Ảnh 1 phủ dãy của không gian có g-hàm sn-mạng

Bài viết đưa ra một số bảo tồn của không gian với g-hàm sn-mạng với một số tính chất topo nào đó thông qua ánh xạ 1-phủ-dãy. Nhờ những kết quả này, chúng tôi thu được bảo tồn của một số không gian metric suy rộng.

UED Journal of Social Sciences, Humanities & Education – ISSN 1859 - 4603 TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC ẢNH 1-PHỦ-DÃY CỦA KHƠNG GIAN CĨ g-HÀM sn-MẠNG Lương Quốc Tuyểna*, Nguyễn Thị Mỹ Hạnhb Nhận bài: 17 – 04 – 2018 Chấp nhận đăng: 25 – 06 – 2018 http://jshe.ued.udn.vn/ Tóm tắt: Metric hóa khơng gian topo toán trọng tâm topo đại cương Năm 2007, Pengfei Yan, Shou Lin đưa số điều kiện khả metric khơng gian topo có g-hàm sở yếu đặc trưng không gian đối xứng, không gian g-khả metric, không gian g-trải thông qua g-hàm sở yếu (xem [3]) Gần Trần Văn Ân, Lương Quốc Tuyển giới thiệu khái niệm g-hàm snmạng Nhờ đó, tác giả đưa đặc trưng không gian snf-đếm được, không gian sn-đối xứng, không gian sn-đối xứng Cauchy, không gian sn-trải được, không gian sn-khả metric thông qua g-hàm sn-mạng (xem [2]) Trong báo này, đưa số bảo tồn không gian với g-hàm snmạng với số tính chất topo thơng qua ánh xạ 1-phủ-dãy Nhờ kết này, thu bảo tồn số khơng gian metric suy rộng Từ khóa: g-hàm sn-mạng; ánh xạ 1-phủ-dãy; không gian snf-đếm được; không gian sn-đối xứng; không gian sn-đối xứng Cauchy; không gian sn-trải Giới thiệu Năm 2007, Pengfei Yan, Shou Lin đưa số điều kiện khả metric không gian topo với g-hàm sở yếu đặc trưng số không gian metric suy rộng thông qua g-hàm sở yếu (xem [3]) Bên cạnh đó, Iwao Yoshioka đưa bảo tồn số không gian metric suy rộng thơng qua ánh xạ đóng (xem [4]) Gần đây, Trần Văn Ân, Lương Quốc Tuyển giới thiệu khái niệm g-hàm sn-mạng thu đặc trưng số không gian metric suy rộng thông qua g-hàm snmạng (xem [2]) Trong báo này, nghiên cứu bảo tồn số không gian với g-hàm sn-mạng thông qua ánh xạ 1-phủ-dãy Cơ sở lí thuyết phương pháp nghiên cứu 2.1 Cơ sở lí thuyết 2.1.1 Định nghĩa ([1]) Giả sử P họ gồm tập khơng gian topo X , x  X P  P Khi đó, (1) P gọi lân cận dãy x với { dãy xn } hội tụ đến x, tồn m¥ cho {x}  {xn : n  m}  P (2) P gọi mạng x x  P với P  P với lân cận mở U x, tồn P  P cho x  P  U 2.1.2 Định nghĩa ([1]) Giả sử P = U{Px : x  X } họ gồm tập không gian topo X thỏa mãn điều kiện sau (1) P x mạng x ; (2) Nếu P1 , P2  Px , tồn P  P x cho P  P1  P2 ; (3) Mỗi phần tử P x lân cận dãy x Khi đó, P gọi sn-mạng X , P x gọi sn-mạng x a,bTrường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng * Tác giả liên hệ Lương Quốc Tuyển Email: tuyendhdn@gmail.com 16 | 2.1.3 Định nghĩa ([2]) Giả sử X không gian topo Khi đó, hàm Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 8, số (2018), 16-20 ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 8, số (2018) 16-20 g : ¥  X → P (X ) (n, x) a g(n, x) (1) X gọi khơng gian snf-đếm X có sn-mạng P = U{Px : x  X } cho P x gọi g-hàm sn-mạng X thỏa mãn điều kiện sau (1) x  g (n, x ) với x  X n  ¥ (3) {g (n, x) : n  ¥ } sn-mạng x 2.1.4 Nhận xét ([2]) Giả sử g g-hàm sn-mạng khơng gian topo X Khi đó, ta đặt: (E) Nếu xn  g ( n, x ) với n  ¥ , xn → x (F) Nếu x  g ( n, xn ) với n  ¥ , xn → x (wF) Nếu x  g ( n, xn ) với n  ¥ , tồn dãy {xnk } { xn } hội tụ đến x Nếu x, xn  g (n, yn ) với (2) X gọi khơng gian sn-trải X có g-hàm sn-mạng thỏa mãn tính chất (G) 2.1.8 Định nghĩa ([1]) Giả sử X không gian topo Khi đó, d : X  X → ¡ gọi dhàm X với x, y  X , ta có (2) g (n + 1, x)  g (n, x) với n  ¥ (G ) đếm (1) d ( x, y )  0; d ( x, y ) =  x = y (2) d ( x, y ) = d ( y, x) 2.1.9 Định nghĩa ([1]) Giả sử d d-hàm không gian topo X Khi đó, (1) Với x  X n  ¥ , ta đặt n  ¥ , xn → x Sn ( x) = { y  X : d ( x, y )  / n} (2) Dãy {xn }  X gọi d-Cauchy với (H) Nếu xn → x xn  g (n, yn ) với n  ¥ ,   0, tồn k  ¥ cho yn → x d ( xn , xm )   với m, n  k 2.1.5 Định nghĩa ([1]) Giả sử f : X → Y ánh xạ từ không gian topo X vào không gian topo Y Ta nói f ánh xạ 1-phủ-dãy f liên tục với y  Y , tồn x y  f −1 ( y) cho với dãy { yn } hội tụ đến y Y , tồn dãy { xn } hội tụ đến xy X cho f ( xn ) = yn với n  ¥ 2.1.6 Nhận xét Giả sử f : X → Y ánh xạ 1-phủdãy từ không gian topo X vào không gian topo Y , g : ¥  X → P (X ) (n, x) a g(n, x) g-hàm sn-mạng X Khi đó, với y  Y , tồn x y  f −1 ( y) thỏa mãn Định nghĩa 2.1.5 Ta đặt h : ¥  Y → P (Y ) (n, y) a h(n, y) = f  g (n, x y )  2.1.7 Định nghĩa ([2]) Giả sử X khơng gian topo Khi đó, (3) X gọi không gian sn-đối xứng {S n ( x) : n  ¥ } sn-mạng x với x  X (4) X gọi khơng gian sn-đối xứng Cauchy không gian sn-đối xứng dãy hội tụ d-Cauchy 2.2 Phương pháp nghiên cứu Chúng dùng phương pháp nghiên cứu lí thuyết q trình viết báo Sử dụng khái niệm số kết tác giả trước, đưa số bảo tồn không gian với g-hàm sn-mạng thỏa mãn số tính chất topo thơng qua ánh xạ 1-phủ-dãy Nhờ đó, chúng tơi đưa bảo tồn số không gian metric suy rộng qua ánh xạ 1phủ-dãy Kết đánh giá 3.1 Kết 3.1.1 Định lí Giả sử f : X → Y ánh xạ 1-phủ-dãy từ không gian topo X vào không gian topo Y , 17 Lương Quốc Tuyển, Nguyễn Thị Mỹ Hạnh g : ¥  X → P (X ) (n, x) a g(n, x) g-hàm sn-mạng X h : ¥  Y → P (Y ) (n, y) a h(n, y) = f  g (n, x y )  Khi đó, khẳng định sau y  h(n, y) = f  g (n, x y )   U Như vậy, tồn - Giả sử P, Q  Py Khi đó, tồn m, n  ¥ cho P = h(m, y ), Q = h(n, y ) Bây giờ, ta đặt k = max{m, n}, R = h(k , y ), (2) Nếu g thỏa mãn thêm tính chất (E), (F), (wF), (G), h cho y  P  U (1) Nếu g g-hàm sn-mạng X , h ghàm sn-mạng Y P = h(n, y)  Py ta thu R  Py , R  P  Q Chứng minh (1) Giả sử g g-hàm sn-mạng X - h(n, y ) lân cận dãy y với n  ¥ Ta chứng minh h g-hàm sn-mạng Y Thật vậy, Giả sử n¥ { yk } dãy hội tụ đến y (1.1) y  h( n, y ) với n  ¥ Y Khi đó, f ánh xạ 1-phủ-dãy nên tồn dãy Giả sử n  ¥ , x y  f −1 ( y) nên { xk } hội tụ đến x y X cho f ( xk ) = yk với y = f ( x y )  f  g (n, x y )  = h(n, y) k  ¥ Mặt khác, g (n, xy ) lân cận dãy xy nên tồn m¥ cho (1.2) h(n + 1, y )  h(n, y ) với n  ¥ Giả sử n  ¥ , g g-hàm sn-mạng X nên g (n + 1, xy )  g (n, xy ) với n  ¥ Điều suy h(n + 1, y ) = f  g (n + 1, x y )   f  g (n, x y )  = h(n, y ) (1.3) Py = {h(n, y) : n ¥ } sn-mạng y với y  Y Giả sử y  Y Khi đó, - Py mạng y Trước tiên, nhờ (1.1) ta suy y  h( n, y ) với n  ¥ Bây giờ, giả sử U lân cận mở y Y Khi đó, f ánh xạ liên tục nên f −1 (U ) lân cận mở xy X Mặt khác, g ghàm sn-mạng X nên tồn n¥ cho x y  g (n, x y )  f −1 (U ) Điều suy 18 {xy } {xk : k  m}  g (n, xy ) Điều suy { y}  { yk : k  m} = f {x y }  {xk : k  m}  f  g (n, x y )  = h(n, y) Như vậy, h(n, y ) lân cận dãy y với n¥ Từ chứng minh ta suy Py snmạng y với y  Y Do đó, từ (1.1), (1.2) (1.3) ta suy h ghàm sn-mạng Y (2) Giả sử g thỏa mãn thêm tính chất (E), (F), (wF), (G) Khi đó, (2.1) Giả sử g thỏa mãn tính chất (E) Ta chứng minh h thỏa mãn tính chất (E) Thật vậy, giả sử yn  h( n, y ) với n  ¥ Khi đó, h(n, y) = f  g (n, x y )  với n¥ ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 8, số (2018) 16-20 nên ta suy với n  ¥ , tồn xn  g (n, xy ) (2.4) Giả sử g thỏa mãn tính chất (G) Ta chứng minh h thỏa mãn tính chất (G) cho f ( xn ) = yn với n  ¥ Thật vậy, giả sử z , zn  h(n, yn ) với n  ¥ Mặt khác, g thỏa mãn tính chất (E) nên dãy Khi đó, { xn } hội tụ đến x y X Hơn nữa, f ánh xạ z, zn  h(n, yn ) = f  g (n, x yn )  liên tục nên { f ( xn )} hội tụ đến f ( x y ) Y Do đó, nên với n  ¥ , tồn x, xn  X cho dãy { yn } hội tụ đến y Y Như vậy, h thỏa mãn tính chất (E) (2.2) Giả sử g thỏa mãn tính chất (F) Ta chứng minh h thỏa mãn tính chất (F) x, xn  g (n, x yn ), f ( x) = z, f ( xn ) = zn Mặt khác, g g-hàm sn-mạng X thỏa mãn tính chất (G ) nên dãy { xn } hội tụ đến x X Hơn nữa, f ánh xạ liên tục nên dãy {zn } hội tụ Thật vậy, giả sử đến z Y Như vậy, h thỏa mãn tính chất (G) y  h( n, yn ) với n  ¥ Khi đó, với n  ¥ , tồn x yn , x  X cho với n  ¥ , ta có f ( xyn ) = yn , f ( x) = y, x  g (n, xyn ) Bởi g thỏa mãn tính chất (F) nên dãy {xyn } hội tụ đến x X Mặt khác, f ánh xạ liên tục nên ta suy { f ( xyn )} dãy hội tụ đến f ( x ) Y Do đó, dãy { yn } hội tụ đến y Y Như vậy, h thỏa mãn tính chất (F) (2.3) Giả sử g thỏa mãn tính chất (wF) Ta chứng 3.1.2 Bổ đề ([1]) Giả sử X không gian topo Khi đó, (1) X khơng gian snf-đếm có g-hàm sn-mạng thỏa mãn tính chất (E) (2) X khơng gian sn-đối xứng có g-hàm sn-mạng thỏa mãn tính chất (F) (3) X khơng gian sn-trải khơng gian sn-đối xứng Cauchy Sử dụng Định lí 3.1.1 Bổ đề 3.1.2 ta thu hệ sau 3.1.3 Hệ Giả sử f : X → Y ánh xạ 1phủ-dãy từ không gian topo X vào không gian topo Y Khi đó, minh h thỏa mãn tính chất (wF) Thật vậy, giả sử y  h( n, yn ) với n  ¥ Khi đó, với n  ¥ , tồn x yn , x  X cho với (1) Nếu X khơng gian snf-đếm được, Y (2) Nếu X khơng gian sn-đối xứng, Y n  ¥ , ta có f ( xyn ) = yn , f ( x ) = y x  g (n, xyn ) (3) Nếu X khơng gian sn-đối xứng Cauchy, Y Bởi g thỏa mãn tính chất (wF) nên tồn dãy (4) Nếu X không gian sn-trải được, Y {x yn } dãy {xyn } hội tụ đến x X Mặt 3.2 Đánh giá Trong báo này, nghiên cứu số tính chất topo bảo tồn qua ánh xạ 1-phủ-dãy Nhờ đó, chúng tơi đưa số kết thể Định lí 3.1.1 Hệ 3.1.3 k khác, f ánh xạ liên tục nên { f ( x yn )} hội tụ đến k f ( x ) Y Do đó, tồn dãy { ynk } { yn } hội tụ đến y Y Điều chứng tỏ h thỏa mãn tính chất (wF) Kết luận 19 Lương Quốc Tuyển, Nguyễn Thị Mỹ Hạnh Chúng chứng minh khơng gian với g-hàm snmạng thỏa mãn số tính chất topo bảo tồn qua ánh xạ 1-phủ-dãy Nhờ đó, chúng tơi chứng minh khơng gian sn-trải được, snf-đếm được, sn-đối xứng, sn-đối xứng Cauchy bảo tồn qua ánh xạ 1phủ-dãy Tài liệu tham khảo [1] An, T.V., and Tuyen, L.Q (2018) Cauchy snsymmetric spaces with a cs-network (cs*- network) having property σ-(P) Topology Proc 51, 61-75 [2] An, T.V., and Tuyen, L.Q (2018) Spaces with snnetwork g-functions Topology Proc Accepted [3] Yan, P., and Lin, S (2007) CWC-mappings and metrization theorems Adv Math 36 (2), 153-158 [4] Yoshioka, I (2007) Closed images of spaces having g-functions Topology Appl 154, 1980-1992 1-SEQUENCE-COVERING IMAGES OF SPACES HAVING sn-NETWORK g-FUNCTIONS Abstract: Metrizability of topology space is one of the central problems in general topology In 2007, Pengfei Yan, Shou Lin gave some condition about metrizability of topology space having weak base g-functions and characterization of symmetric spaces, g-metrizable spaces, g-developable spaces by weak base g-functions (see [3]) Recently, Tran Van An, Luong Quoc Tuyen has introduced the concept of sn-network g-functions Then, the authors have given a characterization of snf-countable spaces, snsymmetric spaces, Cauchy sn-symmetric spaces, sn-developable spaces, sn-metrizable spaces by sn-network g-functions (see [2]) In this paper, we will give some preservations of spaces having sn-network g-functions with some topological property by 1sequence-covering Using this results, we get preservations of some generalized metric spaces Key words: sn-network g-functions; 1-sequence-covering maps; snf-countable spaces; sn-symmetric spaces; Cauchy snsymmetric spaces; sn-developable spaces 20 ... 1- phủ- dãy Nhờ đó, chúng tơi đưa bảo tồn số không gian metric suy rộng qua ánh xạ 1phủ- dãy Kết đánh giá 3 .1 Kết 3 .1. 1 Định lí Giả sử f : X → Y ánh xạ 1- phủ- dãy từ không gian topo X vào không gian. .. → Y ánh xạ 1- ph? ?dãy từ không gian topo X vào không gian topo Y , g : ¥  X → P (X ) (n, x) a g(n, x) g-hàm sn-mạng X Khi đó, với y  Y , tồn x y  f ? ?1 ( y) thỏa mãn Định nghĩa 2 .1. 5 Ta đặt... U (1) Nếu g g-hàm sn-mạng X , h ghàm sn-mạng Y P = h(n, y)  Py ta thu R  Py , R  P  Q Chứng minh (1) Giả sử g g-hàm sn-mạng X - h(n, y ) lân cận dãy y với n  ¥ Ta chứng minh h g-hàm sn-mạng