NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 7

Tailieumontoan.com  Vũ Hữu Bình NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN LỚP TOÁN TẬP Tài liệu sưu tầm, ngày 24 tháng năm 2020 Website: tailieumontoan.com Chương I SỐ HỮU TỈ SỐTHỰC §1 CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA CÁC SỐ HỮU TỈ Các phân số biểu diễn số hữu tỉ Số hữu tỉ số viết đƣợc dƣới dạng a phân số với a, b  , b  Tập hợp số hữu tỉ đƣợc kí hiệu b Ta xác định thứ tự nhƣ sau : a c   ad  bc (a, b, c, d  ; b, d  0) b d Ta xác định hai phép toán: a c ad + bc - Phép cộng:   ; b d bd a c ac - Phép nhân:    b d bd Phép cộng số hữu tỉ có bốn tính chất: giao hoán, kết hợp, cộng với số 0, cộng với số đối Phép nhân số hữu tỉ có bốn tính chất: giao hoán, kết hợp, nhân với số l, nhân với số nghịch đảo Giữa phép nhân phép cộng có quan hệ: phép nhân 'phân phối phép cộng Giữa thứ tự phép tốn có quan hệ: x y  x z y z ; x  y  x z  y z với z  0; x  y  x z  y z với z  Trừ số hữu tỉ cộng với số đối số Chia cho số hữu tỉ khác nhân với số nghịch đảo số Mọi số hữu tỉ khác có số nghịch đảo Do phép chia số hữu tỉ cho số hữu tỉ khác cho kết số hữu tỉ Ví dụ a) So sánh tổng tích cặp phân số sau : 7 8 ; 11 b) Cho phân số a a c a c c cho      Hãy tìm phân số b b d b d d Giải: 7 7 8 8 a)    ;     5 11 11 b) Với b  0, d  0, a  b a c a c ad  bc ac       ad  bc  ac  ad  ac  bc b d b d bd bd c a   d a b c 7 a  Chẳng hạn: Nếu   d 5 b  ad  c(a  b)  Nếu c 8 8 a     d 11 3 b 11 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Bài tập So sánh số hữu tỉ : 18 23 a) ; 91 114 b) 103 22  177 35 Tìm hai phân số có tử 9, biết giá trị phân số lớn Cho số hữu tỉ a) ad  bc; 11 11 nhỏ 13 15 a a c c với mẫu dƣơng,  Chứng minh rằng: b b d d a ac c b)    b bd d Kí hiệu  x  số nguyên lớn không vƣợt x , gọi phần nguyên x , chẳng hạn 1,5  1; 5  5; 2,5  3  1   43  a) Hãy tính :   ; 3, 7 ;  4 ;  7  10  b) Cho x  3, So sánh:  1    3  4 A   x    x     x     x     x   B  5 x   5  5  5  5 100  100  100  100  c) Tính               50   50   50   50   50  d) Tính                 2  2  2  2  e) Cho x So sánh  x  với x , so sánh  x  với y y  ; y  x Thực phép tính : a) 2 1 2    2 1 7     10 2 1 4 c)       35 41 1 1      d) ; 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1 b) Cho số hữu tỉ x 1, 4089 ; 0,398 ;  0, 4771 ;  1, 2592 a) Viết số dƣới dạng tổng số nguyên a số thập phân b không âm nhỏ 1(*) b) Tính tổng số hữu tỉ hai cách : tính thơng thƣờng, tính tổng số đƣợc viết dƣới đạng câu a c) Hãy so sánh b  x  trƣờng hợp câu a (*) Trong cách viết này, a phần nguyên x , b phần lẻ x Kí hiệu phần lẻ x  x x   x   x Tìm số nguyên n để phân số sau có giá trị số ngun tính giá trị đó: Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 3n  n4 Tìm số nguyên x y , biết rằng: y    x a) A  b) B  6n  2n  Website: tailieumontoan.com Viết tất số nguyên có giá trị tuyệt đối nhỏ 20 theo thứ tự tuỳ ý Lấy số trừ số thứ tự ta đƣợc hiệu Tổng tất hiệu ? 10 Thực phép tính :       10 15 20  19 a)  ;  1 3  4      14 35  1     100    1 1      6,3 12  21 3,  3 9 1 1     100 b) 1 3 3      c) 11  25 125 625  4 4 4      11 25 125 625 11 Tìm số hữu tỉ x , biết rằng: a) b) c) x    12; 3  : x   3; 4 3x   x 1 x 1 x 1 x 1 x 1     ; 10 11 12 13 14 x  x  x  x 1 e*)    ; 2000 2001 2002 2003 d) 99     1 2! 3! 4! 100! 1.2  2.3  3.4  99.100  13 Chứng mỉnh rằng:      2! 3! 4! 100! 12 Chứng minh rằng: 14 a) Ngƣời ta viết bảy số hữu tỉ vịng trịn Tìm số đó, biết tích hai số cạnh 16 b) Cũng hỏi nhƣ n số 1 ? 15 Có tồn hay khơng hai số dƣơng a b khác nhau, cho   a b a b Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com 16* Chứng minh rằng: 1 1 1 1          1.2 3.4 5.6 49.50 26 27 28 50 1 1     Chứng rằng:  A 1.2 3.4 5.6 99.100 12 18 Tìm hai số hữu tỉ a b , cho: a  b  2(a  b)  a :b 19* Tìm hai số hữu tỉ a b , cho a  b  ab  a :b 20* Tìm số hữu tỉ x , cho tổng hai số với số nghịch đảo số ngun Ví dụ: 23,24,26 ®Õn 29, 33, 58 ®Õn 76 Bài tập: 135,139 ®Õn 143, 148 ®Õn 150, 156 ®Õn 160, 212 ®Õn 228, 230 ®Õn 271, 273 ®Õn 275, 277, 278 I7* Cho A §2 GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ Xem chuyên đề Giá trị tuyệt đối số phần chuyên đề Ví dụ: 35 đến 43 Bài tập: 152, 153, 162 đến 164 §3 LUỸ THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ Luỹ thừa bậc n số hữu tỉ x , kí hiệu x n , tích n thừa số x ( n số tự nhiên lớn 1) Quy ƣớc : x0 1 với x  0; x1  x Ta có quy tắc : xm xn  xmn ; x m : x n  x mn (với x # 0, m  n ) n x xn x  x ;  x y   x y ;    n (với y  ) y  y Ví dụ a) Có thể khẳng định x luôn lớn x hay không ? b) Khi x  x ? Giải :   m n mn n n n 1 a) Không thể khẳng định nhƣ vậy, chẳng hạn với x     2 b) x2  x  x2  x   x( x  1)  Xảy quan hệ x x  trái dấu Chú ý x  1 x nên phải có x  1 0, x  tức  x 1 Nhƣ với  x 1 x  x Cách giải khác xem ví dụ 30 Ví dụ Tìm số hữu tỉ a, b, c biết rằng: ab  2, bc  3, ca  54 Giải : Nhân vế ba đẳng thức trên, ta đƣợc 2  abc   2.3.54  6.6.9   6.3 nên abc  18 Nếu abc  18 với ab  suy c  , với bc  suy a  , với ca  54 suy Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com b Nếu abc   18 lập luận tƣơng tự nhƣ suy c   9, a   6, b  Có hai đáp số: a  , b  1 , c  a   6, b  , c   3 1 Ví dụ Rút gọn: A1  52  53   549  550 Giải: A   52  53  54   550  551 A    52  53   549  550 Do A  A  551 1 551 1 Nhận xét: Trong biểu thức A, số hạng sau gấp lần số hạng liền trƣớc Do ta tính biểu thức 5A trừ A đƣợc hiệu 551 1 , từ rút biểu thức A Ví dụ Vậy A  98 1 1 1 1 1 Cho B                  2 2 2 2 2 99 Chứng minh B 1 Giải: Ta viết: 1 1     97  98 2 2 1 1 1 B 1      98  99 2 2 2 B  B 1  99 2 B 1  nên Do B 1 Bài tập 21 Chứng minh rằng: a) 76  75  74 chia hết cho 55; b) 165  215 chia hết cho 33; c) 817  279  913 chia hết cho 405 22 Điền vào chỗ trống ( ) từ “bằng nhau” “đối nhau” cho đúng: a) Nếu hai số đối bình phƣơng chúng b) Nếu hai số đối lập phƣơng chúng c) Lũy thừa chẵn bậc hai số đối d) Lũy thừa lẻ bậc hai số đối 23 Các đẳng thức sau có với số hữu tỉ a b hay không? a )  a  (  a )3 ; b)  a5  (a)5 c )  a  ( a ) ; d )  a  ( a ) e)  a  b    b  a  ; 24 Tính: 2 g )  a  b    b  a  Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com 15 1 1 a)     2 4 20 25 1 1 b)   :   9 3 30   1 với x  c)     d ) x3 : x  16    25 Viết số 64 dƣới dạng a n với a Có cách viết?     26 Rút gọn biểu thức A  45.94  2.69 210.38  68.20 27 Cho Sn 1      1 n 1 n với n 1, 2,3, Tính S35  S60 28 Cho A1  13 17  21 25  ( n số hạng, giá trị tuyệt đối số hạng sau lớn giá trị tuyệt đối số hạng trƣớc đơn vị, dấu cộng dấu trừ xen kẽ) a) Tính A theo n b) Hãy viết số hạng thứ n biểu thức A theo n (chú ý dùng lũy thừa để biểu thị dấu số hạng đó) 29 Với giá trị chữ biểu thức sau có giá trị số 0, số dƣơng, số âm? a 2b x3 a) P  ; b) Q  c yz 30 Hai số hữu tỉ a b trái dấu a  b5 Xác định dấu số 31 Viết số sau dƣới dạng lũy thừa : 1 0,5 ; ; ; 32 a) Viết số sau thành lũy thừa với số mũ âm: 0,00000002 ; 1000000 b) Viết số sau dƣới dạng số thập phân: 107 ; 2,5.106 Tính xem A gấp lần B : B  34.109 ; a) A  3, 4.108 ; 16 ; 32 33 34 b) A  104  103  102 ; So sánh: 64 ; 1; B  109 37  1   1  a)     ;    16  Hãy xếp số hữ tỉ a , b , c theo thứ tự từ nhỏ đến lớn: a  2100 , b  375 , c  550 Trong câu sau, câu với số hữu tỉ a ? a) Nếu a  a  ; b) Nếu a  a  ; c) Nếu a  a  a ; d) Nếu a  a a  e) Nếu a2  a a  a) Cho a m  a n ( a  ; m, n  ) Tìm số m n 38 b) Cho a m  a n (a  ; a  0; m, n  ) So sánh m n Tìm số hữu tỉ x , biết rằng: 500 100 35 36 a)  x  1  81 ; 39 0, 25 b)  x  1  32 ; b)  32   18 13 c)  x  1   x  1 Tìm số tự nhiên x , biết rằng: Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com 40 x 1 a)   650 ; b) Tìm số tự nhiên x y , biết rằng: x x x 1  5.3  162 a) 2x1.3y  12x ; b) 10x : y  20 y ; c) 2x  y1 27 y  3x8 41 Tìm số hữu tỉ a , b , c , biết rằng: a) ab  , bc  , ca  5 b) a  a  b  c   12 ; b  a  b  c   18 ; c  a  b  c   30 ; c) ab  c , bc  4a , ac  9b  42 Cho năm số tự nhiên a , b , c , d , e thỏa mãn ab  bc  cd  d e  ea Chứng minh năm số a , b , c , d , e 1 1 1    A    1   1   1   1 43 Cho 2  3  4   100  1 So sánh A với 44 Rút gọn A  2100  299  298  297   22  45 Rút gọn B  3100  399  398  397   32   1 1 46 Cho C      99 3 3 Chứng minh C  47  Chứng minh rằng: 19     2  2 2 3 10 48  Chứng minh rằng: 100      100  3 3 m n m n 49 Ta khơng có   với số nguyên dƣơng m , n Nhƣng có số ngun dƣơng m , n có tính chất Tìm số 50  Tìm số nguyên dƣơng m , n cho 2m  2n  256 51  Cho bảng vuông  ô Trong ô bảng viết số số 1 Gọi d i tích số dịng i ( i  , , ), ck tích số cột k ( k  , , ) a) Chứng minh xảy d1  d2  d3  c1  c2  c3  b) Xét toán bảng vuông n  n  52 Cho n số x1 , x2 , x3 , , xn , mối số 1 Biết tổng n tích x1 x2 , x2 x3 , x3 x4 , , xn x1 Chứng minh n chia hết cho Ví dụ: 25 , 30 đến 32 , 34 Bài tập: 133 , 134 , 136 đến 138 , 151 , 154 , 155 , 161 §4 TỈ LỆ THỨC a c  (hoặc a : b  c : d ) số hạng b d a d đƣợc gọi ngoại tỉ, số hạng b c đƣợc gọi trung tỉ a c Khi viết tỉ lệ thức  , ta giả thiết b  , d  b d Tỉ lệ thức đẳng thức hai tỉ số Trong tỉ lệ thức Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com a c  ta suy ad  bc Đảo lại, ad  bc (cả bốn số a , b , c , d khác ) b d ta có tỉ lệ thức : a c a b d c d b  ,  ,  ,  b d c d b a c a Nhƣ tỉ lệ thức, ta hoán vị ngoại tỉ với nhau, hoán vị trung tỉ với nhau, hoán vị ngoại tỉ với trung tỉ với Từ đẳng thức ad  bc , ta lập đƣợc bốn tỉ lệ thức với số hạng a , b , c , d (với quy ƣớc a c c a hai tỉ lệ thức   kể tỉ lệ thức) b d d b Ví dụ Cho ba số , , 24 a) Tìm số x cho x với ba số lập thành tỉ lệ thức b) Có thể lập đƣợc tất tỉ lệ thức? Giải: a) Trong ba số , , 24 , có ba cách chọn tích hai ba số Với tích, có cách lập đẳng thức với tích số cịn lại x Ta có: 6.8  24.x  x  ; 6.24  8.x  x  18 ; 8.24  6.x  x  32 b) Với tích 6.8  24.2 ta lập đƣợc bốn tỉ lệ thức: 6 24 8 24  ,  ,  ,  24 8 24 6 Tƣơng tự với tích 6.24  8.18 8.24  6.32 Tất có 3.4  12 tỉ lệ thức Từ tỉ lệ thức Ví dụ 7: Cho tỉ lệ thức a c a c  Chứng minh  (giả thiết a  b , c  d số a , b , b d a b c d c , d khác ) Giải: Cách Để chứng minh Ta có a c  , ta xét tích a  c  d  c  a  b  a b c d a  c  d   ac  ad 1 c  a  b   ac  bc  2 Ta lại có  3 a c   ad  bc b d Từ 1 ,   ,  3 suy a  c  d   c  a  b  Do Cách Đặt a c  a b c d a c c a   k a  bk , c  dk Ta tính giá trị tỉ số theo k : b d cd a b a bk bk k    (1) a  b bk  b b  k  1 k  Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com c dk dk k    c  d dk  d d  k  1 k  Từ 1   suy (2) a c  a b c d a c a b  đƣợc  b d c d a b ab Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta đƣợc   c d cd a a b a c  Hoán vị trung tỉ  đƣợc c cd a b c d a c b d b d     1  1 Cách b d a c a c a b c d a c     a c a b c d a c Nhƣ để chứng minh tỉ lệ thức  , ta thƣờng dùng hai phƣơng pháp chính: b d Phương pháp 1: Chứng tỏ ad  bc a c Phương pháp 2: Chứng tỏ hai tỉ số có giá trị Nếu đề cho b d trƣớc tỉ lệ thức khác, ta đặt giá trị mõi tỉ số tỉ lệ thức cho k , tính giá trị tỉ số tỉ lệ thức cho theo k (cách ) Cũng dùng tính chất tỉ lệ thức nhƣ hốn vị số hạng, tính chất dãy tỉ số nhau, tính chất đẳng thức để biến đổi từ tỉ lệ thức tỉ lệ thức phải chứng minh (cách , cách ) Ví dụ x y Cho tỉ lệ thức  Biết xy  90 Tính x y Giải: x y x xy x 90 Cách Hiển nhiên x  Nhân hai vế  với x , ta có nên   18  5 suy x  36 Do x  6 Vậy x1  , y1  15 ; x2  6 , y2  15 x y Cách Đặt   k x  2k , y  5k Thay giá trị vào xy  90 đƣợc 10k  90  k   k  3 Suy kết nhƣ Chú ý: Cần tránh sai lầm áp dụng “tƣơng tự” tính chất dãy tỉ số nhau: x y xy   ! 2.5 Cách Hoán vị trung tỉ tỉ lệ thức Bài tập 53 Tìm số hữu tỉ x tỉ lệ thức: a) 0, : x  x : 0,9 ; 54 c) 0, :1  :  x   ; 3x  y x  Tìm giá trị tỉ số Cho tỉ lệ thức x y y Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 1 b) 13 :1  26 :  x  1 ; 3 37  x  d) x  13 Website: tailieumontoan.com A x m C n E B D C A B H Hình 72 Hình 23 29 ( H.73 or H.23) Gọi H giao điểm m AB Ta có AHC  BHC(c.g.c) nên CH tia phân giác góc ACB Cịn Cn tia phân giác góc BCx , kề bù với góc ACB Do CH  Cn tức m  Cn 30 ( H.74) AOD  BOC(c.g.c) suy A  B, OA  OB AOE  BOF(c.g.c) suy AOE  BOF Ta lại có AOE  EOB  180 nên BOF  EOB  180 Suy hai tia OE OF đối nhau, tức ba điểm E, O, F thẳng hàng ABC  BAD(c.g.c) suy B1  A1 Do BC //AD nªn ADC  BCD 32 ( h.76) ABH  KCA(c.g.c) suy AH  AK y A 33 ( h.77) a) Để chứng tỏ DE  AM , ta tạo đoạn thẳng gấp đôi AM cách lấy K tia đối tia MA cho MK  MA, ta chứng minh E B D C K Hình 76 B C M H ABK  DAE ( bù với góc BAC ) Do ABK  DAE(c.g.c) , suy AK  DE Vậy AM  D A AK  DE Dễ thấy AC  BK , AC //BK Xét ABK DAE , ta có AD  AB , BK  AE (cùng AC ), H x Hình 77 K DE Gọi H giao điểm MA DE Ta có BAK  DAH  90 nên D  DAH  90 , AHD  90 §8 Trƣờng hợp thứ ba tam giác góc – cạnh – góc 34 ( h.78) a) ABE  ACD(c.g.c) suy BD  CE  b) KBD  KCE g.c.g  Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 99 Website: tailieumontoan.com A A E D D E I B C K B E Hình 78 Hình 79 35 ( h.79) Chú ý A  60 nên B  C  120, IBC  ICB  60 BIC  120, BIE  CID  60 Vẽ tia phân giác góc BIC , cắt BC K Chứng minh ID IE IK 36 (h.80) Gọi K giao điểm CO BD Ta có AOC  BOK (g.c.g) suy OC  OK , AC  BK COD  KOD (c.g.c) suy CD  DK Do CD  DB  BK  DB  AC E C A D O C B B A Hình 75 F Hình 74 D 31 ( h 75) ABC  BAD(c.g.c) suy B1  A1 Do BC //AD nªn ADC  BCD 32 ( h.76) ABH  KCA(c.g.c) suy AH  AK y A 33 ( h.77) a) Để chứng tỏ DE  AM , ta tạo đoạn thẳng gấp đôi AM cách lấy K tia đối tia E B C K Hình 76 B C M H ABK  DAE ( bù với góc BAC ) Do ABK  DAE(c.g.c) , suy AK  DE Vậy AM  D A MA cho MK  MA, ta chứng minh AK  DE Dễ thấy AC  BK , AC //BK Xét ABK DAE , ta có AD  AB , BK  AE (cùng AC ), H x D Hình 77 K DE Gọi H giao điểm MA DE Ta có BAK  DAH  90 nên D  DAH  90 , AHD  90 §8 Trƣờng hợp thứ ba tam giác góc – cạnh – góc 34 ( h.78) a) ABE  ACD(c.g.c) suy BD  CE  b) KBD  KCE g.c.g  Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 100 Website: tailieumontoan.com A A E D D E I B C K B E Hình 78 Hình 79 35 ( h.79) Chú ý A  60 nên B  C  120, IBC  ICB  60 BIC  120, BIE  CID  60 Vẽ tia phân giác góc BIC , cắt BC K Chứng minh ID IE IK 36 (h.80) Gọi K giao điểm CO BD Ta có AOC  BOK (g.c.g) suy OC  OK , AC  BK COD  KOD (c.g.c) suy CD  DK Do CD  DB  BK  DB  AC y A D x G D C H Hình 81 A O B B C E F Hình 80 K 37.(h.81) Qua E vẽ ED//AC AD  EG Sau chứng minh BD  FH cách chứng tỏ BDE  FHC  g.c.g  38 (h.82) a) Ta có B1  A2 (cùng phụ với A1 ) (cạnh huyền – góc nhọn) suy AH  CK b) Ta có: AH  CK Tƣơng tự AK  BH Do AH  AK  CK  BH Vậy HK  CK  BH 39 Cách (h.83) Vẽ AI  DE, đƣờng thẳng IA cắt BC M AED CAM có: K d A H E  CAM (cùng phụ với EAI ) B C Hình 82 AE  AC EAK  ACM (cùng phụ với CAH ) Do AEK CAM ( g.c.g ) , suy EK  AM Tƣơng tự ADK  BAM  g.c.g  , suy DK  AM Vậy DK  EK Cách (h.84) Qua E kẻ đƣờng thẳng song song với AD , cắt AK F , FEA BAC có FEA  BAC (cùng bù với DAE ), AE  AC, EAF  C (cùng phụ với HAC ) nên FEA  BAC  g.c.g  , suy EF  AB Từ EF  AD, KAD  KFE  g.c.g  , suy DK  KE N E K M D A 101 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 B H Hình 85 C Website: tailieumontoan.com F E K D A B H C Hình 84 Cách 3.(h.85) Kẻ DM, EN vng góc với AH Chứng minh tƣơng tự nhƣ 38a, ta đƣợc AH  DM Tƣơng tự AH  EN Suy DM  EN, KMD  KNE  g.c.g  , DK  KE §9 Tam giác cân 40 (h.86) a) Chứng minh ADE  C (cùng b) ABD  ACE  c.g.c  180  A ) A A E D E B Hình 86 C D Hình 87 C 180  B 180  C AEC cân C nên AEC  ABD cân B nên ADB  41 (h.87) ADB  AEC  Do 360  ( B  C )  135 Vậy DAE  45 42 a) (h.88) Đặt BAC  A Ta có B  A1 , C  A2 nên B  C  A1  A2  A Do B  C  A  180 nên A  90 A A D M B C Hình 88 b) (h.89) Trên tia MA lấy D cho MD  M C Hình 89 BC D nằm M A Ta có Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 102 Website: tailieumontoan.com BAM  BDM , CAM  CDM nên BAC  BDC  90 c) Chứng minh tƣơng tự câu b 43.(h.90) Đặt BAC  A Cách Ta có B  D  CBD = B1 + B = B1 + = =  A nên A D A  B1 + C + + A B1 + A = 2   A+ B1 +C + = 2 180 +  = 90 + 2 C B Hình 90 Cách Ta có CBD = B1 + B2 = B1 +  A B1 C  = B1 +  90 - -   2   =90 + B1 - C  = 90 + 2 44 (h.91) Ta có AMD  CMB  c.g.c  nên A1  C1, AD  CB, AE  CF Ta có MAE  MCF  c.g.c  nên ME  MF AME  CMF , EMF  600 Tam giác cân MEF có góc 60 nên tam giác C D F 30° E A B M B 30° 30° D Hình 92 Hình 91 C 45 (h.92) Chú ý ABD vng có B  30 nên AD = BD (ví dụ 1(a)) Đáp số: BD  4cm A 46.(h.93) Sử dụng giả thiết AE  AB  AC, tia AE ta lấy AD  AB DE  AC B ABD cân có BAD  60 nên tam giác đều, suy AD  DB C D DBE  ABC  c.g.c   B1  B BE  BC Ta lại có B1  B3  60 nên B  B3  60 BCE cân B có CBE  60 nên tam giác y A 47 (h.94) Để chứng minh AO  AD, ta xét chúng cặp cạnh tƣơng ứng hai tam giác Để tạo tam giác AOB, tia DB ta lấy DE  OB Ta chứng minh Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 Hình 93 D B O z E 103 H x Hình 94 Website: tailieumontoan.com AOB  ADE Chú ý OA  BD  BE  ED  BE  OB  OE nên AOE cân Đặt BOH   AOE  2 DO AOE cân O nên AEB  90   Mặt khác ABE  OBH  90   Do AEB  ABE, suy AE  AB , AED  ABO Ta có AOB  ADE  c.g.c  suy AO  AD Vậy AOD cân M y 48 (h.95) Gọi E, I giao điểm MC với Oy, Ox, ta có EOI Vẽ EH  MA, EK  OI Dễ dàng chứng minh đƣợc MH  MB, EK  OC nên B H E z t C MA  MB  MA  MH  HA  EK  OC Chú ý: Gọi Ox’ tia đối tia Ox Nếu M nằm góc đối đỉnh với góc yOz ta có kết x' O A K Nếu M nằm góc zOx’ góc đối đỉnh Hình 95 với MB  MA  OC Nếu M nằm góc xOy góc đối đỉnh với MA  MB  OC 49 (h.96) Kẻ CE  CD Đặt CE  a ED  2a Trên BC lấy M, N cho x I BAN  40 ; CAM  40 Ta có MAN  60 , CAE  40 NAB  MAC  EAC  g.c.g  nên NB  MC  EC  a Tam giác MAN Đặt AM  MN  b AE  b Do AD  b  2a, BC  b  2ax Vậy BC  AD D 2a E A F E A a b B N b M M C Hình 96 50 (h.97) B C Hình 97 a) Ta có ABE  ADC  c.g.c  nên ABE  ADC suy BMD  BAD  60 , BMC  120 b) Trên tia MD lấy MF  MB MBF đều, MBF  60 Ta thấy F nằm M D (xem ý dƣới), MBA  FBD  c.g.c  suy AMB  DFB  120 Chú ý: Do góc ABC nhỏ 120 nên tia BE nằm hai tia BA BC, tia CD nằm hai tia CA CB, M nằm ABC Do tia BE nằm hai tia BA, BC MBF  60 ; ABD  60 nên F nằm M D Bài toán cho ta cách dựng điểm M ABC (có góc nhỏ 120 ) cho BMC  AMB  AMC 51 (h.98) Ta chứng minh BA BK cặp cạnh tƣơng ứng hai tam giác Cách Chú ý ABC  50 , KBC  10 , mà 50  10  60 góc tam giác Ta vẽ EBC E A I K 104 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 C Hình 98 Website: tailieumontoan.com “trùm lên” ABC (tức E  A phía BC ) ABE  60  50  10 BAE  CAE  c.c.c  nên BEA  30 Do BAE  BKC  g.c.g  , suy BA  BK Vậy ABK cân BAK  70 Cách Vẽ tia phân giác góc ABK , cắt đƣờng thẳng CK I IBC cân, IB  IC BIA  CIA  c.c.c  nên BIA  CIA  120 Do BIA  BIK  g.c.g  , suy BA  BK BAK  70 Cách (h.99) Vẽ tam giác ACE ( E B phía A AC ) BCE  10 ABE cân A có BAE  20 nên ABE  80 , CBE  300 KBC  ECB  g.c.g  nên BK  CE Do BK  BA K C BAK  700 52.(h.100) Để chứng minh AEB  ACB  45 , ta tạo góc B kề với góc ACB , góc AEB chứng minh tổng góc với góc ACB 450 Trên tia đối tia AB, lấy điểm H cho AH  AB Qua H vẽ đƣờng thẳng song song với AD, qua D vẽ đƣờng thẳng song song với AH, chúng cắt K Ta chứng minh BCK  45 cách chứng minh BCK vng cân Hình 99 E B Ta có HBK  DCK  c.g.c  nên KB  KC, K1  K3 Ta lại có K  B1 nên K  K3  B1  K1  900 Do BKC vuông cân K A D H E C Hình 100 K nên C1  C2  450 Nhƣng C2  E1 AEB  DCK  c.g.c  nên C1  E1  450 53 (h.101) A D1  B2  C  20  40  60 0 Trên cạnh BC lấy điểm K E cho BDK  60 , BDE  800 BDA  BDK  g.c.g   DA  DK 1 BDE có BDE  80 , B2  20 nên E1  80 Ta lại có 0 B DK  KE DKE  D2  B2  600  200  800 nên DKE cân D, suy D K E C Hình 101  2 EDC  1800  D1  BDE  1800  600  800  400  C  DEC cân E  DE  EC  3 Từ 1 ,   ,  3 suy AD  EC Do BC  BE  EC  BD  AD §10 Định lí Py-ta-go 54 a)(h.102) Kẻ AH  BD Đáp số: x  80  8,9 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 105 Website: tailieumontoan.com K x A B H 6 C 2 C A D Hình 102 D E x Hình 103 b) (h.103) Gọi K giao điểm AB BE Đáp số: x  c) (h.104) Ta tính đƣợc AH  72, HC  49 Vậy x  A B 30° B x 11 x C H A Hình 104 D C Hình 105 d) (h.105) ABD vng có B1  300 nên BD  AD  x (xem ví dụ 10) BDC có B  C nên tam giác cân D, DC  BD  2x Nhƣ AD  DC  x  2x  AC  3x Do AC  nên x  Chú ý: Ta cịn có BD  2, DC  Áp dụng định lý Py-ta-go ABD : AB2  BD2  AD2  22  12  nên AB  AB AC AB  AC BC 262 AB AC     4  55 Ta có suy 25 144 25  144 169 169 12 AB AC Vì   12 Do AB  10cm, AC  24cm 56.a) Qua E, kẻ IK  BC (h.106) Dễ chứng minh BK  AI , KC  ID Ta có: EC  EK  KC EK  EB  BK  16  AI KC  ID  ED  EI   EI 1  2  3 EC  16  AI     EI   20   AI  EI  Từ (1), (2), (3) suy Ta lại có: AI  EI  AE  Từ (4) (5) suyra: EC  20   11 Vậy EC  11 2 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 106 Website: tailieumontoan.com A A A B x x I D K x E 120° Hình 106 C B 18 H C 32 H B C Hình 108 Hình 107 b) (h.107) AC  AB2  HC  HB2  322  182  1024  324  700 AC  AB2  BC  18  32   2500 Từ đó: AC  1600 nên x  40 c) (h.108) Kẻ AH  BC , nên ta có : HB  3,5 AH  49  12, 25  36,75 x2  36,75  11,52  169  x  13 57 (h.109) BH  AH  162  82  256  64  192 HC  142 192   HC  A A 16 14 16 14 60° 60° B a) H C B b) C H Hình 109 Có hai trƣờng hợp: - Nếu C  90 BC    10(cm) (h.109a) - Nếu C  90 BC    6(cm) (h.109b) Vậy câu trả lời D 58 (h.110) Vẽ BIC vng cân có đáy BC ( I A cùngphíađốivới BC ) Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 107 Website: tailieumontoan.com CIB  45 , IBD  15 , DBA  15 A  IAB  IAC (c.c.c) nên IAB  IAC  15 IAB  DBA( g.c.g ) nên IB  AD Xét BIC vng cân, ta có: BI  IC  BC  22   2BI   BI  2(cm) D I Do AD   cm  Hình 110 C 59 Các ba số ba cạnh tam giác vuông là: 5,12,13,9,12,15,12,16, 20 60 (h.111) Tính CD2  29, EC  10 Kẻ EH  D Ta có: DE  DH  EH  42  52  41 x D y H E Ta thấy DE  CD2  EC nên DCE  90 A §11 Các trƣờng hợp tam giác vuông 61 (h.112) ABD  ACE (cạnh huyền – góc nhọn) suyra AD  AE ADK  AEK ( cạnh huyền - cạnh góc vng) Suyra DAK  EAK C B Hình 111 A D E K B Hình112 C 62.Cách (h.113) Trên tia đối tia MA lấy D cho MD  MA , sau chứng minh ACD có hai góc A B M A K H C B Hình 113 M C Hình 113 D Cách ( h.114) Kẻ MH  AB, MK  AC chứng minh MH  MK B  C Cách Chứng minh phản chứng Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 108 Website: tailieumontoan.com Giả sử AB  AC (h.115) Trên cạnh AB lấy D cho AD  AC Ta có AMD  AMC  c.g.c  , A Suy D1  C (1) MD  MC Ta lại có MB  MC nên MB  MD Do MBD cân M , Suyra B  D2 (2) Từ (1) (2) ta có: B  C  D1  D2  180 , vơ lí Giả sử AB  AC Cũng chứng minh tƣơng tự dẫn đến mâu thuẫn Vậy AB  AC 63 (h.116) H A D B Hình 115 M C A K d H B C B C K Hình 116 d ABH  CAK ( phụ với BAH ) ABH  CAK ( cạnh huyền – góc nhọn) suy BH  AK Do BH  CK  AK  CK (1) Xét tam giác vuông ACK , theo định lí Py-ta-go: (2) AK  CK  AC 2 2 Từ (1) (2) suy BH  CK  AC ( số) Vậy BH  CK có giá trị không đổi 64 (h.117) a) ABD  HBD (cạnh huyền – góc nhọn) B  BA  BH b) Qua B , kẻ đƣờng vng góc với EK , cắt EK I  Ta có ABI  90 Hãy chứng minh B3  B4 cách chứng minh HBK  IBK ( cạnh huyền – cạnh góc vng) Từ suy DBK  45 I K H A D hình 117 C E Mệnh đề thuận, đảo, phản, phảnđảo 65 Cho ABC (h.118) Bài toán thuận: AB  AC, A1  A2  BC //AE Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 109 Website: tailieumontoan.com Mệnh đề đảo (sai): BC //AE  AB  AC, A1  A2 Mệnh đề đảo ( đúng): AB  AC, BC //AE  A1  A2 Mệnh đề đảo (đúng): A1  A2 , BC //AE  AB  AC A B E Hình 118 C Bài đọc tự chứng minh toán thuận mệnh đề đảo 66 Bài đọc tự chứng minh toán thuận Bài toán đảo: Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm D, tia đối tia CA lấy điểm E cho CE  BD Gọi O giao điểm DE BC Chứng minh OD  OE tam giác ABC cân A Chứng minh toán đảo ( A h.119): Cách 1: Qua D vẽ DK //CE Ta có: OKD  OCE  g.c.g  nên KD  CE Do KD  BD Vậy DBK cân D, ABC cân A D C I B H K O Hình 119 E Cách 2: Vẽ DH vµ EI vng góc với BC Ta có DHO  EIO ( cạnh huyền – góc nhọn) suy DH  EI , DHB  EIC ( cạnh huyền – cạnh góc vng ) suy B  C Vậy ABC cân 67 (h.120) Bài toán thuận: AB  AC, B  75 , CH  AB AB  CH  AB Bài toán đảo 1: AB  AC , CH  AB, CH  H  B  75 B Bài toán đảo 2: AB  AC , B  75 , CH   CH  AB Bài toán đảo 3: B  75 , CH  AB, CH  Hình 120 C AB AB  AB  AC Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 110 Website: tailieumontoan.com  AB  AC Dễ dàng chứng minh toán thuận, bào toán đảo Chứng minh toán đảo nhƣ sau (h.121): Vẽ BEC ( E A phía BC ), ta có A K EBA  15 Gọi K trung điểm AB EBK  CBH  c.g.c  , suy K  90 Bạn đọc tự chứng E H minh tiếp AEB  150 , AEC  150 , AB  AC B Đặc biệt hóa 68 Vẽ ABC vng A , kẻ AH vng góc với BC (h.122), ABC vµ ABH có AB chung, BAC  BAH , ABC  ABH nhƣng chúng không 69 Vẽ ABC vuôngở A , AB  AC, kẻ AH vng góc với AB (h.122) AHB vµ CHA thỏa mãn điều kiện giả thiết nhƣng chúng không Hình 121 C A B H C Hinh 112 70 ( h.123) Vẽ ABD cân A Trên tia đối tia DB lấy điểm C bất kì, ABC ADC thỏa mãn điều kiện tốn nhƣng chúng khơng A B H A D C H Hình 123 B DM C Hình 124 71 Cách giải với trƣờng hợp B  90 , nhƣng B  90 quan hệ  B  90  BAH , B  C  HAC  BAH , A HAC  BAH  BAH , DAH  2 Đều không đúng( xem h.124) DAH  Cách giải đúng: Đặt BAC  B Cách ( chung cho trƣờng hợp B  90 , B  90 , B  90 ) Trong ba trƣờng hợp ta có H thuộc tia DB AB  AC A ADH  C  , DAH  90  ADH A B C  A B C DAH        C     2 2   2    Cách 2: Xem 17 Cách 3: Xét riêng trƣờng hợp B  90 , B  90 , B  90 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 111 Website: tailieumontoan.com 72 Đặc biệt hóa tốn O giao điểm đƣờng trung trực AB AC , AK  BH  CI nửa chu vi ABC Ta chứng minh điều nàu O điểm nằm ABC Qua O vẽ đƣờng thẳng song song với cạnh ABC (H.125) Các tam giác ODM , OFN , OEG A M K D a c O c a E b b B G I C F H N Hình 125 tam giác Gọi độ dài cạnh chúng théo thứ tự a, b, c a  b  c  BC Ta có AK  BH  CI   AM  MK    BF  FH   CE  EI  a  b  c 3    c     a     b     a  b  c   BC  chu vi ABC 2  2  2 2  73 Cho A điểm nằm góc vng xOy Vẽ điểm B C cho Ox đƣờng trung trực y AB, Oy đƣờng trung trực AC Chứng minh O trung điểm BC (h.126) C A x O Hình 126 B Tổng qt hóa 74 Thay điều kiện “ M trung điểm BC ” “ M điểm nằm cạnh BC toán 75 BỎ điều kiện A  90 Giải: Xem 39 76 Thay điều kiện " BAC  CDE  90 " " BAC  CDE   " Giải Cách (h.127) Do BAC  CDE nên BAC  BDE  180 Vẽ DH  AB, DK  AC (1) BAC  HDK  180 Từ (1) (2) suy BDE  HDK , từ BDH  EDK Ta lại có DH  DK Do BDH  EDK  g.c.g  suy DB  DE Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 112 Website: tailieumontoan.com A A E E H B D M K Hình 127 C B D Hình 128 C Cách 2.(h.128) Lấy M AB cho AM  AE Ta có AMD  AED  c.g.c  nên AMD  AED, DM  DE Ta có B  DEC , từ DBM cân D Suy DM  DB Vậy DB  DE Cách (h.129) Lấy N AC cho AN  NB Ta có DAB  DAN  c.g.c  nên B  N1 , DB  DN Ta có B  E1 , suy N1  E1 , DE  DN Từ DB  DE Chú ý: Có thể bỏ điều kiện AC  AB Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 113 ... số ngun Ví dụ: 23,24,26 ®Õn 29, 33, 58 ®Õn 76 Bài tập: 135,139 ®Õn 143, 148 ®Õn 150, 156 ®Õn 160, 212 ®Õn 228, 230 ®Õn 271 , 273 đến 275 , 277 , 278 I7* Cho A Đ2 GI TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ HỮU... Chứng minh BC  BD  AD ~ Ví dụ: 14 đến 16, 27, 30 đến 32, 36 Bài tập: 65 đến 67, 72 , 74 đến 76 , 120, 125, 128, 129, 134, 1 37 đến 145, 148, 162 đến 168, 173 §10 ĐỊNH LÍ PY – TA – GO Tính chất cạnh... Tuấn dài 1m Hãy tính độ dài ống 108(5) Năm lớp A ,7 B,7C ,7 D ,7 E nhận chăm sóc vƣờn trƣờng có diện tích 300m Lớp 7A nhận 15% diện tích vƣờn, lớp 7B nhận diện tích cịn lại Diện tích cịn lại vƣờn