Phương pháp tích phân đầu và sóng mặt Rayleigh ba thành phần : Luận văn ThS. Cơ học: 60 44 21

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ VIỆN CƠ HỌC Nguyễn Thị Nam PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐẦU VÀ SÓNG MẶT RAYLEIGH BA THÀNH PHẦN LUẬN VĂN THẠC SỸ Hà Nội 2010 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ VIỆN CƠ HỌC Nguyễn Thị Nam PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐẦU VÀ SĨNG MẶT RAYLEIGH BA THÀNH PHẦN Chuyên ngành: Cơ học Vật thể rắn Mã số: 60 44 21 LUẬN VĂN THẠC SỸ Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Chí Vĩnh Hà Nội 2010 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình riêng tơi hướng dẫn PGS.TS Phạm Chí Vĩnh Các kết thu khơng chép từ cơng trình Lời cảm ơn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS.TS Phạm Chí Vĩnh, người tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình làm luận văn Tơi xin cảm ơn thầy Khoa Tốn-CơTin học Trường ĐHKHTN thầy cô dạy chuyên đề cao học trang bị cho kiến thức tảng để thực luận văn Tôi xin cảm ơn thành viên nhóm seminar "Sóng ứng dụng" môn Cơ học trường ĐHKHTN, trình bày kết luận văn nhận góp ý bổ ích từ thành viên nhóm Nguyễn Thị Nam Mục lục Mở đầu Phương pháp tích phân đầu 1.1 1.2 1.3 Phương pháp truyền thống 1.1.1 Đặt toán 1.1.2 Phương trình đặc trưng 1.1.3 Phương trình tán sắc Phương pháp tích phân đầu cho sóng Rayleigh hai thành phần 1.2.1 Phương trình chuyển động 1.2.2 Phương trình đặc trưng 1.2.3 Hệ phương trình ứng suất 11 1.2.4 Phương pháp tích phân đầu 13 Phương pháp tích phân đầu cho sóng Rayleigh ba thành phần 15 Sóng Rayleigh ba thành phần mơi trường đàn hồi nén có ứng suất trước 21 2.1 Các phương trình 21 2.2 Dạng ma trận phương trình 22 2.3 Sóng Rayleigh ba thành phần mơi trường đàn hồi có ứng suất trước 24 2.4 Phương trình ứng suất 25 2.5 Phương trình tán sắc 26 2.5.1 Trường hợp < θ < π/2 26 2.5.2 Trường hợp θ = θ = π/2 31 Kết luận 33 Danh mục cơng trình tác giả 34 Mở đầu Sóng mặt Rayleigh phát Rayleigh [11] từ kỷ qua (vào năm 1885), nghiên cứu mạnh mẽ, ứng dụng to lớn nhiều ngành khác khoa học kỹ thuật như: âm học, địa chấn học, khoa học vật liệu, công nghệ viễn thông, khoa học đánh giá độ bền vật liệu mà không phá hủy vật liệu Theo Destrade [6], xuất cách khoảng 30 năm, thiết bị sóng mặt (Rayleigh) sử dụng rộng rãi thành công ngành công nghiệp truyền thông Theo Hess [8], năm gần sóng mặt (Rayleigh) tạo laze cung cấp công cụ để nghiên cứu tính chất vật liệu Có thể nói khơng rằng, phát sóng mặt Rayleigh có ảnh hưởng to lớn sâu rộng đến giới ngày nay, trải dài từ mobile phone đến nghiên cứu động đất, Adams cộng [3] nhấn mạnh Theo Malischewsky [9], vận tốc sóng Rayleigh đại lượng quan trọng, thu hút quan tâm đặc biệt nhà địa chấn học, vật liệu khoa học nhà nghiên cứu thuộc lĩnh vực khác vật lý Vì vận tốc sóng Rayleigh nghiệm phương trình tán sắc, nên phương trình tán sắc dạng tường minh mục tiêu nghiên cứu sóng Rayleigh Nó sử dụng để giải tốn thuận: nghiên cứu phụ thuộc vận tốc sóng Rayleigh vào tham số vật liệu (và tham số khác), đặc biệt sử dụng để giải toán ngược: đánh giá (không hư hỏng) tham số vật liệu (và tham số khác) thông qua giá trị đo vận tốc sóng Đối với mơi trường đàn hồi đẳng hướng môi trường dị hướng đơn giản (chẳng hạn môi trường đàn hồi trực hướng), để tìm phương trình tán sắc sóng Rayleigh ta sử dụng phương trình đặc trưng sóng Vì phương trình trùng phương nên ta dễ dàng tìm biểu thức nghiệm Tuy nhiên, mơi trường dị hướng phức tạp (chẳng hạn môi trường monoclinic (xem [4]), môi trường gồm tinh thể trực hướng bị xoắn (xem [5])), phương trình đặc trưng sóng phương trình bậc bốn đầy đủ, bậc sáu, việc tìm biểu thức nghiệm khó khăn, khơng nói khơng thể thực Để vượt qua khó khăn này, Mozhaev [10] đưa phương pháp gọi “phương pháp tích phân đầu” (method of first intergrals) Phương pháp cho phép ta tìm phương trình tán sắc sóng Rayleigh mà khơng cần sử dụng phương trình đặc trưng Destrade [6] cải tiến phương pháp tích phân đầu Mozhaev [10] ứng dụng thành cơng vào tốn sóng Rayleigh có hai thành phần Theo hướng cần kể đến nghiên cứu gần PGS.TS Phạm Chí Vĩnh cộng [15] Gần đây, Destrade [4] Ting [13] khẳng định rằng: phương pháp tích phân trình bầy Mozhaev [10] khơng có hiệu lực sóng Rayleigh có ba thành phần (chẳng hạn sóng Rayleigh mơi trường monoclinic có mặt phẳng đối xứng x1 = hay x2 = 0, sóng Rayleigh môi trường dị hướng tổng quát) Gần hơn, PGS.TS Phạm Chí Vĩnh Nguyễn Thị Nam [1] áp dụng thành cơng phương pháp tích phân đầu cho sóng Rayleigh ba thành phần Các tác giả không xuất phát từ phương trình chuyển dịch Mozhaev [10], mà dựa vào phương trình ứng suất, khơng dừng lại hệ chín phương trình đại số tuyến tính phụ thuộc lẫn chín ẩn số Ting [13], mà đến hệ gồm ba phương trình độc lập ba ẩn số Vật liệu có ứng suất trước sử dụng rộng dãi thực tiễn, nên việc đánh giá (không phá hủy) ứng suất trước cơng trình trước q trình sử dụng cần thiết quan trọng Vì sóng mặt Rayleigh công cụ hữu hiệu để thực nhiệm vụ này, nên việc nghiên cứu tìm phương trình tán sắc, dạng tường minh, cần thiết có ý nghĩa, nhiều tác giả quan tâm Mục đích luận văn nghiên cứu sóng mặt Rayleigh ba thành phần truyền mơi trường đàn hồi nén đựợc có biến dạng trước Áp dụng kỹ thuật sử dụng [1], phương trình tán sắc dạng tường minh sóng tìm Đây kết Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương 1: Phương pháp tích phân đầu Chương nhằm giới thiệu phương pháp tích phân đầu Mozhaev [10] cho sóng Rayleigh ba thành phần, chứng minh "phương pháp tích phân đầu Mozhaev khơng dẫn dến phương trình tán sắc, mong muốn, mà dẫn đến đồng thức" Chứng minh chi tiết dựa chứng minh vắn tắt Ting [13] Để hiểu rõ nguồn gốc phương pháp tích phân đầu, khác phương pháp áp dụng sóng Rayleigh hai ba thành phần, chương trình bày phương pháp truyền thống phương pháp tích phân đầu cho sóng Rayleigh hai thành phần Chương 2: Sóng Rayleigh ba thành phần truyền mơi trường đàn hồi nén có ứng suất trước Chương nghiên cứu sóng Rayleigh mơi trường đàn hồi nén có ứng suất trước, truyền theo hướng khơng phải hướng biến dạng ban đầu Khi sóng Rayleigh sóng có ba thành phần (chuyển dịch) Áp dụng phương pháp tích phân đầu trình bày [1], tác giả khóa luận tìm phương trình tán sắc dạng tường minh Chương Phương pháp tích phân đầu 1.1 Phương pháp truyền thống 1.1.1 Đặt toán Xét bán không gian đàn hồi đẳng hướng nén (x2 ≥ 0) Hình 1.1: Sóng phẳng truyền theo hướng Ox1 Xét toán biến dạng phẳng ui = ui (x1 , x2 , t), i = 1, 2, u3 ≡ 0, (1.1.1) ui thành phần vector chuyển dịch Khi phương trình chuyển động có dạng (λ + 2µ)u1,11 + µu1,22 + (λ + µ)u2,12 = uă1 , ( + à)u1,12 + àu2,12 + ( + 2à)u2,12 = uă2 , (1.1.2) c1 u1,11 + c2 u1,22 + (c1 c2 )u2,12 = uă1 , (c1 − c2 )u1,12 + c1 u2,22 + c2 u2,11 = uă2 , (1.1.3) hay λ + 2µ µ , c2 = tương ứng vận tốc sóng dọc, sóng ngang mơi ρ ρ trường đàn hồi đẳng hướng nén được, λ, µ số Lamé, ρ mật độ khối lượng, σ12 , c1 = σ22 liên hệ với thành phần chuyển dịch u1 , u2 σ12 = µ(u1,1 + u2,1 ), σ22 = λ(u1,1 + u2,2 ) (1.1.4) Các thành phần ứng suất σ12 , σ22 thoả mãn điều kiện tự với ứng suất σ12 = σ22 = 0, x2 = (1.1.5) Đối với sóng mặt Rayleigh, ứng suất chuyển dịch phải tắt dần vô u1 (+∞) = u2 (+∞) = σ12 (+∞) = σ22 (+∞) = 1.1.2 (1.1.6) Phương trình đặc trưng Ta tìm nghiệm hệ phương trình chuyển động (1.1.3) dạng sóng truyền theo Ox1 với vận tốc c u1 = Ae−bx2 eik(x1 −ct) , u2 = Be−bx2 eik(x1 −ct) , (1.1.7) k số sóng, A, B, b số, Reb > để thoả mãn điều kiện tắt dần vô Thay (1.1.7) vào (1.1.3) dẫn đến hệ [(c2 − c1 )k + c2 b2 ]A − i(c2 − c1 )kbB = 0, −i(c1 − c2 )kbA + [(c2 − c1 )k + c1 b2 ]B = (1.1.8) Do A, B không đồng thời nên định thức (1.1.8) phải 0, tức [c2 b2 − k (c1 − c2 )][c1 b2 − k (c2 − c2 )] + k (c1 − c2 )b2 = 0, (1.1.9) hay c1 c2 b4 − k b2 [2c1 c2 − (c1 + c2 )c2 ] + k (c1 − c2 )(c2 − c2 ) = (1.1.10) Phương trình (1.1.10) gọi phương trình đặc trưng sóng mặt Rayleigh mơi trường đàn hồi đẳng hướng Đó phương trình trùng phương b Biệt thức ∆ (1.1.10) ∆ = k (c1 − c2 )2 c4 (1.1.11) 22 JAijij  ∂W ∂W λ2i   − λj , i = j, λi = λj  λi ∂λi ∂λj (λ2i − λ2j ) = ∂W   , i = j, λi = λj ,  JAiiii − JAiijj + λi ∂λj Aijji = Ajiij = Aijij − σi , (2.1.5) (2.1.6) đó, J = λ1 λ2 λ3 , W = W (λ1 , λ2 , λ3 ) hàm biến dạng đàn hồi, σi thành phần tensor ứng suất Cauchy (xem [7], [14]) xác định công thức sau Jσi = λi ∂W ∂λi (2.1.7) Trong trường hợp mơi trường khơng có ứng suất trước thành phần ma trận A xác định sau (xem [7]) Aiiii = λ + 2µ, Aiijj = λ i = j Aijij = Aijji = µ i = j, (2.1.8) λ, µ số Lame Giả sử mặt biên x2 = bán không gian tự ứng suất Khi ta có [7]: S21 = S22 = S23 = x2 = (2.1.9) S21 = S22 = S23 = 0, u1 = u2 = u3 = x2 = −∞ (2.1.10) Điều kiện tắt dần vô 2.2 Dạng ma trận phương trình Ta biểu diễn phương trình trạng thái cách chi tiết sau      S11 A1111 A1122 A1133 0 0 0 u1,1 S22  A1122 A2222 A2233   0 0 0   u2,2     S33  A3311 A3322 A3333   0 0 0  u3,3      S23    u3,2  0 A A 0 0 2323 2332      S32  =    0 A3223 A3232 0 0      u2,3  , (2.2.1) S13     0 0 A1313 A1331 0  u3,1      S31     0 0 A3113 A3131 0      u1,3  S12     0 0 0 A1212 A1221 u2,1  S21 0 0 0 A2112 A2121 u1,2 ý A ma trận đối xứng Từ phương trình (2.1.2), (2.1.3) (2.2.1) sau số phép biến đổi ta có ξ = N ξ, (2.2.2) 23 (2.2.2) dấu "’" đạo hàm theo biến x2 , ξ = [u1 u2 u3 S21 S22 S23 ]T , N ma trận toán tử chứa đạo hàm bậc bậc theo x1 , x3 , t   N1 N2 , N = N3 N4 (2.2.3)  A2112 ∂ − A2121 ∂x1  0     A ∂ A ∂   2211 2233 N1 = − − ,  A2222 ∂x1 A2222 ∂x3    A2332 ∂ 0 − A2323 ∂x3   0   A2121     , N2 =    A2222   0 A2323 (2.2.4) (2.2.5)   ∂2 A21122 A1122 A2233 ρ +( (   ∂t A2222 A2222   2   ∂ −A1111 ) ∂ − A3131 ∂  −A − A3113) 1133 2   ∂x ∂x ∂x ∂x 3       2   ∂ A ∂ 1221   ρ + ( − A ) 1212   ∂t2 A2121 ∂x21  , N3 =  2  A ∂ 3223   +( − A ) 3232   A ∂x 2323       2   ∂ A A ∂ 2211 3322   ( ρ − A 1313   A2222 ∂t2 ∂x21   2   ∂ A3322 ∂ −A1331 − A3311 ) +( − A3333 ) ∂x1 ∂x3 A2222 ∂x3 (2.2.6)  A1122 ∂ − A2222 ∂x1  0    A A3223 ∂    1221 ∂ N4 = − −   A2121 ∂x1 A2323 ∂x3    A3322 ∂ − A2222 ∂x3 (2.2.7) Từ (2.1.9) (2.1.10) suy S = x2 = (2.2.8) 24 S = 0, u = x2 = −∞, (2.2.9) đó, S = [S21 S22 S23 ]T , u = [u1 u2 u3 ]T Phương trình (2.2.2), (2.2.8),(2.2.9) dạng ma trận phương trình bản, điều kiện biên điều kiện tắt dần trình bày mục 2.3 Sóng Rayleigh ba thành phần mơi trường đàn hồi có ứng suất trước Xét sóng phẳng truyền bán khơng gian đàn hồi nén có ứng suất trước x2 ≤ có vector sóng k nằm mặt phẳng Ox1 x3 tạo góc θ với trục Ox1 (0 < θ < 90o ), tức k = [kcosθ ksinθ], k = |k| Hình 2.1: Sóng Rayleigh ba thành phần truyền theo hướng hợp với Ox1 góc θ Khi ξ tìm dạng sau ξ = ξ∗ ei(kcosθx1 +ksinθx3 −ωt) , (2.3.1) ω số sóng, c vận tốc sóng, c ξ∗ = [U1 (y) U2 (y) U3 (y) ikT1 (y) ikT2 (y) ikT3 (y)]T vector hàm cần tìm, y = kx2 ω tần số, k = Thay (2.3.1) vào (2.2.2) ta phương trình có dạng η = iM η, (2.3.2) 25 dấu ” ” đạo hàm theo biến y, η = [U1 (y) U2 (y) U3 (y) T1 (y) T2 (y) T3 (y)]T , M= E F , G ET A2112 cθ − A2121   0    A A2233    2211 E = − c − sθ  ,  A2222 θ A2222    A2332 sθ 0 − A2323   0   A2121     , F =   A2222   0 A2323   A21122 A1122 A2233 2 ( ρc + ( A2222 − A1111 )cθ  A2222     −A s −A − A )c s 3131 1133 3113 θ θ θ     A1221 2   − A1212 )cθ 0 ρc + (   A2121   G= A3223 ,   +( − A3232 )sθ   A2323   A A 1122 2233   2 ( ρc − A c   1313 θ A2222     A2233 −A1133 − A3113 )cθ sθ +( − A3333 )sθ A2222 (2.3.3) (2.3.4) (2.3.5) cθ := cosθ, sθ := sinθ 2.4 Phương trình ứng suất Ta đưa vào ký hiệu sau U = [U1 U2 U3 ]T - vector biên độ chuyển dịch Σ = [T1 T2 T3 ]T - vector biên độ ứng suất Khi đó, (2.3.2) có dạng sau U Σ =i E F G ET U Σ (2.4.1) Phương trình (2.4.1) tương đương với U = iEU + iF Σ Σ = iGU + iE T Σ (2.4.2) 26 Rút U từ phương trình thứ hai (2.4.2) U = −iG−1 Σ − G−1 E T Σ (2.4.3) Đạo hàm hai vế phương trình thứ hai (2.4.2) theo y = kx2 ta Σ = iGU + iE T Σ (2.4.4) Thay U từ (2.4.3) U từ phương trình thứ (2.4.2) vào (2.4.4) ta thu hệ phương trình vi phân bậc hai Σ sau αΣ − iβΣ + γΣ = 0, với  −1  α = G β = EG−1 + G−1 E T   γ = F − EG−1 E T (2.4.5) (2.4.6) Phương trình (2.4.5) gọi phương trình vector ứng suất 2.5 Phương trình tán sắc 2.5.1 Trường hợp < θ < π/2 Đặt d = detG, nhân hai vế (2.4.5) với d ta ˆ + γˆ Σ = 0, α ˆ Σ − iβΣ (2.5.1) (chú ý đến (2.4.6))    ˆ = dα = dG−1 = d G∗ = G∗ α d T ˆ = dβ = E α β ˆ + α ˆ E    γˆ = dγ = dF − E α ˆE T , (2.5.2) G∗ ma trận phần phụ đại số G Để đơn giản cách viết ta biểu diễn phần tử ma trận E, F, G, G∗ dạng ký hiệu sau   e12 E = e21 e23  , e32   f11 0 F =  f22  , 0 f33 (2.5.3) (2.5.4) 27   g11 g13 G =  g22  , g13 g33   g22 g33 −g13 g22 ∆  , với ∆ = g11 g33 − g13 G∗ =  −g13 g22 g11 g22 (2.5.5) (2.5.6) Từ (2.5.2) − (2.5.6) ta có   e12 ∆ + g22 (e21 g33 − e23 g13 ) 0 e32 ∆ + g22 (e23 g11 − e21 g13 ) , βˆ = e12 ∆ + g22 (e21 g33 − e23 g13 ) e32 ∆ + g22 (e23 g11 − e21 g13 ) (2.5.7)   df11 − e212 ∆ −e12 e32 ∆  df22 − g22 (e221 g33 − 2e21 e23 g13 + e223 g11 ) γˆ =  −e12 e32 ∆ df33 − e32 ∆ (2.5.8) Biểu diễn (2.5.1) dạng thành phần α ˆ ik Σk − iβˆik Σk + γˆik Σk = (2.5.9) Nhân hai vế (2.5.9) với iΣj ta iˆ αik Σk Σj + βˆik Σk Σj + γˆik iΣk Σj = (2.5.10) Lấy liên hợp hai vế biểu thức α ˆ ik iΣk Σj + βˆik Σk Σj + γˆik iΣk Σj = (2.5.11) Cộng vế với vế hai phương trình (2.5.10) (2.5.11) ta nhận α ˆ ik (iΣk Σj + iΣk Σj ) + βˆik (Σk Σj + Σk Σj ) + γˆik (iΣk Σj + iΣk Σj ) = (2.5.12) Giả sử ϕ(y), φ(y) hàm giá trị phức biến thực y ∈ (−∞, 0] Ta định nghĩa tích vơ hướng chúng sau (ϕφ¯ + ϕφ)dy ¯ < ϕ, φ >= (2.5.13) −∞ Với cách đặt ma trận vuông P, Q, R sau Pkj =< iΣk , Σj >, Qkj =< Σk , Σj >, Rkj =< iΣk , Σj >, (2.5.14) chúng ma trận phản đối xứng chứng minh phần trước Từ (2.5.12),(2.5.13),(2.5.14) ta ˆ + γˆ R = α ˆ P + βQ (2.5.15) 28 Ta nhân hai vế (2.5.15) với dˆ α−1 từ phía trái, với ý dˆ α−1 = G ma trận không suy biến ˆ + dˆ α−1 γˆ R = dP + dˆ α−1 βQ (2.5.16) Do P, Q, R ma trận phản đối xứng nên chúng có dạng sau       p12 p13 q12 q13 r12 r13 p23  , Q = −q12 q23  , R = −r12 r23  P = −p12 −p13 −p23 −q13 −q23 −r13 −r23 (2.5.17) ˆ γ ∗ = dˆ Đặt β ∗ = dˆ α−1 βˆ = Gβ, α−1 γˆ = Gˆ γ ,ta dP + β ∗ Q + γ ∗ R = (2.5.18) Sau số phép biến đổi ta có β ∗ , γ ∗  g11 [e12 ∆ + g22 (e21 g33 − e23 g13 )] +g13 [e32 ∆ + g22 (e23 g11 − e21 g13 )]            g22 [e12 ∆ g22 [e32 ∆   , +g (e g − e g )] +g (e g − e g )] β∗ =  22 21 33 23 13 22 23 11 21 13         g [e ∆ + g (e g − e g )] 13 12 22 21 33 23 13     +g33 [e32 ∆ + g22 (e23 g11 − e21 g13 )] (2.5.19)  g13 (df33 − e232 ∆) g11 (df11 − e212 ∆)  −g13 e12 e32 ∆ −g11 e12 e32 ∆          g22 [df22 − g22 (e21 g33 ∗   γ =  −2e e g + e g )] 21 23 13 11 23       2 g13 (df11 − e12 ∆) g33 (df33 − e32 ∆) −g33 e12 e32 ∆ −g13 e12 e32 ∆  (2.5.20) Ta đặt vế trái (2.5.18) ma trận Z Khi đó, Z ma trận vng cấp với phần tử zij , phương trình (2.5.18) có dạng zij = (i, j = 1, 2, 3) Ta có ba phương trình nằm đường chéo (ứng với zii = 0, i = 1, 2, 3) β12 q12 + γ13 r13 = 0, (2.5.21) β21 q12 − β23 q23 = 0, (2.5.22) 29 β32 q23 + γ31 r13 = (2.5.23) Ba phương trình sau tổng phương trình đối xứng qua đường chéo (zij +zji = 0, i = j) β32 q12 − β12 q23 + (γ33 − γ11 )r13 = 0, (2.5.24) β23 q13 + (γ22 − γ11 )r12 + γ13 r23 = 0, (2.5.25) β21 q13 + γ31 r12 + (γ22 − γ33 )r23 = (2.5.26) Như vậy, phương trình chia làm hai nhóm: nhóm thứ có phương trình (2.5.21) − (2.5.24) phụ thuộc vào biến q12 , q23 , r13 , nhóm thứ hai có phương trình (2.5.25), (2.5.26) phụ thuộc vào biến q13 , r12 , r23 Ở phụ thuộc tuyến tính phương trình nhóm thứ sau g22 g33 V T(2.5.21) + ∆.V T(2.5.22) + g22 g33 V T(2.5.23) + g13 g22 V T(2.5.24) = 0, (2.5.27) đó, V T(2.5.21) , vế trái phương trình (2.5.21), Chọn (2.5.24) hai phương trình cịn lại nhóm thứ ta hệ phương trình đại số tuyến tính Do biến số q12 , q23 , r13 không đồng thời không nên định thức hệ số ba phương trình phải β12 γ13 β21 −β23 = β32 −β12 γ33 − γ11 (2.5.28) Vậy ta nhận phương trình tán sắc sóng sau β12 β23 (γ33 − γ11 ) + β21 β12 γ13 − β23 β32 γ13 = 0, (2.5.29) 30 β12 = g11 [e12 ∆ + g22 (e21 g33 − e23 g13 )] + g13 [e32 ∆ + g22 (e23 g11 − e21 g13 )], β23 = g22 [e32 ∆ + g22 (e23 g11 − e21 g13 )], β21 = g22 [e12 ∆ + g22 (e21 g33 − e23 g13 )], β32 = g13 [e12 ∆ + g22 (e21 g33 − e23 g13 )] + g33 [e32 ∆ + g22 (e23 g11 − e21 g13 )], γ11 = g11 (df11 − e212 ∆) − g13 e12 e32 ∆, γ13 = g13 (df33 − e232 ∆) − g11 e12 e32 ∆, γ33 = g33 (df33 − e232 ∆) − g13 e12 e32 ∆, 2 ; d = g11 g22 g33 − g22 g13 ∆ = g11 g33 − g13 Để đơn giản cách viết ta đặt aij = Aiijj = Ajjii = aji ; (i = j; i, j = 1, 2, 3), bij = Aijij = Ajiji = bji , cij = Aijji = Ajiij = cji (i = j; i, j = 1, 2, 3) Khi c12 cθ , b21 a12 e21 = − cθ , b22 a23 e23 = − sθ , a2 c23 e32 = − sθ , b23 a212 g11 = X + ( − b11 )c2θ − b31 sθ , b22 c212 c2 g22 = X + ( − b12 )c2θ − ( 23 − b32 )s2θ , b21 b23 a223 g33 = X + ( − b33 )s2θ − b13 c2θ , b22 a12 a23 g13 = ( − a13 − c13 )cθ sθ b22 Nhận xét (2.5.29) phương trình bậc X, để đưa dạng không thứ nguyên e12 = − ta đặt X = xµ sau chia hai vế (2.5.26) cho µ9 ta đưa đc dạng phương trình khơng thứ ngun phụ thuộc vào x, số vật liệu góc θ 31 2.5.2 Trường hợp θ = θ = π/2 Xét trường hợp tới hạn góc θ = Khi sóng Rayleigh truyền theo hướng Ox1 Từ (2.5.21) − (2.5.26) suy β12 = β21 = (2.5.30) γ22 − γ11 = Sau ta β12 = β21 = không cho ta vận tốc sóng Rayleigh Xét trường hợp đặc biệt mơi trường khơng có ứng suất trước Khi đó, ta có: < x < µ < γ = < (xem [3]) λ + 2µ Do β12 = ⇔g11 [e12 ∆ + g22 e21 g33 ] = (2.5.31) ⇔g11 g33 (e12 g11 + e21 g22 ) = 0, từ suy g11 = g33 = (chú ý (e12 g11 + e21 g22 ) = 0) +)g11 = λ2 − (λ + 2µ)] = λ + 2µ 3µ ⇒ X = 4µ(1 − ) λ + 2µ ⇒ x = 4(1 − 3γ) > 4(1 − ) = 1, ⇒X +[ (2.5.32) g11 = khơng cho ta vận tốc sóng Rayleigh +)g33 = ⇒X=µ (2.5.33) ⇒ x = 1, g33 = khơng cho ta vận tốc sóng Rayleigh mà cho ta vận tốc sóng ngang +) Cơng thức vận tốc sóng Rayleigh tìm từ γ22 − γ11 = 0, (2.5.34) 2 g22 g11 f22 − e221 − g11 g22 f11 − e212 = (2.5.35) hay 32 Đây phương trình tán sắc sóng Rayleigh (hai thành phần) truyền theo hướng Ox1 môi trường đàn hồi nén có ứng suất trước, dạng hữu tỷ X (phương trình bậc 3), lần tìm thấy Dowaikh Ogden [7] tìm phương trình tán sắc sóng dạng vơ tỷ Khi mơi trường khơng có ứng suất trước từ (2.5.35) suy phương trình sau x3 − 8x2 + 8(3 − 2γ)x − 16(1 − γ) = (2.5.36) Phương trình (2.5.36) trùng với phương trình mà Rayleigh tìm năm 1885 (xem [11]) Tương tự, trường hợp góc θ = 90o phương trình tán sắc 2 g22 g33 f22 − e223 − g33 g22 f33 − e213 = Khi mơi trường khơng có ứng suất trước (2.5.37) trở thành (2.5.36) (2.5.37) 33 Kết luận Nội dung luận văn gồm hai phần Phần nhằm giới thiệu "phương pháp tích phân đầu" chứng minh cách chi tiết khẳng định "phương pháp tích phân đầu Mozhaev khơng dẫn đến phương trình tán sắc mong muốn, mà dẫn đến đồng thức" Trong phần hai, phần luận văn, sóng mặt Rayleigh truyền theo hướng khơng mơi trường đàn hồi nén chịu biến dạng ban đầu nghiên cứu Đây sóng Rayleigh ba thành phần Bằng cách áp dụng phương pháp tích phân đầu trình bày [1], phương trình tán sắc dạng tường minh tìm Đây kết mới, có nhiều ứng dụng thực tế Các phương trình tán sắc cho hai trường hợp tới hạn θ = 0, θ = π/2, tương ứng với sóng Rayleigh hai thành phần, rút phương pháp Chúng phương trình bậc ba X = ρc2 , lần tìm thấy 34 Danh mục cơng trình tác giả Phạm Chí Vĩnh, Nguyễn Thị Nam, "Áp dụng phương pháp tích phân đầu để tìm phương trình tán sắc sóng Stoneley", Hội nghị Cơ học lần thứ 8, Hà Nội 6-7/12/2007, P.654-663 Pham Chi Vinh, Trinh Thi Thanh Hue, Dinh Van Quang, Nguyen Thi Khanh Linh, Nguyen Thi Nam, "Method of first intergrals and interface Surface Waves", Vietnam Journal of Mechanics, VAST, Vol 32 (2010) (2) Tài liệu tham khảo [1] Phạm Chí Vĩnh, Nguyễn Thị Nam, "Áp dụng phương pháp tích phân đầu để tìm phương trình tán sắc sóng Stoneley", Hội nghị Cơ học lần thứ 8, Hà Nội 6-7/12/2007, P.654-663 [2] J D Achenbach Wave Propagation in Elastic Solids, North Holland, Amsterdam (1973) [3] S D M Adam et al," Rayleigh Waves Guided by Topography", Proc R Soc London, Ser A, 463, pp 531-550, (2007) [4] M Destrade,"The explicit secular equation for surface acoustic waves in monoclinic elastic crystals", Journal of the Acoustic Society of America, 109 (2001),1398-1402 [5] M Destrade,"Elastic interface acoustic waves in twinned crystals", Int J Solids and Struct., 40 (2003), 7375-7383 [6] M Destrade, "Rayleigh Waves in anisotropic crystals rotating about the nomal asymmetry plane", ASME J.Appl.Mech,71 (2004), 516-520 [7] M A Dowaikh, R.W Ogden, "On Surface Waves and Deformations in a Compressible Elastic hafl-space", SAACM-Vol-1, pp 27-45 [8] P Hess, "Surface acoustic waves in material science", Phys Today 55 (2002),43-47 35 36 [9] P Malischewsky, "A note on Rayleigh waves velocity as a function of a material parameters", Geoficica International,43 (2004).507-509 [10] V G Mozhaev, "Some new ideas in the theory of surface acoustic waves in anisotropic media", IUTAM Symposium on Anisotropy, Inhomogeneity and Nonlinearity in Solid Mechanics (ed by O.F.Paker and A.H.England), KluWer Academic Pub, Dordrencht, The Netherlands,(1995), 455-462 [11] Lord Rayleigh, "On waves propagated along the plane surface of an elastic solid", Proc R Soc London 17 (1885), 4-11 [12] T C T Ting, Anisotropic Elasticity: Theory and Applications, Oxford Unversity Press NewYork 1996 [13] T C T Ting, "Explicit secular equation for surface waves in an anisotropic elastic half-space-From Rayleigh to today, Surface waves in anisotropic and laminated bodies and defects detection", ed by R V Goldstain, and G A Maugin, Kluwer Academic, 95-117, 2004 [14] R W Ogden, Non-linear Elastic Deformation, Ellis Horwood: Chichester,(1984) [15] Pham Chi Vinh, Trinh Thi Thanh Hue, Dinh Van Quang, Nguyen Thi Khanh Linh, Nguyen Thi Nam, "Method of first intergrals and interface Surface Waves", Vietnam Journal of Mechanics, VAST, Vol 32 (2010) (2)