Tính tuần hoàn và ổn định của nghiệm các phương trình tiến hóa trung tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI Nguyễn Thị Loan TÍNH TUẦN HỒN VÀ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM CÁC PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA TRUNG TÍNH Ngành : Tốn học Mã số : 9460101 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2021 Cơng trình hồn thành tại: Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: TS Vũ Thị Ngọc Hà TS Lê Huy Tiễn Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp Trường họp Đại học Bách khoa Hà Nội Vào hồi , ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án thư viện: Thư viện Tạ Quang Bửu - Trường ĐHBK Hà Nội Thư viện Quốc gia Việt Nam MỞ ĐẦU Tổng quan hướng nghiên cứu lý chọn đề tài Phương trình tiến hóa trung tính cơng cụ quan trọng để mô tả nhiều tượng tự nhiên kỹ thuật hệ sinh thái quần thể, hệ khuếch tán, hệ xử lý tín hiệu, Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình tiến hóa trung tính, khơng thể khơng nghiên cứu đến tồn tại, tính nghiệm tuần hồn phương trình, tính ổn định (có điều kiện) nghiệm tuần hồn đa tạp ổn định xung quanh nghiệm tuần hoàn thu Điểm qua lại lịch sử nghiệm tuần hoàn Năm 1950 Massera nghiên cứu chứng minh mối liên hệ nghiệm bị chặn nghiệm tuần hồn phương trình vi phân thường sau mở rộng Zubelevich Đến năm 2014, N.T.Huy sử dụng phương pháp Massera kết hợp với hàm tử nội suy để tồn nghiệm tuần hồn dịng chất lỏng xung quanh chướng ngại vật quay, đó, khơng gian nội suy sử dụng kết hợp với phương pháp ergodic Gần đây, N.T.Huy & N.Q.Dang sử dụng phương pháp ergodic để chứng minh tồn tại, nghiệm tuần hoàn phương trình, kết hợp với nguyên lý ánh xạ co, bất đẳng thức Gronwall bất đẳng thức nón chứng minh tồn tính ổn định (có điều kiện) nghiệm tuần hoàn số lớp phương trình tiến hóa Và vấn đề nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa trung tính đến chủ đề có nhiều hấp dẫn Mặt khác, lý thuyết định tính nghiệm phương trình vi phân, tồn đa tạp tích phân vấn đề trọng điểm cần nghiên cứu Khởi đầu kết Hadamard, Perron, nghiên cứu tồn đa tạp bất biến phương trình vi phân Rn Năm 2009, N.T.Huy tồn đa tạp bất biến phương trình tiến hóa khơng ơ-tơ-nơm nửa tuyến tính khơng gian Banach Và gần đây, với việc sử dụng lý thuyết khơng gian hàm chấp nhận nhóm tồn đa tạp ổn định bất biến, đa tạp không ổn định, đa tạp tâm phương trình tiến hóa trung tính trường hợp trường hợp phần tuyến tính có nhị phân mũ với điều kiện tổng quát toán tử trễ phi tuyến Tuy nhiên, tồn đa tạp tích phân xung quanh nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa trung tính đến nhiều vấn đề cần nghiên cứu Những phân tích lý để chúng tơi chọn đề tài “Tính tuần hồn ổn định nghiệm phương trình tiến hóa trung tính” Trong luận án nghiên cứu lớp phương trình tiến hóa trung tính có dạng dF ut = A(t)F ut + g(t, ut ), dt không gian Banach X, với điều kiện: t ∈ [0, +∞), (1) • Tốn tử sai phân F : H → X tuyến tính bị chặn, H khơng gian hàm C (hoặc Cγ ) • Tốn tử tuyến tính (có thể khơng bị chặn) A(t) T -tuần hoàn Hàm lịch sử ut xác định ut (θ) := u(t + θ) với θ ∈ [−r, 0] phương trình có trễ hữu hạn θ ∈ (−∞, 0] phương trình trễ vơ hạn • Tốn tử trễ phi tuyến g : R+ × H → X T -tuần hoàn xét trường hợp sau: – Trường hợp Hàm g liên tục Lipschitz theo φ ∈ C, không gian H khơng gian hàm C, phương trình có trễ hữu hạn – Trường hợp Hàm g thỏa mãn ϕ-Lipschitz với ϕ thuộc không gian hàm chấp nhận M, H khơng gian hàm C, phương trình có trễ hữu hạn – Trường hợp Hàm g thỏa mãn ϕ-Lipschitz với ϕ thuộc vào không gian hàm chấp nhận M, H không gian giảm nhớ Cγ , phương trình có trễ vơ hạn Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu • Mục đích nghiên cứu luận án: Nghiên cứu tồn tại, nghiệm tuần hồn, tính ổn định có điều kiện đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hồn lớp phương trình tiến hóa trung tính dạng (1) trường hợp hàm phi tuyến g liên tục Lipschitz, ϕ-Lipschitz với hàm Lipschitz phụ thuộc vào thời gian t thuộc không gian hàm chấp nhận được, phương trình có trễ hữu hạn vơ hạn • Đối tượng nghiên cứu luận án: Tính chất nghiệm tuần hoàn dáng điệu tiệm cận nghiệm lớp phương trình tiến hóa trung tính dạng (1), với số điều kiện thay đổi hàm trễ phi tuyến g • Phạm vi nghiên cứu Luận án: Trong luận án nghiên cứu lớp phương trình tiến hóa trung tính có dạng (1), với số trường hợp hàm trễ phi tuyến g Cụ thể: – Nội dung Xét trường hợp hàm g Lipschitz, phương trình có trễ hữu hạn – Nội dung Xét trường hợp hàm g thỏa mãn ϕ-Lipschitz với ϕ thuộc không gian hàm chấp nhận được, phương trình tiến hóa có trễ hữu hạn – Nội dung Xét trường hợp hàm g thỏa mãn ϕ-Lipschitz ϕ thuộc không gian hàm chấp nhận phương trình có trễ vơ hạn Phương pháp nghiên cứu • Sự tồn tại, tính nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa tuyến tính: Sử dụng phương pháp Massera với chuỗi Neumann, kết hợp lý thuyết nửa nhóm tính chất tốn tử sai phân • Sự tồn tại, nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa nửa tuyến tính: Sử dụng nguyên lý điểm bất động, điều kiện liên tục Lipschitz ϕ-Lipschitz kết hợp với lý thuyết không gian hàm chấp nhận • Tính ổn định có điều kiện nghiệm tuần hồn phương trình: Sử dụng phương trình Lyapunov-Perron, chuỗi Neumann kết hợp bất đẳng thức Gronwall bất đẳng thức nón nguyên lý điểm bất động ánh xạ co • Sự tồn đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hồn phương trình: Sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron Kết luận án Luận án đạt số kết sau đây: • Chứng minh tồn tại, nghiệm tuần hồn, tính ổn định có điều kiện lớp phương trình tiến hóa trung tính dạng (1) trường hợp: (i) Hàm phi tuyến g Lipschitz phương trình có trễ hữu hạn (ii) Hàm phi tuyến g thỏa mãn ϕ-Lipschitz, với ϕ hàm phụ thuộc t thuộc không gian hàm chấp nhận M, giá trị ban đầu thuộc khơng gian hàm C, phương trình có trễ hữu hạn (iii) Hàm phi tuyến g thỏa mãn ϕ-Lipschitz, ϕ thuộc không gian hàm chấp nhận M giá trị ban đầu thuộc không gian giảm nhớ Cγ phương trình có trễ vơ hạn • Chỉ tồn đa tạp tích phân ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn lớp phương trình dạng (1) hàm g thỏa mãn ϕ-Lipschitz, với ϕ thuộc không gian hàm chấp nhận được, phương trình có trễ hữu hạn vơ hạn Các kết nghiên cứu luận án công bố 03 báo (02 thuộc danh mục SCIE, 01 thuộc Q1 01 thuộc danh mục ESCI/Scopus) liệt kê “Danh mục cơng trình cơng bố luận án” Cấu trúc luận án Ngoài phần Lời cảm ơn, Một số kí hiệu dùng luận án, Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, Danh mục cơng trình công bố luận án, Chỉ mục, luận án chia thành bốn chương sau: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Sự tồn tính ổn định có điều kiện nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa trung tính Chương Nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa trung tính có trễ hữu hạn không gian hàm chấp nhận Chương Nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa trung tính có trễ vơ hạn khơng gian hàm chấp nhận Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh tốn tử sinh Trình bày khái niệm sở nửa nhóm tốn tử tốn tử sinh chúng 1.2 Tính ổn định mũ nhị phân mũ nửa nhóm Trình bày số khái niệm ổn định mũ, nhị phân mũ nửa nhóm liên tục mạnh 1.3 Khơng gian hàm Banach chấp nhận Trình bày số kiến thức sở không gian hàm chấp nhận Ví dụ 1.1 Khơng gian   M = M(R+ ) := f ∈ L1,loc (R+ ) : sup  t∈R+ t+1 |f(τ )|dτ < ∞   ,  t t+1 với chuẩn f M |f (τ )|dτ không gian hàm Banach chấp nhận := sup t∈R+ t Tập hàm tuần hồn chu kì : P := f ∈ M : f hàm 1-tuần hồn Khi đó, với hàm dương ϕ ∈ P, ta có đánh giá sau: N1 ϕ M Λσ ϕ ∞ ≤ − e−σ N2 Λσ ϕ ∞ ≤ ϕ M với hàm dương ϕ ∈ P − e−σ Hơn nữa, không gian Banach X với chuẩn · ta định nghĩa M := {f : R+ → X | f (·) ∈ M} với chuẩn trang bị f M := f (·) M, không gian hàm Banach chấp nhận M M không gian Banach tương ứng với 1.4 Khơng gian giảm nhớ Trình bày khái niệm khơng gian giảm nhớ Ví dụ 1.2 Khơng gian xác định Cγ := với chuẩn φ γ = sup θ≤0 φ : φ ∈ C ((−∞, 0], X) lim θ→−∞ φ(θ) =0 , e−γθ φ(θ) , γ > Ta có, Cγ khơng gian giảm nhớ e−γθ Nhận xét 1.2 Cho x(·)| ∈ Cb (R, X) cho x(·)|R+ ∈ Cb (R+ , X) xt ∈ Cγ , ∀t ≥ Khi đó, ta có xt 1.5 γ ≤ x Cb (R,X) với t ≥ Nhị phân mũ họ tiến hóa Trình bày khái niệm nhị phân mũ họ tiến hóa số kiến thức liên quan Cho họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với tốn tử chiếu nhị phân (P (t))t≥0 số N, ν > 0, ta định nghĩa hàm Green nửa đường thẳng sau: G(t, τ ) :=  P (t)U (t, τ ) với t > τ ≥ 0, −U (t, τ ) (I − P (τ )) | với ≤ t < τ Ta có, với H := supt≥0 P (t) < ∞, G(t, τ ) thỏa mãn G(t, τ ) ≤ (1 + H)N e−ν|t−τ | với t = τ ≥ 0, 1.6 Nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa tuyến tính Giả thiết 1.1 Cho không gian Banach X, Y không gian Banach khả ly với X = Y Giả sử A(t) tốn tử T -tuần hồn, tức A(t + T ) = A(t) với số T > cố định với t ∈ R+ Khi đó, (U (t, s))t≥s≥0 T -tuần hồn, tức U (t + T, s + T ) = U (t, s) với t ≥ s ≥ Đồng thời giả sử thêm không gian Y xem không gian không gian Y (qua phép nhúng tắc) bất biến tác động tốn tử U (T, 0), U (T, 0) toán tử liên hợp toán tử U (T, 0) 1.7 Bất đẳng thức nón Trình bày định nghĩa nón bất đẳng thức nón Chương Sự tồn tính ổn định có điều kiện nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa trung tính Xét phương trình tiến hóa trung tính khơng gian Banach X có dạng dF ut = A(t)F ut + g(t, ut ), dt t ∈ [0, +∞), u0 = φ ∈ C, (2.1) với toán tử t → A(t) tuyến tính (có thể khơng bị chặn) khơng gian Banach X, T -tuần hồn theo biến t, tốn tử F : C → X tuyến tính bị chặn gọi tốn tử sai phân, khơng gian hàm C định nghĩa C := C([−r, 0], X), tốn tử phi tuyến g : R+ × C → X gọi tốn tử trễ T -tuần hồn liên tục Lipschitz theo φ ∈ C Hàm ut gọi hàm lịch sử, xác định ut (θ) := u(t + θ) với θ ∈ [−r, 0] Giả thiết 2.1 Toán tử sai phân F : C → X cho dạng F φ = φ(0) − Ψφ với φ ∈ C, Ψ ∈ L(C, X) thỏa mãn Ψ < Giả thiết 2.2 Toán tử trễ phi tuyến g : [0, ∞) × C → X thỏa mãn điều kiện sau: (1) g(t, 0) ≤ γ, (γ số khơng âm), (2) hàm g(t, v) T -tuần hồn theo t với v ∈ C, (2.2) (3) tồn số dương ρ L cho: g(t, v1 ) − g(t, v2 ) ≤ L v1 − v2 C , ∀v1 , v2 ∈ C, v1 C ≤ ρ, v2 C ≤ ρ Định nghĩa 2.1 Xét phương trình (2.1) với họ tốn tử (A(t))t≥0 xác định cho toán Cauchy đặt chỉnh Khi đó, với họ tiến hóa U (t, s) t≥s≥0 sinh họ tốn tử (A(t))t≥0 , phương trình tích phân t F ut = U (t, 0)F u0 + U (t, τ )g(τ, uτ )dτ với t ≥ (2.3) gọi nghiệm đủ tốt phương trình (2.1) Với giả thiết trên, tốn đặt cụ thể sau: BÀI TOÁN Chứng minh tồn tính nhất, tính ổn định có điều kiện nghiệm tuần hồn phương trình dạng (2.1) với điều kiện: • Tốn tử sai phân F thỏa mãn Giả thiết 2.1; • họ tốn tử A(t) t≥0 sinh họ tiến hóa U (t, s) t≥s≥0 thỏa mãn Giả thiết 1.1; • hàm trễ phi tuyến g thỏa mãn Giả thiết 2.2 Các kết chương nằm Định lý 2.1, Định lý 2.2 Định lý 2.4 2.1 Nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa trung tính tuyến tính Cho hàm f nhận giá trị khơng gian Banach X, chúng tơi xem xét phương trình tiến hóa trung tính tuyến tính khơng với hàm chưa biết u(·) có dạng   dF ut = A(t)F u + f (t), t ∈ [0, ∞), t dt (2.4)  u0 = φ ∈ C := C ([−r, 0], X) , đây, họ toán tử A(t) t≥0 xác định cho toán Cauchy   du = A(t)u(t) với t > s ≥ 0, dt  u(s) = x ∈ X, (2.5) đặt chỉnh Phương trình tích phân t F ut = U (t, 0)F u0 + U (t, τ )f (τ )dτ với t ≥ (2.6) gọi nghiệm đủ tốt phương trình (2.4) Bổ đề 2.1 Cho khơng gian Banach X, họ tiến hóa U (t, s) t≥s≥0 thỏa mãn Giả thiết 1.1 giả sử thêm rằng: Với f ∈ Cb (R+ , X) tồn x0 ∈ X cho t sup U (t, 0)x0 + U (t, τ )f (τ )dτ ≤ M f t≥0 Cb (R+ ,X) Khi đó, f T -tuần hồn tồn xˆ ∈ X cho hàm t w(t) = U (t, 0)ˆ x+ U (t, τ )f (τ )dτ với t ≥ 0 (2.7) Nhận xét 2.2 Bằng tính tốn trực tiếp ta chứng minh điều ngược lại Bổ đề 2.2 Định lý 2.3 Cho Giả thiết 1.1 Giả thiết 2.1 thỏa mãn Giả sử họ tiến hóa U (t, s) t≥s≥0 có nhị phân mũ với tốn tử chiếu nhị phân P (t), t ≥ 0, số nhị phân N, ν Nếu f ∈ Cb (R+ , X) T -tuần hoàn g thỏa mãn Giả thiết 2.2 với số dương cho trước ρ, L, γ Khi đó, mệnh đề sau đúng: (a) Phương trình (2.6) có nghiệm uˆ(t) thuộc Cb (R+ , X) T -tuần hoàn (b) Nếu L γ đủ nhỏ phương trình (2.18)có nghiệm uˆ(t) Cb ([−r, ∞), X) T -tuần hoàn Với x ∈ X, φˆ ∈ C, vˆ ∈ Cb ([−r, ∞), X) , Ba (x) := {y ∈ X : x − y ≤ a, x ∈ X}, ˆ := {φ ∈ C : φ − φˆ C ≤ a}, Ba (φ) Ba (ˆ v ) := {v ∈ Cb ([−r, ∞), X) : v − vˆ Cb ([−r,∞),X) ≤ a} Cho Bρ (0) hình cầu chứa uˆ phần (b) Định lý 2.3 Giả sử thêm tồn số dương L1 cho: g(t, φ1 ) − g(t, φ2 ) ≤ L1 φ1 − φ2 C , ∀φ1 , φ2 ∈ B2ρ (0), t ≥ (2.30) Định lý 2.4 Giả sử giả thiết Định lý 2.3 đúng, uˆ nghiệm T -tuần hồn phương trình (2.18) thu từ mệnh đề (b) Định lý 2.3 Giả sử g thỏa mãn Giả thiết 2.2 đánh giá (2.30) Khi đó, với L1 đủ nhỏ để K2 = 2(1 + H)N L1 + ν 1− Ψ ≤ 1, phương trình (2.18) có nghiệm u(·) xác định [−r, ∞) thỏa mãn điều kiện u0 = φ u ∈ Bρ (ˆ u), với φ ∈ C cho F φ − F uˆ0 ≤ ρ/2 P (0)F φ ∈ ρ (P (0)F u B 2N ˆ0 ) ∩ P (0)X Hơn nữa, ta có ước lượng sau cho u(t) uˆ(t) ut − uˆt C ≤ Ce−µt P (0)F u0 − P (0)F uˆ0 , (2.11) với số dương C µ khơng phụ thuộc u, uˆ ρ Hệ 2.1 Cho giả thiết Định lý 2.3 thỏa mãn, uˆ nghiệm tuần hoàn phương trình (2.18) có từ mệnh đề (b) Định lý 2.3 Nếu thêm điều kiện họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 ổn định mũ nghiệm tuần hoàn uˆ ổn định mũ theo nghĩa: Với nghiệm u ∈ Cb ([−r, ∞) , X) khác (2.18)sao cho F u0 − F uˆ0 đủ nhỏ, ta có ut − uˆt C ≤ Ce−µt F u0 − F uˆ0 , với số dương C µ khơng phụ thuộc vào u uˆ 11 Chương Nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa trung tính có trễ hữu hạn khơng gian hàm chấp nhận Xét phương trình tiến hóa trung tính có dạng dF ut = A(t)F ut + g(t, ut ), dt với điều kiện họ toán tử A(t) t≥0 t ∈ [0, +∞), (3.1) , toán tử sai phân F , điều kiện tuần hồn tương tự Chương 2, tốn tử trễ phi tuyến g : R+ × C → X liên tục ϕ-Lipschitz với ϕ thuộc không gian hàm chấp nhận M Định nghĩa 3.1 (ϕ-Lipschitz địa phương không gian hàm C) Cho hàm dương ϕ ∈ M Bρ hình cầu với bán kính ρ C, nghĩa là, Bρ := {φ ∈ C : φ C ≤ ρ} Một toán tử g : [0, ∞) × Bρ → X gọi ϕ-Lipschitz địa phương không gian hàm C g thỏa mãn: (i) g(t, φ) ≤ L0 ϕ(t) hầu khắp nơi với t ∈ R+ φ ∈ Bρ , (ii) g(t, φ1 ) − g(t, φ2 ) ≤ ϕ(t) φ1 − φ2 C với t ∈ R+ , φ1 , φ2 ∈ Bρ Giả thiết 3.1 Toán tử phi tuyến g : [0, ∞) × C → X thỏa mãn điều kiện sau: (1) g thỏa mãn ϕ-Lipschitz địa phương không gian hàm C, < ϕ ∈ M, (2) hàm g(t, v) T -tuần hoàn theo t với v ∈ C (3.2) Hàm u(·) thỏa mãn phương trình tích phân t F ut = U (t, 0)F u0 + U (t, τ )g(τ, uτ )dτ với t ≥ (3.3) gọi nghiệm đủ tốt phương trình (3.1) Bài tốn chương phát biểu sau BÀI TỐN Cho khơng gian Banach X với tiền đối ngẫu tách Y Họ toán tử A(t) t≥0 thỏa mãn Giả thiết 1.1, toán tử sai phân F thỏa mãn Giả thiết 2.1, toán tử trễ phi tuyến g thỏa mãn Giả thiết 3.1 Chứng minh: 12 • Sự tồn tại, tính nghiệm đủ tốt T -tuần hoàn chu phương trình (3.1) • Tính ổn định có điều kiện nghiệm tuần hồn thu • Sự tồn đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm đủ tốt tuần hồn phương trình (3.1) Các kết chương Định lý 3.2, Định lý 3.4 Định lý 3.5 3.1 Nghiệm tuần hoàn phương trình tiến hóa trung tính có trễ hữu hạn không gian hàm chấp nhận Cho hàm f thuộc khơng gian Banach M Xét phương trình   dF ut = A(t)F u + f (t), t ∈ [0, ∞), t dt  u0 = φ ∈ C([−r, 0], X); (3.4) Hàm u(·) thỏa mãn phương trình tích phân t F ut = U (t, 0)F u0 + U (t, τ )f (τ )dτ, ∀t ≥ 0; u0 = φ ∈ C([−r, 0], X) (3.5) gọi nghiệm đủ tốt phương trình (3.4) Bổ đề 3.1 Giả sử Giả thiết 1.1 thỏa mãn Nếu với f ∈ M tồn x0 ∈ X cho t sup U (t, 0)x0 + U (t, τ )f (τ )dτ ≤ M f M (3.6) t≥0 f hàm T -tuần hồn, tồn xˆ ∈ X cho hàm t w(t) = U (t, 0)ˆ x+ U (t, τ )f (τ )dτ T -tuần hoàn w(t) ≤ (M + T )KeαT f Hơn nữa, họ tiến hóa U (t, s) t≥s≥0 M với t ≥ thỏa mãn: lim U (t, 0)x = với x ∈ X cho U (t, 0)x bị chặn R+ , t→∞ nghiệm w(·) tuần hồn 13 (3.7) Định lý 3.1 Nếu toán tử sai phân F thỏa mãn Giả thiết 2.1 thỏa mãn giả thiết Bổ đề 3.1, phương trình (3.5) có nghiệm uˆ(t) T -tuần hồn uˆ(t) ≤ 1− Ψ Hơn nữa, họ tiến hóa U (t, s) t≥s≥0 (M + T )KeαT f M (3.8) thỏa mãn lim U (t, 0)x = với x ∈ Xsao cho U (t, 0)x bị chặn R+ , t→∞ (3.9) nghiệm uˆ(t) Cho không gian Banach X với tiền đối ngẫu tách Y , ta xét phương trình tiến hóa trung tính nửa tuyến tính có dạng   dF ut = A(t)F u + g(t, u ), t ≥ 0, t t dt  u0 = φ ∈ C, (3.10) tốn tử tuyến tính A(t) với t ≥ nhận giá trị X thỏa mãn giả thiết Bổ đề 3.1, toán tử trễ phi tuyến g thỏa mãn Giả thiết 3.1 Phương trình (3.10) có nghiệm đủ tốt hàm u thỏa mãn phương trình tích phân t F ut = U (t, 0)F u0 + U (t, τ )g(τ, uτ )dτ với t ≥ (3.11) Định lý 3.2 Cho không gian Banach X, toán tử sai phân F toán tử phi tuyến g thỏa mãn Giả thiết 2.1 Giả thiết 3.1 Họ tiến hóa U (t, s) t≥s≥0 thỏa mãn Giả thiết 1.1 điều kiện (3.6) Bổ đề 3.1, đồng thời thỏa mãn: lim U (t, 0)x = với x ∈ X cho U (t, 0)x bị chặn R+ t→∞ Khi đó, γ ∗ := ϕ M đủ nhỏ để K3 := (M + T )KeαT (L0 + ρ)γ ∗ ≤ ρ, 1− Ψ (3.12) phương trình (3.10) có nghiệm đủ tốt uˆ T -tuần hồn hình cầu nhỏ Cb ([−r, ∞), X) thỏa mãn uˆ ≤ K3 3.2 Trường hợp họ tiến hóa có nhị phân mũ Từ phần trở đi, để thuận lợi cho tính tốn, khơng tính tổng qt, phép đổi biến, chúng tơi sử dụng chu kì T = 14 Bổ đề 3.2 Cho họ tiến hóa U (t, s) t≥s≥0 có nhị phân mũ với tốn tử chiếu tương ứng P (t) với t ≥ số nhị phân N, ν > Nếu f ∈ M, g thỏa mãn Giả thiết 3.1 mệnh đề sau đúng: (a) Cho w ∈ Cb (R+ , X) cho t w(t) = U (t, 0)w(0) + U (t, τ )f (τ )dτ Khi đó, w thỏa mãn ∞ w(t) = U (t, 0)ζ + G(t, τ )f (τ )dτ với ζ ∈ X0 := P (0)X, t ≥ 0 (b) Cho u ∈ Cb ([−r, ∞), X) nghiệm phương trình (3.11) cho sup u(t) ≤ t≥−r ρ với ρ > cố định Khi đó, u thỏa mãn   F ut = U (t, 0)η + ∞ G(t, τ )g(τ, uτ )dτ,  u = φ ∈ C, với η = P (0)F φ ∈ X0 Nhận xét 3.2 Bằng tính tốn trực tiếp ta chứng minh điều ngược lại Bổ đề 3.2 Định lý 3.3 Giả sử Giả thiết 1.1 Giả thiết 2.1 thỏa mãn với T = 1, họ tiến hóa U (t, s) t≥s≥0 có nhị phân mũ với tốn tử chiếu nhị phân P (t), (t ≥ 0) số N, ν Cho f ∈ M 1-tuần hồn, tốn tử trễ phi tuyến g thỏa mãn Giả thiết 3.1 với T = 1, số dương ρ, L0 , γ ∗ , γ ∗ = ϕ M với ϕ ∈ P Khi đó, mệnh đề sau đúng: (a) Phương trình (3.5) có nghiệm uˆ(t) thỏa mãn 1-tuần hồn thuộc khơng gian Cb (R+ , X) (b) Nếu γ ∗ đủ nhỏ, phương trình (3.11) có nghiệm uˆ(t) thỏa mãn 1-tuần hoàn thuộc Cb ([−r, ∞), X) Cho Bρ (0) hình cầu chứa uˆ mệnh đề (b) Định lý 3.3, giả sử thêm tồn hàm dương ϕ˜ ∈ P cho g(t, φ1 ) − g(t, φ2 ) ≤ ϕ(t) ˜ φ1 − φ2 C , ∀φ1 , φ2 ∈ B2ρ (0), t ≥ Ta có định lý sau: 15 (3.23) Định lý 3.4 Cho giả thiết Định lý 3.3 thỏa mãn, uˆ nghiệm 1-tuần hoàn phương trình (3.11) có từ mệnh đề (b) Định lý 3.3 Cho g thỏa mãn Giả thiết 3.1 điều kiện (3.23) Khi đó, γ˜ := ϕ˜ K5 := M đủ nhỏ để (1 + H)N (N1 + N2 ) + γ˜ ≤ 1, 2(1 − Ψ ) (1 − Ψ )(1 − e−ν ) ρ (P (0)F u ˆ0 )∩ tương ứng với φ ∈ C thỏa mãn F φ−F uˆ0 ≤ ρ/2 P (0)F φ ∈ B 2N P (0)X có nghiệm u(·) phương trình (3.11) khoảng [−r, ∞) thỏa mãn điều kiện u0 = φ, u ∈ Bρ (ˆ u) Hơn nữa, ta có đánh giá sau u(·) uˆ(·) ut − uˆt C ≤ e−µt Kµ ρ, với t ≥ 0, Kµ µ khơng phụ thuộc u, uˆ ρ Nhận xét 3.3 Khẳng định định lý cho thấy tính ổn định có điều kiện nghiệm tuần hoàn uˆ theo nghĩa với nghiệm bị chặn u khác cho ρ (P (0)ˆ F u0 − F uˆ0 ≤ ρ/2 P (0)u(0) ∈ B 2N u(0)) ∩ P (0)X ta có ut − uˆt → theo cấp mũ t → ∞ Hệ 3.1 Giả sử giả thiết Định lý 3.4 thỏa mãn họ tiến hóa U (t, s) t≥s≥0 ổn định mũ Khi đó, nghiệm tuần hoàn uˆ ổn định mũ theo nghĩa với nghiệm u ∈ Cb ([−r, ∞), X) khác (3.11) cho F u0 − F uˆ0 đủ nhỏ ta có ut − uˆt C ≤ e−µt Kρ với t ≥ 0, với số dương K µ khơng phụ thuộc u uˆ Định nghĩa 3.2 Giả sử phương trình (3.11) có nghiệm uˆ Tập S ⊂ R+ × C gọi đa tạp ổn định địa phương không gian hàm C xung quanh nghiệm uˆ phương trình (3.11) với t ∈ R+ khộng gian X phân tích thành tổng trực tiếp X = X0 (t)⊕ X1 (t) với toán tử chiếu tương ứng P (t) (tức X0 (t) =ImP (t) X1 (t) =KerP (t)) cho sup P (t) < ∞, tồn số dương ρ, ρ0 , ρ1 họ ánh xạ t≥0 liên tục Lipschitz kt : Bρ0 (ˆ ut ) ∩ X0 (t) → Bρ1 (ˆ ut ) ∩ X1 (t), t ∈ R+ với số Lipschitz không phụ thuộc t cho (i) S = (t, φ + kt (φ)) ∈ R+ × (X0 (t) ⊕ X1 (t)) | t ∈ R+ , φ ∈ Bρ0 (ˆ ut ) ∩ X0 (t) , ta ký hiệu St := {φ + kt (φ) | (t, φ + kt (φ)) ∈ S} , t ≥ 0, (ii) St đồng phôi với Bρ0 (ˆ ut ) ∩ X0 (t) := φ ∈ X0 (t) : φ − uˆt 16 C ρ0 với t ≥ 0, (iii) với φ ∈ St0 có nghiệm u(t) phương trình (3.11) [t0 − r, ∞) thỏa mãn điều kiện ut0 = φ esssup ut C ≤ ρ Hơn nữa, nghiệm u(t) t≥t0 đa tạp S bị hút theo cấp mũ đến uˆ(t) theo nghĩa, tồn số dương µ Cµ độc lập với t0 ≥ cho ut − uˆt C u(t0 ) ≤ Cµ e−µ(t−t0 ) P (t0 )u(t0 ) − P (t0 )ˆ với t ≥ t0 (3.13) Định lý 3.5 Giả thiết tương tự Định lý 3.3, cho uˆ nghiệm 1-tuần hoàn (3.11) thu từ Định lý 3.3 γ˜ đủ nhỏ Khi đó, tồn đa tạp ổn định địa phương S xung quanh nghiệm tuần hoàn uˆ 17 Chương Nghiệm tuần hoàn phương trình tiến hóa trung tính có trễ vơ hạn không gian hàm chấp nhận Trong chương chúng tơi xét lớp phương trình tiến hóa trung tính với trễ vơ hạn có dạng dF ut = A(t)F ut + g(t, ut ) với t > 0; u0 = φ, (4.1) dt đây, véc-tơ ban đầu φ thuộc không gian giảm nhớ Cγ với γ ≥ ν > Họ tốn tử tuyến tính A(t) t≥0 sinh họ tiến hóa U (t, s) t≥s≥0 X thỏa mãn ánh xạ t → A(t) 1-tuần hoàn, toán tử phi tuyến g(t, v) ϕ-Lipschitz địa phương theo v (với ϕ thuộc không gian hàm chấp nhận M, v thuộc không gian giảm nhớ Cγ ) 1-tuần hồn theo t Tốn tử sai phân F : Cγ → X tuyến tính bị chặn, với hàm lịch sử ut định nghĩa ut (θ) := u(t + θ) với θ ∈ (−∞, 0] Định nghĩa 4.1 (ϕ-Lipschitz địa phương không gian Cγ ) Cho ≤ ϕ ∈ M, ρ > Bγρ := {φ ∈ Cγ : φ γ ≤ ρ} Một tốn tử g : [0, ∞) × Bγρ → X gọi ϕ-Lipschitz địa phương không gian giảm nhớ Cγ g thỏa mãn: (i) g(t, φ) ≤ L0 ϕ(t) với t ∈ R+ , φ ∈ Bγρ , (ii) g(t, φ1 ) − g(t, φ2 ) ≤ ϕ(t) φ1 − φ2 γ với t ∈ R+ với φ1 , φ2 ∈ Bγρ Giả thiết 4.1 Toán tử phi tuyến g : [0, ∞) × Cγ → X thỏa mãn điều kiện sau: (1)g thỏa mãn ϕ-Lipschitz địa phương không gian giảm nhớ Cγ , với < ϕ ∈ P, (2)g(t, v) 1-tuần hoàn với v ∈ Cγ (4.2) Giả thiết 4.2 Toán tử sai phân F : Cγ → X cho dạng F φ = φ(0) − Ψφ với φ ∈ Cγ , Ψ ∈ L(Cγ , X) thỏa mãn Ψ < Hàm u(·) thỏa mãn phương trình tích phân t F ut = U (t, 0)F u0 + U (t, τ )g(τ, uτ )dτ với t ≥ 0 18 (4.3) gọi nghiệm đủ tốt phương trình (4.1) Khi đó, với điều kiện họ tốn tử A(t) t≥0 thỏa mãn Giả thiết 1.1, toán đặt sau: BÀI TỐN Chứng minh: • Sự tồn tại, nghiệm đủ tốt 1-tuần hoàn phương trình tiến hóa trung tính (4.1) • Tính ổn định có điều kiện nghiệm đủ tốt tuần hồn thu • Tồn đa tạp bất biến ổn định địa phương xung quanh nghiệm đủ tốt tuần hoàn thu với điều kiện cho trước Các kết chương Định lý 4.3, Định lý 4.4 Định lý 4.5 4.1 Nghiệm tuần hồn phương trình có trễ vơ hạn khơng gian hàm chấp nhận Trong không gian Banach X, cho hàm f nhận giá trị X Ta xem xét phương trình tiến hóa trung tính tuyến tính khơng với hàm chưa biết u(·) có dạng   dF ut = A(t)F u + f (t), t ∈ [0, ∞), t dt (4.4)  u0 = φ ∈ Cγ , họ toán tử vi phân A(t) t≥0 xác định cho toán   du = A(t)u(t), t > s ≥ 0, dt  u(s) = x ∈ X (4.5) đặt chỉnh Giả sử toán tử sai phân F : Cγ → X tuyến tính bị chặn ut hàm lịch sử định nghĩa ut (θ) := u(t + θ) với θ ∈ (−∞, 0] Hàm u(·) thỏa mãn phương trình tích phân t F ut = U (t, 0)F u0 + U (t, τ )f (τ )dτ với t ≥ 0, u0 = φ ∈ Cγ gọi nghiệm đủ tốt phương trình (4.4) 19 (4.6) Định lý 4.1 Cho họ toán tử A(t) sinh họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 thỏa mãn Giả t≥0 thiết 1.1 với chu kì T = Toán tử sai phân F với Giả thiết 4.2 Giả sử f ∈ M hàm 1-tuần hoàn Khi đó, tồn y ∈ X cho t U (t, τ )f (τ )dτ ≤ M f sup U (t, 0)y + M, (4.7) t≥0 họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 thỏa mãn lim U (t, 0)x = t→∞ với x ∈ X cho sup U (t, 0)x < ∞, phương trình (4.6) có nghiệm uˆ(·) t≥0 thỏa mãn 1-tuần hồn uˆ(t) ≤ (M + 1)Keα f 1− Ψ M (4.8) Trong khơng gian Banach X, xét lớp phương trình tiến hóa trung tính nửa tuyến tính dạng (4.1), với tốn tử tuyến tính A(t), t ≥ 0, nhận giá trị X thỏa mãn Giả thiết 1.1 với T = 1, toán tử phi tuyến g thỏa mãn Giả thiết 4.1 Ta có định lý sau chứng minh tồn tại, nghiệm đủ tốt 1-tuần hoàn phương trình (4.1) Định lý 4.2 Cho giả thiết Định lý 4.1 đúng, với điều kiện (4.7) thỏa mãn, giả sử g thỏa mãn Giả thiết 4.1 Khi đó, γ ∗ := ϕ K7 := M đủ nhỏ để (M + 1)Keα (L0 + ρ)γ ∗ ≤ ρ, 1− Ψ phương trình (4.1) có nghiệm đủ tốt uˆ 1-tuần hồn hình cầu nhỏ Cb (R, X) thỏa mãn uˆ ≤ K7 4.2 Nghiệm tuần hoàn trường hợp họ tiến hóa có nhị phân mũ Trong phần chúng tơi nghiên cứu phương trình tiến hóa trung tính (4.1) trường hợp họ tốn tử tuyến tính A(t) t≥0 sinh họ tiến hóa U (t, s) t≥s≥0 có nhị phân mũ Khi đó, tồn nghiệm đủ tốt bị chặn phương trình (4.4) chứng minh thuận lợi Do đó, chúng tơi áp dụng kết Mục 4.1 để tồn nghiệm đủ tốt tuần hồn phương trình (4.6), từ suy cho phương trình (4.3) 20 Bổ đề 4.1 Cho họ tiến hóa U (t, s) t≥s≥0 có nhị phân mũ với toán tử chiếu tương ứng P (t) với t ≥ số nhị phân N, ν > Cho Giả thiết 1.1 với T = Giả sử g F thỏa mãn Giả thiết 4.1 Giả thiết 4.2 Khi đó, mệnh đề sau đúng: t (a) Với f ∈ M, w ∈ Cb (R+ , X) cho w(t) = U (t, 0)w(0) + U (t, τ )f (τ )dτ, w thỏa mãn ∞ w(t) = U (t, 0)ζ + G(t, τ )f (τ )dτ, ζ ∈ X0 := P (0)X, t ≥ 0 (b) Nếu u ∈ Cb (R, X) nghiệm phương trình (4.3) max{ φ γ , sup u(t) } ≤ ρ, t∈R+ với η = P (0)F φ ∈ X0 , ta có ∞ G(t, τ )g(τ, uτ ))dτ F ut = U (t, 0)η + Nhận xét 4.2 Bằng tính tốn trực tiếp, ta thấy chiều ngược lại Bổ đề 4.1 Định lý 4.3 Cho Giả thiết 1.1 với T = 1, toán tử sai phân F thỏa mãn Giả thiết 4.2 Họ tiến hóa U (t, s) t≥s≥0 có nhị phân mũ với tốn tử chiếu nhị phân P (t), t ≥ số nhị phân N, ν Nếu f ∈ M 1-tuần hoàn giả sử g thỏa mãn Giả thiết 4.1 với số dương ρ, L0 , hàm ϕ ∈ P, mệnh đề sau (a) Phương trình (4.6) có nghiệm uˆ(t) ∈ Cb (R+ , X) 1-tuần hoàn (b) Nếu γ ∗ đủ nhỏ phương trình (4.3) có nghiệm uˆ(t) ∈ Cb (R, X) 1-tuần hoàn Trong phần ta sử dụng thêm số ký hiệu sau: ˆ := {φ ∈ Cγ : φ − φˆ Bγa (φ) Baγ (ˆ v ) := γ ≤ a}, v ∈ Cb (R, X) : vt , vˆt ∈ Cγ ; max{ v0 − vˆ0 γ , sup v(t) − vˆ(t) } ≤ a t∈R+ Cho Bργ (0) hình cầu chứa uˆ mệnh đề (b) Định lý 4.3 Và giả sử thêm rằng, tồn hàm số dương ϕ˜ ∈ P cho: g(t, φ1 ) − g(t, φ2 ) ≤ ϕ(t) ˜ φ1 − φ2 γ , ∀φ1 , φ2 ∈ Bγ2ρ (0), t ≥ 21 (4.18) Định lý 4.4 Giả thiết Định lý 4.3 uˆ nghiệm 1-tuần hồn phương trình (4.3) thu từ mệnh đề (b) Định lý 4.3 Cho g thỏa mãn biểu thức (4.18) Khi đó, cho tương ứng với φ ∈ Cγ thỏa mãn F φ − F uˆ0 ≤ ρ/2, P (0)F φ ∈ B ρ(1− Ψ ) 2N (P (0)F uˆ0 ) ∩ P (0)X γ˜ := ϕ˜ K9 := M đủ nhỏ để (1 + H)N (N1 + N2 ) γ˜ ≤ , −ν (1 − e )(1 − Ψ ) có nghiệm u(·) phương trình (4.3) R thỏa mãn điều kiện u0 = φ u ∈ Bργ (ˆ u) Hơn nữa, ta có đánh giá sau u(·) uˆ(·): ut − uˆt γ ≤ e−µt Kµ ρ với t ≥ 0, với số dương Kµ µ khơng phụ thuộc u, uˆ ρ Nhận xét 4.3 Kết Định lý 4.4 cho thấy tính ổn định có điều kiện nghiệm tuần hồn uˆ hiểu theo nghĩa với nghiệm u bị chặn khác thỏa mãn F u0 − F uˆ0 ≤ ρ/2 P (0)F u0 ∈ B ρ(1− Ψ ) 2N (P (0)F uˆ0 ) ∩ P (0)X ta có ut − uˆt → cấp mũ t → ∞ Hệ 4.1 Cho giả thiết Định lý 4.4 họ tiến hóa U (t, s) t≥s≥0 ổn định mũ Khi đó, nghiệm tuần hồn uˆ ổn định mũ theo nghĩa: Với nghiệm u ∈ Cb (R, X) khác phương trình (4.3) cho F u0 − F uˆ0 đủ nhỏ ta có đánh giá ut − uˆt γ ≤ Ke−µt F u0 − F uˆ0 với t ≥ 0, với số dương K µ khơng phụ thuộc u uˆ 4.3 Đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn Định nghĩa 4.2 Giả sử phương trình (4.3) có nghiệm uˆ Tập S ⊂ R+ × Cγ gọi đa tạp ổn định địa phương không gian giảm nhớ Cγ xung quanh nghiệm uˆ phương trình (4.3) với t ∈ R+ khộng gian X phân tích thành tổng trực tiếp X = X0 (t) ⊕ X1 (t) với toán tử chiếu tương ứng P (t) (tức X0 (t) =ImP (t) X1 (t) =KerP (t)) cho sup P (t) < ∞, tồn số dương ρ, ρ0 , ρ1 t≥0 họ ánh xạ liên tục Lipschitz kt : Bγρ0 (ˆ ut ) ∩ X0 (t) → Bγρ1 (ˆ ut ) ∩ X1 (t), với số Lipschitz không phụ thuộc t cho 22 t ∈ R+ , (i) S = (t, φ + kt (φ)) ∈ R+ × (X0 (t) ⊕ X1 (t)) | t ∈ R+ , φ ∈ Bγρ0 (ˆ ut ) ∩ X0 (t) , ta ký hiệu St := {φ + kt (φ) | (t, φ + kt (φ)) ∈ S} , t ≥ 0, (ii) St đồng phôi với Bγρ0 (ˆ ut ) ∩ X0 (t) := φ ∈ X0 (t) : φ − uˆt ρ0 γ với t ≥ 0, (iii) với φ ∈ St0 có nghiệm u(t) phương trình (4.3) [t0 − r, ∞) thỏa mãn điều kiện ut0 = φ esssup ut γ ≤ ρ Hơn nữa, nghiệm u(t) t≥t0 đa tạp S bị hút theo cấp mũ đến uˆ(t) theo nghĩa, tồn số dương µ Cµ độc lập với t0 ≥ cho ut − uˆt γ u(t0 ) ≤ Cµ e−µ(t−t0 ) P (t0 )u(t0 ) − P (t0 )ˆ với t ≥ t0 (4.9) Định lý 4.5 Cho giả thiết Định lý 4.4 với hàm số dương tương ứng ϕ ϕ ˜ Cho uˆ nghiệm 1-tuần hồn phương trình (4.3) có từ Định lý 4.3 Nếu (1 + H)N (N1 + N1 ) γ˜ < (1 − e−ν ) 1− Ψ ; 1+N , tồn đa tạp ổn định địa phương S xung quanh nghiệm uˆ Hơn nữa, nghiệm u(t) đa tạp S bị hút cấp mũ uˆ(t) Điều có nghĩa là: Tồn số dương µ Cµ khơng phụ thuộc vào t0 ≥ cho ut − uˆt γ ≤ Cµ e−µ(t−t0 ) P (t0 )u0 − P (t0 )ˆ u0 23 γ với t ≥ t0 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Những kết đạt Xuyên suốt luận án, xét lớp phương trình tiến hóa trung tính có dạng dF ut = A(t)F ut + g(t, ut ), dt t ∈ [0, +∞), u0 = φ ∈ H, (4.10) đó, H khơng gian hàm C không gian giảm nhớ Cγ Các kết đạt là: (i) Thiết lập điều kiện đủ cho tồn nghiệm đủ tốt tuần hồn lớp phương trình tiến hóa trung tính tuyến tính khơng phương trình tiến hóa trung tính nửa tuyến tính (4.10) (ii) Thiết lập điều kiện đủ cho tồn tại, tính nghiệm đủ tốt tuần hồn phương trình (4.10) phần tuyến tính sinh họ tiến hóa có nhị phân mũ (iii) Thiết lập điều kiện đủ cho tính ổn định có điều kiện nghiệm tuần hồn tồn đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn thu lớp phương trình (4.10) phần tuyến tính sinh họ tiến hóa có nhị phân mũ Đề xuất số hướng nghiên cứu • Nghiên cứu tồn tại, tính ổn định nghiệm tuần hồn, đa tạp ổn định địa phương số lớp phương trình tiến hóa trung tính chứa nhiều số hạng phi tuyến với điều kiện Lipschitz khác nhau, trường hợp trễ hữu hạn vơ hạn • Khảo sát tồn tại, tính hầu tuần hồn đa tạp bất biến xung quanh nghiệm hầu tuần hoàn phương trình tiến hóa trung tính 24 Danh mục cơng trình cơng bố Luận án Nguyen Thieu Huy, Nguyen Thi Loan, Vu Thi Ngoc Ha (2019), Periodic solutions and their conditional stability for partial neutral functional differential equations, Journal of Evolution Equations 19, 1091-1110 (SCIE/Scopus-Q1) Thi Ngoc Ha Vu, Thieu Huy Nguyen, Thi Loan Nguyen (2020), Periodic solutions to partial neutral functional differential equations in admissible spaces on a halfline, Vietnam Journal of Mathematics (ESCI/Scopus) DOI/10.1007/s10013-020-00405-3 Published online 07 April 2020 Thieu Huy Nguyen, Thi Loan Nguyen, Thi Ngoc Ha Vu (2020), Periodicity and stability of solutions to neutral differential equations with ϕ-Lipschitz and infinite delays, Annales Polonici Mathematici 125(2), 155-181 (SCIE-Q2) ... tồn tính ổn định có điều kiện nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa trung tính Chương Nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa trung tính có trễ hữu hạn không gian hàm chấp nhận Chương Nghiệm tuần. .. phương trình tiến hóa trung tính, khơng thể khơng nghiên cứu đến tồn tại, tính nghiệm tuần hồn phương trình, tính ổn định (có điều kiện) nghiệm tuần hồn đa tạp ổn định xung quanh nghiệm tuần hoàn. .. quanh nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa trung tính đến nhiều vấn đề cần nghiên cứu Những phân tích lý để chúng tơi chọn đề tài ? ?Tính tuần hồn ổn định nghiệm phương trình tiến hóa trung tính? ??