Về vấn đề xây dựng nghiệm cơ sở cho một lớp các bài toán vỏ mỏng chịu uốn

Bằng cách biểu diễn nghiệm tổng quát của bài toán biên thuộc lý thuyết uốn vỏ mỏng dưới dạng các ma trận Green, các tác giả đã kiến nghị một phương pháp giải tích để giải hệ các phương trình vi phân của bài toán. Các tác giả đã đặt và giải bài toán đặt ra được dựa trên ý tưởng của phương pháp tải trọng bù.

TẠP CHÍ KHOA HỌC CƠNG NGHỆ GIAO THƠNG VẬN TẢI, SỐ 29-08/2018 97 VỀ VẤN ĐỀ XÂY DỰNG NGHIỆM CƠ SỞ CHO MỘT LỚP CÁC BÀI TOÁN VỎ MỎNG CHỊU UỐN ON THE FUNDAMENTAL SOLUTION OF SOME CLASS OF THIN SHALLOW SHELL BENDING PROBLEMS Trần Đức Chính 1, Ngơ Văn Tình2 Đại học xây dựng Hà Nội td_chinh07@hcmutrans.edu.vn Đại học Giao thơng vận tải Tp Hồ chí Minh ngovantinhgtvt@gmail.com Tóm tắt: Bằng cách biểu diễn nghiệm tổng quát toán biên thuộc lý thuyết uốn vỏ mỏng dạng ma trận Green, tác giả kiến nghị phương pháp giải tích để giải hệ phương trình vi phân tốn Các tác giả đặt giải toán đặt dựa ý tưởng phương pháp tải trọng bù Nghiệm sở xem tổng hai nghiệm: Nghiệm riêng tốn có vế phải nghiệm tốn khơng có vế phải Để xây dựng nghệm riêng tác giả sử dụng toán tử Dirac Để nghiệm tổng quát thõa mãn điều kiện biên, nghiệm sở xây dựng dựa toán hai điểm: Điểm miền điểm nguồn (điểm nhận ảnh hưởng tải điểm chất tải) Nghiệm tổng quát tải nguồn biểu diễn chuỗi Fourrier, có hệ số chưa biết xác định cách cho thỏa mãn hệ điều kiện biên vỏ Kết đưa đến hệ phương trình tích phân Fredholm mà giải gần phương pháp tải trọng bù, cách đưa chúng hệ phương trình đại số với ẩn số tải trọng bù Các kết dùng để tính tốn vỏ trụ kín vỏ có gờ cứng Từ khóa: Lý thuyết tuyến tính vỏ, vỏ hình cầu, vỏ hình trụ, vỏ hình dạng tùy ý, lý thuyết uốn vỏ mỏng, phân tích vỏ mỏng, tải trọng bù Chỉ số phân loại: 2.5 Abstract: By expressing the general solution of the boundary problem of shell bending theory in the form of Green matrix, the authors proposed an analytical method to solve the differential equations of the problem The authors have set and solved the problem with idea of compensating loading method General solution is considered as the sum of the two solutions The solution of problem with right-hand side, the hemogeneous solution of problem that hasn’t right - hand side To obtain the solution of the first problem, the authors has used the Dirac operator For the general solution to satisfy the boundary condition, the solution was built based on two point problem: Domain point and source point The general solution and source loads are reprenented by the Fourrier series The unknown coefficients are determined by satisfying the boundary conditions general solution of the problem As the result we obtained Fredhold integral equations that can be approximated by the compensating loading method, that introduced them to the algebraic equations system The results can be used for solving the bending problem of circular cylindrical shell Keywords: Linear theory of shell, spherical shell, cylindrical shell, shell of arbitrayry shape, shell bending theory, analytical method for thin shell, compensating loading method Classification number: 2.5 Giới thiệu Trong báo này, với toán đặc thù uốn vỏ miền lân cận điểm chịu lực tập trung, moment tập trung,…,ứng xử vỏ mô tả hàm u,…, T ,…H biểu diễn độ võng, ứng suất moment xem xét Nhóm tác giả thiết lập công thức tổng quát cho tốn vỏ chịu uốn có hình dạng tùy ý, đồng thời thiết lập phương trình moment kết cấu vỏ mỏng theo lý thuyết tuyến tính Các kết thu dạng tổng quát toán giải trước trường hợp vỏ mỏng có chức đặc biệt Ví dụ, vỏ hình cầu chịu tải tập trung moment Gol’denveizer xem xét [1] Vỏ hình trụ xem xét Darevskii [2] Chernykh [3] nghiên cứu toán uốn vỏ có hình dạng không giải vấn đề đến kết cuối 98 Journal of Transportation Science and Technology, Vol 29, Aug 2018 Để giải toán vỏ chịu uốn, tác giả sử dụng phương trình vi phân đạo hàm riêng dạng elliptic, tương tự Gel’fond Shilov [4], Levi [5], Ion [6], Lopatinkii [7] Xây dựng nghiệm sở cho toán vỏ mỏng chịu uốn Ta xét dạng tường minh kỳ dị xuất hàm chuyển vị u, v, w chứa phương trình vi phân cân vỏ vỏ chịu tác dụng moment tập trung Ta xây dựng nghiệm sở phương trình vi phân L(ϕ)=0 L(ϕ)=δ(ξξ ), L toán tử vi phân: ξ = {ξ , …, ξ n }, ξ = {ξ 10 , …, ξ n0 } vector ẩn số không gian n chiều, δ hàm Dirac Chú ý rằng, xét phương diện học độ lớn lực tập trung xem giới hạn cường độ tải phân bố hoạt động phân tố lân cận điểm khảo sát xem lời giải phương trình vi phân chứa kỳ dị theo quan điểm toán học Đầu tiên, ta sử dụng cách tiếp cận học điều kiện định, sau sử dụng lý thuyết hàm tổng quát Bài toán lực tập trung đặt điểm ξ = 0, đưa tốn tìm giới hạn chuỗi tải phân bố cường độ q v đáp ứng điều kiện sau: Với M >0 cho a ≤ M , b ≤ M a, b v tải phân bố với cường độ q v , ứng xử hàm cho hình Hình Các nhánh hàm q v bên phải bên trái điểm ξ=0, có dạng hàm Delta δ Ta giả thiết v→∞ tải trọng có cường độ khơng thay đổi liên tục tới điểm ξ=0, có trị số gốc tọa độ Kết ta thu phương trình: b d ξ ( a.〈.0.〈.b ) (1) lim ∫ ξ qv (ξ )= v →∞ Và kèm theo điều kiện: b d ξ (a.〈.0.〈.b) (2) lim ∫ qv (ξ )= v →∞ a Với a b khác 0, ta có b 0 .(a.〈.b.〈.0, 0.〈.a.〈.b) lim ∫ qv (ξ ) d ξ =  v →∞ 1 (a.〈.0.〈.b) a Hàm q v có tính chất gọi hàm số Dirac δ lý thuyết hàm tổng quát [4] Do đó, định nghĩa áp dụng cho tốn vỏ chịu lực tập trung mơ tả hàm Dirac δ Chuỗi hàm q v gọi chuỗi kiểu δ Ta tìm hiểu khái niệm moment tập trung Moment tập trung giới hạn v→∞ b b a a lim ∫ d ξ ∫ qv (η ) dη = −1 .(3) v →∞ Trên sở (2) (3) ta có lim qv = −δ '(0) b v a Sử dụng phương pháp tích phân phần, từ (1) ta nhận số phụ thuộc M, ta xác định ∫ q (ξ ) d ξ a v →∞ Ở δ’ biểu thị đạo hàm hàm δ, theo [4] định nghĩa sau: Giả sử φ(ξ) hàm thuộc lớp thứ k (k≥2) hàm tường minh Ngoài ra, ta giả sử rằng: d −ϕ ' (ξ ) ( c.〈.ξ 〈.d ) ∫ f (ξ )ϕ (ξ ) d (ξ ) = 0 c Trong f(ξ) = δ’(ξ-ξ ) Để thấy là: b ∫ q (ξ )ϕ (ξ ) d (ξ ) = v −ϕ ' (ξ ) ( ) a Vậy, tích phân phần (4) cho ta: TẠP CHÍ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ GIAO THÔNG VẬN TẢI, SỐ 29-08/2018 b lim ∫ qv (ξ )ϕ (ξ ) d (ξ ) = lim ϕ ∫ qv (ξ ) d (ξ ) a v →∞ b v →∞ a b ξ a a − lim ∫ ϕ ' (ξ )d (ξ ) ∫ qv (η ) dη v →∞ Biểu thức thứ vế phải theo (2), biểu thức thứ hai với φ’(0) theo (3), với a b tùy ý Để giải toán uốn vỏ, ta sử dụng hệ tọa độ trực giao (α, β) Với giả thiết lực tập trung đơn vị moment tập trung đơn vị phân bố dọc theo đường tọa độ α β, chúng mơ tả nhờ tốn tử sau: δ ∂δ ∂δ , , − AB AB ∂β AB ∂α Trong A B hệ số dạng toàn phương thứ nhất, phương trình mặt vỏ Ở đây, giả định mặt trung gian vỏ xét hệ tọa độ trực giao liên hợp Các phương trình vi phân 99 cân chuyển vị vỏ biểu diễn dạng sau: 1-σ ∆11u + ∆12 v + ∆13 w = - X 2Eh 1-σ Y (5) ∆ 21u + ∆ 22 v + ∆ 23 w = 2Eh 1-σ Z ∆ 31u + ∆ 32 v + ∆ 33 w = 2Eh ∆ ik = ∆ ik0 + ∆ ik' Trong đó: u, v w: Các hàm chuyển vị; X, Y Z: Các tải trọng; ∆ ik0 : Các tốn tử có chứa đạo hàm bậc cao; ∆ ik' : Các toán tử liên quan đến điều kiện lại Biểu diễn tốn tử ∆ ik phương trình cân cho [9] Dạng ma trận toán tử ∆ ik0 sau: h2  1−σ  p1  Dαα Dββ  q1 Dαβ Dα ∆ + 3R1   h2  1−σ  Dαα  Dβ ∆ .(6) + q2 Dαβ p2  Dββ 3R2    h2  h2  h2 1−σ 1−σ  pDαββ pDααβ  Dα ∆ +   Dβ ∆ −  ∆  R2 3  R1   Trong đó: pi = + 1+ σ h2 − σ h2 h2 , (i=1, 2) = + − q i 3R1 R2 3Ri2 3Ri2 ∂2 ∂2 1 h2 , , ∆ + = p − = p = + A2 ∂α B ∂β R1 R2 3R1 R2 Ngoài ra: Dα = ∂ ∂2 ∂ , Dαα , Dβ = , = 2 A ∂α A ∂α B ∂β R R bán kính cong; 2h bề dày vỏ Giả sử A B ≠ ∞ Ta biểu diễn l ik toán tử đại số tương đương ∆ ik0 ma trận ∆ ik0 ta có dạng sau ma trận lik 100 Journal of Transportation Science and Technology, Vol 29, Aug 2018  1−σ h  1−σ h2 + σ 2 h2  2  Dαα + Dββ Dαβ ∆ , Dα  − Dαα + r13 Dββ ∆   ∆ , − 3 3   R1  2  1−σ h 1+ σ 2 h  1−σ h  2  Dαβ ∆ ,  Dββ + Dαα Dββ + r23 Dαα − ∆  ∆ , Dβ  − 3   R2   1−σ  1−σ h2 h2 1−σ 2   Dα  − Dαα + r31 Dββ Dβ  − Dββ + r32 Dαα , ∆ ∆  ∆,  3  R2   R1  Trong đó: 1+ σ 1+ σ 1 −σ −σ , r31 = − , r32 = − − − r13 = , r23 = R2 R1 R1 R2 R2 R1 R1 R2 Hệ phương trình cân hệ phương trình vi phân dạng elliptic tốn tử elliptic Λ có dạng: Λ = ∆ ik0 = 1−σ h 4 p2 Dαααα + p3 Dααββ + p1 Dββββ ∆2 ( ) Ở đây, ta bỏ qua vô bé bậc cao h / 3Ri Rk (i, k = 1, 2) chúng nhỏ Sau ta đặt: = Λ − σ h2 ∆ .(7) Ta giới hạn toán vỏ chịu lực tập trung có phương song song với trục tọa độ Ở vế phải phương trình (5), ta thay X= δ / AB, Y= Z= ta thu nghiệm hệ phương trình: 1−σ δ Eh AB ∆ 21u + ∆ 22 v + ∆ 23 w = ∆11u + ∆12 v + ∆13 w = − ∆ 31u + ∆ 32 v + ∆ 33 w = Sử dụng lời giải Levi [5], ta biểu diễn hàm chuyển vị u, v, w dạng sau: Eh ABΛΦ = δ (α , β ) 1−σ Levi đề xuất phương pháp tổng quát để tìm Φ Đối với trường hợp Λ có dạng (7) phần nghiệm sở ψ , phần có chứa số mũ cao nhất, ta có: − ψ= − r ln r 36 × 64 × 2π h3 (1 + σ ) r = A (α − α ) + B ( β − β ) 2 Đặt φ= ψ − Ψ Trong đó, Ψ chứa kỳ dị bậc thấp Ψ tồn biểu diễn khác nhau, dạng khác nhau, chẳng hạn như: χ χ 2 r ln r + Ψ , ∆ 2ψ = − r ln r + Ψ × 64π 32π χ 2 χ 2 Dαα r ln r − A (α − α ) ln r + Ψ ∆ψ = − 64π 32π χ Dαα ∆ 2ψ = − ln r + Ψ , χ = 8π h (1 + σ ) ∆ψ = − Các biểu diễn ∆ψ ∆ 2ψ tọa độ cong β thiết lập cách tương tự Để xác định hàm ẩn f i ta xây dựng hệ u= l11Φ (α , β , α , β ) phương trình tích phân Fredholm loại hai + ∫∫ l11Φ (α , β , ξ ,η ) f1 (ξ ,η , α , β ) d ξ dη cách thay (8) vào phương trình thứ G Tuy nhiên, khơng phải vấn đề ta v= l12 Φ (α , β , α , β ) quan tâm mục tiêu nhóm tác giả tìm + ∫∫ l12 Φ (α , β , ξ ,η ) f (ξ ,η , α , β ) d ξ dη (8) kỳ dị chứa vế phải (8) G Trong trường hợp hệ phương trình ban đầu w= l13Φ (α , β , α , β ) chứa hệ số cần xác định biểu thức + ∫∫ l13Φ (α , β , ξ ,η ) f (ξ ,η , α , β ) d ξ dη = u l11= φ , v l12φ , w=l13φ cho ta nghiệm G tốn Trong f i hàm chưa biết, Việc tìm nghiệm hệ phương trình có Φ (α , β , α , β ) nghiệm sở phương hệ số biến thiên tiến hành tương trình tự điểm lân cận với điểm đặt lực tập trung Bers [8] xác định kỳ dị chứa TẠP CHÍ KHOA HỌC CƠNG NGHỆ GIAO THÔNG VẬN TẢI, SỐ 29-08/2018 nghiệm hệ phương trình vi phân có hệ số biến thiên miền lân cận lực tập trung, kể kỳ dị có nghiệm sở phương trình vi phân hệ số kỳ dị bậc thấp chứa hệ số Các trường hợp lại (cho lực tập trung Y Z) tiến hành tương tự Kết tính toán cho bảng Ta xét toán vỏ chịu tác dụng moment tập trung, xem tải trọng giới hạn tải phân bố đều, ta có hệ phương trình sau: xác định nhờ u= − Dβ u z , , H1 = − Dα H1z 101 hệ liên Xét phương trình cho vỏ mỏng có độ cong Gausian (tương ứng với trường hợp phương trình vi phân có dạng elliptic) Ta có nhận xét ma trận tốn tử hệ ∆ ik bao gồm ma trận ma trận phụ, với ∆ ik = ∆ ik0 + ∆ ik' Trong phương trình vi phân cân theo chuyển vị [9] ta viết dạng ma trận D2 + 1−σ D 1+ σ D −  + σ    α αα ββ αβ 2  R1 R2  Dβ δ ) ∆11u + ∆12 v + ∆13 w=0 (M1 = AB σ 1+ σ 1−σ  ∆ ik0 Dαβ Dαα + Dββ −  +  Dβ 1= 2 R R   Dα δ ) (9) ∆ 21u + ∆ 22 v + ∆ 23 w=0 (M = − AB  σ  σ  −  +  Dα −  +  Dβ 2r11 1-σ  R1 R2   R1 R2  M i (i =1, 2) ∆ 31u + ∆ 32 v + ∆ 33 w= 2Eh Trong M moment đặt đường tọa độ α, M moment đặt đường tọa độ β Hệ phương trình (9) giải phương pháp tương tự Bây ta tìm nghiệm phương trình D Trong ma trận đại số l ik ma trận đối xứng trường hợp định, nghĩa l ik 1, k=1, phần tử có = l ki ; dạng:   1+ σ 1−σ 2 l11 = p Dαβ − (1 − σ )  r11Dαα2 + Dββ2  , .l12 = R    σ   1−σ l13 Dα  +  Dαα = + r13 Dββ  R R 2    1−σ Mi Eh  1+ σ  Theo lý thuyết hàm tổng quát, ϕ l22 = (1 − σ )  Dαα2 + r11Dββ2  R   δ , nghiệm sở phương trình Λφ =   σ   1−σ 1−σ 2 ∂φ / ∂α nghiệm phương trình +  +  Dββ ∆ l23 = Dβ  r23 Dαα  , .l33 = 2  R2 R1    Λφ =∂δ / ∂α Ở đây, phần 1 2σ  +σ nghiệm vài trường hợp thu +  , r13 = − , r11 =  +  R1 R1 R2 R2  R1 R2 cách, tách phần +σ hàm u z , v z w z ứng với vỏ chịu lực tập = − r23 R2 R1 trung Z, chứa vế phải phương trình thứ Hàm Λ = ∆ik0 có dạng: ba (9) Khi đó, lời giải tốn nhận dễ dàng Chẳng hạn, vỏ chịu (1 − σ ) (1 − σ )  2 2 moment tập trung đặt dọc theo đường tọa= độ Λ  Dαα + Dββ  R1  R2  α, lời giải có dạng ΛΦ1 = = u D= D= Dβ T = Dβ H1z z , , H1 β u z , , w β wz , T1 với T ,…H ứng suất moment vỏ Moment dọc theo đường tọa độ β 102 Journal of Transportation Science and Technology, Vol 29, Aug 2018 Bảng X Y Z χ Dα  m13 − (1) u − χ1 ln r xy χ2 r v xy χ2 r − χ1 ln r (1) 2 2 w χ Dα  m31 − py / r  r ln r Trong đó: ( − σ )(1 + σ ) , χ= χ= 16π Eh  + σ − 3σ m13(1) = −  R1  R2 (1 + σ ) 8π Eh χ Dβ  m23(1) + + (1 + σ ) px / r  r ln r − χ Dβ  m32 (1) + px / r  r ln r 2 , χ= ( (1 + σ ) , χ= 64π Eh   + σ − 3σ (1) −  , m23 =  R2  R1  x= A (α − α ) , y = B ( β − β ) , = r − (1 + σ ) py / r  r ln r 1−σ 32π Eh ) , =p − χ r ln r 1 − , R1 R2  − 2σ − 2σ (1) , m32 (1) = − −  , m31 = R2 R1 R1 R2  A (α − α ) + B ( β − β ) Bảng X Y T1 Dα ( + σ ) ln r + 8π y2  +2(1 + σ )  r  Dβ (1 − σ ) ln r − 8π y2  −2(1 + σ )  r  − T2 Dα (1 − σ ) ln r − 8π x2  −2(1 + σ )  r  Dβ ( + σ ) ln r + 8π x2  +2(1 + σ )  r   x2 y  − (1 + σ ) p     r   m23(2) ln r + 2t + 4π   x2 y  − (1 + σ ) p     r  − S1 Dβ (1 − σ ) ln r + 4π y2  +2(1 + σ )  r  Dα (1 − σ ) ln r + 4π x2  +2(1 + σ )  r  Dαβ  m33(2) + 2t + 8π + (1 + σ ) t  r ln r h2 (2) Dααβ  m42 + 24π +2t ] r ln r (1 + σ ) ln r + 4π  x2  +2(1 − σ )  r  − − G1 h2 (2) Dαββ  m41 + 24π +2t ] r ln r G2 h2 (2) Dαββ  m51 − 24π −2t ] r ln r − H1 h2 + σ x2 ( 2) Dβ  m61 ln r − R2 r 6π + p x y y  +  r R1 r  2 Z  m13(2) ln r − 2t − 4π  (1 + σ ) ln r + 2π  h2 (2) Dααβ  m52 − 24π −2t ] r ln r − +2(1 − σ ) 1+ σ y2 h2 ( 2) ln r − Dα  m62 6π R1 r − p x  x y +  r R2 r  2 − σ xy 2π r y2   r2  TẠP CHÍ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ GIAO THÔNG VẬN TẢI, SỐ 29-08/2018 103 Trong đó: x y2  + σ − 3σ t =+ , m13( 2) = −  R2 R1 R2  R1 ( 2) m42 = −   + σ − 3σ ( 2) −  , m23 =  R1  R2  ( 2) ( 2) − , m51 = − , m52 R1 R2 R2 R1   ( ) − 3σ  ( ) + 2σ − 2σ  , m33 =  +  , m41 = + R R R2 R1 2    + 2σ − 2σ (1 + 2σ ) (1 + 2σ ) ( 2) ( 2) = + = − = − , m61 , m62 R1 R2 R1 R2 R2 R1 Bảng X Y ( 3) χ p2 − χ m11 ln r U χ p2 V − W χ −m x1 y1 r12 ) ln r ( 3) − m23 − x1 y1 r12 y12   r12  χ +m ) ln r ( 3) − m23 Trong đó: R1 B ( β − β ) , = r1 Dα ( (1 + σ ) − χ ) χ x12   r12  y12   r12  Dβ ( (1 + σ ) + ( 3) + m13(3) ln r12 − m23 Dβ ( (1 + σ ) + (3) 13 ) − χ m22 ln r − χ ( 3) − m13(3) ln r12 − m23 − ( 3) Dα ( (1 + σ ) − (3) 13 Z x12   r12  ∆ r12 ln r12 x1 = R2 A (α − α ) , = y1 R2 A2 (α − α ) + R1 B (α − α ) m11( 3) = R1 R2 ( R − R2 ) R2 + 4σ R1 + 4σ R12 − R22 ( 3) (3) (3) m m , , , , m23 + + = + + χ = = = 22 13 2 R1 R2 R1 R2 R1 R2 R R2 R R2 16π Eh 2 Bảng X T1 4π R1 Dα ln r12 R2 4π R2 Dα ln r12 R1 − T2 4π S1 Y − 4π 4π 4π R2 Dβ ln r12 R1 Z R1 Dβ ln r12 R2 R2 Dβ ln r12 R1 R1 Dα ln r12 R2 − − R1 R2 Dαα ln r12 4π R1 R2 Dββ ln r12 4π R1 R2 Dαβ ln r12 4π Trong đó: Eh Eh Eh3 2 2 G1 = D D w , G D D w , H Dαβ wi (i = X ,Y , Z ) − + σ = − σ + = i i αα ββ αα ββ 2 (1 + σ ) 1−σ 1−σ ( ) ( ) ( ) ( ) Chú ý: Chỉ số i cho thấy w phải lấy từ bảng cho lực tương ứng Ở đây, R R có dạng Vì Λ tốn tử dạng elliptic Kết luận 1−σ δ ΛΦ = Phương pháp trình bày tiến 2Eh AB hành tương tự phương trình Đối với vỏ mỏng, ta có: moment Vì việc làm bỏ qua R1 R2 Chỉ cần lưu ý điều hàm ψ biểu thị ψ= r12 ln r12 16 Eh π − σ ( ) phần nghiệm sở phương trình = r12 A2 R2 (α − α ) + B R1 ( β − β ) 104 Journal of Transportation Science and Technology, Vol 29, Aug 2018 Thực tính tốn tương tự với phép tính trước, ta thu đặc trưng hàm u, v w (bảng 3) Các thành phần biến dạng ε ,…,τ xác định cách sử dụng hàm u, v w Các ứng suất moment T ,…,H biểu diễn theo biến dạng ε ,…,τ dựa quan hệ vật liệu đàn hồi Các kết cho bảng từ đến Kết tính tốn cho vỏ trụ trịn chịu uốn so sánh với kết thu Darevskii [2] Ở đây, tìm nghiệm tiệm cận cho u, v, T , T , S S trường hợp vỏ chịu tác dụng lực tập trung X Y; trường hợp vỏ chịu lực Z, ta có kết giống [2]; trường hợp cịn lại có sai khác đặc điểm riêng phương pháp tính tốn sử dụng Đối với tốn vỏ cầu, kết nhóm trùng hồn tồn với [9] Tài liệu tham khảo [1] Gol’ denveizer, A.L, Napriazhennoe sostoianie sfericeskoi obolochki (State of stress of a spherical shell) PMM Vol 8, No 6, 1994 [2] Darevskii, V.M, Nekotorye voprosy teorii tsilindricheskoi obolochki (Some problems of the theory of a cylindrical shell) PMM Vol.15, No 5, 1951; PMM Vol 27, No 2, 1953 [3] Chernykh, K.F, Sviaz’ mezhdu dislokatsiiamii sosredotochennymi vozdeistviiami teorii obolochek (Relation between dislocations and concentrated loadings in the theory of shells) PMM Vol 23, No 2, 1959 [4] Gel’fand, I.M and shilov, G.E., obobshchennye funktsii i deistviia pod nimi (Generalized Functions and Operations with them) Fizmatgiz, 1958 [5] Levi, E.E, O lineinykh ellipticheskikh uravneniiakh v chastnykh proizvodnykh (On linear elliptic partial differential equations) [6] Ion, F, Ploskie volny i sfericheskie (Plane Wave and Spherical Means) IL, 1958 [7] Lopatinskii, Ia.B., Fundamental’naia sistema reshenii sistemy lineinykh differentsial’nykh uravnenii elliptickeskogo tipa (Fundamental system of solutions of linear differential equations of the elliptic type) Dokl Akad Nauk SSSR Vol 71, No 3, 1950 [8] Bers, L, Local behavior of solutions of general linear elliptic equations Math 8, No 4, 1955 [9] Gol’denveizer, A.L, Teoriia tonkikh uprugikh obolochek (Theory of Thin Elastic Shells) Gostekhteoretizdat, 1953 [10] J Michael Rotter, Adam J Sadowski, Cylindrical shell bending theory for orthotropic shells under general axisymmetric pressure distributions, (2012) [11] Interlaminar stresses in thick cylindrical shell with arbitrary laminations and and boundary conditions under transverse loads, (2016) [12] Vincenzo Vullo, Bending theory of circular cylindrical shells under axisymmetric loads, (2013) [13] S Jafari Mehrabadi, B Sobhani Aragh, Stress analysis of functionally graded open cylindrical shell reinforced by agglomerated carbon nanotubes, (2014) Ngày nhận bài: 30/5/2018 Ngày chuyển phản biện: 2/6/2018 Ngày hoàn thành sửa bài: 22/6/2018 Ngày chấp nhận đăng: 29/6/2018 ... giải toán vỏ chịu uốn, tác giả sử dụng phương trình vi phân đạo hàm riêng dạng elliptic, tương tự Gel’fond Shilov [4], Levi [5], Ion [6], Lopatinkii [7] Xây dựng nghiệm sở cho toán vỏ mỏng chịu uốn. .. tính tốn cho vỏ trụ trịn chịu uốn so sánh với kết thu Darevskii [2] Ở đây, tìm nghiệm tiệm cận cho u, v, T , T , S S trường hợp vỏ chịu tác dụng lực tập trung X Y; trường hợp vỏ chịu lực Z, ta... thấp chứa hệ số Các trường hợp lại (cho lực tập trung Y Z) tiến hành tương tự Kết tính toán cho bảng Ta xét toán vỏ chịu tác dụng moment tập trung, xem tải trọng giới hạn tải phân bố đều, ta có hệ