Mục tiêu của đề tài là Nghiên cứu đề tài nhằm tổng hợp các bước hướng dẫn học sinh giải bài tập tích phân cơ bản một cách hợp lý và đạt hiệu quả nhanh nhất. Trên cơ sở những kinh nghiệm của bản thân, cùng với những trao đổi với đồng nghiệp để tìm ra các giải pháp hữu hiệu vận dụng trong quá trình hướng dẫn học sinh giải bài tập tích phân cơ bản. Góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở lớp 12.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA TRƯỜNG THPT BA ĐÌNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 CÁCH GIẢI CÁC DẠNG TỐN VỀ TÍNH TÍCH PHÂN CƠ BẢN Ở BẬC THPT Người thực hiện: Mai Huy Sáu Chức vụ: Giáo Viên SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HÓA NĂM 2016 MỤC LỤC Trang 1. Mở đầu Lý do chọn đề tài 1 Mục đích nghiên cứu 2 Đối tượng nghiên cứu 2 Phương pháp nghiên cứu 2 2. Nội dung sáng kiến 2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 2 2.2. Thực trạng vấn đề 3 2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã được sử dụng 2.3.1. Một số tích phân cơ bản của hàm số phân thức hữu tỷ 4 2.3.2. Một số tích phân cơ bản của hàm số vơ tỷ 6 2.3.3. Một số tích phân cơ bản của hàm số lượng giác . 12 2.3.4. Một số tích phân cơ bản của hàm số mũ và lơgarit 15 2.4. Hiệu quả SKKN 19 3. Kết luận, kiến nghị 19 1. Mở đầu Lý do chọn đề tài + Tính tích phân là bài tốn thường gặp trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT và kỳ thi tuyển sinh vào đại học. Rèn luyện cho học sinh có kỹ năng tính tích phân là nhiệm vụ đặc biệt quan trọng. Trong q trình dạy học mơn Tốn nói chung và dạy bài tập về tính tích phân trong chương trình trung học phổ thơng học sinh thường lung túng khơng biết hướng suy nghĩ tìm tịi lời giải, học sinh khơng biết bài này thì đổi biến hay dùng phương pháp tích phân từng phần. + Đối với những bài tốn như vậy, giáo viên cần hướng dẫn học sinh tìm tịi để phát hiện ra lời giải, nhằm trang bị cho học sinh tri thức suy luận, tư duy sáng tạo trong giải tốn. Chúng ta có thể thơng qua những hướng dẫn giải bài tốn “bài tốn gốc” có trong sách giáo khoa dần truyền thụ cho học sinh suy nghĩ phát hiện lời giải. Xuất phát từ bài tốn “bài tốn gốc” định hướng cho học sinh “suy luận” từ đó “quy bài tốn lạ” về “bài tốn quen” củng cố lịng tin cho học sinh học tốn, say mê với tốn và giải tốn có hiệu quả. Dạy và hướng dẫn học sinh giải tốn tích phân ở cấp THPT, tơi đặt câu hỏi: “Làm thế nào để giúp học sinh chủ động giải tốn tích phân, học sinh tin tưởng là giải được bài tốn tích phân có trong sách giáo khoa, các bài tốn tích phân trong kỳ thi THPT Quốc gia?” + Trong khoảng thời gian giảng dạy và nghiên cứu về tích phân, tơi nhận thấy hiện chưa có các tài liệu nghiên cứu nào bàn sâu và chi tiết về cách giải bài tập tích phân cơ bản thường gặp + Qua giảng dạy, tơi đúc rút kinh nghiệm và mong muốn trao đổi với đồng nghiệp một số hướng suy nghĩ để giải quyết một số bài tập tích phân cơ bản dạng quen thuộc (khơng có ý tìm ra hay đưa ra cách giải tổng qt cho một dạng tốn tích phân cụ thể, hay nêu bài tốn tổng qt và lời giải tổng qt cho tích phân ấy, mà tơi chỉ nêu các hướng giúp học sinh “biết định hướng cách giải” , suy luận được khi giải tốn tích phân) Mục đích nghiên cứu: + Nghiên cứu đề tài nhằm tổng hợp các bước hướng dẫn học sinh giải bài tập tích phân cơ bản một cách hợp lý và đạt hiệu quả nhanh nhất + Trên cơ sở những kinh nghiệm của bản thân, cùng với những trao đổi với đồng nghiệp để tìm ra các giải pháp hữu hiệu vận dụng trong q trình hướng dẫn học sinh giải bài tập tích phân cơ bản. Góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn ở lớp 12 Đối tượng nghiên cứu: Các bài tốn tích phân cơ bản thường gặp trong chương trình giải tích lớp 12 Phương pháp nghiên cứu: + Xây dựng cơ sở lí thuyết + Khảo sát thực tế + Phương pháp phân tích, suy luận, tổng hợp, so sánh… 2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 1) Bảng các ngun hàm cơ bản, các tính chất của ngun hàm, các tính chất của tích phân (SGK giải tích lớp 12) 2) Để giải tốn tích phân học sinh phải nắm được các vi phân “cơ bản” thường gặp, Chẳng hạn: dx = d ( x + b) = d (ax + b) với a ; d (e x ) = d (e x + c) = e x dx ; a dx = d (ln x) ; x 1 sin xdx = − d (cos x) = − d (cos x + b) ; sin kxdx = − d (cos kx) = − d (cos kx + b) , với k k k x sin x dx = d ( x + a ) dx = d ( ) Các vi phân phức tạp hơn: ; 2 cos x cos x x +a dx x 1 =d� ln( x + x + k ) � dx = −d ( a − x ) ; (1 − ) dx = d ( x + ) ; � � x x2 + k x2 a2 − x2 3) Ngoài ra học sinh phải nắm được các vấn đề cốt yếu sau đây: a) Sử dụng thành thạo định lý Niu tơn – Leibnitz(SGK GT 12): Nếu hàm số y = f ( x) liên tục trên [ a ; b ] và F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số b f ( x ) thì f ( x)dx = F ( x ) a b = F ( b) − F ( a) a Chú ý: Giả thiết f ( x ) liên tục trên [ a ; b ] là điều kiện bắt buộc phải có để được sử dụng định lý. Một số học sinh cứ tưởng có được F ( x ) là tính được tích phân, chẳng hạn nếu viết I = 3π 3π dx f ( x) = Ta đã bi ế t không = tanx = ? ( ) cos x cos x π � 3π � 0; nên I không tồn tại. � � � � b) Phương pháp đổi biến số. xác định tại x = Cơ sở của nó là định lý sau: Nếu t = ϕ ( x) đơn điệu trên đoạn [ a ; b ] thì b ϕ (b ) , f (ϕ ( x ))ϕ ( x)dx = �f (t )dt (SGK giải tích lớp 12) � ϕ (a) a c) Phương pháp tích phân từng phần b b b udv = uv − � vdu (SGK giải tích lớp 12) Ta có: � a a a 2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Qua giảng dạy bài tốn tính tích phân, học sinh thường lúng túng gặp nhiều khó khăn. Khơng biết bài này dùng phương pháp tính nào đổi biến hay tích phân từng phần), nếu đổi biến số thì đổi như thế nào(đặt x = t hay t = u ( x ) ), cịn nếu dùng phương pháp tích phân từng phần thì khơng biết chọn u và dv sao cho thích hợp…Kết quả khảo sát khi tơi dạy phần tích phân cho học sinh lớp 12 năm học 2013 2014 khi chưa áp dụng sáng kiến này: Điểm 0, m ) ax + bx + c β β mx + n d (ax + bx + c) dx dx = A.� + B.� ax + bx + c ax + bx + c α α ax + bx + c α Tìm A, B bằng phương pháp hệ số bất định Ví dụ 11. Tính tích phân: I = 5x − dx x + 8x + 5x − (2 x + x + 1) ' Ta tìm A ; B sao cho = A +B 2x2 + 8x + x2 + 8x + x + x + d (2 x + x + 1) dx Khi đó = I = − 13 � A = ; B = − 13 � � 2 2 x + 8x + 2 x + 8x + 10 2d = 2 x x Với J = β dx x2 + 8x + 2 x x −13J đưa về dạng α dx x2 + k (quen thuộc) f) Khi gặp tích phân dạng: x ax + b hoặc dạng ax + b thì đặt t = ax + b a còn khi gặp dạng a − b x ta đặt x = sin t sint b Ví dụ 12. Tính tích phân: I = Vậy: I = dt = t x − x2 dx tdt = − xdx và x = thì t = ; x = thì t = t = − x2 +) Cách 1:Đặt t = − x 2 x =2− 3 +) Cách 2: Nhận thấy trong căn có dạng a − x nên ta đặt x = 2sin t π dx = 2costdt khi đó: I = sin tdt Ví dụ 13. Tính tích phân : I = x − x dx (ĐH khối B – 2013) +)Cách 1: Đặt t = − x t = Vậy: I = 2 tdt = − xdx và x = thì t = ; khi x = thì t = − x2 t3 2 −1 t dt = = 31 +) Cách 2: Nhận thấy trong căn có dạng a − x nên ta đặt x = sin t π π dx = 2costdt khi đó: I = sin 2tdt = − cos2t =1 Bài tập tương tự. Tính tích phân I = x + 3x dx ; g) Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có chứa n ax + b thi ta thường đặt t = n ax + b Ví dụ 14: Tính tích phân I = xdx (ĐH. A2004) 1 + x −1 11 dx = 2tdt ; Đổi biến số dạng 1: Đặt t = x − t = x −1 Đổi cận : khi x = thì t = ; khi x = thì t =1 I = ( + t ) 2tdt = 2 1+ t t + t3 dt (đây là tích phân hàm hữu tỉ, từ đó tính được I ) 1+ t Ví dụ 15. Tính tích phân I = 7 x +1 dx 3x + ( 3x +1) + � � �dx = Ta có I = � 30 3� ( 3x +1) + ( 3x +1) 90� � 3x +1 − 1� 3� d � ( 3x +1) �7 1� 46 = � ( 3x + 1) + ( x + 1) �3 = 9� 15 �0 Bài tập tương tự: I = x − xdx ; J = 1 ( x − 1) xdx 2.3.3. Một số tích phân cơ bản của hàm số lượng giác: a) Tích phân K1 = b dx Ta có thể tính bằng các cách đổi biến sau: sin x a b x dx dt � K1 = +) Cách 1: Đặt t = tan � dt = x t a 2.cos 2 b b b dx sin xdx d (cosx) t = cosx , đưa về cách tính tích =−� +) Cách 2: K1 = � = � 2 (Đặt sin x − cos x − cos x a a a phân hàm phân thức hữu tỷ) b) Tích phân K = b dx cosx a x 1− t2 Cách 1: Đặt t = tan thay cos x = 1+ t2 K2 = b dt a 1− t b dx b d (sin x) Cách 2: Nhân tử và mẫu với cosx , ta có K = � = � (Đặt t = sin x , đưa cosx a − sin x a về cách tính tích phân hàm phân thức hữu tỷ quen thuộc) 12 x π x π b + tan ( − ) b d (tan( − )) dx dx = − =� Cách 3: K = � π � π x π x � � a tan( − ) a sin a tan( − ) � − x� x 2 � � �x π �b = − ln tan � − � �2 �a b b c) Tích phân dang: K = R ( sin x ;cos x ) dx (trong đó R là hàm số phân thức hữu tỉ) a Thơng thường ta đưa về tích phân của hàm hữu tỉ bằng phép đổi biến đặt t = tan x i)Trường hợp đặc biệt: +) Nếu R ( sin x; cosx ) là hàm số lẻ đối với sin x thì đặt t = cosx +) Nếu R ( sin x; cosx ) là hàm số lẻ đối với cosx thì đặt t = sin x +) Nếu R ( sin x; cosx ) là hàm số đều chẵn đối với sin x và cosx thì ta đặt t = tan x ii) Trường hợp tổng quát: Ta hướng dẫn học sinh áp dụng mệnh đề sau: b Giả sử phải tính R ( sin x ;cos x ) dx , ( trong đó R là hàm số phân thức hữu tỉ) a Ta kí hiệu ω ( x) = R ( sin x,cos x ) dx gọi là vi phân của hàm phải tính +) Nếu ω ( − x ) = ω ( x ) thì ta đổi biến số: u = cosx +) Nếu ω ( π − x ) = ω ( x ) thì ta đổi biến số: u = sin x +) Nếu ω ( π + x ) = ω ( x ) thì ta đổi biếnsố: u = tan x Ví dụ 16. Tính tích phân: I = π sin x dx ( Đề thi TN năm 2006) − cos x sin x dx Ta có x = x nên đổi biến số u = cosx , Đặt ω ( x ) = − cos x t dt , đây là tích phân quen thuộc đưa tích phân I = − t π 3 sin x sin xdx Bài tập tương tự: Tính các tích phân I = ; J = dx ; + cos x cos x cos x π Ví dụ 17. Tính tích phân sau: I = cos3 x sin xdx 13 Biểu thức trong tích phân cosx có bậc lẻ ( x = x ) nên đặt u = sin x , đưa tích phân về dạng: I = (1 − u )u du , áp dụng bảng nguyên hàm ta được I = π π π 0 35 Bài tập tương tự: I = sin x dx ; J = sin x.cos3 x.dx ; K = (cos3 x −1) cos x.dx cos x π Ví dụ 18. Tính tích phân sau: I = tan x dx ( Trích ĐH A – 2008) Đặt ω ( x ) = π cos x tan x dx thì có ω ( π + x ) = ω ( x ) nên ta đổi biến số u = tan x , cos x π π 4 t dt tan x tan x tan x I = = = (Tích phân htỷ) dx = dx dx 2 2 − t cos x 0 cos x − sin x cos x (1 − tan x ) 4 Bài tập tương tự: Tính I = π − Ví dụ 19. Tích phân: I = π π π π sin xdx dx ; J = cos x(tan x − t anx + 5) cos x ( sin x − cos x ) dx (Đề thi HSG tỉnh năm 2005) cos x Cách 1: Ta có I = cos xdx = π d (sin x) = dt (Tích phân hàm hữu tỷ) 2 2 cos x (1 − sin x) (1 − t ) dx sin xdx Cách 2: Đặt u = và dv = ta có du = và v = tan x cosx cos x cos x π π dx Vậy I = (Đưa về tích phân cơ bản K2, đã trình bày cách tan x + cos x cosx 0 giải) Ví dụ 20. Tính tích phân: I = π dx , 4sin x + 3cos x + Ta nhận thấy biểu thức dưới dấu tích phân là bậc nhất đối với sin x và cosx , nên dt 2dt 1 t = tan x I = − thông thường ta sẽ đặt dx = và = = − 2 t+2 1+ t (t + 2) 14 Bài tập tương tự: I = π π sinxdx dx ; J = 2sin x + cos x + cos x 2.3.4. Tích phân chứa hàm số mũ và lơgarít a) Sử dụng thành thạo các vi phân cơ bản. dx Chẳng hạn: dx = d ( x + b) = d (ax + b) với a ; d (e x ) = d (e x + c) = e x dx ; = d ( ln x ) , a x 1 sin xdx = − d (cos x) = − d (cos x + b) ; sin kxdx = − d (cos kx) = − d (cos kx + b) , với k k k ln x e dx Ví dụ 21. Tính tích phân I = x (1 + e ) Ta thấy: e dx = d (e +1) nên I = x ln x e dx 2tdt Vậy I = x Bài tập tương tự: I = d (1 + e x ) x (1 + e ) , từ đó đặt t = + e x e x = t 2 2tdt dt 22 = = = t 2t t e2 x ex −1 Ví dụ 22. Tính tích phân: I = dx ; J = ln (1 + e x )e x ln e ex − dx ( Đề thi TN năm 2006) 3ln x +1.ln x dx (ĐH khối B 2004) Vì x e dx = d (ln x) nên I = 3ln x +1ln xd (ln x) Biểu thức dưới dấu tích phân chứa hàm x số ln x Khi đó đặt t = lnx thì bài tốn được giải quyết Bài tập tương tự: Tính: I = e3 Ví dụ 23. Tính tích phân I = I = ln x dx ; J = x ln x +1 x e − 2ln x dx x 2ln x +1 x x + e + 2x e dx (ĐH. A 2010) x + e ex x + e x + x 2e x x (1 + 2e x ) + e x Ta có: = = x . Do đó: 2e x + 2e x + 2e x I = x dx + 1 ex ex x dx J = dx e dx = d (2e x + 1) nên J tính Đ ặ t Vì: x x 2e + 2e Bài tập tương tự: Tính I = e x 2e ln x x +1 dx 15 π Ví dụ 24. Tính I = (esin x + cos x)cos xdx (Đề thi ĐH khối D năm 2005) π 2 Ta viết I = esin x cos xdx + cos xdx 0 Vì cosxdx = d (sin x) nên đối với tích phân e sin x cos xdx , ta đặt sin x = t b) Sử dụng thành thạo quy tắc chọn u và dv trong phương pháp tích phân từng b b b udv = uv − � vdu phần: Ta có: � a a a Chú ý : Nguyên tắc chung để chọn u, dv như sau: Ta chọn sao cho dv dễ tìm được nguyên hàm của dv Đặc biệt: Giả sử f ( x)dx = f1 ( x) f ( x)dx với f1 ( x) là đa thức thì việc lựa chọn u và dv phụ thuộc vào f ( x) , cụ thể: +) Nếu f ( x) là các hàm số lơgarit, các hàm số vơ tỷ thì đặt u = f ( x) +) Nếu f ( x) là các hàm số lượng giác, hàm số mũ, thì đặt u = f1 ( x) Tuy nhiên đó chỉ là gợi ý chính, trong từng bài cụ thể và tình huống phức tạp các bạn phải thử vận dụng theo nhiều cách để chọn cách thích hợp. Ví dụ 25. Tính tích phân I = (2 x + 1)e x dx (Đề thi TN năm 2006) Theo quy tắc chọn u và dv ở trên thì ta đặt : 1 u = 2x + dv = e x dx , ta có du 2dx v ex Vậy: I = (2 x + 1)e x − e x dx = (2 x + 1)e x − 2e x = e + 1 Bài tập tương tự: Tính I = ( x − 3).e x dx (trích : đề thi THPT QG năm 2015) Ví dụ 26. Tính tích phân I = (2 x3 + ln x)dx (đề thi minh họaTHPTQG năm 2 1 2015); Ta có I = x3dx + (ln x)dx Theo quy tắc chọn u và dv ở trên thì ta đặt : dx u ln x du 42 , ta có x Khi đó: I = x + x ln x dv dx v x dx từ đó tính được I 16 e 1 Bài tập tương tự: Tính K = (2 x ln x)dx (TN năm 2007); J = x ln xdx (ĐH D2007) Ví dụ 27. Tính tích phân I = e ( x + x + 1) ln xdx x ( x + 1) ( x + 1) − x � ln x ln x ( x + x + 1) ln x � ln x � � Ta biến đổi như sau : = = − x x( x + 1) x( x + 1) ( x + 1) e e ln x ln x I = dx − dx Vậy : � � x 1 ( 1+ x) Ta nhận thấy: dx = d (ln x ) , với cách nhìn này thì ta dễ dàng tính được tích phân x u = ln x e ln x ln x dx Cịn tích phân : dx , ta đặt : dx và dùng cơng thức tích dv = x ( x + 1) 1 ( x + 1)2 e phân từng phần ta dễ dàng tính được e x +1 + ( x3 + x ln x + 2) ln x dx Ví dụ 28. Tính tích phân I = (1 + x ln x ) Ta có tử thức : x + 1+ ( x3 + x ln x + 2) ln x = ( x ln x + 1)( x + ln x) + ( x ln x +1) ' e Do đó : I = ( x + ln x)dx + e e ( x ln x + 1) ' dx x ln x + 1 e ( x ln x + 1) ' dx ; I = ln xdx , ta thấy I1, I2 là các dạng tích phân Đặt I1 = x dx , I = x ln x + 1 1 e đã được trình bày ở trên, đối với tích phân I3 theo quy tắc chọn u và dv thì ta đặt dx u ln x e e du khi đó x Vậy: I = x ln x − dx , đến đây hồn tồn tính được dv dx 1 v x Nhận xét: Khi gặp tích phân dạng này ta thường biến đổi như sau: Giả sử cần tính tích phân có dạng Bài tập tương tự : J = f ( x) dx ta biến đổi là: f ( x) = h( x).g ( x) + g '( x) g ( x) (ln x 1) x ln x dx x x Ví dụ 28. Tính tích phân I = ln x dx x +1 17 Tích phân từng phần (biểu thức dưới dấu tích phân có chứa hàm số lơgarit) u = ln x � dx +) Đặt � dv = � x +1 dx x +1 �du = x dx Khi đó I = x + 1ln x − � x � v = x +1 x +1 dx (là dạng tích phân quen thuộc và đơn giản) x Đặt t = x + � t = x + dx = 2tdt và x = thì t = , x = thì t = +) Quy về tính I = Khi đó I = 3 t2 dt = (1 )dt ( tích phân hữu tỉ quen thuộc) t 2 t −1 π + ln( x + 1) dx (ĐHA 2012) ; J = + x sin x dx (ĐH B Bài tập tương tự: I = x cos x 2010) 2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm Sau khi tìm tịi và áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào thực tiễn giảng dạy, bản thân tơi nhận thấy chất lượng giảng dạy được nâng lên rõ rệt. Các em học sinh thực sự hứng thú với mơn học, đa số học sinh giải tốt bài tập trong sách giáo khoa và làm được các bài tính tích phân của các kỳ thi tuyển sinh vào đại học. Qua kết quả khảo sát thực hiện trên các lớp học năm 20152016(Có cùng điểm đầu vào so với 2 lớp trong năm học 20132014), chất lượng bài làm của các em đã đạt kết quả cao hơn so với các năm trước. Kết quả cụ thể : Điểm