Mục tiêu của đề tài là Nghiên cứu đề tài nhằm tổng hợp các bước hướng dẫn học sinh giải bài tập tích phân cơ bản một cách hợp lý và đạt hiệu quả nhanh nhất. Trên cơ sở những kinh nghiệm của bản thân, cùng với những trao đổi với đồng nghiệp để tìm ra các giải pháp hữu hiệu vận dụng trong quá trình hướng dẫn học sinh giải bài tập tích phân cơ bản. Góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở lớp 12.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT BA ĐÌNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 CÁCH GIẢI CÁC DẠNG TỐN VỀ TÍNH TÍCH PHÂN CƠ BẢN Ở BẬC THPT Người thực hiện: Mai Huy Sáu Chức vụ: Giáo Viên SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HĨA NĂM 2016 MỤC LỤC Trang Mở đầu - Lý chọn đề tài - Mục đích nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu 2 Nội dung sáng kiến 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng 2.3.1 Một số tích phân hàm số phân thức hữu tỷ 2.3.2 Một số tích phân hàm số vô tỷ 2.3.3 Một số tích phân hàm số lượng giác 12 2.3.4 Một số tích phân hàm số mũ lôgarit 15 2.4 Hiệu SKKN 19 Kết luận, kiến nghị 19 Mở đầu - Lý chọn đề tài + Tính tích phân toán thường gặp kỳ thi tốt nghiệp THPT kỳ thi tuyển sinh vào đại học Rèn luyện cho học sinh có kỹ tính tích phân nhiệm vụ đặc biệt quan trọng Trong trình dạy học mơn Tốn nói chung dạy tập tính tích phân chương trình trung học phổ thông học sinh thường lung túng hướng suy nghĩ tìm tịi lời giải, học sinh khơng biết đổi biến hay dùng phương pháp tích phân phần + Đối với toán vậy, giáo viên cần hướng dẫn học sinh tìm tịi để phát lời giải, nhằm trang bị cho học sinh tri thức suy luận, tư sáng tạo giải tốn Chúng ta thơng qua hướng dẫn giải tốn “bài tốn gốc” có sách giáo khoa dần truyền thụ cho học sinh suy nghĩ phát lời giải Xuất phát từ toán “bài toán gốc” định hướng cho học sinh “suy luận” từ “quy tốn lạ” “bài tốn quen” củng cố lịng tin cho học sinh học tốn, say mê với tốn giải tốn có hiệu Dạy hướng dẫn học sinh giải tốn tích phân cấp THPT, đặt câu hỏi: “Làm để giúp học sinh chủ động giải tốn tích phân, học sinh tin tưởng giải tốn tích phân có sách giáo khoa, tốn tích phân kỳ thi THPT Quốc gia?” + Trong khoảng thời gian giảng dạy nghiên cứu tích phân, tơi nhận thấy chưa có tài liệu nghiên cứu bàn sâu chi tiết cách giải tập tích phân thường gặp + Qua giảng dạy, đúc rút kinh nghiệm mong muốn trao đổi với đồng nghiệp số hướng suy nghĩ để giải số tập tích phân - dạng quen thuộc (khơng có ý tìm hay đưa cách giải tổng quát cho dạng toán tích phân cụ thể, hay nêu tốn tổng qt lời giải tổng quát cho tích phân ấy, mà nêu hướng giúp học sinh “biết định hướng cách giải”, suy luận giải tốn tích phân) - Mục đích nghiên cứu: + Nghiên cứu đề tài nhằm tổng hợp bước hướng dẫn học sinh giải tập tích phân cách hợp lý đạt hiệu nhanh + Trên sở kinh nghiệm thân, với trao đổi với đồng nghiệp để tìm giải pháp hữu hiệu vận dụng trình hướng dẫn học sinh giải tập tích phân Góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn lớp 12 - Đối tượng nghiên cứu: Các toán tích phân thường gặp chương trình giải tích lớp 12 - Phương pháp nghiên cứu: + Xây dựng sở lí thuyết + Khảo sát thực tế + Phương pháp phân tích, suy luận, tổng hợp, so sánh… Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 1) Bảng nguyên hàm bản, tính chất nguyên hàm, tính chất tích phân (SGK giải tích lớp 12) 2) Để giải tốn tích phân học sinh phải nắm vi phân “cơ bản” thường gặp, dx = d (ln x) ; Chẳng hạn: dx = d ( x + b) = d (ax + b) với a ≠ ; d (e x ) = d (e x + c) = e x dx ; a x 1 sin xdx = − d (cos x) = − d (cos x + b) ; sin kxdx = − d (cos kx) = − d (cos kx + b) , với k ≠ k k x sin x dx = d ( x + a ) dx = d ( ) Các vi phân phức tạp hơn: ; 2 cos x cos x x +a dx x = d ln( x + x + k ) ; (1 − ) dx = d ( x + ) dx = −d ( a − x ) ; x x2 + k x2 a2 − x2 3) Ngoài học sinh phải nắm vấn đề cốt yếu sau đây: a) Sử dụng thành thạo định lý Niu tơn – Leibnitz(SGK GT 12): Nếu hàm số y = f ( x) liên tục [ a ; b ] F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) b ∫ f ( x)dx = F ( x ) a b = F ( b) − F ( a) a Chú ý: Giả thiết f ( x ) liên tục [ a ; b ] điều kiện bắt buộc phải có để sử dụng định lý Một số học sinh tưởng có F ( x ) tính tích phân, chẳng hạn viết I = 3π ∫ 3π dx = tanx =1( ? ) cos x Ta biết f ( x ) = không cos x π 3π ∈ 0; nên I không tồn b) Phương pháp đổi biến số Cơ sở định lý sau: Nếu t = ϕ ( x) đơn điệu đoạn [ a ; b ] xác định x = b ϕ (b ) ∫ f (ϕ ( x))ϕ ( x)dx = ∫ a , ϕ (a ) f (t )dt (SGK giải tích lớp 12) c) Phương pháp tích phân phần b b b Ta có: ∫ udv = uv − ∫ vdu (SGK giải tích lớp 12) a a a 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Qua giảng dạy tốn tính tích phân, học sinh thường lúng túng gặp nhiều khó khăn Khơng biết dùng phương pháp tính đổi biến hay tích phân phần), đổi biến số đổi nào(đặt x = ϕ ( t ) hay t = u ( x ) ), cịn dùng phương pháp tích phân phần khơng biết chọn u dv cho thích hợp… Kết khảo sát tơi dạy phần tích phân cho học sinh lớp 12 năm học 20132014 chưa áp dụng sáng kiến này: Điểm < Điểm → < Điểm ≥ Lớp Sĩ số số lượng % số lượng % số lượng % 12D 38 13 34,21 23 60,52 5,27 12P 47 17 36,17 24 51,06 12,77 Từ kết tơi nhận thấy tỉ lệ học sinh có số điểm trung bình q cao, học sinh đạt điểm giỏi lại thấp Điều khiến thân tơi phải trăn trở tìm phương pháp hướng dẫn học sinh biết cách giải dạng tốn tích phân cách dễ dàng hiệu 2.3 Các giải pháp sử dụng việc hướng dẫn học sinh giải tích phân Thơng qua số dạng tích phân hướng dẫn cho học sinh cách tiếp cận khác nhau, áp dụng vào giải tích phân đơn giản khác: Các tích phân “cơ bản” cách tính phổ biến (với giả thiết hàm số dấu tích phân liên tục đoạn xét): 2.3.1 Một số tích phân hàm số phân thức hữu tỷ: β ' β f ( x) dx = ln f ( x) a) Tích phân I1 = ∫ α f ( x) α Ví dụ 1: Tinh tích phân I = x3 ∫0 x +1 dx 1 x 1 2x 1 − ∫ (*) = − ln x + Ta c ó: I = ∫ ( x − )dx = x 2 x +1 x +1 2 Chú ý: Tích phân (*) có dạng I1 Bài tập tương tự: Tính I = ∫ b) - Tích phân I = ( x +1) dx β f ( x) ∫ ( x − x )( x − x α Ta viết (Trích ĐH khối D năm 2013) x +1 2) dx (với bậc f ( x ) nhỏ hai) f ( x) A B + = ( x − x1 )( x − x2 ) ( x − x1 ) ( x − x2 ) β - Tích phân f ( x) ∫ ( x − x )( x − x α 0) dx với bậc f ( x ) nhỏ ba Ta tìm hệ số A, B, C cho: Ví dụ 2: Tính tích phân I = f ( x) C A B + + = ( x − x1 ) ( x − x0 ) ( x − x0 )2 ( x − x1 )( x − x0 ) 4x + ∫ x + 3x + 2dx Mẫu số tam thức bậc hai có hai nghiệm: x = − 1; x = − , nên ta tìm A, B cho: 4x + A B + = x +1 x + x + 3x + 2 Bằng phương pháp hệ số bất định ta tìm được: A =1; B = Vậy: I = 4x + ∫ x + 3x + 2dx = 1 1 dx ∫ x +1 + ∫ x + dx = ( ln x + + ln x + ) = ln − ln 0 x + x +1 dx (Trích ĐH khối B năm 2014) x + x Bài tập tương tự: Tính I = ∫ Ví dụ Tính tích phân I = Ta có: I = −2 ∫ ( ∫ (x + 3x + ) ∫ (x dx = 2 + 3x + ) dx 1 ∫ ( x +1 − x + ) dx = ∫ dx ( x +1) +∫ dx ( x + 2) x +1 1 −1 −1 − )dx = − ( x +1) − ( x + ) − 2ln = + 2ln x+ x +1 x + Ví dụ Tính tích phân I = x+ ∫ ( x + 1)( x + x + 4) dx x+2 A Bx + C = + , x +1 ( x + 1)( x + x + 4) x + 2x + 1 Theo phương pháp hệ số bất định ta có A = ; B = − ; C = Khi đó: 3 Ta tìm A; B; C cho: 2 dx ( x − 2)dx = dx I= ∫ − − x +1 ∫0 x + x + ∫0 x + Tính ∫ dx ( x + 1) + 2 x + dx + ∫ x2 + 2x + ∫ dx ( x + 1) + ta đổi biến: x + = tant Từ tính tích phân I β Chú ý : Khi gặp tích phân dạng : I = ∫ α ta đặt : x = a tan t x = a tan t dx x + a2 x3 dx (Trích ĐH khối B năm 2012) Bài tập tương tự: Tính I = ∫ x + 3x + c) Việc sử dụng thành thạo vi phân giúp ta định hướng cách giải, chẳng hạn: (1 + 1 )dx = ( x − ) ' dx = d ( x − ) x x x Ví dụ Tính tích phân sau I = 1+ x 2 ∫ 1+ x dx Ta có: Nên ta đặt t = x − ⇒ I= 1+ x 1+ x x2 = x + x 1+ 1 ⇒ dt = (1 + )dx x x 3 2 −1 dt = 1 ln( ) = = ( − ) dt ∫ t2 −2 2 ∫ t − t + 2 2 +1 1 1− x ∫ x + x dx 1 −1 −d ( x + ) 2 1− x x dx = x dx = x + ⇒ I = ln Ta có: , nên ta đặt t = 1 x+x x x2 + x2 + x x Ví dụ Tính tích phân: I = 2.3.2 Một số tích phân hàm số vơ tỷ: a) Tích phân J1 = β ∫ α dx x − a2 Ta thực hiên theo cách giải sau: a sin t a +) Cách 2: Đổi biến số x = cos t +) Cách 1: Đổi biến số x = +) Cách 3: Đổi biến số t = x + x − a +) Cách 4: Đổi biến số t = ln( x + x − a ) +) Cách 5: Ta viết x2 − a2 = x − a đặt t = ( x + a) x+a x−a x+a Nhận xét: Trong tập ta chọn cách cịn tuỳ vào tình đổi cận Ví dụ Tính tích phân sau : I = Đối với tích phân I ta đặt x = cịn x = t = ∫ dx J= x2 − ; π Vậy I = π dt ∫ sin t π ∫ 1+ b) dx x2 −1 (Ta nói kỹ tích phân phần sau) Đối với tích phân J ta đặt t = x + x − ta : Tích phân J = ∫ − cos tdt π ⇒ dx = Đổi cận x = t = sin t 3 sin t +2 dx dt x −1 t = 3+ 2 dt = ln t = ln(1+ 2) t 1+ - Tích phân J = β dx ∫ x2 + a2 α Ta thực theo cách giải sau: +) Cách 1: Đổi biến số x = a tan t +) Cách 2: Đổi biến số x = cot t +) Cách 3: Đổi biến số t = x + x + a +) Cách 4: Đổi biến số t = ln( x + x + a ) +) Cách 5: Đổi biến số x + a = a + tx Nhận xét: Trong tập ta chọn cách cịn tuỳ vào tình đổi cận - Tích phân J = β ∫ x + a dx α +) Cách 1: Đổi biến số x = a tan t +) Cách 2: Đổi biến số x = a cot t x dx u = x + a du = 2 ⇒ +) Cách 3: Tích phân phần x +a v = x dv = dx β β 2 x dx x + a2 − a2 2 β 2 β − =x x +a − dx = Khi J = J = x x + a α α∫ a + b α α∫ a + b β β dx 2 β 2 − ∫ a + b dx + a ∫ ⇒ J3 = x x + a + a J (đã có) = x a +b 2 α α α a +b +) Cách 4: Đổi biến số t = x + x + a Nhận xét: Trong tập ta chọn cách tuỳ vào tình đổi cận Ví dụ Tính tích phân sau: I = ∫ Đặt x = tan t ⇒ dx = I= π dx x2 x2 + π π dt x = t = , x = t = cos t cos tdt (tích phân chuyển tích phân hàm hữu tỷ đặt u = sin t ) ∫ 4sin t π Ví dụ Tính tích phân: I = ∫ x −1dx ta dùng phương pháp tích phân phần: u = x −1 Do biểu thức dấu tích phân có chứa bậc hai , nên ta đặt: dv = dx xdx du = dx 3 x dx 3 2 − − I = ⇒ ⇒ − x − dx x −1 = x x −1 x x − ∫ ∫ 2 x −1 ∫2 x −1 v = x 3 hay 2I = x x −1 − ∫ x −1dx (Đây tích phân đề cập phần a) tích phân J1) 2 β c) Tích phân J = ∫ α dx a2 − x2 Đổi biến số x = a sin t x = acos t Ví dụ 9: Tính tích phân I = ∫ x Bài tập tương tự: a) ∫ β d) Tích phân: J = ∫ α π − x dx Ta đặt x = a sin t I = sin t cos tdt = ∫0 x dx ( 4− x ) ; dx (ax + b) mx + nx + p 2 b) ∫ x − 3x dx với mx + nx + p > , ∀ x ∈ R Đổi biến số: ax + b = ta đưa tích phân J dạng t β ∫ α dx x + a2 (Tích phân J2) Ví dụ 10: Tính tích phân I = dx ∫ t ta đặt x = ta có dx = − ,(ĐH khối A - 2003) x x2 + 5 dt Khi I = t2 dt ∫ 4t + 1 (tích phân J2) Nhận xét: Trong ví dụ 10 nhiều học sinh nghĩ đặt x = tan t , vấp phải việc đổi cận tích phân β mx + n e) Tích phân J = ∫ x x2 + J = J =∫ ; dx x4 x2 + (với a > 0, m ≠ ) dx 2 dx ∫ Bài tập tương tự Tính tích phân I = ax + bx + c β β mx + n d ( ax + bx + c) dx dx = A.∫ + B.∫ ax + bx + c ax + bx + c α α ax + bx + c α β Cách tính: J = ∫ α Tìm A, B phương pháp hệ số bất định 5x − Ví dụ 11 Tính tích phân: I = ∫ x + 8x + 5x − (2 x + x + 1)' = A +B 2x2 + 8x + x2 + 8x + 2x2 + 8x + Ta tìm A ; B cho 3 Khi I = d (2 x + x + 1) − 13 ∫ ∫ ⇒ A = ; B = − 13 = ( 42 ) (2x 2∫ x + x +1 Với J = ∫ dx − 2d 2 x + 8x + 2x2 + 8x + x + 8x + ) đưa dạng dx ∫ x2 + k α (quen thuộc) f) Khi gặp tích phân dạng: x ax + b dạng gặp dạng = + x + −13J β dx dx ax + b đặt t = ax + b x a b a − b x ta đặt x = sin t sint Ví dụ 12 Tính tích phân: I =∫ x 4−x dx +) Cách 1:Đặt t = − x ⇒ t = − x ⇒ tdt = − xdx x = t = ; x = t = 10 Vậy: I = ∫ dt = t =2− 3 +) Cách 2: Nhận thấy có dạng a − x nên ta đặt x = 2sin t ⇒ dx = 2costdt π đó: I = sin tdt ∫ Ví dụ 13 Tính tích phân : I = ∫ x − x dx (ĐH khối B – 2013) +)Cách 1: Đặt t = − x ⇒ t = − x ⇒ tdt = − xdx x = t = ; x = t= Vậy: I = ∫ t3 2 −1 t dt = = 31 +) Cách 2: Nhận thấy có dạng a − x nên ta đặt x = sin t ⇒ π π dx = 2costdt đó: I = sin 2tdt = − cos2t =1 ∫ 0 Bài tập tương tự Tính tích phân I = ∫ x + 3x dx ; g) Nếu biểu thức dấu tích phân có chứa n ax + b thi ta thường đặt t = n ax + b xdx (ĐH A-2004) 1 + x −1 Ví dụ 14: Tính tích phân I = ∫ Đổi biến số dạng 1: Đặt t = x − ⇒ t = x −1 ⇒ dx = 2tdt ; Đổi cận : x = t = ; x = t =1 I=∫ ( + t ) 2tdt 1+ t t + t3 dt (đây tích phân hàm hữu tỉ, từ tính I ) + t = 2∫ Ví dụ 15 Tính tích phân I = x + dx ∫ 3 3x + Ta có I = ( 3x + 1) + dx = ( 3x +1) + ( x + 1) − d ( x +1) ∫0 3 x +1 ∫0 2 3 = ( 3x + 1) + ( x + 1) 5 0 = 46 15 11 Bài tập tương tự: I = ∫ x − xdx ; J = ∫ ( x − 1) xdx 2.3.3 Một số tích phân hàm số lượng giác: b dx sin x a a) Tích phân K1 = ∫ Ta tính cách đổi biến sau: b x dx dt ⇒ dt = ⇒ K1 = ∫ +) Cách 1: Đặt x t a 2.cos 2 b b b dx sin xdx d (cosx) =∫ = − +) Cách 2: K1 = ∫ (Đặt t = cosx , đưa cách tính tích ∫ 2 sin x − cos x − cos x a a a t = tan phân hàm phân thức hữu tỷ) b dx cosx a b) Tích phân K = ∫ b dt x 1− t2 ⇒ K2 = ∫ - Cách 1: Đặt t = tan thay cos x = 2 1+ t a 1− t b dx b d (sin x) =∫ (Đặt t = sin x , đưa cosx − sin x a a - Cách 2: Nhân tử mẫu với cosx , ta có K = ∫ cách tính tích phân hàm phân thức hữu tỷ quen thuộc) x π π x b + tan ( − ) b d (tan( − )) dx dx = − =∫ - Cách 3: K = ∫ π ∫ π x π x a sin a tan( − ) − x ÷ a tan( − x ) 2 b x π b = − ln tan − ÷ 2 4 a b c) Tích phân dang: K3 = ∫ R ( sin x ;cos x ) dx (trong R hàm số phân thức hữu tỉ) a Thơng thường ta đưa tích phân hàm hữu tỉ phép đổi biến đặt t = tan x i)Trường hợp đặc biệt: +) Nếu R ( sin x; cosx ) hàm số lẻ sin x đặt t = cosx +) Nếu R ( sin x; cosx ) hàm số lẻ cosx đặt t = sin x +) Nếu R ( sin x; cosx ) hàm số chẵn sin x cosx ta đặt t = tan x ii) Trường hợp tổng quát: Ta hướng dẫn học sinh áp dụng mệnh đề sau: 12 b Giả sử phải tính ∫ R ( sin x ;cos x ) dx , ( R hàm số phân thức hữu tỉ) a Ta kí hiệu ω ( x) = R ( sin x,cos x ) dx gọi vi phân hàm phải tính +) Nếu ω ( − x ) = ω ( x ) ta đổi biến số: u = cosx +) Nếu ω ( π − x ) = ω ( x ) ta đổi biến số: u = sin x +) Nếu ω ( π + x ) = ω ( x ) ta đổi biếnsố: u = tan x π Ví dụ 16 Tính tích phân: I = sin x dx ( Đề thi TN năm 2006) ∫ − cos x sin x dx Ta có ω ( − x ) = ω ( x ) nên đổi biến số u = cosx , − cos x t dt , tích phân quen thuộc đưa tích phân I = ∫ 4−t Đặt ω ( x ) = π sin x J =∫ dx ; + cos x sin xdx ; Bài tập tương tự: Tính tích phân I = ∫ cos x.3 cos x π Ví dụ 17 Tính tích phân sau: I = cos3 x sin xdx ∫ Biểu thức tích phân cosx có bậc lẻ ( ω ( π − x ) = ω ( x ) ) nên đặt u = sin x , đưa tích phân dạng: I = ∫ (1 − u )u du , áp dụng bảng nguyên hàm ta I = π π π π 2 35 Bài tập tương tự: I = sin x dx ; J = sin x.cos3 x.dx ; K = (cos3 x −1)cos x.dx ∫ ∫ ∫ cos x Ví dụ 18 Tính tích phân sau: I = tan x dx ( Trích ĐH A – 2008) ∫ Đặt ω ( x ) = π cos x tan x dx có ω ( π + x ) = ω ( x ) nên ta đổi biến số u = tan x , cos x tan x = I=∫ dx cos x π tan x ∫ cos x − sin x dx = Bài tập tương tự: Tính I = π ∫ − π π t dt tan x =∫ (Tích phân htỷ) dx ∫ cos x(1− tan x) − t 0 π sin xdx dx ; J= ∫ cos x ( sin x − cos x ) cos x(tan x − t anx + 5) 13 π Ví dụ 19 Tích phân: I = dx ∫ cos x π π Cách 1: Ta có I = cos xdx = ∫ Cách 2: Đặt u = (Đề thi HSG tỉnh năm 2005) d (sin x) = ∫ (1− sin x) cos x dt ∫ (1− t )2 (Tích phân hàm hữu tỷ) dx sin xdx dv = ta có du = v = tan x cosx cos x cos x π π dx Vậy I = (Đưa tích phân K2, trình bày cách giải) tan x + ∫ cos x cosx 0 π Ví dụ 20 Tính tích phân: I = ∫ dx , 4sin x + 3cos x + Ta nhận thấy biểu thức dấu tích phân bậc sin x cosx , nên dt 2dt 1 I = thông thường ta đặt t = tan x ⇒ dx = = − ∫ = − 2 t+2 1+ t (t + 2) π Bài tập tương tự: I = ∫ π sinxdx dx ; J= ∫ 2sin x + cos x + cos x 2.3.4 Tích phân chứa hàm số mũ lơgarít a) Sử dụng thành thạo vi phân dx = d ( ln x ) , Chẳng hạn: dx = d ( x + b) = d (ax + b) với a ≠ ; d (e x ) = d (e x + c) = e x dx ; a x 1 sin xdx = − d (cos x) = − d (cos x + b) ; sin kxdx = − d (cos kx) = − d (cos kx + b) , với k ≠ k k ln x e dx Ví dụ 21 Tính tích phân I = ∫ x (1 + e ) Ta thấy: e dx = d (e +1) nên I = x x ln ∫ d (1 + e x ) x (1 + e ) , từ đặt t = + e x ⇒ e x = t − ⇒ 2 2tdt dt 22 e dx = 2tdt Vậy I = ∫ = ∫ = − = t t t 2 x Bài tập tương tự: I = ∫ e2 x x e −1 dx ; J= ln ∫ ln 2 −1 (1 + e x )e x x e −1 dx ( Đề thi TN năm 2006) 14 e 3ln x +1.ln x dx x Ví dụ 22 Tính tích phân: I = ∫ (ĐH khối B - 2004) Vì e dx = d (ln x) nên I = ∫ 3ln x +1ln xd (ln x) Biểu thức dấu tích phân chứa hàm x số ln x Khi đặt t = lnx tốn giải e3 Bài tập tương tự: Tính: ln x I=∫ dx ; x ln x + J= e ∫ − 2ln x dx x 2ln x +1 x + e x + x 2e x dx (ĐH A - 2010) x + e Ví dụ 23 Tính tích phân I = I = ∫ x + e x + x 2e x Ta có: = + 2e x I = ∫ x dx + ex x (1 + 2e x ) + e x x + = Do đó: + 2e x + 2e x 1 ex ex x x dx J = ∫ + 2e x Đặt ∫ + 2e x dx Vì: e dx = d (2e + 1) nên J tính 0 e Tính I = ∫ Bài tập tương tự: x 2e ln x x π Ví dụ 24 Tính I = (esin x + cos x)cos xdx ∫ π π 0 +1 dx (Đề thi ĐH khối D năm 2005) Ta viết I = esin x cos xdx + cos xdx ∫ ∫ π Vì cosxdx = d (sin x) nên tích phân e sin x cos xdx , ta đặt sin x = t ∫ b) Sử dụng thành thạo quy tắc chọn u dv phương pháp tích phân b b b udv = uv − ∫ vdu phần: Ta có: ∫ a a a Chú ý : Nguyên tắc chung để chọn u, dv sau: Ta chọn cho dv dễ tìm nguyên hàm dv Đặc biệt: Giả sử f ( x)dx = f1 ( x) f ( x)dx với f1 ( x) đa thức việc lựa chọn u dv phụ thuộc vào f ( x) , cụ thể: +) Nếu f ( x) hàm số lơgarit, hàm số vơ tỷ đặt u = f ( x) +) Nếu f ( x) hàm số lượng giác, hàm số mũ, đặt u = f1 ( x) Tuy nhiên gợi ý chính, cụ thể tình phức tạp bạn phải thử vận dụng theo nhiều cách để chọn cách thích hợp 15 x Ví dụ 25 Tính tích phân I = ∫ (2 x + 1)e dx (Đề thi TN năm 2006) u = x + , ta có x dv = e dx Theo quy tắc chọn u dv ta đặt : du = 2dx x v = e 1 x I = (2 x + 1) e − e x dx = (2 x + 1)e x − 2e x = e + Vậy: ∫ 0 0 x Bài tập tương tự: Tính I = ∫ ( x − 3).e dx (trích : đề thi THPT QG năm 2015) Ví dụ 26 Tính tích phân I = ∫ (2 x + ln x)dx (đề thi minh họa-THPTQG năm 2015); 2 1 Ta có I = ∫ x dx + ∫ (ln x)dx Theo quy tắc chọn u dv ta đặt : dx u = ln x du = x , ta có dv = dx v = x 2 42 I = x x ln x − dx từ tính I Khi đó: + ∫1 e Bài tập tương tự: Tính K = ∫ (2 x ln x)dx (TN năm 2007); J = ∫ x ln xdx (ĐH-D2007) 1 e ( x + x + 1) ln xdx x( x + 1) Ví dụ 27 Tính tích phân I = ∫ ( x + x + 1) ln x ( x + 1) − x ln x ln x ln x Ta biến đổi sau : = = − 2 x x( x + 1) x( x + 1) ( x + 1) e e ln x ln x dx − ∫ dx Vậy : I = ∫ x 1 (1+ x) Ta nhận thấy: e dx = d (ln x) , với cách nhìn ta dễ dàng tính tích phân x ln x ∫ x dx Cịn tích phân : e ln x ∫ ( x +1)2 dx , ta đặt : u = ln x dv = dx dùng công thức tích ( x + 1)2 phân phần ta dễ dàng tính e x +1 + ( x3 + x ln x + 2) ln x dx Ví dụ 28 Tính tích phân I = ∫ (1 + x ln x ) Ta có tử thức : x + 1+ ( x3 + x ln x + 2) ln x = ( x ln x + 1)( x + ln x) + ( x ln x +1) ' 16 e Do : I = ∫ ( x + ln x)dx + e e ( x ln x + 1) ' dx x ln x + 1 ∫ e e ( x ln x + 1) ' dx ; I = ∫ ln xdx , ta thấy I1, I2 dạng tích phân Đặt I1 = ∫ x dx , I = ∫ x ln x + 1 1 trình bày trên, tích phân I3 theo quy tắc chọn u dv ta đặt dx e e u = ln x du = x Vậy: I = x ln x − ∫ dx , đến hồn tồn tính 1 dv = dx v = x Nhận xét: Khi gặp tích phân dạng ta thường biến đổi sau: Giả sử cần tính tích phân có dạng f ( x) ∫ g ( x) dx ta biến đổi là: f ( x) = h( x).g ( x) + g '( x) Bài tập tương tự : J = (ln x +1) x − ln x dx x − x ∫ Ví dụ 28 Tính tích phân I = ∫ ln x dx x +1 Tích phân phần (biểu thức dấu tích phân có chứa hàm số lôgarit) dx u = ln x x +1 du = x dx dx ⇒ +) Đặt Khi I = x + 1ln x − ∫ x dv = x + v = x + x +1 dx (là dạng tích phân quen thuộc đơn giản) x Đặt t = x + ⇒ t = x + ⇒ dx = 2tdt x = t = , x = t = +) Quy tính I = ∫ 3 t2 dt (1 + )dt ( tích phân hữu tỉ quen thuộc) = ∫ t −1 2 t −1 Khi I = ∫ π + ln( x + 1) dx (ĐH-A 2012) ; J = + x sin x dx (ĐH- B 2010) Bài tập tương tự: I = ∫ ∫ cos2 x x 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm - Sau tìm tịi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào thực tiễn giảng dạy, thân nhận thấy chất lượng giảng dạy nâng lên rõ rệt Các em học sinh thực hứng thú với môn học, đa số học sinh giải tốt tập sách giáo khoa làm tính tích phân kỳ thi tuyển sinh vào đại học Qua kết khảo sát thực lớp học năm 2015-2016(Có điểm đầu vào so với lớp năm học 2013-2014), chất lượng làm em đạt kết cao so với năm trước Kết cụ thể : 17 Lớp Sĩ số 12G 46 Điểm → < Điểm < Điểm ≥ số lượng % số lượng % số lượng % 4,34 16 34,78 28 60,88 12C 47 8,5 19 40,42 24 51,08 - Bản thân trao đổi đồng nghiệp đồng nghiệp ủng hộ cơng nhận tính hiệu sáng kiến đồng nghiệp dạy trực tiếp lớp 12 Kết luận, kiến nghị: Có thể nói việc hướng dẫn học sinh giải tốn tích phân phần quan trọng chương trình giải tích lớp 12 Để giúp học sinh có kỹ giải tốt dạng tốn cần: - Cho học sinh tiếp cận với nhiều toán khác nhau, cách giải khác - Rèn luyện cho học sinh phân tích tốn theo chiều hướng khác để tìm lời giải tối ưu - Rèn luyện cho học sinh trình bày ngắn gọn, chặt chẽ, hợp logic - Phát huy tối đa tính tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh - Tạo điều kiện tối đa để học sinh chủ động giải qua cách giải tự nhận khó khăn(hạn chế), thuận lợi(ưu thế) cách giải mà lựa chọn cách giải thích hợp cho toán Trên kinh nghiệm thân đúc rút trình giảng dạy Rất mong góp ý xây dựng đồng nghiệp để để sáng kiến hoàn thiện hơn, giúp học sinh học tốt tốn tích phân, nhằm nâng cao chất lượng giáo dục Tôi xin chân thành cảm ơn ! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 24 tháng 05 năm 2016 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Mai Huy Sáu 18 19 ... 2.3 Các giải pháp sử dụng việc hướng dẫn học sinh giải tích phân Thơng qua số dạng tích phân hướng dẫn cho học sinh cách tiếp cận khác nhau, áp dụng vào giải tích phân đơn giản khác: Các tích phân. .. kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 1) Bảng nguyên hàm bản, tính chất nguyên hàm, tính chất tích phân (SGK giải tích lớp 12) 2) Để giải tốn tích phân học sinh phải nắm vi phân. .. 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng 2.3.1 Một số tích phân hàm số phân thức hữu tỷ 2.3.2 Một số tích phân hàm số vô tỷ 2.3.3 Một số tích phân hàm số lượng giác 12 2.3.4 Một