Các lớp hàm Distortion tương ứng với các thái độ chấp nhận rủi ro của người ra quyết định

Bài viết khảo sát mối liên hệ giữa các hàm hữu ích, các hàm trọng sử dụng trong độ đo rủi ro phổ và các hàm distortion dùng trong rủi ro sử dụng tích phân Choquet.

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN Số (33) - Thaùng 10/2015 Các lớp hàm Distortion tương ứng với thái độ chấp nhận rủi ro người định Classes of distortion functions corresponding attitudes toward risk of decision – makers TS Phạm Hoàng Uyên, ThS Lý Sel, ThS Lê Thanh Hoa Trường Đại học Kinh tế – Luật, ĐHQG TP.HCM Trường Đại học Tôn Đức Thắng Trường Đại học Kinh tế – Luật, ĐHQG TP.HCM Ph.D Pham Hoang Uyen, M.Sc Ly Sel, M.Sc Le Thanh Hoa University of Economics and Law, National University Ho Chi Minh City Ton Duc Thang University University of Economics and Law, National University Ho Chi Minh City Tóm tắt Lý thuyết định tiếp cận dựa hàm hữu ích sử dụng độ đo rủi ro Trong báo này, khảo sát mối liên hệ hàm hữu ích, hàm trọng sử dụng độ đo rủi ro phổ hàm distortion dùng rủi ro sử dụng tích phân Choquet Từ đó, nghiên cứu thái độ người định rủi ro trung tính với rủi ro, lo ngại rủi ro hay thích rủi ro họ sử dụng tương ứng lớp hàm distortion cụ thể Từ khóa: lý thuyết định, hàm hữu ích, hàm trọng, hàm distortion, độ đo rủi ro phổ, độ đo rủi ro distortion, thái độ chấp nhận rủi ro người định… Abstract Decision theory is mainly based on utility functions which could be seen via risk measures In this paper, we concern about relationship between utility functions and weighted functions of spectral risk measures as well as distortion functions in terms of Choquet integrals The paper proposes a theorem which can be used to determine a distortion function whether or not it characterizes attitudes toward risks of a decision-maker such as risk adverse, risk seeking and risk neutral In addition, a new class of distortion, named dual-gamma distortion is defined and some properties are examined Keywords: decision theory, utility function, weighted function, distortion function, spectral risk measure, distortion risk measure, risk aversion… định chọn phương án nào? Thực tế, điều cịn phụ thuộc vào thái độ chấp nhận rủi ro người định, tức người thích mạo hiểm, lo ngại trung tính với rủi ro phương án xét Do đó, người ta xây dựng lý thuyết hàm hữu ích lý thuyết Giới thiệu Giả sử đầu tư, ta có hai phương án để lựa chọn Chẳng hạn, phương án thứ số tiền lợi nhuận (hay thua lỗ) biến ngẫu nhiên X1, tương tự phương án thứ hai biến ngẫu nhiên X2 Vấn đề đặt ra, người 33 độ đo rủi ro ứng dụng định vấn đề kinh tế-xã hội Năm 2006 [2], K Dowd, J Cotter, G Sorwar nghiên cứu mối liên hệ thái độ chấp nhận rủi ro (thơng qua hàm hữu ích) độ đo rủi ro phổ (thông qua hàm trọng) Tuy nhiên, mối liên hệ phía từ hàm hữu ích qua hàm trọng dựa hai lớp hàm mũ hàm lũy thừa Năm 2010 [5], S Sriboonchitata, Hung T Nguyen K Kreinovich đưa mối liên hệ hai phía hàm trọng hàm hữu ích cách tổng quát toán tương tự Thống kê robust tương ứng ước lượng M ước lượng L Tuy nhiên, kết nhiều hạn chế chưa khảo sát vấn đề thái độ chấp nhận rủi ro Như vậy, có số quan hệ sau: i) Mối liên hệ M-estimates L-estimates ii) Mối liên hệ M-estimates hàm hữu ích (utilities) iii) Mối liên hệ L-estimates độ đo rủi ro phổ (spectral risk measures) iv) Mối liên hệ hàm hữu ích hàm trọng (weighting functions) Từ đó, ta thiết lập mối liên hệ hàm hữu ích độ đo rủi ro phổ v) Mối liên hệ hàm trọng hàm distortion vi) Mối liên hệ hữu ích hàm distortion Tiếp nối kết có, chúng tơi tập trung tìm mối liên hệ hàm hữu ích hàm distortion Từ đó, chúng tơi sâu phân tích thái độ chấp nhận rủi ro ứng với lớp hàm distortion cụ thể Về cấu trúc, nội dung báo gồm phần Mục giới thiệu nguồn gốc tốn, kết vấn đề cịn hạn chế Mục nhắc lại lý thuyết định truyền thống tiếp cận theo hàm hữu ích mục tiếp cận dựa độ đo rủi ro Về vấn đề xây dựng mối liên hệ hàm hữu ích hàm trọng trình bày mục Đối với mục kết báo thiết lập quan hệ khảo sát tính chất hàm hữu ích hàm distortion Cuối mục 6, ứng dụng kết mục để phân tích thái độ chấp nhận rủi ro người định Lý thuyết định dựa kỳ vọng hữu ích Chúng ta bắt đầu với câu hỏi "Tại người định hành động theo nhiều kiểu khác đối mặt với tình rủi ro?" Rõ ràng, câu hỏi quan trọng người định thường có thái độ chấp nhận rủi ro riêng theo cá nhân họ Ở đây, mục tiêu mơ hình hóa tiên đốn hành vi người định Hơn nữa, cung cấp công cụ để giúp họ định hợp lý Thông thường, hướng tiếp cận truyền thống sử dụng hàm hữu ích Cụ thể hơn, định dựa kỳ vọng hữu ích đạt Giả sử X Y số tiền lợi nhuận (hay thua lỗ) dự án đầu tư theo hai phương án khác Trong trường hợp, giả sử X nhận giá trị xi , i  0,1, , n với xác suất tương ứng pi , i  0,1, , n Tương tự, Y nhận giá trị yi , i  0,1, , n với xác suất tương ứng qi , i  0,1, , n Với giá trị nhận X Y, người đầu tư gán cho chúng hữu ích hàm hữu ích chọn trước Chẳng hạn, ta gọi hàm u  x  Khi đó, X nhận giá trị xi hữu ích đạt u  xi  (tương tự cho Y) kỳ vọng hữu ích xác định theo lý thuyết xác suất thống kê 34 n E u  X      pi u  xi   p0u  x0   p1u  x1    pnu  xn  ; i 0 n E u  Y      qi u  yi   q0u  y0   q1u  y1    qnu  yn  i 0 Khi đó, người đầu tư chọn phương án thứ E u  X   E u Y  ngược cịn mặt sấp xảy bạn khơng nhận cả" Rõ ràng, kỳ vọng nhận tiền trò chơi 100 ngàn 1 200   100 Khi đó, bạn trả lời 2 "Tơi khơng quan tâm, lựa chọn nhau" bạn người trung tính với rủi ro; cịn bạn định lấy 100 ngàn chochắc bạn thuộc nhóm người lo ngại rủi ro Nhưng bạn định chọn tham gia trị chơi để có hội lấy 200 ngàn bạn người thích rủi ro lại Vấn đề hỏi người đầu tư không sử dụng trực tiếp kỳ vọng X Y định chọn lựa Câu trả lời có nhiều lý đề cập sau lý mà lý thuyết hữu ích giải thích người định phản ứng khác đứng trước tình có rủi ro Do đó, hàm hữu ích cơng cụ mơ hình hóa thái độ họ Mơ hình hóa thái độ chấp nhận rủi ro dựa hàm hữu ích Trước hết, định nghĩa chúng sau: Nhắc lại, thái độ chấp nhận rủi ro người phân loại theo Pratt cộng (1964) Arrow cộng (1974) sau:  Định nghĩa 2.1 (Hàm hữu ích) Một hàm số 𝑢: 𝑅 → 𝑅 gọi hàm hữu ích hàm khơng giảm (i) Trung tính với rủi ro (Risk neutral): Tức người đứng trước hai tình có rủi ro khác có kỳ vọng E  X   E Y  , thái độ họ Tính chất khơng giảm hàm hữu ích điều cần thiết giả sử X nhận hai giá trị x1 , x2 với xác suất 0.5 lại cảm thấy thờ ơ, khơng có khác giả sử x1  x2 hiển nhiên hữu ích (ii) Lo ngại rủi ro (Risk adverse): Nếu người đứng trước hai tình có rủi ro khác nhau, có kỳ vọng E  X   E Y  , họ lựa chọn phương phải thỏa mãn u  x1   u  x2  Điều có nghĩa giá trị lớn có hữu ích nhiều thích án có rủi ro thấp Ngồi ra, ta biết x1  x2  max  x1 , x2  Khi đó, người (ii) Thích rủi ro (Risk seeking): ngược lại, người đối mặt với hai tình có rủi ro khác nhau, có kỳ vọng E  X   E Y  , họ ưu tiên lựa x1  x2 với khả chắn, thay chọn x x với khả 50% người lo ngại rủi ro Nếu xét theo hữu ích họ cho x x  u    u  x1   u  x2  Như vậy,   lựa chọn trung bình chọn phương án có rủi ro cao Ví dụ: Nếu bạn hỏi chọn lựa lấy 100 ngàn cách chắn hay chơi trò chơi: "Tung đồng xu đồng chất, mặt ngửa xuất bạn có 200 ngàn; 35 mơ hình theo hàm hữu ích lo ngại rủi ro định nghĩa sau: đạo hàm cấp hai thỏa u  x   0, x Ví dụ xét u  x   x  Định nghĩa 2.2 (Lo ngại rủi ro) Người định gọi lo ngại rủi ro hàm hữu ích (khơng giảm) u(x) họ thỏa mãn Ngược lại với lo ngại thích rủi ro thái độ trung tính với rủi ro Trường hợp đặc trưng u  E  X   E u  X  , mãn u  E  X   E u  X   2.1 Chằng hạn, xét u  x   x (hàm tuyến đó, X biến ngẫu nhiên không suy biến, tức thỏa E X   tính) Tương tự, xét thái độ thích rủi ro mơ tả theo hàm hữu ích sau: Thêm nữa, để đặc trưng cho mức độ lo ngại rủi ro, tác giả Pratt (1964) Arrow (1974) đưa hệ số lo ngại rủi ro tuyệt đối (coefficients of absolute risk adversion) sau  Định nghĩa 2.3 (Thích rủi ro) Người định gọi thích rủi ro hàm hữu ích (khơng giảm) u(x) họ thỏa mãn u  E  X   E u  X  , r  x    2.2 u  x  u  x   2.3  Nếu r(x) > u(x) đặc trưng cho lo ngại rủi ro đó, X biến ngẫu nhiên không suy biến, tức thỏa E X    Nếu r(x) < u(x) đặc trưng cho thích rủi ro Dễ thấy rằng, bất đẳng thức (2.1) (2.2) diễn đạt lại tính chất giải tích hàm hữu ích sau  Nếu r(x) = u(x) đặc trưng cho trung tính rủi ro Lý thuyết định dựa độ đo rủi ro  Định lý 2.1 (Lo ngại rủi ro) Người định người lo ngại rủi ro hàm hữu ích (khơng giảm) u(x) họ hàm lõm Một cách khác để đưa định tiếp cận theo độ đo rủi ro Ở đây, xét X Y biến ngẫu nhiên không âm thể số tiền tổn thất hay thua lỗ (loss variable) tương ứng với hai phương án đầu tư khác Khi đó, độ đo rủi ro   X    Y  , phương án đầu tư Chứng minh định lý dựa vào bất đẳng thức Jensen độc giả có tham khảo thêm [4] Hơn nữa, giả sử hàm hữu ích u khả vi đến cấp hai tính lõm thể đạo hàm cấp hai thỏa mãn u  x   0, x Chẳng hạn, xét u  x   ln x thứ thích chọn Một độ đo rủi ro thường dùng VaR (Value at Risk) TVaR (Tail Value at Risk) Chúng nghĩa sau  Định lý 2.2 (Thích rủi ro) Người định người thích rủi ro hàm hữu ích (khơng giảm) u(x) họ hàm lồi  Định nghĩa 3.1 (VaR) VaR danh mục đầu tư mức xác suất  thời điểm t định nghĩa giá trị nhỏ x cho xác suất để tổn thất X  t  Tương tự, giả sử hàm hữu ích u khả vi đến cấp hai tính lồi thể 36 mức xác suất    0;1 TVaR định nghĩa sau: lớn x , lớn  Tức là” 𝑉𝑎𝑅𝛼 (𝑋(𝑡)) = inf{𝑥 ∈ 𝑅: 𝑃(𝑋(𝑡) > 𝑥) ≤ 𝛼} = inf{𝑥 ∈ 𝑅: 𝑃(𝑋(𝑡) ≤ 𝑥) ≥ − 𝛼} (3.1) 𝑇𝑉𝑎𝑅𝛼 (𝑋(𝑡)) = 𝐸(𝑋(𝑡)|𝑋(𝑡) > 𝑉𝑎𝑅𝛼 (𝑋(𝑡))) (3.2) Một độ đo rủi ro thứ ba độ đo rủi ro phổ (spectral risk measure)  Ví dụ 3.1: Xét danh mục đầu tư cổ phiếu có VaR 5% triệu đơla tháng Điều có nghĩa danh mục đầu tư có khả bị tổn thất từ triệu đôla trở lên tháng với xác suất không 5% Tuy VaR chuẩn mực đo lường giám sát rủi ro thị trường có hạn chế định Một khuyết điểm độ đo rủi ro VaR khơng có tính chất cần thiết khoa học đầu tư, đa dạng đầu tư, có nghĩa người ta muốn đầu tư vào nhiều danh mục rủi ro tổng thể danh mục phải nhỏ tổng rủi ro thành phần Về mặt toán học, tính chất gọi bán cộng tính, tức là:  Định nghĩa 3.3 (Độ đo rủi ro phổ) Giả sử X tổn thất không âm có hàm phân phối FX Khi đó, độ đo rủi ro phổ X xác định sau: R  X  =    p  FX1  p  dp,  3.3 đó, FX1 (quantile) X hàm phân vị   p  hàm trọng (weighting function) thỏa mãn ba tính chất sau: i) Khơng âm:   p   ii) Chuẩn hóa:    p  dp    X  Y     X    Y  ii) Không giảm:    p   Tiếp theo, độ đo rủi ro TVaR (Tail Value at Risk) hay TCE (Tail Conditional Expectation) dạng với VaR khắc phục hạn chế Nếu độ đo rủi ro VaR tính nhằm trả lời câu hỏi: “Tổn thất nhỏ phải chịu trường hợp xấu đầu tư danh mục bao nhiêu?” độ đo rủi ro TVaR tính nhằm trả lời câu hỏi: “Tổn thất trung bình phải chịu trường hợp xấu đầu tư danh mục bao nhiêu?” Về mặt toán học tài chính, sau tính VaR danh mục, quan tâm tới trường hợp tổn thất thực tế danh mục vượt ngưỡng VaR, kỳ vọng tổn thất gọi TVaR Chúng ta biết rằng, kỳ vọng X tính E X =   xdF  x    F  p  dp X  1 X Như vậy, độ đo rủi ro phổ thực chất kỳ vọng có trọng số X Ở đây, hàm trọng   p  người định tự chọn lựa họ cần định lượng tổn thất X Do đó, hàm trọng thể thái độ chấp nhận rủi ro người định Vì vậy, rõ ràng hàm trọng có mối liên hệ với hàm hữu ích Ở mục 4, nói quan hệ Ngồi ra, độ đo VaR hay TVaR biểu diễn qua độ đo rủi ro phổ Chính xác là:  Định nghĩa 3.2 (TVaR) Giả sử biến ngẫu nhiên X  t  tổn thất danh mục đầu tư cho sẵn 37 VaR  X   FX1   ; TVaR  X   coherent, cịn VaR khơng coherent Một đại lượng đặc trưng thống kê thỏa mãn tính chất coherent kỳ vọng E(X) Tuy nhiên, kỳ vọng khơng sử dụng độ đo rủi ro kỳ vọng "khách quan", việc đưa định phụ thuộc vào chủ quan người định Do đó, thay tính kỳ vọng dạng, (chú ý X  0) 1 1 FX  p  dp    Hiện nay, người ta xây dựng nhiều độ đo rủi ro Tuy nhiên, để   X  độ đo rủi ro chúng cần phải thỏa mãn số tính chất cần thiết sau   X  cịn gọi độ đo rủi ro coherent (coherent risk measure):   0 E  X    P  X  x  dx   1  FX  x   dx,  Định nghĩa 3.4 (Độ đo rủi ro coherent) Giả sử X Y biến ngẫu nhiên tổn thất Khi đó,  gọi độ đo rủi ro coherent thỏa mãn tiên đề sau: người ta sử dụng phép biến đổi g sau để định lượng rủi ro X: i) Tính đơn điệu: Nếu X  Y   X    Y  không giảm thỏa mãn 𝑔(0) = 0, 𝑔(1) = gọi hàm biến dạng (distortion function) Mg(X) xác định độ đo rủi ro distortion Để Mg thỏa mãn tính chất coherent cịn phụ thuộc vào tính chất hàm distortion g  Định lý 3.1 Độ đo rủi ro distortion Mg cho (3.4) coherent g hàm lõm Ngồi ra, VaR TVaR biểu diễn qua độ đo rủi ro distortion Cụ thể,  M g  X    g 1  FX  x   dx,  3.4 đó, g : 0;1  0;1 , hàm ii) Tính nhất: Với a >   aX   a  X  iii) Tính bất biến dịch chuyển: Với c 𝑅 ,   X  c     X   c iv) Tính bán cộng tính:   X  Y     X    Y  Các tính chất (i), (ii), (iii) (iv) có ý nghĩa sau: (i) Xét biến ngẫu nhiên tổn thất, biến nhỏ có rủi ro nhỏ (ii) Rủi ro tổn thất tài tỷ lệ với kích cỡ rủi ro Nghĩa là, danh mục có quy mơ lớn rủi ro cao (iii) Nếu bổ sung thêm tài sản phi rủi ro giá trị c mức độ rủi ro giảm c, tức   X     X  c   c  VaR  X    g 1  F  x   dx, 0, với g  t   1 ;1  t    1,  t     t   TVaR  X    g 1  F  x   dx,  t với g  t   1,    (iv) Khi kết hợp nhiều danh mục đầu tư phương án đầu tư rủi ro phải nhỏ so với việc đầu tư riêng lẻ danh mục Người ta kiểm tra TVaR Rõ ràng, hàm distortion có chứa đựng thái độ chấp nhận rủi ro người định Đây vấn đề 38 báo khảo sát mục 4.1 Từ hàm hữu ích tìm hàm trọng Một lớp độ đo rủi ro tổng quát tích phân Choquet định nghĩa  Bước 1: Tìm hàm bổ trợ f(x)  (3.5)  0;1 cho F  x  x  f t  dt  Bước 3: Tìm hàm M(p) theo công thức M  F  x    u  x   4.2    M  p   u F 1  p   Bước 4: Chúng ta tính số chuẩn hóa I tích phân def I   M  p  dp,  Định lý 3.2 Giả sử R  X  độ đo  4.3 ta hàm trọng có dạng rủi ro phổ cho (3.3) Khi đó, ta có:   p  R  X   C  X  , đó, hàm capacity   g P, với g hàm distortion có dạng  4.1  Dễ thấy rằng, ta chọn   g P rõ ràng tích phân Choquet biểu diễn cho độ đo rủi ro distortion Hơn nữa, hàm g trùng với hàm distortion VaR TVaR VaR TVaR tích phân Choquet Tổng quát, độ đo rủi ro phổ, độ đo rủi ro distortion tích phân Choquet có mối liên hệ sau: 1 p c0  Bước 2: Ta tìm hàm F(x) thỏa      0,     1, đơn điệu tăng: A  B ta có   A    B  g  p  1  x với c0 số chọn thích hợp đó,  hàm khả (capacity function) xác định trường  kiện sơ cấp, tức  :  f  x   exp  u  t  dt , M  p I  4.4  Khi đó, độ đo rủi ro phổ xác định theo sau   s  ds (4.5) Mối liên hệ hàm hữu ích hàm trọng với FX(x) hàm phân phối xác suất X 4.2 Từ hàm trọng tìm hàm hữu ích Qua mục mục 3, thấy hàm hữu ích hàm trọng sử dụng độ đo rủi ro phổ đặc trưng cho thái độ chấp nhận rủi ro người định Vì vậy, chúng có mối liên hệ với tốn giải thơng qua thống kê robust Cụ thể, để tìm hàm trọng từ hàm hữu ích ngược lại, [5] tác giả thực tính tốn sau Nếu biết hàm trọng   p  , ta tìm hàm hữu ích u(x) cách sử dụng liên hệ M  F  x    u  x  , I   p   M  p   Bước 1: Tìm hàm F(x) giá trị chuẩn hóa I cách giải phương trình sau: 39  f   x   u ' x dF x          f  x   f  x  dx   I   F  x     ln  F   x    F   x    I   F  x        F   x    f  x     f   x  dx     f  x  dx  f  x    4.6   f   x    u  x  dF  x   Bước 2: Tìm hàm f(x) đạo hàm F(x) f  x   F   x    F   x    u  x  dF  x    Bước 3: Cuối ta hàm hữu u  x   ích f  x f  x Tìm hàm distortion qua hàm hữu ích thực thông qua số bước biến đổi sử dụng mệnh đề Thật vậy,  4.7  Mối liên hệ hàm hữu ích hàm distortion g  p  1 5.1 Tìm hàm distortion thơng qua hàm hữu ích  1 g  p  1  hay F  x   5.1  u  F  s   ds 1 F 1 1 p   u  x  dF  x ,  5.3  x    exp  u  s  ds dt t c0 Áp dụng (5.2) đặt c = 1/I, ta có thêm biểu thức thứ hai xác định hàm distortion (5.4)  Mệnh đề 5.1 Giả sử u hàm hữu ích khơng giảm Khi đó, u thỏa mãn đẳng thức  u  x   u '  x  dF  x   F   x  , 1 p  Do đó, hồn tồn xác định mối liên hệ hàm hữu ích hàm distortion Đầu tiên, ta có mệnh đề sau: I  1 I đó,   s  ds,   p   g  1  p     s  ds Theo định lý 3.2 ta có mối quan hệ hàm trọng hàm distortion sau: 1 p 1 p  Nhận xét: i) Từ (5.3), ta có đẳng thức 5.2 F 1 1 p    với F'= f xác định (4.1) u  x  dF  x  =I 1  g  p  5.5 ii) Nếu hàm hữu ích u có đạo hàm tới cấp hai cách sử dụng tích phân phần cho (5.3), ta cơng thức thứ ba để tìm hàm distortion Chứng minh: Vì u hàm khơng giảm nên hàm u tồn đạo hàm hầu khắp nơi Sử dụng (4.7) tích phân phần ta (5.6) 40 Gamma Gamma không đầy đủ (lower incomplete gamma) Ta xét số ví dụ  Ví dụ 5.1: Cho hàm hữu ích u(x) = x Tìm hàm distortion tương ứng?    s    t s 1et dt , Ta có,   t  2  exp c0 sds dt  c1  exp   t  dt Chọn c1  F(x) hàm phân phối 2 chuẩn tắc Do đó, ta tính giá trị I = F  x  x x x   , x    t  1e t dt  5.9 Do đó, F-1(p) phân vị hàm phân phối Gamma Cụ thể, F 1  p    1  3,   3 p    1  3, p  Khi đó, sử dụng (5.3) ta nhận hàm distortion tương ứng g(p) = p Tiếp theo, giá trị I = Sử dụng công thức (5.3), ta nhận hàm distortion  Ví dụ 5.2: Cho hàm hữu ích 0,  u  x   x   x ,  5.8 x  0, g  p   exp  1  3, p  x  0, Đồ thị g(p) cho ta thấy g(p) hàm lồi, g"(p) >  5.10 Tìm hàm distortion tương ứng? Khi x > 0, ta viết lại u(x) trường hợp riêng hàm hữu ích lũy thừa u  x     1, x Nhắc lại, hàm hữu ích lũy thừa có dạng k.x1  U  x  ,   1  5.7  Ở đây, ta xét  = 2, k = để nhận hàm u(x) Ví dụ 5.2 Hình Đồ thị hàm distortion g(p) = exp(- -1(3, 2p)) Khi đó, ta có  x   f  x   exp       1 dt   c1 x 2e x  c1 x31e x  c t      Ví dụ 5.3: Cho hàm hữu ích u(x) với tham số k >1  > 0, 0,  u  x   k  x   , Chọn c1 = 1/(3) = 1/2 f(x) hàm mật độ xác suất Gamma với tham số hình dạng (shape) tham số tỷ lệ (scale) Vì thế, ta có: F  x  1     3, x   t 2et dt    x  x  1 e x  1,    3   3   x đó, (s) , x) hàm x  Tìm lớp hàm distortion tương ứng? Ta xét Ví dụ 5.3 mở rộng Ví dụ 5.2 Ta có 41 x  0, đó,   x; ,  phân phối đuôi  x k   f  x   exp         dt   c1 x k 11e  x  c t    Chọn c1   (tail) Gamma,   x; ,      x; ,  Với trường hợp đặc biệt Ví dụ 5.2, k =  = k 1   k  1 , g  p     1 1  p;3,1 ;1,1  exp  1 3,2 p  f(x) hàm mật độ xác suất Gamma với tham số hình dạng (shape) k+1 tham số tỷ lệ (scale) 1/ (còn  tham số tốc độ (rate parameter)) Để thuận tiện, ký hiệu hàm phân phối xác suất Gamma với tham số hình dạng  tham số tỷ lệ  (x; , ) x  t  1  t e dt     0 Khi đó, ta có   x; ,   5.11 1  F  x     x; k  1,    Hình Đồ thị hàm distortion g  p     1 1  p; k  1,1 ; k  1,1 Do đó, F-1(p) phân vị hàm phân phối Gamma với shape  = k+1 scale  = 1/ F 1 Từ ví dụ 5.3 biểu thức (5.12), đề nghị xây dựng thêm lớp hàm distortion dạng Gamma Nhắc lại [7], S.Wang xây dựng lớp hàm distortion dạng phân phối chuẩn sau:  p     p; k  1,  1 Chú ý theo Ví dụ 5.2 F(x) viết dạng hàm Gamma không đầy đủ sau: F  x    Định nghĩa 5.1 (Hàm dual-gamma distortion) Hàm dual-gamma distortion hàm phụ thuộc vào tham số dương 1 ,1 ,  ,2 định nghĩa sau: Tiếp theo, giá trị I tính I 2  k  1  g  p     1  p      k  1,  x    k  1 Sử dụng công thức (5.3) đặt  = 1/, ta nhận lớp hàm distortion tương ứng (5.13) Hàm đối ngẫu dual-gamma distortion hàm phân phối gamma Thật vậy, (5.12) G*  p    G 1  p    1  p;1,1  ;2 ,2  , 42 p  0;1 (ii) G  p  hàm lõm Khảo sát số tính chất cần thiết hàm dual-gamma distortion 1   Định lý 5.1 Cho G(p) hàm định nghĩa (5.13) Khi đó, (ii) G  p  hàm lồi 1  1  2  2 2 1   ,1      ,   2  1   ,1  2 1  2  Hai trường hợp đặc biệt, G(p) lõm (i) G  p  hàm tuyến tính 1 Chứng minh (i) rõ ràng 1   ,1  2 G  p    1  p   p Hai trường hợp đặc biệt, G(p) lồi (ii) Để đơn giản, ta ký hiệu: 1   ,1      ,   2  F1  x     x;1 ,1 ; F2  x     x; ,2  Ta có đạo hàm cấp G  p  p   1  1    2  F11 1  p   1  1 1  exp      F11 1  p     1   Đạo hàm cấp hai Có thể thấy dấu đạo hàm cấp khoảng (0;1) phụ thuộc vào đại lượng 1 1 S  1          1  Từ đó, ta có:  G(p) hàm lồi  G  p p   S   1  1  2  2  Ngược lại, G(p) hàm lõm 1 𝛼1 − 𝜃 < 𝛼2 − 𝜃 Hình Đồ thị hàm dual-gamma distortion G(p) 43  Nếu s(p) > g(p) đặc trưng cho thích rủi ro  Nếu s(p) < g(p) đặc trưng cho lo ngại rủi ro  Nếu s(p) = g(p) đặc trưng cho trung tính rủi ro Trở lại, hệ số thích rủi ro tuyệt đối hàm dual-gamma distortion G(p) (hay gọi tắt độ risk seeking) tính sau: Để đánh giá mức độ thích rủi ro, cách tương tự Pratt Arrow, ta định nghĩa hệ số thích rủi ro tuyệt đối (coefficient of absolute risk seeking) sau:  Định nghĩa 5.2 (Hệ số thích rủi ro tuyệt đối) Giả sử g(p) hàm distortion Khi đó, hệ số thích rủi ro tuyệt đối g định nghĩa s  p   g   p  g  p  s  p    5.14 1  G  p   1    1   1  F11 1  p   1         , G  p    1    s  p    1  21  F11 1  p   21 1   1  exp  F11 1  p   1          1    1   Nhận xét: Khi G(p) thể thích rủi ro độ risk seeking hàm tăng theo p ngược lại Điều cho thấy sử dụng lớp hàm dual-gamma distortion tốt việc đặc trưng thái độ chấp nhận rủi ro Vấn đề nghiên cứu sâu sau qua biểu thức này, khảo sát số tính chất liên quan Đặc biệt thái độ chấp nhận rủi ro đặc trưng thơng qua hàm hữu ích Từ đó, đánh giá thái độ rủi ro người định qua hàm distortion 5.2 Tìm hàm hữu ích thơng qua hàm distortion  Định lý 5.2 Giả sử g(p) hàm distortion người định Khi đó, Vì (i) Người định người thích rủi ro chi g(p) hàm lõm   p   g  1  p  ;   M  p   I  p  ;   M  F  y    u   y  (ii) Người định người lo ngại rủi ro chi g(p) hàm lồi Chứng minh: nên Ta giả hàm g(p) hàm có đạo hàm tới cấp Trường hợp g(p) khơng thỏa điều chứng minh sử dụng bất đẳng thức Jensen I   F  y    u   y  I g  1  F  y    u   y  t I  g  1  F  y   dy  u  t   5.15 Từ (5.15) ta có I g  1  F  x    u  x  c Biểu thức (5.15) thể mối liên hệ hàm hữu ích hàm distortion Thơng  I g  1  F  x   F   x   u  x  44  5.16 I F   x   u  x  Mặt khác, u(x) hàm khơng giảm, ta có def   I   M  p  dp =  u F 1  p  dp  0, 1 0 x   u  t  dt I e  u  x  c Rõ ràng, hai vế dương nên ta lấy lơgarit hai vế 𝑥 x ln  I    u  t  dt  ln u  x  𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥) = exp (− ∫ 𝑢(𝑡)𝑑𝑡) c 𝑐 Khi đó, cách đạo hàm hai vế, ta được: > 0, ∀𝑥 ∈ 𝑅 Do đó, từ (5.16) u  x    g  1  F  x    0, x u  x   Suy u(x) hàm lồi 𝑅 g(p) hàm lõm [0;1] Theo định lý 2.2 ta có (i) u  x  u  x   5.17  Đến đây, ta dễ dàng kiểm tra thấy ta chọn u(x) có dạng u  x  Tương tự, ta có 𝑢"(x)≤0↔g"(1 − 𝐹(𝑥)) ≥ 0, ∀𝑥 ∈ 𝑅 , xc u(x) thỏa mãn (5.17) Suy u(x) hàm lõm 𝑅 g(p) hàm lồi [0;1] Theo định lý 2.1 ta có (ii) Thái độ chấp nhận rủi ro tương ứng lớp hàm distortion Bây giờ, sử dụng định lý 5.2 để khảo sát lớp hàm distortion g(u) cụ thể tương ứng với thái độ chấp nhận rủi ro người định: Chúng ta xét số ví dụ minh họa tìm hàm lợi ích ta biết hàm distortion  Ví dụ 5.4: Cho g(p) hàm dual power distortion sau: Tìm hàm hữu ích tương ứng? 1) VaR distortion function (Hàm biến dạng VaR) 0, g  p   1,  Khi  = 1, ta có: g1  p    1  p   p p  , p   Dễ thấy g(u) làm lõm phải hàm lồi Do đó, VaR distortion khơng đặc trưng cho người thích rủi ro hay ghét rủi ro Nó phù hợp với dạng người trung tính rủi ro Sử dụng (5.15), ta u(x) hàm bậc có dạng, u  x   ax  b, với a = I, b = - I.c số 2) TVaR distortion function (Hàm biến dạng TVaR)  Khi  = 2, ta có: g2  p    1  p  p  , g  p     1, Sử dụng (5.16), ta u(x) hàm thỏa mãn phương trình vi phân, 45 p   p   TVaR distortion rõ ràng hàm lõm (khơng chặt) Do đó, đặc ưng cho nhóm người thích rủi ro trung tính s u    s  u        1   , g   u      11  u   2     s  u    1 Ta có: 1 g  u     (u )     u u 1    (u )       1 (u )     u    1 (u )    1  u   1     0, g u   u ,    1 (u )   u    1 (u )  Ta có: g u   g   u    u 1 2 1 2 u    1 (u )    ,  1 ( u )      1 (u )  u Vì vậy, ta có:    F 1 ( x)  x F   F 1 ( x)  4) Proportional hazard distortion function (Hàm biến dạng rủi ro theo tỷ lệ) 1  e 2 Ta lại có đạo hàm hàm ngược tính theo cơng thức Rõ ràng, độ risk seeking s(u) dualpower distortion hàm tăng theo u  a) Đạo hàm cấp 1: mô tả cho thái độ trung tính rủi ro Độ risk seeking tính g   u     , g u   u u g  u     1  u    Dual-power distortion hàm lõm Vì vậy, đặc trưng cho thích rủi ro Trường hợp đặc biệt,    g  u   u, s u    1 2 5) Wang's distortion function (Hàm biến dạng Wang) Ta có: g   u    1  u    1   0,   1, 2 Độ risk seeking s(u) proportional hazard distortion hàm giảm theo u 3) Dual-power distortion function (Hàm biến dạng kép) g  u    1  u  , g   u    1  u ,   1, g u    (u ) 1   (u )  1 e 2  2 e Do đó,       1 ( u )  g  u  e  0, u u Do đó,    1, g  u   u : Trung tính rủi ro b) Đạo hàm cấp    1 (u )   1 ( u )     g  u    e u u    1, g  u   u  : Thích rủi ro Độ risk seeking tính   2 e 46   1 ( u )  2   1 ( p)  2 Suy ra, g  u   , tức g  u  hàm distortion hàm lõm Do đó,nó đặc trưng cho nhóm người thích rủi ro lõm   Ngược lại, g  u   , tức Bây giờ, ta chứng minh Denneberg's distortion lõm g  u  hàm lồi   Lấy u, v,   0;1 Khi đó, trường Vậy, hàm Wang distortion đặc trưng cho ba thái độ chấp nhập rủi ro Hàm dual gamma distortion định nghĩa 5.1 lớp hàm distortion Cụ thể, hợp có:  hợp u, v  0;0,5 u, v  0;0,5 :   = 0: Trung tính rủi ro Giả sử ta xét u, v  0;0,5 dễ thấy   > 0: Thích rủi ro u  1    v  0;0,5  Và g(u) tuyến tính nên rõ ràng thỏa mãn bất đẳng thức Jensen (chính xác xảy dấu bằng)   < 0: Ghét rủi ro Độ risk seeking tính  g   u  s u     2 e g u   1 ( u )  g  u  1    v    g  v   1    g  v  , Suy g(u) hàm lõm s  u   2  (u ), 1  Trường hợp u  0;0,5 , v  0,5;1 v  0;0,5  , u  0,5;1 : Độ risk seeking s(u) Wang's distortion phụ thuộc vào  điều phù hợp với tích chất Wang's distortion Cụ thể,   > 0: Trường Khơng tính tổng qt, ta xét u  0;0,5 , v  0,5;1 , tức là: g  u   1    u; độ thích rủi ro tăng theo u   < 0: độ thích rủi ro giảm theo u, tức ghét rủi ro tăng g  v     1    v  có u  1    v  0;0,5 6) Denneberg's distortion function (Hàm biến dạng Denneberg) Ta 1    u,  u  0,5 g u    ,      1    u, 0,5  u  Có thể chứng minh Denneberg's + Nếu u  1    v  0;0,5 ta có: u  1    v  0,5;1 Do đó, g  u  1    v   1    u  1    v    1    u  1   1    v   1    u  1      1    v   2 v       1    u  1      1    v   1      2v  1   g  u   1    g  v   1      2v  1   g  u   1    g  v  47 + Nếu u  1    v  0,5;1 ta có: g  u  1    v     1    u  1    v      1    u  1   1    v   1    u  1      1    v     1      2 u   g  u   1    g  v    1  2u  , u  0;0,5    g  u   1    g  v  Như vậy, độ risk seeking s(u) quadratic distortion hàm giảm theo u 8) Square-root distortion function (Hàm biến dạng bậc hai) Vậy, g(u) hàm lõm Một cách trực quan hơn, đồ g(u) vẽ ứng với  = 0,5   u 1 ,  g u      1 u,      Ta có, 1  ,    g u      1   u    1, 1   0,    g   u       1   u     0, Vậy,   Hình 7) Quadratic distortion function (Hàm biến dạng bậc hai) g  u   1    u   u ,       g   u   2  0,   > 0: Thích rủi ro    Độ risk seeking 1 g   u    0,   0, s u      1 u g u     0,  s  u    0,   1   u 2   = 0: Trung tính rủi ro   > 0: Thích rủi ro Độ risk seeking tính g   u  2 s u     , g   u    1  2u  4 1   1  2u      = 0: Trung tính rủi ro Ta có g   u   1     2 u  0, s  u    Rõ ràng,  = g(u) đặc trưng cho trung tính rủi ro nên độ risk seeking Ngược lại,  > độ risk seeking  48 square-root distortion giảm theo u 9) Exponential distortion function (Hàm biến dạng dạng mũ)  u 1  e ,  g  u     e u,     0,  g   u    ln 1    1   u   0, Vậy,           = 0: Trung tính rủi ro Ta có:   e u ,  g   u   1  e 1,    > 0: Thích rủi ro   Độ risk seeking     ,  s  u   1   u 0,   e u  0,  g   u     e 0,    s  u       = 0: Trung tính rủi ro   > 0: Thích rủi ro Độ risk seeking g   u   ,  g   u  0,   0,   1   u   0,  0 Các hàm distortion đa số hàm lõm Do đó, chúng thể thái độ thích rủi ro người định Điều kiện hàm lõm điều kiện để độ đo rủi ro distortion thỏa mãn tiên đề độ đo rủi ro, đặc biệt tính bán cộng tính (subadditive)     Kết luận Ta có,    ln     u ,  g u     1,    Nhận xét: Như vậy, exponential distortion có độ risk seeking số 10) Logarithm distortion function (Hàm biến dạng logarit)  ln 1   u  ,  g  u    ln 1    u,    Độ risk seeking logarithm distortion tương tự square-root distortion Tuy nhiên,  > squareroot distortion có độ thích rủi ro lớn logarithm distortion Ngược lại, <  < square-root distortion có độ thích rủi ro nhỏ logarithm distortion Vậy, s u      0, Bài báo thiết lập mối liên hệ hàm hữu ích lý thuyết hữu ích (utility theory) hàm distortion độ đo rủi ro distortion Một số biểu thức xây dựng để tìm hàm distortion thơng qua     49 hàm hữu ích Ngược lại, vấn đề từ hàm distortion tìm hàm hữu ích chưa thiết lập công thức tường minh thông qua phương trình biểu diễn mối liên hệ đó, chúng tơi nghiên cứu tính chất lồi lõm cần thiết hàm distortion Cụ thể, hàm distortion lồi hàm hữu ích lõm ngược lại Từ đó, khảo sát nhiều lớp hàm distortion rút đặc trưng cho thái độ chấp nhận rủi ro người định Hơn nữa, mức độ chấp nhận rủi ro người định họ sử dụng lớp hàm tính tốn thơng qua hệ số thích rủi ro tuyệt đối (coefficient of absolute risk seeking) TÀI LIỆU THAM KHẢO K J Arrow (1974), Essays in the Theory of Risk Bearing, North Holland K Dowd, J Cotter, G Sorwar (2008), “Spectral risk measures: properties and limitations”, Journal of Financial Services Research, Vol 34, pp 61–75 J W Pratt (1964), Risk aversion in the small and in the large, Econometrica (320), 122-136 S Sriboonchitta, W.-K.Wong, S Dhompongsa, and H.T Nguyen (2009), “Stochastic Dominance and Applications to Finance”, Risk and Economics, CRC Press, Boca Raton, Florida S Sriboonchitta1, H T Nguyen, V Kreinovich (2010), “How to relate Spectral Risk Measures and Utilities”, International Journal of Intelligent Technologies and Applied Statistics, 3:141 Bài báo xây dựng lớp hàm dual-gamma distortion với bốn tham số Do đó, linh hoạt mơ tả thái độ chấp nhận rủi ro người định ta điều chỉnh tham số Nghiên cứu sâu lớp hàm dualgamma distorion hướng báo Ngày nhận bài: 11/9/2015 S Wang (1996), “Premium calculation by transforming the layer premium density”, ASTIN Bulletin, (26), 71-92 S Wang (1999), “A class of distortion operators for pricing financial and insurance risks”, Technical report, SCOR Reinsurance Company Biên tập xong: 15/10/2015 50 Duyệt đăng: 20/10/2015 ... (ii) Thái độ chấp nhận rủi ro tương ứng lớp hàm distortion Bây giờ, sử dụng định lý 5.2 để khảo sát lớp hàm distortion g(u) cụ thể tương ứng với thái độ chấp nhận rủi ro người định: Chúng ta xét... hàm hữu ích lõm ngược lại Từ đó, chúng tơi khảo sát nhiều lớp hàm distortion rút đặc trưng cho thái độ chấp nhận rủi ro người định Hơn nữa, mức độ chấp nhận rủi ro người định họ sử dụng lớp hàm. .. tính rủi ro Lý thuyết định dựa độ đo rủi ro  Định lý 2.1 (Lo ngại rủi ro) Người định người lo ngại rủi ro hàm hữu ích (khơng giảm) u(x) họ hàm lõm Một cách khác để đưa định tiếp cận theo độ đo rủi