Một ứng dụng của khai triển Taylor

Bài viết sử dụng phương pháp khai triển Taylor được đề cập trong chứng minh định lý giới hạn trung tâm của Trotter vào năm 1959 để tìm phân phối giới hạn của tổng hình học. Kỹ thuật chủ yếu là sử dụng khai triển Taylor đến cấp hai và các đánh giá liên quan.

18 Journal of Transportation Science and Technology, Vol 27+28, May 2018 MỘT ỨNG DỤNG CỦA KHAI TRIỂN TAYLOR A APPLICATION OF TAYLOR SERIES EXPANSION Võ Thị Thu Thủy, Trần Ngọc Hậu Khoa bản, Trường Đại học Giao Thông Vận Tải TP Hồ Chí Minh Tóm tắt Bài báo sử dụng phương pháp khai triển Taylor đề cập chứng minh định lý giới hạn trung tâm Trotter vào năm 1959 để tìm phân phối giới hạn tổng hình học Kỹ thuật chủ yếu sử dụng khai triển Taylor đến cấp hai đánh giá liên quan Từ khóa Xấp xỉ laplace, tốn tử Trotter, khai triển Taylor, phân phối Laplace, tổng ngẫu nhiên Chỉ số phân loại: 1.1 Abstract The aim goal of this paper is to study the limit theorem on convergence in distribution for geomtric sums by method Taylor series expansion which was mainly introduced to proof of the Central limit theorem by Trotter H F in 1959 The bacis idea is that of using a second – order Taylor series expansion and techniques of estiamation apply Keyword Laplace approximation, Trotter operator, Taylor series expansion, Laplace distribution, random sum Classificayion number: 1.1 Giới thiệu Định lý giới hạn trung tâm định lý giới hạn đóng vai trị quan trọng ứng dụng thống kê Có nhiều phương pháp chứng minh định lý này, bậc nhiều tác giả biết đến phương pháp sử dụng hàm đặc trưng, trình bày hầu hết tác phẩm viết định lý giới hạn trung tâm Một phương pháp quan trọng kể đến phương pháp Stein, ưu việt phương pháp nằm việc đánh giá tốc độ hội tụ cách sắc bén Một phương pháp khác kể đến phương pháp toán tử Trotter Trotter H F đưa lần vào năm 1959 để chứng minh định lý giới hạn trung tâm cho dãy biến ngẫu nhiên phân phối (xem [8]), phương pháp sử dụng khai triển Taylor đến cấp hai kết hợp với đánh giá bất đẳng thức liên quan Điều thuận lợi để dùng phương pháp Trotter biến ngẫu nhiên tiệm cận cần khả phân vơ hạn hay phân tích (xem [1], [2], [8]) Sau Trotter H F., bậc Butzer đồng nghiệp dùng phương pháp cho việc chứng minh đánh giá tốc độ hội tụ định lý giới hạn trung tâm cho dãy biến ngẫu nhiên không phân phối (xem [1], [2]) Chuyển sang sử dụng phương pháp toán tử Trotter cho định lý giới hạn liên quan đến tổng ngẫu nhiên, phương pháp tỏ hiệu quả, nhiều kết đưa sau T L Hùng (xem [7]) Việc sử dụng phương pháp toán tử Trotter định lý giới hạn liên quan đến tổng ngẫu nhiên đòi hỏi biến giới hạn phải khả phân vô hạn hay phân tích Phân phối Laplace đối xứng nhiều phân phối khả phân hình học (xem[4]) Ta điều phần chứng minh kết Gọi { X j }, j ≥ dãy biến ngẫu nhiên độc lập, tổng hình học xác định Sυq = X + X + + X υq , υq biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối hình học với tham số q ∈ ( 0,1) kí hiệu υq  Geo ( q ) độc lập với tất X j , j ≥ có phân phối xác suất P(υq = k) = q (1 − q ) k −1 , k = 1, 2, Tổng hình học có nhiều ứng dụng thực tế liên quan đến thời gian đợi rời rạc ứng dụng lý thuyết xếp hàng, lý thuyết rủi ro, độ tin cậy, …(xem [3], [6]) Từ ứng dụng đặt vấn đề xác định phân phối xác suất hay tìm xấp xỉ cho phân phối xác suất tổng hình học Rényi TẠP CHÍ KHOA HỌC CƠNG NGHỆ GIAO THƠNG VẬN TẢI SỐ 27+28 – 05/2018 Sυq ( ) E υq +  → Z q → d Với Z biến ngẫu nhiên có phân phối mũ, kì vọng m , tổng hình học Sυq dãy 19 d lim VX n f − VX f = X n  → X , với n →∞ chuẩn xác định VX f = sup VX f ( y ) ; y Giả sử { X n , n ≥ 1} {Yn , n ≥ 1} hai biến ngẫu nhiên không âm, độc lập dãy biến ngẫu nhiên độc lập theo nhóm phân phối với kì vọng m Ta sử dụng ký hiệu Gọi υ biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên dương độc lập với tất biến ngẫu nhiên d → " để sử hội tụ theo phân phối "  X n , Yn n ≥ Khi ta có Năm 2011, Toda A A đưa số điều n kiện để i V n f − V n f ≤ ∑ VX k f − VYk f Xk ∑k 1= ∑ k 1Yk Sυq = k =1 d +  → L q → E υq ii V N f − V N f ≤ Xk ∑k 1= ∑ k 1Yk = Trong đó, tổng hình học Sυq dãy biến ∞ k ≤ ∑ P (υ= k )∑ VX i f − VYi f ngẫu nhiên độc lập không thiết = k =i phân phối, L biến ngẫu nhiên có Nếu { X n , n ≥ 1} {Yn , n ≥ 1} hai dãy phân phối Laplace bất đối xứng (xem chi tiết [6]) Phương pháp Toda sử dụng biến ngẫu nhiên độc lập phân phối phương pháp hàm đặc trưng Bài báo theo nhóm ta có sử dụng phương pháp toán tử Trotter để chứng minh kết giới hạn theo phân phối i V n X k f − V n Yk f ≤ n VX1 f − VY1 f ; ∑k 1= ∑k = Sυq p → 0+ với Sυq tổng ii V N f − V N f ≤ E (υ ) VX1 f − VY1 f E υq Xk ∑k 1= ∑ k 1Yk = hình học biến ngẫu nhiên phân phối Trước vào phần kết chính, ta xác suất cần đề cập đến phân phối Laplace Biến ngẫu Toán tử Trotter nhiên Z gọi có phân phối Laplace Định nghĩa Với f ∈ CB (  ) với hai tham số α , λ , kí hiệu hàm liên tục bị chặn  Toán tử Z  Laplace(α , λ ) có hàm mật độ Trotter liên kết với biến ngẫu nhiên X kí xác suất hiệu VX , λ − λ x −α = f Z ( x) e , − ∞ < x < +∞ VX : C B (  ) → C B (  ) Với Z  Laplace(α , λ ) , Z có kỳ vọng, f f ( y ) E { f ( x + y )}  VX= phương sai tương ứng E ( Z ) = α , +∞ = ∫ f ( x + y )dFX ( x ) −∞ Var( Z ) = hàm đặc trưng ϕ Z xác λ Toán tử Trotter Trotter H F xây dựng năm 1959 (xem [5]) Một số định tính chất quan trọng sau trình bày λ2 ϕ Z (t ) = 2 eα it chi tiết [1], [2], [5] λ +t Nếu X X hai biến ngẫu nhiên Kết thảo luận phân phối VX1 f ≡ VX f ; Trong phần trình bày kết ta sử 2 Gọi { X n , n ≥ 1} dãy biến ngẫu dụng kí hiệu CB () lớp hàm thực có đạo nhiên, với f ∈ C (  ) hàm cấp hai liên tục bị chặn Kí hiệu ( ) ( ) B 20 Journal of Transportation Science and Technology, Vol 27+28, May 2018 ( x) P( X < x) hàm phân phối xác suất F= vi phân tương ứng dF ( x) Định lý Giả sử { X j } j≥1 dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân phối xác suất với biến ngẫu nhiên X có kỳ vọng E ( X ) = , phương sai D( X= ) σ < +∞ Gọi υ p biến ngẫu nhiên có phân phối hình học với tham số q ∈ (0,1) độc lập với tất X j , j ≥ Khi Sυq E (υq ) Trong + λ2 q t + λ2 t ϕ Sυ (t ) φ= ϕ =  ( ) Z υ q q λ2 − (1 − q ) t + λ2 qλ = t − qλ λ2 Trong đó, ϕ Z1 (t ) = hàm đặc t + λ2 biến ngẫu nhiên Z1 Từ dẫn đến hàm đặc trưng  2 Z  Laplace  0,   σ  đó, ( λ2 t2 − λ2 ) ϕ qS (t ) ϕ= qt = Sυ υq υq q Điều Sυq = ∑ X j chứng tỏ υq q ∑ Z j  Laplace ( 0, λ ) j =1 j =1 Trước vào phần chứng minh định lý ta xét bổ đề sau, kết tổng quát bổ đề đề cập [4] { } j≥1 dãy biến ngẫu Chứng minh định lý Từ bổ đề cho ta phép phân tích biến ngẫu nhiên Z dạng tổng hình học biến độc lập phân phối Bổ đề Giả sử Z j nhiên độc lập, phân phối Laplace Laplace ( 0, λ ) , υ p biến ngẫu nhiên có phân phối hình học với tham số q ∈ (0,1) độc lập với tất Z j , j ≥ Khi đó, υq υq d j =1 Chứng minh Gọi φυq hàm sinh xác j =1 d Ta sử dụng kí hiệu “ = ” cho theo phối, Z j X j độc lập nên ta { } j≥1 qs (s ) , s< φ= υq ( s ) E= − (1 − q ) s 1− q Theo Feller W (xem [5]) hàm đặc υq trưng tổng hình học Sυq = ∑ Z j j =1 { } j≥1 có V qSυq f −V υq q∑Zj f ≤ j =1 suất biến ngẫu nhiên hình học υq υq  2 Z j  Laplace  0,   σ  Z = q∑Z j, q ∑ Z j  Laplace ( 0, λ ) xác định qSυq  → Z q → d ( ) ≤ E υq V = q −1 V q X1 q X1 f −V f −V qZ1 qZ1 f f Trong đó, ta lấy hàm f ∈ CB2 () Từ định nghĩa toán tử Trotter ta có ( = V q X f ( y) E f ( q X1 + y) = +∞ ∫−∞ ) f ( qx + y )dFX1 ( x) Áp dụng khai triển Taylor dạng TẠP CHÍ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ GIAO THÔNG VẬN TẢI SỐ 27+28 – 05/2018 f ( ) qx + y = f ( y ) + f ′( y ) qx + V f ′′( y ) [ f ′′(η ) − f ′′( y ) ] qx + qx 2 + −∫ = f ( y ) + q f ′( y ) ∫ +∞ −∞ xdFX1 ( x) +∞ q f ′′( y ) ∫ x dFX1 ( x) + −∞ q +∞ + ∫ x [ f ′′(η ) − f ′′( y ) ] dFX1 ( x) −∞ p =+ f ( y) f ′′( y )σ + q +∞ + ∫ x [ f ′′(η ) − f ′′( y ) ] dFX1 ( x) −∞ Tương tự ta có V qZ f ( y ) = + ( +∞ x [ f ′′(ξ ) − f ′′( y ) ] dFZ1 ( x) q +∞ x f ′′(η ) − f ′′( y ) dFX1 ( x) ∫−∞ q +∞ + ∫ x f ′′(ξ ) − f ′′( y ) dFZ1 ( x) −∞ q ≤ x f ′′(η ) − f ′′( y ) dFX1 ( x) + ∫ δ = Ef  ≤ Từ ta có V q X f ( y) = f ( y) ∫−∞ x [ f ′′(η ) − f ′′( y)] dFX ( x) − −∞ η−y < q x qZ1 +∞ q = qx + y hay Với η nằm y f ( y) − V q X1 21 x≤ + + + q Trong đó, ξ thỏa ξ − y < q x Do f sử dụng tính liên tục bị chặn f ′′ ta có ∈ CB2 () , ∀ε > 0, ∃δ > cho ∀x, y ∈  x − y < δ f ′′( x) − f ′′( y ) < ε Từ dẫn đến đánh giá sau q x> x≤ q x f ′′(ξ ) − f ′′( y ) dFZ1 ( x) + q ∫δ x> q ∫δ x> x f ′′(η ) − f ′′( y ) dFX1 ( x) + ∫δ q ≤ qε σ + + ∫δ q ) qZ1 + y   q f ( y) f ′′( y ).σ + =+ q +∞ + ∫ x [ f ′′(ξ ) − f ′′( y ) ] dFZ1 ( x) −∞ q x f ′′(ξ ) − f ′′( y ) dFZ1 ( x) q ∫δ x> x f ′′(η ) − f ′′( y ) dFX1 ( x) + q x f ′′(ξ ) − f ′′( y ) dFZ1 ( x) q Từ dẫn đến V q X1 f −V qZ1 ≤ ε σ + f ′′ f ∫δ x> + f ′′ ∫δ x> x dFX1 ( x) + q x dFZ1 ( x) q Do biến ngẫu nhiên X Z1 có kỳ vọng hữu hạn nên q → 0+ 22 Journal of Transportation Science and Technology, Vol 27+28, May 2018 ∫δ ε σ + f ′′ x> + f ′′ ∫δ x> x dFX1 ( x) + q x dFZ1 ( x) → εσ q Điều với ε dương, bé tùy ý nên dẫn tới V q X1 f −V qZ1 f → q → 0+ Định lý chứng minh Việc sử dụng phương pháp toán tử Trotter chứng minh cho thấy việc áp dụng phương pháp phù hợp giải nhiều toán tương tự Vấn đề đánh giá tốc độ hội tụ định lý giới hạn đưa định lý vào không gian nhiều chiều góp phần giải vấn đề lý thuyết mà toán thực tế đặt ra Tài liệu tham khảo [1] Butzer P L, Hahn L., and Westphal U., On the rate of approximation in the central limit theorem, J Approx Theory 13 (1975) 327–340 [2] Butzer, P L., Hahn, L., General theorems on rates of convergence in distribution of random variables I General limit theorems, Journal of multivariate analysis, 8, (1978) 181-201 [3] Kalashnikov V., Geometric Sums: Bounds for Rare Events with Applications, Kuwer Academic Publishers, 1997 [4] Kozubowski T J and Rachev S T., Univariate Geometric Stable Laws, Journal of Computational Analysis and Applications, Vol 1, No 2, 1999 [5] W Feller, Introduction to Theory Probability and Its Applications, 1967, Vol [6] Toda, A A., Weak limit of the geometric sum of independent but not identically distributed random variables, arXiv:1111.1786v2 2011 [7] Tran Loc Hung, The Trotter’s operator method in the law of large numbers with random index, Vietnam J Math (1988) 4–9 [8] Trotter H.F., An elementary proof of the central limit theorem, No.10, Arch Math Basel, 1959, pp 226-234 Ngày nhận bài: 1/3/2018 Ngày chuyển phản biện: 5/3/2018 Ngày hoàn thành sửa bài: 27/3/2018 Ngày chấp nhận đăng: 3/4/2018 ... bất đối xứng (xem chi tiết [6]) Phương pháp Toda sử dụng biến ngẫu nhiên độc lập phân phối phương pháp hàm đặc trưng Bài báo theo nhóm ta có sử dụng phương pháp tốn tử Trotter để chứng minh kết... toán tử Trotter ta có ( = V q X f ( y) E f ( q X1 + y) = +∞ ∫−∞ ) f ( qx + y )dFX1 ( x) Áp dụng khai triển Taylor dạng TẠP CHÍ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ GIAO THÔNG VẬN TẢI SỐ 27+28 – 05/2018 f ( ) qx +... tùy ý nên dẫn tới V q X1 f −V qZ1 f → q → 0+ Định lý chứng minh Việc sử dụng phương pháp toán tử Trotter chứng minh cho thấy việc áp dụng phương pháp phù hợp giải nhiều toán tương tự Vấn đề