Một số công thức tính vận tốc rayleigh và stonelay

Sử dụng lý thuyết bài toánRiemann, Nkemzi [36] đã dẫn ra công thức cho vận tốc sóng Rayleigh,nó là một hàm liên tục của γ = µ/λ + 2µ, với λ, µ là các hằng số Lame.Công thức đó khá là phứ

Phạm Thị Hà Giang

MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH VẬN TỐC SÓNG RAYLEIGH VÀ STONELEY

Luận văn thạc sỹ khoa học

Người hướng dẫn khoa học:PGS TS Phạm Chí Vĩnh

Hà Nội - Năm 2011

Lời mở đầu iii

Chương 1 Các công thức vận tốc sóng Rayleigh truyền

1.1 Vật liệu đàn hồi không nén được chịu kéo hoặc nén dọc

một trục 1

1.2 Công thức chính xác của vận tốc sóng Rayleigh 3

1.3 Công thức xấp xỉ toàn cục 7

1.3.1 Công thức xấp xỉ toàn cục cho RW12 8

1.3.2 Công thức xấp xỉ toàn cục cho RW21 10

Chương 2 Công thức vận tốc sóng Stoneley truyền dọc theo mặt phân chia của hai bán không gian có liên kết không chặt 12 2.1 Phương trình tán sắc 12

2.2 Các công thức vận tốc sóng Stoneley 15

2.2.1 Trường hợp 1: 1 > B > E > F > 0 16

2.2.2 Trường hợp 2: 1 > B > F > E > 0 22

2.2.3 Trường hợp 3: 1 > E > B > F > 0 23

2.3 Các trường hợp đặc biệt 24

2.4 Một số đồ thị minh họa kết quả 26

Sóng mặt Rayleigh truyền trong môi trường đàn hồi đẳng hướng nénđược mà Rayleigh [53] tìm ra hơn 120 năm trước vẫn đang được nghiêncứu một cách mạnh mẽ vì những ứng dụng to lớn của nó trong nhiềulĩnh vực khác nhau của khoa học và công nghệ như địa chấn học, âmhọc, địa vật lý, công nghệ truyền thông và khoa học vật liệu Có thểnói rằng những nghiên cứu của Rayleigh về sóng mặt truyền trong bánkhông gian đàn hồi có ảnh hưởng sâu rộng đến cuộc sống hiện đại Nóđược sử dụng để nghiên cứu động đất, thiết kế mobile phone và nhiềuthiết bị điện tử cực nhỏ, , như Adams và các cộng sự [1] đã nhấn mạnh.

Đã có một số lượng nghiên cứu rất lớn về sóng mặt Rayleigh Như đãviết trong [66], một trong những phương tiện tìm kiếm về khoa học lớnnhất Google.Scholar cho chúng ta hơn một triệu đường links cho yêu cầutìm kiếm về "Rayleigh waves" và khoảng 3 triệu cho "Surface waves"

Dữ liệu này thật là đáng kinh ngạc! Điều này chỉ ra rằng lĩnh vực nghiêncứu này có vị trí cao trong khoa học, công nghiệp, và được sự quan tâmrất lớn của các nhà khoa học

Đối với sóng Rayleigh, vận tốc của nó là đại lượng cơ bản được cácnhà nghiên cứu trong các lĩnh vực khoa học khác nhau quan tâm Nóđược nói đến trong hầu hết các sách chuyên khảo về sóng âm truyềntrong các vật thể đàn hồi Nó liên quan đến hàm Green trong nhiềubài toán động lực học cuả bán không gian đàn hồi, và là một công cụthuận lợi cho đánh giá không phá hủy các ứng suất trước của kết cấutrước và trong khi chịu tải Do vậy công thức dạng hiện của vận tốc sóngRayleigh có ý nghĩa đặc biệt quan trọng về cả phương diện lý thuyết lẫnthực hành

Mặc dù các định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phươngtrình tán sắc đã được chứng minh, nhưng qua hơn 100 năm, nghiệm củacác phương trình vẫn chưa tìm được do tính chất phức tạp và bản chấtsiêu việt của nó, như đã nhấn mạnh trong [66] Trước khi biểu thức chínhxác của nghiệm được tìm ra, một số công thức xấp xỉ đã được thiết lập(xem [35, 25, 52, 67, 39, 40, 41, 42]) Năm 1995, Rahman and Barber

bằng hai biểu thức khác nhau tùy thuộc vào dấu biệt thức phương trìnhbậc ba nên không thuận tiện khi sử dụng Sử dụng lý thuyết bài toánRiemann, Nkemzi [36] đã dẫn ra công thức cho vận tốc sóng Rayleigh,

nó là một hàm liên tục của γ = µ/(λ + 2µ), với λ, µ là các hằng số Lame.Công thức đó khá là phức tạp [7], và kết quả cuối cùng trong bài báocủa Nkemzi là không chính xác [26]

Malischewsky [26] đã tìm được công thức biểu diễn vận tốc sóngRayleigh bằng cách sử dụng công thức Cardan, công thức lượng giác củanghiệm phương trình bậc ba và MATHEMATICA Tuy nhiên Malis-chewsky [26] không chứng minh được công thức này Đến năm 2004,Vinh and Ogden [43] đã chứng minh một cách chặt chẽ công thức củaMalischewsky, và tìm ra được một công thức khác Đối với vật liệu trựchướng, không nén được, Ogden and Vinh [37] đã đưa ra được công thứcdạng hiện dựa trên lý thuyết phương trình bậc ba Sau đó, Vinh và Og-den [44], Vinh và Ogden [45] đã tìm được các công thức dạng hiện chovận tốc sóng Rayleigh trong môi trường đàn hồi trực hướng, nén được.Ngày nay vật liệu ứng suất trước được sử dụng rất rộng rãi Đánhgiá không phá hủy ứng suất trước của kết cấu, trước và trong quá trìnhđặt tải là cần thiết và quan trọng, sóng Rayleigh là một công cụ thuậntiện cho công việc này (xem Makhort [27, 28]; Hirao et al.[18]; Husson[19]; Delsanto and Clark [15]; Dyquennoy et al [8, 9]; Hu et al [20])Trong những nghiên cứu trên, để đánh giá ứng suất trước bằng sóngRayleigh, các tác giả đã thiết lập hoặc sử dụng công thức xấp xỉ vậntốc sóng Rayleigh (Tanuma [65]; Song và Fu [64] cũng vậy), chúng phụthuộc tuyến tính vào biến dạng trước (hoặc ứng suất trước) nên rất dễ

sử dụng Tuy nhiên, vì những công thức này được dẫn ra bằng phươngpháp nhiễu nên chúng chỉ chấp nhận được khi biến dạng trước đủ nhỏ.Chúng không thể áp dụng khi biến dạng trước trong vật liệu không cònnhỏ Gần đây, những công thức cho vận tốc sóng Rayleigh truyền trongvật rắn đàn hồi, đẳng hướng, có biến dạng trước đã được tìm ra bởi Vinh[46], Vinh & Giang [47], Vinh [48]

Những năm gần đây, khoa học chuẩn đoán bệnh bằng hình ảnh pháttriển mạnh mẽ Nó đòi hỏi các nhà khoa học phải mô phỏng chính xác

mô mềm sinh học (bằng thực nghiệm), đó là

W = µI2 + (A/3)I3 + DI22 (0.1)với I2 = tr(E2), I3 = tr(E3), E là tensor biến dạng Green µ, A, và D lầnlượt là các hằng số đàn hồi bậc hai, ba, bốn

Sau đó, một số nghiên cứu [16, 54, 55] đã được tiến hành nhằm đánhgiá hằng số bậc hai, bậc ba µ và A bằng phương pháp âm đàn hồi.Renier và các cộng sự [55] đã đo hằng số bậc bốn D bằng cách sử dụngsóng cắt phi tuyến phẳng biên độ hữu hạn Nhưng như đã nhấn mạnhbởi Destrade [10], những sóng này khó tạo ra và khó thu lại bằng thựcnghiệm Hơn nữa, mặc dù có thể quan sát chúng trong những vật rắngiống chất lỏng (như gels, phantoms, agar ), nhưng thật khó để hìnhdung rằng chúng có thể truyền trong những mô mềm sinh học mà khônggây ra một tổn hại nào ở mức độ tế bào vì biên độ lớn của sóng [29].Destrade và cộng sự [10] đã chỉ ra rằng tất cả các hằng số đàn hồi µ,

A, và D có thể được đo bởi phương pháp âm đàn hồi, cụ thể là sử dụngcác công thức của vận tốc sóng cắt và sóng Rayleigh truyền trong vậtthể đàn hồi mềm không nén được chịu kéo hoặc nén theo một trục với

độ dãn dài là e [10]

Mục tiêu đầu tiên của luận văn là đưa ra công thức chính xác và xấp

xỉ của vận tốc sóng Rayleigh truyền trong vật liệu đàn hồi mềm khôngnén được bị kéo hoặc nén theo một trục Chúng là những công cụ tốt vàthuận tiện để đánh giá các hằng số µ, A, và D

Sóng truyền dọc theo biên phân chia gắn chặt của hai bán khônggian đàn hồi đẳng hướng khác nhau đã được nghiên cứu lần đầu tiên bởiStoneley [59] vào năm 1924 Stoneley đã dẫn ra phương trình tán sắc củasóng này, và bằng những ví dụ cụ thể đã chỉ ra rằng sóng Stoneley khôngphải luôn tồn tại Những nghiên cứu tiếp theo bởi Sezawa & Kanai [60]

và Scholte [61, 62] tập trung vào miền tồn tại của sóng Stoneley Scholte[62] đã tìm ra được các phương trình biểu diễn biên của miền tồn tại

và chúng trùng với các đường cong tương ứng mà Sezawa & Kanai [60]

vẽ được bằng tính toán số cho trường hợp vật rắn Poisson (các hằng sốLame λ và µ bằng nhau) Những nghiên cứu của họ chỉ ra rằng các hằng

số vật liệu cho phép sóng Stoneley tồn tại là rất hạn chế Tuy nhiên,

liên kết chặt Sự lan truyền của sóng Stoneley trong vật liệu bất đẳnghướng cũng được nghiên cứu bởi Stroh [63] và Lim và các cộng sự [24].

Sự lan truyền của sóng Stoneley trong hai bán không gian đàn hồiđẳng hướng có liên kết không chặt đã được nghiên cứu bởi Murty [30, 31].Tác giả đã dẫn ra phương trình tán sắc và bằng cách giải trực tiếp phươngtrình này cho trường hợp vật liệu Poisson đã thu được rất nhiều giá trịcủa vận tốc sóng Barnett và các cộng sự [4] đã nghiên cứu sự tồn tại

và duy nhất của sóng Stoneley trong các bán không gian liên kết trượt,

và đã chỉ được ra rằng đối với các bán không gian đàn hồi đẳng hướng,nếu sóng Stoneley tồn tại, nó là duy nhất Trong khi đó đối với các bánkhông gian dị hướng thì có thể tồn tại một loại sóng trượt mới, được gọi

là sóng trượt thứ 2

Có một số ít nghiên cứu đã thực hiện đối với sóng Stoneley truyềntrong mặt phân cách của hai bán không gian đàn hồi gắn chặt có ứngsuất trước Trong các bài báo [5, 6] Chadwick & Jarvis đã xét sóngStoneley truyền theo một hướng bất kỳ song song với mặt phân chia củahai bán không gian cùng được làm từ vật liệu neo-hooken không nénđược chịu các biến dạng trước thuần nhất khác nhau, và trục chính biếndạng của các bán không gian là trùng nhau Dasgupta [11] đã nghiêncứu ảnh hưởng của ứng suất ban đầu lên miền tồn tại của Sóng Stoneleytrong vật liệu neo-hookean không nén được Dunwoody [12] đã nghiêncứu bài toán sóng mặt truyền trong các bán không gian có ứng suấttrước, nén được Trong bài báo [13] Dowaikh & Ogden đã nghiên cứu

sự lan truyền của sóng Stoneley dọc theo mặt phân cách của hai bánkhông gian gắn chặt chịu biến dạng trước thuần nhất mà một trong cáctrục chính biến dạng vuông góc với mặt phân cách, hai trục chính cònlại của hai bán không gian là trùng nhau Giả thiết là sóng truyền dọctheo một trục chính Bằng những phân tích chi tiết phương trình tánsắc, các tác giả đã dẫn ra điều kiện đủ cho sự tồn tại của sóng Stoneleytrong trường hợp tổng quát, trong các trường hợp riêng đã dẫn ra điềukiện cần và đủ cho sự duy nhất của sóng này Tuy nhiên, câu hỏi về sựduy nhất cho trường hợp tổng quát vẫn chưa được giải quyết Vấn đềnày đã được giải quyết gần đây bởi Vinh & Giang [51]

đây chỉ ra rằng sóng Stoneley rất hữu dụng cho việc đánh giá không pháhủy (xem [23, 57])

Giống như vận tốc sóng Rayleigh, tốc độ của sóng Stoneley cũng làmột đại lượng quan trọng cuốn hút được các nhà nghiên cứu trong nhiềulĩnh vực khoa học khác nhau Các công thức của nó là công cụ mạnh đểgiải quyết những bài toán thuận: nghiên cứu ảnh hưởng của các tham

số vật liệu vào vận tốc sóng, và đặc biệt là các bài toán ngược: xác địnhcác tham số vật liệu từ giá trị đo được của vận tốc sóng Trong khi cáccông thức vận tốc sóng Rayleigh trong các vật liệu khác nhau đã đượctìm gần đây, như đã đề cập ở trên, thì theo hiểu biết của tác giả vẫnchưa có công thức vận tốc sóng Stoneley nào được tìm thấy

Mục tiêu thứ hai của luận văn là thiết lập các công thức vận tốc sóngcho sóng Stoneley truyền theo mặt phân cách hai bán không gian đàn hổiđẳng hướng khác nhau có liên kết không chặt

Luận văn gồm hai chương:

Chương 1:Các công thức vận tốc sóng Rayleigh truyền trong các vật liệumềm không nén được

Trong chương này, tác giả đã rút ra các công thức chính xác của vậntốc sóng Rayleigh truyền trong bán không gian đàn hồi mềm, không nénđược, chịu kéo và nén dọc theo một trục Một số công thức xấp xỉ đãđược thiết lập dựa trên đa thức xấp xỉ bậc hai tốt nhất của lũy thừa bậc

ba trên đoạn [0,1] Các công thức xấp xỉ này có độ chính xác cao, và códạng đơn giản hơn công thức chính xác nên sẽ thuận tiện hơn khi ứngdụng

Các kết quả trong chương này đã được viết thành một bài báo sẽđược gửi đăng trong thời gian tới

Chương 2:Công thức vận tốc sóng Stoneley truyền dọc theo mặt phânchia của hai bán không gian có liên kết không chặt

Trong chương này tác giả đã thiết lập các công thức chính xác củavận tốc sóng Stoneley truyền dọc theo mặt phân chia của hai bán khônggian có liên kết không chặt bằng cách sử dụng phương pháp hàm phức

Từ các công thức thu được dễ dàng thu được các kết quả của Murty [30]

Từ các công thức này, tác giả đã chứng minh được nếu sóng Stoneleytồn tại thì nó là nhất

elastic half-spaces, Wave Motion, Volume 48, Issue 7, November 2011,Pages 647-657.

Các công thức vận tốc sóng Rayleigh truyền trong các vật liệu mềm

xk = λkXk (không tổng theo k), k = 1, 2, 3, (1.1)

λ1 = λ, λ2 = λ3 = λ−1/2, λ > 0, (1.2)với λk là các độ giãn chính và λ = 1 + e (xem [10]) Chú ý rằng cácmặt của khối sau khi biến dạng song song với các mặt phẳng (x1, x2),(x2, x3), (x3, x1) Tương ứng với biến dạng trước cho bởi (1.1), ta có các

γ12 = γ12(1)µ + γ12(2)A + γ12(3)D = γ13 (1.8)với:

γ21(k) = γ12(k)/(1 + e)3, k = 1, 2, 3 (1.11)

γ23 = γ23(1)µ + γ23(2)A + γ23(3)D = γ32 = β23 = β32 (1.12)với:

γ12+ γ21 − 2β12 = g1µ + g2A + g3D (1.15)2(β12− γ21) = f1µ + f2A + f3D (1.16)với gk (k = 1, 2, 3) và fk (k = 1, 2, 3) lần lượt được cho bởi (A1)-(A3) và(A4)-(A6)

1.2 Công thức chính xác của vận tốc sóng Rayleigh

Trong phần này, chúng ta thiết lập công thức chính xác của vận tốcsóng Rayleigh ứng với hàm năng lượng (0.1) và sóng lan truyền theo cáchướng chính Để đơn giản ta dùng ký hiệu "RWkm" chỉ sóng Rayleighlan truyền theo hướng xk và tắt dần theo hướng xm

Xét sóng Rayleigh lan truyền theo hướng x1 (hướng kéo dãn) với vậntốc c, và tắt dần theo hướng x2

Theo Dowaikh & Ogden [14], hoặc Vinh [46], Vinh & Giang [47],phương trình tán sắc là:

γ21(γ12−ρc2)+(2β12+2γ21∗ −ρc2)[γ21(γ12−ρc2)]1/2 = (γ21∗ )2, 0 < ρc2 < γ12

(1.17)với γ12, γ21, và β12 được cho bởi (0.1), (1.2), (1.4)-(1.7), γij∗ = γij − σi(i, j = 1, 2, 3, i 6= j), σi là ứng suất chính Cauchy tại trạng thái biến dạng(xem [14]) Lưu ý rằng phương trình tán sắc (1.17) đúng cho mọi biếndạng trước thuần nhất được cho bởi (1.1), các ứng suất chính Cauchy

σi (i = 1, 2, 3)) nói chung là khác không Từ điều kiện elliptic mạnh(strong-ellipticity) suy ra γ12 > 0, γ21 > 0 ( xem [14]) Gần đây, côngthức biểu diễn nghiệm của phương trình tán sắc (1.17) đã tìm được bởi

Phạm Chí Vĩnh [46] Cụ thể là, theo mệnh đề 4 trong [46], nếu γ21∗ 6= 0,thì vận tốc không thứ nguyên của sóng Rayleigh x(12)r = ρc2/γ12 đượcxác định bởi bởi:

x(12)r =

h

4 −p(γ21− 8β12)/γ12+ 4 −pγ21/γ12

2i/4 (1.21)Chú ý rằng công thức (1.18) đúng với mọi hàm năng lượng W và mọibiến dạng trước thuần nhất Bây giờ chúng ta sẽ cụ thể hóa (1.18) chotrường hợp đang xét, với hàm năng lượng biến dạng W cho bởi (0.1),

và biến dạng trước đẳng trục (1.2) Đối với trường hợp này σ2 = 0,

γ21∗ = γ21 > 0, vì vậy x(12)r xác định bởi (1.18) Từ (1.20) cùng với(0.1)-(1.3), (1.4)-(1.7) chúng ta có:

h1 = 4 + 11e + 39e

2 + 56e3 + 44e4 + 18e5 + 3e6(1 + e)2

h2 = e(4 + 67e + 220e

2 + 425e3 + 505e4 + 378e5 + 174e6 + 45e7 + 5e8)

4(1 + e)3

h3 = [e2(60 + 330e + 1126e2 + 2459e3 + 3689e4 + 3857e5 + 2805e(1.23)6+ 1390e7 + 447e8 + 84e9 + 7e10)]/[2(1 + e)4]

Để dẫn ra các công thức trên chúng ta đã sử dụng biểu thức

2(β12 + γ21) = h1µ + h2A + h3D (1.24)

Từ (1.9), (1.11), (1.18), (1.19), (1.22),(1.23), rõ ràng là vận tốc sóng

Rayleigh x(12)r là hàm của các tham số e, A∗, D∗

Từ các đẳng thức γ13 = γ12, γ31 = γ21, β13 = β12, σ3 = σ2 = 0,γ31∗ =

γ21∗ ta có x(13)r =x(12)r , ở đây x(km)r là vận tốc sóng Rayleigh truyền theo

hướng xk và tắt dần theo hướng xm

Bây giờ xét RW21

Khi hoán vị các cặp chỉ số 12 và 21 cho nhau trong phương trình

(1.17) ta thu được phương trình tán sắc đối với RW21 là :

γ12(γ21−ρc2)+(2β21+2γ12∗ −ρc2)[γ12(γ21−ρc2)]1/2 = (γ12∗ )2, 0 < ρc2 < γ21

(1.25)

Từ mối liên hệ σ1 − σ2 = λ1W1 − λ2W2 (xem [46], phương trình

(111)) và σ2 = 0, suy ra σ1 = γ12 − γ21 (xem [14]), vì vậy γ12∗ = γ21, và

phương trình (1.25) trở thành:

γ12(γ21−ρc2)+(2β21+2γ21−ρc2)[γ12(γ21−ρc2)]1/2 = (γ21)2, 0 < ρc2 < γ21

(1.26)Theo mệnh đề 4 trong [46], vì γ12∗ = γ21 > 0, nên x(21)r được cho bởi:

với γ21(k) và γ12(k) (k = 1, 2, 3) được xác định bởi (1.9), (1.11), và β12(k) (k =

1, 2, 3) được cho bởi:

β12(1) = 2 + 7e + 33e

2 + 54e3 + 44e4 + 18e5 + 3e62(1 + e)2

β12(2) = e(2 + 53e + 194e

2 + 399e3 + 493e4 + 376e5 + 174e6 + 45e7 + 5e8)

8(1 + e)3

β12(3) = [e2(48 + 282e + 1016e2 + 2311e3 + 3561e4 + 3791e5 + 2787e6

+ 1388e7 + 447e8 + 84e9 + 7e10)]/[4(1 + e)4] (1.30)

Chú ý rằng:

β12 = β12(1)µ + β12(2)A + β12(3)D (1.31)

Rõ ràng rằng x(21)r là hàm của các tham số không thứ nguyên e, A∗, D∗

Các công thức (1.18), (1.19),(1.22), (1.23) và (1.19), (1.27),(1.29), (1.30)

cho ta công thức biểu diễn chính xác công thức vận tốc sóng Rayleigh

x(12)r và x(21)r Các công thức này là hàm phi tuyến của các tham số không

thứ nguyên e, A∗, D∗

Bây giờ chúng ta giả sử ràng độ dãn e đủ nhỏ Khai triển Taylor

x(12)r (e) tới bậc hai tại e = 0 ta có:

ρc2/µ = 0.912621+(0.228155 A∗+3) e+(5.64159+2.07079 A∗+3.55421 D∗) e2

(1.32)Công thức (1.32) trùng với công thức xấp xỉ mà Destrade và các cộng

sự thu được gần đây ( công thức (19) trong [10])

Tương tự, khai triển Taylor x(21)r (e) tới bậc hai tại e = 0 có:

ρc2/µ = 0.9126+(0.386299+0.2282 A∗) e+(1.80198+1.41737 A∗+3.55421 D∗) e2

(1.33)Kết quả này khác với kết quả của Destrade trong [10] (công thức (20)),

Phương trình này thu được từ phương trình tán sắc đối với RW12 bằngcách thay thế các chỉ số 12 và 21 cho nhau Tuy nhiên sự thay thế đơnthuần này không mang lại phương trình chính xác cho RW21.

Hình 1.1 Sự phụ thuộc vào e ∈ [−0.1, 0.2] của ρc2/µ lần lượt được tínhbởi công thức chính xác (1.27) (đường nét liền), công thức xấp xỉ (1.33)(đường gạch-gạch), và công thức của Destrade (1.34) (đường gạch-chấm)với µ = 6.6 kPa, A = −37.7 kPa, và D = 27.65 kPa

Hình 1.1 biểu diễn đồ thị của ρc2/µ tính bằng công thức chính xác(1.27) và các công thức xấp xỉ bậc hai (1.33), và công thức của Destrade(1.34) Đồ thị này chỉ ra rằng công thức (1.33) là xấp xỉ tốt trong đoạn[−0.10.2], và công thức (1.34) thực sự không phải là một xấp xỉ cho

ρc2/µ của RW21 Chú ý rằng, đối với RW31 chúng ta có: x(31)r =x(21)r

1.3 Công thức xấp xỉ toàn cục

Trong phần này chúng ta sẽ thiết lập công thức xấp xỉ toàn cục cho

ρc2/µ đối với RW12 và RW21

1.3.1 Công thức xấp xỉ toàn cục cho RW12

Bình phương phương trình tán sắc (1.17), sau một vài phép biến đổi,trong đó có sử dụng γ21∗ =γ21 ta thu được một phương trình bậc ba đốivới biến x = ρc2/γ12:

−x3 + (3δ1 + 4δ2 + 1)x2 − 2[2(δ1 + δ2) + 2(δ1 + δ2)2 + δ12 − δ1]x

+4(δ1 + δ2)2 − δ3

1 + 2δ12 − δ1 = 0, 0 < x < 1 (1.36)với:

với:

M = 3δ1 + 4δ2 − 0.5, N = 2(δ1 + δ2) + 2(δ1 + δ2)2 + δ21 − δ1 − 0.28125

Q = 4(δ1 + δ2)2 − δ31 + 2δ12 − δ1 − 0.03125 (1.40)Không khó để chỉ ra rằng nghiệm của phương trình (1.39) tương ứng vớisóng Rayleigh là:

Hình 1.2 Đồ thị của ρc2/µ được tính bởi công thức chính xác (1.18),công thức xấp xỉ toàn cục (1.41) với e ∈ [−0.1, 0.3], µ = 6.6 kPa, A =

−37.7 kPa, và D = 27.65 kPa Hai đồ thị này gần như hoàn toàn trùngnhau

1.3.2 Công thức xấp xỉ toàn cục cho RW21

Tương tự như phần trên bằng cách bình phương phương trình tán sắcđối với RW21 ta thu được phương trình bậc ba đối với biến x = ρc2/γ21là:

−x3 + (4¯δ2 − ¯δ1 + 5)x2 − 2[2(1 + ¯δ2) + 2(1 + ¯δ2)2 + 1 − ¯δ1]x

+4(1 + ¯δ2)2 − (1 − ¯δ1)2/¯δ1 = 0, 0 < x < 1 (1.42)với:

M1x2 − 2N1x + Q1 = 0 (1.44)Nghiệm của phương trình này tương ứng với sóng Rayleigh là :

Hình 1.3 Đồ thị của ρc2/µ được tính bởi công thức chính xác (1.27),công thức xấp xỉ (1.45) với e ∈ [−0.1, 0.3], µ = 6.6 kPa, A = −37.7 kPa,

và D = 27.65 kPa Hai đồ thị này gần như trùng nhau

Công thức vận tốc sóng Stoneley truyền dọc

theo mặt phân chia của hai bán không gian có liên kết không chặt

2.1 Phương trình tán sắc

Xét hai vật thể đàn hồi Ω và Ω∗ lần lượt chiếm hai bán không gian x2 ≥ 0

và x2 ≤ 0 Giả sử hai bán không gian này có liên kết không chặt tại mặtphẳng x2 = 0, nghĩa là các thành phần chuyển dịch pháp và ứng suấtpháp tại mặt phẳng này liên tục, còn ứng suất tiếp bị triệt tiêu tại mặtphẳng này (xem [31], [30]) Chú ý, các đại lượng của Ω và Ω∗ có cùngmột ký hiệu, nhưng với các đại lượng của Ω∗ chúng ta thêm dấu sao.Xét chuyển động phẳng trong mặt phẳng (x1, x2):

ui = ui(x1, x2, t), i = 1, 2, u3 = 0, (2.1)

u∗i = 0 (i = 1, 2), σij∗ = 0 (i, j = 1, 2) khi x2 = −∞ (2.5)Điều kiện liên kết không chặt ở mặt phân cách được thể hiện bởi:

u2 = u∗2, σ22 = σ22∗ , σ12 = σ12∗ = 0 tại x2 = 0 (2.6)Bây giờ, chúng ta xét sự lan truyền của sóng dọc theo hướng x1 với vậntốc sóng là c, số sóng là k (> 0), sóng này tập trung chủ yếu trên mặtphân cách x2 = 0 Vì vậy các thành phần dịch chuyển u1, u2 (trong miềnΩ) được tìm dưới dạng:

u1 = Ae−kbx2eik(x1 −ct), u2 = Be−kbx2eik(x1 −ct), (2.7)với A, B, b là các hằng số, và để đảm bảo được điều kiện tắt dần ở vôcùng (2.4) thì:

Thay phương trình (2.7) vào (2.2) dẫn đến một hệ đại số tuyến tính của

A, B Để hệ có nghiệm không tầm thường thì định thức của các hệ sốphải triệt tiêu, từ đây ta có:

c2Lc2Tb4 − [c2L(c2T − c2) + c2T(c2L− c2)]b2 + (c2L− c2)(c2T − c2) = 0 (2.9)

Bây giờ chúng ta sẽ chỉ ra rằng nếu (2.8) đúng, thì chúng ta có (xem[50]):

0 < c < cT (2.10)Thực vậy, vì các hệ số của phương trình trùng phương (2.9) đối với

X = b2 là thực, và biệt thức ∆ = [c2L(c2T − c2) − c2T(c2L − c2)]2 ≥ 0, nênphương trình (2.9) luôn có hai nghiệm thực, được ký hiệu là X1, X2, hainghiệm này phải dương, nếu không phương trình (2.8) không còn đúng.Điều này dẫn tới X1X2 > 0, nghĩa là:

(c2L − c2)(c2T − c2) > 0 (2.11)

Vì X1+ X2 = [c2L(c2T− c2) + c2T(c2L− c2)]/c2Lc2T, nếu (c2L− c2) và (c2T− c2) là

âm, thì X1+ X2 < 0, điều này không phù hợp với việc X1, X2 là dương

Vì vậy (c2L − c2) và (c2T − c2) phải cùng là dương, từ đây suy ra (2.10).Với điều kiện (2.10), phương trình (2.9) có hai nghiệm thỏa mãn (2.8)là: