TOÀN TẬP LÝ THUYẾT HÌNH 12 - CHINH PHỤC 8+

TĨM TẮT LÝ THUYẾT VÀ CT TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 – CHINH PHỤC 8+ PHẦN V KHỐI ĐA DIỆN I - KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHÓP:  Khối lăng trụ (chóp) phần khơng gian giới hạn hình lăng trụ (chóp) kể hình lăng trụ (chóp) Khối chóp cụt phần khơng gian giới hạn hình chóp cụt kể hình chóp cụt  Điểm khơng thuộc khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) gọi điểm ngồi khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) Điểm thuộc khối lăng trụ khơng thuộc hình lăng trụ ứng với khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) gọi điểm khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) B' C' S D' A' F' E' N A B B C D M A F E D C II- KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN: Khái niệm hình đa diện:  Hình đa diện (gọi tắt đa diện) hình tạo số hữu hạn đa giác thỏa mãn hai tính chất: a) Hai đa giác phân biệt khơng có điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung b) Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác  Mỗi đa giác gọi mặt hình đa diện Các đỉnh, cạnh đa giác theo thứ tự gọi đỉnh, cạnh hình đa diện Tài liệu sưu tầm - https://www.facebook.com/chinhphucdiemcao/ Page | 57 TĨM TẮT LÝ THUYẾT VÀ CT TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 – CHINH PHỤC 8+ Khái niệm khối đa diện:  Khối đa diện phần khơng gian giới hạn hình đa diện, kể hình đa diện  Những điểm khơng thuộc khối đa diện gọi điểm ngồi khối đa diện Những điểm thuộc khối đa diện khơng thuộc hình đa diện gọi điểm khối đa diện Tập hợp điểm gọi miền trong, tập hợp điểm gọi miền khối đa diện  Mỗi hình đa diện chia điểm cịn lại không gian thành hai miền không giao miền miền ngồi hình đa diện, có miền ngồi chứa hồn tồn đường thẳng d Miền Điểm N Điểm M III- HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU: Phép dời hình khơng gian: Trong khơng gian, quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M ' xác định gọi phép biến hình khơng gian Phép biến hình khơng gian gọi phép dời hình bảo toàn khoảng cách hai điểm tùy ý * Một số phép dời hình khơng gian:  a) Phép tịnh tiến theo vectơ v : Là phép biến hình biến điểm M thành M '   cho MM '  v M' v M Tài liệu sưu tầm - https://www.facebook.com/chinhphucdiemcao/ Page | 58 TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ CT TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 – CHINH PHỤC 8+ b) Phép đối xứng qua mặt phẳng P  : Là phép biến hình biến điểm thuộc P  M thành nó, biến điểm M không thuộc P  thành điểm M ' cho P  mặt phẳng I P trung trực MM ' Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng P  biến M' hình H  thành P  gọi mặt phẳng đối xứng H  c) Phép đối xứng qua tâm O : Là phép biến hình biến điểm O thành nó, biến điểm M khác O thành điểm M ' cho O trung điểm MM ' Nếu phép đối xứng tâm O biến hình H  M' O M thành O gọi tâm đối xứng H  d) Phép đối xứng qua đường thẳng  (phép đối xứng trục  ): Là phép biến hình biến điểm thuộc đường thẳng  thành nó, biến điểm M không thuộc  thành điểm M ' cho  đường trung trực MM ' Nếu phép đối xứng trục  biến hình H  thành M' I M  gọi trục đối xứng H  * Nhận xét:  Thực liên tiếp phép dời hình phép dời hình  Phép dời hình biến đa diện H  thành đa diện H '  , biến đỉnh, cạnh, mặt H  thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng H '  Hai hình nhau: Hai hình gọi có phép dời hình biến hình thành hình Tài liệu sưu tầm - https://www.facebook.com/chinhphucdiemcao/ Page | 59 TĨM TẮT LÝ THUYẾT VÀ CT TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 – CHINH PHỤC 8+ IV- PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN: Nếu khối đa diện H  hợp hai khối đa diện H  , H  cho H  H  khơng có chung (H1) điểm ta nói chia khối đa diện H  thành hai khối đa diện H  H  , hay (H) lắp ghép hai khối đa diện H  H  với để (H2) khối đa diện H  KHỐI ĐA DIỆN LỒI I Khối đa diện lồi Khối đa diện gọi khối đa diện lồi với hai điểm A B điểm đoạn AB thuộc khối II Khối đa diện lồi Khối đa diện không lồi Khối đa diện Định nghĩa Khối đa diện khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây:  Các mặt đa giác n cạnh  Mỗi đỉnh đỉnh chung p cạnh Khối đa diện gọi khối đa diện loại n, p Tài liệu sưu tầm - https://www.facebook.com/chinhphucdiemcao/ Page | 60 TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ CT TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 – CHINH PHỤC 8+ Định lí Chỉ có loại khối đa diện Đó loại 3; 3 , loại 4; 3 , loại 3; 4 , loại 5; 3 , loại 3;5 Tùy theo số mặt chúng, khối đa diện có tên gọi là: Khối tứ diện đều; khối lập phương; khối bát diện đều; khối mười hai mặt đều; khối hai mươi mặt Bảng tóm tắt năm loại khối đa diện Khối đa diện Số đỉnh Số cạnh Số mặt Loại Số MPĐX Tứ diện 3; 3 Khối lập phương 12 4; 3 Bát diện 12 3; 4 Mười hai mặt 20 30 12 5; 3 15 Hai mươi mặt 12 30 20 3;5 15 Chú ý: Giả sử khối đa diện loại n, p có Đ đỉnh, C cạnh M mặt Khi đó: p Đ  2C  nM Tài liệu sưu tầm - https://www.facebook.com/chinhphucdiemcao/ Page | 61 TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ CT TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 – CHINH PHỤC 8+ MỘT SỐ KẾT QUẢ QUAN TRỌNG VỀ KHỐI ĐA DIỆN LỒI  Kết 1: Cho khối tứ diện Khi đó:  Các trọng tâm mặt đỉnh khối tứ diện đều;  Các trung điểm cạnh đỉnh khối bát diện (khối tám mặt đều)  Kết 2: Tâm mặt khối lập phương đỉnh khối bát diện  Kết 3: Tâm mặt khối bát diện đỉnh hình lập phương  Kết 4: Hai đỉnh khối bát diện gọi hai đỉnh đối diện chúng không thuộc cạnh khối Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi đường chéo khối bát diện Khi đó:  Ba đường chéo cắt trung điểm đường  Ba đường chéo đơi vng góc với nhau;  Ba đường chéo THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Thể tích khối chóp: V  S đáy h + S đáy : Diện tích mặt đáy + h : Độ dài chiều cao khối chóp VS.ABCD  d S S, ABCD   ABCD Thể tích khối lăng trụ: V  S đáy h + S đáy : Diện tích mặt đáy + h : Chiều cao khối chóp Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao cạnh bên Tài liệu sưu tầm - https://www.facebook.com/chinhphucdiemcao/ Page | 62 TĨM TẮT LÝ THUYẾT VÀ CT TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 – CHINH PHỤC 8+ Thể tích khối hộp chữ nhật: V  a.b.c Thể tích khối lập phương: V  a3 * Chú ý:  Đường chéo hình vng cạnh a a  Đường chéo hình lập phương cạnh a : a  Đường chéo hình hộp chữ nhật có kích thước a,b, c : a  b  c  Đường cao tam giác cạnh a là: a Tỉ số thể tích: VS AB C   VS ABC SA SB  SC  SA SB SC S V  h B  B   BB    B’ A’ Hình chóp cụt ABC AB C  C’ A B Với B, B , h diện tích hai đáy chiều cao Tài liệu sưu tầm - https://www.facebook.com/chinhphucdiemcao/ C Page | 63 TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ CT TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 – CHINH PHỤC 8+ CÁC CƠNG THỨC HÌNH PHẲNG Hệ thức lượng tam giác a) Cho ABC vuông A, đường cao AH  AB  AC  BC  AC  CH BC  AB  BH BC  AH BC  AB.AC 1   AH AB AC  AB  BC sin C  BC cos B  AC tan C  AC cot B b) Cho ABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c độ dài trung tuyến ma,  AH  BH HC  mb, mc bán kính đường trịn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r nửa chu vi p  Định lí hàm số cosin: a  b  c - 2bc cos A; b  c  a  2ca cos B; c  a  b  2ab cosC  Định lí hàm số sin: a b c    2R sin A sin B sin C  Độ dài trung tuyến: ma2  b2  c2 a c2  a b2 a  b2 c2  ; mb2   ; mc2   4 Các công thức tính diện tích a) Tam giác: 1 2 1  S  bc sin A  ca.sin B  ab sinC 2 abc S 4R  S  pr  S  a.ha  b.hb  c.hc  S  p  p  a  p  b  p  c   ABC vuông A: S  AB.AC BC AH  2 Tài liệu sưu tầm - https://www.facebook.com/chinhphucdiemcao/ Page | 64 TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ CT TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 – CHINH PHỤC 8+  ABC đều, cạnh a: AH  b) Hình vng: c) Hình chữ nhật: a a2 , S S  a2 (a: cạnh hình vng) (a, b: hai kích thước) S  ab  d) Hình bình hành: S = đáy  cao  AB.AD.sin BAD   AC BD S  AB.AD.sin BAD f) Hình thang: S  a  b h (a, b: hai đáy, h: chiều cao) g) Tứ giác có hai đường chéo vng góc: S  AC BD e) Hình thoi:   MỘT SỐ CƠNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH KHỐI CHĨP THƯỜNG GẶP TÍNH CHẤT HÌNH VẼ Cho hình chóp SABC với mặt phẳng A SAB  , SBC  , SAC  vng góc với đơi một, diện tích tam giác SAB, SBC , SAC S C S1, S2, S3 2S1 S2 S3 Khi đó: VS ABC  B Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với S ABC  , hai mặt phẳng SAB  SBC  vuông   , ASB  góc với nhau, BSC C A Khi đó: VS ABC  SB sin 2 tan  12 B Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam S giác cạnh a, cạnh bên b Khi đó: VS ABC  a 3b  a 12 C A G M B Tài liệu sưu tầm - https://www.facebook.com/chinhphucdiemcao/ Page | 65 TĨM TẮT LÝ THUYẾT VÀ CT TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 – CHINH PHỤC 8+ Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh S đáy a mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc  Khi đó: VS ABC C A a tan   24 G M B S Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh bên b cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc  Khi đó: VS ABC  C A 3b sin  cos2  G M B S Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc  C A Khi đó: VS ABC  a tan  12 G M B Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy S ABCD hình vng cạnh a, SA  SB  SC  SD  b Khi đó: VS ABC  D a 2 4b  2a A M O C B Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh S đáy a, góc tạo mặt bên mặt phẳng đáy  A D Khi đó: VS ABCD a tan   M O B C S Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh    , với     ;   đáy a, SAB   4 2 Khi đó: VS ABCD  a tan2   D A M O C Tài liệu sưu tầm - https://www.facebook.com/chinhphucdiemcao/ B Page | 66 TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ CT TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 – CHINH PHỤC 8+ S  : (x  a )  (y  b)  (z  c)  R    S  khơng có điểm chung  d (I ,( ))  R    tiếp xúc với S   d (I ,( ))  R   tiếp diện 2 2 Để tìm toạ độ tiếp điểm ta thực sau: – Viết phương trình đường thẳng d qua tâm I S  vng góc với   – Tìm toạ độ giao điểm H d   H tiếp điểm S  với      cắt S  theo đường tròn  d (I ,( ))  R Để xác định tâm H bán kính r đường trịn giao tuyến ta thực sau: – Viết phương trình đường thẳng d qua tâm I S  vng góc với   – Tìm toạ độ giao điểm H d       H tâm đường tròn giao tuyến S với  Bán kính r đường trịn giao tuyến: r  R2  IH ĐƯỜNG THẲNG I Phương trình đường thẳng: 1) Vect phương đường thẳng:   Ðịnh nghĩa: Cho đường thẳng d Nếu vectơ a  có giá song  song trùng với đường phẳng d vect a gọi vectơ  phương đường phẳng d Kí hiệu: a  (a1; a2 ; a )  Chú ý:   1) a VTCP d k.a (k  0) VTCP d  2) Nếu d qua hai điểm A, B AB VTCP d   3) Trục Ox có vectơ phương a  i  (1;0; 0)     4) Trục Oy có vectơ phương a  j  (0;1;0) 5) Trục Oz có vectơ phương a  k  (0; 0;1) 2.Phương trình tham số đường thẳng: Phương trình tham số đường thẳng () qua điểm M 0(x ; y0 ; z )  nhận a  (a1; a2 ; a ) làm VTCP : Tài liệu sưu tầm - https://www.facebook.com/chinhphucdiemcao/ Page | 96 TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ CT TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 – CHINH PHỤC 8+  a z x  x  ta  () : y  y  ta2 z  z  ta  () M0 M ( x, y, z ) y t    O x Phương trình tắc đường thẳng: Phương trình tắc đường thẳng () qua điểm M 0(x ; y0 ; z )  nhận a  (a1; a2 ; a ) làm VTCP : () : x  x0 a1  y  y0 a2  z  z0 a3 II Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng : 1.Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng : PP HÌNH HỌC M ( ) a  a  n  a ( )  n M a  n M a  a ( ) x  x  a t (1)  Định lý: Trong Kg Oxyz cho: đường thẳng () : y  y0  a2t (2) có z  z  a t (3)   VTCP a  (a1; a2 ; a ) qua M 0(x ; y0 ; z ) mặt phẳng  có VTPT n  (A; B;C ) ( ) : Ax  By  Cz  D    Khi : () cat (  ) () // (  ) ()  (  ) Đặc biệt:    a.n   Aa1  Ba  Ca    a.n  Aa  Ba2  Ca     M  (P ) Ax  By  Cz  D    a.n  Aa  Ba2  Ca     Ax  By  Cz  D  M  (P )   (  )  (  )  a n phương   a a1 : a2 : a  A : B : C  n a Tài liệu sưu tầm - https://www.facebook.com/chinhphucdiemcao/ Page | 97 TĨM TẮT LÝ THUYẾT VÀ CT TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 – CHINH PHỤC 8+ PP ĐẠI SỐ: Muốn tìm giao điểm M      ta giải hệ pt() tìm x , y, z Suy ra: M x , y, z   pt( )  phương trình:   Thế 1 , 2  ,   vào phương trình mp P  rút gọn dưa dạng: at  b  (*)  d cắt mp P  điểm  Pt *  có nghiệm t  d song song với P   Pt *  vô nghiệm  d nằm P   Pt *  có vơ số nghiệm t    d vng góc P   a n phương Vị trí tương đối hai đường thẳng: M 1  a '  b  u M0  u' 2 1 2 ' 1 M0 M  u  u' M 0' M0  u M0 2 M ' PP HÌNH HỌC Vị trí tương đối hai đường thẳng không gian 1  u' 2  Cho hai đường thẳng: 1 qua M có vectơ phương u1   qua N có vectơ phương u2            u1 , u2    u1 , MN     1  2   u , u     1 // 2       u1 , MN     u , u    2 1 cắt        u1 , u2  MN     1  chéo  u1 , u2  MN  PP ĐẠI SỐ: Muốn tìm giao điểm M (1 ) va ( 2 ) ta giải hệ pt(1 ) phương trình :  pt(2 ) tìm x , y, z Suy ra: M x , y, z   Tài liệu sưu tầm - https://www.facebook.com/chinhphucdiemcao/ Page | 98 TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ CT TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 – CHINH PHỤC 8+ 3) Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu: x  x  a t (1)  Cho đường thẳng d: y  y0  a2t (2) mặt cầu z  z  a t (3)  S  : (x  a )  (y  b)2  (z  c)2  R có tâm I (a ;b; c ) , bán kính R PP HÌNH HỌC B1 Tính khoảng cách từ tâm I mặt cầu S  đến đường thẳng d   IM a    h  d(I , d )   a B2 So sánh d (I , d ) với bán kính R mặt cầu: ● Nếu d (I , d )  R d không cắt S  ● Nếu d (I , d )  R d tiếp xúc S  ● Nếu d (I , d )  R d cắt S  hai điểm phân biệt M , N MN vng góc với đường kính (bán kính) mặt cầu PP ĐẠI SỐ: Thế 1 ,   ,   vào phương trình S  rút gọn đưa phương trình bậc hai theo t *  ● Nếu phương trình  *  vơ nghiệm d khơng cắt S  ● Nếu phương trình  *  có nghiệm d tiếp xc S  ● Nếu phương trình  *  có hai nghiệm d cắt S  hai điểm phân biệt M , N Chú ý: Ðể tìm tọa độ M , N ta thay giá trị t vào phương trình đường  thẳng d n1  ( A1 ; B1 ; C1 ) III Góc không gian:  n  ( A2 ; B ; C ) Góc hai mặt phẳng: Định lý: Trong Kg Oxyz  cho hai mặt phẳng  ,  xác định phương trình : a ( ) : A1x  B1y  C 1z  D1  0    90 ( ) : A2x  B2y  C 2z  D2  b Gọi  góc hai mặt phẳng ( ) & ( ) ta có cơng thức: cos   A1A2  B1B2  C 1C 2 2 2 2 A  B C A  B C ( ) 2  a  ( a ; b; c )  n  ( A; B ; C ) Tài liệu sưu tầm - https://www.facebook.com/chinhphucdiemcao/ a Page | 99 TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ CT TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 – CHINH PHỤC 8+ Góc đường thẳng mặt phẳng: Cho đường thẳng () : x  x0  y  y0 a b mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D   z  z0 c Gọi  góc hai mặt phẳng () & ( ) ta có cơng thức: sin   Aa  Bb  Cc A2  B  C a  b  c 3.Góc hai đường thẳng : Cho hai đường thẳng : (1 ) : (2 ) : x  x0 a x  x0 a'  a1  ( a ; b; c ) y  y0   b y  y0 b'   z  z0 1 c z  z0 2 c'  a  ( a ' ; b' ; c ' ) 0    90 Gọi  góc hai mặt phẳng (1 ) & (2 ) ta có cơng thức: cos   aa '  bb '  cc ' a  b  c a '2  b '2  c '2 IV Khoảng cách: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Cho mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  điểm M 0(x ; y0 ; z ) Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( ) tính : M ( x0 ; y0 ; z0 ) d(M ; )  a Ax  By0  Cz  D H A2  B  C 2 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:  Cho đường thẳng () qua điểm M 0(x ; y0 ; z ) có VTCP u  (a;b;c ) Khi khoảng cách từ điểm M1 đến () tính cơng thức: M1 M ( x0 ; y ; z ) H  u ( )   M M ; u    d(M 1, )   u Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: Tài liệu sưu tầm - https://www.facebook.com/chinhphucdiemcao/ Page | 100 TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ CT TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 – CHINH PHỤC 8+ Định lý: Trong Kg Oxyz  cho hai đường thẳng chéo :  (1 ) co VTCP u  (a;b; c) va qua M0 (x ; y ; z )  (2 ) co VTCP u '  (a ' ;b ' ; c ' ) va qua M0' (x 0' ; y 0' ; z 0' ) Khi khoảng cách (1 ) va ( 2 ) tính công thức    u, u '  M M '   0 d (1,  )    u; u '    u 1 M0 M '  u' 2 CÁC DẠNG THƯỜNG GẶP VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình đường thẳng Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định điểm thuộc d VTCP  Dạng 1: d qua điểm M 0(x ; y0 ; z ) có VTCP a  (a1; a2 ; a ) : x  x  a t o  (d ) : y  yo  a2t z  z  a t o  ( t  R)  Dạng 2: d qua hai điểm A, B : Một VTCP d AB Dạng 3: d qua điểm M 0(x ; y0 ; z ) song song với đường thẳng  cho trước: Vì d / / nên VTCP  VTCP d Dạng 4: d qua điểm M 0(x ; y0 ; z ) vng góc với mặt phẳng P  cho trước: Vì d  P  nên VTPT P  VTCP d Dạng 5: d giao tuyến hai mặt phẳng  P  ,  Q  :  Cách 1: Tìm điểm VTCP – Tìm toạ độ điểm A  d : cách giải hệ phương trình (P ) (với việc chọn giá trị cho ẩn)  (Q )    – Tìm VTCP d : a  nP , nQ   Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d , viết phương trình đường thẳng qua hai điểm Dạng 6: d qua điểm M 0(x ; y0 ; z ) vng góc với hai đường thẳng d1, d2 : Vì d  d1, d  d2 nên VTCP d là: a  ad , ad  Dạng 7: d qua điểm M 0(x ; y0 ; z ) , vng góc cắt đường thẳng  Tài liệu sưu tầm - https://www.facebook.com/chinhphucdiemcao/ Page | 101 TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ CT TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 – CHINH PHỤC 8+  Cách 1: Gọi H hình chiếu vng góc M đường thẳng  H     M 0H  u  Khi đường thẳng d đường thẳng qua M 0, H  Cách 2: Gọi P  mặt phẳng qua A vuông góc với d ; Q  mặt phẳng qua A chứa d Khi d   P   Q  Dạng 8: d qua điểm M 0(x ; y0 ; z ) cắt hai đường thẳng d1, d2 :  Cách 1: Gọi M1  d1, M  d2 Từ điều kiện M , M1, M thẳng hàng ta tìm M1, M Từ suy phương trình đường thẳng d  Cách 2: Gọi P   (M 0, d1 ) , Q   (M , d2 ) Khi d  P   Q  Do    đó, VTCP d chọn a  n P , nQ  Dạng 9: d nằm mặt phẳng P  cắt hai đường thẳng d1, d2 : Tìm giao điểm A  d1   P  , B  d2  P  Khi d đường thẳng AB Dạng 10: d song song với  cắt hai đường thẳng d1, d2 : Viết phương trình mặt phẳng P  chứa  d1, mặt phẳng Q  chứa      d2 Khi d  P  Q Dạng 11: d đường vng góc chung hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau: MN  d  Cách 1: Gọi M1  d1, M  d2 Từ điều kiện  , ta tìm MN  d  M , N Khi đó, d đường thẳng MN  Cách 2: – Vì d  d1 d  d2 nên VTCP d là: a  ad , ad  – Lập phương trình mặt phẳng P  chứa d d1, cách: + Lấy điểm A d1 + Một VTPT P  là: nP  a, ad  – Tương tự lập phương trình mặt phẳng Q  chứa d d2 Khi d  P   Q  Dạng 12: d hình chiếu đường thẳng  lên mặt phẳng  P  :  Lập phương trình mặt phẳng Q  chứa  vng góc với mặt phẳng P  cách: Tài liệu sưu tầm - https://www.facebook.com/chinhphucdiemcao/ Page | 102 TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ CT TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 – CHINH PHỤC 8+ – Lấy M      – Vì Q  chứa  vng góc với P  nên nQ  a  , n P  Khi d  P   Q  Dạng 13: d qua điểm M, vng góc với d1 cắt d2 :  Cách 1: Gọi N giao điểm d d2 Từ điều kiện MN  d1, ta tìm N Khi đó, d đường thẳng MN  Cách 2: – Viết phương trình mặt phẳng P  qua M vng góc với d1 – Viết phương trình mặt phẳng Q  chứa M d2 Khi d  P   Q  VẤN ĐỀ 2: Vị trí tương đối hai đường thẳng Để xét VTTĐ hai đường thẳng, ta sử dụng phương pháp sau:  Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ VTCP điểm thuộc đường thẳng  Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng VẤN ĐỀ 3: Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Để xét VTTĐ đường thẳng mặt phẳng, ta sử dụng phương pháp sau:  Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ VTCP đường thẳng VTPT mặt phẳng  Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng mặt phẳng VẤN ĐỀ 4: Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu Để xét VTTĐ đường thẳng mặt cầu ta sử dụng phương pháp sau:  Phương pháp hình học: Dựa vào khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng bán kính  Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng mặt cầu Tài liệu sưu tầm - https://www.facebook.com/chinhphucdiemcao/ Page | 103 TĨM TẮT LÝ THUYẾT VÀ CT TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 – CHINH PHỤC 8+ VẤN ĐỀ 5: Khoảng cách Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d   Cách 1: Cho đường thẳng d qua M có VTCP a  M M , a    d(M , d )   a  Cách 2: – Tìm hình chiếu vng góc H M đường thẳng d – d M , d   MH  Cách 3: – Gọi N  x ; y; z   d Tính MN theo t (t tham số phương trình đường thẳng d) – Tìm t để MN nhỏ – Khi N  H Do d M , d   MH Khoảng cách hai đường thẳng chéo Cho hai đường thẳng chéo d1 d2 Biết d1 qua điểm M1 có   VTCP a1 , d2 qua điểm M có VTCP a2    a1, a2  M 1M d(d1, d2 )    a1, a2  Chú ý: Khoảng cách hai đường thẳng chéo d1, d2 khoảng cách d1 với mặt phẳng   chứa d2 song song với d1 Khoảng cách hai đường thẳng song song Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến đường thẳng Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Khoảng cách đường thẳng d với mặt phẳng   song song với khoảng cách từ điểm M d đến mặt phẳng   VẤN ĐỀ 6: Góc Góc hai đường thẳng   Cho hai đường thẳng d1, d2 có VTCP a1, a2   Góc d1, d2 bù với góc a1, a2   a1.a2   cos a1, a2     a1 a 2 Góc đường thẳng mặt phẳng  Cho đường thẳng d có VTCP a  (a1; a2 ; a ) mặt phẳng   có Tài liệu sưu tầm - https://www.facebook.com/chinhphucdiemcao/ Page | 104 TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ CT TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 – CHINH PHỤC 8+ VTPT n  (A; B;C ) Góc đường thẳng d mặt phẳng   góc đường thẳng d với hình chiếu d '   sin d ,( )    Aa1  Ba2  Ca A2  B  C a12  a22  a 32 MẶT CẦU I Phương trình mặt cầu: Phương trình tắc: Phương trình mặt cầu S  tâm I a;b;c  , bán kính R là:  (S ) : (x  a )2  (y  b)2  (z  c)2  R Phương trình 1 gọi phương trình tắc mặt cầu Đặc biệt: Khi I  O (C ) : x  y  z  R2 Phương trình tổng quát: Phương trình : x  y  z  2ax  2by  2cz  d  với a  b  c  d  phương trình mặt cầu S  có tâm I a;b;c  , bán kính R  a  b  c  d II Giao mặt cầu mặt phẳng: Cho mặt phẳng ( ) mặt cầu S  có phương trình : ( ) : Ax  By  Cz  D  (S ) : (x  a )2  (y  b)2  (z  c )2  R Gọi d (I ;  ) khoảng cách từ tâm mặt cầu S  đến mặt phẳng  Cho mặt cầu S  I ; R  mặt phẳng  P  Gọi H hình chiếu vng góc I lên  P   d  IH  d  I ,  P   dR dR dR Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu Mặt cầu mặt  P phẳng khơng có diện mặt cầu điểm chung H: tiếp điểm mặt phẳng tiếp Mặt phẳng cắt mặt cầu theo thiết diện đường trịn có tâm I bán kính r  R2  IH Tài liệu sưu tầm - https://www.facebook.com/chinhphucdiemcao/ Page | 105 TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ CT TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 – CHINH PHỤC 8+ Dạng 1: S  có tâm I a;b; c  bán kính R : S  : (x  a )  (y  b)  (z  c)  R Dạng 2: S  có tâm I a;b; c  qua điểm A : 2 2 Phương pháp: Khi bán kính R  IA Dạng 3: S  nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính: Phương pháp:  Tâm I trung điểm đoạn thẳng AB : x I   Bán kính R  IA  xA  xB ; yI  yA  y B ; zI  zA  zB AB Dạng 4: S  qua bốn điểm A, B,C , D ( mặt cầu ngoại tiếp tứ diện) Phương pháp:  Giả sử phương trình mặt cầu S  có dạng:  x  y  z  2ax  2by  2cz  d  *  Thay toạ độ điểm A, B,C , D vào *  , ta phương trình  Giải hệ phương trình đó, ta tìm a,b, c, d  Phương trình mặt cầu S  Dạng 5: S  qua ba điểm A, B,C có tâm I nằm mặt phẳng P  cho trước: Phương pháp: Giải tương tự dạng Dạng 6: S  có tâm I tiếp xúc với mặt cầu T  cho trước: Phương pháp:  Xác định tâm I bán kính R ' mặt cầu T   Sử dụng điều kiện tiếp xúc hai mặt cầu để tính bán kính R mặt cầu S  (Xét hai trường hợp tiếp xúc ngồi) Chú ý: Với phương trình mặt cầu S  : x  y  z  2ax  2by  2cz  d  Tài liệu sưu tầm - https://www.facebook.com/chinhphucdiemcao/ Page | 106 TĨM TẮT LÝ THUYẾT VÀ CT TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 – CHINH PHỤC 8+ với a  b  c  d  S  có tâm I  –a ; –b; –c  bán kính R  a2  b2  c2  d Cho hai mặt cầu S1  I 1, R1  S I 2, R2   I 1I  R1  R2    S  ,  S  ,  S  ,  S  ,  S1 ,  I 1I  R1  R2  I 1I  R1  R2  I 1I  R1  R2  R1  R2  I 1I  R1  R2 S S S S S 2 2    tiếp xúc  tiếp xúc  cắt theo đường tròn (đường tròn giao tuyến) Dạng 7: Viết phương trình mặt cầu S  có tâm I a;b; c  , tiếp xúc với mặt phẳng P  cho trước  Phương pháp: Bán kính mặt cầu R  d I ; P   Dạng 8: Viết phương trình mặt cầu S  có tâm I a;b; c  , cắt mặt phẳng P  cho trước theo giao tuyến đường tròn thoả điều kiện a Đường trịn có diện tích cho trước b Đường trịn có chu vi cho trước c Đường trịn có bán kính cho trước Phương pháp:  Từ cơng thức diện tích đường trịn S   r chu vi đường tròn P  2 r ta tìm bán kính đường trịn giao tuyến r   Tính d  d I , P    Tính bán kính mặt cầu R  d  r  Kết luận phương trình mặt cầu Dạng 8: Viết phương trình mặt cầu S  có tâm I a;b; c  , cắt mặt phẳng P  cho trước theo giao tuyến đường trịn thoả điều kiện Phương pháp:  Ta có bán kính mặt cầu R  d I ; P     Kết luận phương trình mặt cầu Dạng 10: Viết phương trình mặt cầu S  tiếp xúc với đường thẳng  cho trước có tâm I a;b; c  cho trước Phương pháp Đường thẳng  tiếp xúc với mặt cầu S  ta có R  d I ,   Tài liệu sưu tầm - https://www.facebook.com/chinhphucdiemcao/ Page | 107 TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ CT TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 – CHINH PHỤC 8+ Dạng 11: Viết phương trình mặt cầu S  tiếp xúc với đường thẳng  tiếp điểm M xo , yo , z o  thuộc  có tâm I thuộc đường thẳng d cho trước Phương pháp  Viết phương trình mặt phẳng P  qua điểm M vng góc với đường thẳng   Toạ độ tâm I  P    nghiệm phương trình  Bán kính mặt cầu R  IM  d I ,    Kết luận phương trình mặt cầu S  Dạng 12: Viết phương trình mặt cầu S  có tâm I a;b; c  cắt đường thẳng  hai điểm A, B thoả mãn điều kiện: a Độ dài AB số b Tam giác IAB tam giác vuông c Tam giác IAB tam giác Phương pháp Xác định d I ,    IH , IAB cân I nên HB  AB a Bán kính mặt cầu R  IH  HB IH sin 45o IH c Bán kính mặt cầu R  sin 60o b Bán kính mặt cầu R  MỘT SỐ DẠNG GIẢI NHANH CỰC TRỊ KHÔNG GIAN Cho  P  hai điểm A, B + Nếu A B trái phía so với  P  Tìm M   P  để MA  MB  ?  M , A, B thẳng hàng  M  AB   P  + Nếu A B phía so với  P  Tìm B ' đối xứng B qua  P   M , A, B ' thẳng hàng  M  AB ' P  Cho  P  hai điểm A, B + Nếu A B phía so với  P  Tìm M   P  để MA  MB max ?  M , A, B thẳng hàng  M  AB   P  + Nếu A B trái phía so với  P  Tìm B ' đối xứng B qua  P  Tài liệu sưu tầm - https://www.facebook.com/chinhphucdiemcao/ Page | 108 TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ CT TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 – CHINH PHỤC 8+  MA  MB '  AB ' Cho điểm M x M ; yM ; z M  không thuộc trục mặt phẳng tọa độ Viết phương trình  P  qua M cắt P  : 3xx  M y z  1 3y M 3z M tia Ox,Oy,Oz A, B,C cho VO ABC nhỏ nhất? Viết phương trình mặt phẳng  P  chứa đường thẳng d , cho khoảng cách từ điểm M  d đến  P  Qua  A  d     P :       n  u P      d , AM  , u d    lớn nhất? Viết phương trình mặt phẳng  P  qua A cách M khảng lớn ? Viết phương trình mặt phẳng  P  chứa đường thẳng d , cho  P  tạo với  (  không song song với d ) góc lớn lớn ? Cho  / / P  Viết phương trình đường thẳng d song song với  cách  khoảng nhỏ ? Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A cho trước nằm mặt phẳng  P  cho trước Qua  A  P  : n   AM  P Qua  A  d     P :       n  u , u , u   P    d   d    Lấy A   gọi A hình chiếu vng góc A  P  Qua  A  d :  u  u d   Qua  A  d    d :    u d  n  P  , AM    cho khoảng cách từ điểm M cho trước đến d lớn ( AM khơng vng góc với  P  ) ? Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A cho trước nằm mặt phẳng  P  cho trước Qua  A  d     d :   n  P  , AM  , n P   u d       cho khoảng cách từ điểm M cho trước đến d nhỏ ( AM khơng vng góc với  P  ) ? Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A   P  cho trước, cho d nằm P  tạo với đường Qua  A  d     d :      u d   n  P  , AM  , n P   thẳng  góc nhỏ (  cắt Tài liệu sưu tầm - https://www.facebook.com/chinhphucdiemcao/ Page | 109 TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ CT TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 – CHINH PHỤC 8+ khơng vng góc với  P  )? Tài liệu sưu tầm - https://www.facebook.com/chinhphucdiemcao/ Page | 110 ... Hai hình nhau: Hai hình gọi có phép dời hình biến hình thành hình Tài liệu sưu tầm - https://www.facebook.com/chinhphucdiemcao/ Page | 59 TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ CT TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 – CHINH PHỤC... https://www.facebook.com/chinhphucdiemcao/ Page | 81 TĨM TẮT LÝ THUYẾT VÀ CT TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 – CHINH PHỤC 8+ f/ Hình chóp khác - Dựng trục  đáy - Dựng mặt phẳng trung trực   cạnh bên -    ... tầm - https://www.facebook.com/chinhphucdiemcao/ a b Page | 86 TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ CT TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 – CHINH PHỤC 8+ R Diện tích hình vành khăn  S  R r  Hình xuyến r  Thể tích hình