Toàn tập Lý thuyết Toán THPT

HỆ THỐNG KIẾN THỨC TOÁN THPT DÙNG CHO THI TỐT NGHIỆP - ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG Chỳ ý: 1.Nội dung cú chỳt nõng cao và mở rộng với mục đớch dựng cho ụn luyện thi ĐH-CĐ 2.Cỏc nội dung “chữ đậm

HỆ THỐNG KIẾN THỨC TOÁN THPT DÙNG CHO THI TỐT NGHIỆP - ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG

Chỳ ý: 1.Nội dung cú chỳt nõng cao và mở rộng với mục đớch dựng cho ụn luyện thi ĐH-CĐ

2.Cỏc nội dung “chữ đậm và in nghiờng”ở phần hệ thống là những nội dung trọng tõm

của thi TNTHPT

VấN Đề 1:ỨNG DụNG ĐạO HÀM

 Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số

 Cỏc vấn đề liờn quan đến hàm số

o Phửụng trỡnh tieỏp tuyeỏn: taùi M 0; ủi qua moọt ủieồm M 1 hoặc biết heọ soỏ goực k

o Bieọn luaọn soỏ nghieọm cuỷa phửụng trỡnh baống ủoà thũ :

o Cực trị hàm số

o Giỏ trị lớn nhất, giỏ trị nhỏ nhất

o Sự tương giao của hai đường cong ( đ.thẳng và một đường cong).

o Caựch xaực ủũnh tieọm caọn :

o Ứng dụng của tớch phõn :Tớnh diện tớch hỡnh phẳng và thể tớch của một vật thể trũn xoay sinh bởi

1 hỡnh phẳng quay quanh trục Ox hoặc Oy

o Tỡm điểm cố định của 1 họ đường cong (Cm): y=f(x,m)

o Bài toỏn tỡm quỷ tớch của 1 họ đường cong (Cm): y=f(x,m)

o Các dạng đồ thị có chứa giá trị tuyệt đối thờng gặp:

……

VấN Đề 2:HÀM Số LUỹ THừA,MŨ VÀ LOGARIT

 Tớnh toỏn,chứng minh,rỳt gọn,….cỏc biểu thức cú chứa mũ,logarit,luỹ thừa,…

 Tớnh đạo hàm của cỏc hàm số mũ và logarit

 Vẽ được đồ thị của cỏc hàm số mũ,logarit và luỹ thừa

 Giải phương trỡnh mũ và logarit :

 Giải bất phương trỡnh mũ và logarit

 Giải hệ phương trỡnh mũ và logarit (Khụng cú ở ban cụ baỷn)

VấN Đề 3:NGUYấN HÀM –TÍCH PHÂN VÀ ứNG DụNG TÍCH PHÂN

o Tớnh tớch phõn bằng cỏch sử dụng tớnh chất và nguyờn hàm cơ bản

o Tớnh tớch phõn bằng phương phỏp đổi biến số

Dạng 1: Tớnh I = bf[u(x)]u dx/

a bằng cỏch đặt t = u(x)Dạng 2: Tớnh I =  f (x)dx

 đặt x = asint ;x = atant ;………

o Tỡm tớch phõn bằng phương phỏp từng phần: b ba b

a u.dv u.v   a v.du

o Tớnh tớch phõn của cỏc hàm số lượng giỏc (một số dạng cơ bản)

o Tớnh tớch phõn của cỏc hàm số hữu tỷ

o Tỡm tớch phõn của cỏc hàm số vụ tỷ:

 Tìm số phức z; ;z biểu diễn số phức;số phức bằng nhau;…

 Thực hiện được các phép tốn về cộng trừ,nhân,chia các số phức.

 Tìm được căn bậc 2 của 1 số (thực dương;0;thực âm và số phức)

 Giải phương trình trong tập phức (Chú ý PP giải pt bậc 2 và định lý Vi-et)

 Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng (Khơng cĩ ở ban cơ bản)

VấN Đề 5:DIệN TÍCH VÀ THể TÍCH CÁC KHốI.

 Tính diện tích các mặt (là tam giác,tứ giác,hình trịn, )

 Tính thể tích các khối chĩp,khối hộp,lăng trụ,…

 Mặt cầu:

o Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp,hình hộp,…

o Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu

 Mặt trụ: Tính diện tích xung quanh,diện tích tồn phần hình trụ và thể tích khối trụ

 Mặt nĩn:

o Tính diện tích xung quanh,diện tích tồn phần hình nĩn và thể tích khối khối nĩn

VấN Đề 6:PHƯƠNG PHÁP TOạ Độ TRONG KHƠNG GIAN

 Hệ toạ độ trong khơng gian

o Xác định điểm , tọa độ vectơ trong không gian , c/m tính chất hình học

o Tích vô hướng , tích có hướng , góc giữa hai véc tơ :

o Véc tơ đồng phẳng , không đồng phẳng,diện tích tam giác,thể tích khối chĩp,hộp:

 Mặt cầu (S)

o Xác định tâm và bán kính mặt cầu

o Viết phương trình mặt cầu

o Xác định tâm H và bán kính r của đường trịn trong khơng gian

 Mặt phẳng:

o Viết pt mặt phẳng dưới 3 dạng (cơ bản,chùm mp và tổng quát)

 Đường thẳng:

o Viết pt đường thẳng dưới 2 dạng (PTTS và PTCT)

 Vị trí tương đối giữa các đối tượng:(điểm,đường thẳng,mặt phẳng và mặt cầu)

 Tính khoảng cách giữa các đối tượng:(điểm,đường thẳng,mặt phẳng và mặt cầu)

 Tính gĩc giữa các đối tượng:(đường thẳng- đường thẳng;đường thẳng-mặt phẳng và mặt phẳng-mặt phẳng )

 Tìm hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng hoặc đ.thẳng

o Tìm hình chiếu H của M lên ()

o Tìm hình chiếu H của M lên đường thẳng (d)

 Tìm tọa độ điểm A/ đối xứng với điểm A qua đt hoặc mp

o Đối xứng qua mp()

o Đối xứng quađường thẳng (d).

 Tìm hình chiếu (d’) của đ.thẳng (d) lên mp ()

PHẦN A.GIẢI TÍCH

4.Tìm phương trình tiệm cận (nếu có)

5.Lập bảng biến thiên

6.Chỉ ra khoảng đồng biến,nghịch biến

7.Chỉ rõ điểm CỰC ĐẠI,CỰC TIỂU

8.Xét tính lồi lõm và điểm uốn (Đối với hàm số bậc 3 và hàm trùng phương)

Tính y’’ cho y’’=0 tìm nghiệm và lập bảng xét dấu y’’

9.Nhận xét về đồ thị:

 Chỉ rõ tâm đối xứng(trục đối xứng của đồ thị)

2

/ / /

/ /

/ / /

/ / /

.

5

) 0 (

4

.

3

.

C

v v

u v v u v u

v C v C

v u v u v u

v u v u

x x

x x

x x

x x

a x x

e e

a a a

x x

x x

x x

x C

a

x x

x x

2 /

2 /

/ / / / / / / 2 /

1 /

/ /

sin

1 cot

18

cos

1 tan

17

sin cos

16

cos sin

15

1 ln

14

ln

1 log

13

12

ln

11

2

1

10

1 1

9

8

1

7

0

cos tan

sin cos

cos sin

ln

ln log

.

ln

2

1

2

/ /

2

/ /

/ /

/ /

/ /

/ /

/ /

/ /

/ / 2 / /

/ 1 /

u

u u

u

u u

u u u

u u u u

u u

a u

u u

u e e

u a a a

u

u u

v

v v

u x u

a

u u

u u

b ax y







/

) (cx d

bc ad y







2 2

2 2

1 1

2 1

20

c x b x a

c x b x a y

2 2

2 2

1 1 2 2

1 1 2 2 2

1 1 /

2

c x b x a

c b

c b x c a

c a x b a

b a y

/  0 /  0 y/ cùng dấu với hệ số a KL: hàm số tăng trên? (giảm trên?) y/ = 0 có hai nghiệm x1; x2 KL: hàm số tăng? Giảm? Hàm số không có cực trị  Cực tri ̣ cực đại? Cực tiểu? + Giới hạn:  lim (ax3 bx2 cx d) x     =         ) 0 ( ) 0 ( a a  lim (ax3 bx2 cx d) x     =         ) 0 ( ) 0 ( a a + Bảng biến thiên: x  +

 x  x1 x2 +

y/ + y/ + 0  0 +

y +

- y CĐ +

- CT x  +

 x  x1 x2 +

 y/  y/  0 + 0 

y +



y + CĐ

CT 



Chú ý : dù y/ = 0 có nghiệm kép việc xét dấu vẫn đúng + Vẽ đồ thị :  xác đinh Cực trị ?  ; điểm đặc biệt a>0 ; có 2 CT a<0; có 2 CT a>0,không CT a<0,không CT 2 Hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c ( a  0 ) + TXĐ : D = R + Đạo hàm: y/ = 4ax3 + 2b.x =2x.(2a x2+ b)

a,b cùng dấu a, b trái dấu

y/ = 0  x = 0

/ = 0  2x (2ax2 + b) = 0  x= 0; x1,2=

a

b

2



KL: tăng? Giảm?

Giá trị cực trị : y(0) = c

có một cực trị  Giá trị cực trị: y(0)= c ; y( a

b

2

 ) = 4a Có 3 cực trị

a > 0

a < 0

Điểm uốn I( 3b a ;f( 3b a ))

a a

+ Bảng biến thiên :

+ Đạo hàm : y/ = (cx d) 2

bc ad

cx d

 



 = a c+Bảng biến thiên :

a> 0

b <0

C Đ

a < 0

a > 0

CT

 a/

c

a/c 

+ Vẽ đồ thị :  Vẽ tiệm cận , điểm đặc biệt

 Cho 2 điểm về 1 phía của tiệm cận đứng vẽ một nhánh , lấy đối xứng nhánh đó qua giao điểm hai tiệm cận

y/ cùng dấu với ae y/ = 0 có hai nghiệm x1; x2

Hàm số không có cực trị  Giá trị cực trị tính theo CT : y =

+ Vẽ đồ thị : ( như hàm phân thức )

(ban cơ bản khơng khảo sát hàm số này)

Bài toán 2: Phương trình tiếp tuyến :

Yêu Cầu Viết PTTT của (C): y=f(x) biết

1 Tiếp tuyến tại M(x 0 ; f(x 0 ))

 TT có phương trình là : y - f(x0)= f/(x0)(x x0)

 Từ x0 tính f(x0) ; Đạo hàm : y/ = f/(x) => f/(x0) = ?

 P.trình tiếp tuyến tại M là: y = f/(x0)(x x0) + f(x0)

2 Tiếp tuyến đi qua(kẻ từ) một điểm A(x 1 ; y 1 ) của đồ thị h/s y =f(x)

 Gọi k là hệ số góc của đường thẳng (d) đi qua A

Pt đường thẳng (d) là : y = k(x  x1) + y1

 Điều kiện để đường thẳng (d) tiếp xúc với Đồ thị (C) là

f (x) k (2) có nghiệm

 Thay (2) vào (1) giải tìm x => k = ? Kết luận

3 Tiếp tuyến có hệ số góc k :

Nếu : tiếp tuyến // đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = a

tiếp tuyến  đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k =  1a

 Giả sử M(x0; f(x0)) là tiếp điểm => hệ số góc của tiếp tuyến f/(x0)

 Giải phương trình f/(x0) = k => x0 = ? > f(x0) = ?

 Phương trình tiếp tuyến y = k (x  x0) + f(x0)

Chú ý : + Hai đường thẳng vuông góc nhau : k1.k2 = 1

+ Hai đường thẳng song song nhau : k1 = k2

Bài toán 3: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị :

Giả sử phải biện luận số nghiệm của Pt : F(x; m) = 0

 Biến đổi phương trình F(x; m) = 0 về dạng f(x) = g(x) Trong đó đồ thị hàm số y = f(x) đã vẽ và y=g(x) là 1 đường thẳng song song với Ox

Chú ý:Ở mức độ khĩ hơn thì đồ thị y=g(x) // với đường thẳng cố định hoặc quay quanh 1 điểm cố định)

 Vẽ đồ thị:y = g(x) ; đồ thị (C): y =f(x)

 Dựa vào đồ thị xét sự tương giao của đồ thị (C) với đồ thị y = g(x)

Bài toán 4: xét tính đơn điệu

Phương pháp xác định khoảng tăng, giảm hàm số :

+ MXĐ: D= ?

+ Đạo hàm : y/ = ?

cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/

+ BXD (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần)

* y/ > 0 thì hàm số tăng ; y/ < 0 thì hàm số giảm

+ Kết luận : hàm số đồng biến , nghịch biến trên khoảng

Định lý 2 (dùng để tìm giá trị m):

a) f(x) tăng trong khoảng (a;b) thì f/(x)  0  x  (a;b)

cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/

+ BBT : (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần) + Tính yCĐ ; yCT ; kết luận cực trị ?

Chú ý:

1) Nếu hàm số luơn tăng ( giảm)trên (a;b) thì khơng cĩ cực trị trên (a;b)

2) Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y/ = 0

3) x0 là cực trị của hàm số  /( 0) 0

/ ( )

Nếu y//(x0) > 0 thì hàm số đạt CT tại x0 , yCT= ?

Nếu y//(x0) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại x0 , yCĐ= ?

 Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x o :

+ xo là điểm cực trị

/ 0 / / 0

( ) 0( ) 0

/ 0 / / 0

( ) 0( ) 0

/ 0 / / 0

( ) 0( ) 0

 Hàm số đạt cực trị bằng y 0 tại x 0

Hàm số đạt cực trị bằng y0 tại x0 khi

)(

0)(

0 //

0 0 0 /

x f

y x f

x f

Chú ý : dấu hiệu II dùng cho những h/s mà y/ khó xét dấu (như hàm lượng giác,mũ,logarit,luỹ thừa,… )

* Nếu y = f(x) là đa thức thì đường thẳng đi qua các điểm cực trị là:

y = phần dư của phép chia f(x) cho f/(x)

Dạng 2: Cực trị của hàm hữu tỉ :

Cho h/s y = u

v u(x) ; v(x) là các đa thức có MXĐ: D

Và y/ = u v v u 2  =g(x)2 dấu của y/ là dấu của g(x)

Nếu h/s đạt cực trị tại x0 thì y/(x0)= 0 => g(x0) = 0 <=> u/vv/u = 0

- Để hàm số yf x cĩ hai cực trị nằm về 2 phía đối với tung  y CD.y CT 0

- Để hàm số yf x cĩ hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung  x CD.x CT 0

- Để hàm số yf x cĩ hai cực trị nằm trên trục hồnh 0

- Để hàm số yf x cĩ cực trị tiếp xúc với trục hồnh  y CD.y CT 0

Bài tốn 6: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

1 Phương pháp tìm GTLN và GTNN của h/s y = f(x) trên [a;b]:

 xét hàm số y = f(x)=… trên [a;b]

2 P/pháp tìm GTLN hoặc GTNN của h/s trên (a;b) hoặc MX Đ :

 Miền đang xét (a;b) hoặc TXĐ

 Đạo hàm : y/ = ?

cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/

 Lập BBT:

 Từ BBT kết luận

* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CT thì GTNN bằng giá trị CT min y[a;b] yct

* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CĐ thì GTLN bằng giá trị CĐ max y[a;b]  yCĐ

* Nếu hàm số luơn tăng (giảm) trên (a;b) thì khơng cĩ cực trị trên khoảng (a;b).

Chú ý : Khi gặp h/s không cho miền đang xét thì ta tìm TXĐ của h/s đó :

 nếu TXĐ là một đoạn [a;b]hoặc nữa khoảng thì ta dùng cách 1

 nếu TXĐ là một khoảng thì dùng cách 2

 Đơi khi:Đặt ẩn phụ t=u(x) Biến bài tốn tìm GTLN,NN của hàm số y = f(x) trên một khoảngnào đĩ thành bài tốn tìm GTLN,NN của hàm số y = g(t) trên 1 đoạn khác

Bài tốn 7 : Giao điểm hai đường cong ( đ.thẳng và một đường cong).

1 Cho hai đồ thị (C1) : y = f(x) ; (C2) : y = g(x)

Hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) nếu có

là nghiệm của phương trình : f(x) = g(x) (1)

 pt(1) vô nghiệm <=> (C1) và (C2) không có điểm chung

 pt(1) có n nghiệm <=> (C1) và (C2) có n điểm chung

* Số nghiệm của (1) là số giao điểm của hai đường cong

2 Điều kiện tiếp xúc : Đồ thị (C1) tiếp xúc (C2) <=> hệ pt f (x) g(x)

Bài tốn 8: Cách xác định tiệm cận :

 Tiệm cận đứng : lim f (x)

x x0





 => x = x0 là tiệm cận đứng

Chú ý : tìm x0 là những điểm hàm số không xác định

 Tiệm cận ngang : lim f (x) y0

x



  => y = y0 là tiệm cận ngang

Chú ý : hàm số có dạng phân thức ( hoặc có thể đưa về dạng phân thức ) và bậc tử  bậc mẫu thì có

tiệm cận ngang

 Tiệm cận xiên (ban cơ bản khơng cĩ phần này):

Cách 1 : + viết hàm số dưới dạng : f(x) = ax + b +  (x)

lim

x



  = 0  y = ax + b là tiệm cận xiên

Cách 2: ta tìm hai hệ số a và b ; a lim f (x)

x x

 y = ax + b là tiệm cận xiên

Bài tốn 9: Ứng dụng của tích phân :Tính diện tích hình phẳng và thể tích của một vật thể trịn xoay sinh bởi 1 hình phẳng quay quanh trục Ox hoặc Oy

Bài tốn 10: Tìm điểm cố định của 1 họ đường cong (Cm): y=f(x,m)

 Biến đổi PT y=f(x,m) thành PT theo ẩn m

 Toạ độ điểm cần tìm là nghiệm hệ PT gồm tất cả các hệ số bằng 0

 Giải hệ và kết luận

………

Bài tốn 11:Bài tốn tìm quỷ tích của 1 họ đường cong (Cm): y=f(x,m)

 Tìm đk của tham số m để quỷ tích tồn tại

 Tìm toạ độ của điểm cần tìm quỷ tích

 Khử m tìm hệ thức độc lập từ hai biểu tức toạ độ trên

 Tìm giới hạn quỷ tích

 Kết luận

Bài toỏn 12:Các dạng đồ thị cĩ chứa giá trị tuyệt đối thường gặp:

a) Dạng đồ thị (C 1 ) của hàm số: y = f   x

f -

0 x f nÕu

x f

 Vẽ đồ thị (C): y = f(x)

 Đồ thị (C1) gồm 2 phần:

 Các phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành (f(x)  0)

 Phần đối xứng của đồ thị (C) nằm phía dưới trục hoành qua Ox

f

-0 x nÕu

x f

 Phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành

 Phần đối xứng của phần đồ thị trên qua trục Ox

d) Dạng đồ thị của hàm số: y =  

  x g

x f

Ta có: y =  

  x g

x f

f -

0 x f nÕu

x g

x g

x f

 Vẽ đồ thị (C) của hàm số: y =  

  x g

x f

x f

 Các bước làm tương tự như phần d)

g x f -

0 x f u nÕ

x g x f

 đồ thị (C6) gồm hai phần:

 Phần đồ thị của hàm số: y = f(x) + g(x) ứng với f(x)  0

 Tiếp đĩ thực hiện cách vẽ đồ thị (C1) của hàm số: y = f   x

Tĩm lại ta thực hiện dần các bước như sau:

* Hàm số logarit:  = log a N  a = N log a x = b  x= a b

 Đặc biệt : aloga x = x ; loga a x = x ; loga1 = 0

 Các qui tắc biến đổi : với a , B , C > 0 ; a  1 ta có:

loga(B.C) = logaB + logaC

 Công thức đổi cơ số : với a , b , c > 0 ; a , c  1 ta có :

logca.loga b = logcb  log ba log bc

log ac



0 < a, b  1 : logab = log a1

b

Chú ý : log10x = lg x ; logex = ln x

 Hàm số Logarit: y = loga x với a > 0 ; a  1

TXĐ : D = (0 ; + ) MGT : R

+ a > 1 ; h/s đồng biến : x1 > x2 > 0  loga x1 > loga x2

+ 0 < a < 1;h/s ngh biến: x1 > x2 > 0  logax1 <logax2

Bài tốn 2: Tính đạo hàm của các hàm số mũ và logrit

Chú ý: Dạng u(x)f (x)= 1  [u(x) 1].f(x) = 0 ( trong đó u(x) và f(x) có chứa biến )

Bài tốn 4: Giải phương trình logarit : 6 cách

Cách 1 S ử dụng định nghĩa a

f(x) 0 log f(x)=b<=> 0 1

Bài tốn 5: Giải bất phương trình mũ và logarit

Về cơ bản thì phương trình mũ và logarit cĩ các cách gải nào thì bất phương trình mũ và logarit cĩ các cách giải đĩ

Tuy nhiên,ta cần chú ý dạng cơ bản sau:

 Bất phương trình mũ dạng: u(x)f (x) u(x)g(x)



f (x) g(x) TH1 : 0 < u(x) <1 ; u(x) u(x) f (x) g(x)

f (x) g(x) TH1 : u(x) > 1 ; u(x) u(x) f (x) g(x)

0 < u(

f (x) g(x) TQuat : u(x) u(x)

2 loga f(x) > loga g(x)  (a1)(f(x)  g(x)) > 0

*) Khi giải bài toán bất phương trình mũ hoặc logarit thì phải nắm thật vững tính chất đơn điệu của hai hàm số trên

*) Nắm vững phép lấy hợp, lấy giao của hai hay nhiều tập hợp số

Bài toán 5: Giải hệ phương trình mũ và logarit (Không có ở ban cô bản)

Thông thường giải bằng PP thế

ax b



 = 1

alnax+ b + C 1

aCos(ax+ b) + Cdx

2 Cos (ax b)



 =1

atan(ax+ b) + Cdx

2 Sin (ax b)

• Nếu f là hàm lẻ đối với cosx : đặt t = sinx

• Nếu f là hàm lẻ đối với sinx : đặt t = cosx

• Nếu f là hàm chẵn đối với sinx, cosx dùng công thức hạ bậc:

2

2 cos 1 sin , 2

2 cos

1

x x

• Nếu f chỉ chứa sinx hoặc cosx đặt

2 tanx

f Đặt tx x2 a2

Bài toán 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần:

Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I

u(x).v'(x)dx u(x).v(x)   v(x).u '(x)dx

cosax Ta thực hiện từng phần hai lần với u = eax

Bài toán 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác (một số dạng cơ bản).

Dạng 1: sin(ax+b).sin(cx+d)dx;sin(ax+b).cos(cx+d)dx cos(ax+b).cos(cx+d)dx

* Thực hiện công thức biến đổi tích thành tổng rồi tính tích phân

Dạng 2: sin ax.cos axdx n m (n,m là các số nguyên dương)

đặt t = tanax hoặc t = cotax

Dạng 3: R(sinx,cosx)dx R là hàm số hữu tỷ (mở rộng thi đại học)

*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với sinx tức là R(sinx, cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = cosx

*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với cosx tức là R(sinx, cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = sinx

*) Nếu R(sinx, cosx) chẵn đối với sinx và cosx tức là

R(sinx, cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = tanx

Bài toán 5: Tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỷ

Yêu cầu tính f (x)dx

g(x)

 trong đó f(x), g(x) là các đa thức theo x

Trường hợp 1: Bậc của f(x) Bậc của g(x) thì thực hiện phép chia đa thức f(x) cho g(x) ta dẫn đến:

g(x)a(x 1).(x x ) 2 (x x )  1 (x x )  2 (x x ) 2 (*) ( x1; x2 là nghiệm của g(x)

*) ta quy đồng bỏ mẫu ta được biểu thức (**) rồi sau đó cho các giá trị của x vào biểu thức (**) để tìm các hệ số A,B,C ( thông thường nên cho x bằng các nghiệm của g(x) để tìm các hệ số được dễ dàng)

*) sau đó thay vào biểu thức dưới dấu tích phân để tính

Lưu ý: Xét ở trình độ THPT chúng ta thường gặp phải g(x) phân tích về thành tích của các nhị thức

Bài toán 6: Tìm nguyên hàm của các hàm số vô tỷ:dùng phương pháp đổi biến số.

cos



o  ( 21 2 ).dx

a x

Bài toán 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.

Bài toán 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần:

Nếu u = u(x) , v = v(x) là hai hàm số có

đạo hàm liên tục trên [a;b] thì I =

cosax





Ta thực hiện từng phần hai lần với u = eax

Bài toán 4: Tính tích phân của các hàm số lượng giác (một số dạng cơ bản).

Dạng 1: sin(ax+b)sin(cx+d)dx

 ; sin(ax+b).cos(cx+d)dx

 cos(ax+b).cos(cx+d)dx

* Thực hiện công thức biến đổi tích thành tổng rồi tính tích phân

Dạng 2: sin ax.cos ax.dx n m



 (n,m là các số nguyên dương)

 R là hàm số hữu tỷ (mở rộng thi đại học).

*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với sinx tức là R(sinx, cosx) = R(sinx, cosx)thì

ta đặt t = cosx

*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với cosx tức là R(sinx, cosx) = R(sinx, cosx)

thì ta đặt t = sinx

*) Nếu R(sinx, cosx) chẵn đối với sinx và cosx tức là

R(sinx, cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = tanx

Bài toán 5: Tính tích phân của các hàm số hữu tỷ

Yêu cầu tính f (x)dx

g(x)





 trong đó f(x), g(x) là các đa thức theo x

Trường hợp 1: Bậc của f(x) Bậc của g(x) thì thực hiện phép chia đa thức f(x) cho g(x) ta dẫn đến:

g(x)a(x  ).(x x ) (x x )  (x x )  (x x ) (*) ( x1; x2 là nghiệm của g(x)

*) ta quy đồng bỏ mẫu ta được biểu thức (**) rồi sau đó cho các giá trị của x vào biểu thức (**) để tìm các hệ số A,B,C ( thông thường nên cho x bằng các nghiệm của g(x) để tìm các hệ số được dễ dàng)

*) sau đó thay vào biểu thức dưới dấu tích phân để tính

Lưu ý: Xét ở trình độ THPT chúng ta thường gặp phải g(x) phân tích về thành tích của các nhị thức

Bài toán 6: Tìm tích phân của các hàm số vô tỷ:dùng phương pháp đổi biến số.

1 (

2

2 dx a x

f Đặt tx x2 a2

Bài toán 7: Tính tích phân chứa dấu giá trị tuyên đối Tính bf (x) dx

a

a = cf (x)dx bf (x)dx

a  c

*Chú ý 1) Nếu cĩ nhiều hơn 1 nghiệm trên (a;b) thì vẫn dùng cơng thức trên tùy theo trường hợp

nghiệm như thế nào (cách làm này cĩ lợi vì ta khơngcần xét dấu f(x))

2) Ở mức độ thi TNTHPT khơng cần nắm bất đẳng thức tích phân

PHầN 5: DIệN TÍCH HÌNH PHẳNG  THể TÍCH VậT THể TRỊN XOAY.

Bài tốn 1: Tính diện tích hình phẳng

 Hình phẳng giới hạn bởi :

hàm số liên tục trên [a;b]

trục hoành y 0; Diện tích : S = b| f (x) | dx

a

Chú ý : nếu thiếu cận a, b giải pt : f(x) = 0

 Hình phẳng giới hạn bởi : f (y) a; y b



hàm số x liên tục trên [a;b]

trục hoành x 0;y Diện tích : S = b| f (y) | dy

hàm số liên tục trên [a;b]

hàm số liên tục trên [a;b]

x a; Diện tích : S = b| f (x) g(x) | dx

a 

Chú ý : 1) Nếu thiếu cận a, b giải pt : f(x) = g(x)

2) Nếu bài tốn qua phức tạp thì ta cĩ thể vẽ hình để xác định hình phẳng hoặc tính thơng qua tổng hoặc hiệu của nhiều hình

 Hình phẳng giới hạn bởi :

hàm số x liên tục trên [a;b]

hàm số x liên tục trên [a;b]

a;y Diện tích : S = b| f (y) g(y) | dy

a 

Bài tốn 2:Tính thể tích vật thể trịn xoay :

* Thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường :

hàm số liên tục trên [a;b]

trục hoành y 0; quay quanh trục Ox và f(x)  0 trên [a;b] thì V = bf (x) dx2

hàm số x liên tục trên [a;b]

trục hoành x 0;y quay quanh trục Oy và g(y)  0 trên [a;b] thì V = bg(y) dy2

hàm số liên tục trên [a;b]

quay quanh trục Ox thì V = b f (x)2 g(x)2.dx

hàm số x liên tục trên [a;b]

quay quanh trục Oy thì V = b f (y)2 g(y)2.dy

a

         

PHầN 6: Số PHứC

Bài tốn 1: Tìm số phức, tính mơđun,số phức liên hợp,biểu diễn số phức,…

Cho hai số phức a+bi và c+di

a

b

xy

)y=g(

x)

1) a+bi = c+di  a = c và b = d 2) môđun số phứcz  a bi  a2b2

3) số phức liên hợp của z = a+bi là z = a  bi

* z+z = 2a; z.z= z2 a2 b2

4) (a+bi ) +( c+di) = (a+c)+(b+d)i

5) (a+bi ) ( c+di) = (ac)+(bd)i

6) ) (a+bi )( c+di) = (ac  bd)+(ad+bc)i

Bài toán 2:Căn bậc 2 của số phức:

Định nghĩa căn bậc 2: z là căn bậc 2 của w <=> z2=w

Chú ý:

 căn bậc 2 của w=a (a là số thực dương) là z= a

 căn bậc 2 của w=a (a là số thực âm) là z= i a

 căn bậc 2 của w=0 (a là số thực dương) là z=0

 căn bậc 2 của số phức w=a+bi

o Giải hệ tìm x;y Kết luận

Bài toán 3: Giải phương trình bậc 2.

Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 với  = b2  4ac

Nếu  = 0 thì phương trình có nghiệp kép x1 x2 b

s

b r a co

3 Thay r và  vào công thức z = r(cos+isin)

Cách 2: Biến đổi: z=a+bi = r(a i b

r  r)=r co( si.sin )

CỦNG CỐ :Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng (Không có ở ban cơ bản )

Cho số phức z=ax+b; a,b R.được biểu diễn bởi một điểm M(a;b) trong mặt phẳng phức

Acgumen của số phức z: số đo (radian) của mỗi góc lượng giác có tia đầu Ox, tia cuối OM gọi là một

acgumen của số phức z

 Nếu  là một acgumen của z, thì mọi acgumen của z có dạng +k2, kZ

y

M(z) 

O x

 Kí hiệu r là môdun của z thì r = |z| = a2+b2, r > 0.

a=rcos , b=rsin

Từ đó suy ra dạng lượng giác của số phức z = r(cos+isin)

 Dạng lượng giác của số đối của số phức z là -z = - r(cos+isin)

hay –z = r[cos(+)+íin(+)]

 Số phức liên hợp z của số phức z có dạng lượng giác là :

z =a – bi = r(cos - isin)

hay z = r[cos(-) + isin(-)]

*Các phép tính với số phức ở dạng lượng giác:

Kí hiệu z1=r1(cos1+isin1) ; z2=r2(cos2+isin2) thì:

 r(cos i.sin)n r n(cosn i.sinn)







 (cosi.sin)n (cosni.sinn)

Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:

Số phức z = r(cos+isin) có hai căn bậc hai là ( )

Phần 1: Thể tích, diện tích của các khối hình

 Tính diện tích các mặt (là tam giác,tứ giác,hình tròn, )

o Xác định tâm và bán kính mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp

 Dựng trục d của đa giác đáy

 Trong mp chứa cạnh bên và trục d,ta dựng đường trung trực d’ (hoặc mp trung trực) của cạnh bên

 Khi đó:gọi I  d d' Suy ra I là tâm mc(S) ngoại tiếp hình chóp

O x

o Các dạng toán:song song,vuông góc ở lớp 11(đặc biệt là các bài toán giao tuyến và thiết diện)

o Không dùng trực tiếp công thức tỉ số thể tích mà phải chứng minh(Lập tỉ số thể tích thông qua việc tính diện tích của hai tam giác đồng dạng)

1 k

y k.y y

1 k

z k.z z

2

y y y

2

z z z

1

y (y y y ) 3

1

z (z z z ) 3

 Đk đồng phẳng của 3 véctơ : a ,b ,c đồng phẳng  [a ,b ].c = 0

 ĐK để 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng ( tạo thành tứ diện ) là: ba véc tơ AB ,AC ,AD không đồng phẳng <=> [AB ,AC ].AD  0

 ĐK để 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng ( khơng tạo thành tứ diện ) là:A mp BCD ( )

 Diện tích tam giác ABC : SABC = 1 2 2 2

AB AC (AB.AC) 2

Bài tốn 1: xác định tâm và bán kính mặt cầu

Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) ; bk R là : (x a)2 + (y  b)2+ (zc )2 = R2

Phương trình tổng quát của mặt cầu ( S):

x2 + y2+ z2+ 2.Ax+ 2.By + 2.Cz + D = 0 với A2 + B2 + C2D > 0

có tâm I(A ;B;C) ; bán kính R = A2B2C2 D

Bài tốn 2: Viết phương trình mặt cầu

 Pt.mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) và đi qua M1(x1;y1;z1)

+ Bán kính R = IM1 = (x a)2 (y b)2 (z c)2

1   1   1 

 Pt.mặt cầu (S) đường kính AB :

+ Tâm I là trung điểm AB => I(xA xB

2



;yA yB2



;zA zB2

) + Bán kính R = IA

 Pt mặt cầu (S) qua bốn điểm A,B,C,D:

p/ pháp : Pt tổng quát mặt cầu (S)

x2 + y2+ z2+ 2.Ax+ 2.By + 2Cz + D = 0 (1)

Thay lần lượt toạ độ 4 điểm vào (1) => giải hệ tìm hệ số A;B;C;D

 Pt.mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) và tiếp xúc mặt phẳng () bán kính R = d(I; ())

Bài tốn 3: Xác định vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng

Cho (d) : x - xo y - yo z - zo

a  b  c ; mc(S): (x a)2 + (yb)2 +(zc)2 = R2

Tính d(I; (d)) = ?

Nếu: d(I; d ) > R <=> (d) và (S) không có điểm chung ( rời nhau)

 d(I;  ) = R <=> (d) tiếp xúc với (S) ( d là tiếp tuyến) (d)  (S) =M0 ;

 d(I;  ) < R <=> (d) cắt mặt cầu (S) tại 2 điểm phân biệt A và B

(Chú ý:AB sẽ vuơng gĩc với đt qua tâm I tại trung điểm của nĩ)

Bài tốn 4: Xác định vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

Cho () : A x + B y + Cz +D = 0 ; (S): (x a)2 + (yb)2 +(zc)2 = R2

Tính d(I; ()) = ?

Nếu: d(I;  ) > R <=> () và (S) không có điểm chung ( rời nhau)

 d(I;  ) = R <=> () tiếp xúc với (S) (  là mp tiếp diện) ()  (S) =M0 ;

Cách viết mặt phẳng tiếp diện : () qua M0 nhận IM0 làm VTPT

 d(I;  ) < R <=>  cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C) cĩ tâm H; bán kính r

* P.t đ.tròn(C ) A x + B y + Cz +D = 0

(x a)2 + (yb)2 + (zc)2= R2+ Tâm H là hình chiếu của I lên mp ()

+ bán kính r = R2[d(I ; )] 2

Cách xác định Hình chiếu H của tâm I lên mp() :

+ Lập pt đ.thẳng (d) qua I nhận 

+ Giải hệ tìm t=>x;y;z Suy ra toạ độ điểm H

Bài tốn 4: Cách viết mặt phẳng tiếp diện tại điểm M0:

+) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu (S)

+) Tính IM0

+) Mặt phẳng tiếp diện () qua M0 nhận IM0 làm VTPT

Bài tốn 5: Xác định tâm H và bán kính r của đường trịn là giao tuyến của mặt cầu

(S) và mặt phẳng() (Thường hay gọi là đường trịn trong khơng gian)

+ bán kính r = R2[d(I ; )] 2

+Cách xác định tâm H:

Lập pt đ thẳng (d) qua I nhận 



n làmVTCP Giải hệ: (d)

Bài tốn 1: Cáchviết phương trình mặt phẳng:

Cách 1:Viết dưới dạng cơ bản:

Biết (P) qua M o (x o ;y o ;z o ) và cĩ VTPT là nA B C, ,  sẽ cĩ PTTQ là A(x-x o )+B(y-y o )+C(z-z o )=0

CHÚ Ý:

* (ABC): +) tính AB ? ; AC ?                              

+) VTPT của (ABC) là n [AB,AC]

 

=> viết mặt phẳng đi qua A cĩ VTPT n

* mp(a,b) : nếu a//b thì VTPT n [u ,AB]       a

* () //() thì VTPT n n

 

* () a thì VTPT n u a

 

* () cĩ hai vectơ chỉ phương a,b  thì n [a,b]

* Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB

+) Xác định trung điểm M của đoạn thẳng AB

+) Tính vectơ AB

Mặt phẳng trung trực đi qua M cĩ VTPT AB

* () song song đường thẳng và vuơng gĩc với một mặt phẳng thì n [n ,u ] a

  

Cách 2:Viết dưới dạng chùm mặt phẳng:

Cho (P):Ax+By+Cz+D=0 và (Q):A’x+B’y+C’z+D’=0 cắt nhau

 Mọi mp (R) thuộc chùm (P) và (Q) đều có dạng: m(Ax+By+Cz+D)+n(A’x+B’y+C’z+D’)=0 với m2n2 0

 Tìm hệ thức am+bn=0

 Chọn m;n sau đó kết luận cho PT (R)

Cách 3:Viết dưới dạng tổng quát:

 Định dạng mp cần tìm là (P): Ax+By+Cz+D=0 với A2B2C2 0

 Vận dụng giả thuyết tìm A;B;C;D

 Kết luận

Bài toán 2 viết phương trình đường thẳng.(PTTS và PTCT)

Biết (d) qua Mo(xo;yo;zo) và có VTCP là ua b c, ,  sẽ có PTTS là

o o o

x = x

y

* đi qua điểm A và có VTCP u

*  đi qua 2 điểm A và B =>  đi qua A có VTCP AB

* đi qua A và // (D) =>  qua A có VTCP uD

* đi qua A và () thì  qua A có VTCP là n  

*  là giao tuyến của hai mặt phẳng () và () thì

+) VCTP của  là u [n ,n ]  

  +) Cho một ẩn bằng 0 giải hệ 2 ẩn còn lại tìm điểm M?

=>  đi qua M có VTCP là u [n ,n ]  

 

u [n ,n ]  

 

*  là hình chiếu của đ.thẳng (d) lên mp ()

o Viết phương trình mp(P) chứa (d) và vuông góc mp()

Viết PT  dưới dạng tham số hoặc chính tắc (cho một ẩn x = 0 giải hệ gồm 2 ẩn y và z của 2 PT hai mặt phẳng (P) và ()=> M? =>  đi qua M cĩ VTCPu                                            [n ,n ] P 

)

* Cách viết phương trình đường cao AH của ABC

+) Tìm tọa độ VTPT của mp(ABC) là n [BC,AC]      

= ?

+) Tìm tọa độ VTCP của đường cao AH là: u [BC,n]

  = ? => Viết PT đường cao AH đi qua A cĩ VTCP u [BC,n]

 

* Cách viết phương trình đường trung trực của cạnh BC của ABC

+) Tìm tọa độ VTPT của mp(ABC) là n [BC,AC]

  = ?

+) Tìm tọa độ VTCP của trung trực là: u [BC,n]

  = ?

+) Tìm tọa độ điểm M là trung điểm đoạn thẳng BC

 Đường trung trực cạnh BC của ABC là đường thẳng đi qua M cĩ VTCP u [BC,n]

 

Bài tốn 3: tìm hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng hoặc đ.thẳng

* Tìm hình chiếu H của M lên ()

+) Viết PT đ.thẳng (D) qua M cĩ VTCP là n  

+) giải hệ gồm PTmp( )PT(D)

 +) Hình chiếu H là giao điểm của () và (D) là nghiệm của hệ trên

* Tìm hình chiếu H của M lên đường thẳng (D).

+) Viết PT mặt phẳng (P) qua M cĩ VTPT là uD

+) giải hệ gồm PTmp( )PT(D)

 +) Hình chiếu H là giao điểm của () và (D) là nghiệm của hệ trên

Bài tốn 4: Tìm tọa độ điểm A/ đối xứng với điểm A qua đt hoặc mp

* Đối xứng qua mp()

+) Viết PT đ.thẳng (D) qua M cĩ VTCP là n

+) giải hệ gồm PTmp( )PT(D)

 +) Hình chiếu H là giao điểm của () và (D) là nghiệm của hệ trên

+) Tọa độ điểm đối xứng A/ :

+) Tọa độ điểm đối xứng A/ :

Bài tốn 5: Xác định vị trí tương đối giữa mp và mp, đt và đt, đt và mp.

* Vị trí tương đối giữa mp (P) và mp(Q).

(P) : Ax + By + Cz + D = 0 ; (Q) : A/x + B/y + C/z + D/ = 0

với n =(A;B;C) và n

=(A/; B/ ; C/ )

B  BB/  C/

C  CC/  A/

A

Chú ý :   / <= > n n = 0 <=> AA/ + BB/ + CC/ = 0

  cắt / <=> n và n  không cùng phương

* vị trí tương đối giữa đ.thẳng (d1) và (d2).

Hoặc ta giải hệ d 1  d 2 theo t và t / (cho PTTS của hai đ.thẳng = theo tùng thành phần ) +) hệ cĩ nghiệm duy nhất t và t / thì d 1 cắt d 2 => giao điểm.

+) nếu hệ VN thì d 1 chéo d 2

* Vị trí tương đối giữa đ.thẳng (D) và mặt phẳng (P).Giải hệ PT

+) thay PTTS của đ.thẳng (D) vào PT mp(P) ta được PT theo ẩn t

+) nếu PTVN thì (D)//mp(P)

Nếu PTVSN thì (D)  mp(P)

Nếu PT cĩ nghiệm duy nhất thì (D) cắt mp(P) =>giao điểm?

Hoặc cĩ thể dung cách sau:

Bài tốn 6: Tính khoảng cách.

* từ điểm A(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D = 0

d(A;()) = Ax0 2By02Cz02 D

A B C

 

* (P)//(Q) thì d((P),(Q)) = d(A;(Q)) với mọi điểm A chọn tùy ý trên (P)

* Khoảng cách tử đường thẳng (d) đến mặt phẳng (P) với (d)//mp(P)

+) chọn điểm M bất kỳ trên (d) tính d(M;(d)) = ?

+) d((d), mp(p)) = d(M,(mp(P))

* Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (D) (khơng cĩ cơng thức tính trong chương trình mới phân ban đối với ban cơ bản) nhưng ta cĩ thể tính như sau:

Cách 1

+) lập PT mp(Q) qua A và vuông góc với (D)

+) Tìm giao điểm H của mp(P) và đ.thẳng (D)

+) Khoảng cách cần tìm là đoạn thẳng AH

Cách 2 Áp dụng công thức :

[ ; ]( , ) d

=> nghiệm x,y,z là tọa độ điểm N)

+) Khoảng cách cần tìm là độ dài đoạn thẳng MN

* Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (d) và (d/)

  

Chọn điểm N bất kỳ trên (d/) Tính d(N, mp(P)) =?

 d((d), (d/)) = d(N, mp(P)) Cách 2: Tìm đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó

0 2 / /

a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).

b.Viết PTTT với (C) biết vuông góc với đường thẳng d: x+3y-2=0

c.Dùng đồ thị (C) , xác định k để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt

Câu III ( 1,0 điểm )

Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 6 và đường cao h = 1 Hãy tính diện tích của mặt cầungoại tiếp hình chóp

II PHẦN RIÊNG ( 3 điểm )

Thí sinh học chương trình nào thì làm chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó

1 Theo chương trình chuẩn :

Câu IV.a ( 2,0 điểm ) :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng

a Chứng minh rằng (d) cắt (P) tại A Tìm tọa độ điểm A

b Viết phương trình đường thẳng () đi qua A , nằm trong (P) và vuông góc với (d)

Câu V.a ( 1,0 điểm ) :

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y ln ,x x1,x e

e và trục hoành

2 Theo chương trình nâng cao :

Câu IV.b ( 2,0 điểm ) :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng