ĐỀ THI HSG TOÁN 9

Tailieumontoan.com  Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUẬN, HUYỆN, THÀNH PHỐ HÀ NỘI Thanh Hóa, ngày tháng năm 2020 Website:tailieumontoan.com TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP THÀNH PHỐ HÀ NỘI LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu giáo viên toán THCS học sinh luyện thi học sinh giỏi mơn tốn lớp 9, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cô em đề thi học sinh giỏi toán lớp thành phố Hà Nội qua năm có hướng dẫn số đề Đây đề thi mang tính chất thực tiễn cao, giúp thầy cô em học sinh luyện thi học sinh giỏi lớp có tài liệu bám sát đề thi để đạt thành tích cao, mang lại vinh dự cho thân, gia đình nhà trường Bộ đề gồm nhiều Câu tốn hay thầy cô nước sưu tầm sáng tác, ôn luyện qua giúp em phát triển tư mơn tốn từ thêm u thích học giỏi mơn học này, tạo tảng để có kiến thức tốt đáp ứng cho việc tiếp nhận kiến thức lớp, cấp học nhẹ nhàng hiệu Các vị phụ huynh thầy dạy tốn dùng dùng tuyển tập đề tốn để giúp em học tập Hy vọng Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp thành phố Hà Nội giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải tốn nói riêng học tốn nói chung Bộ đề viết theo hình thức Bộ đề ơn thi, gồm: đề thi hướng dẫn giải đề đề thi dựa đề thi thức sử dụng kì thi học sinh giỏi tốn lớp thành phố Hà Nội Mặc dù có đầu tư lớn thời gian, trí tuệ song khơng thể tránh khỏi hạn chế, sai sót Mong góp ý thầy, giáo em học! Chúc thầy, cô giáo em học sinh thu kết cao từ đề này! Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com MỤC LỤC Phần 1: Đề thi quận thành phố Hà Nội Đề số Đề thi Đề thi huyện Trương Mỹ năm 2019-2020 (vòng 1) Đề thi huyện Trương Mỹ năm 2019-2020 (vòng 2) Đề thi huyện Thường Tín năm 2019-2020 Đề thi huyện Ba Vì năm 2019-2020 Đề thi huyện Cầu Giấy năm 2019-2020 Đề thi huyện Thanh Xuân năm 2019-2020 Đề thi huyện Đan Phượng năm 2018-2019 Đề thi huyện Ba Vì năm 2017-2018 Đề thi huyện Ba Đình năm 2017-2018 10 Đề thi huyện Ba Đình năm 2016-2017 11 Đề thi huyện Bắc Từ Liêm năm 2018-2019 12 Đề thi huyện Đan Phượng năm 2018-2019 Phần 2: Đề thi thành phố Hà Nội Trang Đề số Đề thi 13 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2019- 2020 14 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2018- 2019 15 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2017- 2018 16 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2016- 2017 17 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2015- 2016 18 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2014- 2015 19 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2013- 2014 20 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2012- 2013 21 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2011- 2012 22 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2010- 2011 23 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2009- 2010 24 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2008- 2009 25 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2007- 2008 26 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2006- 2005 27 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2004- 2005 28 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2003- 2004 29 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2002- 2003 30 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2001- 2002 31 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2000- 2001 32 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 1999- 2000 33 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 1998- 1999 34 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 1997- 1998 Phần 2: Hướng dẫn giải Trang Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Phần 1: Đề thi học sinh giỏi quận, huyện PHÒNG GD&ĐT TRƯƠNG MỸ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2019 -2020 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Đề số Câu 1: (1,25 điểm) Tìm số a, b sơ đồ sau: b a 12 Câu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức A = 10 14 13 19 22 20 x 1 + − x −2 x +2 4− x 1) Tìm x để A < x +3 2) Biết A =⋅ 19 + + 19 − − , tính giá trị B = : ( A) 2− x x −3 3) Tìm giá trị x nguyên để biểu thức P = A : nhận giá trị nguyên? 2− x ) ( 4) Tìm x để A Câu 3: ( ) x − + x = x + + x + 16 + − x (3,25 điểm) x + x +1 = vô nghiệm x − m x −1 2) Tìm giá trị lớn biểu thức: y = x + (1 − x ) với ≤ x ≤ 1) Tìm m để phương trình: 3) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 1 1 + + = x y xy Câu 4: (3,5 điểm) 1) Cho x − = , tính giá trị D = x − x − x − x + x + 2022 2) Tìm a, b để P ( x ) = x + ax + bx + chia hết cho Q ( x= ) x2 − a + b2 + c2  a + b + c  3) Cho a, b, c ba số thực Chứng minh đẳng thức: ≥  3   Câu 5: (2,0 điểm) Cho ∆ABC nhọn Các đường cao AD, BE , CF ∆ABC cắt H 1) Chứng minh ∆ABC đồng dạng với ∆AEF  = 45o , tính diện tích tứ giác BCEF , biết diện tích ∆ABC 60cm 2) Gỉa sử BAC DC AC + BC − AB = BD BC + AB − AC 4) Chứng minh rằng: H cách ba cạnh ∆DEF AH BH CH + + ≥ 5) Chứng minh rằng: BC AC AB 3) Chứng minh rằng: Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com PHỊNG GD&ĐT TRƯƠNG MỸ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2019 -2020 ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN (Vịng 2) Đề số Thời gian làm bài: 150 phút - Câu (3,0 điểm) Chứng minh rằng: ( 20192019 + 20212020 ) 2020 Tìm số tự nhiên n để n + 24 n − 65 số phương x y xy − − Câu (4,0 điểm) Cho H = x + y − xy − y x + xy + x + y x + − xy − y Tìm x, y nguyên để H = 20 Câu (3,0 điểm) Cho số a, b, c, x, y, z dương thỏa mãn: y x z + + = a b c a b c + + = x y z x y z + + + 2019 a b c Giải phương trình: x + 16 x= − x ( x + 8) Tính giá trị biểu thức M = Câu (4,0 điểm) Tìm a, b để f ( x ) = x + x − x + x ( a − ) + b + viết thành bình phương đa thức Cho a, b số dương thỏa mãn (1 + a )(1 + b ) = 4,5 Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q= a + + b4 + Cho a, b, c dương cho a b c + + = Chứng minh: b c a b c a + + ≤ a b c Câu (7,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A ( AB < AC ) , đường cao AH ( H thuộc BC ) Kẻ HD, HE vng góc với AB, AC ( D thuộc AB , E thuộc AC ) Đường thẳng qua A vng góc với DE cắt BC I a) Chứng minh: I trung điểm BC b) Kẻ đường thẳng vng góc với AI A cắt đường thẳng BC K Chứng minh AB tia phân giác góc KAH c) Chứng minh: AD.BD + AE.EC ≤ AI Cho tam giác ABC , kẻ đường phân giác AD, BE , CF tam giác ABC a) Chứng minh AB.BD − BD.DC = AD 1 1 1 b) Chứng minh: + + < + + AB AC BC AD BE CF Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com PHỊNG GD&ĐT THƯỜNG TÍN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2019 -2020 ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN Đề số Thời gian làm bài: 150 phút -   2x + x −1 2x x + x − x   Bài Cho biểu thức: P = − +   : x   − x 1+ x x  1− x  a) Rút gọn P b) Chứng minh: P > Bài Giải phương trình: x − x −1 + + x − x −1 + = Bài 1) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x y + x − 10 y = −2 2) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x2 y2 z2 + + y+z z+x x+ y Bài 4: Cho hai đường tròn ( O; R ) đường tròn ( O′; R / ) tiếp xúc ngồi A Trên đường trịn ( O ) lấy điểm B cho AB = R điểm M cung lớn AB Tia MA cắt đường tròn ( O′ ) điểm thứ N Qua N kẻ đường thẳng song song với AB cắt đường thẳng MB Q cắt đường tròn ( O′ ) P a) Chứng minh tam giác OAM đồng dạng tam giác O′AN b) Tính NQ theo R c) Xác định vị trí M để diện tích tứ giác ABQN đạt giá trị lớn tính giá trị lớn theo R Cho tam giác ABC điểm O nằm tam giác Các tia AO , BO , CO cắt cạnh BC , CA, AB theo thứ tự M , N , P Chứng minh rằng: OA OB OC + + = AM BN CP Bài 5: Cho hai số dương x,y thỏa mãn điều kiện x3 + y =x − y Chứng minh x + y ≤ Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com PHỊNG GD&ĐT BA VÌ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2019 -2020 ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN Đề số Thời gian làm bài: 150 phút -  8x2 x+3 3x  − − 1+ : Câu 1: 1) Cho biểu thức P =  x + x +  x − x 3x − 12 x +  a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x để= P 0;= P c) Tìm giá trị x để P > 2) Tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức A = n3 − 6n + 9n − số nguyên tố Câu 2: 1) Giải phương trình: − x + x + − x − x − =1 + 2) Cho ba số a, b, c thỏa mãn 1 1 + + = a b c a+b+c Tính giá trị biểu thức Q = ( a 27 + b27 )( b41 + c 41 )( c 2019 + a 2019 ) Câu 3: 1) Chứng minh với số nguyên n cho trước, không tồn số nguyên dương x cho x ( x + 1)= n ( n + ) 2) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: A = 1 1 + + ≤ 2 a + 2b + b + 2c + c + 2a + 2 Câu 4: Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH , lấy điểm E AB , kẻ HF vng góc với HE ( F thuộc AC ) a) Chứng minh HE.BC = EF AB b) Cho = AB 6= cm, AC 8cm , diện tích tam giác HEF cm Tính cạnh tam giác HEF c) Khi điểm E chạy AB trung điểm I EF chạy đường nào?  cắt O Trên tia AB lấy điểm E Câu 5: Cho ∆ABC nhọn Phân giác A C cho AO = AE AC Trên tia BC lấy F cho CO = CF AC Chứng minh E , O, F thẳng hàng Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com PHÒNG GD&ĐT CẦU GIẤY ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2019 -2020 ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN Đề số Thời gian làm bài: 150 phút - Câu 1: (5 điểm)  2x x + x − x x + x  x −1 x + −  − x − x + x − x x x − 1   Cho biểu thức P =  a) Tìm điều kiện x để biểu thức P có nghĩa rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P Cho số dương x, y, z thỏa mãn: x3 + y + z = ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x) a) Tính x + y + z biết xy + yz + zx = b) Chứng minh z ≥ x; z ≥ y z > x + y Câu 2: (5 điểm) Giải phương trình: − x + + 12 x + 19 x − 21 x + 33 x + 28 + x= Tìm số nguyên ( x; y ) với x ≥ 0; y ≥ thỏa mãn: x3 + y + xy + x + 10 y − 12 = Câu 3: (3 điểm) Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức T =a + b 2011 + c1954 − ab − bc − ac Tìm số nguyên dương x để x3 + 14 x + x − số phương Câu 4: (6 điểm) Cho tam giác ABC cạnh a , hai điểm M , N di động AM AN + = Đặt AM = x; AN = y hai đoạn AB, AC cho MB NC AM = , tính diện tích tam giác AMN theo a a Biết AB b Chứng minh MN = a − x − y c Gọi D trọng tâm tam giác ABC , K trung điểm AB Vẽ DI ⊥ MN , chứng minh rằng: DI = DK Câu 5: (1 điểm) Cho bảng vng 2019 × 2020, vng tơ hai màu xanh đỏ Biết ban đầu tất ô tô màu xanh Cho phéo lần ta chọn hang cột thay đổi màu tất thuộc hàng cột Hỏi sau số hữu hạn lần đổi màu ta thu bảng gồm 2000 ô vuông màu đỏ hay không? Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com PHỊNG GD&ĐT THANH XN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2019 -2020 ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN Đề số Thời gian làm bài: 150 phút - Bài I (5,0 điểm)  x −3 x +2 9− x   x −9 Cho biểu thức A =  + −  : 1 −  x −  − x + x x + x −    a) Rút gọn A b) Tìm giá trị A x = 10 + ( ) −1 6+2 − Bài II (5,0 điểm) 1) Chứng minh rằng, p p + hai số nguyên tố lẻ p + p + số nguyên tố 2) Tìm tất số nguyên ( x; y ) cho: ( x + xy + y ) = ( x + y ) Bài III (4,0 điểm) 1) Giải phương trình: x + x += 2x + 2) Cho x, y, z số thực dương số thực a, b, c  a b2 c2  Chứng minh  + +  ( x + y + z ) ≥ ( a + b + c ) y z   x 3) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xyz = Tìm giá trị nhỏ biểu 1 thức: P = + + 1+ 2x 1+ y 1+ 2z Bài IV (4,0 điểm) Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh a Trên CB, CD lấy điểm M , N cho chu vi tam giác CMN có chu vi 2a Gọi giao điểm đường thẳng BD với đường thẳng AM , AN E , F Giao điểm MF NE H  1) Tính số đo MAN 2) Chứng minh AH ⊥ EF 3) Gọi diện tích tam giác AEF , AMN S1 , S Tính S1 S2 Bài V (1,0 điểm) Trong mặt phẳng cho 2020 điểm, khoảng cách hai điểm đơi khác Nối điểm số 2020 điểm với điểm gần tương ứng Chứng minh với cách nối khơng thể nhận đường gấp khúc khép kín Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com PHỊNG GD&ĐT ĐAN PHƯỢNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2019 -2020 ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN Đề số Thời gian làm bài: 150 phút - Câu (2,0 điểm) Tính: a A = ( ) 12 − 27 + − 75 b B= 45 + (1 − ) − +1 Câu (2,0 điểm) Giải phương trình sau: a b x − − x − + x − 18 = x2 − 4x + = 2x − Câu (2,0 điểm) Cho hai biểu thức A = x x −2 B = x x −3 − x+9 x với x > 0, x ≠ 4, x ≠ x−9 a Tính giá trị biểu thức A x = 100; b Rút gọn biểu thức B; c Tìm giá trị nguyên x để biểu thức M = A : B có giá trị nguyên Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A ( AB < AC ) , đường cao AH Gọi D E chân đường vng góc kẻ từ H xuống AB, AC a Cho = BH 4= cm, CH cm Tính AH , DE ; b Chứng minh AD AB = AE AC ;  cắt BC K Gọi I trung điểm AK c Đường phân giác BAH Chứng minh tam giác AKC cân CI vng góc với AK ; 1 d Dựng IM vng góc với BC M Chứng minh = + 2 AH AK 4CI Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 124 Website:tailieumontoan.com Vậy IK lớn Q trung điểm BC + Chứng minh MI2 + MJ2 + MK2 không đổi Q di chuyển cạnh BC    Lại có =  MBJ   Do tứ giác BIMJ nội tiếp nên ta có IMJ = ABC = 60 = ACB MIJ = MAC Do hai tam giác IMJ ACQ đồng dạng, ta MJ CQ Tương tự ta = MI CA MJ BQ = MK AB Từ suy ( ) MJ MJ CQ BQ MI.MK + = + = nên ta MJ MI + MK = MI MK CA AB Hay MI.MK − MJ.MI − MJ.MK = Mặt khác ta lại có SABM = 1 = AB.MI; SBCM = BC.MJ; SACM MK.AC 2 Mà SABM + SACM = SBCM + SABC SABC = a2 a2 Nên ta có AB.MI + MK.AC =BC.MJ + hay a a 3a ⇔ MI + MK − MJ = Do MI + MK − MJ = 2 3a Suy MI2 + MJ2 + MK2 + MI.MK − MI.MJ − MJ.MK = 3a Mà MI.MK − MJ.MI − MJ.MK = nên MI2 + MJ2 + MK2 =không đổi Vậy MI2 + MJ2 + MK2 không đổi Q di chuyển cạnh BC ( MI + MK = MJ + ( ) ) • Nhận xét Để chứng minh MI2 + MJ2 + MK2 không đổi Q di chuyển cạnh BC ta chứng minh hai toán nhỏ sau + Bài toán Cho tam giác ABC có cạnh a nội tiếp đường trịn tâm O.Gọi M điểm trê cung nhỏ BC Gọi I, J, K hình chiếu M AB, BC, AC Khi MI + MK − MJ khơng đổi + Bài tốn Cho tam giác ABC có cạnh a nội tiếp đường trịn tâm O Gọi M điểm cung nhỏ BC Gọi I, J, K hình chiếu M AB, BC, AC Khi 1 + = Hệ thức tốn cịn cho tam giác nhọn ABC MI MK MJ Câu (1.0 điểm) • Phân tích Bảng có kích tước 10.10 có tất 100 ô vuông đơn vị Theo hai ô chung cạnh chung đỉnh nguyên tố nhau, hai ô chung cạnh chung đỉnh có số chẵn số lẻ Trong hình 2x2 có nhiều số lẻ Ngồi số lẻ Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 125 Website:tailieumontoan.com có nhiều số bội nên có nhiều hai số lẻ không chia hết cho Ta viết 100 vng đơn ví có 25 vng 2x2 nên có nhiều 50 số lẻ khơng chia hết cho Mà số lẻ không chia hết cho thỏa mãn toán gồm 1; 5; Như theo ngun lý Dirichlet tốn chứng minh • Lời giải Xét hình vng cạnh 2x2 , hình vng có hình vng nhỏ chung cạnh chung đỉnh nên tồn nhiều số chẵn, nhiều số chia hết cho có số lẻ không chia hết cho Bảng 10x10 chia thành 25 hình vng có cạnh 2x2 nên có 50 số lẻ không chia hết cho Từ đến có số lẻ khơng chia hết cho 1, 5, Áp dụng nguyên lí Dirichlet ta ba số xuất  50  17 lần  +1 = 3  ĐỀ SỐ 17 (2014-2015) Câu 1: 1) Ta có 1 ab + bc + ca + + = = ab + bc + ca a b c abc ⇔ abc − + a + b + c − ab − bc − ca = a+b+c = ⇔ ( a − 1)( b − 1)( c − 1) = Vậy có số 2) Ta có: A= 23n + + 23n + 2= 5.8n + Do ≡ 1( mod ) ⇒ 8n ≡ 1( mod ) ⇒ A ≡ + ≡ ( mod ) ⇒ A Mặt khác ta chứng minh A > nên A hợp số Câu 2: 1) Do vế phải phương trình ln dương nên x > x + x + − 2x VP= ( x − 1) + ≥ 1, VT= x.x ( − x ) ≤ = Dấu “=” xảy x = nên phương trình có nghiệm x = 2) Thay phương trình (2) vào phương trình (1) được: x3 + xy + y ( x + y ) = ⇔ ( x + y ) ( x − xy + y ) = ⇔ x = −2 y ` Thay x = -2y vào phương trình (2) ta được: 4y2 + 8y2 = 12 nên y = ± Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 126 Website:tailieumontoan.com Vậy hệ có nghiệm (x, y) = (1; - 2) , (-1; 2) Câu 3: Ta có: a − ab= +b 2 ( a + b) 3( a − b) a+b 11 1 + ≥ ⇒ ≤ ≤  +  a − ab + b a + b  a b  Chứng minh tương tự ta được: 11 1 ≤  + ; 2b c b − bc + c 2 11 1 ≤  +  2a c c − ac + a 2   1  ⇒ P ≤ 2  + +  =   a b c  Đẳng thức xảy a = b = c Câu 4: S  AE  Chứng minh: ∆AEF  ∆ABC ⇒ AEF=  = cos BAC S ABC  AB  Chứng minh tương tự ta được: S AEF + S BFD + SCED cos BAC + cos ACB + cos= p lẻ Từ giả thiết suy p ước (a + 1) p ước (a2 – a + 1) Giờ xét trường hợp Nếu p ước (a + 1) a < p nên a + = p thay vào phương trình p ( p − 1)= ( a + 1) a − a + ta phương trình 2a2 − 3a + = 0, vô nghiệm ( ) Nếu p ước a2 – a + ta chọn số ngun dương k cho a2 – a + = kp Cũng thay trở lại phương trình p(p − 1) = 2(a + 1)(a2 – a + 1) cho ta p – = 2(a + 1)k, hay p = 2(a + 1)k + Bây thay vào phương trình a2 – a + = kp cho ta a2 − (2k2 + 1)a + − 2k2 – k = Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 127 Website:tailieumontoan.com Coi phương trình bậc hai ẩn a, tính biệt thức cho ta Δ = 4k2 + 12k2 + 4k − Ta cần tìm k cho Δ số phương viết theo k Chú ý bất đẳng thức: (2k2 + 2)2 < 4k4 + 12k2 + 4k – < (2k2 + 4)2 Từ đó, 4k4 + 12k2 + 4k – = (2k2 + 3)2 Do đó, k = dẫn đến p = 127 Vậy p = 2, p = 127 b) Giả sử năm số a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ e ≥ 0.Ta phải có b + c ≤ ngược 2 lại b + c > ta có 2a > b + c > dẫn đến a > Cái dẫn đến điều vô lý a + b + c > 3 1 Vậy nên bc ≤ ( b + c ) = Mặt khác = a + b + c + d + e ≥ a + 3d + e ≥ a + 3d ≥ a.3d 1 Thành ra, ad ≤ Dẫn đến ae ≤ ad ≤ < Ta xếp số a,d,c,b,e đường tròn 12 12 1 1 theo thứ tự thuận kim đồng hồ Ta có ad < , dc < ad < , bc ≤ , be ≤ bc ≤ , ea ≤ ad ≤ 9 9 Số số nhỏ ĐỀ SỐ 18 (2013-2014) Câu 1: 1) Từ giả thiết ta có: a+b a+b 1 1 + + − =0⇔ + =0 a b c a+b+c ab c ( a + b + c )  a + b= 0; c= 2014 ⇔ ( a + b )( b + c )( c + a ) = ⇒ b + c = 0; a = 2014 c + a= 0; b= 2014 ⇒ M = 2013 2014 + 2  n ( n − 3) + 1 2) Ta có 2n − 6n = Vì n(n – 3) chẵn nên n(n – 3) + = 2k +1 với k ∈ N ∪ {−1} Suy 52 n Vì 52 n −6 n + −= 12 252 k +1 + − 1313 −6 n + − 12 nguyên tố hay 52 n −6 n + 13 − 12 = nên n(n – 3) + = , suy n = n = Câu 2: Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 128 Website:tailieumontoan.com 1 x + 1, t ≥ ta có 1) Điều kiện: x ≥ − Đặt t −= x − x = 2t ; t − 2t = x ⇒ ( x − t )( x + t ) = ⇔ x = t ( x + t > ) ⇒ x −=  x ≥1 2x +1 ⇔  ⇔= x x − 4x = 2) Từ phương trình thứ suy z − = ( x − y) ≥0⇒ z ≥ Từ phương trình thứ hai suy ( z − )( z − 1) ≤ ⇒ ≤ z ≤ Do z = ⇒x= y=0 Câu 3: Do vai trò a, b, c nhau, giả sử a = max {a, b, c} , , ≤ a ≤ a + b + c + ( a + b + c ) a + b + c + 36 = 2 Ta có: P Mặt khác, bc ≥ nên a + b + c = a + ( b + c ) − 2bc ≤ a + ( − a ) = 2a − 12a + 36 = ( a − )( a − ) + 10  ≤ 20 2 Suy a + b + c đạt giá trị lớn 20 a ≥ b; a ≥ c; bc =  ⇔  ( a − )( a − ) =0 ⇔ ( a, b, c ) =( 4, 2, ) , ( 4, 0, )  a+b+c =  Vậy giá trị lớn P 20 chẳng hạn a = , b = 2, c = Câu 4: a) Ta có ∠ABC ∠BAC ; + 2 ∠ABC ∠BAC ∠BIM = ∠IAB + ∠IBA = + 2 ∠IBM = ∠IBC + ∠CBM = Suy ∠IBM = ∠BIM ⇒ ∆IBM cân M Tương tự, tam giác MIC cân M b) Ta có sin ∠BAC MP MP = sin ∠BCM = = (1) (do MP ⊥ BC MI = MC); MC MI Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 129 Website:tailieumontoan.com ∆MBN vng B, có MP MI MI IP MP.MN = MB = MI ⇒ = ( ) ⇒ ∆MPI  ∆MIN ( c.g.c ) ⇒ = ( 3) MI MN MN IN c) Ta có AB + AC = 3BC AB + AC − BC ⇔ = BC ⇔ AE = BC ; ∆IAE  ∆MCP ( g g ) ⇒ MP CP = = ⇒ IE =2 MP IE AE ∆MIF ( c.g c ) Gọi F trung điểm IK, ∆MCP = MC = MI ; ∠PMC = ∠EIA = ∠MIF ; MP = IF = IE ⇒ ∠IFM = ∠MPC = 90° Suy ∆IMK cân M nên MK = MI Tương tự MH = MI Suy MB = MC = MH = MK = MI Vậy B, C, H, K thuộc đường tròn Câu 5: 1) ta có x − y =1 ⇔ y =5 x − ( ) y 52 k + 52 k −1 + + + Với x = 2k + 1, k ∈ N ta có = Nếu y < PT vơ nghiệm Nếu y = x = (thỏa mãn) Nếu y > PT vơ nghiệm VT chia hết cho 8, cịn VP không chia hết cho Với = x 2k , k ∈ N ta có 5k − =2a y = ( 5k − 1)( 5k + 1) ⇒  k , a, b ∈ N , ≤ a < b; a + b = y ⇒ 2b − 2a = 2a ( 2b − a − 1) vô lý b 5 + =2 ( ) Nếu a ≥ 2a 2b − a −  , vô lý k 5k 3;5 = , vô lý Nếu a = ; a = thì= Vậy (x; y) = (1; 2) 2) Nhận xét: nhiều trường hợp, M 1M M M M M suy biến khơng cịn lục giác nên sau ta thống gọi đa giác M M Gọi O tâm lục giác ABCDEF (kí hiệu L ) Nếu P ≡ O đa giác M1 M ≡ L ta có đpcm Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 130 Website:tailieumontoan.com Nếu P thuộc ba đường chéo lớn L , P ≠ O P thuộc sáu đoạn OA, OB, OC, OD, OE, OF Giả sử P ∈ OD hai tia AP, DP qua đỉnh D, đỉnh A L ta có M ≡ D, M ≡ A Còn lại tia, cắt nhiều cạnh L Như tồn hai cạnh AB, AF L không chứa điểm M , , M Xét tam giác có cạnh AB cạnh M M i đa giác M M gần AB ( M ≡ A ) , ta ln có ∠M BM i > 90o ⇒ M M i > AB = Nếu P không thuộc ba đường chéo lớn L P nằm trong sáu tam giác L mà ba đường chéo lớn chia Giả sử P nằm ∆ODE Như vậy, tồn cạnh AB L không chứa điểm M , , M Khi M M cạnh đa giác M M ABM M tứ giác có ∠ABM > 90o ; ∠ BAM > 90o ⇒ M M > AB = ĐỀ SỐ 19 (2012-2013) Bài 1: 1) Đặt f ( x ) = x − 11x3 − 2ax + 5bx − = (x − x − 3) q ( x ) = ( x + 1)( x − 3) q ( x )  2a + 5b =  f ( −1) = ⇔ Từ  91 18a − 15b =  f ( 3) = a + b = 2) Nhận xét  nên a, b nghiệm phương trình x − x + 11 =  ab = 11 Ta có: P= (a 2013 − 8a 2012 + 11a 2011 ) + ( b 2013 − 8b 2012 + 11b 2011 ) = (a − 8a + 11) a 2011 + ( b − 8b + 11) b 2011 = Bài 2: 2 (1) 6 x − y − xy + x + y − = 1) Hệ  2 ( 2)  20 x − y − 28 x + = Ta có: (1) ⇔ ( x − y + 3)( x + y − ) = Rút y theo x vào phương trình (2) ta giải hệ 2) Nhân vào hai vế ta ( x + y ) + ( y − ) + ( x − 1) 2 + 10 x − 14 = ⇒ x ≤ ⇒ x ∈ {−1;0;1} ( x ∈ Z ) Thay x = - 1; 0; vào phương trình tìm y Bài 4: a) Sử dụng dấu hiệu chứng minh tứ giác nội tiếp ta có IE IF = IB.IC = IM.IA nên tứ giác AMFE nội tiếp Mặt khác tứ giác AFHE nội tiếp Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 131 Website:tailieumontoan.com Vậy A, M, F, H, E nằm đường trịn b) Vì tứ giác AMHE nội tiếp nên HM vng góc với AM M Sử dụng bổ đề HN kéo dài cắt (O) D A,O, D thẳng hàng, tức H, M, N thẳng hàng c) Sử dụng định lý Ptoleme cho tứ giác AMBC Bài 5: ;y = ;z = ⇒ x + y + z = a b c Đặt x = Khi ta cần chứng minh: z3 x3 y3 + + ≥ 2 2 2 x +z y +x z +y z3 zx zx x = z− 2 ≥ z− = z− Ta có: 2 x +z x +z zx Chứng minh tương tự cộng lại ta được: z3 x3 y3 x+ y+z + + ≥ (x + y + z) − (x + = y + z) = ( dpcm ) 2 2 2 x +z y +x z +y Bài 5: Kẻ đường kính DE ( DA1 + DA2 + + DA2013 ) + ( EA1 + EA2 + + EA2013 ) ≥ 4026 Đặt P= DA1 + DA2 + + DA2013 , S= EA1 + EA2 + + EA2013 Nếu P ≥ 2013 D điểm M cần tìm Nếu P < 2013 E điểm cần tìm ĐỀ SỐ 20 (2011-2012) Bài 1: 1) Ta có: n5 − n = n ( n + 1) ( n − 1)( n + 1) = n ( n − + ) ( n − 1)( n + 1) = ( n − )( n − 1) n ( n + 1)( n + ) + 5n ( n − 1)( n + 1) ( ) ( ) ( ) ( ) = A a 2017 a − a + b 2007 b5 − b + c 2007 c5 − c  30 Do n ∈ N * nên n5 − n  30 Từ suy 2) Ta có: x = + 2 ( + 7− 2 x3 − 21x − 29 Do f ( x ) = Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 ⇒ x3 = 14 + x − ) 2012 = ( −1) 2012 72 ⇒ x3 − 21x − 28 = = TÀI LIỆU TOÁN HỌC 132 Website:tailieumontoan.com Bài 2: 1) Ta có: x + + x= x + 12 + ⇔ x + − + x − − x + 12 + = ⇔ x2 − x2 + + + 3( x − 2) − x2 − x + 12 + =  x+2  x+2 ⇔ ( x − 2)  +3− = x + 12 +   x +5 +3 Từ đặc điểm PT suy x > ⇔ x > ; x+2 x +5 +3 > x+2 x + 12 + ;vì biểu thức ngoặc dương Suy x − ⇔ x = 2) Viết phương trình thứ hệ thành: x + ( y + 1) x − y − y = Có ∆= ( y + 1) + ( y + y2 = ) y − y + 1= ( y − 1) Do x = y x = - 2y – Với x = y thay vào PT thứ hai tìm x = ⇔ x = Với x = -2y – 1, thay vào PT thứ hai tìm y + y − = ⇔ y = 1, y = Vậy hệ có ba nghiệm (x, y) = (3; 3) , (-3; 1), (-5; 2) Bài 3: Viết PT thành dạng: (2x – 3y + 3)(x – y – 2) = -2 Xảy trường hợp 2x – 3y + x–y-2 -1 -1 -2 -2 Vậy có bốn cặp số (x, y) thỏa mãn (4; 3), (16; 12), (2;2), (14; 11) Bài 4: 1)   K Ta có OAC Gọi OA ∩ MN = = ACB  = ABC  = = sdMC  (vì OA = OC); AMN         = 90° 90° Suy AKN Nên OAC + ANM = ACB + ABC = , tức OA ⊥ MN Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 133 Website:tailieumontoan.com 2) Chứng minh tứ giác BMNC nội tiếp Gọi J tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNC JI // AO (cùng vng góc với MN); JO // AH (cùng vng góc với BC) nên tứ giác AIJO hình bình hành, suy = AI = ra: OJ AH = 2 BC cm ;OB = = 2 Do BJ = OB + OJ = ( ) 2 cm ( )  7  2   +  = cm         ( ) Bài 5: 1 1 + + = S 2S S 2S S 2S 3S + + + a b b c c a a+b+c S 2S 9S 1 1 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta được: + = S  + +  ≥ a b  a b b  a + 2b 1) Đẳng thức cần chứng minh tương đương với Tương tự: S 2S + a b S 2S 9S S 2S 9S Do đó: + ≥ ; + ≥ b c b + 2c c a c + a + S 2S + b c + S 2S + c a ≤ a+b+c = 3S 3S a+b+c Đẳng thức xảy a = b = c hay tam giác ABC 2) Trong 8045 điểm ln tìm điểm đỉnh tam giác có diện tích lớn nhất, giả sử A, B, C với S ABC ≤ Dựng đường thẳng qua A song song với BC, qua B song song với AC, qua C song song với AB, chúng đôi cắt S MNP S ABC ≤ M, N, P Khi = Ta chứng minh 8045 điểm cho nằm cạnh tam giác MNP Thật vậy, giả sử ∃D ∉ ∆MNP (chẳng hạn D Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 134 Website:tailieumontoan.com B thuộc nửa mặt phẳng bờ chứa AC) S DAC > S ABC (mâu thuẫn với cách chọn tam giác ABC) Tam giác MNP chia thành tam giác nhỏ ANC, AMB, ABC, BCP Ta có 8045 = 4.2011+ Theo nguyên tắc Dirichlet tồn 2011 + = 2012 điểm phải nằm cạnh tam giác nhỏ có diện tích khơng lớn ĐỀ SỐ 21 (2010-2011) Bài 1: Rút gọn A * Phân tích 4x3 - 16x2 + 21x - = (2x - 3)2(x - 1) * Điều kiện: x > * A=|2x-3|  2x x − ≤  * A= 3 − 2x 1 ( *) Thật bất đẳng thức (*) tương đương với: x + y − xy ( x + y ) ≥ ⇔ ( x + y ) ( x − xy + y ) − xy ( x + y ) ≥ ⇔ ( x + y ) ( x − xy + y ) ≥ ⇔ ( x + y )( x − y ) ≥ Bất đẳng thức cuối phép biến đổi tương đương nên bất đẳng thức (*) chứng minh Dấu “=” xảy x = y Áp dụng (*) ta được: x + y + = x + y + xyz ≥ xy ( x + y ) + xyz = xy ( x + y + z ) ⇒ Chứng minh tương tự ta được: 1 ≤ ; y + z + yz ( x + y + z ) 1 ≤ x + y + xy ( x + y + z ) 1 ≤ z + x + zx ( x + y + z ) Cộng theo vế bất thức ta được: B= = 1 1 1 + 3 + ≤ + + 3 x + y + y + z + z + x + xy ( x + y + z ) yz ( x + y + z ) zx ( x + y + z ) x+ y+z = = xyz ( x + y + z ) xyz Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 138 Website:tailieumontoan.com Vậy giá trị lớn B x = y = z = Câu 4: (Các bạn tự vẽ hình) a) Nhiều cách làm Xin giới thiệu cách dễ nghĩ đến Kẻ DP’ vng góc BC Suy P’, M, N thẳng hàng (Đường thẳng Sim son) Dẫn tới P P’ trùng (do MN BC có mọt giao điểm nhất) b) Dễ chứng minh được: OI2 = R2 – 2Rr (Hệ thức Ơ – le) Từ suy kết Câu 5: x3 y + xy C thuộc Z= y C = xy − = (x (x y − x y ) + ( x y − x ) + ( xy − y ) + ( x + y ) xy − y + x + y ) ( xy − 1) + ( x + y ) x+ y = x2 y + x + y + ∈Z xy − xy − ⇒ x + y ≥ −1 + xy ⇔ ( x − 1)( y − 1) ≤ Với x = y = Với x > y − ≤ ⇒ ≤ y ≤ ⇒ y ∈ {1; 2;3} Nếu y = x + y x +1 = =1 + ∈ Z ⇒ x =3; (do x > 1) xy − x − x −1 Nếu y = x+ y x+2 = = + ∈ Z từ tìm x xy − x − x − Nếu y = x+ y x+3 = = + ∈ Z từ tìm x xy − x − x − Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... đề thi học sinh giỏi toán lớp thành phố Hà Nội qua năm có hướng dẫn số đề Đây đề thi mang tính chất thực tiễn cao, giúp thầy cô em học sinh luyện thi học sinh giỏi lớp có tài liệu bám sát đề thi. .. 2019-2020 (vòng 1) Đề thi huyện Trương Mỹ năm 2019-2020 (vịng 2) Đề thi huyện Thường Tín năm 2019-2020 Đề thi huyện Ba Vì năm 2019-2020 Đề thi huyện Cầu Giấy năm 2019-2020 Đề thi huyện Thanh Xuân năm... TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP THÀNH PHỐ HÀ NỘI LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu giáo viên toán THCS học sinh luyện thi học sinh giỏi mơn tốn lớp 9, website tailieumontoan.com giới thi? ??u đến