Lượng giác Một số chuyên đề và ứng dụng

L NG GIÁC M T S CHUYÊNă VÀ T P : PH NGăTRÌNH,ăH PH B TăPH NGăTRÌNHăL NG D NG NGăTRÌNH, NG GIÁC VÕ ANH KHOA ậ HỒNG BÁ MINH VÕ ANH KHOA ậ HOÀNG BÁ MINH L NG GIÁC M T S CHUYÊNă T P :ăPH VÀ NG D NG NGăTRÌNH,ăH PH B T PH NGăTRÌNHăL NGăTRÌNH, NG GIÁC TP H CHÍ MINH, THÁNG ậ 2011 L IăNÓIă U Cu năsáchă“L NG GIÁC ậ M T S CHUYÊNă VÀ NG D NG”ănƠyăđ c biên so n v i m căđíchăcungăc p, b sung ki n th c cho h c sinh THPT m t s b năđ c quanătơmăđ n m ng ki n th c trình h c t p làm vi c Trong t p “PH NGăTRÌNH,ăH PH NGăTRÌNH, B TăPH NGăTRÌNHăL NG GIÁC”ă này, chúng tơi s xốy vào tr ngătơmălƠă“PH NGăTRÌNHăL NG GIÁC”,ăm t d ng toán quen thu cătrongăcácăđ thiăTHPT,ăđ c bi tălƠăđ thi năsinhă i H c cácăch ngăchính,ăchúngătơiăchiaălƠmă3ăph n : Ph n I : Nêu lý thuy t ví d minh h aăngayăsauăđó,ăgiúpăb năđ c hi u bi t cách trình bày ng th iăđ aăraăcácăd ngătốnăc ăb n,ăth ng g p trình làm l p c a h c sinh THPT ph n này, chúng tơi s trình bày m t s bƠiăđ b n đ c có th n m v ngăh n,ătránhăsaiăsót Ph n II : Trong trình tham kh o t ng h p tài li u, s đ aăvƠoă ph n d ng toán khó nh m giúp cho h c sinh b iăd ng, rèn luy năk ăn ngă gi iăL NG GIÁC thành th oăh năkhiăg p ph i nh ng d ng tốn Ph n III : Chúng tơi s đ aăraăl i gi i g i ý cho m t s bƠi,ăquaăđóăb năđ c ki m tra l iăđápăs , l i gi i ho căc ngăcóăth tham kh o thêm Trong trình biên so n, m cădùăchúngătôiăđưăc g ng b ng vi c tham kh o m tăl ng r t l n tài li u có s n ti p thu có ch n l c ý ki n t b năđ ng nghi păđ d n hoàn thi n cu năsáchănƠy,ănh ngăkhóătránhăkh i nh ng thi u sót b i t m hi u bi t kinh nghi m h n ch , r t mong nh năđ c ý ki năđóngăgópăquýăbáuăc a b năđ c g n xa Chi ti t liên h t i : anhkhoavo1210@gmail.com minh.9a1.dt@gmail.com CÁC TÁC GI VÕ ANH KHOA ậ HOÀNG BÁ MINH L I C Mă N Trong trình biên so n,ăchúngătơiăxinăcámă năđ n nh ng b năđưăcungăc p tài li u tham kh o vui lòng nh n ki m tra l i t ng ph n c a b n th o ho c b năđánhămáy,ăt oăđi u ki n hoàn thành cu n sách : - Ngô Minh Nh tă( HăKinhăT Tp.HCM) Mai Ng c Th ngă( HăKinhăT Tp.HCM) Nguy n Th Thanh Huy nă(THPTăChuyênăL ngăTh Vinhă ng Nai) Nguy n Huy Hoàng (THPT Chuyên Lê H ng Phong Tp.HCM) Tr n Lam Ng c (THPT Chuyên Tr nă iăNgh aăTp.HCM) V ngăTu n Phong (THPT Chuyên Tr nă iăNgh aăTp.HCM) Lê Quang Hi uă(THPTăChuyênăL ngăTh Vinhă ng Nai) HoƠngăMinhăQuơnă( HăKhoaăH c T Nhiên Hà N i) m t s thành viên di năđƠnăMathScope M CL C T P : PH NG TRÌNH, H PH B T PH CH NG : S I II CH L PH PH PH PH B N LUY N 35 VÀ 41 LUY N 50 I X NG THEO VÀ 53 LUY N 60 NGăTRÌNHăB C HAI THU N NH T BÀI T P T a NG GIÁC C LUY N 13 NGăTRÌNHă BÀI T P T C NG GIÁC NGăTRÌNHăB C NH T THEO BÀI T P T NG GIÁC NG CÁC D NG PH NG TRÌNH L NG GIÁC AV PH NG TRÌNH L NG GIÁC C B N 20 PH NGăTRÌNHăB C HAI 20 BÀI T P T NG TRÌNH L NG TRÌNH L BÀI T P T II C V HÀM L NG GIÁC M T S TÍNH CH T C B N V HÀM L NG GIÁC NG C BÀI T P VÍ D V HÀM L NG GIÁC NG C NG : PH I NG TRÌNH L NG TRÌNH, IV I 61 LUY N 67 CÁC D NGăPH NGăTRÌNHăL NG GIÁC KHÁC 73 T NG H P 73 BÀI T P T LUY N 95 b PH NGăTRÌNHăCH AăC NăTH C 100 BÀI T P T c PH NGăTRÌNHăKHƠNGăM U M C 107 BÀI T P T d PH NG : H PH I II NG : B T PH I II LUY N 148 NG TRÌNH L NG GIÁC 154 TÓM T T M T S PH NG PHÁP TH NG G P 154 CÁC BÀI T P MINH H A 155 BÀI T P T CH LUY N 127 NGăTRÌNHăCĨăCH A THAM S 131 BÀI T P T CH LUY N 103 LUY N 171 NG TRÌNH L NG GIÁC 175 TÓM T T M T S PH NG PHÁP TH NG G P 175 CÁC BÀI T P MINH H A 176 BÀI T P T LUY N 186 C THÊM : T NM NV S PI 189 TÀI LI U THAM KH O 194 Ch ngă4ă:ăS ăl c v hƠmăl ngăgiácăng c CH S ăL I M TS NGă4 C V HÀMăL NGăGIÁCăNG C TÍNH CH T C B N V HÀM L NG GIÁC NG C Hàm s lƠăhƠmăl ngăgiácăng hàm s , có m t s tính ch tăc ăb n sau Hàm s c a hàm s Hàm s ng c c a hàm s ch tăc ăb n sau lƠăhƠmăl ng giác , có m t s tính Hàm s ng c c a hàm s ch tăc ăb n sau lƠăhƠmăl ng giác , có m t s tính cc a lƠăhƠmăl ngăgiácăng c , có m t s tính ch tăc ăb n sau Ch ngă4ă:ăS ăl II Ta th y : ngăgiácăng BÀI T P VÍ D V HÀM L Doăđó, Doăđó, c v hƠmăl c NG GIÁC NG C Ch ngă5ă:ăPh ngătrìnhăl ng giác CH PH NGăTRÌNHăL NG GIÁC PH NG TRÌNH L NG GIÁC C B N CÁC D NG PH NG TRÌNH C B N I - d - NG CÁC D NG PH NG TRÌNH C B N C BI T Ch ngă5ă:ăPh ngătrìnhăl ng giác Chú ý r ng: Chúng ta s d ng công th c bi năđ iăl ngăgiácăđưănêuătrongăCh ngă2, phân tích ph ngătrìnhăthƠnhăcácănhơnăt đ xu t hi n d ng ph ngătrìnhătrên Ch ngă7ă:ăB tăph Bài 6: Gi i b tăph ngătrìnhăl ng giác ngătrìnhăsauă: Gi i: i u ki n : B tăph ngătrìnhăt K th pv i ngăđ ngăv i ta có nghi m c a b tăph Bài 7: Tìm nghi m c a b tăph Th a mãn b tăph Gi i: B tăph 180 ngătrìnhălƠ ngătrìnhă ngătrìnhă ngătrìnhă t ngăđ ngăv i Ch ngă7ă:ăB tăph B tăph ngătrìnhăl ngătrìnhă t ngăđ Doăđó,ănghi m c a b tăph Bài 8: Gi i b tăph ng giác ngăv i ngătrìnhăđưăchoălƠ ngătrìnhăsauă: Gi i: i u ki n : ăKhiăđó,ăb tăph t V i V i ngătrìnhăt ngăđ ngăv i thì So v iăđi u ki n , ta nh n nghi m nghi m c a b tăph ngătrình 181 Ch ngă7ă:ăB tăph ngătrìnhăl Bài 9: Gi i b tăph ng giác ng trình sau : ( HăKinhăT Tp.HCM 1997) Gi i: B tăph ngătrìnhăt ngăđ ngăv i t Do hàm s tu n hồn có chu k nên ta ch c n xét d u c a Ta có : V i : V i ,ătaăđ t : Suy L p b ng xét d u c a 182 ta th y Ch ngă7ă:ăB tăph ngătrìnhăl ng giác 0 0 Nh ăv y, ta có chu k nghi m c a b tăph Doăđó,ănghi m c a b tăph Bài 10: Gi i b tăph Gi i: 0 ngătrìnhălƠ ngătrìnhălƠ ngătrìnhăsauă: t Do hàm s tu n hồn có chu k Ta có, b tăph ngătrìnhăt L p b ng xét d u ngăđ nên ta ch c n xét d u c a ngăv i ta th y 183 Ch ngă7ă:ăB tăph ngătrìnhăl ng giác 0 0 Suy nghi m c a b tăph Bài 11: Gi i b tăph 0 0 ngătrìnhălƠ ngătrìnhăsauă: Gi i: i u ki n : B tăph ngătrìnhăt t Ta xét hàm s 184 ngăđ ngăv i ,ătaăđ aăb tăph ngătrìnhătr thành 0 0 Ch ngă7ă:ăB tăph Doăđó, ngătrìnhăl ng giác đ ng bi n Ta xét thêm hàm s Doăđó,ă ngh ch bi n Suy v i m i Nh ăv y, ta có : Khiăđó, Bài 12: Gi i b tăph ngătrìnhăsauă: ( ngh Olympic 30-4, 2006) Gi i: i u ki n : B tăph ngătrìnhăt ngăđ ngăv i 185 Ch ngă7ă:ăB tăph ngătrìnhăl ng giác ăTaăđ aăb tăph t Ta xét hàm s Doăđó,ă đ ng bi n Suy : Nh ăv y, BÀI T P T LUY N 7.1.1 Gi i b tăph ngătrìnhăsauă: 7.1.2 Gi i b tăph 186 ngătrìnhăsauă: ngătrìnhătr thành Ch ngă7ă:ăB tăph ngătrìnhăl ng giác 7.1.3 Gi i b tăph ngătrìnhăsauă: 7.1.4 Gi i b tăph ngătrìnhăsauă: G I Ý GI I BÀI T P T LUY N 7.1.1 Nghi m c a b tăph ngătrìnhălƠă: 7.1.2 Nghi m c a b tăph ngătrìnhălƠă: 187 Ch ngă7ă:ăB tăph ngătrìnhăl ng giác 7.1.3 Nghi m c a b tăph ngătrìnhălƠă: 7.1.4 Nghi m c a b tăph ngătrìnhălƠă: 188 c thêm : T n m n v s pi c Thêm T N M N V S PI S m t nh ng h ng s đ căđáoăvƠăđ c bi t nh t c a Tốn h c, ln h p d n nhà khoa h c nói chung nhà Tốn h c nói riêng b i h u h tăcácăl nhăv căđ u th y s xu t hi n c a s C th nh ăs đóngăvaiătrịălƠăt l c aăđ ng kính chu vi đ ng tròn, m t s siêu vi t, t c s không nghi m c a b tăkìăph ngătrìnhăđ i s v i h s nguyênănƠoầ ưăhƠngănghìnăn mănay,ăconăng i ln c g ng tính tốn nhi uăh năn a ch s sau d u ph y th p phân c a s Ch ng h nănh ăArchimedes đưătínhăgiáătr b ngăđánhă giá xu t phát t cáchăt ngăs c nh c aăđaăgiácăn i ti p vịng trịn Cách x p x c aăArchimedesăcóăđ chínhăxácăđ n ch s sau d u ph y Còn PtomelyăvƠoăn mă150ăsauăCơngăNgunăđưătínhă x p x b ng Và cu căđuaănƠyă 189 k t thúc b i k t qu c a Ludolf van Ceulen (1540-1610),ăng iăđưăt nă10ăn m,ătínhăc nh c a - giácăđ uăđ tìmăđ c s v iăđ xác 35 ch s sau d u ph y V m t lý thuy t,ăph ngăphápăx p x c a Archimedes có th kéo dài vơ h n,ănh ngă v i phát minh v phépătínhăviăphơn,ăph ngăphápăc aăng i Hy L păkhơngăđ c dùng đ n n a.ăThayăvƠoăđó,ăcácăchu i tích liên phân s vô h n h i t đưăđ c s d ngăđ x px s T cu i th k 17, dãy vô h n chu i tr thành nh ngăđ iăt ng ch y u nghiên c u c a nhà Toán h c M t nh ng k t qu đ uătiênătheoăh ng chu iăLeibnitzăđ c Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646-1716)ătìmăraăvƠoăn mă1673 Chu i Leibnitz m tătr ng h p riêng c a m t chu i t ngăquátăh n,ăđ James Gregory (1638-1675)ăvƠoăn mă1670 c tìm b i N uănh ătrongăchu i Gregory, vi c thay đ đ c chu i Leibnitz ta có th thay v i giá tr khác nh h n,ăđ đ c m t chu i khác có t căđ h i t caoăh nă r t nhi u Abraham Sharp (1651-1742)ăđưăs d ng k t qu trênăđ đ tăđ c k t qu k l c vƠoăn mă1699ăv i 71 ch s sau d u ph y Ti pătheoăđó,ăcácănhƠăTốnăh căđưăthơngăquaăvi cătìmănh ngăt h p mà m i chúng đ c bi u di n b i chu i h i t nhanhăh năchu i Leibnitz 190 c thêm : T n m n v s pi Chúng ta có th ki m tra d dƠngăcácăđ ng th c b ng cách s d ng h ngăđ ng th căl ng giác : Vi c khai tri nănƠyăchoătaăđ c m t chu i thu n ti năh năr t nhi u cho vi c tính tốn Và giúp John Machin (1680-1751)ătínhăđ c 100 ch s sau d u ph yăvƠoăn mă1706.ă Thành công c aăJohnăMachinăđưăkh i lên cho nhà Toán h c khác ti p t c tham gia cu c ch yăđuaămƠănóăđưăb tăăđ u t th i Archimedes S d ngăph ngăphápăc a Abraham Sharp, De Lagny (1660-1734)ăđưătínhăđ c 127 ch s sau d u ph yăvƠoăn mă1719.ăKhơngălơuăsauăđó,ăLeonardăEuleră(1707-1783) b ng m tăph ngăphápăkhácăki m tra k t qu c a De Lagny tìm sai sót ch s th 113 N mă1841,ăWilliamăReserford (khơngărõăn măsinh, n măm t) đưătìmăraă208ăch s sau d u ph yăvƠăđ c ki m tra l i b i Johan Martin Zacharias Dase (1824-1861) sai ch s 153.ăN mă1847,ăThomasăClausenă(1801-1885) ti năthêmăđ n 250 ch s sau d u ph y, trongăđóăcóă248ăch s tínhăđúng N mă1853,ăWilliamăReserfordăt ngăthƠnhătíchăc a lên 440 ch s sau d u ph y Và k l c c a th i k nƠyăđ c thi t l p b i William Shanks (1812-1882) v i 530 ch s (trongăđóă527ăch s tínhăđúng).ăV sau,ăWilliamăShanksăđưăph i làm vi c c t l căđ tính ti p ch s ti pătheo,ăđ aăk l călênăđ n 707 ch s tínhăđúng n th k 20, cu c cách m ngămáyătínhăđánhăd u nh ng thành t uăv ăđ i c a trí tu conăng i Nh ng ki mătraăđ uătiênătrênămáyătínhăđi n t vƠoăn mă1945ăđưăphátăhi n WilliamăShanksăđưăsaiăngayăt ch s th 528.ă i u n nhà Toán h c Harold Scott MacDonald Coxeter (1907-2003) ph i th t lên r ngă:ă“Khôngăth không bu n ngh ăr ng, nh ng tính tốn mà Shanks t i nghi păđưăph i b m t ph n l n c a cu căđ i đ tính,ăthìămáyătínhăđi n t hi năđ i có th th c hi nătrongăvƠiăgiơyănh ălƠăđ kh iăđ ng v y” VƠănh ăv y, s xu t hi n c aămáyătínhăđi n t làm cho t căđ cu căđuaătìmănh ng ch s sau d u ph yăcƠngăt ngănhanh 191 N mă1949,ăJohnăVonăNeumannă(1903-1957) c ng s đưătínhăđ c 2037 ch s sau d u ph y m t nh ngămáyătínhăđi n t đ u tiên ENIAC Ng ng 10000 ch s đ tăđ căvƠoăn mă1958ăb i Fredrick Jenuine (1908-1973) v i s tr giúp c a máy tính IBM 704 Và 100.000 ch s sau d u ph y c a s đ cătínhăvƠoăn mă1961ăb i Daniel Shanks (1917-1996) v iămáyătínhăIBMă7079.ăN mă1973,ăJanăGyiuăvƠăM.ă Buetă(khơngărõăn măsinh,ăn măm t)ăđưăl p k l c v i m c tri u ch s sau d u ph y, s d ng g n m t ngày làm vi c c a máy CDC-7600 n cu i th k 20,ăng iătaăđưătínhăđ c s v iăđ chínhăxácăđ n ch s th 200 t Và cho t i hi n t i, m iăđơyănh t k l c c a Fabrice Bellard (1972) tính xác đ n ch s th 2.7 t t c a s M tăđ nă131ăngƠyăđ tínhătốn,ănh ngăđơyălƠăm t k t qu c c k năt ng Fabrice Bellard ch s d ngămáyătínhăđ bƠnăthơngăth ngăđ x lý s li u v i vi c phát tri n m t ph n m m x lý thu t toán m nhăh nă20ăl n so v i nh ng s n ph măt ngăt tr căđó T ngănh ălƠăk nguyên c aămáyătínhăđi n t đưălo i b conăng i kh i cu căch iă m t cách d t khốt, máy tính có t căđ x lýănhanhăh năthìămáyăđóăth ng.ăNh ngăs th căthìăkhơngănh ăv y,ăchínhăconăng iăđưăkh iăx ng cu c ch yăđuaăkhơngăti n khốn h u t o nên nhi u thu t tốn nhân nhanhăgiúpămáyătínhăđi n t x lý hi u qu h n Tr l i s 200 t đưăđ c thi t l p vào cu i th k 20ầ N mă1987,ăJonathanăvƠăPeterăBorweină(1953) đưătìmăraăm t chu iăđángăng c nhiên : Dãy s h ngăd i d u tính t ng v i b sung thêm kho ng 25 ch s sau d u ph y cho s ng v i m i s h ng Ch riêng s h ngăđ u tiên cho giá tr g năđúngăđ n 24 ch s sau d u ph y Th măchí,ăJonathanăvƠăPeterăBorweinăcịnăđ aăraăthu t tốn giúp tính tốn ch s sau d u ph y c a s , có hi u qu th n k M i m tăb c tính c a thu t tốn làm t ngăthêmăđ dài ch s sau d u ph yăđ cătínhăđúngălênă4ăl n D iăđơyălƠămơăt c a thu t tốn : Taăđ t h ngătr căđóăb i cơng th c 192 , s h ng ti p theo đ c tính theo s c thêm : T n m n v s pi Dãy s Khi đ c xây d ng b i cơng th c cƠngăt ngăthìătaăcóăđánhăgiá Nói cách khác, C ăs c a phát minh thu t toán nh ng nghiên c uătrongăl nhăv c tích phân elliptic hàm theta Thu t tốn k di u l yăýăt ng c a nhà Toán h c thiên tài ng i nă Srinivasa Ramanujan (1887-1920) Và s 200 t đưăxu t hi n t đóầă Có th nói thêm r ng, m t nh ngăph ngăphápăgơyătịămịănh tăđ tính s c a Count Buffon vào th k 18 v i Bài tốn chi c kim c a ơng Trên m t m t ph ng, ta k cácăđ ng th ngăsongăsongăcáchăđ u đ năv chi u dài Th chi c kim cóăđ dài nh h nă lên m t ph ngăđó.ăN u chi căkimăr iălênătrênăđ ng k l n th đóă đ căcoiălƠăthƠnhăcơng.ăKhámăpháăđ y b t ng c a Buffon t l s l n th thành công so v i không thành công m t bi u th c ch a s N u chi u dài kim b ng đ năv xác su t th thành công S l n th nhi u x p x cho s xác Trong m tăph ngăphápăxácă su tăkhácăđ tính s lƠăvƠoăn mă1904,ăR.ăChartesăđưătìmăraăxácăsu tăđ hai s nguyên đ c vi t ng u nhiên nguyên t xác su tăđ m t s nguyênăđ c ch n ng u nhiên mà khơng chia h t cho s chínhăph ngăđ u mang chung giá tr t v i 193 TÀI LI U THAM KH O [1] Nguy năV năNho,ăNguy năV năTh ,ăChuyênăđ L Tp.HCM, 2007 [2] Võ Giang Giai, Tuy n t pă400ăbƠiătoánăl [3] Ph m T năPh c,ăCácăchuyênăđ L [4] Hu nhăCôngăThái,ă ƠoăKh i,ăPh h căS ăPh m, 2004 [5] Tr năV năToƠn,ăVõăH uăPh Tp.HCM, 2009 ng giác, NXB T ng h p ngăgiác,ăNXBă ng giác, NXB Tp.HCM, 1999 ngăphápăgi iătốnăL [7] Hu nh Cơng Thái, Các d ngătốnăđi năhìnhă:ăPh L ngăGiác,ăNXBă HQGăHƠăN i, 2006 [8] Theoni Pappas, Ni m vui Toán H c,ăNXBăKimă [9] Tuy Tuy Tuy Tuy 194 păđ păđ păđ păđ ngăgiácăTHPT,ăNXBă i c, Luy n Thi C p T c Toán H c,ăNXBă HQGă [6]ăăăăDoưnăMinhăC ng, Gi i thi uă Thi Tuy năSinhăVƠoă 1997-1998ăđ n 2004-2005),ăNXBă HQGăHƠăN i, 2004 nt nt nt nt i h căS ăPh m, 2007 thi Olympic 30 tháng 4, L thi Olympic 30 tháng 4, L thi Olympic 30 tháng 4, L thi Olympic 30 tháng 4, L i H c mơn Tốn (t ngăTrình,ăH Ph ngăTrìnhă ng, 2009 n XII ậ 2006, Toán h c, NXBGD, 2006 n XIII ậ 2007, Toán h c, NXBGD, 2007 n XIV ậ 2008, Toán h c, NXBGD, 2008 n XV ậ 2009, Toán h c, NXBGD, 2009 ... BÁ MINH L NG GIÁC M T S CHUYÊNă T P :ăPH VÀ NG D NG NGăTRÌNH,ăH PH B T PH NGăTRÌNHăL NGăTRÌNH, NG GIÁC TP H CHÍ MINH, THÁNG ậ 2011 L IăNÓIă U Cu năsáchă“L NG GIÁC ậ M T S CHUYÊNă VÀ NG D NG”ănƠyăđ... Th Thanh Huy nă(THPT? ?Chuyên? ?L ngăTh Vinhă ng Nai) Nguy n Huy Hoàng (THPT Chuyên Lê H ng Phong Tp.HCM) Tr n Lam Ng c (THPT Chuyên Tr nă iăNgh aăTp.HCM) V ngăTu n Phong (THPT Chuyên Tr nă iăNgh aăTp.HCM)... 35 VÀ 41 LUY N 50 I X NG THEO VÀ 53 LUY N 60 NGăTRÌNHăB C HAI THU N NH T BÀI T P T a NG GIÁC C LUY N 13 NGăTRÌNHă BÀI T P T C NG GIÁC NGăTRÌNHăB