Tài liệu củng cố kiến thức cực trị hàm số: khái niệm cực trị hàm số; điều kiện cần để hàm số đạt cực trị; điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị và các bài tập vận dụng; giúp học sinh có thêm tư liệu tham khảo, phục vụ học tập.
Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương I-Bài Cực trị hàm số CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ §BÀI A LÝ THUYẾT Khái niệm cực trị hàm số : Giả sử hàm số xác định tập hợp D D x0 D x0 gọi điểm cực đại hàm số f tồn khoảng a; b chứa điểm x0 cho: a; b D f ( x) f ( x0 ) x a; b \ x0 Khi f x0 gọi giá trị cực đại hàm số f x0 gọi điểm cực tiểu hàm số f tồn khoảng a; b chứa điểm x0 cho: a; b D f ( x ) f ( x ) x a ; b \ x 0 Khi f x0 gọi giá trị cực tiểu hàm số f Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung cực trị Nếu x0 điểm cực trị hàm số f người ta nói hàm số f đạt cực trị điểm x0 Điểm cực đại, cực tiểu gọi chung điểm cực trị hàm số f x0 giá trị cực trị (hay cực trị ) hàm số Như : Điểm cực trị phải điểm tập hợp D ``Chú ý Giá trị cực đại (cực tiểu) f x0 hàm số f chưa GTLN (GTNN) hàm số f tập xác định D mà f x0 GTLN (GTNN) hàm số f khoảng a; b D a; b chứa điểm x0 Nếu f x không đổi dấu tập xác định D hàm số f hàm số f khơng có cực trị Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị: 2.1 Định lý 1: Giả sử hàm số f đạt cực trị điểm x0 Khi đó, f có đạo hàm điểm x0 f ' x0 Chú ý : Đạo hàm f ' triệt tiêu điểm x0 hàm số f không đạt cực trị điểm x0 Hàm số đạt cực trị điểm mà hàm số khơng có đạo hàm Hàm số đạt cực trị điểm mà đạo hàm hàm số 0, hàm số khơng có đạo hàm 85 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương I-Bài Cực trị hàm số Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị: Định lý 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp khoảng a; b chứa điểm x0 , f ' x0 f có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 Nếu f '' x0 hàm số f đạt cực đại điểm x0 Nếu f '' x0 hàm số f đạt cực tiểu điểm x0 Chú ý : Nếu x0 điểm cực trị hàm số f điểm ( x0 ; f ( x0 )) gọi điểm cực trị đồ thị hàm số f f '( x0 ) Trong trường hợp f '( x0 ) không tồn định lý khơng dùng f ''( x0 ) B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN DẠNG Tìm điểm cực trị hàm số Phương pháp ① Bước Tìm tập xác định hàm số f ② Bước Tính đạo hàm f ( x ) tìm điểm x0 cho f ( x0 ) = (nếu có) tìm điểm x0 D mà hàm f liên tục đạo hàm f ( x) không tồn ③ Bước Vận dụng định lý (lập bảng xét dấu f ( x ) ) hay định lý 3( tính f ( x) ) để xác định điểm cực trị hàm số ⋆ Chú ý: Cho hàm số y f ( x) xác định D Điểm x x0 D điểm cực trị hàm số hai điều kiện sau thảo mãn: Tại x x0 đạo hàm triệt tiêu không tồn Đạo hàm đổi dấu x qua x0 Bài tập minh họa Bài tập Tìm cực trị (nếu có) hàm số sau: 1) y x x 2) y x x x Lời giải 86 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương I-Bài Cực trị hàm số y '(1) Nhận xét Trong tốn này, định lý không khẳng định điểm x có y ''(1) phải điểm cực trị hàm số hay khơng Bài tập Tìm cực trị (nếu có) hàm số sau: 1) y x3 x x 2) y x x x Lời giải Bài tập Tìm cực trị (nếu có) hàm số sau: 4 x 1) y 4 x 2) y x x 1 Lời giải 87 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương I-Bài Cực trị hàm số Bài tập Tìm cực trị (nếu có) hàm số : y cos x cos x Lời giải 88 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương I-Bài Cực trị hàm số x sin , x Bài tập Cho hàm số f x Chứng minh f ' x hàm số f x x 0 , x0 không đạt cực trị điểm Lời giải Câu hỏi trắc nghiệm Mức độ Nhận biết Câu Cho hàm số y x x Mệnh đề đúng? A Hàm số đồng biến khoảng ; 1 nghịch biến khoảng 1; B Hàm số đồng biến khoảng (; ) C Hàm số nghịch biến khoảng ; 1 đồng biến khoảng 1; D Hàm số nghịch biến khoảng 1;1 Lời giải Câu 2.(THPT Chuyên Bắc Ninh 2018) Phát biểu sau sai? A Nếu f x0 f x0 hàm số đạt cực tiểu x0 B Nếu f x0 f x0 hàm số đạt cực đại x0 C Nếu f x đổi dấu x qua điểm x0 f x liên tục x0 hàm số y f x đạt cực trị điểm x0 D Hàm số y f x đạt cực trị x0 x0 nghiệm đạo hàm Lời giải 89 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương I-Bài Cực trị hàm số Câu 3.(THPT Bình Xuyên-Vĩnh Phúc 2018) Xét f x hàm số tùy ý Khẳng định sau khẳng định đúng? A Nếu f x đạt cực tiểu x x0 f x0 B Nếu f x0 f x đạt cực trị x x0 C Nếu f x0 f x0 f x đạt cực đại x x0 D Nếu f x có đạo hàm x0 đạt cực đại x0 f x0 Lời giải Câu 4.(THPT Chuyên Quốc Học Huế 2018) Cho hàm số y f x có đạo hàm cấp khoảng K x0 K Mệnh đề sau ? A Nếu f x x0 điểm cực tiểu hàm số y f x B Nếu f x x0 điểm cực trị hàm số y f x C Nếu x0 điểm cực trị hàm số y f x f x0 D Nếu x0 điểm cực trị hàm số y f x f x0 Lời giải Câu 5.(THPT Chuyên Quốc Học Huế) Cho hàm số f x có đạo hàm cấp khoảng K x0 K Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau: A Nếu hàm số đạt cực đại x0 f x0 B Nếu hàm số đạt cực đại x0 tồn a x0 để f a C Nếu hàm số đạt cực trị x0 f x0 D Nếu f x0 f x0 hàm số đạt cực trị x0 Lời giải Câu 6.(THPT Chuyên Hùng Vương 2018) Cho hàm số y f x có đạo hàm Xét tính sai mệnh đề sau: (I): Nếu f x khoảng x0 h; x0 f x khoảng x0 ; x0 h h hàm số đạt cực đại điểm x0 (II): Nếu hàm số đạt cực đại điểm x0 tồn khoảng x0 h; x0 , x0 ; x0 h h cho f x khoảng x0 h; x0 f x khoảng x0 ; x0 h A Cả (I) (II) sai C Mệnh đề (I) sai, mệnh đề (II) B Mệnh đề (I) đúng, mệnh đề (II) sai D Cả (I) (II) Lời giải 90 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương I-Bài Cực trị hàm số Câu 7.(THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ 2018) Điểm cực tiểu đồ thị hàm số y x x điểm ? A Q 3; 1 B M 1; 3 C P 7; 1 D N 1; Lời giải Câu 8.(Chuyên Đồng Bằng Sông Cửu long2018) Gọi x1 điểm cực đại, x2 điểm cực tiểu hàm số y x3 x Tính x1 x2 A B C 1 D Lời giải Câu 9.(TT Diệu Hiền-Cần Thơ 2018) Hàm số y x3 x x có cực trị? A B C D Lời giải Câu 10.(THPT Chuyên Vĩnh Phúc 2018) Tìm giá trị cực đại yCĐ hàm số y x 12 x A yCĐ 17 B yCĐ 2 C yCĐ 45 D yCĐ 15 Lời giải Câu 11.(THPT Triệu Sơn Thanh Hóa 2018) Có điểm cực trị hàm số y A B C ? x D Lời giải Câu 12.(Sở GD & ĐT Bình Thuận 2020) Cho hàm số y x x có giá trị cực đại giá trị cực tiểu y1 y2 Khi đó, khẳng định sau đúng? A y1 y2 1 B y1 y2 C y1 y2 D y1 y2 5 Lời giải 91 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương I-Bài Cực trị hàm số Câu 13.(THPT Chuyên Vĩnh Phúc-2018) Hàm số y x x có điểm cực trị? A B C D Lời giải Câu 14.(THPT Chuyên Hạ Long 2018) Hàm số y x x có điểm cực trị? A B C D Lời giải Câu 15.(THPT Trần Quốc Tuấn 2018) Hàm số y x x có điểm cực trị? A B C D Lời giải Câu 16.(THPT Chuyên Hà Tĩnh 2018) Số điểm cực trị đồ thị hàm số y x x A B C D Lời giải Câu 17.(THPT Hồng Bàng 2018) Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x x 1 x 1 Hàm số y f x có điểm cực trị? A B C D Lời giải 92 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương I-Bài Cực trị hàm số Câu 18.(Chuyên Quang Trung-2018) Cho hàm số I : y x , II : y x3 3x 3x , , IV : y x 1 Các hàm số cực trị là: x2 A I , II , III B III , IV , I III : y x C IV , I , II D II , III , IV Lời giải Câu 19.(THPT Nguyễn Khuyến-Nam Định 2018) Đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D đây, có cực trị? 2x A y x 3x x B y x x C y x3 x D y x 1 Lời giải Câu 20.(THPT Can Lộc Hà Tĩnh 2018) Trong hàm số sau, hàm số có hai điểm cực đại điểm cực tiểu? A y x x B y x x C y x x D y x x Lời giải Câu 21.(THPT Chuyên Thái Bình 2018) Hàm số y A x x 3 có tất điểm cực trị B C D Lời giải 93 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương I-Bài Cực trị hàm số Câu 22.(THPT Hồng Bàng Hải Phòng 2018) Hàm số y x có điểm cực tiểu? A B C D Lời giải Câu 23.(Sở GD & ĐT Hậu Giang 2020) Đồ thị hàm số sau có điểm cực trị A y x3 x x B y x 3x C y x x x D y x x Lời giải Mức độ Thông hiểu Câu 24.(THPT Hoa Lư-2018) Gọi A B điểm cực tiểu đồ thị hàm số y x x Tính diện tích S tam giác OAB ( O gốc tọa độ) A S B S C S D S Lời giải Câu 25.(THPT Sơn Tây-Hà Nội-2018) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị x2 2x đồ thị hàm số y x 1 A y 2 x B y x C y x D y 2 x Lời giải 94 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương I-Bài Cực trị hàm số Câu 242 Cho hàm số bậc bốn y f x có đồ thị hình vẽ Tìm tất giá trị tham số m để hàm số g x f x m có điểm cực trị A 2 m B m C m m 2 D m Lời giải Câu 243 Cho hàm số y f x có đồ thị hình vẽ bên Biết hàm số y f x có m điểm cực trị, hàm số y f x có n điểm cực trị, hàm số y f x có p điểm cực trị Giá trị m n p là: A 26 B 30 C 27 D 31 Lời giải Câu 244 Cho hàm số y f x có đồ thị hình vẽ bên Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y f x m có điểm cực trị? A 196 B Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân C D Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương I-Bài Cực trị hàm số Lời giải Câu 245 Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị hình vẽ Tất giá trị thực tham số m để hàm số y f x 1 m có điểm cực trị? A 5 m 1 C m 1 m 5 B 5 m 1 D m 1 m 5 Lời giải Câu 246 Cho đồ thị hàm số y f x có đồ thị hình sau Có giá trị nguyên dương tham số m để đồ thị hàm số y f x m có điểm cực trị A B C D Lời giải 197 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương I-Bài Cực trị hàm số Câu 247 Cho đồ thị hàm số bậc ba y f x có đồ thị hình vẽ sau Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y f x 1 m có điểm cực trị? A 5 m 1 C m 1 m 5 B 5 m 1 D m 1 m 5 Lời giải Câu 248 Cho đồ thị hàm số y f x có đồ thị hình bên Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y f x 100 m2 có điểm cực trị? A B C D Lời giải 198 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương I-Bài Cực trị hàm số Câu 249 Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị hình vẽ bên Có giá trị nguyên tham số y f x 1 m2 có điểm cực trị? A B C m để hàm số D Lời giải Câu 250 Cho hàm số y f x có đồ thị hình vẽ bên Có giá trị ngun tham số m để hàm số y f x 100 m có điểm cực trị? A B C D Lời giải Câu 251 Cho hàm số y f x có đồ thị hình vẽ bên Có giá trị nguyên dương tham số m để hàm số y f x m có điểm cực trị? A B 199 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân C Lời giải D Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương I-Bài Cực trị hàm số Câu 252 Cho hàm số y f x có đồ thị hình vẽ bên Có giá trị nguyên dương tham số m để hàm số y f x 1 điểm cực trị? A B C m có D Lời giải Câu 253 Cho hàm số y f x có đồ thị hình vẽ bên Gọi S tập tất giá trị nguyên tham số m để hàm số y f x 1 m có điểm cực trị Tổng tất giá trị phần tử tập S A B C 7 D Lời giải 200 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương I-Bài Cực trị hàm số Câu 254 Cho hàm số y f x có đồ thị hình vẽ bên Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số h x f x f x m có điểm cực trị A m B m C m D m Lời giải Câu 255 Đường cong hình vẽ bên đồ thị hàm số y f x Với m 1 hàm số g x f x m có điểm cực trị ? A B C D Lời giải 201 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương I-Bài Cực trị hàm số Loại Cho hàm số y f x có số điểm cực trị dương a số điểm cực trị y f x Phương pháp Bước Tìm số điểm cực trị dương hàm số y f x a Bước Kết luận số điểm cực trị hàm số y f x sau: ① Bằng 2a x cực trị hàm số y f x (đồ thị hàm số f x cắt Oy điểm) ② Bằng 2a x không cực trị hàm số y f x (đồ thị hàm số f x không cắt Oy ) Đặt biêt: ⋆ Đồ thị y f x m thứ tự tịnh tiến đồ thị ta y f x m sau lấy đối xứng qua Oy ⋆ Đồ thị y f x m thứ tự lấy đối xứng ta y f x sau tịnh tiến Câu hỏi trắc nghiệm Câu 256 Cho hàm số y f x x3 2m 1 x m x Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y f x có điểm cực trị 5 C m D m 4 Lời giải A m B 2 m 202 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương I-Bài Cực trị hàm số Câu 257 Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y x x m x có điểm cực trị? A 11 B 15 C D Lời giải Câu 258 Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 1 x x Số điểm cực trị hàm số y f x A B C D Lời giải Câu 259 Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 1 x x 3 Số điểm cực trị hàm số y f x A B C D Lời giải Câu 260 Cho hàm số f x x3 m 1 x m x m2 Có giá trị nguyên tham số m để hàm số g x f x có điểm cực trị ? A 203 B Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân C Lời giải D Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương I-Bài Cực trị hàm số Câu 261 Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x x x Số điểm cực trị hàm số y f x A B C D Lời giải Câu 262 Cho hàm số y f x có đồ thị hình vẽ bên Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số g x f x m có điểm cực trị A m 1 B m 1 C m D m Lời giải Câu 263 Cho hàm số y f x có đồ thị hàm số y f x hình vẽ Có giá trị ngun tham số m để hàm số g x f x m có điểm cực trị? A B C D Vơ số Lời giải 204 Lớp Tốn Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương I-Bài Cực trị hàm số Câu 264 Cho hàm số y f x có đồ thị hình vẽ Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số g x f x m có điểm cực trị A 1 m B 1 m C 1 m D 1 m Lời giải Câu 265 Cho hàm số y f x có đồ thị hàm số y f x hình vẽ Hỏi hàm số g x f x có điểm cực trị? A B C D Lời giải 205 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương I-Bài Cực trị hàm số Câu 266 Cho hàm số y f x có đồ thị hình bên Đồ thị hàm số g x f x có điểm cực đại, điểm cực tiểu ? A điểm cực đại, điểm cực tiểu B điểm cực đại, điểm cực tiểu C điểm cực đại, điểm cực tiểu D điểm cực đại, điểm cực tiểu Lời giải Câu 267 Cho hàm số y f x có đồ thị hình vẽ bên Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số g x f x m có điểm cực trị A m 1 C m B m 1 D m Lời giải 206 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương I-Bài Cực trị hàm số Câu 268 Cho hàm số y f x liên tục có bảng biến thiên hình vẽ sau Hỏi số điểm cực trị hàm số g x f x nhiều ? A C 11 B D 13 Lời giải Câu 269 Cho hàm số y f x có đồ thị hình vẽ bên Đồ thị hàm số g x f x có điểm cực trị ? A C B D Lời giải 207 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương I-Bài Cực trị hàm số Câu 270 Cho hàm số f x có đồ thị hình vẽ bên Số điểm cực trị hàm số g x f x 2018 A C B D Lời giải Loại Số điểm cực trị hàm số y f ax b c 2k 1 Phương pháp Ta có hai trường hợp sau: ① Nếu a k số điểm cực trị đồ thị hàm số y f ax b c nằm bên phải đường thẳng x b a ② Nếu a k số điểm cực trị đồ thị hàm số y f ax b c nằm bên trái đường thẳng x b a Câu hỏi trắc nghiệm Câu 271 Cho hàm số f x có đồ thị hình vẽ bên Số điểm cực trị hàm số g x f x A C B D Lời giải 208 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương I-Bài Cực trị hàm số Câu 272 Cho hàm số f x có đồ thị hình vẽ bên Số y điểm cực trị hàm số g x f x 1 A C -2 O x B D Lời giải Câu 273 Cho hàm số f x có đồ thị hình vẽ bên Tìm y tất giá trị thực m để hàm số g x f m x có ba điểm cực trị A m 0;1 C m 0;1 -2 O B m 0;1 x D Vô số Lời giải Câu 274 Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x x 1 x Tìm tất giá trị thực m để hàm số g x f x m có điểm cực trị A m 0;2 B m 1;0 C m 0;1 D m 0; Lời giải 209 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương I-Bài Cực trị hàm số 210 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 ... Hàm số có cực trị cực trị cực tiểu b a Hàm số có cực trị cực trị cực đại b a Hàm số có hai cực tiểu cực đại b a Hàm số có cực tiểu hai cực đại b Bài. .. Nếu cực tiểu ta phải thêm điều kiện hệ số a 0 Chương I -Bài Cực trị hàm số Nếu cực đại ta phải thêm điều kiện hệ số a Lưu ý Hàm số có cực trị ab Hàm số có ba cực trị ab a Hàm. .. Chương I -Bài Cực trị hàm số DẠNG Định tham số m để hàm số f x đạt cực trị Loại Định tham số m để hàm số f x đạt cực trị điểm x0 cho trước Phương pháp ① Bước Tìm tập xác định hàm số f tính