong trào “ Trưịng học thân thiện,  học sinh tích cực” Giúp học sinh khai thác thêm ứng dụng của các phép biến hình trong thực  hành giải tốn, đặc biệt là với phương pháp toạ độ trong mặt phẳng 2.2.Nhiệm vụ Nêu và giải quyết một số bài tốn viết phương trình đường trịn bằng phép  biến hình. Giúp học sinh biết thêm về việc vận dụng phép biến hình trong giải  tốn 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3.1. Đối tượng Ứng dụng của phép biến hình trong thực hành giải tốn trên mặt phẳng  toạ độ 3.2. Đối tượng khảo sát, thực nghiệm Học sinh khá, giỏi lớp 11A4 năm học 2013­2014 3.3. Phạm vi nghiên cứu, kế hoạch nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu: Ứng dụng của phép biến hình trong việc giải một số bài tốn viết phương  trình đường trịn.(Áp dụng với đối tượng học sinh khá, giỏi) Kế hoạch nghiên cứu: ­ Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ mơn.  ­ Liên hệ  thực tế  trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua q trình  giảng dạy ­ Thơng qua việc giảng dạy trực tiếp  ở các lớp khối 11 trong năm học từ  2013  ­2014 (11A4, 11A6, 11A8) và trực tiếp giảng dạy các lớp khối 12 năm học 2014­ 2015 Thời gian nghiên cứu: Năm học 2013­2014 4. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp:  2/19 Sử dụng phép biến hình vào một số bài tốn viết phương trình đường trịn ­ Nghiên cứu các tài liệu lý luận (triết học, giáo dục học, tâm lý học, từ điển, lý   luận dạy học bộ mơn Tốn) có liên quan đến đề tài ­ Nghiên cứu SGK, sách tham khảo, tạp chí, các tài liệu có liên quan đến nội   dung kỹ năng, ứng dụng phép biến hình vào giải tốn THPT ­ Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học  ­ Tổng hợp so sánh , đúc rút kinh nghiệm 5. Cấu trúc của đề tài: Đề tài gồm 3 phần: Mở đầu, Nội dung và Kết luận Phần Nội dung gồm 2 phần: I: Cơ sở khoa học của đề tài II: Thực trạng của đề tài III: Giải quyết vấn đề 3/19 Sử dụng phép biến hình vào một số bài tốn viết phương trình đường trịn PHẦN II. NỘI DUNG I. CƠ SỞ KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI Cơ sở lý luận Nhiệm vụ  trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy   và hoạt động học của trị, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào   tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”. Giúp học sinh củng cố  những kiến thức  phổ  thơng đặc biệt là bộ  mơn tốn học rất cần thiết khơng thể  thiếu trong đời  sống của con người. Mơn Tốn là một mơn học tự nhiên quan trọng và khó với   kiến thức rộng, đa phần các em ngại học mơn này.  Muốn học tốt mơn tốn các em phải nắm vững những tri thức khoa học  ở  mơn tốn một cách có hệ  thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng  dạng bài tập. Điều đó thể hiện ở việc học đi đơi với hành, địi hỏi học sinh phải  có tư duy logic và cách biến đổi. Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và  nghiên cứu mơn tốn học một cách có hệ  thống trong chương trình học phổ  thơng, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp   các cách giải   Do vậy, tơi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích  giúp cho học sinh lớp 11 vận dụng phép biến hình vào thực hành giải tốn và và   biết tư  duy tìm ra tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài tốn viết phương  trình đường trịn Cơ sở thực tiễn   Trong chương trình mơn tốn THPT, sách giáo khoa mới trình bày nội dung  phép biến hình   chương I sách giáo khoa hình học lớp 11, đây là nội dung kế  tiếp của chương trình hình học lớp 10 sau khi học sinh học xong chương phương   pháp toạ  độ  trong mặt phẳng. Do vậy cùng với việc trình bày khái niệm các   phép biến hình trong chương này học sinh biết được biểu thức toạ  độ  của các  4/19 Sử dụng phép biến hình vào một số bài tốn viết phương trình đường trịn phép biến hình, các bài tập trong chương này cũng chủ  yếu là các bài tập sử  dụng biểu thức toạ độ của phép biến hình để giải quyết, điều đó khơng chỉ làm  giảm tính hàn lâm của việc trình bày các khái niệm về  phép biến hình mà cịn  trang bị cho học sinh một cơng cụ giải tốn hữu ích, cơng cụ này làm cho các bài   tốn như: Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng, bài tốn tìm đỉnh  của hình bình hành, bài tốn viết phương trình đường thẳng là  ảnh của một  đường thẳng cho trước qua phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm, phép đối xứng  trục, phép quay, viết phương trình đường trịn là  ảnh của một đường trịn cho  trước qua qua phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm, phép đối xứng trục, phép quay,   phép vị  tự  và sau này là bài tốn tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường   thẳng, mặt phẳng,  ảnh của mặt cầu qua phép đối xứng qua mặt phẳng trong  khơng gian được giải quyết một cách đơn giản, gần gũi và phong phú hơn.  Ở  đây tơi chỉ đề cập đến việc sử dụng phép biến hình để giải một số bài tốn viết  phương trình đường trịn, đây là một bài tốn khá mới mẻ và ít gặp II. THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI Qua thực tế giảng dạy và tìm hiểu tình hình chung việc dạy và học tốn ở  trường THPT tơi nhận thấy : Việc sử  dụng phép biến hình vào giải tốn hình  học được dạy và học rất ít, cụ  thể  là chỉ  dừng lại   bài tốn tìm ảnh của một   điểm, một đường thẳng, một đường trịn qua một phép biến hình bằng cách sử  dụng biểu thức tọa độ của phép biến hình. Nhiều học sinh khi học về phép biến  hình các em thường khơng biết sử dụng phép biến hình để làm gì, nói cách khác  các em khơng gắn lý thuyết vào thực hành Qua trao đổi với một số đồng nghiệp thì ngun nhân ít sử dụng phép biến   hình vào giải bài tốn viết phương trình đường trịn cho học sinh là do : Phần lớn các bài tập trong sách cũng chỉ  là dạng cơ  bản về  viết phương   trình đường trịn bằng cách xác định tâm, bán kính thơng qua biểu thức tọa   độ của các phép biến hình. Trong các kỳ thi hiện nay, phép biến hình chưa   phải là nội dung được quan tâm, hơn nữa thời lượng chương trình dành   cho nội dung này khơng nhiều nên khơng có điều kiện để  đi sâu thêm các   vấn đề có liên quan Bản thân giáo viên có thể  chưa thực sự  quan tâm đến nội dung mới mẻ   Mặt khác tài liệu viết về sử dụng phép biến hình để giải tốn cịn ít Số liệu điều tra trước khi thực hiện đề tài Tham khảo trên 50 HS lớp 11A4, Trường THPT Phú Xun A, năm học   2013­2014 5/19 Sử dụng phép biến hình vào một số bài tốn viết phương trình đường trịn Câu hỏi điều tra: Đứng trước một bài tốn trong mặt phẳng tọa độ  u cầu tìm ảnh của một đường trịn qua một đường trịn đã biết em sẽ :  Cố gắng giải bằng cách tìm tâm và bán kính thơng qua biểu thức tọa độ  Cố gắng giải bằng phép biến hình  Lựa chọn phương pháp giải (dùng biểu thức tọa độ  hoặc phép biến hình)   tùy theo đặc điểm từng bài Kết quả :  Nội dung Kết quả Cố gắng giải bằng biểu thức tọa độ 48 Cố gắng giải bằng phép biến hình Lựa chọn phương pháp giải tùy theo  đặc điểm từng bài Phần lớn HS chưa biết sử dụng phép biến hình để  viết phương trình đường  trịn Ngun nhân :  Phần lớn học sinh cịn lúng túng trong việc tìm ảnh của một hình qua một   phép biến hình Khả năng tưởng tượng, tư duy logic cịn hạn chế III. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Xuất phát từ tính chất của các phép biến hình mà ta đã biết 1­ Tính chất của phép dời hình (Phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối  xứng tâm, phép quay) : Biến một đường trịn thành một đường trịn có cùng bán  kính.  2­ Tính chất của phép đồng dạng (phép vị  tự): Biến một đường trịn có bán  kính R thành một đường trịn có bán kính  k R (k là tỉ số vị tự) Và hai bài tốn quen thuộc: Bài tốn 1 6/19 Sử dụng phép biến hình vào một số bài tốn viết phương trình đường trịn Cho đường trịn tâm O và hai điểm B,C cố  định trên (O), A là điểm thay  đổi trên (O). Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC khi A thay đổi Sơ lược cách giải: Cách 1(Sử dụng phép tịnh tiến) Gọi BB’ là đường kính của (O) thì B’ là điểm cố  định, dễ  dàng chứng minh   uuur uuuur r ( A) = H được tứ giác AHB’C là hình bình hành do vậy: AH = B ' C  hay  Tuuuu B 'C Do tập hợp A là (O) nên tập hợp {H} là đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép  uuuur tịnh tiến theo  B ' C  Dễ chứng minh được (O’) đi qua B,C O' B C O H B' A Phân tích: Nếu biết hai đỉnh và đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC thì có thể  xác  định đường trịn đi qua hai đỉnh đó và trực tâm của tam giác.  Cách 2 (Dùng phép đối xứng tâm) Gọi AA’ là đường kính của (O) dễ  dàng chứng minh HBA’C là hình bình   uuuur uuuur hành. Gọi D là trung điểm của BC thì D là điểm cố định và  DA ' = − DH  hay phép  đối xứng tâm D biến A’ thành H. Vậy tập hợp {H} là đường tròn tâm O’ là ảnh  của đường tròn tâm O qua phép đối xứng tâm D. Dễ  chứng minh được (O’) đi  qua B,C.                       7/19 Sử dụng phép biến hình vào một số bài tốn viết phương trình đường trịn B A' O' D O                          Phân tích:  H C A Qua bài tốn trên và cách giải cho thấy  nếu biết trung điểm của cạnh BC  của tam giác ABC và đường trịn đi qua trực tâm H của tam giác ABC thì có thể  xác định đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC, đồng thời có thể  xác định được  các đỉnh và trực tâm của của tam giác ABC Cách 3 (dùng phép đối xứng trục) Gọi AA’ là đường kính của (O), H’ là giao của AH và (O), D là trung điểm  của BC. Dễ dàng chứng minh được BC song song với A’H’  từ đó suy ra DK là   đường trung bình của tam giác HA’H’ vậy BC là đường trung trực của HH’ hay   phép đối xứng trục BC biến H’ thành H. Vậy tập hợp {H} là đường trịn tâm O’  là  ảnh của đường trịn tâm O qua phép đối xứng trục BC.Dễ  chứng minh được   (O’) đi qua B,C B H' K H D O O' A' C A Phân tích:  Qua bài tốn trên và cách giải cho thấy  nếu biết đường thẳng chứa cạnh  BC của tam giác ABC và đường trịn đi qua trực tâm H của tam giác ABC thì có  thể xác định đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Bài tốn 2 8/19 Sử dụng phép biến hình vào một số bài tốn viết phương trình đường trịn Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm O, H là trực tâm tam giác , các  điểm  A’, B’, C’ lần lượt là điểm đối xứng với H qua BC, AC, AB. CMR: A’, B’,   C’ thuộc (O) Sơ lược cách giải Gọi AA’’ là đường kính của đường trịn (O) , D là giao của AH và BC, I là  trung điểm của BC. Ta dễ chứng minh được tứ  giác HCA’’B là hình bình hành.  Do đó I là trung điểm của HA’’, mặt khác D là trung điểm của HA’ nên DI là   đường trung bình của tam giác HA’A’’ hay DI //A’A’’ suy ra  A ' A '' ⊥ AA '  hay A’  thuộc (O). Tương tự chứng minh B’, C’ thuộc (O) A B' C' H B O D I A' C A'' Phân tích:  Từ  bài tốn trên ta thấy (O) cố  định, H là điểm cố  định, D là chân đường  uuuur uuur cao hạ từ A của tam giác ta ln có  HA ' = HD  hay phép vị tự tâm H tỉ số 2 biến  D thành A’. Như  vậy nếu biết trực tâm tam giác và đường trịn ngoại tiếp tam  giác thì có thể  xác định đường trịn đi qua chân các đường cao của tam giác và  ngược lại Tơi tìm cách giải một số bài tốn ví dụ sau: Ví dụ 1: Trên mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết B(1;­1), C(4;2) và đường  trịn ngoại tiếp tam giác là  (C)   x + y − x − y − =  Viết phương trình đường  trịn đi qua trực tâm H và hai đỉnh B,C của tam giác Phân tích: Đây là bài tốn có u cầu: Viết phương trình đường trịn. Khi gặp  bài tốn này học sinh sẽ nghĩ đến  một trong hai hướng giải sau: Hướng thứ  nhất: Tìm tâm I của đường trịn cần tìm dựa trên các giả  thiết của  bài tốn sau đó tính R= IB hoặc R= IC 9/19 Sử dụng phép biến hình vào một số bài tốn viết phương trình đường trịn Hướng thứ hai: Tìm toạ độ điểm H là trực tâm tam giác ABC sau đó viết phương  trình đường trịn qua ba điểm H, B, C Tuy nhiên giả thiết của bài tốn khơng cho phép làm được các việc trên vì   đây có vơ số  tam giác ABC thoả  mãn u cầu đầu bài do điểm A khơng xác   định cụ  thể. Nhưng nếu suy nghĩ kĩ học sinh có thể  để  ý thấy mặc dù điểm A   khơng xác định cụ thể về vị trí nhưng quỹ tích của A đã xác định và đặt câu hỏi   đường trịn cần tìm có liên quan gì đến (quỹ  tích của điểm A) đường trịn đã  cho?  Và nếu học sinh đã biết bài tốn ở trên thì dễ ràng đưa ra ba cách giải cho  ví dụ này như sau: Cách 1 (Dùng phép tịnh tiến) B1: Gọi BB’ là đường kính của đường trịn. Chứng minh đường trịn cần tìm là  uuuur ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo   B ' C uuuur B2: Tìm  toạ độ tâm I và bán kính của (C) từ đó suy ra toạ độ B’ và toạ độ  B ' C uur uuuur B3: Tìm I’ là tâm đường trịn cần tìm qua hệ thức  II ' = B ' C  và viết phương trình  đường trịn (C’) tâm I’ , bán kính R Cách 2 (Dùng phép đối xứng tâm) B1: Gọi D là trung điểm của BC, chứng minh đường trịn cần tìm là ảnh của (C)  qua phép đối xứng tâm D B2: Tìm tâm I và bán kính của (C), tìm toạ độ D uuur uuur B3: Tìm  I’ là tâm đường trịn cần tìm qua hệ thức  DI ' = − DI , viết phương trình  đường trịn (C’) tâm I’, bán kính R Cách 3 (Dùng phép đối xứng trục) B1: Chứng minh đường trịn cần tìm là ảnh của (C) qua phép đối xứng trục BC B2: Tìm tâm I và bán kính R của (C), tìm I’ đối xứng I qua BC B3: Viết phương trình đường trịn (C’) tâm I’, bán kính R Ví dụ  2.  Trên mặt phẳng Oxy,   cho tam giác ABC. Biết trực tâm tam giác là   H(2;2)     đường   tròn     qua   chân     đường   cao     tam   giác     (C): x + y − x − y + =  Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác Cách giải: B1: Chứng minh phép vị tự tâm H tỉ số 2 biến chân các đường cao của tam giác   thành các điểm tương ứng trên đường trịn ngoại tiếp tam giác. Suy ra phép vị tự  10/19 Sử dụng phép biến hình vào một số bài tốn viết phương trình đường trịn tâm H tỉ  số  2 biến đường trịn đi qua chân các đường cao của tam giác thành  đường trịn ngoại tiếp tam giác B2: Tìm I là tâm, R là bán kính của đường trịn (C), tìm I’ là ảnh của I qua phép  uuur uuur vị tự tâm H tỉ số 2 qua hệ thức  HI ' = HI , R’=2R B3: Viết phương trình đường trịn (C’) tâm I’, bán kính R’ Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có trực tâm H  a/ Chứng minh rằng các đường trịn ngoại tiếp các tam giác  HAB,HBC,HCA có   bán kính bằng nhau  b/ Gọi  O1 , O2 , O3  là tâm các đường trịn nói trên . Chứng minh rằng đường trịn đi   qua ba điểm  O1 , O2 , O3  bằng đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC  Hd Giải:  a/ Giả sử  O1  là tâm của đường trịn ngoại tiếp tam giác HBC , thì  O1  chính là ảnh  của (O) qua phép đối xứng trục BC . Cho nên bán kính của chúng bằng nhau .  Tương tự  hai đường trịn ngoại tiếp của hai tam giác cịn lại có bán kính bằng  bán kính của (O)  b/ Ta hồn tồn chứng minh được  O1 , O2 , O3  là các  ảnh của O qua phép đối xứng  trục BC,CA,AB . Vì vậy bán kính các đường trịn này bằng nhau . Mặt khác ta  chứng minh tam giác ABC bằng tam giác  O1O2O3   Ví dụ 4 ( bài tốn 2­tr17­HH11NC) Cho đường trịn (O;R) và hai điểm A, B cố  định . Với mỗi điểm M, ta xác định   uuuuur uuur uuur điểm M’ sao cho  MM ' = MA + MB  Tìm quỹ  tích điểm M’ khi điểm M chạy trên  (O;R)  HD Giải: ­ Gọi I là trung điểm của AB . Theo tính chất của véc tơ trung tuyến thì :  uuur uuur uuur uuuuur uuur MA + MB = 2MI  , suy ra :  MM ' = 2MI  Có nghĩa là I là trung điểm của MM’  ­ Vì A,B cố  định , cho nên I cố  định . Do đó  DI : M M '  . Nhưng M chạy trên  (O;R) cho nên M’ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I sẽ chạy trên đường trịn   ảnh của (O;R)  ­ Cách xác định (O’;R) như sau : Nối IO kéo dài , đặt IO’=IO . Sau đó lấy O’ làm  tâm , quay đường trịn có bán kính R  Ví dụ 5 ( Bài 17­tr19­HH11NC) 11/19 Sử dụng phép biến hình vào một số bài tốn viết phương trình đường trịn Cho hai điểm B, C cố định trên đường trịn (O;R) và một điểm A thay đổi   trên đường trịn đó. Hãy dùng phép đối xứng tâm để chứng minh rằng trực tâm H  của tam giác ABC nằm trên một đường trịn cố  định. (Hay: tìm quỹ  tích của H   khi A thay đổi ) Hd Giải: ­ Nối đường kính AM, tìm vị  trí của H. Ta thấy CH ⊥ AB và MB ⊥ AB suy ra  CH//BM  Tương  tự   BH//MC    tứ   giác  BHCM  là  hình  bình  hành,  do    hai  đường chéo BC và MH cắt nhau tại trung điểm I của BC ­ Do B, C cố định cho nên I cố định. Vậy H là ảnh của M qua phép đối xứng tâm   I. Mặt khác M chạy trên (O; R) do đó H chạy trên đường trịn (O’; R) là ảnh của  (O; R) qua phép đối xứng tâm I.  Ví dụ 6 ( Bài 35­tr10­BTHH11NC) Cho đường tròn (O) và tam giác ABC. Một điểm M thay đổi trên (O). Gọi   M  là điểm đối xứng với M qua A,  M  là điểm đối xứng với  M  qua B và  M  là  điểm đối xứng với  M  qua C. Tìm quỹ tích điểm  M  ? Giải  12/19 Sử dụng phép biến hình vào một số bài tốn viết phương trình đường trịn ­ Từ hình vẽ ta có : Do M ,  M  đối xứng nhau qua B cho nên  BM = BM ( 1) ­ Vì  M và  M  đối xứng nhau qua C cho nên :  CM = CM  (2). Từ (1) và (2) chứng  tỏ BC là đường trung bình của tam giác  M 1M M , có nghĩa là BC// M 1M  (3).  ­   Gọi   D     trung   điểm     M M     AD     đường   trung   bình     tam   giác  MM 1M AD / / M 1M  (4). Từ  (3) và (4) suy ra AD//BC và tứ  giác ABCD là hình  bình hành. Có nghĩa là D cố  định. Như  vậy :  DD : M M  Mà M chạy trên (O)  cho nên  M chạy trên đường trịn (O’) là ảnh của (O) qua phép đối xứng tâm D.  Ví dụ 7  Cho hai đường trịn (O) và (O’) tiếp xúc ngồi với nhau tại A( có bán kính  khác nhau ) .Một điểm M nằm trên đường trịn (O) . Dựng đường trịn đi qua M   và tiếp xúc với O và O’.  HD Giải: ­ Vẽ hình minh họa cho học sinh .  ­ Gọi S là tâm vị tự ngồi của (O) và (O’) ,N là ảnh của M qua phép vị tự tâm S,   M’ là giao điểm thứ  hai của AN với (O’) , Gọi O’’ là giao của OM với O’M’   ( Chú ý : OM//O’N ) ta có :  O '' M O '' M ' = ( O ' N = O ' M ') nên O’’M=O’’M’ . Chứng  O'N M 'O ' tỏ (O’’) tiếp xúc với (O) và (O’) tại M và M’  ­ Cách dựng : Tìm tâm S ( kẻ tiếp tuyến chung của O và O’ cắt OO’ tại S  Nối SA cắt (O’) tại N và M’. O’ chính là giao của OM với O’M’ Ví dụ 8 ( Bài 29­tr29­HH11NC)  Cho đường trịn (O;R) và một điểm I cố  định khác O. Một điểm M thay   đổi trên đường trịn. Tia phân giác góc MOI cắt IM tại N. Tìm quỹ tích điểm N Phương pháp:  Để  giải  một  bài tốn quỹ  tích  điểm M khi  điểm A thay  đổi trên một   đường (C) cho sẵn. Trước hết ta cần phải làm một số việc sau  1. Trong hình H đã cho, ta tìm ra một điểm A thay đổi trên một đường (C ) cho   sẵn nào đó (có thể là đường trịn, có thể là một đường thẳng) sao cho AM nằm  trên một đường thẳng đi qua một điểm cố định I nào đó 13/19 Sử dụng phép biến hình vào một số bài tốn viết phương trình đường trịn 2. Gán cho A và M cùng với I hai tam giác dồng dạng, từ  đó tìm ra một tỉ  số  khơng đối k uuur uur 3. Viết đẳng thức véc tơ  :  IM = k IA  để kết luận M là  ảnh của A qua phép vị  tự  tâm I với tỉ số vị tự là k  4. Nếu A chạy trên (C ) thì M chạy trên (C’) là ảnh của (C ) qua phép vị tự tâm I   tỉ số k. Nêu cách dựng (C’)  HD Giải:  Từ  hình vẽ  và tính chất của đường phân giác trong chia cạnh đối diện làm hai   doạn thẳng tỷ lệ với hai cạnh kề của hai cạnh đó. Ta có kết quả sau : * Do O, I cố  định cho nên OI=a khơng đổi. Gọi N là chân đường phân giác của   góc   MOI   (   N   thuộc   IM),   từ     ta   có   :  NI OI a NI a a = = � = � IN = IM NM OM R NM + NI a + R a+R uur a a uuur IM � IN = IM   Hay:  � IN = a+R a+R Vì I cố định cho nên  V( I ,k ) : M N  Nhưng M chạy trên đường trịn (O;R) cho nên  N chạy trên đường tròn (C’) là ảnh của (O;R) qua phép vị  tự  tâm I tỉ  số  vị  tự  là  k  * Cách xác định (O’;R’) như sau  uuur uur ­ Nối OI , tìm O’ sao cho :  IO ' = kOI  , từ đó suy ra O’ ­ Bán kính R’ được xác định bằng cơng thức : k= R’/R suy ra : R’=kR  ( Hoặc : lấy O’ làm tâm quay một đường trịn có bán kính là O’N )  14/19 Sử dụng phép biến hình vào một số bài tốn viết phương trình đường trịn Một số bài tập tương tự 1. Trên mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có H (0;1) là trực tâm biết phương   trình   cạnh   BC     x − y + = ,   phương   trình   đường   trịn   qua   H,B,C   là  ( x + 2) + ( y + 4) = 13  Tìm toạ độ đỉnh A của tam giác và viết phương trình đường  trịn ngoại tiếp tam giác 2. Trên mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC, cạnh AB nằm trên trục Ox, phương   trình đường trịn đia qua trực tâm tam giác và các đỉnh A, B là  x + y + x + y − =  Tìm các đỉnh A, B của tam giác và viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam  giác ABC 3. Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC. Biết trực tâm của tam giác là   H(1;1) và đường trịn ngoại tiếp tam giác có phương trình  ( x − 2)2 + ( y − 3)2 = 16  Viết  phương trình đường trịn đi qua chân các đường cao của tam giác 15/19 Sử dụng phép biến hình vào một số bài tốn viết phương trình đường trịn 4. Cho đường trịn (C ) :  x + y − 6x + y + =  Tìm phương trình đường trịn (C’)  qua phép đối xứng trục d : x­y­0  5. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường trịn (O)bán kính R, các dỉnh B,C cố  định cịn A thay đổi trên (O). Chứng minh rằng trọng tâm G của tam giác ABC   chạy trên một đường trịn  6. Cho hai đường trịn (O;R) và (O’;3R) tiếp xúc trong với nhau tại A. Nếu O  biến thành O’ trong phép vị tự tâm A thì tỉ số vị tự bằng bao nhiêu? 7. Cho đường trịn (O;R) và một điểm I cố  định với OI=2R. M là một điểm di   động trên O, phân giác góc IOM cắt IM tại M’. Tìm quỹ  tích điểm M’ khi M  chạy trên đường trịn O 8. Cho hai đường trịn (O) và (O’) tiếp xúc trong với nhau tại A , đường kính kẻ  từ A cắt (O), (O’) theo thứ tự tại B, C. Qua A vẽ đường thẳng d cắt (O); (O’) tại   M, N. Tìm quỹ tích giao điểm T của BN và CM, khi d thay đổi? 9. Cho đường trịn O và một điểm A nằm trong O, M là một điểm di động trên  đường trịn O a/ Tìm quỹ tích trung điểm I của AM? b/ Đường trung trực AM cắt đường trịn O tại P và P’. Tìm quỹ tích chân đường  vng góc H kẻ từ O đến PP’? c/ Tìm quỹ tích tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác APP’? 10. Cho đường trịn (O) và một điểm P ngồi O. M là một điểm thay đổi trên O   H là hình chiếu vng góc của của O trên PM  a/ Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác POM? b/ Tìm quỹ tích các điểm H và trung điểm I của PH? PHẦN III. KẾT LUẬN KẾT QUẢ THỰC HIỆN CĨ ĐỐI CHỨNG:   Sau khi thực hiện đề tài, tơi thấy học sinh hứng thú hơn với sử dụng phép   biến hình vào giải tốn. Tơi cho học sinh trả lời câu hỏi điều tra kết quả thay đổi   rõ ràng so với trước khi thực hiện đề tài. Cụ thể là:  Câu hỏi điều tra:  Đứng trước một bài tốn trong mặt phẳng tọa độ  u  cầu tìm ảnh của một đường trịn qua một đường trịn đã biết em sẽ :  Cố gắng giải bằng cách tìm tâm và bán kính thơng qua biểu thức tọa độ  Cố gắng giải bằng phép biến hình 16/19 Sử dụng phép biến hình vào một số bài tốn viết phương trình đường trịn  Lựa chọn phương pháp giải (dùng biểu thức tọa độ  hoặc phép biến hình)   tùy theo đặc điểm từng bài Kết quả :  Nội dung Kết quả Cố gắng giải bằng biểu thức tọa độ 15 Cố gắng giải bằng phép biến hình Lựa chọn phương pháp giải tùy theo  đặc điểm từng bài 29 Như vậy đứng trước một bài tốn học sinh đã có sự linh hoạt, tự tin để lựa chọn   phương pháp giải phù hợp; từ  đó mà năng lực giải tốn của các em cũng được   phát triển BÀI HỌC KINH NGHIỆM Từ bài tốn trên tơi rút ra một số bài học kinh nghiệm sau: Về bài tốn viết phương trình đường trịn: Để viết phương trình nói chung   cần đi xác định tâm và bán kính của đường trịn. Để làm được điều này cần chú  ý đến sự mơ tả của giả thiết về đường trịn cần tìm và mối quan hệ giữa các đối   tượng cho trong bài tồn. Tìm hiểu thêm các bài tốn trong chương III­ SGK hình  học lớp 10 cũ và chương I sách giáo khoa lớp 11 mới để  đưa ra một số bài tốn  viết phương trình đường trịn bằng việc ứng dụng phép biến hình Về việc bồi dưỡng nâng cao trình độ chun mơn: Khơng ngừng tìm hiểu   học tập, sáng tạo trong q trình cơng tác Về  phương pháp dạy học: Cần tìm cách khai thác kết quả  các bài tốn  trong sách giáo khoa để  đưa ra các bài tốn cụ  thể, phù hợp hoặc tổng qt các   bài tốn cụ  thể  thành một bài tốn có phương pháp giải chung. Điều này giúp   nâng cao khả năng sáng tạo của giáo viên đồng thời cũng giúp học sinh có những   “ Bữa ăn cải thiện” trong q trình học tốn, tạo sự  hứng thú, phấn khởi, khơi  dậy lịng đam mê và khả năng sáng tạo của học sinh.   KIẾN NGHỊ Đề nghị hội đồng khoa học nhà trường xem xét thẩm định và giới thiệu đề  tài đến các giáo viên dạy tốn cùng tham khảo 17/19 Sử dụng phép biến hình vào một số bài tốn viết phương trình đường trịn Tơi nghĩ đây là một nội dung khá phong phú rất mong được các đồng  nghiệp quan tâm khai thác, đề  xuất ý kiến bổ  xung cho đề  tài ngày càng hồn   thiện Tơi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh nghiệm của mình viết khơng sao  chép nội dung của người khác! TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa hình học, sách bài tập 10 ­2003, NXB Giáo dục Sách giáo khoa, Sách bài tập hình học 11 chương trình chuẩn, 2007, NXB   Giáo dục Sách giáo khoa, sách bài tập hình học 11 chương trình nâng cao, 2007,  NXB Giáo dục Các bài giảng luyện thi mơn Tốn, NXB Giáo dục, Tác giả Nguyễn Mạnh   Sơn, Nguyễn Dỗn Phú, Lê Duy Nam Internet Phần mềm vẽ hình Cabri II 18/19 Sử dụng phép biến hình vào một số bài tốn viết phương trình đường trịn MỤC LỤC 19/19 ...  trong mặt phẳng. Do vậy cùng với việc? ?trình? ?bày khái niệm các   phép? ?biến? ?hình? ?trong chương này học sinh biết được biểu thức toạ  độ  của các  4/19 Sử? ?dụng? ?phép? ?biến? ?hình? ?vào? ?một? ?số? ?bài? ?tốn? ?viết? ?phương? ?trình? ?đường? ?trịn phép? ?biến? ?hình,  các? ?bài? ?tập trong chương này cũng chủ... kính R thành? ?một? ?đường? ?trịn có bán kính  k R (k là tỉ? ?số? ?vị tự) Và hai? ?bài? ?tốn quen thuộc: Bài? ?tốn 1 6/19 Sử? ?dụng? ?phép? ?biến? ?hình? ?vào? ?một? ?số? ?bài? ?tốn? ?viết? ?phương? ?trình? ?đường? ?trịn Cho? ?đường? ?trịn tâm O và hai điểm B,C cố... sẵn nào đó (có thể là? ?đường? ?trịn, có thể là? ?một? ?đường? ?thẳng) sao cho AM nằm  trên? ?một? ?đường? ?thẳng đi qua? ?một? ?điểm cố định I nào đó 13/19 Sử? ?dụng? ?phép? ?biến? ?hình? ?vào? ?một? ?số? ?bài? ?tốn? ?viết? ?phương? ?trình? ?đường? ?trịn