Tính giới nội và ổn định của nghiệm các phương trình tiến hóa và động lực học thủy khí tt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ——————————- VŨ THỊ MAI TÍNH GIỚI NỘI VÀ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM CÁC PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA VÀ ĐỘNG LỰC HỌC THỦY KHÍ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2020 MỞ ĐẦU Tổng quan hướng nghiên cứu lý chọn đề tài Bài tốn hệ phương trình Navier - Stokes đưa từ năm 1882, mơ tả hình dạng sóng, chuyển động đại dương, hình thành bão, chuyển động khơng khí, Bên cạnh hệ phương trình Navier - Stokes, nhiều lớp phương trình khác học chất lỏng thu hút nhiều quan tâm nghiên cứu ý nghĩa mặt toán học tầm quan trọng chúng thách thức khó khăn nghiên cứu Xét phương trình dạng trừu tượng khơng gian hàm tổng quát cho phép sử dụng phương pháp dựa phát triển gần tốn học khái niệm nghiệm đủ tốt, khơng gian nội suy, định lý nội suy, để tìm hiểu vấn đề mang tính chất nghiệm phương trình Bài tốn tìm nghiệm bị chặn phương trình Navier-Stokes miền Ω khơng bị chặn hướng Maremonti phát biểu dạng sau: Bài toán A: “Ký hiệu f (t, x) ngoại lực u(t, x) nghiệm phương trình Navier-Stokes ut − ∆u + (u · ∇)u + ∇p = f ; X Y hai không gian Banach với chuẩn · X · Y tương ứng Nếu f (t, ·) ∈ X với f (t, ·) X bị chặn theo thời gian, u(t, ·) ∈ Y với u(t, ·) Y bị chặn theo thời gian.” Trong trường hợp, Ω bị chặn (theo hướng đó), cách sử dụng bất đẳng thức Poincaré số định lý nhúng Sobolev compact, người ta dễ dàng giải tốn A Khi miền khơng bị chặn theo hướng tốn trở nên phức tạp nhiều bất đẳng thức Poincaré khơng cịn định lý nhúng compact không khả dụng Vì thế, có nhiều cách tiếp cận đưa để vượt qua khó khăn Như số đường hướng Maremonti MaremontiPadula, Galdi Sohr, Yamazaki, Thieu Huy Nguyen Bài tốn tìm nghiệm bị chặn miền không bị chặn chứng minh ổn định nghiệm toán thời mang đến nhiều ứng dụng vấn đề luồng thủy khí qua vật cản đứng yên hay quay tròn Tuabin hay cánh quạt Một số kết móng ban đầu đạt Thieu Huy Nguyen số tác giả khác Chúng tơi phát triển hồn thiện kết tính bị chặn, ổn định, hầu tuần hồn nghiệm phương trình tiến hóa không gian nội suy để nhận kết tổng quát ứng dụng vào phương trình cụ thể động lực học thủy khí Luận án “Tính giới nội ổn định nghiệm phương trình tiến hóa động lực học thủy khí” Luận án nhằm nghiên cứu đánh giá tồn nghiệm bị chặn tính ổn định nghiệm phương trình tiến hóa tổng qt khơng gian nội suy Từ đó, áp dụng vào toán cụ thể động lực học thủy khí Chúng tơi tổng qt hóa cách tiếp cận Yamazaki Thieu Huy Nguyen, khai thác đặc trưng nội suy định lý nội suy không gian Ld -yếu để nghiệm bị chặn theo thời gian phương trình tiến hóa Cùng với kết hợp phương pháp tốn học đại ưa chuộng giới lý thuyết phổ toán tử đạo hàm riêng, lý thuyết nửa nhóm liên tục mạnh, lý thuyết không gian hàm tử nội suy, vv Cụ thể sau: Xây dựng hệ điều kiện cho cặp không gian Banach Y1 , Y2 , không gian nội suy (Y1 , Y2 )θ,∞ với tốn tử sinh nửa nhóm để rút nghiệm bị chặn phương trình tiến hóa dạng: du(t) + Au(t) = B(G(u)), t ≥ (1) dt không gian (Y1 , Y2 )θ,∞ , −A tốn tử sinh nửa nhóm; B “tốn tử liên kết”; G toán tử phi tuyến liên tục Lipschitz địa phương Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu • Mục đích nghiên cứu Luận án: Xây dựng hệ điều kiện cho cặp không gian Banach Y1 , Y2 , không gian nội suy (Y1 , Y2 )θ,∞ với tốn tử sinh nửa nhóm để chứng minh tồn nghiệm bị chặn phương trình tiến hóa (1) khơng gian (Y1 , Y2 )θ,∞ Sau nghiệm bị chặn ổn định nhờ vào hệ bất đẳng thức dạng Lp − Lq chứng minh tồn nghiệm tuần hoàn hay hầu tuần hồn • Đối tượng phạm vi nghiên cứu Luận án: Nghiên cứu tổng quát hóa tính chất phương trình cụ thể động học thủy khí để đề xuất phương trình tiến hóa tổng qt chứa phương trình cụ thể trường hợp riêng Xây dựng hệ điều kiện cho không gian Banach Y1 ,Y2 lớp không gian nội suy chúng để chứng minh tồn nghiệm bị chặn phương trình tiến hóa Dưới điều kiện hệ tiên đề xây dựng, chứng minh nghiệm bị chặn ổn định Xét số lớp phương trình tiến hóa mơ hình q trình xảy tốn học thủy khí: phương trình NavierStokes qua vật cản xoay, qua miền có lỗ thủng, phương trình Navier - Stokes không gian Besov Đồng thời xét số ví dụ ứng dụng vào phương trình Ornstein-Uhlenbeck phương trình truyền nhiệt với hệ số thơ Phương pháp nghiên cứu Trong luận án, chúng tơi sử dụng phương pháp sau: • Sử dụng phương pháp lý thuyết nửa nhóm tốn tử tuyến tính đánh giá Lp − Lq để đưa đặc trưng nội suy lớp hàm đối ngẫu đặc biệt • Sử dụng khơng gian nội suy hàm tử nội suy để chứng minh tồn nghiệm bị chặn phương trình tiến hóa • Mở rộng hàm tử nội suy để xét tốn có nghiệm ổn định • Sử dụng đặc trưng tô-pô lý thuyết không gian hàm chấp nhận với khái niệm nghiệm khác (đủ tốt, đủ tốt yếu, yếu, ) để xét tốn nghiệm hầu tuần hồn Ý nghĩa kết luận án Như nói, tốn tìm nghiệm bị chặn miền không bị chặn chứng minh ổn định tốn thời mang đến nhiều ứng dụng vấn đề luồng thủy khí qua vật Tuabin hay cánh quạt, tốn dao động sóng đại dương Việc nghiên cứu đánh giá tồn nghiệm bị chặn tính ổn định phương trình tiến hóa tổng qt khơng gian nội suy khơng có ý nghĩa lớn việc mở rộng lý thuyết nghiệm phương trình tiến hóa mà cịn áp dụng để nghiên cứu phương trình động lực học thủy khí số vấn đề ứng dụng khác Việc khai thác đặc trưng nội suy định lý nội suy không gian Ld -yếu (theo cách tiếp cận Yamazaki Thieu Huy Nguyen) cho phép mở hướng tiếp cận độc tìm hiểu tồn nghiệm bị chặn theo thời gian phương trình tiến hóa xét tính ổn định chúng cho phép kết hợp phương pháp toán học đại ưa chuộng giới lý thuyết phổ toán tử đạo hàm riêng, lý thuyết nửa nhóm liên tục mạnh, lý thuyết không gian hàm tử nội suy vào đường hướng thống mang lại ứng dụng phong phú vào toán động học thủy khí Cấu trúc kết luận án Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, luận án chia làm bốn chương: • Chương Kiến thức chuẩn bị: Trình bày số kiến thức sở sử dụng chương Trước tiên khái niệm không gian hàm Lorentz tính chất Tiếp theo khái niệm không gian nội suy, định lý nội suy tổng quát Cuối khái niệm nửa nhóm giải tích đánh giá Lp − Lq • Chương Nghiệm bị chặn phương trình tiến hóa khơng gian nội suy: Nghiên cứu tồn nghiệm bị chặn phương trình tiến hóa không gian nội suy Chứng minh ổn định nghiệm bị chặn • Chương Nghiệm tuần hồn hầu tuần hồn phương trình tiến hóa: Nghiên cứu tồn nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa tuyến tính nửa tuyến tính dựa ổn định có điều kiện nửa nhóm Nghiên cứu tồn ổn định nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn dựa lý thuyết nội suy kết hợp với bất đẳng thức vi phân • Chương Ứng dụng: Trong chương này, áp dụng kết chương để chứng minh tồn nghiệm phương trình động lực học thủy khí, phương trình Navier - Stokes phương trình truyền sóng Nội dung luận án dựa vào ba báo liệt kê “Danh mục cơng trình cơng bố luận án” Các kết luận án báo cáo seminar “Phương trình vi phân ứng dụng” - Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm tính chất không gian hàm, không gian nội suy, định lý nội suy, nửa nhóm liên tục mạnh, nửa nhóm giải tích, đánh giá Lp − Lq 1.1 Không gian nội suy, định lý nội suy 1.1.1 Định nghĩa Trong phần này, nhắc lại số khái niệm khơng gian nội suy Lý thuyết nội suy đóng vai trị quan trọng nghiên cứu tính bị chặn, ổn định nghiệm phương trình tiến hóa Định nghĩa 1.1.1 Cho X0 , X1 không gian tuyến tính tựa chuẩn Cặp (X0 , X1 ) gọi cặp nội suy X0 , X1 nhúng vào không gian tôpô Hausdorff V Cho cặp nội suy X0 , X1 , X0 ∩ X1 trang bị tựa chuẩn x X0 ∩X1 := x X0 + x X1 Tổng X0 + X1 trang bị tựa chuẩn x X0 +X1 := inf{ x0 X0 + x1 X1 : x = x0 + x1 , x0 ∈ X0 , x1 ∈ X1 } Không gian véc tơ X gọi không gian nội suy cặp nội suy (X0 , X1 ) X0 ∩ X1 ⊆ X ⊆ X0 + X1 , phép nhúng liên tục 1.1.2 Không gian nội suy phức Định nghĩa 1.1.2 Cho θ ∈ [0, 1] (X0 , X1 ) cặp nội suy không gian Banach phức Không gian nội suy phức [X0 , X1 ]θ xác định [X0 , X1 ]θ := {f (θ) : f ∈ F(X0 , X1 )} với chuẩn x [X0 ,X1 ]θ := inf f F (X0 ,X1 ) : f (θ) = x Mệnh đề 1.1.3 Cho (X0 , X1 ) (Y0 , Y1 ) cặp nội suy không gian Banach phức, T ∈ L(X0 , Y0 ) ∩ L(X1 , Y1 ) θ ∈ (0, 1) Khi T ∈ L([X0 , X1 ]θ , [Y0 , Y1 ]θ ) T L([X0 ,X1 ]θ ,[Y0 ,Y1 ]θ ) ≤ T 1−θ L(X0 ,Y0 ) T θ L(X1 ,Y1 ) 1.1.3 Không gian nội suy thực Cho θ ∈ (0, 1), q ∈ [1, ∞], không gian nội suy thực định nghĩa sau (X0 , X1 )θ,q := x ∈ X0 + X1 : x (X0 ,X1 )θ,q cho với T (t) giao hoán với P , thỏa mãn T (t)kerP = kerP , T (t)x ≤ M e−νt x với t ≥ x ∈ ImP := P Y, eνt x với t ≥ x ∈ KerP := (I − P )Y (1.3) T (t)x ≥ M 1.3 Một số không gian hàm 1.3.1 Không gian Lorentz Cho Ω miền thuộc C -lớp Rd với d ≥ Ở đây, ta sử dụng không gian sau ∞ C0,σ (Ω) := {v ∈ C0∞ (Ω) : divv = Ω}, ∞ (Ω) Lpσ (Ω) := C0,σ · Lp (1.4) Định nghĩa 1.3.1 Cho < p < ∞ ≤ q ≤ ∞, không gian Lorentz định nghĩa sau: Lp,q (Ω) = u ∈ L1loc (Ω) : u p,q s}) = q ds s 1/q với ≤ q < ∞; u p,∞ = sup sµ({x ∈ Ω : |u(x)| > s})1/p với q = ∞ s>0 B 1.3.2 Bt ng thc Hăolder yu: Cho < p ≤ ∞, < q < ∞ < r < ∞ thỏa mãn p1 + 1q = 1r Nếu f ∈ Lpω (Ω), g ∈ Lqω (Ω) f g ∈ Lrω (Ω) f g r,ω ≤ C f p,ω g q,ω ∞ với C số phụ thuộc vào p, q Ở đây, ta hiểu L∞ ω (Ω) = L (Ω) Với < r < ∞, cho P = Pr phép chiếu Helmholtz Lr (Ω), nghĩa phép chiếu Lrσ (Ω) tương đương với phân rã Helmholtz Lr -trường véc tơ ¯ Lr (Ω) = Lrσ (Ω) ⊕ {∇p ∈ Lr (Ω) : p ∈ Lrloc (Ω)} Ta có định nghĩa sau khơng gian Lorentz solenoidal r0 r1 Lr,q σ (Ω) := (Lσ (Ω), Lσ (Ω))θ,q < r0 < r < r1 < ∞, ≤ q ≤ ∞ thỏa mãn r = 1−θ r0 + θ r1 1.3.2 Không gian Besov Cho χ ∈ C ∞ (Rd , R) cho suppχ ⊆ B(0, 4/3), ≤ χ ≤ χ ≡ B(0, 4/3) Tập φ(ξ) := χ(ξ/2) − χ(ξ) h := F −1 φ, với F biến đổi Furier ˙ j )j∈Z xác định Phép phân hoạch Littlewood-Paley (∆ ˙ j u(x) = 2jd ∆ h(2j y)u(x − y)dy = F−1 φ(2−j )F)(x) Rd ˙ j u Hơn nữa, chúng tơi xét tốn tử S˙ j u = j ≤j−1 ∆ Lấy s ∈ R p, q ∈ [1, ∞], không gian Besov định nghĩa s < ∞}, với Sh tập tất hàm suy B˙ p,q (Rd ) = {u ∈ Sh : u B˙ p,q s rộng ơn hịa u cho limj→−∞ Sj u = tôpô hàm suy rộng ơn hịa 1/q  u s B˙ p,q ˙ ju 2sqj ∆ = q  Lp , q tồn số thực Lε > cho ∀a ∈ R tìm T ∈ [a, a + Lε ] cho f (t + T ) − f (t) < ε, ∀t ∈ R Kết luận Chương Chương này, tổng hợp kiến thức biết nhiều tài liệu tham khảo khác Đó kiến thức sử dụng làm sở nghiên cứu cho chương sau luận án Chương NGHIỆM BỊ CHẶN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA TRONG KHÔNG GIAN NỘI SUY 2.1 Nghiệm bị chặn phương trình tiến hóa tuyến tính Trong phần này, chúng tơi trình bày kết tồn ổn định nghiệm đủ tốt phương trình tiến hóa tuyến tính khơng gian nội suy Xét phương trình tuyến tính khơng với hàm chưa biết u(t) du dt + Au = Bf (t) (2.1) u(0) = u0 ∈ (Y1 , Y2 )θ,∞ , −A sinh C0 -nửa nhóm (e−tA )t≥0 (Y1 , Y2 )θ,∞ , f (t) ∈ X, t ≥ 0, với X, Y1 , Y2 không gian Banach, (Y1 , Y2 )θ,∞ không gian nội suy thực với < θ < Toán tử B “toán tử liên kết” X (Y1 , Y2 )θ,∞ cho e−tA B thoả mãn đánh giá (2.3) (Chú ý phương trình động lực học chất lỏng, B = Pdiv, hợp thành phép chiếu Helmholtz toán tử phân kỳ Trong số trường hợp khác, người ta lấy B = Id, toán tử đồng nhất) Nghiệm đủ tốt phương trình (2.1) hàm u thỏa mãn công thức nghiệm sau: t −tA u(t) = e e−(t−τ )A Bf (τ )dτ u(0) + (2.2) Giả thiết 2.1.1 Cho (Y1 , Y2 ) cặp nội suy Giả thiết Yi có tiền đối ngẫu Zi với i = 1, cho Z1 ∩ Z2 trù mật Zi với i = 1, Cho −A sinh C0 -nửa nhóm bị chặn (e−tA )t≥0 Y1 Y2 Hơn nữa, giả sử tồn số α1 , α2 ∈ R với < α2 < < α1 K > cho e−tA Bv Y1 ≤Kt−α1 v X, t > 0, e−tA Bv Y2 ≤Kt−α2 v X, t > 0, (2.3) B đưa Bổ đề 2.1.2 Giả sử Giả thiết 2.1.1 thỏa mãn Xét θ ∈ (0, 1) cho = (1 − θ)α1 + θα2 Khi bất đẳng thức sau ∞ B e−ξA ϕ X ˜ ϕ dξ ≤ M Tiếng Anh: divergent 10 (Z1 ,Z2 )θ,1 (2.4) Định lý 2.1.3 Giả sử giả thiết Bổ đề 2.1.2 thỏa mãn Khi đó, với f ∈ Cb (R+ , X) u0 ∈ (Y1 , Y2 )θ,∞ tồn nghiệm đủ tốt u ∈ Cb (R+ , (Y1 , Y2 )θ,∞ ) phương trình (2.1) thỏa mãn u ∞,(Y1 ,Y2 )θ,∞ ≤ M u0 (Y1 ,Y2 )θ,∞ ˜ f +M ∞,X , (2.5) ˜ > với số M ≥ 1, M Hệ 2.1.4 Xét không gian Banach X, (Y1 , Y2 )θ,∞ Định lý 2.1.3 Giả sử tồn không gian Banach V số α1 > > α2 > 0, cho X = V , = (1 − θ)α1 + θα2 , B e−tA ϕ V ≤Kt−α1 ϕ Z1 , B e−tA ϕ V ≤Kt−α2 ϕ Z2 (2.6) Khi đó, tất khẳng định Định lý 2.1.3 2.2 2.2.1 Nghiệm bị chặn phương trình tiến hóa nửa tuyến tính tính ổn định đa thức Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính Cho khơng gian Banach (Y1 , Y2 )θ,∞ X Bây chúng tơi xét phương trình tiến hóa nửa tuyến tính ut + Au = Bg(t, u), u|t=0 = u0 ∈ (Y1 , Y2 )θ,∞ , (2.7) tốn tử −A B thỏa mãn giả thiết định lý 2.1.3, hàm g thỏa mãn (2.9) Nghiệm đủ tốt phương trình (2.7) hàm u thỏa mãn phương trình sau t u(t) = e−tA u0 + e−(t−τ )A Bg(τ, u)dτ (2.8) Giả thiết 2.2.1 Cho g : R+ × (Y1 , Y2 )θ,∞ → X thỏa mãn (1) g liên tục theo thời gian t tồn γ > cho g(t, 0) X ≤γ với t ∈ R+ , (2) tồn L > ρ > cho g(t, v1 ) − g(t, v2 ) X ≤ L v1 − v2 với t ∈ R+ , v1 , v2 ∈ Bρ := {v ∈ (Y1 , Y2 )θ,∞ : v 11 (Y1 ,Y2 )θ,∞ (Y1 ,Y2 )θ,∞ ≤ ρ} (2.9) Định lý 2.2.2 Xét phương trình (2.8) với giả thiết u0 ∈ (Y1 , Y2 )θ,∞ Cho A B thỏa mãn giả thiết Định lý 2.1.3, cho g thỏa mãn điều kiện (2.9) Khi đó, u0 (Y1 ,Y2 )θ,∞ , γ L đủ nhỏ, phương trình (2.8) có nghiệm bị chặn uˆ (tức là, uˆ nghiệm đủ tốt bị chặn (2.7) hình cầu Cb (R+ , (Y1 , Y2 )θ,∞ ) Giả thiết 2.2.3 (a) Tồn số β1 > > β2 > 0, khơng gian Banach −1 ta có W cặp nội suy Banach (Θ1 , Θ2 ) cho với ζ = ββ11−β (Θ1 , Θ2 )ζ,∞ có tiền đối ngẫu Banach e−tA Bψ e−tA Bψ Θ1 ≤M t−β1 ψ W Θ2 ≤M t−β2 ψ W (2.10) với số số M > độc lập với t ψ Hơn nữa, tồn số β > cho e−tA ψ e −tA Bψ (Θ1 ,Θ2 )ζ,∞ (Θ1 ,Θ2 )ζ,∞ ≤ M t1−β ψ ≤ Mt −β ψ (Y1 ,Y2 )θ,∞ X (2.11) (b) Cho bán kính ρ (2.9) tồn L1 > cho toán tử g thỏa mãn g(t, v1 ) − g(t, v2 ) W ≤ L1 v1 − v2 (Θ1 ,Θ2 )ζ,∞ (2.12) với v1 , v2 ∈ Bρ ∩ (Θ1 , Θ2 )ζ,∞ = {v ∈ (Y1 , Y2 )θ,∞ ∩ (Θ1 , Θ2 )ζ,∞ : v (Y1 ,Y2 )θ,∞ ≤ ρ} với t ∈ R+ Định lý 2.2.4 Giả sử điều kiện Định lý 2.2.2 Giả thiết 2.1.1 thỏa mãn Khi đó, nghiệm bị chặn uˆ (2.7) ổn định, tức với nghiệm u ∈ Cb (R+ , (Y1 , Y2 )θ,∞ ) (2.7) cho u(0) − uˆ(0) (Y1 ,Y2 )θ,∞ , L, L1 , uˆ ∞,(Θ1 ,Θ2 )ζ,∞ đủ nhỏ ta có u(t) − uˆ(t) 2.2.2 (Θ1 ,Θ2 )ζ,∞ ≤ C tβ−1 với t > (2.13) Phương trình tổng qt hóa động lực học thủy khí Đối với phương trình nảy sinh động lực học thủy khí thường xét u trường véc tơ chưa biết Rd F - trường ten-sơ bậc hai cho trước Xét phương trình cụ thể sau: ut + Au = Pdiv(G(u) + F (t)) u|t=0 = u0 ∈ (Y1 , Y2 )θ,∞ , (2.14) −A tốn tử sinh C0 -nửa nhóm bị chặn (e−tA )t≥0 (Y1 , Y2 )θ,∞ , F (t) ∈ X, t ≥ 0, B := Pdiv P phép chiếu Helmholtz, 12 g(t, u) = G(u) + F (t) thỏa mãn điều kiện (2.9) Các ví dụ cụ thể A G trình bày chương Hơn nữa, thay B Pdiv phương trình (2.8), ta có khái niệm sau nghiệm đủ tốt t u(t) = e −tA e−(t−τ )A Pdiv(G(u) + F (τ ))dτ u(0) + (2.15) Giả thiết 2.2.5 Giả sử toán tử −A sinh C0 -nửa nhóm bị chặn (e−tA )t≥0 d : thỏa mãn đánh giá trơn sau với < p < d−2 ∇e−tA x d d−2 ,1 d ≤ M t− − ( p − d/2 d−2 d ) x p,∞ (2.16) Hơn nữa, giả sử F ∈ Cb (R+ , Lw (Ω)d ), toán tử phi tuyến G : d/2 Ldσ,w (Ω) → Lw (Ω)d thỏa mãn (1) G(0) = 0, (2) G(v1 ) − G(v2 ) d/2,w ≤ (κ + v1 + v2 d,w d,w ) v1 − v2 d,w với v1 , v2 ∈ Ldσ,w (Ω), κ ≥ số (2.17) Những giả thiết G tương đương với giả thiết g (2.9) lấy L = κ + 2ρ với v1 , v2 ∈ Bρ γ := F ∞,d/2,w Hơn nữa, Giả thiết 2.2.3 tương đương với giả thiết sau Giả thiết 2.2.6 Giả sử toán tử −A tốn tử đối ngẫu −A sinh C0 -nửa nhóm bị chặn (e−tA )t≥0 (e−tA )t≥0 thỏa mãn đánh giá Lp − Lq (1) Với r > d: e−tA x r,w , d e−tA x r,w ≤ M t− ( d − r ) x d,w (2.18) (2) Với r > d: ∇e−tA x với < p < ∇e−tA x dr dr−r−d , d d−2 ,1 (2.19) r r−1 ,1 giả sử dr dr−r−d ,1 d ≤ M t− + 2r x d ≤ M t− − ( p − dr−r−d ) dr x p,∞ với x ∈ Ldσ,w (Ω), (2.20) (3) Với số κ ≥ 0, v1 , v2 ∈ Ldσ,w (Ω) ∩ Lrσ,w (Ω), G thỏa mãn G(v1 ) − G(v2 ) dr d+r ,w ≤(κ + v1 13 d,w + v2 d,w ) v1 − v2 r,w (2.21) d/2 Định lý 2.2.7 Cho F ∈ Cb (R+ , Lw (Ω)d ) Giả sử G : Ldσ,w (Ω) → d/2 Lw (Ω)d thỏa mãn điều kiện (2.17), −A thỏa mãn Giả thiết 2.2.5, 2.2.6, u0 ∈ Ldσ,w (Ω) Khi khẳng định sau (1) Nếu κ, u0 d,ω , F ∞, d ,w ρ đủ nhỏ, phương trình (2.14) có nghiệm đủ tốt uˆ hình cầu Bρ := {v ∈ Cb (R+ , Ldσ,w (Ω)) : v ∞,d,w ≤ ρ} (2) Nghiệm uˆ (2.14) ổn định theo nghĩa với nghiệm khác u ∈ Cb (R+ , Ldσ,w (Ω)) (2.14) cho u(0) − uˆ(0) d,w đủ nhỏ ta có C u(t) − uˆ(t) r,w ≤ d với t > 0, (2.22) t − 2r với r > d (2.19) Kết luận Chương Trong chương này, đạt kết sau: • Sử dụng độ trơn nửa nhóm, khơng gian nội suy định lý nội suy, chứng minh tồn nghiệm đủ tốt bị chặn của phương trình tiến hóa tuyến tính tổng quát; • Sử dụng nguyên lý điểm bất động chứng minh tồn nghiệm đủ tốt bị chặn phương trình tiến hóa nửa tuyến tính khơng gian nội suy Đồng thời, chúng tơi chứng minh ổn định cấp đa thức nghiệm bị chặn phương trình tiến hóa nửa tuyến tính tổng qt hồn tồn phù hợp với lớp phương trình tổng qt hóa động lực học thủy khí Mục tiêu Chương tìm nghiệm bị chặn theo thời gian, sau chứng minh tính ổn định nghiệm phương trình tiến hóa Để thực mục tiêu đó, trước hết chúng tơi chứng minh tồn nghiệm đủ tốt bị chặn phương trình tiến hóa tuyến tính Tiếp theo, sử dụng nguyên lý điểm bất động để mở rộng kết phương trình tuyến tính cho phương trình phi tuyến Các kết Chương là: Định lý 2.2.2 tồn nghiệm đủ tốt bị chặn phương trình tiến hóa nửa tuyến tính khơng gian nội suy với phần phi tuyến thỏa mãn điều kiện Lipschitz; sau có nghiệm bị chặn với giả thiết tính trơn nửa nhóm ta nhận tính ổn định nghiệm phương trình tiến hóa nửa tuyến tính Định lý 2.2.4; Định lý 2.2.7 trường hợp đặc biệt Định lý 2.2.2 Định lý 2.2.4 Kết chương dựa vào báo [2] Danh mục cơng trình công bố luận án 14 Chương NGHIỆM TUẦN HỒN VÀ HẦU TUẦN HỒN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA 3.1 Nghiệm tuần hồn 3.1.1 Phương trình tiến hóa tuyến tính Trong phần chúng tơi xét tính ổn định có điều kiện nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa tuyến tính u − Au = f (t), u(0) = u0 ∈ Y, (3.1) đây, A tốn tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 Y , f thuộc vào Cb (R+ , Y ) := h : R+ → Y | h liên tục supt≥0 h(t) Y < ∞ với chuẩn h Cb (R+ ,Y ) := supt≥0 h(t) Y Nghiệm đủ tốt phương trình (3.1) cho công thức: t u(t) = T (t)u0 + T (t − s)f (s)ds (3.2) Định nghĩa 3.1.1 Cho ϕ : (0, ∞) → R hàm liên tục thỏa mãn limt→∞ ϕ(t) = Nửa nhóm (T (t))t≥0 gọi ϕ-ổn định T (t)x Y ≤ ϕ(t) x Y với x ∈ Y cho sup T (t)x Y < ∞ (3.3) t≥0 Định lý 3.1.2 Cho (T (t))t≥0 nửa nhóm ϕ-ổn định có điều kiện, f ∈ Cb (R+ , Y ) Giả sử tồn x0 ∈ Y cho nghiệm đủ tốt u(t) = T (t)x0 + t T (t − s)f (s)ds, t ≥ 0, thuộc vào Cb (R+ , Y ) thỏa mãn u Cb (R+ ,Y ) ≤ M f Cb (R+ ,Y ) Khi đó, f T -tuần hồn theo thời gian tồn nghiệm đủ tốt T -tuần hoàn uˆ (3.1) với uˆ 3.1.2 Cb (R+ ,Y ) ˜ f ≤M Cb (R+ ,Y ) ˜ := (M + T ) sup với M T (t) (3.4) 0≤t≤T Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính Xét phương trình tiến hóa nửa tuyến tính u (t) = Au(t) + g(u)(t), u(0) = u0 ∈ X 15 (3.5) A toán tử thỏa mãn giả thiết phương trình tuyến tính, tốn tử Nemytskii’s g : Cb (R+ , Y ) → Cb (R+ , Y ) thỏa mãn (1) g(0) Cb (R+ ,Y ) ≤ γ với γ số không âm, (2) g ánh xạ cho tương ứng hàm T -tuần hoàn thành hàm T -tuần hoàn, (3) Tồn số dương ρ L cho g(v1 ) − g(v2 ) ≤ L v1 − v2 Cb (R+ ,Y ) với v1 , v2 ∈ Cb (R+ , Y ) v1 Cb (R+ ,Y ) (3.6) Cb (R+ ,Y ) ≤ ρ, v2 Cb (R+ ,Y ) ≤ ρ Hơn nữa, ta xét nghiệm đủ tốt phương trình (3.5) thỏa mãn phương trình tích phân sau: t u(t) = T (t)u0 + T (t − s)g(u)(τ )dτ với t ≥ (3.7) Định lý 3.1.3 Giả sử giả thiết Định lý 3.1.2 thỏa mãn, g thỏa mãn điều kiện (3.6) Khi đó, L γ đủ nhỏ phương trình (3.5) có nghiệm đủ tốt T -tuần hồn uˆ hình cầu nhỏ Cb (R+ , Y ) 3.2 Nghiệm hầu tuần hoàn Trước hết, xét phương trình tiến hóa tuyến tính tồn trục thời gian ut + Au = PdivF (t), t ∈ R (3.8) Nghiệm đủ tốt phương trình (3.8) cho công thức t −(t−s)A u(t) = e e−(t−τ )A PdivF (τ )dτ, u(s) + t ≥ s, t, s ∈ R (3.9) s Bổ đề 3.2.1 Cho toán tử A thỏa mãn Giả thiết 2.2.6 giả sử trường d/2 ten-xơ bậc hai F ∈ Cb (R, Lσ,ω (Ω)d×d )) hầu tuần hồn Khi phương trình (3.8) có nghiệm đủ tốt hầu tuần hồn Cb (R, Ldσ,ω (Ω)) nghiệm có dạng ∞ t −τ A u(t) = e e−(t−τ )A PdivF (τ )dτ, PdivF (t − τ )dτ = ∀t ∈ R −∞ Sau chứng minh tồn nghiệm đủ tốt hầu tuần hồn phương trình tiến hóa nửa tuyến tính toàn đường thẳng: zt + Az = Pdiv(G(z) + F (t)), t ∈ R, (3.10) tốn tử phi tuyến G thỏa mãn điều kiện (2.17) 16 Định lý 3.2.2 Giả sử Giả thiết 2.2.6 điều kiện (2.17) d (Ω)d×d ) hầu tuần hoàn thỏa mãn trường ten-xơ bậc hai F ∈ Cb (R, Lσ,ω Khi đó, chuẩn F ∞, d ,ω đủ nhỏ phương trình (3.10) có nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn hình cầu đóng Cb (R, Ldσ,ω (Ω)) Kết luận Chương Trong chương này, đạt kết sau: • Chúng tơi sử dụng tính bị chặn điều kiện ϕ-ổn định có điều kiện nửa nhóm tương ứng để xây dựng dãy Cauchy hội tụ tới véc tơ ban đầu từ đưa nghiệm tuần hồn; • Sử dụng đánh giá đối ngẫu, tính chất trơn nửa nhóm sử dụng định lý nội suy cho nửa nhóm liên tục mạnh sinh toán tử Stokes, nguyên lý điểm bất động, chứng minh tồn ổn định nghiệm hầu tuần hoàn bị chặn phương trình tiến hóa nửa tuyến tính Các kết mà thu chương là: Định lý 3.1.2, Định lý 3.1.3 tồn nghiệm đủ tốt T -tuần hoàn phương trình tiến hóa khơng gian Banach cách trực tiếp đơn giản [36, 28] khơng sử dụng hàm tử nội suy tính compact agurment; Định lý 3.2.2 kết tồn nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn phương trình tiến hóa nửa tuyến tính Kết chương dựa vào báo [2], [3] Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến luận án 17 Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG 4.1 4.1.1 Ứng dụng vào phương trình động lực học thủy khí Phương trình Navier-Stokes-Oseen Xét phương trình sau:  vt + (v · ∇)v − ∆v + ∇π     divv   v(y, t) |∂Ω(t)  lim v(y, t)    |y|→∞   v(y, 0) = divG, = Ω(t)(t > 0), = (ξ + ω × y) |∂Ω(t) , = 0, (4.1) = v0 (y) Khi đó, phép biến đổi ta phương trình zt + La,k z = Pdiv(G(z + F)) z |t=0 = z0 ∈ L3σ,ω (Ω), (4.2) 3/2 Định lý 4.1.1 Giả sử F ∈ Cb (R+ , Lσ,ω (Ω)3×3 ) Khi khẳng định sau (a) Nếu F ∞, 23 ,ω , |a|, |k| z0 3,ω đủ nhỏ, phương trình (4.2) có nghiệm đủ tốt hình cầu đóng Cb (R+ , L3σ,ω (Ω)) (b) Nghiệm đủ tốt zˆ phương trình (4.2) ổn định, tức với nghiệm đủ tốt z ∈ Cb (R+ , L3σ,ω (Ω)) phương trình (4.2) cho z(0) − zˆ(0) 3,ω đủ nhỏ, ta có z(t) − zˆ(t) r,ω ≤ Ct− + 2r , ∀t ≥ 0, r số cố định thỏa mãn r > 3 (c) Giả sử phương trình (4.2) xét với t ∈ R F ∈ Cb (R, Lσ,ω (Ω)3×3 hầu tuần hồn Khi F ∞, 23 ,ω , |a|, |k| đủ nhỏ, phương trình (4.2) có nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn 18 4.1.2 Phương trình Navier-Stokes miền có lỗ thủng Cho Ω ∈ R3 miền có lỗ thủng với biên trơn ∂Ω Xét phương trình sau  ut + (u · ∇)u − ∆u + ∇p     divu  u(x, t)   u(x, 0)    M u(x, t)ndσ = divF Ω × (0, ∞), = Ω × (0, ∞), = ∂Ω × (0, ∞), = u0 (x) Ω, = (4.3) Áp dụng phép chiếu Helmholtz, phương trình khơng gian L3σ,ω (Ω) viết lại sau ut + Au = Pdiv(G(u) + F ), u |t=0 = u0 ∈ L3σ,ω (Ω) t>0 (4.4) Khi nghiệm đủ tốt phương trình (4.4) cho t u(t) = e −tA e−(t−τ )A Pdiv(G(u)(τ ) + F (τ ))dτ, u0 + t ∈ R+ (4.5) 3/2 Định lý 4.1.2 Giả sử F ∈ Cb (R+ , Lσ,ω (Ω)3×3 ) Khi khẳng định sau (a) Nếu F ∞, 23 ,ω u0 3,ω đủ nhỏ, phương trình (4.4) có nghiệm đủ tốt bị chặn hình cầu đóng nhỏ Cb (R+ , L3σ,ω (Ω)) (b) Nghiệm đủ tốt bị chặn uˆ phương trình (4.4) ổn định theo nghĩa với nghiệm đủ tốt khác u ∈ Cb (R+ , L3σ,ω (Ω)) phương trình (4.4) cho u(0) − uˆ(0) 3,ω đủ nhỏ, ta có u(t) − uˆ(t) r,ω ≤ Ct− + 2r , ∀t > 0, r số cố định thỏa mãn r > 3 (c) Giả sử phương trình (4.3) xét với t ∈ R F ∈ Cb (R, Lσ,ω (Ω)3×3 hầu tuần hồn Khi F ∞, 32 ,ω đủ nhỏ, phương trình (4.4) có nghiệm đủ tốt hầu tuần hồn 4.1.3 Phương trình Navier-Stokes khơng gian Besov Chúng tơi xét phương trình Navier-Stokes Rd không gian Besov   ut + (u · ∇)u − ∆u + ∇p = divF Rd × R+ , (4.6) ∇u = Rd × R+ ,  u(t0 , ·) = u0 (·) 19 Phương trình (4.6) viết lại dạng u (t) − ∆u(t) = Pdiv(G(u) + F (t)), t ∈ R+ , u(0) = u0 , (4.7) Trong G(u) = −u ⊗ u Hơn nữa, nghiệm đủ tốt phương trình (4.7) cho t −tA u(t) = e e−(t−τ )A Pdiv(G(u)(τ ) + F (τ ))dτ, u0 + t > (4.8) Định lý 4.1.3 Giả sử < s ∈ R, p ∈ [2, d) ≤ d ∈ R cho s = dp − Cho F ∈ Cb (R, X) Khi khẳng định sau (a) Nếu F (Cb (R,X) u0 Y đủ nhỏ, phương trình (4.7) có nghiệm đủ tốt bị chặn hình cầu đóng nhỏ Cb (R+ , Y ) (b) Nghiệm đủ tốt bị chặn uˆ phương trình (4.7) ổn định theo nghĩa s với nghiệm đủ tốt khác u ∈ Cb (R+ , B˙ p,∞ (Rd ) phương trình (4.7) cho u(0) − uˆ(0) B˙ p,∞ s (Rd ) đủ nhỏ, ta có u(t) − uˆ(t) s B˙ p,∞ (Rd ) s ≤ Ct− + 2r , ∀t > 0, r số cố định thỏa mãn r > s (c) Giả sử phương trình (4.7) xét với t ∈ R F ∈ Cb (R+ , Lσ,ω (Ω)3×3 hầu tuần hồn Khi F ∞, 32 ,ω đủ nhỏ, phương trình (4.7) có nghiệm đủ tốt hầu tuần hồn 4.2 4.2.1 Ứng dụng vào phương trình OrnsteinUhlenbeck phương trình truyền nhiệt với hệ số thơ Phương trình Ornstein-Uhlenbeck Chúng tơi xét phương trình Ornstein-Uhlenbeck miền ngoại vi Ω ⊂ Rd với C 1,1 biên:   ut − ∆u − M x · ∇u = g(t, u), t > 0, x ∈ Ω, u = 0, t > 0, x ∈ ∂Ω, (4.9)  u(0) = u0 , x ∈ Ω, g(t, u) = |u|m−1 u + F (t) cho số cố định m ∈ N đó, M ∈ Rd×d F hàm bị chặn (trên R+ ) Cho L cho sau: Lu(x) := ∆u(x) + M x · ∇u(x), x ∈ Ω 20 Khi đó, chúng tơi định nghĩa toán tử Ornstein-Uhlenbeck L Lp (Ω) Lu := Lu, D(L) := {u ∈ W 2,p (Ω) ∩ W01,p (Ω) : M x · ∇u ∈ Lp (Ω)} Phương trình (4.9) viết lại thành u (t) − Lu(t) = g(t, u), u(0) = u0 t > 0, (4.10) d giả sử F ∈ L∞ (R+ ; Y ) (a) Nếu u0 Y , F ∞,Y ρ đủ nhỏ, phương trình (4.10) có nghiệm đủ tốt uˆ hình cầu Bρ := {u ∈ Cb (R+ ; Y ) : u ∞,Y ≤ ρ} (b) Nghiệm uˆ (4.10) ổn định theo nghĩa có nghiệm khác u ∈ Cb (R+ , Y ) (4.10) cho u(0) − uˆ(0) Y đủ nhỏ ta có u(t) − uˆ(t) với số r > 4.2.2 Lr,∞ (Ω) d(m−1) d(m−1)−2m > C ≤ t d(m−1) − 4rm với t > 0, (4.11) d(m−1) 2m Phương trình truyền nhiệt với hệ số thơ Xét hàm đo b : Rd → C thỏa mãn b ∈ L∞ (Rd ) Re b ≥ δ > với δ > (4.12) Trong phần tìm nghiệm bị chặn phương trình ut − b∆u = g(t, u), u(0) = u0 , t > 0, x ∈ Rd , (4.13) Phương trình (4.13) viết lại dạng u (t) + Lu(t) = g(t, u), u(0) = u0 t > 0, (4.14) 4m d < m < m−1 > d ≥ Giả sử b Định lý 4.2.2 Cho m ∈ N với d−2 thỏa mãn (4.12) F ∈ L∞ (R+ ; Y ) với Y định nghĩa (??) (a) Nếu u0 Y , F ∞,Y ρ đủ nhỏ, phương trình (4.14) có nghiệm đủ tốt uˆ hình cầu Bρ := {u ∈ Cb (R+ ; Y ) : u ∞,Y ≤ ρ} 21 (b) Nghiệm bị chặn uˆ ổn định, tức với nghiệm khác u ∈ Cb (R+ , Y ) (4.14) cho u(0) − uˆ(0) Y đủ nhỏ ta có u(t) − uˆ(t) với số r > 4.3 Lr,∞ (Rd ) d(m−1) d(m−1)−2m C ≤ t > d(m−1) − 4rm với t > 0, d(m−1) 2m Ứng dụng vào nửa nhóm hyperbolic Bổ đề 4.3.1 Cho nửa nhóm (T (t))t≥0 hyperbolic với phép chiếu nhị phân P số M, ν > Cho f ∈ Cb (R+ , Y ) g : Cb (R+ , Y ) → Cb (R+ , Y ) thỏa mãn điều kiện (3.6) Khi đó, khẳng định sau (a) Cho v ∈ Cb (R+ , Y ) nghiệm đủ tốt phương trình (3.2) (tức nghiệm đủ tốt phương trình (3.1)) Khi v viết lại dạng ∞ v(t) = T (t)ξ0 + G(t − τ )f (τ )dτ với ξ0 ∈ P Y, (4.15) (b) Cho u ∈ Cb (R+ , Y ) nghiệm phương trình (3.7) cho supt≥0 u(t) Y ≤ ρ với ρ > cố định Khi đó, với t ≥ hàm u viết dạng ∞ u(t) = T (t)v0 + G(t − τ )g(u)(τ )dτ với v0 ∈ P Y, (4.16) với G phần (a) Định lý 4.3.2 Xét phương trình (3.2) (3.7) Cho nửa nhóm (T (t))t≥s≥0 hyperbolic với phép chiếu nhị phân P số M, ν Cho f ∈ Cb (R+ , Y ) T -tuần hoàn g : Cb (R+ , Y ) → Cb (R+ , Y ) thỏa mãn điều kiện (3.6) với số cho σ, L, γ Khi đó, khẳng định sau (a) Phương trình (3.2) có nghiệm T -tuần hoàn (b) Với L, γ đủ nhỏ phương trình (3.7) có nghiệm T -tuần hoàn Định lý 4.3.3 Cho giả thiết Định lý 4.3.2 thỏa mãn Giả sử uˆ nghiệm tuần hồn phương trình (3.7) thu khẳng định (b) Định lý 4.3.2 Cho Bρ (0) hình cầu chứa uˆ khẳng định (b) Định lý 4.3.2 Giả sử tồn số dương L1 cho g(v1 − g(v2 ) Cb ≤ L1 v1 − v2 Cb với v1 , v2 ∈ B2ρ (0) Khi đó, L1 đủ nhỏ, ρ (P u ˆ(0)) ∩ P X có nghiệm u(t) tương ứng với v0 ∈ B 2M phương trình (3.7) R+ thỏa mãn điều kiện P u = v0 u ∈ Bρ (ˆ u) 22 Hơn nữa, nghiệm uˆ ổn định có điều kiện theo nghĩa sau: với nghiệm u(t) có đánh giá u(t) − uˆ(t) ≤ Ce−µt P u(0) − P uˆ(0) , với t ≥ (4.17) với số dương C µ độc lập với u uˆ 4.4 Ứng dụng vào phương trình truyền sóng Giả sử A tốn tử tự liên hợp, xác định dương với giải compact không gian Hilbert H r : D(A ) → H thuộc lớp C1 với r(0) = 0, r (0) = Ta xét phương trình truyền sóng   uă + u + Au + u = r(u) + f (t), t > 0, u(0) = u0 , t > 0, (4.18)  u(0) ˙ = u1 ; u0 , u1 ∈ H, α > 0, ω ∈ R số, f ∈ Cb (R+ , H) ngoại lực Ta chuyển đổi phương trình sang dạng phương trình u (t) − Au(t) = g(u)(t) Định lý 4.4.1 Cho A toán tử tự liên hợp, xác định dương với giải thức compact không gian Hilbert H, α > ω ∈ R cho −ω ∈ / σ(A) 1 Giả sử r : D(A ) → H thuộc lớp C với r(0) = r (0) = Cho f ∈ Cb (R+ , H) T -tuần hồn Khi f Cb (R+ ,H) đủ nhỏ phương trình (4.18) có nghiệm đủ tốt T -tuần hoàn uˆ lân cận nhỏ Hơn nữa, nghiệm uˆ ổn định có điều kiện theo nghĩa Định lý 4.3.3 Kết luận Chương Trong chương này, áp dụng kết đạt Chương để ứng dụng vào phương trình Ornstein - Uhlenbeck phương trình nhiệt với hệ số thô Các kết đạt Chương 2, ứng dụng vào phương trình: phương trình Navier-Stokes-Oseen (Định lý 4.1.1), phương trình Navier-Stokes miền có lỗ thủng (Định lý 4.1.2), phương trình Navier-Stokes khơng gian Besov (Định lý 4.1.3) Trong phần 3.1 Chương 3, với nửa nhóm (T (t))t≥0 ϕ-ổn định có điều kiện, chúng tơi áp dụng cho nửa nhóm hyperbolic phương trình truyền sóng Kết đạt tồn tại, tính ổn định nghiệm bị chặn, điều kiện ổn định nghiệm tuần hồn phương trình Kết chương dựa vào báo [1], [2], [3] Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến luận án 23 KẾT LUẬN Luận án sử dụng tính chất trơn nửa nhóm, tính Lipschitz g sử dụng định lý nội suy cho nửa nhóm liên tục mạnh sinh tốn tử Stokes kết hợp với đánh giá đối ngẫu nguyên lý ánh xạ co, chứng minh tồn tại, tính tính ổn định nghiệm bị chặn phương trình tiến hóa Luận án sử dụng tính bị chặn điều kiện ϕ-ổn định nửa nhóm tương ứng để xây dựng dãy Cauchy hội tụ tới véc tơ ban đầu từ đưa nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa Đưa ứng dụng vào phương trình cụ thể minh họa cho phần lý thuyết trình bày Những kết luận án đạt là: • Chứng minh tồn nhất, tính bị chặn ổn định nghiệm phương trình tiến hóa ut + Au = Bg(t, u) u|t=0 = u0 ∈ (Y1 , Y2 )θ,∞ , ut + Au = Pdiv(G(u) + F (t)) u|t=0 = u0 ∈ (Y1 , Y2 )θ,∞ Kết áp dụng cho phương trình cụ thể phương trình Ornstein-Uhlenbeck, phương trình truyền nhiệt với hệ số thơ • Chỉ tồn nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa với tính bị chặn ϕ-ổn định có điều kiện nửa nhóm (T (t))t≥0 u − Au = f (t), u(0) = u0 ∈ Y, u (t) = Au(t) + g(u)(t), u(0) = u0 ∈ X Chúng áp dụng kết trừu tượng cho nửa nhóm hyperbolic phương trình truyền sóng • Chứng minh tồn ổn định nghiệm hầu tuần hồn bị chặn phương trình tiến hóa nửa tuyến tính tổng qt zt + Az = Pdiv(G(z) + F (t)), t ∈ R • Các kết áp dụng cho phương trình động lực học thủy khí Luận án tiếp tục theo số chủ đề sau: • Nghiên cứu tính ổn định nghiệm tuần hồn phương trình Navier - Stokes đa tạp không compact 24 ... kết tính bị chặn, ổn định, hầu tuần hồn nghiệm phương trình tiến hóa khơng gian nội suy để nhận kết tổng quát ứng dụng vào phương trình cụ thể động lực học thủy khí Luận án ? ?Tính giới nội ổn định. .. định nghiệm phương trình tiến hóa động lực học thủy khí? ?? Luận án nhằm nghiên cứu đánh giá tồn nghiệm bị chặn tính ổn định nghiệm phương trình tiến hóa tổng qt khơng gian nội suy Từ đó, áp dụng vào... 2.1 Nghiệm bị chặn phương trình tiến hóa tuyến tính Trong phần này, chúng tơi trình bày kết tồn ổn định nghiệm đủ tốt phương trình tiến hóa tuyến tính khơng gian nội suy Xét phương trình tuyến tính