Một số công thức tính vận tốc rayleigh và stonelay : Luận văn ThS. Cơ học: 60 44 21

Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học Quốc gia Hà Nội —————————— Phạm Thị Hà Giang MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH VẬN TỐC SĨNG RAYLEIGH VÀ STONELEY Luận văn thạc sỹ khoa học Người hướng dẫn khoa học:PGS TS Phạm Chí Vĩnh Hà Nội - Năm 2011 Mục lục Lời mở đầu iii Chương Các công thức vận tốc sóng Rayleigh truyền vật liệu mềm khơng nén 1.1 Vật liệu đàn hồi không nén chịu kéo nén dọc trục 1.2 Cơng thức xác vận tốc sóng Rayleigh 1.3 Cơng thức xấp xỉ tồn cục 1.3.1 Công thức xấp xỉ toàn cục cho RW12 1.3.2 Cơng thức xấp xỉ tồn cục cho RW21 10 Chương Cơng thức vận tốc sóng Stoneley truyền dọc theo mặt phân chia hai bán không gian có liên kết khơng chặt 2.1 Phương trình tán sắc 2.2 Các cơng thức vận tốc sóng Stoneley 2.2.1 Trường hợp 1: > B > E > F > 2.2.2 Trường hợp 2: > B > F > E > 2.2.3 Trường hợp 3: > E > B > F > 2.3 Các trường hợp đặc biệt 2.4 Một số đồ thị minh họa kết 12 12 15 16 22 23 24 26 Kết luận 29 Tài liệu tham khảo 30 Phụ lục 37 LỜI MỞ ĐẦU Sóng mặt Rayleigh truyền môi trường đàn hồi đẳng hướng nén mà Rayleigh [53] tìm 120 năm trước nghiên cứu cách mạnh mẽ ứng dụng to lớn nhiều lĩnh vực khác khoa học công nghệ địa chấn học, âm học, địa vật lý, công nghệ truyền thơng khoa học vật liệu Có thể nói nghiên cứu Rayleigh sóng mặt truyền bán khơng gian đàn hồi có ảnh hưởng sâu rộng đến sống đại Nó sử dụng để nghiên cứu động đất, thiết kế mobile phone nhiều thiết bị điện tử cực nhỏ, , Adams cộng [1] nhấn mạnh Đã có số lượng nghiên cứu lớn sóng mặt Rayleigh Như viết [66], phương tiện tìm kiếm khoa học lớn Google.Scholar cho triệu đường links cho yêu cầu tìm kiếm "Rayleigh waves" khoảng triệu cho "Surface waves" Dữ liệu thật đáng kinh ngạc! Điều lĩnh vực nghiên cứu có vị trí cao khoa học, cơng nghiệp, quan tâm lớn nhà khoa học Đối với sóng Rayleigh, vận tốc đại lượng nhà nghiên cứu lĩnh vực khoa học khác quan tâm Nó nói đến hầu hết sách chuyên khảo sóng âm truyền vật thể đàn hồi Nó liên quan đến hàm Green nhiều tốn động lực học cuả bán không gian đàn hồi, công cụ thuận lợi cho đánh giá không phá hủy ứng suất trước kết cấu trước chịu tải Do công thức dạng vận tốc sóng Rayleigh có ý nghĩa đặc biệt quan trọng phương diện lý thuyết lẫn thực hành Mặc dù định lý tồn nghiệm phương trình tán sắc chứng minh, qua 100 năm, nghiệm phương trình chưa tìm tính chất phức tạp chất siêu việt nó, nhấn mạnh [66] Trước biểu thức xác nghiệm tìm ra, số cơng thức xấp xỉ thiết lập (xem [35, 25, 52, 67, 39, 40, 41, 42]) Năm 1995, Rahman and Barber [56] tìm cơng thức xác cho vận tốc sóng Rayleigh truyền vật rắn đàn hồi đẳng hướng nén cách sử dụng lý thuyết phương trình bậc ba Tuy nhiên cơng thức biểu diễn hai biểu thức khác tùy thuộc vào dấu biệt thức phương trình bậc ba nên không thuận tiện sử dụng Sử dụng lý thuyết tốn Riemann, Nkemzi [36] dẫn cơng thức cho vận tốc sóng Rayleigh, hàm liên tục γ = µ/(λ+2µ), với λ, µ số Lame Cơng thức phức tạp [7], kết cuối báo Nkemzi khơng xác [26] Malischewsky [26] tìm cơng thức biểu diễn vận tốc sóng Rayleigh cách sử dụng công thức Cardan, công thức lượng giác nghiệm phương trình bậc ba MATHEMATICA Tuy nhiên Malischewsky [26] không chứng minh công thức Đến năm 2004, Vinh and Ogden [43] chứng minh cách chặt chẽ cơng thức Malischewsky, tìm công thức khác Đối với vật liệu trực hướng, không nén được, Ogden and Vinh [37] đưa công thức dạng dựa lý thuyết phương trình bậc ba Sau đó, Vinh Ogden [44], Vinh Ogden [45] tìm cơng thức dạng cho vận tốc sóng Rayleigh mơi trường đàn hồi trực hướng, nén Ngày vật liệu ứng suất trước sử dụng rộng rãi Đánh giá không phá hủy ứng suất trước kết cấu, trước trình đặt tải cần thiết quan trọng, sóng Rayleigh cơng cụ thuận tiện cho công việc (xem Makhort [27, 28]; Hirao et al.[18]; Husson [19]; Delsanto and Clark [15]; Dyquennoy et al [8, 9]; Hu et al [20]) Trong nghiên cứu trên, để đánh giá ứng suất trước sóng Rayleigh, tác giả thiết lập sử dụng cơng thức xấp xỉ vận tốc sóng Rayleigh (Tanuma [65]; Song Fu [64] vậy), chúng phụ thuộc tuyến tính vào biến dạng trước (hoặc ứng suất trước) nên dễ sử dụng Tuy nhiên, cơng thức dẫn phương pháp nhiễu nên chúng chấp nhận biến dạng trước đủ nhỏ Chúng áp dụng biến dạng trước vật liệu khơng cịn nhỏ Gần đây, cơng thức cho vận tốc sóng Rayleigh truyền vật rắn đàn hồi, đẳng hướng, có biến dạng trước tìm Vinh [46], Vinh & Giang [47], Vinh [48] Những năm gần đây, khoa học chuẩn đoán bệnh hình ảnh phát triển mạnh mẽ Nó địi hỏi nhà khoa học phải mơ xác iv mô mềm sinh học Năm 2004 Hamilton cộng [21] đưa mật độ lượng đàn hồi phản ánh xác ứng xử mơ mềm sinh học (bằng thực nghiệm), W = µI2 + (A/3)I3 + DI22 (0.1) với I2 = tr(E2 ), I3 = tr(E3 ), E tensor biến dạng Green µ, A, D số đàn hồi bậc hai, ba, bốn Sau đó, số nghiên cứu [16, 54, 55] tiến hành nhằm đánh giá số bậc hai, bậc ba µ A phương pháp âm đàn hồi Renier cộng [55] đo số bậc bốn D cách sử dụng sóng cắt phi tuyến phẳng biên độ hữu hạn Nhưng nhấn mạnh Destrade [10], sóng khó tạo khó thu lại thực nghiệm Hơn nữa, quan sát chúng vật rắn giống chất lỏng (như gels, phantoms, agar ), thật khó để hình dung chúng truyền mô mềm sinh học mà không gây tổn hại mức độ tế bào biên độ lớn sóng [29] Destrade cộng [10] tất số đàn hồi µ, A, D đo phương pháp âm đàn hồi, cụ thể sử dụng cơng thức vận tốc sóng cắt sóng Rayleigh truyền vật thể đàn hồi mềm khơng nén chịu kéo nén theo trục với độ dãn dài e [10] Mục tiêu luận văn đưa cơng thức xác xấp xỉ vận tốc sóng Rayleigh truyền vật liệu đàn hồi mềm không nén bị kéo nén theo trục Chúng công cụ tốt thuận tiện để đánh giá số µ, A, D Sóng truyền dọc theo biên phân chia gắn chặt hai bán không gian đàn hồi đẳng hướng khác nghiên cứu lần Stoneley [59] vào năm 1924 Stoneley dẫn phương trình tán sắc sóng này, ví dụ cụ thể sóng Stoneley tồn Những nghiên cứu Sezawa & Kanai [60] Scholte [61, 62] tập trung vào miền tồn sóng Stoneley Scholte [62] tìm phương trình biểu diễn biên miền tồn chúng trùng với đường cong tương ứng mà Sezawa & Kanai [60] vẽ tính tốn số cho trường hợp vật rắn Poisson (các số Lame λ µ nhau) Những nghiên cứu họ số vật liệu cho phép sóng Stoneley tồn hạn chế Tuy nhiên, v Sezawa & Kanai [60] Scholte [61, 62] không chứng minh sóng Stoneley Vấn đề giả Barnett cộng [3] trường hợp bán không gian đàn hồi dị hướng tổng quát liên kết chặt Sự lan truyền sóng Stoneley vật liệu bất đẳng hướng nghiên cứu Stroh [63] Lim cộng [24] Sự lan truyền sóng Stoneley hai bán khơng gian đàn hồi đẳng hướng có liên kết khơng chặt nghiên cứu Murty [30, 31] Tác giả dẫn phương trình tán sắc cách giải trực tiếp phương trình cho trường hợp vật liệu Poisson thu nhiều giá trị vận tốc sóng Barnett cộng [4] nghiên cứu tồn sóng Stoneley bán không gian liên kết trượt, bán không gian đàn hồi đẳng hướng, sóng Stoneley tồn tại, Trong bán khơng gian dị hướng tồn loại sóng trượt mới, gọi sóng trượt thứ Có số nghiên cứu thực sóng Stoneley truyền mặt phân cách hai bán khơng gian đàn hồi gắn chặt có ứng suất trước Trong báo [5, 6] Chadwick & Jarvis xét sóng Stoneley truyền theo hướng song song với mặt phân chia hai bán không gian làm từ vật liệu neo-hooken không nén chịu biến dạng trước khác nhau, trục biến dạng bán khơng gian trùng Dasgupta [11] nghiên cứu ảnh hưởng ứng suất ban đầu lên miền tồn Sóng Stoneley vật liệu neo-hookean khơng nén Dunwoody [12] nghiên cứu tốn sóng mặt truyền bán khơng gian có ứng suất trước, nén Trong báo [13] Dowaikh & Ogden nghiên cứu lan truyền sóng Stoneley dọc theo mặt phân cách hai bán không gian gắn chặt chịu biến dạng trước mà trục biến dạng vng góc với mặt phân cách, hai trục cịn lại hai bán khơng gian trùng Giả thiết sóng truyền dọc theo trục Bằng phân tích chi tiết phương trình tán sắc, tác giả dẫn điều kiện đủ cho tồn sóng Stoneley trường hợp tổng quát, trường hợp riêng dẫn điều kiện cần đủ cho sóng Tuy nhiên, câu hỏi cho trường hợp tổng quát chưa giải Vấn đề giải gần Vinh & Giang [51] vi Chú ý trước người ta nghĩ sóng Stoneley có ứng dụng chủ yếu ngành địa vật lý Tuy nhiên, nghiên cứu gần sóng Stoneley hữu dụng cho việc đánh giá không phá hủy (xem [23, 57]) Giống vận tốc sóng Rayleigh, tốc độ sóng Stoneley đại lượng quan trọng hút nhà nghiên cứu nhiều lĩnh vực khoa học khác Các công thức cơng cụ mạnh để giải toán thuận: nghiên cứu ảnh hưởng tham số vật liệu vào vận tốc sóng, đặc biệt toán ngược: xác định tham số vật liệu từ giá trị đo vận tốc sóng Trong cơng thức vận tốc sóng Rayleigh vật liệu khác tìm gần đây, đề cập trên, theo hiểu biết tác giả chưa có cơng thức vận tốc sóng Stoneley tìm thấy Mục tiêu thứ hai luận văn thiết lập công thức vận tốc sóng cho sóng Stoneley truyền theo mặt phân cách hai bán không gian đàn hổi đẳng hướng khác có liên kết khơng chặt Luận văn gồm hai chương: Chương 1:Các cơng thức vận tốc sóng Rayleigh truyền vật liệu mềm không nén Trong chương này, tác giả rút cơng thức xác vận tốc sóng Rayleigh truyền bán khơng gian đàn hồi mềm, không nén được, chịu kéo nén dọc theo trục Một số công thức xấp xỉ thiết lập dựa đa thức xấp xỉ bậc hai tốt lũy thừa bậc ba đoạn [0,1] Các cơng thức xấp xỉ có độ xác cao, có dạng đơn giản cơng thức xác nên thuận tiện ứng dụng Các kết chương viết thành báo gửi đăng thời gian tới Chương 2:Cơng thức vận tốc sóng Stoneley truyền dọc theo mặt phân chia hai bán không gian có liên kết khơng chặt Trong chương tác giả thiết lập cơng thức xác vận tốc sóng Stoneley truyền dọc theo mặt phân chia hai bán khơng gian có liên kết khơng chặt cách sử dụng phương pháp hàm phức Từ công thức thu dễ dàng thu kết Murty [30] Từ công thức này, tác giả chứng minh sóng Stoneley tồn vii Các kết chương trình báo sau: Pham Chi Vinh, Pham Thi Ha Giang, On formulas for the velocity of Stoneley waves propagating along the loosely bonded interface of two elastic half-spaces, Wave Motion, Volume 48, Issue 7, November 2011, Pages 647-657 viii Chương Các công thức vận tốc sóng Rayleigh truyền vật liệu mềm khơng nén 1.1 Vật liệu đàn hồi không nén chịu kéo nén dọc trục Xét mẫu thử hình hộp chữ nhật vật liệu mềm đàn hồi đẳng hướng không nén với mặt trạng thái tự nhiên (chưa bị kéo, nén) song song với mặt phẳng tọa độ (X1 , X2 ), (X2 , X3 ), (X3 , X1 ) Giả sử mẫu bị kéo (nén) theo chiều song song với trục X1 Dễ dàng thấy mẫu chịu biến dạng đẳng trục (equi-biaxial) xk = λk Xk (không tổng theo k), k = 1, 2, 3, (1.1) λ1 = λ, λ2 = λ3 = λ−1/2 , λ > 0, (1.2) với λk độ giãn λ = + e (xem [10]) Chú ý mặt khối sau biến dạng song song với mặt phẳng (x1 , x2 ), (x2 , x3 ), (x3 , x1 ) Tương ứng với biến dạng trước cho (1.1), ta có Chương Các cơng thức vận tốc sóng Rayleigh truyền vật liệu mềm không nén giá trị riêng Ek tensor Green E liên hệ với độ giãn λk cơng thức Ek = (λ2k − 1)/2 Vì có: I2 = [(λ21 − 1)2 + (λ22 − 1)2 + +(λ23 − 1)2 ], I3 = [(λ21 − 1)3 + (λ22 − 1)3 + +(λ23 − 1)3 ] (1.3) Đối với biến dạng trước với độ giãn λk , k = 1, 2, định nghĩa đại lượng γij , βij (i = j) sau: γij = (λi Wi − λj Wj )λ2i /(λ2i − λ2j ) = γji , (1.4) βij = (λ2i Wii + λ2j Wjj ) − λi λj Wij − (λj Wi − λi Wj )λi λj /(λ2i − λ2j ) = βji , (1.5) λi = λj , và: γij = (λ2i Wii − λi λj Wij + λi Wi ) = γji , (1.6) βij = (λ2j Wjj − λi λj Wij + λi Wi ) = βji , (1.7) λi = λj Ở Wi =: ∂W/∂λi , Wij =: ∂ W/∂λi ∂λj , (chú ý khơng lấy tổng có lặp lại số công thức (1.4)-(1.7)) Chú ý sóng âm biên độ nhỏ, đại lượng γij , βij có vai trị giống moduli đàn hồi Từ (0.1), (1.2)-(1.7) có: (1) (2) (3) γ12 = γ12 µ + γ12 A + γ12 D = γ13 (1.8) với: (1) γ12 = (1 + e)(e3 + 3e2 + 2e + 1) (2) γ12 = e(1 + 7e + 13e2 + 13e3 + 6e4 + e5 )/4 e2 (e3 + 3e2 + 2e + 1)[(1 + e)2 (2 + e)2 + 2] (3) γ12 = 2(1 + e) (1) (2) (3) γ21 = γ21 µ + γ21 A + γ21 D = γ31 (1.9) (1.10) với: (k) (k) γ21 = γ12 /(1 + e)3 , k = 1, 2, (1.11) Chương Cơng thức vận tốc sóng Stoneley truyền dọc theo mặt phân chia hai bán khơng gian có liên kết không chặt √ √ − t + EF t − E1 − t t − √ t − F1 E1 − t / (2 − t)2 F t − F1 √ E (2 DB ϕ3 (t) = √ BEF DB +4 E − Bt)2 B t− F (2.64) 2.2.3 Trường hợp 3: > E > B > F > Hồn tồn tương tự, có định lý sau: Định lý 3: Giả sử > E > B > F Nếu sóng Stoneley tồn vận tốc khơng thứ ngun xs = c2 /c2T xác định bởi: xs = − A2 1 − + − Iˆ0 , A3 B E (2.65) với A2 , A3 cho (2.55) với: 1/E Iˆ0 = π 1/B θ1 (t)dt − 1/F θ2 (t)dt + 1/E θ3 (t)dt , (2.66) 1/B θk (t) xác định (2.45) đó: √ ϕ1 (t) = (2 − t)2 F √ −4 BEF DB B −t F E −t √ ϕ2 (t) = E (2 DB − Bt)2 √ (2 − t)2 F √ ϕ3 (t) = (2 − t)2 F √ +4 BEF DB t− B F √ E (2 DB − Bt)2 √ √ − t / − EF t − 1 E −t+ E E −t F −t −t , F −t (2.67) √ BEF − DB − t F1 − t t − E1 B , √ √ − t + EF t − t − E1 F1 − t t− F F √ √ − t + EF t − t− E t− E F √ / E (2 DB − Bt)2 t− (2.68) −t E (2.69) Chú ý trường hợp thay cho (2.44) có cơng thức sau: φ1 (t) = 2π + 2θ1 (t), φ2 (t) = π − 2θ2 (t), φ3 (t) = 2θ3 (t) 23 (2.70) Chương Cơng thức vận tốc sóng Stoneley truyền dọc theo mặt phân chia hai bán không gian có liên kết khơng chặt 2.3 Các trường hợp đặc biệt Vì B > F < E ≤ 3/4 < 1, nên ta có năm trường hợp đặc biệt Trường hợp 1.1: = B > E > F > 0, Trường hợp 1.2: > B = E > F > 0, Trường hợp 1.3: > B > E = F > 0, Trường hợp 1.4: = B > E = F > 0, Trường hợp 2.1:1 = B > F > E > Kết bốn trường hợp suy trực tiếp từ kết trường hợp thứ Trường hợp lại suy từ trường hợp thứ hai Cụ thể là, trường hợp 1.1, vận tốc không thứ nguyên xs = c2 /c2T sóng Stoneley định nghĩa (2.24) đó: √ √ √ 1 F E A2 = − 9+ + EF + − 9+ , F D 2D E 1/F 1/E √ √ E ˆ θ3 (t)dt , (2.71) A3 = θ2 (t)dt + , I0 = F+ D π 1/E θ2 (t), θ3 (t) xác định (2.45), (2.47) (2.48) Đối với trường hợp 1.2, xs xác định (2.24) với: √ √ √ √ F E F A2 = − 9+ + EF − 1+ +4 , F 2D E DE 1/F 1/E √ √ E ˆ θ3 (t)dt , (2.72) A3 = F+ θ1 (t)dt + , I0 = D π 1/E θ1 (t), θ3 (t) tính (2.45), (2.46) (2.48) Đối với trường hợp 1.3, sau vài tính tốn sử dụng (2.28), có: A1 1 xs = − + 1− − Iˆ0 , (2.73) A2 B với: √ √ B D( E − 1) + BE − B A1 = , A2 = + B 2D 1/B Iˆ0 = π , D (2.74) 1/E atanϕ1 (t)dt + 1/B 24 atanϕ20 (t)dt , (2.75) Chương Cơng thức vận tốc sóng Stoneley truyền dọc theo mặt phân chia hai bán không gian có liên kết khơng chặt ϕ1 (t) cho (2.46), và: √ √ √ BE 1 E t−1 −t+ t− E DB B ϕ2 = (2 − t)2 + (2 − Bt)2 DB −1 E (2.76) Thay B = vào biểu thức (2.73)-(2.76) có kết phần 1.4 Cụ thể, xs cho bởi: xs = 4(1 − √ 1/E E) − π atanϕ0 (t)dt , (2.77) với: √ √ − Et t − ϕ0 (t) = (2 − t)2 (2.78) Vì xs xác định (2.77) vận tốc sóng Rayleigh truyền bán không gian đàn hồi đẳng hướng với vận tốc sóng dọc sóng ngang cL , cT ( xem [36, 58]), nên ta suy < xs < Điều có nghĩa là, theo mệnh đề 2, sóng Stoneley truyền mặt phân cách hai bán khơng gian có vận tốc sóng dọc sóng ngang, vận tốc với vận tốc sóng Rayleigh truyền bán khơng gian Kết Barnett đưa [4] Một cách tương tự, kết trường hợp 2.1 suy trực tiếp từ kết trường hợp Cụ thể, xs = c2 /c2T xác định (2.60) đó: √ √ √ F 1 E A2 = − 9+ + EF + − 9+ , F D 2D E 1/F 1/E √ √ E ˆ A3 = F+ , I0 = θ2 (t)dt + θ3 (t)dt , (2.79) D π 1/F với θ2 (t), θ3 (t) xác định (2.45), (2.63) (2.64) Chú ý 1: i) Theo định lý 1, 2, tồn nhiều sóng Stoneley truyền mặt phân cách hai bán không gian đàn hồi đẳng hướng 25 Chương Cơng thức vận tốc sóng Stoneley truyền dọc theo mặt phân chia hai bán khơng gian có liên kết không chặt liên kết trượt (không chặt) Điều Barnett chứng minh [4] ii) Từ mệnh đề 2, điều kiện cần đủ để tồn sóng Stoneley < xs < 1, với xs cho (2.24) (2.60) (2.65) Điều có nghĩa là, với tham số vật liệu cho trước, tính tốn đơn giản ta tính xs từ biết sóng Stoneley có tồn hay khơng, vận tốc nó tồn iii) Khi B > 1, nghĩa cT > c∗T , công thức (2.24), (2.60) (2.65) sử dụng được, ta phải thay B, D, E, F, xs B ∗ = 1/B, D∗ = 1/D, E ∗ = F/B,F ∗ = E/B, x∗s = c2 /c∗2 T iv) Sử dụng công thức dễ dàng nhận kết Murty [30] có cách giải trực tiếp phương trình tán sắc (2.20) Ví dụ: +Lấy B = 1/2; D = 3.4 (→ R = BD = 1.7); E = 1/3; F = 1/6, sử dụng (2.24) cho c2 /c2T = 0.9738 kết trùng với kết Murty bảng với R = 1.7, D = 3.4 +Lấy B = 0.3; D = 3.0 (→ R = BD = 0.9); E = 1/3; F = 0.1, sử dụng (2.65) cho c2 /c2T = 0.9996 kết trùng với kết Murty bảng với R = 0.9, D = 3.0 Với B = 1/2; D = 0.2 (→ R = BD = 0.1); E = 1/3; F = 1/6, công thức (2.24) cho xs = 1, chứng tỏ sóng Rayleigh khơng tồn Điều Murty [30] +Lấy B = 0.7; D = 3; F = 0.45; E = 0.25, sử dụng (2.60) cho xs = 0.8735 kết trùng với kết thu cách giải trực tiếp phương trình tán sắc (2.20) + Giả sử hai bán không gian vật liệu Poisson (nghĩa λ = µ, λ∗ = µ∗ , xem [30]) với D = 1; R = 1.5 (E = 1/3, F = 1/2) Vì B = R/D = 1.5 > nên ta phải sử dùng công thức với B, D, E, F, xs thay B ∗ = 1/B = 1/1.5, D∗ = 1/D = 1, E ∗ = F/B = 1/3, F ∗ = E/B = 1/4.5,x∗s = c2 /c∗2 T Áp dụng công thức (2.24) vớ tham số đánh dấu dẫn đến c/c∗T = 0.9893 kết trùng với kết nêu [30] 2.4 Một số đồ thị minh họa kết 26 Chương Công thức vận tốc sóng Stoneley truyền dọc theo mặt phân chia hai bán khơng gian có liên kết khơng chặt Hình 2.1 Sự phụ thuộc vận tốc sóng Stoneley không thứ nguyên ρ1 x = c2 /c2T vào D = ∈ [0.4 0.5] với B ∈ [0.8 0.9], E = 0.7, F = 0.6 ρ2 Hình 2.2 Sự phụ thuộc vận tốc sóng Stoneley khơng thứ ngun ρ1 x = c2 /c2T vào D = ∈ [0.4 0.5] với B = 0.7, E = 0.8, F ∈ [0.5 0.6] ρ2 27 Chương Cơng thức vận tốc sóng Stoneley truyền dọc theo mặt phân chia hai bán khơng gian có liên kết khơng chặt Hình 2.3 Sự phụ thuộc vận tốc sóng Stoneley khơng thứ ngun ρ1 x = c2 /c2T vào D = = 0.5 với B = 0.7, E = [0.72 0.9], F = [0.5 0.6] ρ2 Hình 2.4 Sự phụ thuộc x = c2 /c2T vào D = 0.9, E ∈ [0.65 0.85], F = 0.6 28 ρ1 ∈ [0.4 0.5] với B = ρ2 Kết luận Luận văn thiết lập cơng thức xác vận tốc sóng mặt Rayleigh truyền bán không gian đàn hồi mềm không nén bị nén dãn theo hướng, hàm mật độ lượng cho dạng: W = µtr(E2 ) + (A/3)tr(E3 ) + D(trE2 )2 Hàm lượng vừa đơn giản vừa phù hợp với thực tế sử dụng rộng rãi lĩnh vực sinh học Một số công thức xấp xỉ tồn cục có độ cao thiết lập Các cơng thức thu được, xác nhu xấp xỉ công cụ quan trọng cho việc xác đình số vật liệu µ, A, and D Bằng cách sử dụng phương pháp hàm biến phức, tác giả luận văn tìm cơng thức vận tốc sóng Stoneley truyền mặt phân cách hai bán khơng gian đàn hồi đẳng hướng có liên kết khơng chặt Đã chứng minh sóng Stoneley tồn phải Từ cơng thức thu dễ dàng biết sóng Stoneley có tồn hay khơng, tồn ta có cơng thức vận tốc Những cơng thức tìm có ý nghĩa lý thuyết lẫn ứng dụng thực tế Phương pháp trình bày chương áp dụng để tìm cơng thức vận tốc sóng Stoneley truyền mặt phân cách hai bán không gian đàn hồi đẳng hướng liên kết gắn chặt Tài liệu tham khảo [1] Adams, S D M., Craster, R V and Williams, D P (2007), "Rayleigh waves guided by topography", Proc R Soc., A 463, PP 531-550 [2] Achenbach, J D., (1973), "Wave propagation in Elastic Solids", North-Holland, Amsterdam [3] Barnett, D M., Lothe,J., Gavazza, S D & Musgrave, M J P (1985),"Consideration of the existence of interfacial (Stoneley) waves in bonded anisotropic elastic half-spaces", Proc R Soc Lond., A 412, PP 153-166 [4] Barnett, D M., Gavazza, S D and Lothe, J (1988), "Slip waves along the interface between two anisotropic elastic half-spaces in sliding contact", Proc R Soc Lond., A 415, PP 389-419 [5] Chadwick, P & Jarvis, D A (1979), "Interfacial waves in a prestrain neo-Hookean body I Biaxial state of strain", Q JL Mech Appl Math., 32, PP 387-399 [6] Chadwick, P & Jarvis, D A (1979), "Interfacial waves in a prestrain neo-Hookean body II Triaxial state of strain", Q JL Mech Appl.Math., 32, PP 401-418 [7] Destrade, M (2003), "Rayleigh waves in symmetry planes of crystals:explicit secular equations and some explicit wave speeds", Mech.Materials, 35, PP 931-939 [8] Dyquennoy, M., Ouaftouh, M., Ourak, M (1999), "Determination of stresses in aluminium alloy using optical detection of Rayleigh waves", Ultrasonics, 37, PP 365-372 [9] Dyquennoy, M., Devos, D and Ouaftouh, M (2006),"Ultrasonic evaluation of residual stresses in flat glass tempering: Comparing TÀI LIỆU THAM KHẢO experimental investigation and numerical modeling", J Acoust Soc Am., 119 (6), PP 3773-3781 [10] Destrade,M., Gilchrist, M D., Saccomandi, G (2010), "Third- and fourth-order constants of incompressible soft solids and the acoustoelastic effect", J Acoust Soc Am., 127 (5), PP 2759-2763 [11] Dasgupta,A (1981), "Effect of high initial stress on the propagation of Stoneley waves at the interface of two isotropic elastic incompressible media", Indian J Pure Appl Math., 12, PP 919-926 [12] Dunwoody, J (1989), "Elastic interfacial standing waves, In Elastic waves propagation (Ed M F McCarthy & M A Hayes)", Amsterdam: North-Holland, PP 107-112 [13] Dowaikh, M A & Ogden, R W (1991),"Interfacial waves and deformations in pre-stressed elastic media", Proc R Soc Lond A., 433, PP 313-328 [14] Dowaikh, M A and Ogden, R W (1990), "On sueface waves and deformations in a pre-stressed incompressible elastic solids", IMA J Appl Math., 44, PP 261-284 [15] Delsanto, P P., Clark, A V.,(1987), "Rayleigh wave propagation in deformed orthotropic materials", J Acoust Soc Am., 81 (4), PP 952-960 [16] Gennisson, J.-L., Renier, M., Catheline, S., Barriere, C., Bercoff, J (2007), "M Tanter, and M Fink, Acoustoelasticity in soft solids: Assessment of the nonlinear shear modulus with the acoustic radiation force", J.Acoust Soc Am., 114 (6), PP 3211-3219 [17] Gei, M (2008), "Elastic waves guided by a material interface", European Journal of Mechanics A/Solids, 27, PP 328-345 [18] Hirao, M., Fukuoka, H., Hori, K., (1981), "Acoustoelastic effect of Rayleigh surface wave in isotropic material", J Appl Mech., 48, PP 119-124 [19] Husson, D (1985), "A perturbation theory for the acoustoelastic effect of surface waves" J Appl Phys., 57 (5), PP 1562-1568 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO [20] Hu, E., He, Y., and Chen, Y (2009), "Experimental study on the surface stress measurement with Rayleigh wave detection technique" Appl Acoust., 70, PP 356-360 [21] Hamilton, M F., Ilinskii, Y A., and Zabolotskaya, E A (2004), "Separation of compressibility and shear deformation in the elatic energy density", J Acoust Soc Am., 116 , PP 41-44 [22] Kaufman, A A., Levshin, A L., (2005) "Acoustic and elastic wave fields in geophysics III", Elsevier [23] Lee, D A & Corbly, D M (1977), " Use of Interface Waves for Nondestructive Inspection", IEEE Trans Sonics & Ultrasonics, 24, PP 206-212 [24] Lim, T C., Musgrave, M J P (1970), "Stoneley waves in anisotropic media", Nature, 225 , p 372 [25] Malischewsky, P G (2005), "Comparison of approximated solutions for the phase velocity of Rayleigh waves (Comment on ’Characterization of surface damage via surface acoustic waves’)", Nanotechnology, 16, PP 995-996 [26] Malischewsky, P G (2000), "Comment to " A new formula for velocity of Rayleigh waves " by D.Nkemzi [Wave Motion 26 (1997) 199 - 205]", Wave Motion,31, PP 93 - 96 [27] Makhort, F G (1978), "Some acoustic Rayleigh-wave relations for stress determination in deformed bodies", Prikl Mekh., 14 (10), PP 123-125 [28] Makhort,F G., Guscha, O I and Chernoonchenko, A A (1990), "Theory of acoustoelasticity of Rayleigh surface waves" Prikl Mekh., 26 (4), PP 35-41 [29] Mironov, M A., Pyatakov, P A., Konopatskaya, I I., Clement, G T and Vykhodtseva, N I (2009), "Parametric excitation of shear waves in soft solids", Acoust Phys., 55, PP 567-574 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO [30] Murty, G S (1975), "A theoretical model for the attenuation and dispersion of stoneley waves at the loosely bonded interface of elastic half spaces", Phys Earth Planet Interiors, 11, PP 65-79 [31] Murty, G S (1975), "Wave propagation at an unbounded interface between two elastic half-spaces", J Acoust Soc Am., 58, PP 10941095 [32] Muskhelishvili, N I (1953), "Singular intergral equations", Noordhoff-Groningen [33] Muskhelishvili, N I (1963), "Some Basuc problems of mathematical theory of elasticity", Noordhoff, Netherlands [34] Murdoch, A I (1977), "The effect of interfacial stress on the propagation of Stoneley waves", J Sound Vib., 50, PP 1-11 [35] Nesvijski, E G., (2001), "On Rayleigh Equation and Accuracy of Its Real Roots Calculations", J Thermo Plast Compt Mater., 14, PP 356-364 [36] Nkemzi, D (1997), "A new formula for the velocity of Rayleigh waves", Wave Motion, 26, PP 199-205 [37] Ogden, R W and Pham Chi Vinh (2004), "On Raylegh waves in incompressible orthotropic elastic solids" J Acoust Soc Am., 115(2), PP 530-533 [38] Ogden, R W (1984), "Non-Linear Ealstic Deformations, Ellis Horwood", Chichester [39] Pham Chi Vinh and Malischewsky, P., (2006), "Explanation for Malischewsky’s approximate expression for the Rayleigh wave velocity" Ultrasonics, 45, PP 77-81 [40] Pham Chi Vinh and Malischewsky, P., (2007a) "An improved approximation of Bergmann’s form for the Rayleigh wave velocity", Ultrasonic, 47, PP 49-54 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO [41] Pham Chi Vinh and Malischewsky, P., (2008), "Improved Approximations of the Rayleigh Wave Velocity", J Thermoplast Comp Mater., 21, PP 337-352 [42] Pham Chi Vinh and Malischewsky, P.(2008), "Improved Approximations for the Rayleigh Wave Velocity in [-1 0.5]", Vietnam Journal of Mechanics, 30, PP 347-358 [43] Pham Chi Vinh and Ogden, R W (2004), "On formulas for the Rayleigh wave speed" Wave Motion, 39, PP 191-197 [44] Pham Chi Vinh and Ogden, R W (2004), "Formulas for the Rayleigh wave speed in orthotropic elastic solids", Ach Mech., 56 (3), PP 247-265 [45] Pham Chi Vinh and Ogden, R W (2005), "On a general formula for the Rayleigh wave speed in orthotropic elastic solids", Meccanica, 40, PP 147-161 [46] Pham Chi Vinh, (2010), "On Formulas for the velocity of Rayleigh waves in prestrained incompressible elastic solids" Trans ASME, J Appl, Mech., 77(2) 021006 (9 pages) [47] Pham Chi Vinh and Pham Thi Ha Giang, (2010), "On formulas for the Rayleigh wave velocity in pre-strained elastic materials subject to an isotropic internal constraint" Int J of Eng Sci., 48, PP 275-289 [48] Pham Chi Vinh, (2011), "On formulas for the Rayleigh wave velocity in pre-stressed compressible solids", Wave Motion, 48, PP 613-624 [49] Pham Chi Vinh and Malischewsky, P G (2007), "An approach for obtaining approximate formulas for the Rayleigh wave velocity", Wave Motion, 44, PP.549-562 [50] Pham Chi Vinh, (2009), "Explicit secular equation of Rayleigh Wave in elastic media under the influence of gravity anh initial stress", Appl Math Compt., 215, PP 395-404 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO [51] Pham Chi Vinh, Pham Thi Ha Giang, (2012) Uniqueness of Stoneley waves in pre-stressed incompressible elastic media, Int J NonLinear Mech., In press, DOI: 10.1016/j.ijnonlinmec.2011.03.014 [52] Rahman, M., Michelitsch, T., (2006), "A note on the formula for the Rayleigh wave speed", Wave Motion, 43, PP 272-276 [53] Rayleigh, L (1885), "On waves propagating along the plane surface of an elastic solid", Proc R Soc Lond., A17, PP 4-11 [54] Renier, M., Gennisson, J.-L., Tanter, M., Catheline, S., Barriere, C., Royer, D and Fink, M (2007), "Nonlinear shear elastic moduli in quasi-incompressible soft solids", IEEE Ultrasonics Symposium, PP 554-557 [55] Renier, M., Gennisson, J.-L., Barriere, C., Royer, D., and Fink, M., (2008), "Fourth-order shear elastic constant assessment in quasiincompressible soft solids", Appl Phys Lett., 93, PP 101912 [56] Rahman, M., and Barber, J R., (1995), "Exact expression for the roots of the secular equation for Rayleigh waves" ASME J Appl Mech., 62, PP 250-252 [57] Rokhlin, S., Hefet, M., & Rosen, M., (1980), "An elastic interface wave guided by a thin film between two solids", J Appl Phys., 51, PP 3579-3582 [58] Romeo, M (2002), "Uniqueness of the solution to the secular equation for viscoelastic surface waves", Appl Math Lett., 15, PP 649653 [59] Stoneley, R (1924), "Elastic waves at the surface of seperation of two solids", Proc Roy Soc Lond., A106, PP 416-428 [60] Sezawa, K., & Kanai, K., (1939), "The range of possible existence of Stoneley waves, and some related problems", Bull Earthq Res Inst Tokyo Univ., 17, PP 1-8 [61] Scholte, J G (1942), "On the Stoneley wave equation", Proc Kon Acad Sci Amsterdam, 45, PP 159-164 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO [62] Scholte, J G (1947), "The range of existence of Rayleigh and Stoneley waves", Mon Not R Astr Soc Geophys Suppl., 5, PP 120-126 [63] Stroh, A N (1962), "Steady state problems in anisotropic elasticity", J.Math Phys., 41, PP 77-103 [64] Song, Y Q and Fu, Y B (2007), "A note on perturbation formulae for the surface-wave speed due to perturbations in material properties, J.Elasticity, 88, PP 187-192 [65] Tanuma, K., Man, C-S (2006), "Perturbation formula for phase velocity of Rayleigh waves in prestressed anisotropic media", J Elasticity, 85, PP 21-37 [66] Voloshin, V (2010), "Moving load on elastic structures: passage through the wave speed barriers", PhD thesis, Brunel University [67] Xian-Fang, Li., (2006), "On approximate analytic expressions for the velocity of Rayleigh waves Wave Motion, 44, PP 120-127 36 Phụ Lục Các hệ số (γ12 + γ21 − β12 ) 2(β12 − γ21 ) g1 = − 2e2 (e2 + 3e + 3)2 (1 + e)2 4e2 (e3 + 3e2 + 2e + 1)(e2 + 3e + 3)2 g2 = − 4(1 + e)3 g3 = − (A1) (A2) e2 (3e6 + 18e5 + 39e4 + 40e3 + 26e2 + 8e + 2)(e2 + 3e + 3)2 (1 + e)4 (A3) e(e + 3e + 3)(3e + 9e + 8e + 1) (A4) f1 = (1 + e)2 e2 (e2 + 3e + 3)(5e5 + 30e4 + 69e3 + 77e2 + 43e + 13) f2 = 4(1 + e)3 (A5) f3 = [e2 (e2 + 3e + 3)(7e8 + 63e7 + 237e6 + 486e5 + 600e4 + 467e3 + 232e2 + 66e + 12)]/[2(1 + e)4 ] (A6)