Mục đích nghiên cứu đề tài là tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh vùng cao và tạo cho học sinh có hứng thú học tích phân, đặc biệt giúp học sinh chủ động khi đứng trước những loại tích phân kiểu này.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA TRƯỜNG THPT MƯỜNG LÁT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG MỘT SỐ KẾT QUẢ “ĐẸP” CỦA HÀM SỐ VÀ TÍCH PHÂN LIÊN KẾT ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN Họ và tên: Đỗ Đình Bằng Chức vụ: Giáo viên Tốn Đơn vị: Trường THPT Mường Lát Sáng kiến kinh nghiệm thuộc lĩnh vực: Tốn học THANH HĨA NĂM 2016 Phụ lục 1. Mở đầu 1.1. Lí chọn đề tài 2 1.2 M ục đích nghiên cứu 2 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu .2 2. Nội dung sáng kiến 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Sử dụng số kết “đẹp” hàm số để tính tích phân Kết quả 1 Kết quả 2 Kết quả 3 Kết quả 4 Kết quả 5 10 Kết quả 6 12 Kết quả 7 13 Bài tập tương tự 14 2.3.2 Sử dụng tích phân liên kết để tính tích phân 15 Bài tập tương tự 18 2.4 Hiệu sáng kiến 19 3. Kết luận 3.1 Kết luận .19 3.2. Kiến nghị 20 1. Mở đầu 1.1. Lí do chọn đề tài Phép tính tích phân và vi phân đã được hai nhà tốn học nổi tiếng I. Newton (1643 – 1727) người Anh và G. Leibniz (1646 – 1716) người Đức, sáng tạo ra đồng thời và độc lập với nhau và họ đã giải quyết khối lượng lớn các bài tốn quan trọng trong lĩnh vực tốn học, đặc biệt là các bài tốn về tích phân Cho đến ngày nay tích phân rất quan trọng trong bộ mơn Giải tích tốn học, nó có nhiều ứng dụng như: Tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể, thể tích khối trịn xoay , chính vì quan trọng như vậy đã đưa vào giảng dạy chương trình Giải tích lớp 12. Hơn thế nữa, trong một số đề thi Đại học và đề thi học sinh giỏi tốn có những bài tích phân khơng dễ dàng chút nào, để làm được nó chúng ta phải có một cái nhìn thật khéo léo và tinh tế cộng với sự hiểu biết của mình về một số tính chất của hàm số thì bài tốn được giải quyết một cách nhẹ nhàng. Với hy vọng giúp học sinh học tốt hơn phần tích phân, nhất là học sinh ơn thi Đại học và thi học sinh giỏi tốn, tơi mạnh dạn đề xuất sáng kiến của mình “Sử dụng một số kết quả “đẹp” của hàm số và tích phân liên kết để tính tích phân” 1.2. Mục đích nghiên cứu Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh vùng cao và tạo cho học sinh có hứng thú học tích phân, đặc biệt giúp học sinh chủ động khi đứng trước những loại tích phân kiểu này 1.3. Đối tượng nghiên cứu Sử dụng một số kết quả “đẹp” của hàm số và tích phân liên kết để tính tích phân 1.4. Phương pháp nghiên cứu Trong q trình nghiên cứu sáng kiến tơi đã sử dụng những phương pháp sau: +) Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo và một số tài liệu khác có liên quan đến đề tài +) Phương pháp sư phạm: Thơng qua các tiết giảng dạy trên lớp +) Phương pháp quan sát: Quan sát dạy và học ở Trường THPT Mường lát 2. Nơi dung sáng kiến 2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến Trình bày một số kết quả của hàm số như: Hàm số chẳn, hàm số lẻ, hàm số tuần hồn , mà tơi gọi đó là kết quả “đẹp’’ vào tính một số bài tốn tích phân là rất cần thiết, sở dỉ trong chương trình Giải tích 12 khơng trình bày những kết quả nêu trên vào việc tính tích phân, đơi khi ta gặp những bài tốn tích phân mà hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ và cận lấy tích phân trên một đoạn là tập đối xứng, hay khi gặp hàm tuần hồn mà cận lấy tích phân q sức tưởng tượng (cận q lớn) và bạn giải quyết tích phân đó cũng phải mất vài trang giấy, lời giải cồng kềnh chắc gì đã thành cơng. Hơn nữa việc trình bày những kết quả nêu trên là việc rất cần thiết trong lúc này nó giúp chúng ta tiết kiệm được thời gian để có thể giải những bài tốn đó một cách nhanh chóng và ngắn ngọn 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến Khi dạy bài Ngun hàm tích phân tơi thấy phần lớn học sinh nắm bài chưa sâu, lí do ở đây các em học phần đạo hàm ở lớp dưới chưa thành thạo. Hơn nữa đề tài này có rất ít tài liệu viết về nó và tơi đã quan tâm với hy vọng khơng những có thêm tài liệu tham khảo cho hoc sinh mà cịn được giảng dạy ở Trường THPT Trong q trình dạy và học tơi ln quan tâm dạy làm sao cho học sinh hiểu bài tốt nhất, với sự đam mê và nổ lực của mình đề tài này đã được các em học sinh khá giỏi nồng nhiệt hưởng ứng, đó cũng là bước đầu thành cơng của tơi 2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 2.3.1. Sử dụng một số kết quả “đẹp” của hàm số để tính tích phân Kết quả 1: Nếu hàm số f x liên tục và là hàm lẻ trên a a, a thì f x dx a Chứng minh: Ta có I a f x dx a a f x dx f x dx a 0 Với tích phân f x dx, ta đổi biến x t dx dt a 0 Khi đó f x dx a a f t dt a f t dt a a Thay (2) vào (1) ta được I (do f x là hàm lẻ) f x dx a f x dx a a f x dx f x dx 0 Chú ý: Hàm số f x xác định trên a, a và là hàm số lẻ trên a, a ta có f x f x như với mọi x a, a nếu Ví dụ 1.1: Cho f x dx 2016, f x hàm lẻ đoạn 1;1 Tính 0 f x dx Giải: Vì f x là hàm lẻ trên 1;1 nên x Bằng phép đổi biến x t dx dt 0 Khi đó f x dx 1 f t dt f 1;1 ta có: f t dt f x f t dt x f x dx 2016 Ví dụ 1.2: Tính tích phân I x dx ln x Giải: Ta có I x dx ln x 1 0 Với tích phân J x dx ln x x dx , ta đổi biến x ln x t dx dt Khi đó J ln t t 1 dt ln 1 t2 t2 ln t2 t ln t dt t2 t ln t2 t 1 t dt t2 t2 dt dt ln x x dx Thay (2) vào (1), ta được I Chú ý: ln t t dt 0 ln x x dx Nghĩa là tích phân khơng phụ thuộc vào cách kí hiệu biến là x hay t Nhận xét: Hàm số f x ln x x xác định trên R x R , ta có f ln x x x ln x ln x x x f x Do đó f x là hàm lẻ trên R nói riêng là lẻ trên đoạn 1;1 Theo Kết quả 1, suy ra I Ví dụ 1.3: Tính tích phân I cos x ln Giải: Ta có I Với tích phân J cos x ln Khi đó J cos x x Theo Kết quả 1, suy ra I cos x dx x t t ln dt t Nhận xét: Hàm số f x x cos x ln x dx , ta đổi biến x x Thay (2) vào (1), ta được I ta có f x cos x ln dx x x dx x x ln Ví dụ 1.4: Tính tích phân I t cos t ln dt t t dx cos x ln dt x dx x 2 2 cos x ln cos x ln x 1;1 , liên tục trên đoạn 1;1 và x x x f x f x là hàm số lẻ trên 1;1 x x 2016 sin 2016 x dx Giải: Đặt f x f x x 2016 sin 2016 x , x x 2016 sin ; , ta có 4 x 2016 sin 2016 x 2016 x f x là hàm số lẻ trên f x ; 4 Theo Kết quả 1, ta được I Nhận xét: Với bài tốn trên nếu ta sử dụng phương pháp tích phân từng phần thì đây quả là một bài tốn rất khó chịu Ví dụ 1.5: Chứng minh rằng I sin sin x nx dx n Giải: Đổi biến x t dx dt Khi đó I sin sin x nx dx sin sin t nt n dt n sin sin t nt dt Hàm số f t sin sin t nt liên tục trên ; và f t sin sin t nt sin sin t nt f t f t là hàm lẻ trên ; sin sin t nt nhờ Kết quả 1 suy ra I Nhận xét: Rõ ràng sự tiện lợi của Kết quả 1 mà ta có thể áp dụng cho một số bài tốn tích phân mà cận của nó khơng đối xứng. Kết quả 2: Nếu hàm số f x liên tục và là hàm chẵn trên a, a thì a a f x dx f x dx a Chứng minh: Ta có I a 0 f x dx a a f x dx a f x dx 0 Với tích phân f x dx, ta đổi biến x t dx dt a 0 Khi đó f x dx a a f t dt a a f t dt a Thay (2) vào (1) I f x dx (do f x là hàm lẻ) a f x dx a a f t dt f x dx Chú ý: Hàm số f x xác định trên a, a và là hàm số chẵn trên a, a nếu a, a , ta có f x f x như với mọi x Ví dụ 2.1: Cho f x dx 2016 f x hàm chẵn đoạn 1;1 Tính 0 f x dx Giải: Vì f x là hàm chẵn trên 1;1 nên x Bằng phép đổi biến x t dx dt 1;1 ta có: f x f x 0 Khi đó f x dx f t dt f t dt f t dt f x dx Ví dụ 2.2: Tính tích phân I 2016 cos xdx Giải: Hàm số f x f x cos x cos x liên tục trên cos x ; , ta có 3 f x là hàm chẵn trên f x Theo Kết quả 2, ta có I ; và x 3 cos xdx 3 cos xdx ; 3 2 cos x cos xdx 0 3 sin x d sin x 2 sin x sin x d sin x sin x sin x sin x Ví dụ 2.3: Tính tích phân I 3 2 32 17 16 x 3x x dx cos x Giải: Ta có I x 3x x dx cos x Đặt f x f x 2x dx cos x 3 3x x , x cos x x 3x cos x ; , ta có 3 x 3x x cos x x Theo Kết quả 1, ta được f x f x là hàm số lẻ trên ; 3 x 3x x dx cos x Khi đó I dx cos x tan x Nhận xét: Hàm f x 3 chẵn trên đoạn cos x Ví dụ 2.4: Tính tích phân I ; 3 I tan x 3 x tan x dx x2 1 1 Giải: Ta có I tan x dx x2 1 tan x dx x2 1 tan x Do hàm f x lẻ trên đoạn x2 1 x4 dx Xét I x2 1 Xét I1 x4 Do hàm f x I2 x tan x x4 dx dx = x2 x2 1 x2 1;1 nên từ Kết quả 1 ta có I1 chẵn trên đoạn 1;1 nên từ Kết quả 2 ta có x4 dx x2 1 x4 Khi đó I I 2 x dx 1 x dx 0 Đổi biến x tan t x dx x2 x x3 x 1 0 x dx dx 1 x dx dx 4 dt Khi đó I x4 1 dx x2 tan t dt Nhận xét: Từ Kết quả 1 và Kết quả 2 dẫn đến một kết quả “chung” sau a a a Kết quả 3: Nếu f x là hàm liên tục trên a; a thì f x dx Chứng minh: Ta có a Đổi biến x t dx f x dx Khi đó a dt t dt a a t dt a f x dx a f a f x dx Ví dụ 3.1: Tính tích phân I x dx a f x dx a a f 0 Vậy f x dx a f x dx f x dx a f x dx f a f x dx a f x a f x dx f x dx, nếu f x f x f x dx f x x tan x Giải: Ta có f x dx f x dx f x dx Đổi biến x t dx dt 0 Khi đó f x dx f t dt f t dt x dx f 3 Vậy f x dx f x f x dx x tan x dx sin x dx cos x 2x 3 xdx 0 d cos x cos x x2 ln cos x ln Ví dụ 3.2: Cho hàm số f x liên tục trên R thỏa mãn f x Tính I f 2 cos x x f x dx (ĐHSP Hà Nội 2, 1998) Giải: Nhờ Kết quả 3, ta có f x Khi đó I 3 f x dx f x 2 cos x dx sin xdx 2 cos x 2 cos x dx 2 sin x dx sin xdx cos x cos x 0 Nhận xét: Nếu chúng ta khơng biết đến Kết quả 3 thì việc tính tích phân trên vơ cùng khó khăn vì giả thiết chưa đủ để xác định được hàm số f x a Hơn nữa sự tiện lợi của nó là tính f x dx mà khơng cần biết đến hàm f x a Kết quả 4: Nếu hàm số f x liên tục và là hàm chẵn trên a, a thì a I f x dx kx a a f x dx kx a Chứng minh: Ta có I a f x dx k 0 f x dx kx a a f x dx kx 1 Với tích phân f x dx, ta đổi biến x kx a f x Khi đó a k x 1dx f k a t t a dt hàm chẵn) a Thay (2) vào (1) I f x dx kx a a f t dt 1 kt kx f x dx kx t dx a kt f t dt kt a f x dx kx dt a kx f x dx kx (do f x là a f x dx (đpcm) Ví dụ 4.1: Tính tích phân I x2 1 Giải: Ta có I Với tích phân x2 Khi đó x 0 x2 dx 3x dx 3x 1 x2 dx 3x x2 dx 3x x2 dx, ta đổi biến x x 1 dx 1 t2 dt t t2 dt 1 3t chẵn) x2 Thay (2) vào (1), ta được I Nhận xét: Hàm f x quả 4 suy ra I dx 3t t dt 3t 1 3x x dx 3x dx dt 3x x dx 3x 1 x2 x dx ( f x là hàm x dx x liên tục và là hàm số chẵn trên x3 x dx x t 1 Ví dụ 4.2: Tính tích phân I x3 1 1;1 nên từ Kết x sin x dx 2016 x Giải: Hàm f x 4 suy ra I x sin x liên tục và là hàm chẵn trên x sin x dx Đặt u x dv sin xdx Khi đó I x cos x Khi đó I x sin xdx du v Đặt ; nên từ Kết quả 2 2 0 x cos xdx x cos xdx u x dv cos xdx x sin x 2 xdx cos x du dx v sin x 2 sin xdx cos x Ví dụ 4.3: Tính tích phân I 2 sin x cos x dx 6x 10 Giải: Hàm f x sin x cos x liên tục và là hàm chẵn trên quả 4 suy ra I sin x cos x dx 4 sin x dx 4 3 sin x cos x sin x cos x dx 0 sin x cos x ; nên từ Kết 4 cos x dx cos x dx sin x 32 x 32 Nhật xét: Rõ ràng sự tiện lợi của Kết quả 4 làm cho bài tốn trở nên nhẹ nhàng hơn Ví dụ 4.4: Tính tích phân I sin x sin x cos x dx (ĐH Bách Khoa, 1999) ex Giải: Hàm f x sin x sin x cos x liên tục và là hàm chẵn trên Kết quả 4 suy ra I ; nên từ 2 12 cos x cos x cos xdx 20 sin x sin x cos xdx 2 cos x cos x cos 3x cos x dx cos x cos x cos x cos x dx 20 40 1 1 sin x sin x sin x sin x 4 0 Kết quả 5: Nếu hàm f x liên tục trên đoạn a; b thỏa mãn f x b a b f x dx a thì xf x dx a Chứng minh: Đổi biến x a b t b a a b t f a b t dt a b t f t dt a b a b b f t dt a b tf t dt a b xf x dx a b f x dx a Nhận xét: Nếu ta chọn a 0, b f sin b f x dx a b xf x dx a a b a b dt b b f sin x dx a Khi đó xf x dx f a b x b b xf x dx a a b f x dx a và f x là f sin x thỏa mãn x thì ta nhận được kết quả xf sin x dx f sin x dx 11 Ta có f sin x dx f sin x dx f sin x dx Đổi biến x t Khi đó f sin x dx dx dt f sin x dx f sin x dx f sin x dx 2 Bằng phép đổi biến x 2 0 t , ta lại có f sin x dx Ví dụ 5.1: Tính tích phân I f cos x dx x sin xdx Giải: Hàm f x sin x liên tục trên đoạn 0; x sin x sin x f x Ta có f a b x f x sin xdx Theo kết quả 5 suy ra I 20 cos x d cos x sin 2016 Khi đó I t sin 2016 t cos x sin xdx cos x cos x sin 2016 x dx sin 2016 x cos 2016 x dx 2 Ví dụ 5.2: Tính tích phân I Giải: Đổi biến x sin xdx dt t dt cos 2016 t cos 2016 t dt 2016 2016 sin t cos t cos 2016 x dx sin 2016 x cos 2016 x 2I sin 2016 x cos 2016 x dx sin 2016 x cos 2016 x 2 dx I Nhận xét: Nhờ đẳng thức (3) ta dễ dàng chứng minh bài toán tổng quát sau I cos n x dx sin n x cos n x Ví dụ 5.3: Tính tích phân I sin n x dx sin n x cos n x n R x sin x cos xdx (Học viện Ngân hàng, 1998) 12 Giải: Ta có I x sin x cos xdx x sin x sin x dx 0 sin x sin x nhờ đẳng thức (1) ta nhận được Xem hàm f sin x x sin x cos xdx I cos x sin xdx Giải: Đổi biến x 2 Khi đó sin n xdx t sin n 2 0 Ví dụ 5.4: Chứng minh rằng sin n xdx dx cos n xdx cos x n dt t dt cos xd cos x cos n tdt cos n xdx b b a a Kết quả 6: Nếu hàm f x liên tục trên đoạn a; b thì f x dx Chứng minh: Đổi biến x a b t b a Khi đó f x dx a dx dt b b f a b t dt b f a b t dt f a b x dx a Ví dụ 6.1: Tính tích phân I f a b x dx a ln tan x dx Giải: Đổi biến x t dx dt t dt Khi đó I ln tan 4 ln tan t dt tan t ln dt tan t ln 2dt ln tan t dt 0 Khi đó I ln 2dt I 2I t ln 2 t ln I ln sin x cos x (Đại học GTVT, 2001) dx cos x sin x dx cos t sin t dt sin t cos t Ví dụ 6.2: Tính tích phân I Giải: Đổi biến x dt cos t sin t dt cos t sin t cos x sin x dx cos x sin x Suy ra I sin x cos x dx cos x sin x cos x sin x dx cos x sin x sin x cos x dx sin x cos x 13 dx sin x cos x dx cos x tan x t dx cos Suy ra I sin dt t Khi đó I a cos x b sin x dx n cos x sin x cos x dx sin x cos x Giải: Đổi biến x sin x cos x dt t I t và làm tương tự Ví dụ trên ta dễ 2 dàng chứng minh được a sin x b cos nx dx Ví dụ 6.3: Tính tích phân I 4 Nhận xét: Bằng phép đổi biến x cos cos x dx sin x cos x t 2 sin t dt cos t sin t sin x dx cos x sin x dx 2 sin x dx cos x sin x I Kết quả 7: Nếu hàm số f x liên tục trên R và tuần hồn với chu kì T thì a T T f x dx f x dx a a T Khi đó dx f x dx f x dx T dt a a f t T dt T a T f x dx a a f x dx T f x dx a Đổi biến x t T R a T Chứng minh: Ta có I a f t dt f x dx 0 Thay (2) vào (1) suy ra I T f x dx a T f x dx a Ví dụ 7.1: Tính tích phân I f x dx f x dx sin x dx Giải: Ta có f x sin x là hàm liên tục và tuần hồn với chu kì T theo Kết quả 7 ta có: f x dx I f x dx f x dx f x dx nên f x dx 2 f x dx 2 sin x dx 14 2 x x cos 2 sin 2 2 dx dx 4 x x cos dx 2 x sin x cos 2 sin x sin cos x 2 2 sin x dx dx 2016 Ví dụ 7.2: Tính tích phân I cos x dx Giải: Ta có f x cos x là hàm số liên tục và tuần hồn với chu kì T nên theo kết quả 7 ta có: f x dx 2015 f x dx 2016 I f x dx 2015 f x dx 2016 sin x dx 2016 2016 cos x 2016 f x dx 2016 sin xdx quả 7 suy ra I f x dx 2015 4032 Ví dụ 7.3: Chứng minh rằng I Giải: Ta có f x f x dx 2015 2016 f x dx 2014 cos x dx 2016 f x dx 2014 f x dx sin x cos10 x dx cos 16 x 10 sin x cos x là hàm tuần hồn với chu kì T nên từ Kết cos 16 x sin x cos10 x sin x cos10 x sin x cos10 x dx dx dx cos 16 x cos 16 x cos 16 x Ngoài ra f x là hàm số lẻ trên đoạn ; nên từ Kết quả 1 suy ra I Bài tập tương tự: Tính các tích phân sau 1) I x ln 2) I 2 x dx Đs: I x cos x ln x 0 x dx (HVKT Mật mã, 1999) 15 Hướng dẫn: Dễ thấy f x x hàm lẻ ln x cos x hàm chẵn ; nên cos x ln x 2 ; và 2 x hàm lẻ trên ; 2 Theo Kết quả 1, ta được I 3) I x x ln dx Đs: I x tan 2015 x sin 2017 x dx Đs: I cos x sin x sin 4) I 4 a x sin x 5) I a2 x dx a a Hướng dẫn: Sử dụng Kết quả 1 và Kết quả 2 suy ra I 6) I a4 cos x cos x cos x dx (ĐH Mỏ Địa Chất, 1999) Đs: I f x dx, nếu f 7) I x f x x Đs: I 8) I dx cos x e 2x Đs: I 9) I x 10 10) I 11) I 13) I dx Đs: I x sin x dx Đs: I sin x cos cos x sin x cos x ln sin x 6 sin x x dx Đs: I dx Đs: I 2 ln tan sin x dx (Toán học tuổi trẻ 1/2008) Đs: I 12) I x 2 ln 16 2020 sin 2019 xdx Đs: I 14) I 0 2.3.2. Sử dụng tích phân liên kết để tính tích phân b Nhiều khi việc tính tích phân I f x dx gặp nhiều khó khăn, ta đi tìm một a b g x dx sao cho việc tính hai tích phân tích phân J I J và I J đơn a giản. Khi đó việc tính I hoặc J bằng cách giải hệ I I 2 J J Người ta nói I và J là hai tích phân liên kết với nhau sin x dx sin x cos x Ví dụ 1: Tính tích phân I cos x dx sin x cos x Giải: Xét tích phân J I J sin x cos x dx sin x cos x Ta có I J sin x cos x dx sin x cos x d sin x cos x sin x cos x ln 2 Từ (1) và (2) suy ra I 4 ln dx ln sin x cos x ln Nhận xét: Nếu bài tốn u cầu tính tích phân J ta cũng có J Ví dụ 2: Tính tích phân I Giải: Xét tích phân J 1 Ta có I J ex e ex e I J ex e ex e x x e ex e e x e x e x x x ln dx dx dx dx 1 x x dx Từ (1) và (2) suy ra I d ex e x ex e x ln e x e x ln e2 2e e2 ln 2 17 Ví dụ 3: Tính tích phân I Giải: Xét tích phân J sin x dx cos x sin x cos x dx cos x sin x sin x cos x dx sin x cos x Ta có I 3J sin x cos x dx sin x cos x sin x cos x dx sin x cos x cos x sin x I sin x cos x dx cos x sin x J x x ln tan 2 cos 13 dx 20 sin x cos x 2 dx tan x ln 3 13 20 dx sin x x x tan d tan ln sin x dx và J a sin x b cos x Từ (1) và (2) suy ra I Nhận xét: I cos x dx là hai tích phân liên a sin x b cos x kết với nhau Ví dụ 4: Tính tích phân I cos x cos xdx Giải: Xét tích phân J sin x cos xdx Ta có I J sin x cos x cos xdx cos xdx sin x 18 I J cos x sin x cos xdx cos 2 xdx x sin x cos x dx 2 4 Từ (1) và (2) suy ra I 16 Ví dụ 5: Tính tích phân I tan x dx tan x cot x Giải: Xét tích phân J cot x dx tan x cot x Ta có I I J J tan x cot x dx tan x cot x 6 3 tan x cot x dx tan x cot x dx sin x cos x sin x cos x dx sin x cos x sin x cos xdx Từ (1) và (2) suy ra I 3 sin x cos x dx 6 12 Ví dụ 6: Tính tích phân I sin x sin x cos x dx (HSG Tốn 12 Thanh Hóa, 2011) Giải: Xét tích phân J Ta có I 3J sin x cos x sin x cos x sin x cos x dx cos x cos x dx dx 12 40 dx sin x cos x dx cos x tan x 3 19 J 3I cos x sin x sin x cos x dx Từ (1) và (2) suy ra I cos x d sin x sin x 2 cos x sin x 3 cos x dx Nhận xét: Sự tiện lợi của tích phân liên kết là ta có thể tính được hai tích phân cùng một lúc mặc dù đề bài khơng u cầu Bài tập tương tự: Tính các tích phân sau 1) I 2) I 3) I cos x dx Đs: I cos x sin x sin x dx Đs: I sin x cos x cos x cos xdx Đs: I 4) I dx tan x 5) I sin x dx Đs: I sin x cos x 2 (ĐH Hồng Đức, 2000) Đs: I ln 4 2.4. Hiệu quả sáng kiến Hiệu quả thử nghiệm sáng kiến đầu năm học 2015 – 2016 tơi đã chọn nhóm 20 học sinh có học lực từ trung bình, đến giỏi Trường THPT Mường lát, để thực hiện đề tài bước đầu học sinh chưa có hứng thú học và kết quả thu được như sau: Nhóm Giỏi 20 học sinh 3 Khá 15% 7 Trung bình 35% 10 50% Kết quả thử nghiệm đến cuối tháng 4 năm học 2015 – 2016, học sinh hiểu được bài và ham học tìm tịi một số bài tốn có liên quan tới bài học. Qua đó tơi đã thu được kết quả như sau: Nhóm Giỏi Khá Trung bình 20 20 học sinh 7 35% 9 45% 4 20% Rõ ràng từ bảng kết quả thu được qua một năm thực hiện đề tài này, kết là học sinh học phần tích phân qua đề tài “Sử dụng một số kết quả “đẹp” của hàm số và tích phân liên kết để tính tích phân” có tiến bộ rõ rệt 3. Kết luận 3.1. Kết luận Nhu cầu cần thiết của người học tốn là biết vận dụng và tiếp thu những nội dung và phương pháp giải tốn hay, qua thời gian nghiên cứu và thực hiện đề tài tơi đã thu được những kết quả sau: +) Giải quyết được một số bài tốn tích phân điển hình liên quan đến đề tài +) Trình bày một số bài tốn tổng qt sau mỗi Ví dụ cụ thể +) Sử dụng tích phân liên kết để giải tốn Đối với các hàm số dưới dấu tích phân có các tính chất đặc biệt như đã trình bày ở trên thì việc lựa chọn phương pháp giải là rất quan trọng, chính vì vậy mà đề tài này tác giả đã dẫn dắc các em học sinh có cái nhìn sâu hơn về những bài tích phân kiểu này Đối với tích phân liên kết: Để lựa chọn một tích phân liên kết với một tích phân cho trước phụ thuộc vào đặc điểm của hàm dưới dấu tích phân và cận của chúng. Do đặc thù của các hàm số lượng giác nên ta thường dùng tích phân liên kết đối với các hàm lượng giác 3.2. Kiến nghị Đề tài này tơi mong rằng cần giới thiệu cho học sinh và giáo viên giảng dạy bộ mơn Tốn, đặc biệt là giáo viên ơn thi học sinh giỏi và học sinh thi Đại học cao đẳng, dù tơi đã cố gắng rất nhiều nhưng cũng khơng tránh khỏi những thiếu sót nhất định, rất mong q đọc giả góp ý cho lần đề tài sau được hồn chỉnh hơn. Tơi xin thành thật cảm ơn Ý KIẾN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng 4 năm 2016 Tơi xin cam đoan đây là SKKN do tơi nghiên cứu và thực hiện, khơng copy của người khác Đỗ Đình Bằng 21 Tài liệu tham khảo [1]. Sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản và nâng cao, NXB Giáo dục [2]. Tạp chí tốn học và tuổi trẻ, NXB Giáo dục. [3]. Các phương pháp cơ bản tìm Ngun hàm, Tích phân và Số phức (Phan Huy Khải, NXB Hà Nội, 2008). [4]. Các đề thi tuyển sinh Đại học cao đẳng [5]. Tuyển tập các chun đề và kỹ thuật tính Tích phân (Trần Phương, NXB Hà Nội, 2008). 22 23 ... em học sinh khá giỏi nồng nhiệt hưởng ứng, đó cũng là bước đầu thành cơng của? ?tơi 2.3. Các giải pháp đã? ?sử? ?dụng? ?để? ?giải quyết vấn đề 2.3.1.? ?Sử? ?dụng? ?một? ?số? ?kết? ?quả? ?? ?đẹp? ??? ?của? ?hàm? ?số? ?để? ?tính? ?tích? ?phân? ? Kết? ?quả? ?1: Nếu? ?hàm? ?số? ? f x ? ?liên? ?tục? ?và? ?là? ?hàm? ?lẻ trên ... Rõ ràng từ bảng? ?kết? ?quả? ?thu được qua? ?một? ?năm thực hiện đề tài này,? ?kết? ? là học sinh học phần ? ?tích? ?phân? ?qua đề tài ? ?Sử ? ?dụng? ?một? ?số ? ?kết? ?quả ? ?đẹp? ??? ?của? ?hàm? ?số? ?và? ?tích? ?phân? ?liên? ?kết? ?để? ?tính? ?tích? ?phân? ?? có tiến bộ rõ rệt... Với hy vọng giúp học sinh học tốt hơn phần? ?tích? ?phân, nhất là học sinh ơn thi Đại học? ?và? ?thi học sinh giỏi tốn, tơi mạnh dạn đề xuất sáng kiến? ?của mình ? ?Sử? ?dụng? ?một? ?số? ?kết? ?quả? ?? ?đẹp? ??? ?của? ?hàm? ?số? ?và? ?tích? ?phân? ?liên? ?kết? ?để tính? ?tích? ?phân? ??