VAN DUNG CAO HAM DAC TRUNG

Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan VẬN DỤNG CAO: HÀM ĐẶC TRƯNG A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Bài toán Cho hàm số y = f ( x ) liên tục đơn điệu (đồng biến nghịch biến) khoảng D Khi đó, với u , v Ỵ D cho f (u ) = f (v ) Û u = v Ví dụ Giải phương trình x-1 + x -1 = x  Xét hàm đặc trưng f (t ) = 2t + t -3 x -1 + x - x -1 TXĐ: D = ¡ Đạo hàm: f ¢ (t ) = 2t.ln + > "t Do hàm số ln đồng biến ¡  Từ đề x-1 + x -1 = x -3 x -1 + x - x -1 suy f ( x - 1) = f (x - 3x - 1) Û x - = x - 3x - Û x2 - 4x = éx = Ûê êë x = Bài toán Cho hàm số y = f ( x ) liên tục đồng biến khoảng D Khi đó, với u , v Ỵ D cho:  f (u ) < f (v ) Û u < v  f (u ) > f (v ) Û u > v x2 - 2x Ví dụ Giải bất phương trình sau log + x2 - x + £ 2x - é ê0 < x < x2 - 2x ĐKXĐ: >0Û ê ê 2x - ëê x > Khi đó, bất phương trình tương đương với log ( x - x ) - log (2 x - ) + x - x - x + £ Û log ( x - x ) + x - x £ log (2 x - )+ x -  Xét hàm đặc trưng f (t ) = log t + t TXĐ: D = (0; + ¥ ) + > "t > t.ln Do hàm số đồng bin trờn (0;+ Ơ) o hm f  (t ) =  Theo log ( x - x ) + x - x £ log (2 x - )+ x - suy f ( x - x ) £ f (2 x - 3) Û x - x £ x - x2 4x + x -Địa chỉ: Số nhà 37, ngách 66/36, ngõ 66 đng Hồ Tùng Mậu, Trang quận Cầu Giấy, Tp Hà Nội Điện thoại liên hệ: 0988.258.350 Facebook: SH Academy Thầy cô cần mua file Word xin liên hệ qua số điện thoai 0988.258.350 Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan Kết hợp với ĐKXĐ, ta tập nghiệm bất phương trình T = ê1; ÷÷÷ È (2;3] êë ø Bài toán Cho hàm số y = f ( x ) liên tục nghịch biến khoảng D Khi đó, với u , v Î D cho:  f (u ) < f (v ) Û u > v  f (u ) > f (v ) Û u < v Ví dụ Cho x số thực thỏa mãn điều kiện x + - x + x - ³ log x +1 Tìm giá trị x + 2x - nhỏ hàm số y = x - 3x  Giải bất phương trình x + - x + x - ³ log ìï x + x - > ĐKXĐ: ï ỵx +1> ïìïé x > -1 + ïïêê êë x < -1 - ïï x > -1 ỵ x +1 x + 2x - x > -1 + Bất phương trình tương đương với: x + - x + x - ³ log (x + 1)- log (x + x - ) 2 Û log ( x + x - 5)- x + x - ³ log (x + )- x +  Xét hàm đặc trưng f (t ) = log t - t TXĐ: D = (0; + ¥ ) Đạo hàm f ¢ (t ) = < "t > t t.ln Hàm số nghịch biến khoảng (0;+ ¥) - Do f ( x + x - 5) ³ f (x + 1) Û x + x - £ x + x2 x-6 -3 Kết hợp với ĐKXĐ ta tập nghiệm S = -1+ 6; ùú û x ( ( Xét hàm số y = x - 3x nửa khoảng -1 + 6; ùú û Đạo hàm y ¢ = 3x - = x -1 + 6; ùú û  ( ( ) Ta có y -1 + = -16 + 6 y (2) = Vậy y = -16 + 6 Û x = -1 + ù (-1+ ;2ú û -Địa chỉ: Số nhà 37, ngách 66/36, ngõ 66 đng Hồ Tùng Mậu, Trang quận Cầu Giấy, Tp Hà Nội Điện thoại liên hệ: 0988.258.350 Facebook: SH Academy Thầy cô cần mua file Word xin liên hệ qua số điện thoai 0988.258.350 Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan B BÀI TẬP ÁP DỤNG VẤN ĐỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bài Phương trình sau có nghiệm thực x 3 x 1  x   x2  x   ? A B C D Lời giải  Ta có x  2x   x 1  x 1  x   x2  x    x2  x   x   x  Xét hàm đặc trưng f  t   2t  t TXĐ: D   Đạo hàm f   t   2t.ln   t Do f  t  hàm đồng biến  x  Vì f  x  3x  1  f  x    x  3x   x   x  x     x  Vậy phương trình cho có nghiệm Bài Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x P 1  x  x   251 x Tính giá trị biểu thức 1  x12 x22 A P  B P  2 C P  6 D P  Lời giải   Phương trình tương đương: x 1  x   52  x   x Xét hàm đặc trưng f  t   5t  t TXĐ: D   Đạo hàm f   t   5t ln   x  Hàm số đồng biến  Ta có: x 1  x   52  x   x  f  x    f 2  x   x    x  x1  1  1  x2  2x     P 2 26 x1 x2  x2  1  Bài Gọi x0   2x   ab nghiệm lớn phương trình c   1  x 1 Giá trị P  a  b  c  A P  B P  C P    x 1 x 1    3 D P  Lời giải ĐKXĐ: x  -Địa chỉ: Số nhà 37, ngách 66/36, ngõ 66 đng Hồ Tùng Mậu, Trang quận Cầu Giấy, Tp Hà Nội Điện thoại liên hệ: 0988.258.350 Facebook: SH Academy Thầy cô cần mua file Word xin liên hệ qua số điện thoai 0988.258.350 Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan -  Ta có x    3 1 x x 1    3  x  x 1   x    1  x 1  2x (chia vế cho x  ) 2x  x 1  x  2x Xét hàm đặc trưng f  t   3t  t 3   TXĐ: D   Đạo hàm f   t   3t.ln   t Do f  t  hàm đồng biến  1   Vì f    f  x  1   x   2x  2x    x  2x  2x  Theo x0  1  a  1, b  1, c   P  Bài Phương trình 223 x x  1024 x  23 x3  10 x2  x có tổng nghiệm gần với số A 0,35 B 0, 40 C 0,50 D 0, 45 Lời giải   Ta có 223 x x  1024 x  23 x3  10 x2  x  223 x Xét hàm đặc trưng f  t   2t  t x  23 x3  x  210 x  10 x2 TXĐ: D   Đạo hàm f   t   2t.ln   t Do f  t  hàm đồng biến  Theo ta thấy f  23x  x   f 10 x   23x  x  10 x  x  x  Tổng nghiệm 10  0, 4347 23 Bài Tập nghiệm bất phương trình 22 x A  10;15  15 x 100  2x 10 x 50  x2  25 x  150  là: C 10;15 B 10;15  5 23 D  15;  10  Lời giải   22 x  15 x 100  2x 15 x 100  x2  15 x  100  x Ta có 22 x 10 x 50  x2  25 x  150  Xét hàm đặc trưng f  t   2t  t 10 x  50  x2  10 x  50 TXĐ: D   -Địa chỉ: Số nhà 37, ngách 66/36, ngõ 66 ®ường Hå Tïng MËu, Trang quËn CÇu GiÊy, Tp Hà Nội Điện thoại liên hệ: 0988.258.350 Facebook: SH Academy Thầy cô cần mua file Word xin liên hệ qua sè ®iƯn thoai 0988.258.350 Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan Đạo hàm f   t   2t.ln   t Do f  t  hàm đồng biến  Vì f  x  15 x  100   f  x  10 x  50   x  15 x  100  x  10 x  50  x  25 x  150   10  x  15 Vậy tập nghiệm bất phương trình S  10;15 x2  x   x  x  ? Bài Tổng bình phương nghiệm phương trình log 2x  4x  A B C D 10 Lời giải TXĐ: D    Ta có log x2  x   x2  x  2 2x  4x   log  x  x  3   x  x  3  log  x  x     x  x    Xét hàm đặc trưng f  t   log3 t  t TXĐ: D   0;    Đạo hàm f   t     t  t ln Do f  t  hàm đồng biến  0;    x  1 Vì f  x  x  3  f  2x  4x    x  x   2x  4x   x  3x      x  2 Vậy tổng bình phương nghiệm  x2  x   Bài Biết x1 , x2 hai nghiệm phương trình log    x   x 2x   x 1 x2  a  b với a , b hai số nguyên dương Tính a  b A a  b  16 B a  b  11 C a  b  14 D a  b  13   Lời giải x   Điều kiện xác định:  x     4x2  4x   Ta có log    x   x  log 2x     x  1     x  x 1  x  x   log  x  1   x  1  log x  x 1  Xét hàm đặc trưng f  t   log t  t -Địa chỉ: Số nhà 37, ngách 66/36, ngõ 66 đng Hồ Tùng Mậu, Trang quận Cầu Giấy, Tp Hà Nội Điện thoại liên hệ: 0988.258.350 Facebook: SH Academy Thầy cô cần mua file Word xin liên hệ qua số ®iÖn thoai 0988.258.350 Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan TXĐ: D   0;      với t  t ln Vậy hàm số đồng biến  0;   Phương trình 1 trở thành Đạo hàm f   t    2x 1  f 9   Vậy x1  x2   9     3 x   f  x   2 x    x    3 x    L  a  9; b   a  b    14 TM  Bài Gọi x1 , x2  x1  x2  hai nghiệm phương trình log 2x 1  x  1  x  x  Tính giá trị biểu thức T  x1  x2 ? A 16 B 10 C D Lời giải ĐKXĐ:  2x   x  1  x  0  x  Ta có log 2x   x  x   log  x  1  log  x  x  1  x  x   x  1  log  x  1  log  x  x     x  x    2 x    log  x  1   x    log  x  x      3 x  x    log  x  1   x    log 3 x  x    3 x  x   CHÚ Ý Tại ta lại biết cách tách x  x    x  x  1   x  1  ? Giả sử x  x     x  x  1    x  1   Đi đồng hệ số ta được: 3x  x    x   2  2  x               2  2  8     1            Xét hàm đặc trưng f  t   log3 t  t -Địa chỉ: Số nhà 37, ngách 66/36, ngõ 66 đng Hồ Tùng Mậu, Trang quận Cầu Giấy, Tp Hà Nội Điện thoại liên hệ: 0988.258.350 Facebook: SH Academy Thầy cô cần mua file Word xin liên hệ qua sè ®iƯn thoai 0988.258.350 Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan TXĐ: D   0;    Đạo hàm f   t     t  t ln Do f  t  hàm đồng biến  0;    x  TM  Vì f  x  1  f 3x  x    x   3x  x   3x  x      x  TM   2 Bài Phương trình log  x  x  3  x  x   log  x  1 có số nghiệm T tổng nghiệm S Khi T  S A B C D Lời giải  x2  2x    x  Điều kiện xác định:  x 1   Ta có log  x  x  3  x  x   log  x  1  log  x  x  3   x  x  3   x  1   log  x  1  log  x  x  3   x  x  3   log  x  1  1   x  1  log  x  x  3   x  x  3  log  x  3   x  3  Xét hàm đặc trưng f  t   log3 t  t TXĐ: D   0;    Đạo hàm f   t     t  t ln Do f  t  hàm đồng biến  0;    x  TM  Suy f  x  x    f 3x    x  x   3x   x  x      x  2  L  Vậy T  S  Bài 10 Có nghiệm nguyên thỏa mãn bất phương trình log A B C  x  1   2 x x ? x 2 D Lời giải   x  1 0  ĐKXĐ:  x   x0 x   -Địa chỉ: Số nhà 37, ngách 66/36, ngõ 66 đng Hồ Tùng Mậu, Trang quận Cầu Giấy, Tp Hà Nội Điện thoại liên hệ: 0988.258.350 Facebook: SH Academy Thầy cô cần mua file Word xin liên hệ qua số ®iÖn thoai 0988.258.350 Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan  x   Do   x    Ta có log  x  1 x 2  2 x x     log  x  1   log x    x  x   log  x  1   x    log  x     x    log   x  1  log 2    x 2 2 x x  Xét hàm đặc trưng f  t   log t  2t nửa khoảng 1;   1  Vì t  nên   Do f   t   t ln t ln ln Hàm số nghịch biến 1;   Đạo hàm f   t   Suy f  x  1  f   x   x 1  x   x  x 1    x  Kết hợp với ĐKXĐ ta  x  Bài 11 Cho phương trình x< 1 3+ 3 Vậy có ba nghiệm nguyên x  0; 1; 2 2x 1   log  x    x   log      x  Gọi S tổng tất x  x nghiệm Khi đó, giá trị S A S  2 B S   13 C S  D S   13 Lời giải  2  x    Điều kiện xác định:  x   2x 1    1    x  Ta có: log  x    x   log 2 x  x  log 1  1  x   x   x    log        x  x   log x       1   x    log          x   x    2 Xét hàm đặc trưng f  t   log t   t  1 TXĐ: D   0;    -Địa chỉ: Số nhà 37, ngách 66/36, ngâ 66 ®ường Hå Tïng MËu, Trang quËn Cầu Giấy, Tp Hà Nội Điện thoại liên hệ: 0988.258.350 Facebook: SH Academy Thầy cô cần mua file Word xin liên hệ qua số điện thoai 0988.258.350 Trung Tõm Luyn Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan ln 2.t  ln 2.t  1  , t    t  1  t.ln t ln Do hàm số f  t  đồng biến khoảng  0;   Đạo hàm f   t   Suy f  1  x   f 2   x   x2  2  x3  x  x   x   x  1   13   x    x   13   x  1 Kết hợp với điều kiện ta   x   13  Vậy S   13   Bài 12 Số nghiệm phương trình sin x  cos x   log  sin x  khoảng  0;  là:  2 A B C D Lời giải    Vì sin x  cos x  , x   0;  nên phương trình cho tương đương với  2 sin x  cos x  log  cos x    log  sin x   log  cos x   log  cos x   cos x  log  sin x   sin x  * Xét hàm đặc trưng f  t   log t  t , với t   0;1 ta có f   t     0, t   0;1 t ln Do đó, hàm số f  t  đồng biến khoảng  0;1 Từ phương trình  * , ta có f  cos x   f  sin x   cos x  sin x  sin x  é p ê x = + k 2p ờ ( k ẻ Â) 5p + k 2p êx = êë    Vì x   0;  nên x   2 -Địa chỉ: Số nhà 37, ngách 66/36, ngõ 66 đng Hồ Tùng Mậu, Trang quận Cầu Giấy, Tp Hà Nội Điện thoại liên hệ: 0988.258.350 Facebook: SH Academy Thầy cô cần mua file Word xin liên hƯ qua sè ®iƯn thoai 0988.258.350 Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan Bài 13 Cho hàm số f ( x) = 2019 x - 2019- x Tìm số nguyên m lớn để f (m) + f (2m + 2019) < ? A -673 B -674 C 673 D 674 Lời giải  Ta có f ( x) = 2019 x - 2019-x Þ f (-x) = 2019-x - 2019 x = - f ( x) Þ f ( x) = - f (-x) Vì f (m) + f (2m + 2019) < Û - f (-m) + f (2m + 2019) < Û f (2m + 2019) < f (-m)  Xét hàm số f ( x) = 2019 x - 2019- x TXĐ: D   Đạo hàm f ( x )  2019 x.ln 2019  2019 x.ln 2019  x Do f  x  hàm đồng biến  Suy f (2m + 2019) < f (-m) Û 2m + 2019 < -m Û m < -673 Vậy số nguyên m lớn thỏa mãn yêu cầu toán 674 Bài 14 Cho hàm số y  f (x)  ln    x  x Tập nghiệm bất phương trình f a  1  f ln a   A  0;1 B 0;1 C 1;  D 0;  Lời giải    Ta có f  x  ln  x  x  f x   ln  x  x  ln    ln  x  x  1 x  x        ln   1   x  x   f x  Do f  x    f   x   f  a  1   f 1  a  Vậy nên f a  1  f ln a     f 1  a   f ln a    f ln a  f 1  a    Xét hàm số f  x   ln  x  x  Vì  x  x nên để  x  x  x  1 Vậy TXĐ: D   1;    x 1 x   x2 1  x2  Đạo hàm f   x    x   x 2 1 x  x 1 x  x  x2 Do hàm số ln đồng biến khoảng  1;    Suy f ln a   f 1  a   ln a   a  ln a  a    Giải bất phương trình ln a  a   ĐKXĐ: a  Xét hàm số g  a   ln a  a  khoảng  0;   Địa chỉ: Số nhà 37, ngách 66/36, ngõ 66 đng Hồ Tùng Mậu, Trang 10 quận Cầu Giấy, Tp Hà Nội Điện thoại liên hệ: 0988.258.350 Facebook: SH Academy Thầy cô cần mua file Word xin liên hệ qua số điện thoai 0988.258.350 Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan Đạo hàm f   t   2t.ln 2.log  t    2t  , t   t  2 ln  f  t  đồng biến  0;     x  1  x  m (1) Khi x  m , (1)  x  x   2m  (2) Khi x  m , (1)  x  2m  (3) TH1: (2) có nghiệm kép x0 , (3) có hai nghiệm phân biệt khác x0 3 (2) có nghiệm x   , (3) có hai nghiệm phân biệt x    2 TH2: (3) có nghiệm kép x0 , (2) có hai nghiệm phân biệt khác x0 Khi m  1 (3) có nghiệm x   , (2) có hai nghiệm x    2 TH3: (2) (3) có chung nghiệm x0 , x0  m  m  , thử lại m  thỏa u cầu Khi m  tốn 1 3 Vậy S   ;1;  2 2 Bài 16 Cho phương trình 4 x  m log x  2x  3  2x 2 x log 2 x  m    Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt A m  m  B m   2 3 C m  D m   m   2 Lời giải  Ta có 4 x  m log 1 x  m 2   x   2x  3  2x log  x  x  3  2 log  x  x  3 2 3 x  x   Xét hàm số f  u    2 x log 2 x  m     x2  x log  x  m   log  x  m   3  x  m   log u u log u  với u  23 u 1 2u  Đạo hàm f   u    2u.log u.ln    , u  8 u.ln  Suy hàm số f  u  đồng biến  2;    nên f  x  x  3  f  x  m     x  1  x  m  x  x   2m  1  2   x   2m  Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt Địa chỉ: Số nhà 37, ngách 66/36, ngõ 66 đng Hồ Tùng Mậu, Trang 22 quận Cầu Giấy, Tp Hà Nội Điện thoại liên hệ: 0988.258.350 Facebook: SH Academy Thầy cô cần mua file Word xin liên hệ qua số điện thoai 0988.258.350 Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan TH1: Phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt, phương trình   vô nghiệm, suy 3  2m  1  m  Suy m  thỏa 1*  2  2m   TH2: Phương trình   có hai nghiệm phân biệt, phương trình 1 vơ nghiệm, suy 3  2m  3  m  Suy m  thỏa  2*  2  2m   TH3: Phương trình 1 có nghiệm kép suy m  , nghiệm phương trình 1 x  , nghiệm phương trình   x   , suy phương trình cho có nghiệm Suy m  không thỏa  3* TH4: Phương trình   có nghiệm kép suy m  , nghiệm phương trình   x  , nghiệm phương trình 1 x   , suy phương trình cho có nghiệm Suy m  không thỏa  4* TH5: Phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt, phương trình   có hai nghiệm phân biệt hai phương trình có nghiệm giống 3  2m   m Khi  2  2m   Gọi a , b  b  a  hai nghiệm phương trình 1 , theo định lí Vi-ét ta có a  b   3  a.b  2m  Vì a , b nghiệm phương trình   nên a  b   4  a.b  2m  Từ  3   ta suy m   5* Từ 1* ,  2* ,  3* ,  4*  5* suy m  m  thỏa mãn ycbt 2 Bài 17 Tìm m để phương trình tan x  tan x  3tan x   thuộc nửa khoảng  0;  ?  3 A 1  m  B 1  m  Lời giải  tan x  m  m có hai nghiệm phân biệt tan x C 1  m  D 1  m   Đặt t  tan x  t  0;  Bài toán trở thành: Địa chỉ: Số nhà 37, ngách 66/36, ngõ 66 đng Hồ Tùng Mậu, Trang 23 quận Cầu Giấy, Tp Hà Nội Điện thoại liên hệ: 0988.258.350 Facebook: SH Academy Thầy cô cần mua file Word xin liên hệ qua số ®iÖn thoai 0988.258.350 Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan 2t  m  m có hai nghiệm phân biệt thuộc nửa khoảng 0;  Tìm m để phương trình t  t  3t t  Ta có t  t  3t  2t  m m t m m t Vì t  nên chia hai vế cho t ta được:  t  t  3t 2t   m m m m t  t  3 2t    t  3t   2t    3 2t    t t t  t   Xét hàm đặc trưng f  u   u  3u TXĐ: D   Đạo hàm f   u   3u   u Do f  u  hàm đồng biến   m m m Suy f  t   f  2t    t  2t   t  2t   t  2t  m   t  t t    Xét hàm số g  t   t  2t nửa khoảng 0;    t   0;     Đạo hàm g   t   4t  4t   t   0;    t  1 0;  Bảng biến thiên t g t  g t     1 Từ BBT, phương trình g  t   m có hai nghiệm phân biệt 1  m  Bài 18 Cho phương trình sin x   cos x    cos3 x  m  1 cos3 x  m   cos3 x  m   2 Có giá trị nguyên tham số m để phương trình có nghiệm x  0;  A B C D  ?  Lời giải Địa chỉ: Số nhà 37, ngách 66/36, ngõ 66 đng Hồ Tùng Mậu, Trang 24 quận Cầu Giấy, Tp Hà Nội Điện thoại liên hệ: 0988.258.350 Facebook: SH Academy Thầy cô cần mua file Word xin liên hệ qua số ®iÖn thoai 0988.258.350 Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan - ĐKXĐ: 2cos3 x  m    m  2cos3 x  1  2  3 Vì x  0;  nên   cos x     cos x   2  2cos x     4  2cos3 x    Mà m  2cos3 x  nên m    7 Ta có sin x   cos x    2cos3 x  m  1 2cos3 x  m   2cos3 x  m   sin x   1  2sin x    2cos3 x  m    1 2cos3 x  m   2cos3 x  m   2sin x  sin x    2cos3 x  m   2cos3 x  m  Xét hàm đặc trưng f  t   2t  t TXĐ: D   Đạo hàm f   t   6t   t Vậy hàm số f  t  đồng biến  Suy f  sin x   f   2cos3 x  m   sin x  2cos3 x  m   2  Vì x  0;  nên  sin x  , bình phương hai vế ta được:   sin x  2cos3 x  m    cos x  2cos3 x  m   2cos3 x  cos x   m   Đặt u  cos x  u    ;1 Phương trình trở thành 2u  u    m      Xét hàm số g  u   2u  u    ;1      u     ;1   Đạo hàm g   u   6u  2u       u      ;1    Bảng biến thiên u  g u    g u  0   28 27 Địa chỉ: Số nhà 37, ngách 66/36, ngõ 66 đng Hồ Tùng Mậu, Trang 25 quận Cầu Giấy, Tp Hà Nội Điện thoại liên hệ: 0988.258.350 Facebook: SH Academy Thầy cô cần mua file Word xin liên hệ qua số điện thoai 0988.258.350 Trung Tõm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan  m   m  1  Từ BBT, phương trình g  u   m có nghiệm khi: 28    m   4  m   28 27  27  7 28 Kết hợp với điều kiện m   , ta được: m  1   m   Vậy m  1 4 27 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ DÀNH CHO BẠN ĐỌC TỰ GIẢI Bài 19 Cho phương trình x + (m -12) x - m = x ( ) x - m - Có giá trị nguyên tham số m để phương trình cho có hai nghiệm thực phân biệt ? A B C D Bài 20 Có giá trị nguyên dương tham số m để bất phương trình sau có nghiệm với x  1; 2 ? 1  m  x A 3  3x    m  x   D Bài 21 Gọi S tập tất giá trị nguyên tham số m  2019; 2019 để bất phương trình 1  m  x 3 B C    m3  x  13  m  3m3  x  10  m  m3  với x  1;3 Số phần tử tập S A 4038 B 2021 C 2022 D 2020 Bài 22 Có giá trị nguyên dương tham số m để phương trình m  3 m  3sin x  sin x có nghiệm thực ? A B C D Bài 23 Có giá trị nguyên tham số thực m nhỏ 10 cho phương trình m  m  e x  e x có nghiệm thực? A B C 10 D A m  B m  C m  e D m  1 Bài 24 Tìm giá trị m để phương trình ln m  ln  m  x   x có nhiều nghiệm Bài 25 Có giá trị nguyên m để phương trình cos x  cos x  m  m có nghiệm ? A B C D x Bài 26 Cho phương trình  m  log3  x  m  với m tham số Có giá trị nguyên m   15;15 để phương trình cho có nghiệm A 16 B C 14 D 15 x Bài 27 Cho phương trình  m  log5  x  m  với m tham số Có giá trị nguyên m   20; 20  để phương trình cho có nghiệm? A 20 B 19 C D 21 Địa chỉ: Số nhà 37, ngách 66/36, ngâ 66 ®ường Hå Tïng MËu, Trang 26 quËn Cầu Giấy, Tp Hà Nội Điện thoại liên hệ: 0988.258.350 Facebook: SH Academy Thầy cô cần mua file Word xin liên hệ qua số điện thoai 0988.258.350 Trung Tõm Luyn Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan Bài 28 Phương trình x 2 m 3 x   x3  x  x  m  x 2  x 1  có nghiệm phân biệt m  (a; b) đặt T  b  a thì: A T  36 B T  48 C T  64 D T  72 VẤN ĐỀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Bài Xét số thực dương x, y thoả mãn 2018   x  y Giá trị nhỏ Pmin biểu  x  y 1  x  1 thức P  y  x A Pmin  B Pmin  C Pmin  D Pmin  Lời giải  Ta có 2018  x  y 1    2x  y x  y 1    log 2018  2018   log 2018     x  1  x   2x  y   x  y  1  log 2018  x  y   log 2018  x  1      log 2018  x  x  1  x  x   x  y  log 2018  x  y   log 2018  x  x  1   x  x  1  log 2018  x  y    x  y   Xét hàm: f  t   log 2018 t  2t , t    , t  t ln 2018 Do hàm f  t  đồng biến khoảng  0;   Đạo hàm f   t   Mà  *  f  x  x  1  f  x  y   x  x   x  y  y  x  3 7  Khi đó: P  y  x  x  x    x     4 8  Vậy Pmin  x  Bài Xét số thực x , y  x  0 thỏa mãn  y  x  3 2018 x 3 y Gọi m giá trị nhỏ biểu thức T  x  y Mệnh đề sau ? 2018 x 3 y  2018 xy 1  x   2018 xy 1  A m   0;1 Lời giải  B m  1;  C m  2;3 D m  1;0   y  x  3 2018 x 3 y  2018 x 3 y  2018 x 3 y  x  y  2018 xy 1  2018 xy 1  xy  Ta có 2018 x 3 y  2018 xy 1  x   2018 xy 1   f  x  y   f   xy  1 1 Địa chỉ: Số nhà 37, ngách 66/36, ngõ 66 đng Hồ Tùng Mậu, Trang 27 quận Cầu Giấy, Tp Hà Nội Điện thoại liên hệ: 0988.258.350 Facebook: SH Academy Thầy cô cần mua file Word xin liên hệ qua số điện thoai 0988.258.350 Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan - Xét hàm số f  t   2018t  2018t  t , với t   Đạo hàm f   t   2018t ln 2018  2018t ln 2018   , t   Do f  t  đồng biến  nên 1  x  y   xy   x  1 x 1 T  x x3 x3  x  1 Xét hàm số f  x   x  , với x   0;   có đạo hàm x3  y  x  3   x   y    f  x  1  x  3  x  6x   x  3  , x   0;   Do f  x  đồng biến  0;    f  x   f     Dấu “  ” xảy  x   m   Bài Cho số thực x , y với x  thỏa mãn x 3 y  xy 1  x  y  1   5 xy 1  m giá trị nhỏ biểu thức T  x  y  Mệnh đề sau đúng? A m   0;1 B m 1;  Lời giải C m   2;3 x 3 y  y Gọi D m   1;0   Ta có: x 3 y  xy 1  x  y  1   5 xy 1   Xét hàm số f  t   5t  5t  t có f   t   5t ln  5t ln   , t    3y  x 3 y  5 x 3 y  x  y  5 xy 1  xy 1  xy  x 3 y Do hàm số f  t  đồng biến   f  x  y   f   xy  1  x  y   xy   y 3  x    x 1  y   x  y 1  x   x 1 (do x  nên x   ) 3 x x2  2x  2 x  1  T  x3 x3 Xét hàm số g  x   x2  2x  x2  6x  với x  có g   x    , x  x3  x  3 1 Do đó: g  x   g    , x  hay x  y   , x  Vậy m    0;1 3 Bài Cho x , y số thực thỏa mãn điều kiện: 3x giá trị lớn biểu thức M   x  y   xy log  x  y    y2 2 1  log 1  xy   Tìm 2 Địa chỉ: Số nhà 37, ngách 66/36, ngõ 66 đng Hồ Tùng Mậu, Trang 28 quận Cầu Giấy, Tp Hà Nội Điện thoại liên hệ: 0988.258.350 Facebook: SH Academy Thầy cô cần mua file Word xin liên hệ qua số điện thoai 0988.258.350 Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan -17 D Biến đổi điều kiện thành 3 x  y  32 xy 1.log  x  y   log  1  xy   A B C 13 Lời giải x  y Điều kiện:   xy   2  3 x  y  log  x  y   321 xy .log 2 1  xy  *  Xét hàm số f  t   3t.log t với t  Ta có f   t   3t ln 3.log t  Suy hàm số f  t  đồng biến liên tục khoảng  0;   Từ * ta có  x  y   1  xy   x  y    x  y  2  2 3t  với t  t ln x  y   xy  xy   2 Đặt u  x  y ,  x  y   x  y  nên 2  u   u2    u2   Ta có M   x  y   x  y  xy   xy   x  y   xy   3xy  2u     3      2u   u   u    u  u  6u  với u  2 u  Có đạo hàm g   u   3u  3u  ; g   u      u  2 13 Ta có g  2   7 ; g 1  ; g    x  y  x  y  13   Vậy max M  max g  u   u  hay  2  2;2 x  y   xy    Xét hàm số g  u     1 1 x  x    Suy    y  1  y  1   2 Bài Cho hai số thực x , y thỏa mãn: y  y  x  x   x   y  1 Tìm giá trị lớn biểu thức P  x  y A P  10 B P  C P  D P  Lời giải ĐKXĐ: x   Ta có y  y  x  x   x   y  1    y  y  y    y  1  1  x   x   x   x Địa chỉ: Số nhà 37, ngách 66/36, ngõ 66 đng Hồ Tùng Mậu, Trang 29 quận Cầu Giấy, Tp Hà Nội Điện thoại liên hệ: 0988.258.350 Facebook: SH Academy Thầy cô cần mua file Word xin liên hệ qua số điện thoai 0988.258.350 Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan -  y  1   y  1    1 x   x 1  Xét hàm số f  t   2t  t 0;    Ta có: f   t   6t   với t   f  t  đồng biến 0;    Vậy 1  y    x  y    x  P  x  y  x    x với  x  1  Xét hàm số g  x    x   x  ;1 Ta có: g   x    1 x Bảng biến thiên  1 x 1 1 x x g  x    x  0  g  x   g  x   Từ bảng biến thiên hàm số g  x  suy giá trị lớn P là: max g  x     ;1   Bài Cho hai số thực x, y thỏa mãn x   y 3xy  x  3xy   Tìm giá trị nhỏ P  x  y  xy   x  1  x  y   A 296 15  18 B 36  296 15 C 36  D 4  18 Lời giải    Ta có x   y xy  x  xy    27 x  x  3 xy   xy   xy   Xét hàm f  t   t  2t với t   0;   Đạo hàm f   t   3t   t   0;   nên hàm số liên tục đồng biến  0;   Khi ta có 3x  3xy   x  x  xy  +) Với x   5  l  +) Với x  P  x  y  xy   x  1  x  y    x3  y  xy   x  3  x  y    x3  y  xy   3xy   x  y   Địa chỉ: Số nhà 37, ngách 66/36, ngõ 66 đng Hồ Tùng Mậu, Trang 30 quận Cầu Giấy, Tp Hà Nội Điện thoại liên hệ: 0988.258.350 Facebook: SH Academy Thầy cô cần mua file Word xin liên hệ qua sè ®iƯn thoai 0988.258.350 Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan - x3  y  3x y  3xy   x  y     x  y  2 x  y  Mà x  y  x   9x2  5 5 Đặt t  x  y t   4x   4x  3x 3x 3x 3 Xét f  t   t  2t  với t  Khi f   t   3t   với t    36  296 15 Do f  t   f      Suy P  36  296 15 36  296 15 Vậy GTNN P 9 Bài Xét số thực dương a , b thỏa mãn log P  a  2b A Pmin  10  B Pmin  10   ab  2ab  a  b  Tìm giá trị nhỏ Pmin ab C Pmin  10  D Pmin  10  Lời giải  ab    ab  ab  ab Ta có log  2ab  a  b  ab  log 1  ab   log  a  b    ab  1  a  b  ĐKXĐ:   log 1  ab    1  ab    log  a  b   a  b  log   2ab    2ab  log  a  b   a  b 1  Xét hàm số: f  t   log t  t ,  t   Đạo hàm f   t     , với t  t ln Suy hàm số f  t  đồng biến khoảng  0;    Do đó: 1  f   2ab   f  a  b    2ab  a  b  a  Theo đề ta có: a , b  , suy b  2b  Ta có P  a  2b   2b  g  b  , với b   0;   2b Đạo hàm: g   b   5 1  2b   ; g b   b  2b  2b 10    0;   10   10  Ta có: lim g  x   ; g  ; lim g  x     x 0 x 2   Địa chỉ: Số nhà 37, ngách 66/36, ngõ 66 đng Hồ Tùng Mậu, Trang 31 quận Cầu Giấy, Tp Hà Nội Điện thoại liên hệ: 0988.258.350 Facebook: SH Academy Thầy cô cần mua file Word xin liên hệ qua số điện thoai 0988.258.350 Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan -Vậy Pmin  10  Địa chỉ: Số nhà 37, ngách 66/36, ngõ 66 đng Hồ Tùng Mậu, Trang 32 quận Cầu Giấy, Tp Hà Nội Điện thoại liên hệ: 0988.258.350 Facebook: SH Academy Thầy cô cần mua file Word xin liên hệ qua số điện thoai 0988.258.350 Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan  x  4y  Bài Cho x , y số thực dương thỏa mãn log    x  y  Giá trị nhỏ  x y  biểu thức P  x4  x2 y  x2  x  y A Lời giải C 16 D 25 x  4y 0 x y Điều kiện :  B  x  4y  Ta có log    2x  y   x y   x  4y   log     x y  x y   x  4y   log    x y  2x  y   x  4y   log    2 x  y    x  y   2x  y   log  x  y    x  y   log  x  y    x  y   Xét hàm số f  t   log t  2t với t   0;     với t   0;   nên hàm số f  t  đồng biến t   0;   t ln Nên x  y  x  y  x  y Đạo hàm f   t   Suy P  2x4  2x2 y2  6x2  x  y Vậy Pmin   8 8 16  2 y y 9 9y 9y 16  x y  Bài Cho số thực x, y thỏa mãn  x, y  log     x  1 y     Tìm giá trị   xy  nhỏ P với P  x  y A B C D Lời giải Địa chỉ: Số nhà 37, ngách 66/36, ngõ 66 đng Hồ Tùng Mậu, Trang 33 quận Cầu Giấy, Tp Hà Nội Điện thoại liên hệ: 0988.258.350 Facebook: SH Academy Thầy cô cần mua file Word xin liên hƯ qua sè ®iƯn thoai 0988.258.350 Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan 0  x, y    x, y     x  y  Điều kiện  x  y 1  xy  1  xy      x y  Khi log     x  1 y       xy   log3  x  y   log3 1  xy   x  y  xy    log3  x  y    x  y   log3 1  xy   1  xy   (* ) Xét hàm số f (t )  log t  t với t  , ta thấy f (t )    0, t  nên hàm số f (t ) t ln đồng biến khoảng  0;   Suy (*)  x  y   xy Suy P  x  y  x  x  y  x   xy   x(1  y )  Đẳng thức xảy x  , y  (thỏa điều kiện đề bài) Vậy, PMin  Bài 10 Xét số thực dương x , y thỏa mãn log giá trị Pmax biểu thức P  A Pmax  x y  x  x    y  y    xy Tìm x  y  xy  2 5x  y  x y3 B Pmax  C Pmax  D Pmax  Lời giải  Ta có: log  log 3 x y  x  x    y  y    xy x  y  xy  2 3 x  y   log 3  x  y  xy   x  y  x  y  xy  2   x  y   log  3  x  y     x  y  xy    log x  y  xy   * Xét hàm số f  t   t  log t , t  Đạo hàm f   t     0, t   f  t  hàm số đồng biến khoảng  0;    ln 3.t Do đó, *   x  y   x  y  xy   xy   x  y    x  y   Mặt khác, ta xét S  x  y   x  y   xy   x  y    x  y    x  y      x  y  3  2 2 Khi đó, ta có: 3x  y    P  3 x   P   y   P P x y6 Địa chỉ: Số nhà 37, ngách 66/36, ngâ 66 ®ường Hå Tïng MËu, Trang 34 quËn Cầu Giấy, Tp Hà Nội Điện thoại liên hệ: 0988.258.350 Facebook: SH Academy Thầy cô cần mua file Word xin liên hệ qua số điện thoai 0988.258.350 Trung Tõm Luyn Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan 2 2  1  P    P  3 x   P   y    x  y   P  3   P      P  10 P  13    26 P  38 P  64    P  x  Vậy Pmax    y 1 Bài 11 Xét số thực dương x , y thỏa mãn log giá trị lớn P  x y  x  x    y  y    xy Tìm x  y  xy  2 3x  y  x y6 B A C D Lời giải  Ta có: log x y  x  x    y  y    xy x  y  xy  2  log  x  y    x  y    log  log  x  y    x  y   log  log 3  x  y     x  y   log  3 x  log x  y  xy     x  y  xy   x  y  xy     x  y  xy    y  xy     x  y  xy   * Xét hàm số f  t   log t  t , với t  Đạo hàm f   t   t.ln   , t  Vậy hàm số f  t  liên tục đồng biến khoảng  0;   Do đó: f   x  y    f  x  y  xy     x  y   x  y  xy  1 Từ 1  xy   x  y    x  y   2  x  y 1 Ta có x  x  xy  xy  x  y  1  xy     xy   Đẳng thức xảy x  y  Do từ 1 , suy ra:  x  y  1 x Đặt u  x  y , u  Suy ra: P   2 x  y    x x y6 Ta có: g   u      x  y   x  y   u  1 2u    u  3u  3u  22u    g u  u6 u  6 3u  36u  135 4u  6 2   u  (nhận) Địa chỉ: Số nhà 37, ngách 66/36, ngõ 66 đng Hồ Tùng Mậu, Trang 35 quận Cầu Giấy, Tp Hà Nội Điện thoại liên hệ: 0988.258.350 Facebook: SH Academy Thầy cô cần mua file Word xin liên hệ qua sè ®iƯn thoai 0988.258.350 Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan Bảng biến thiên u g ¢ (u ) + +¥ - g (u ) - -¥ x  y 1 x   Dựa vào BBT, ta có max P  max g  u   g  3    0;   x  y   y  BÀI TẬP TƯƠNG TỰ DÀNH CHO BẠN ĐỌC TỰ GIẢI Bài 12 Cho x, y số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  Tính giá trị nhỏ biểu thức T  x  y A Tmin   B Tmin   xy  x    3 x  y  y  x   xy C Tmin   D Tmin   Bài 13 Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị (C ) , với x, y số thực dương thỏa mãn log x - 2y = 12 xy - x + y + 14 Tiếp tuyến (C ) song song với đường thẳng + xy x - 242 y + = có phương trình A x - 242 y - 14 = B x - 242 y + = C x - 242 y + = D x - 242 y - 12 = x2 + y +1 + x -10 xy + y £ Gọi Bài 14 Cho x, y số thực dương thỏa mãn log 2 x +10 xy + y x  xy  y Tính T  10M  m ? xy  y C 104 D 50 M , m giá trị lớn ,giá trị nhỏ P  A 60 B 95   x yz  x  x  2  y  y  2  z  z  2  x  y  z     x yz Tổng giá trị lớn nhỏ biểu thức F  x yz Bài 15 Cho số thực x, y , z thỏa mãn log16  A B  C 3 D  Địa chỉ: Số nhà 37, ngách 66/36, ngõ 66 đng Hồ Tùng Mậu, Trang 36 quận Cầu Giấy, Tp Hà Nội Điện thoại liên hệ: 0988.258.350 Facebook: SH Academy Thầy cô cần mua file Word xin liên hƯ qua sè ®iƯn thoai 0988.258.350 .. .Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan Kết hợp với ĐKXĐ, ta tập nghiệm bất phương trình T = ê1; ÷÷÷ È (2;3] êë ø Bài toán. .. x -1) = có nghiệm thực ? A B C D VẤN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ Bài Có giá trị nguyên không âm tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: x + x + m = 10 3x - m ?... số điện thoai 0988.258.350 Trung Tõm Luyn Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan Bài Gọi S tập hợp giá trị thực tham số m cho phương trình