Tính giới nội và ổn định của nghiệm các phương trình tiến hóa và động lực học thủy khí

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VŨ THỊ MAI TÍNH GIỚI NỘI VÀ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM CÁC PHƯƠNG TRÌNH TIÊN HĨA VÀ ĐỘNG LựC HỌC THỦY KHÍ LUẬN ÁN TIÊN SĨ TỐN HỌC Hà Nôi 2020 Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VŨ THỊ MAI TÍNH GIỚI NỘI VÀ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM CÁC PHƯƠNG TRÌNH TIÊN HĨA VÀ ĐỘNG LựC HỌC THỦY KHÍ Ng ành: Toán học Mã số: 9460101 LUẬN ÁN TIÊN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS VŨ THỊ NGỌC HÀ TS TRẦN THỊ LOAN Hà Nôi 2020 , MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN Tác giả xin cam đoan cơng trình nghiên cứu thân tác giả Các kết nghiên cứu kết luận luận án trung thực, không chép từ nguồn hình thức Việc tham khảo nguồn tài liệu thực trích dẫn ghi nguồn tài liệu tham khảo quy định Hà Nội, ngày 23 tháng 10 năm 2020 Tác giả Tập thể hướng dẫn Vũ Thị Mai LỜI CẢM ƠN Luận án thực hướng dẫn khoa học TS Vũ Thị Ngọc Hà, TS Trần Thị Loan, hai tận tình giúp đỡ tơi đường nghiên cứu khoa học Các cô bảo tơi suốt q trình nghiên cứu, giúp tơi tiếp cận lĩnh vực tốn học đầy thú vị, tạo thử thách giúp tự học hỏi, tìm tịi sáng tạo, tơi may mắn tiếp nhận từ người đáng kính Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến cô Tôi xin gửi lời cảm ơn đạc biệt tới PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy, nhà khoa học, người thầy vô mẫu mực, tận tình giúp đỡ tơi, cho tơi ý kiến đóng góp q báu Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy Xin chân thành cảm ơn thành viên nhóm seminar “Phương trình vi phân ứng dụng” trường ĐH Bách khoa Hà Nội PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy điều hành bên cạnh động viên giúp đỡ tơi q trình học tập nghiên cứu Trong thời gian làm NCS Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, nhận nhiều tình cảm giúp đỡ từ thầy Bộ mơn Tốn bản, thầy Viện Tốn ứng dụng Tin học Tơi xin chân thành cảm ơn Nhân dịp này, bày tỏ cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Khoa Tốn KHTN Trường Đại học Hải Phịng tạo điều kiện thuận lợi cho học tập nghiên cứu Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình, đồng nghiệp tồn thể bạn bè ln khuyến khích, động viên để tơi vững bước đường tốn học chọn Tác giả MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN N : tập số tự nhiên R : tập số thực R+ : tập số thực không âm R_ : tập số thực không dương Z C : tập số nguyên Lp(R) L (R) : tập số phức := íu : R ! R| \\u\\p = ( í |u(x)| dx^ < +1 > l VR / := {u : R ! R| IỊUỊITO = ess sup |u(x) | < ■ 1} p < p < xeR X; Y L(X; Y) L(X) : khơng gian Banach : khơng gian tốn tử tuyến tính bị chạn từ X vào Y : khơng gian tốn tử tuyến tính bị chạn từ X vào với chuẩn ||v||C6(R,X) := sup ||v(t)|| teR A (e- )t>0 tA : tốn tử tuyến tính : nửa nhóm sinh tốn tử —A MỞ ĐẦU Tổng quan hướng nghiên cứu lý chọn đề tài Bài tốn hệ phương trình Navier - Stokes đưa từ năm 1882, mô tả hình dạng sóng, chuyển động đại dương, hình thành bão, chuyển động khơng khí, Bên cạnh hệ phương trình Navier - Stokes, nhiều lớp phương trình khác học chất lỏng thu hút nhiều quan tâm nghiên cứu ý nghĩa mạt toán học tầm quan trọng chúng thách thức khó khăn nghiên cứu Xét phương trình dạng trừu tượng không gian hàm tổng quát cho phép sử dụng phương pháp dựa phát triển gần toán học khái niệm nghiệm đủ tốt, không gian nội suy, định lý nội suy, để tìm hiểu vấn đề mang tính chất nghiệm phương trình Bài tốn tìm nghiệm bị chạn phương trình Navier-Stokes miền Q khơng bị chạn hướng Maremonti [1] phát biểu dạng sau: Bài toán A: “ Ký hiệu f (t, x) ngoại lực u(t, x) nghiệm phương trình Navier-Stokes ut — Ku + (u • V)u + Vp = f; X Y hai khơng gian Banach với chuẩn II • ||X II • IIY tương ứng Nếu f (t, •) X với \\f (t, •)\X bị chặn theo thời gian, u(t, •) Y với \\u(t, •)\Y bị chặn theo thời gian.” Trong trường hợp, Q bị chạn (theo hướng đó), cách sử dụng bất đẳng thức Poincaré số định lý nhúng Sobolev compact, người ta dễ dàng giải tốn A Khi miền khơng bị chạn theo hướng tốn trở nên phức tạp nhiều bất đẳng thức Poincaré khơng định lý nhúng compact khơngkhả dụng Vì thế, có nhiều cách tiếp cận đưa để vượt qua khó khăn Như số đường hướng Maremonti [1, 2] Maremonti-Padula [3], Galdi Sohr [4], Yamazaki [5], Thieu Huy Nguyen [6] Bài tốn tìm nghiệm bị chạn miền không bị chạn chứng minh ổn định nghiệm toán thời mang đến nhiều ứng dụng vấn đề luồng thủy khí qua vật cản đứng yên hay quay tròn Tuabin hay cánh quạt Một số kết móng ban đầu đạt Thieu Huy Nguyen số tác giả khác (xem [4, 5, 6, 7, 8, 9]) Chúng phát triển hồn thiện kết tính bị chạn, ổn định, hầu tuần hoàn nghiệm phương trình tiến hóa khơng gian nội suy để nhận kết tổng quát ứng dụng vào phương trình cụ thể động lực học thủy khí Luận án “Tính giới nội ổn định nghiệm phương trình tiến hóa động lực học thủy khí” Luận án nhằm nghiên cứu đánh giá tồn nghiệm bị chạn tính ổn định nghiệm phương trình tiến hóa tổng qt khơng gian nội suy Từ đó, áp dụng vào tốn cụ thể động lực học thủy khí Chúng tơi tổng qt hóa cách tiếp cận Yamazaki Thieu Huy Nguyen, khai thác đạc trưng nội suy định lý nội suy không gian L -yếu để d nghiệm bị chạn theo thời gian phương trình tiến hóa Cùng với kết hợp phương pháp toán học đại ưa chuộng giới lý thuyết phổ tốn tử đạo hàm riêng, lý thuyết nửa nhóm liên tục mạnh, lý thuyết không gian hàm tử nội suy, vv Cụ thể sau: Xây dựng hệ điều kiện cho cạp không gian Banach Y1; Y2, khơng gian nội suy (Y1, Ì2)ớ,1 với tốn tử sinh nửa nhóm để rút nghiệm bị chạn phương trình tiến hóa dạng: ị^ỉl + Au(t) = B(G(u)); t > (1) (Ẳ/b không gian (Y ;Y )ỹ1, — A tốn tử sinh nửa nhóm; B “tốn tử liên kết”; G toán tử phi tuyến liên tục Lipschitz địa phương Mục đích, đối tương phạm vi nghiên cứu • Mục đích nghiên cứu Luận án: Xây dựng hệ điều kiện cho cạp không gian Banach Y ; Y2, không gian nội suy (Y1, Y )ỹ;1 với toán tử sinh nửa nhóm để chứng minh tồn nghiệm bị chạn phương trình tiến hóa (1) khơng gian (Y ,Y )ỹ;1 Sau nghiệm bị chạn ổn định nhờ vào hệ bất đẳng thức dạng L — L chứng minh tồn nghiệm tuần hồn hay hầu tuần q hồn • Đối tượng phạm vi nghiên cứu Luận án: Nghiên cứu tổng qt hóa tính chất phương trình cụ thể động học thủy khí để đề xuất phương trình tiến hóa tổng qt chứa phương trình cụ thể trường hợp riêng Xây dựng hệ điều kiện cho không gian Banach Y ,Y lớp không gian nội suy chúng để chứng minh tồn nghiệm bị chạn phương trình tiến hóa Dưới điều kiện hệ tiên đề xây dựng, chứng minh nghiệm bị chạn ổn định Xét số lớp phương trình tiến hóa mơ hình q trình xảy tốn học thủy khí: phương trình NavierStokes qua vật cản xoay, qua miền có lỗ thủng, phương trình Navier - Stokes khơng gian Besov Đồng thời xét số ví dụ ứng dụng vào phương trình Ornstein-Uhlenbeck phương trình truyền nhiệt với hệ số thô Phương pháp nghiên cứu Trong luận án, sử dụng phương pháp sau: • Sử dụng phương pháp lý thuyết nửa nhóm tốn tử tuyến tính đánh giá Lp — Lq để đưa đạc trưng nội suy lớp hàm đối ngẫu đạc biệt viết dạng u(t) = T(t)v + Ị G(t — T)g(u)(T)dT với v PY, (4.40) với G phần (a) Chứng minh (a) Đạt y(t) := R01 G(t — T)f (T)dT với t > Từ f Cb(R , Y), sử dụng đánh giá (2.36) ta có + ||y(t)II < (1 + IIP||)MII/ llc, re-* < 2(1 + ||p Mllf y 0v 8t > Hơn nữa, y(t) thỏa mãn phương trình y(t) = T(t)yo + í T(t - T)f (T)dT với t > 0 Từ v(t) nghiệm phương trình (3.2) ta có v(t) - y(t) = T(t)(v(0) - y(0)) với t > Giờ ta đạt ^ = v(0) — y(0) Tính bị chạn v(-) y(-) [0, 1) suy ^ PY Cuối cùng, từ v(t) = T(t)Ệ + y(t) với t > 0, phương trình 0 (4.39) thỏa mãn (b) Tương tự phần (a), ta đạt y(t) := R01 G(t — T)G(U)(T)dT với t > Từ g thỏa mãn điều kiện (3.8) sử dụng đánh giá (2.36) ta có ||-y í)H ( < (1 + Pe II “ “ llg(u)(T) - g(0)(T)k + ||g(0)(T)k)dT dí T|( < (1 + IIP||)M(Lp + 7) ỉ ■■'■■■'■'■ p ( + || ||) (Lp + 7) 2; M v Ngồi ra, y(•) thỏa mãn phương trình vút L \J • y(t) = T(t)y0 + Ị T(t - T)g(u)(T)dT Do u(t) nghiệm phương trình (3.9) nên ta có v(t) — y(t) = T(t)(v(0) — y(0)) với t > Giờ ta đạt v = u(0) — y(0) Tính bị chạn u(^) y(^) R suy v PY Cuối cùng, từ + u(t) = T(t)v + y(t) với t > 0, phương trình (4.40) thỏa mãn 0 □ Nhận xét 4.3.3 Từ tính tốn đơn giản cho thấy điều ngược lại khẳng định (a) (b) đúng, tức là, nghiệm phương trình (4.39) thỏa mãn phương trình (3.2) với t > nghiệm phương trình (4.40) thỏa mãn phương trình (3.9) với t > Định lý tồn nghiệm bị chạn phương trình (3.2) (3.9) (tức nghiệm đủ tốt bị chạn phương trình (3.1) (3.7) tương ứng) nghiệm tuần hồn Định lý 4.3.4 Xét phương trình (3.2) (3.9) Cho nửa nhóm (T(t))t>s> hyperbolic với phép chiếu nhị phân P số M,y Cho f Cb(R , Y) + T-tuần hoàn g : Cb(R , Y) ! Cb(R , Y) thỏa mãn điều kiện + + (3.8) với số cho Ơ,L,2 Khi đó, khẳng định sau (a) Phương trình (3.2) có nghiệm T-tuần hoàn (b) Với L,2 đủ nhỏ phương trình (3.9) có nghiệm T-tuần hồn Chứng minh (a) Với f Cb(R ,Y) cho lấy V = PY (4.39) + ta có phương trình (3.2) có nghiệm bị chạn u(t) = Ị G(t - T)f (T)dT (4.41) nghiệm đánh giá cách sử dụng bất đẳng thức (1.5) ll«lh < 2M(II 11 + 1) P \\f llc» (4.42) Từ Nhận xét 4.3.1 ta có (T(t)) t> '-ổn định có điều kiện với '(t) = Me~vt,t > Sau áp dụng Định lý 3.1.3 ta có với hàm T-tuần hồn f Cb(R , Y) tồn nghiệm T-tuần hồn u phương trình (3.2) + (tức nghiệm đủ tốt T-tuần hoàn phương trình (3.2)) thỏa mãn llơllc < Mỉf llc với ÁM := f 2M(kpk+1) v (4.43) + T^ sup I\T(t) II Tính nghiệm T-tuần 0 ổn định mũ Khi nghiệm tuần hồn u ổn định mũ theo nghĩa có nghiệm khác u Cb(R , Y) + (3.9) cho ||u(0) — u(0) || đủ nhỏ ta có ||u(t) — u(t) || < Ce-Mt||u(0) — u(0) || với t > 0, (4.46) với số dương C ự độc lập với u u Chứng minh Áp dụng Định lý 4.3.5 với P = Id, ta nhận kết 4.4 □ ứng dụng vào phương trình truyền sóng Trong phần chúng tơi xét ứng dụng kết nhận Phần 3.1 Chương cho phương trình truyền sóng Giả sử A toán tử tự liên hợp, xác định dương với giải compact không gian Hilbert H r : D(A ) ! H thuộc lớp C với r(0) = 0, r'(0) = 1 Ta xét phương trình truyền sóng u + au + Au + !U = r(u) + f (t), t> 0, u(0) = u , t > 0, (4.47) u(0) = u ; u ,u H, 1 a > 0,! R số, f Cb(R , H) ngoại lực + Để chuyển đổi phương trình sang dạng phương trình u0(t) — Au(t) = g(u)(t) ta đạt v = u sử dụng biến U = ị không gian X = V/ D(A2) X H Khi ta nhận phương trình dtU = AU + g(U), t> 0, ( u0\ (4.48) X, u ma trận A xác định A = D(A2) X H, g(U) = ị ] với miền \ — A — ! —a 1 Đã chứng minh ([38], trang ự(u) + f (t)J 4724) toán tử A sinh C -nửa nhóm hyperbolic (e )t> —! tA 0 ơ(A) Hơn nữa, tốn tử r C r(0) = rf(0) = nên r Lipschitz địa phương với số Lipschitz nhỏ lân cận nhỏ Do toán tử g thỏa mãn điều kiện (3.8) với Y = X, g(0) = f với số Lipschitz nhỏ bán kính p nhỏ Do áp dụng Định lý 4.3.4 4.3.5 ta nhận kết cho phương trình truyền sóng (4.47) Định lý 4.4.1 Cho A toán tử tự liên hợp, xác định dương với giải thức compact không gian Hilbert H,a > ! R cho —! Ơ (A) Giả sử r : D(A2) ! H thuộc lớp C với r(0) = r0(0) = Cho f Cb(R+,H) T-tuần hoàn Khi ||f ||cb(R đủ nhỏ phương H) trình (4.47) có nghiệm đủ tốt T-tuần hồn u lân cận nhỏcủa Hơn nữa, nghiệm u ổn định có điều kiện theo nghĩa Định lý 4.3.5 Ví dụ 4.4.2 Xét phương trình truyền sóng với ngoại lực phi tuyến d2u + adtu — Au = h(u) + f (t); t R ,x Q, (4.49) + Q miền bị chạn với biên thuộc lớp C R , n =1,2,3, với n điều kiện biên Dirichlet hoạc Neumann đồng nhất, a > số Số hạng phi tuyến h cho cho h lớp C với h(0) = Khi đó, đạt ! = — h0(0) — 1, phương trình (4.49) tương đương với Ố2U + adtu + (I — A)u + !U = h(u) — h0(0)u + f (t); t R , x Q + Phương trình viết lại dạng Ố2u + adtu + Au + !u = r(u) + f (t); với A = I — A r(u) := h(u) — t2R, + h0(0)u Sau với lựa chọn H := L (Q), biết A = I — A với miền D(A) = H1(Q) \ H (Q) tự liên hợp, xác định dương có giải compact Hơn nữa, phép nhúng Sobolev, dễ dàng thấy toán tử r C ánh xạ từ D(A ) c Ho(Q) vào H 1 Vì áp dụng Định lý 4.3.5 4.4.1, với điều kiện —! (A), tức —h0(0) ^(A), cho thấy với f T-tuần hồn đủ nhỏ, phương trình sóng tắt dần (4.49) có nghiệm đủ tốt T-tuần hồn u hình cầu nhỏ Cb(R , H) nghiệm tuần hồn ổn định có điều kiện + Ví dụ 4.4.3 Xét hệ thống dầm Timoshenko tắt dần với tải phi tuyến d2w + adtw - K@x(' + dxw)u = @w^(w,') + f (t); t R+,x [0,1], @2' + adt' + K@x(' + @xw) — e@X' = @'^(w,'); t R , x [0,1], + (4.50) với điều kiện biên w(t, 0) = '(t, 0) = 0, @xw(t, l) + '(t, l) = @x'(t, l) = Để biết chi tiết mơ hình hóa dẫn xuất vật lý dầm Timoshenko tắt dần, xem [25] đây, số ơ, K,e dương, ^ : R ! R lớp C với V^(0) = Sau đó, chọn H = L (0,l) 2 2 A = [ '@' :Kt?i -V2®(0) -!, ỵ K,dx KI — €@2 ] trang bị điều kiện biên, r(u) = w(ù) — V Ỹ(0)u, u = (w, ') Sau giả thiết Định lý 4.3.5 4.4.1 đưa ra, T với điều kiện —! > đủ lớn —! u(A) Do áp dụng Định lý 4.3.5 4.4.1 ta nhận hàm T-tuần hoàn f Cb(R+, H) với \\f ||cb đủ nhỏ, hệ thống dầm Timoshenko tắt dần với tải phi tuyến có nghiệm đủ tốt T-tuần hồn u hình cầu nhỏ C b(R+, H) nghiệm tuần hồn ổn định có điều kiện Kết luận Chương Trong chương này, áp dụng kết đạt Chương để ứng dụng vào phương trình Ornstein - Uhlenbeck phương trình nhiệt với hệ số thô Các kết đạt Chương 2, ứng dụng vào phương trình: phương trình Navier-Stokes-Oseen (Định lý 4.1.2), phương trình Navier-Stokes miền có lỗ thủng (Định lý 4.1.4), phương trình Navier-Stokes không gian Besov (Định lý 4.1.7) Trong phần 3.1 Chương 3, với nửa nhóm (T(t))t>Q '-ổn định có điều kiện, chúng tơi áp dụng cho nửa nhóm hyperbolic phương trình truyền sóng Kết đạt tồn tại, tính ổn định nghiệm bị chạn, điều kiện ổn định nghiệm tuần hoàn phương trình Kết chương dựa vào báo [1], [2], [3] Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến luận án KẾT LUẬN Luận án sử dụng tính chất trơn nửa nhóm, tính Lipschitz g sử dụng định lý nội suy cho nửa nhóm liên tục mạnh sinh toán tử Stokes kết hợp với đánh giá đối ngẫu nguyên lý ánh xạ co, chứng minh tồn tại, tính tính ổn định nghiệm bị chạn phương trình tiến hóa Luận án sử dụng tính bị chạn điều kiện '-ổn định nửa nhóm tương ứng để xây dựng dãy Cauchy hội tụ tới véc tơ ban đầu từ đưa nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa Đưa ứng dụng vào phương trình cụ thể minh họa cho phần lý thuyết trình bày Những kết luận án đạt là: • Chứng minh tồn nhất, tính bị chạn ổn định nghiệm phương trình tiến hóa {ut + Au = Bg(t; u) u\t=0 = uo (Y1, T2)Ớ, , I ( ut + Au = Pdiv(G(u) + F(t)) u\t=0 = uo (Yi^! Kết áp dụng cho phương trình cụ thể phương trình Ornstein-Uhlenbeck, phương trình truyền nhiệt với hệ số thơ • Chỉ tồn nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa với tính bị chạn '-ổn định có điều kiện nửa nhóm (T(t))t>0 ( u' — Au = f (t), [ u(0) = u Y, J u0(t) = Au(t) + g(u)(t); ì u(0) = u X Chúng áp dụng kết trừu tượng cho nửa nhóm hyperbolic phương trình truyền sóng • Chứng minh tồn ổn định nghiệm hầu tuần hoàn bị chạn phương trình tiến hóa nửa tuyến tính tổng qt z + Az = Pdiv(G(z) + F(t)); t R • Các kết áp dụng cho phương trình Navier-StokesOseen, phương trình Navier-Stokes miền có lỗ thủng, phương trình Navier-Stokes khơng gian Besov Luận án tiếp tục theo số chủ đề sau: • Nghiên cứu tính ổn định nghiệm tuần hồn phương trình Navier - Stokes đa tạp khơng compact DANH MỤC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG Bố CỦA LUẬN ÁN Thieu Huy Nguyen, Viet Duoc Trinh, Thi Ngoc Ha Vu, Thi Mai Vu, 2017, “Boundedness, Almost Periodicity and Stability of Certain Navier-Stokes Flows in Unbounded Domains,” Journal of Differential Equations, Vol.263, 8979-9002 Thi Ngoc Ha Vu, Thieu Huy Nguyen, Thi Mai Vu, 2020, “Parabolic Evolution Equations in Interpolation Spaces: Boundedness, Stability, and Applications,” Zeitschrift fuer Angewandte Mathematik und Physik, 71:39, 1-17 Thieu Huy Nguyen, Thi Ngoc Ha Vu, Thi Mai Vu,“Conditional Stability of Semigroup and Periodic Solutions to Evolution Equations,” (submitted) TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] P Maremonti, “Existence and stability of time-periodic Solutions to the Navier-Stokes Equations in the whole space,” Nonlinearity, 4, 503529, 1991 [2] P Maremonti, “Some theorems of existence for solutions of the NavierStokes equations with slip boundary conditions in half-space,” Ric Mat, 40, 81-135, 1991 [3] P Maremonti and M Padula, “Existence, uniqueness, and attainability of periodic solutions of the Navier-Stokes equations in exterior domains,” J Math Sci., 93, 719-746, 1999 [4] G P Galdi, H Sohr, “Existence and uniqueness of time-periodic physically reasonable Navier-Stokes flow past a body,” Arch Ration Mech Anal., 172, 363-406, 2004 [5] M Yamazaki, “The Navier-Stokes equations in the weak-L space with n time-dependent external force,” Math Ann., 317, 635-675, 2000 [6] T.H.Nguyen, “Periodic motions of Stokes and Navier-Stokes flows around a rotating obstacle,” Arch Ration Mech Anal., 213, 689-703, 2014 [7] M.Geissert, M.Hieber, T.H.Nguyen, “A general approach to time periodic incompressible viscous fluid flow problems,” Arch Ration Mech Anal., 220, 1095-1118, 2016 [8] Y.Giga, “Solutions for semilinear parabolic equations in and regularity of weak solutions of the Navier-Stokes system,” J Differential Equations, 61, 186-212, 1986 [9] T.H.Nguyen, “Invariant manifolds of admissible classes for semi-linear evolution equations,” J Differential Equations, 246, 1820-1844, 2009 [10] A.Lunardi, “Interpolation Theory,” Scuola Normale Superiore di Pisa (Nuova Serie) Edizioni della Normale, Pisa, 2009 [11] J.Bergh, J.Lõfstrõm, “Interpolation Spaces,” Springer, Berlin- Heidelberg-NewYork, 1976 [12] H.Triebel, “Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Operators,” Oxford, New York, 1978 [13] W.Arendt, C.J.K.Batty, M.Hieber and F.Neubrander, "Vector-Valued Laplace Transform and Cauchy Problems,” Monographs in Mathematics, 96, Birkhauser, Basel, 2001 [14] K.J.Engel, R.Nagel, “One-parameter Semigroups for Linear Evolution Equations,” Graduate Text Math., 194, Springer, Berlin, 2000 [15] H.Komatsu, “A general interpolation theorem of Marcinkiewicz type,” Tổhoku Math J, 33 (2), 383-393, 1981 [16] W.Borchers and T.Miyakawa, “On stability of exterior stationary Navier-Stokes flows,” Acta Math., 174, 311-382, 1995 [17] M.Geissert, H.Heck, M.Hieber, “I Wood, The Ornstein-Uhlenbeck semigroup in exterior domains,” Arch Math, 85, 554-562, 2005 [18] H.Bahouri, J.-Y Chemin, R Danchin, “Fourier Analysis and Nonlinear Partial Differential Equations," Springer, Berlin, 2011 [19] B.M.Levitan, V.V.Zhikov, “Almost Periodic Funtions and Differential Equations,” Cambridge, 1982 [20] J Massera, “The existence of periodic solutions of systems of differential equations,” Duke Math J, 17, 457-475, 1950 ... kết tính bị chạn, ổn định, hầu tuần hồn nghiệm phương trình tiến hóa không gian nội suy để nhận kết tổng quát ứng dụng vào phương trình cụ thể động lực học thủy khí Luận án ? ?Tính giới nội ổn định. .. định nghiệm phương trình tiến hóa động lực học thủy khí? ?? Luận án nhằm nghiên cứu đánh giá tồn nghiệm bị chạn tính ổn định nghiệm phương trình tiến hóa tổng qt khơng gian nội suy Từ đó, áp dụng vào...Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VŨ THỊ MAI TÍNH GIỚI NỘI VÀ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM CÁC PHƯƠNG TRÌNH TIÊN HĨA VÀ ĐỘNG LựC HỌC THỦY KHÍ Ng ành: Tốn học Mã số: 9460101