MỘT số bài TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG với các yếu tố TRONG TAM GIÁC

Viết phương trình các cạnh của tam giác hi biết Các đường trong tam giác Khi biết hai đường cao và 1 đỉnh, khi biết hai đường trung tuyến và 1 đỉnh, khi biết hai đường phân giác và 1 đỉnh, khi biết 2 đường và 1 đỉnh

MỘT SỐ BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VỚI CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC

ĐẶT VẤN ĐỀ

I Lý do chọn đề tài

Bài toán về viết phương trình đường thẳng trong hình học phẳng là một trong những bài toán rất quan trọng, trong đó bài toán viết phương trình các đường trong tam giác khi biết các yếu tố liên quan là bài toán cơ bản rất hay ra trong các sách nâng cao, đề thi chuyên đề, đề thi đại học, cao đẳng Trong các sách tham khảo hiện nay có một số bài toán đơn lẻ về các đường trong tam giác

mà chưa hệ thống thành phương pháp chung để giải các dạng bài tập này Chính

vì vậy bài viết này của tôi nhằm mục đích tổng hợp một số dạng toán liên quan đến hai đường trong tam giác, đưa ra phương pháp giải cho mỗi dạng toán cụ thể qua đó giúp thầy và trò hệ thống, củng cố kiến thức, có cái nhìn thấu đáo về tính chất của các đường trong tam giác, vận dụng làm được các bài toán liên quan đến các đường trong tam giác Từ đó trang bị kiến thức để làm được các bài tập

về phương trình đường thẳng có liên quan đến các đường trong tam giác Bài viết giới thiệu một số bài toán viết phương trình các cạnh của tam giác khi biết một đỉnh và hai đường trong tam giác không chứa đỉnh đó

II Mục đích nghiên cứu

Chia sẻ với đồng nghiệp và các em học sinh kiến thức, kinh nghiệm để làm

được các bài tập về viết phương trình đường thẳng trong tam giác

Bản thân nhằm rèn luyện chuyên môn và nâng cao nghiệp vụ sư phạm.

III Phạm vi và đối tượng nghiên cứu

Đề tài áp dụng cho tất cả giáo viên dạy toán ở phổ thông tham khảo và các

em học sinh lớp 10, lớp 12 ôn thi đại học

Phạm vi nghiên cứu bao gồm:

Đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác trong tam giác

IV Điểm mới trong kết quả nghiên cứu

Các vấn đề sử dụng tính chất các đường cao, đường phân giác, đường trung tuyến trong tam giác để giải các bài toán về viết phương trình các đường trong tam giác, tìm điểm liên quan được tổng hợp một cách đầy đủ, tổng quát

PHẦN NỘI DUNG

I Cơ sở lý luận

Một trong những nhiệm vụ dạy học môn toán chương trình phổ thông, đặc biệt là dạy hình học phẳng là hướng dẫn cho học sinh biết vận dụng các tính chất của các đường trong tam giác, tính chất đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác, tính chất đối xứng mà học sinh đã được học từ cấp II, kiến thức về phương trình đường thẳng học sinh học ở lớp 10 để giải các bài tập có liên quan

II Cơ sở thực tiễn

Bài toán hình học phẳng là bài toán khó đối với học sinh, kể cả học sinh

đang học lớp 10 hay học sinh ôn thi đại học lớp 12 Vì vậy việc hệ thống thành các dạng bài tập với phương pháp giải cho từng dạng là việc rất quan trọng, giảm bớt khó khăn, lúng túng cho học sinh khi giải các bài tập dạng này

III Nội dung nghiên cứu

Phần I Một số dạng toán

Dạng 1 : Cho tam giác ABC, biết tọa độ 1 đỉnh và phương trình 2 đường cao

không đi qua đỉnh đó Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC

Phương pháp chung : Giả sử tam giác có 2 đường cao

 d1 :A x B y C1  1  1  0

 d2 :A x B y C2  2  2  0

Điểm A x y 0 ; 0    d1 , d2

d1 d2 A

Viết phương trình cạnh AC, AB

Ta có  d1 AB n A B 1 1 ; 1

là 1 VTCP của AB

Suy ra phương trình cạnh AB đi qua A với VTCP n A B 1 1 ; 1

là: 0 1

x x A t

y y B t







Tương tự ta viết được phương trình cạnh AC

Viết phương trình cạnh BC :

Xác định tọa độ đỉnh B (là giao của AB và  d2 ), tọa độ đỉnh C (là giao của AC

và  d1 )

Từ đó viết phương trình cạnh BC đi qua B, nhận BC làm VTCP

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có B   4; 5 và phương trình hai đường cao

AH: 5x 3y 4 0,  CK: 3x 8y 13 0  Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC

Giải :

- Lập phương trình cạnh BC

Ta có BC AH  n15;3



là 1 VTCP của BC suy ra phương trình cạnh BC:

3x 5y 13 0 

- Lập phương trình cạnh AB

Ta có AB CK  n23;8



là 1 VTCP của AB suy ra phương trình cạnh AB:

8x 3y 17 0 

- Lập phương trình cạnh AC:

Ta đi xác định tọa độ A, C

Ta có tọa độ A là nghiệm của hệ 8 3 17 0 1  1;3

A

Tọa độ C là nghiệm của hệ 3 5 13 0 1 1; 2

C

Vậy phương trình cạnh AC là: 5x 2y 1 0 

Chú ý: Khi bài toán không cho tọa độ 1 đình mà cho pt 3 đường cao và yếu

tố bán kính đường tròn ngoại tiếp có thể giải quyết bài toán bằng cách sau: cùng với tính chất vuông góc của đường cao ta sử dụng tính chất đường Ơ-le:

[HSG 10-2013 Vĩnh Phúc] Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có

phương trình các đường cao kẻ từ đỉnh A, B, C lần lượt là x 2y 0 , x  2 0  ,

3 0

x y   Tìm tọa độ các đỉnh, biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bẳng 10 và đỉnh A có hoành độ âm

Phân tích: - Tìm trực tâm của tam

giác ABC

- Tham số hóa tọa độ các điểm

A, B, C.

- Khai thác yếu tố vuông góc của

đường cao, AH BC và BH AC

- Khai thác tính chất đường

đường thẳng Ơ – Le, OH                             3OG

với O, G lần lượt là tâm đường

tròn ngoại tiếp và trọng tâm tam

giác ABC  Tọa độ của O.

- Khai thác yếu tố OA  10

 Tọa độ A, B, C.

O G H

F

D

E

C B

A

Hướng dẫn:

Gọi H là trực tâm tam giác ABC thì tọa độ H là nghiệm của hệ phương trình

2 0

2 0

x y x





Vì A, B, C lần lượt thuộc 3 đường cao nên A a a2 ;  ,B2;b ,C c ;3  c

Từ đó: AH2 2 ;1  a  a

, BC c   2;3  b c 

, BH0;1  b



, AC c  2 ;3a  a c 



Vì H là trực tâm tam giác ABC nên . 0

AH BC

BH AC









 

a c b

b a c



 



Vì A, B không trùng với H nên hệ tương đương với c b a c  1 03 0



Gọi G là trọng tâm tam giác ABC nên 2 2; 3

G      

Ta chứng minh được OG                             3OH

a c a b c

O     

Theo giả thiết OA 2 10 hay

10

c a  b c a

Từ đó ta tìm được c 0 hoặc c 4  a 3(loại) hoặc a 1  b 3

KL: A 2; 1 ,   B2;3 , C4; 1  

Dạng 2 : Cho tam giác ABC biết tọa độ 1 đỉnh và phương trình 2 đường trung

tuyến không đi qua đỉnh đó Hãy lập phương trình các cạnh của tam giác ABC

Phương pháp chung :

M N

A

Giả sử tam giác có 2 trung tuyến:

 d1 :A x B y C1  1  1  0 qua B,  d2 :A x B y C2  2  2  0 qua C

Điểm A x y 0 ; 0    d1 , d2

Bước 1: Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC Tham số hóa tọa độ của

M, N thep pt 2 đường trung tuyến

Bước 2: Do M là trung điểm AB suy ra tọa độ B theo M, mà B thuộc d2 từ đó suy ra tọa độ B Tương tự N là trung điểm AC suy ra tọa độ C theo N, mà N thuộc d1 từ đó suy ra tọa độ C

Bước 3: Viết pt các cạnh AB, AC, BC.

Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC có A(1; 3), hai đường trung tuyến có phương trình:

 d1 :x 2y  1 0,  d2 :y  1 0 Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC

Giải:

Ta thấy A   d1 , d2 Giả sử  d1 xuất phát từ B,  d2 xuất phát từ C

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC, ta có M(a ; 1), N(2b-1; b)

Do M là trung điểm AB nên ta suy ra B(2a-1 ; -1) mà B thuộc d1 suy ra

2a-1 – 2(-1) +1 = 0 hay a=-1, khi đó B(-3 ; -1)

Mặt khác ta có N là trung điểm AC suy ra C(4b-3; 2b-3) mà C thuộc d2 nên suy ra: 2b – 3- 1 = 0 hay b=2, khi đó C(5; 1)

Phương trình cạnh AB là: x-y+2=0

Phương trình cạnh AC là: x+2y-7=0

Phương trình cạnh BC là: x-4y-1=0

Dạng 3: Cho tam giác ABC biết tọa độ đỉnh A x y 0 ; 0 và phương trình hai đường phân giác BD A x B y C: 1  1  1  0,CE A x B y C: 2  2  2  0 Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC

Phương pháp chung:

- Lập phương trình cạnh BC:

+ Gọi H, K lần lượt là điểm đối xứng

của A qua BD, CE I là giao của CE và

AH, J là giao của BD và AK Ta

chứng minh H K BC,  :

D E

I J A

+ Ta có HCI CIA  (Tính chất đối xứng)

Mà BCI CIA  (Tính chất phân giác) Suy ra HCI  BCI HBC

Tương tự KBC

Theo bài toán tìm điểm đối xứng qua đường thẳng suy ra tọa độ H, K từ đó suy ra pt cạnh BC đi qua H, K

- Xác định tọa độ B là giao của BC và BD, C là giao của BC và CE

Từ đó suy ra phương trình các cạnh AB, AC

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có A(2; -1), hai đường phân giác trong:

BD: x 2y  1 0, CE: x y   3 0 Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC

Giải :

- Lập pt cạnh BC:

+ Gọi A A1 , 2 lần lượt là điểm đối xứng của A qua CE, BD

+ Ta chứng minh A A1 , 2 thuộc BC, thật vậy gọi  I AA1 CE,  J AA2 BD

Ta có  

A CI IC mà    

A

IC BCI BCI A CI  A BC Tương tự ta chứng minh được A2 BC.

Vậy phương trình cạnh BC là phương trình đường thẳng đi qua A A1 , 2 Ta đi xác định tọa độ A A1 , 2:

Ta có BDAA2  n 11; 2  

là VTCP của AA2,

Phương trình tham số củaAA2: 2  

1 2

t

 







 





,

Do J là trung điểm của AA2 nên ta có A20;3

Tương tự trên ta xác định được tọa độ I0; 3   A  1 2; 5

Vậy phương trình cạnh BC qua A A1 , 2: 4x-y+3=0

- Lập phương trình cạnh AB, AC :

+ Ta có tọa độ B là nghiệm của hệ:

5

;

7

x

x y

B

x y

y









Suy ra phương trình cạnh AB: 8x 19y  3 0

+ Ta có tọa độ C là nghiệm của hệ :

6

;

5

x

x y

C

x y

y









Suy ra phương trình cạnh AC: x 4y 6 0 

Dạng 4: Cho tam giác ABC, A x y 0 ; 0 , đường cao BH, đường trung tuyến

CM, BH:A x B y C1  1  1  0,CM:A x B y C2  2  2  0 Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC

Phương pháp chung:

- Lập phương trình cạnh AC:

Ta có n A B 1 1 ; 1

là VTPT của

BH mà BH AC n1



là VTCP của AC, từ đó suy ra phương

trình cạnh AC

- Lập phương trình cạnh BC, AB:

A

B

C

+ Gọi M là trung điểm AB, tham số hóa tọa độ M theo pt (CM),

+ Có M là trung điểm AB ta suy ra tọa độ điểm B theo M, lại có B thuộc (BH) suy ra tọa độ điểm B suy ra phương trình cạnh AB

+ Xác định tọa độ C:

Tọa độ C là nghiệm của hệ pt ( )  ; 

pt CM

C x y

pt AC







Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có C3;5, đường cao BH, trung tuyến AM có phương trình: BH: 5x 4y 1 0,  AM: 8x y  7 0  Lập phương trình các cạnh tam giác ABC

Giải :

- Lập phương trình cạnh AC:

Do BH AC n15;4



là VTCP của AC suy ra phương trình AC:

3 5 ,

5 4

t

 







 





Ta có M(m; 7 – 8m) thuộc AM

Mà M là trung điểm BC suy ra B(2m-3; 9-16m), B thuộc (BH) suy ra:

5(2m-3)+4(9-16m)-1=0  m=10/27 suy ra 61 83;

27 27

B  

Suy ra phương trình cạnh BC: 52x 142y 554 0 

- Lập phương trình cạnh AB :

Tọa độ điểm A thỏa mãn hệ

1

1

2

2

x

x y

t







 







Suy ra phương trình cạnh AB: 4x 149y 445 0 

Nhận xét : Với những kiến thức của dạng toán trên ta có thể giải được bài toán sau :

[KA-2010] Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân tại A6;6, đường thẳng qua trung điểm 2 cạnh AB, AC có phương trình d x y:   4 0  Tìm tọa độ các đỉnh B, C, biết điểm E1; 3   thuộc đường cao kẻ từ đỉnh C.

Phân tích:

- Đường thẳng d song song với

cạnh đáy BC.

- Đường thẳng d vuông góc và cắt

đường cao AH tại trung điểm của

nó nên ta viết được phương trình

AH, tìm được tọa độ I và H, viết

được phương trình BC.

- Do H là trung điểm BC nên chỉ

cần tham số hóa B thì có được

tọa độ C Từ đó khai thác tính

chất điểm E1; 3   nằm trên

đường cao ta tìm được tham số và

kết luận.

d I

H

A

E

Hướng dẫn:

Gọi H là chân đường cao của tam giác kẻ từ A  AH d x y:   4 0 

Suy ra phương trình đường cao AH x y:   0 Gọi I AHd  I2; 2 Do tam giác ABC cân nên I chính là trung điểm của AH H 2; 2  

BC qua H và song song với d  phương trình BC x y:    4 0

B BC  B b b  , tam giác ABC cân nên H là trung điểm của BC, suy ra



 





Do E thuộc đường cao kẻ từ C   AB CE  0

 6  b 5 b  10 b   3 b  0



 



Kl: Vậy B0; 4 ;   C 4;0 hoặc B 6; 2 ; C2; 6  

Dạng 5: Cho tam giác ABC có A x y 0 ; 0, đường cao BH:A x B y C1  1  1  0, đường phân giác CD A x B y C: 2  2  2  0 Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC.

Phương pháp chung:

- Lập phương trình cạnh AC:

Ta có n A B 1 1 ; 1

là VTPT của

BH mà BH AC n1



là VTCP

I

E

A

B

C

của AC, từ đó suy ra phương trình cạnh AC

Lập pt cạnh BC:

Gọi E là điểm đối xứng của A qua CD, ta chứng minh E CD

Ta có ECI IC A (tính chất đối xứng)

Mà ACI ICB (tính chất phân giác) suy ra ECI  ICB E BC

Gọi I là giao điểm của AE và CD

+ Viết phương trình đường thẳng AA ' đi qua A và vuông góc với CD, ta có

2 2 ; 2

n A B

là VTCP của AE suy ra pt AE: 0 2  

x x A t

t

y y B t











+ Tọa độ I thỏa mãn hệ phương trình:  

A

;

E

I a b CD









Do I là trung điểm '

2 2



+ Tọa độ của C là nghiệm của hệ phương trình  

AC

C CD









Suy ra phương trình cạnh BC đi qua C và E

- Lập phương trình cạnh AB:

Tọa độ B là nghiệm của hệ  

BC

B BH









Suy ra phương trình cạnh AB đi qua A, B

Ví dụ5: Cho tam giác ABC có A2; 2, đường cao BH: 9x 3y 4 0  ,

phân giác CD x y:   2 0  Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC

Giải :

- Lập phương trình cạnh AC:

Ta có BH AC n 19; 3  

là VTCP của AC suy ra phương trình AC:

2 9  

2 3

t

 







 



- Lập phương trình cạnh BC :

+ Gọi '

A là điểm đối xứng của A qua CD, ta có: ACI' IC A (tính chất đối xứng)

mà ACI  ICB (tính chất phân giác) suy ra ACI' ICB  A' BC.

+ Lập phương trình đường AA ' đi qua A và vuông góc với CD:

Do AA 'vuông góc với CD nên có n 21;1

là VTCP của AA '

suy ra phương trình của AA ': 2  

2

t

 







 



+ Gọi I là giao điểm của AA ' và CD suy ra tọa độ I thỏa mãn hệ :





+ Do I là trung điểm của '

'

0;0

A

3

x y

t













Phương trình cạnh BC (đi qua C và A'): 3x y  0

- Lập phương trình cạnh AB:

+ Tọa độ B là nghiệm của hệ

2

;

3

x

x y

B

x y

y









Suy ra phương trình cạnh AB: 3x 2y 2 0 

Nhận xét: Với kiến thức trên ta có thể giải quyết được bài toán sau:

[Khối B-2008] Trong mặt phẳng Oxy, xác định các đỉnh của tam giác ABC

biết hình chiếu vuông góc của đỉnh C lên AB là điểm H(-1; -1), đường phân giác trong của góc A có pt: x-y+2=0, đường cao kẻ từ B có pt: 4x+3y-1=0.

Phân tích đề - Khai thác tính đối xứng của đường phân giác tìm tọa độ điểm

K đối xứng với H qua đường phân giác.

-Khai thác tính chất vuông góc của đường cao viết phương trình

AC, suy ra tọa độ A và phương trình HC  tọa độ CHCAC .

Hướng dẫn:

Gọi K là điểm đối xứng với H qua

phân giác góc A HK x y:    2 0

Gọi M là giao của HK và phân giác

góc A M( 2;0)   K( 3;1)  .

Đường AC qua K và vuông góc với

đường cao kẻ từ B, suy ra:

AC: 3x 4  y 13 0   A(5;7)

K H

C B

A

P

Dạng 6 : Cho tam giác ABC có A x y 0 ; 0, đường trung tuyến BM có phương trình: A x B y C1  1  1  0,đường phân giác CD A x B y C: 2  2  2  0 Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC

Phương pháp chung:

A

D

E

- Lập phương trình cạnh AC:

Ta có MBM  A x1 M B y1 M C1  0 (1)

Có C CD  A x2 CB y2 CC 2  0 (2)

0



Thế (3) vào (2) ta có : A22x M  x0B22y M  y0C2  0 (4)

Giải hệ (1), (4) ta được: M  ; 

M

x a

M a b

y b













Suy ra phương trình cạnh AC (đi qua A và M): A x B y C3  3  3  0

- Lập phương trình cạnh BC:

+ Gọi E là điểm đối xứng của A qua CD

Ta có ECI IC A (tính chất đối xứng)

mà ACI  ICB (tính chất phân giác) suy ra ECI  ICB E BC

+ Viết phương trình AE qua A và vuông góc với CD: