Lý thuyết qui hoạch tuyến tính

LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG I LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Chương trình bày cách xây dựng mơ hình quy hoạch tuyến tính tốn dạng đơn giản Đây kiến thức quan trọng để xây dựng mơ hình cho tốn phức tạp thực tế sau Các khái niệm ‘’ lồi’’ đuợc trình bày để làm sở cho phương pháp hình học giải quy hoạch tuyến tính Một ví dụ mở đầu trình bày cách trực quan để làm rõ khái niệm phương án tối ưu quy hoạch tuyến tính Nội dung chi tiết chương bao gồm : I- GIỚI THIỆU BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 1- Bài tốn vốn đầu tư 2- Bài toán lập kế hoạch sản xuất 3- Bài toán vận tải II- QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT VÀ CHÍNH TẮC 1- Quy hoạch tuyến tính tổng quát 2- Quy hoạch tuyến tính dạng tắc 3- Phương án III- ĐẶC ĐIỂM CỦA TẬP HỢP CÁC PHƯƠNG ÁN 1- Khái niệm lồi tính chất 2- Đặc điểm tập phương án 3- Phương pháp hình học IV- MỘT VÍ DỤ MỞ ĐẦU V- DẤU HIỆU TỐI ƯU 1- Ma trận sở - Phương án sở - Suy biến 2- Dấu hiệu tối ưu LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG I LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH I- GIỚI THIỆU BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Có thể tạm định nghĩa quy hoạch tuyến tính lĩnh vực tốn học nghiên cứu toán tối ưu mà hàm mục tiêu (vấn đề quan tâm) ràng buộc (điều kiện toán) hàm phương trình bất phương trình tuyến tính Đây định nghĩa mơ hồ, toán quy hoạch tuyến tính xác định rõ ràng thơng qua ví dụ Các bước nghiên cứu ứng dụng tốn quy hoạch tuyến tính điển hình sau : a- Xác định vấn đề cần giải quyết, thu thập liệu b- Lập mơ hình tốn học c- Xây dựng thuật tốn để giải tốn mơ hình hố ngơn ngữ thuận lợi cho việc lập trình cho máy tính d- Tính tốn thử điều chỉnh mơ hình cần e- Áp dụng giải toán thực tế 1- Bài tốn vốn đầu tư Người ta cần có lượng (tối thiểu) chất dinh dưỡng i=1,2, ,m thức ăn j=1,2, ,n cung cấp Giả sử : aij số lượng chất dinh dưỡng loại i có đơn vị thức ăn loại j (i=1,2, ,m) (j=1,2, , n) bi nhu cầu tối thiểu loại dinh dưỡng i cj giá mua đơn vị thức ăn loại j Vấn đề đặt phải mua loại thức ăn để tổng chi phí bỏ mà đáp ứng yêu cầu dinh dưỡng Vấn đề giải theo mơ hình sau : Gọi xj ≥ (j= 1,2, ,n) số lượng thức ăn thứ j cần mua Tổng chi phí cho việc mua thức ăn : LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH z= n ∑c x j j = c x + c x + + c n x n j =1 Vì chi phí bỏ để mua thức ăn phải thấp nên yêu cầu cần thỏa mãn : z = n ∑c x j j = c1 x1 + c x + + c n x n j =1 Lượng dinh dưỡng i thu từ thức ăn : ai1x1 (i=1→m) Lượng dinh dưỡng i thu từ thức ăn : ai2x2 Lượng dinh dưỡng i thu từ thức ăn n : ainxn Vậy lượng dinh dưỡng thứ i thu từ loại thức ăn : ai1x1+ai2x2+ +ainxn (i=1→m) Vì lượng dinh dưỡng thứ i thu phải thỏa yêu cầu bi dinh dưỡng loại nên ta có ràng buộc sau : ai1x1+ai2x2+ +ainxn ≥ bi (i=1→m) Khi theo yêu cầu tốn ta có mơ hình tốn sau : z = n ∑c x j j = c1 x1 + c x + + c n x n j =1 ⎧a11 x + a12 x + + a1n x n ≥ b1 ⎪ ⎪a 21 x + a 22 x + + a 2n x n ≥ b ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪a m1 x + a m2 x + + a mn x n ≥ b m ⎪ ⎪⎩x j ≥ (j = 1,2, , n) 2- Bài toán lập kế hoạch sản xuất Từ m loại nguyên liệu có người ta muốn sản xuất n loại sản phẩm Giả sử : aij lượng nguyên liệu loại i dùng để sản xuất sản phẩm loại j (i=1,2, ,m) (j=1,2, , n) bi số lượng nguyên liệu loại i có cj lợi nhuận thu từ việc bán đơn vị sản phẩm loại j LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Vấn đề đặt phải sản xuất loại sản phẩm cho tổng lợi nhuận thu từ việc bán sản phẩm lớn điều kiện nguyên liệu có Gọi xj ≥ số lượng sản phẩm thứ j sản xuất (j=1,2, ,n) Tổng lợi nhuận thu từ việc bán sản phẩm : z= n ∑c x j j = c x + c x + + c n x n j=1 Vì yêu cầu lợi nhuận thu cao nên ta cần có : max z = n ∑c x j j = c1 x1 + c x + + c n x n j =1 Lượng nguyên liệu thứ i=1→m dùng để sản xuất sản phẩm thứ ai1x1 Lượng nguyên liệu thứ i=1→m dùng để sản xuất sản phẩm thứ ai2x2 Lượng nguyên liệu thứ i=1→m dùng để sản xuất sản phẩm thứ n ainxn Vậy lượng nguyên liệu thứ i dùng để sản xuất sản phẩm ai1x1+ai2x2+ +ainxn Vì lượng nguyên liệu thứ i=1→m dùng để sản xuất loại sản phẩm vượt lượng cung cấp bi nên : ai1x1+ai2x2+ +ainxn ≤ bi (i=1,2, ,m) Vậy theo yêu cầu toán ta có mơ hình sau : max z = n ∑c x j j = c1 x1 + c x + + c n x n j =1 ⎧a11 x + a12 x + + a1n x n ≤ b1 ⎪ ⎪a 21 x + a 22 x + + a 2n x n ≤ b ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪a m1 x + a m2 x + + a mn x n ≤ b m ⎪ ⎪⎩x j ≥ (j = 1,2, , n) 3- Bài toán vận tải Người ta cần vận chuyển hàng hoá từ m kho đến n cửa hàng bán lẻ Lượng hàng hoá kho i si (i=1,2, ,m) nhu cầu hàng hoá cửa hàng j dj LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH (j=1,2, ,n) Cước vận chuyển đơn vị hàng hoá từ kho i đến hàng j cij ≥ đồng Giả sử tổng hàng hố có kho tổng nhu cầu hàng hoá cửa hàng nhau, tức : m ∑ si = i =1 n ∑d j j =1 Bài toán đặt lập kế hoạch vận chuyển để tiền cước nhỏ nhất, với điều kiện cửa hàng nhận đủ hàng kho trao hết hàng Gọi xij ≥ lượng hàng hoá phải vận chuyển từ kho i đến cửa hàng j Cước vận chuyển chuyển hàng hoá i đến tất kho j : n ∑c ij x ij j =1 Cước vận chuyển tất hàng hoá đến tất kho : z= m n ∑∑c ij x ij i=1 j =1 Theo yêu cầu toán ta có mơ hình tốn sau : z = m n ∑∑c i=1 j=1 ij x ij ⎧m (j = 1,2, , n) ⎪∑ x ij = d j ⎨ i=1 ⎪x ≥ (i = 1,2, , m) (j = 1,1, , n) ⎩ ij II- QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT VÀ CHÍNH TẮC 1- Quy hoạch tuyến tính tổng qt Tổng qt tốn quy hoạch tuyến tính cụ thể trên, tốn quy hoạch tuyến tính mơ hình tốn tìm cực tiểu (min) cực đại (max) hàm mục tiêu tuyến tính với ràng buộc bất đẳng thức đẳng thức tuyến tính Dạng tổng quát tốn quy hoạch tuyến tính : LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH min/ max z = n ∑c x j =1 ⎧⎧ n ⎪⎪∑ a ij x j ⎪⎪ j=1 ⎪⎪⎪ n ⎪⎨∑ a ij x j ⎪⎪ j=1 ⎪⎪ n ⎨⎪∑ a ij x j ⎪⎪⎩ j=1 ⎪ ⎪⎧ x j ≥ ⎪⎪ ⎪⎨ x j ≤ ⎪⎪x tùy ⎩⎩ j j j = bi (i ∈ I1 ) ≤ bi (i ∈ I ) ≥ bi (i ∈ I ) ý ( j ∈ J1 ) (j ∈ J ) (j ∈ J ) (I) (II) (III) Trong : • (I) Hàm mục tiêu Là tổ hợp tuyến tính biến số, biểu thị đại lượng mà ta cần phải quan tâm tốn • (II) Các ràng buộc tốn Là phương trình bất phương trình tuyến tính n biến số, sinh từ điều kiện tốn • (III) Các hạn chế dấu biến số Người ta thường trình bày tốn quy hoạch tuyến tính dạng ma trận sau : ⎡x ⎤ ⎢ ⎥ ⎢x ⎥ x=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢x ⎥ ⎣ n⎦ ⎡a11 a12 a1n ⎤ ⎢ ⎥ ⎢a 21 a 22 a 2n ⎥ ⎥ A = [a ij ] = ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢a ⎥ a a m2 mn ⎦ ⎣ m1 ⎡c ⎤ ⎢ ⎥ ⎢c ⎥ c=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢c ⎥ ⎣ n⎦ Gọi (i=1→m) dòng thứ i ma trận A, ta có : 10 ⎡b1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢b ⎥ b=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢b ⎥ ⎣ m⎦ LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH min/max z( x ) = c T x ⎧⎧a i x = b i ⎪⎪ ⎪⎨a i x ≤ b i ⎪⎪a x ≥ b i ⎪⎩ i ⎨ ⎪⎧ x j ≥ ⎪⎪ x ≤ ⎪⎨ j ⎪⎪⎩x j tùy ý ⎩ (I) (i ∈ I1 ) (i ∈ I ) (II) (i ∈ I ) ( j ∈ J1 ) (j ∈ J ) (j ∈ J ) (III) Người ta gọi : - A ma trận hệ số ràng buộc - c vectơ chi phí (cT chuyển vị c) - b vectơ giới hạn ràng buộc 2- Quy hoạch tuyến tính dạng tắc Bài tốn quy hoạch tuyến tính tắc tốn quy hoạch tuyến tính mà ràng buộc có dấu = biến số không âm min/max z = n ∑c x j (I) j j =1 ⎧n (i = 1,2, , m) ⎪⎪∑ a ij x j = b i j =1 ⎨ ⎪ (j = 1,2, , n) ⎪⎩x j ≥ min/max z( x ) = c T x ( m≤ n ) (II) (III) (I) ⎧⎪Ax = b ⎨ ⎪⎩x ≥ (II) rang(A)=m (III) Người ta biến đổi tốn quy hoạch tuyến tính dạng tổng qt thành tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc nhờ quy tắc sau : - Nếu gặp ràng buộc i có dạng ≤ người ta cộng thêm vào vế trái ràng buộc biến phụ xn+i ≥ để dấu = 11 LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH - Nếu gặp ràng buộc i có dạng ≥ người ta trừ vào vế trái ràng buộc biến phụ xn+i ≥ để dấu = Các biến phụ đại lượng giúp ta biến ràng buộc dạng bất đẳng thức thành đẳng thức, phải khơng ảnh hưởng đến hàm mục tiêu nên không xuất hàm mục tiêu - Nếu biến xj ≤ ta đặt xj = -x’j với x’j ≥ thay vào tốn - Nếu biến xj tuỳ ý ta đặt x j = x ′j − x ′j′ với x ′j , x ′j′ ≥ thay vào toán - Trong trường hợp số ràng buộc có dịng mà vế phải dịng giá trị âm đổi dấu hai vế để vế phải giá trị không âm Dựa vào phép biến đổi mà người ta nói tốn quy hoạch tuyến tính tắc tốn quy hoạch tuyến tính mà ràng buộc có dấu = , vế phải biến số không âm Ví dụ : Biến đổi tốn quy hoạch tuyến tính sau dạng tắc : z( x ) = 2x − x + x + x − x ⎧⎧ x − x + x + x + x ≤ ⎪⎪ ⎪⎪x + x + x ≥ −1 ⎪⎪⎨ ⎪⎪2 x + x + 3x ≥ 10 ⎪⎪ ⎪⎪x + x − x + x = 20 ⎨⎩ ⎪ ⎪⎧ x , x ≥ ⎪⎪ ⎪⎪⎨x ≤ ⎪⎪ ⎪⎪x , x tùy ý ⎩⎩ Bằng thay : x = − x ′4 x = x ′2 − x ′2′ (x ′4 ≥ 0) (x ′2 , x ′2′ ≥ 0) x = x ′3 − x ′3′ (x ′3 , x ′3′ ≥ 0) ta : 12 LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH z( x ) = x − ( x ′2 − x ′2′ ) + 2( x ′3 − x ′3′ ) − x ′4 − x ⎧x − 2( x ′2 − x ′2′ ) + ( x ′3 − x ′3′ ) − x ′4 + x + x = ⎪ ′ ⎪( x − x ′2′ ) + 2( x ′3 − x ′3′ ) + x − x = −1 ⎨ ⎪2( x ′3 − x ′3′ ) − x ′4 + 3x − x = 10 ⎪x + ( x ′ − x ′′ ) − 2( x ′ − x ′′ ) − x ′ = 20 2 3 ⎩ x , x , x , x , x , x ′2 , x ′2′ , x ′3 , x ′3′ , x ′4 ≥ hay : z( x ) = x − ( x ′2 − x ′2′ ) + 2( x ′3 − x ′3′ ) − x ′4 − x ⎧x − 2( x ′2 − x ′2′ ) + ( x ′3 − x ′3′ ) − x ′4 + x + x = ⎪ ⎪− ( x ′2 − x ′2′ ) − 2( x ′3 − x ′3′ ) − x + x = ⎨ ⎪2( x ′3 − x ′3′ ) − x ′4 + 3x − x = 10 ⎪x + ( x ′ − x ′′ ) − 2( x ′ − x ′′ ) − x ′ = 20 2 3 ⎩ x , x , x , x , x , x ′2 , x ′2′ , x ′3 , x ′3′ , x ′4 ≥ 3- Phương án Xét toán quy hoạch tuyến tính tắc : min/max z( x ) = c T x ⎧Ax = b ⎨ ⎩x ≥ • (P) x=[x1 x2 xn] T phương án (P) Ax = b • x=[x1 x2 xn] T phương án khả thi (P) Ax = b x ≥ • Một phương án tối ưu (P) phương án khả thi (P) mà giá trị hàm mục tiêu tương ứng đạt min/max 13 LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH III- ĐẶC ĐIỂM CỦA TẬP HỢP CÁC PHƯƠNG ÁN 1- Khái niệm lồi tính chất a- Tổ hợp lồi - Cho m điểm xi không gian Rn Điểm x gọi tổ hợp lồi điểm xi : m x = ∑ α i x i = α x + α x + + α m x m i =1 α , α , , α n ≥ α + α + + α n = - Khi x tổ hợp lồi hai điểm x1, x2 người ta thường viết : x=λx1+(1-λ)x2 (0≤λ≤1) Nếu 00 nút i gọi điểm nguồn, bi nÕux j = mục tiêu sản xuất với chi phí cực tiểu : z = n ∑ c (x ) j =1 j j Trong trường hợp hàm mục tiêu z hàm phi tuyến với đối số xj (j=1→n) ràng buộc thực tế nguyên liệu, thị truờng, tuyến 117 ỨNG DỤNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH tính nên tốn khó giải Người ta đưa tốn tốn quy hoạch tuyến tính ngun phận cách đưa vào biến phụ nhị phân sau : nÕu x j > ⎧1 ⎪ yj = ⎨ ⎪⎩0 nÕux j = (1) Để biểu thị yj (j=1→n) biến nhị phân độc lập, không phụ thuộc vào xj (1) người ta đưa vào ràng buộc tuyến tính sau : xj ≤ Myj (j=1→n) M>0 lớn để ràng buộc xj ≤ µ thừa Khi hàm mục tiêu ràng buộc trở thành : z = n ∑ (k y j =1 j j + c jx j ) ⎧0 ≤ x j ≤ My j ⎪ ⎪ ⎨ ⎡0 ⎪y j = ⎢ ⎪⎩ ⎣⎢1 (2) Thật : - Nếu xj > yj khơng thể nên yj =1 - Nếu xj = yj = yj=1 Nhưng kj>0 ( kj= khơng cần đưa vào biến phụ yj) hàm mục tiêu z nên thuật tốn tìm phương án tối ưu ln lấy yj=0 phương án với xj=0 yj=1 tối ưu Khi viết đủ ràng buộc tuyến tính khác vào ta tốn quy hoạch tuyến tính nguyên phận 118 ỨNG DỤNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CÂU HỎI CHƯƠNG 1- Trình bày chiến lược bị trội 2- Trình bày chiến lược MaxiMin MiniMax 3- Xây dựng quy hoạch tuyến tính trường hợp khơng có nghiệm ổn định 4- Trình bày giai đoạn giải tốn vận tải 119 ỨNG DỤNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH BÀI TẬP CHƯƠNG 1- Tìm phương án tối ưu cho tốn lý thuyết trị chơi có ma trận điểm cho sau : -1 -2 -5 -2 -1 -2 2- Giải toán vận tải có ma trận cước phí 100 80 20 60 70 120 40 30 ...LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG I LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH I- GIỚI THIỆU BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Có thể tạm định nghĩa quy hoạch tuyến tính lĩnh... 16 LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Định lý Nếu tập phương án quy hoạch tuyến tính tắc khơng rỗng quy hoạch tuyến tính có phương án cực biên Bổ đề Nếu x phương án tối ưu quy hoạch tuyến. .. cứu quy hoạch tuyến tính 2- Định nghĩa quy hoạch tuyến tính tắc 3- Trình bày khái niệm phương án quy hoạch tuyến tính 4- Trình bày sở lý thuyết phương pháp hình học giải quy hoạch tuyến tính hai