DÃY số

Sđt: 0585249685 [NGUYỄN THÀNH NHÂN] LỜI NÓI ĐẦU Các Thầy Cô bạn độc giả thân mến! Nhằm cung cấp thêm tư liệu cho Giáo viên giúp bạn, em học sinh THPT có điều kiện hệ thống lại kiến thức học, ôn tập kiểm tra chương "Dãy số", biên soạn tài liệu "Dãy số" với mục đích giúp nâng cao vững phần kiến thức dãy số Dãy số, chương "khó nhằn", "nỗi ám ảnh" học sinh, thường thấy kì thi tuyển chọn HSG, có kì thi phổ thơng Tuy nhiên, gần đây, theo hướng trắc nghiệm hóa, toán dãy số dễ dàng vào thi THPT, đặc biệt kì thi THPTQG Bộ GD ĐT Trong tài liệu hệ thống lại tương đối đầy đủ lí thuyết chương dãy số, dạng tập điển hình, cách tư mẻ có chọn lọc logic luyện tập nhằm cố kiến thức rèn luyện kĩ làm thi Cảm ơn nguồn tài liệu hay dãy số: Toanmath, toanhoc247, Phạm Thị Thu Huyền góp phần làm cho tài liệu trở nên hồn chỉnh Trong q trình biên soạn, tơi có nhiều cố gắng Rất mong nhận đóng góp q báu chân thành từ q Thầy Cơ bạn độc giả để tài liệu trở nên hoàn chỉnh Mọi liên hệ xin gửi qua : Nhannguyen.6760@gmail.com Hoặc số điện thoại : 0585249685 Tôi xin chân thành cảm ơn Nguyễn Thành Nhân 1|Page Sđt: 0585249685 [NGUYỄN THÀNH NHÂN] ˵DÃY SỐ˶ A Cơ sở lý thuyết Định nghĩa Một hàm số u xác định tập N* gọi dãy số vô hạn, gọi tắt dãy số Người ta thường viết dãy số dạng khai triển u1, u2, u3,…., un Trong đó, un số hạng thứ n dãy viết tắt (un) Kí hiệu: un = u(n); Số hạng u1 gọi số hạng đầu, un gọi số hạng tổng quát ( thứ n ) dãy số *** Các cách thành lập dãy số: - Cách 1: Cho phép khai triển (rất gặp) Dãy số xác định với n - - - * N { Cách 2: Cho dãy số công thức tổng quát: n * Dãy số xác định với n N thỏa mãn xn= 3n+1 Cách 3: Cho dãy số phương pháp mô tả: Cho dãy (un) gồm số nguyên tố Cách 4: Cho dãy số (un) xác định u1 = un+1 = 7un-2, n Hay : Cho dãy số (bn) xác định { TIPS: I “Với cách này, ta xác định mối liên hệ số hạng nhóm số hạng dãy số thông qua hệ thức truy hồi Tuy nhiên, để tính số hạng dãy số ta cần phải tính biết số hạng liền trước thơng qua việc lập công thức tổng quát dãy” Tính tăng giảm  Dãy un gọi dãy số tăng n N* ta có un+1 > un Dãy un gọi dãy số giảm n N* ta có un+1 < un Dãy un gọi dãy số n N* ta có un+1 = un Phương pháp chứng minh dãy số tăng, giảm 2|Page Sđt: 0585249685 [NGUYỄN THÀNH NHÂN] Cách 1: Lập hiệu T=un+1 - un so sánh với 0; * ** Nếu T>0, n N => dãy tăng; * ** Nếu T dãy giảm; un+1  Cách 2: Lập thương T= u so sánh với 1; n * **Nếu T>1, n N => dãy tăng; * **Nếu T dãy giảm; Vd1: Chứng minh rằng, dãy (un) với un=n2-2n+3 dãy số tăng 2 Ta có un+1= (n+1) - 2(n+1)+3 = n +2 2 Ta có un+1-un= (n +2) - (n -2n+3) = 2n-1 Vì n>1 => 2n-1>2-1=1>0(đpcm) n+2 Vd2: Chứng minh rằng: Dãy số (yn) với yn= 5n dãy số giảm n+3 n+2 n+3-5n-10 -4n-7 n+1 C1: Lập hiệu: T= yn+1-yn= 5n+1 – 5n = = 5n+1 Vì n+1 >0, n>0 nên T0 Vậy dãy giảm n+3 n+1 yn+1 C2: Lập thương: T= y = n+2 n n n+3 =5n+10 =5 1, cần chứng minh: ak+4=ak+1 -3 Ta có: ak+4= ak+3 + ak+3+1 (1) Theo giả thuyết quy nạp, ta có: ak+3=ak (2) -3 (1),(2) => ak+4= ak + ak+1=ak+1(đpcm) Suy ra: a2018=a2015=a2012=…=a2=2 Vd2 Cho dãy số (an) xác định a1=1, an= -2 an2+2 an+1, n N* Tổng bình phương 2018 số hạng dãy số (an) (Ngọc Huyền LB) 2 2 2 2 2 2 2 Ta có : a1 + a2 + a3 +….+ a2018 = +2 +0 +…+1 +2 (2018 số) =1 +2 +0 +…+1 +2 +0 ( cộng thêm 2 u2019 =0 đáp án khơng thay đổi, có 2019 số, chia 2019 số thành 673 cặp, cặp số có tổng bình 2 phương +2 +0 =5) Suy ra: Tổng bình phương 2018 số hạng dãy số (an) bằng: 673.5=3365 Hay câu toán hay khác, ta xét hướng khai thác từ VD3 đến VD5 (Ngọc Huyền LB, có chỉnh sửa) Vd3 Cho dãy số (an) xác định a1=1 an+1= √ 𝟏 an2), n N* Tìm số hạng tổng quát dãy số (an) * Ta có: a1=1, a2= √ , a3= √ ,… => dự đoán số hạng tổng quát dãy an=√ , n N 4|Page Sđt: 0585249685 [NGUYỄN THÀNH NHÂN] CM quy nạp toán học: ta có: a1=1=√ (đúng) Giả sử đẳng thức với n=k>1, cần chứng minh: ak+1=√(k+1) với ak=√ Ta có: ak+1=√(1+ak )= √(1+k) (đpcm) * “Vậy số hạng tổng quát dãy số là: an=√n, n N ” 1 Dựa vào kếtsốquả có:aan=1 =√n Vd4 Cho dãy (ancủa ) xácVd3, địnhtabởi an+1= √ 𝟏 an2), n N* Tính: Sn=a +a +a +a +…+a +a , n>1 1 2 n-1 n Sn= 1+√ +  Sn= √ -√ +…+ 2 √ n 1  n √ √ √  Sn=√ -1 Vd5 Cho dãy số (an) xác định a1=1 an+1= √ 𝟏 an2), n N* Tính Sn= a12+ a22+ a32+ …+an2 2 Ta có, theo điều chứng minh ví dụ 3, ta có Sn= (√ ) +(√ ) +(√ ) +….+(√ n(n+1) 2 = 1+2+3+…+n= TIPS: I “Như vậy, từ kiện đơn giản ta khai thác nhiều dạng tốn, ta khai thác thêm việc chứng minh rằng: dãy số tăng, bị chặn dưới, tìm giá trị nhỏ nhất,… hay số dạng khác!!!” Vd6 Cho dãy số : (an) có tổng n số hạng Sn= n Chứng minh rằng: (an) dãy tăng an=3n -3n+1 Ta có Sn= a1+a2+…+an=n Sn-1= a1+a2+…+an=1=(n-1) 3  an = Sn-Sn-1=n -(n-1) = 3n2-3n+1 Ta có: an= 3n -3n+1 (1) 2  an-1=3(n-1) -3(n-1)+1=3n -9n+7 (2) Lấy (1)-(2) theo vế: an-an-1= 6n-6=6(n-1) , Vậy dãy số tăng Vd7 Cho dãy số (an) xác định a1=1 an+1=3an+10, n N* Tìm số hạng thứ 15 dãy số Ta có: a1=1, a2=13, a3=49, a4=157,… 5|Page Sđt: 0585249685 [NGUYỄN THÀNH NHÂN] Nhận xét rằng: dãy khơng có quy luật dễ thấy, ta chứng minh số hạng tổng quát; Ta có: an+1=3an+10  an+1+5=3an+15=3(an+5)  an+1+5=3(an+5) (*) Đặt bn=an+5, bn+1=an+1+5 Ta có: b1=a1+5=1+5=6 n (*)  bn+1=3bn=3 bn-1=3 bn-2=…=3 b1 n-1 => bn=3 b1 14 14 Vậy b15=3 b1=3 14 a15+5=3 a15= 28697809 1 1 Vd8 Cho dãy số un= 1.2 +2.3 +3.4 +…+n.(n+1) Tìm lim un 1 Ta có: n.(n+1) =n -n+1 1 1 1 Áp dụng cơng thức trên, ta có: un= -2 +2 -3 +…+n -n+1 =1-n+1 Lim un=1 n -> +∞, n+1 ->0 2008 Vd9 (Đề thi HSG tỉnh Quảng Bình) Cho u1=2008 un+1 = 2008 (2007.un+ u 2007 ) (n n 𝟏 Tìm giới hạn dãy số ***Áp dụng định lý Cauchy cho 2007 số khơng âm để tìm chứng minh dãy giảm Ta có: un+1 = 2008 2008 2008 2008 (2007.un+ 2007 ) = ( un+ un+ un+….+un + 2007 ) 2008 un 2008 un 2008 = un2007 √ Suy un 6|Page √ √ Sđt: 0585249685 [NGUYỄN THÀNH NHÂN] 2008 2008 2008 2008-un Mặt khác: un+1-un= 2008 (2007.un+ u 2007 ) – un = 2008 (u 2007 -un) = 2008 ( u 2007 n 2008 √ 2008 nên un Vậy: lim un = n => 2008 - un n ) < (vì un => dãy số giảm bị chặn ≤ √ Vd10 Chứng minh rằng: Tn = 𝟐 √𝟐 √𝟐 𝟐 √𝟐 √𝟐 𝟐𝒄𝒐𝒔𝒙 (n dấu căn) có limTn=2 2x 2x Ta có: 2cos = 1+cosx  4cos = 2+ 2cosx; s = √4 s Nên √ Và √ =√ √ x x = 2cos2 = 2cos21 (Nhận thấy có dấu số mũ 1) s x x = 2cos4 =2cos22 (Nhận thấy có dấu số mũ 2) x Lập luận tương tự ta có, Tn=2cos2n n Khi n->+ => -> + x x nên 2n -> nên cos2n ->1 =>Tn->2 limTn=2 Ta xét thêm số tập trắc nghiệm dãy số 𝟏 𝟐 𝟑 Vd1 Cho dãy số có số hạng đầu là: 0; 𝟐; 𝟑; 𝟒; Số hạng tổng quát dãy số là: A un= 𝒏 𝟏 B un= 𝒏 𝒏 𝟏 Chọn B ( Ta nhìn sau: 7|Page 𝒏−𝟏 𝒏 n2-n D un= n+1 𝒏 Ta nhận thấy dãy số có quy luật sau: 0= C un= n = n+1 Sđt: 0585249685 [NGUYỄN THÀNH NHÂN] = = Suy un= ) Vd2 Cho dãy số hạng đầu: 0,2; 0,02; 0,002; 0,0002……Số hạng tổng quát dãy số là: A un = 0.000…02 (n số phần thập phân) C un = 0,000… 02 (n-1 số phần thập phân) B un 2.10n+1 D un = 10-n+2 Ta nhận thấy rằng: Số hạng u1 có số phần thập phân Số hạng u2 có số phần thập phân … Số hạng un có n-1 số phần thập phân Chọn C Vd3 Cho dãy số (un) xác định số hạng tổng quát un= 2n-2.(-1)2n A Dãy số dãy xen dấu C Dãy số cấp số nhân B Dãy số cấp số cộng D Dãy dãy số khơng đổi -1 Ta có với, n=1 => u1=2 = Với n=2 => u2= =1 Với n=3 => u3= =2 … Số hạng tổng quát ta đơn giản hóa thành: un= n-2 Dãy Cấp số nhân với u1= có cơng bội q= Chọn C 8|Page Sđt: 0585249685 [NGUYỄN THÀNH NHÂN] Vd4 Cho dãy số (un) xác định bởi: un = 𝟏 𝒏 A Dãy số dãy số tăng C Dãy số dãy số giảm B Dãy số dãy số không đổi D dãy số dãy đan dấu Ta có: u1 = u2 = < u1 u3 = < u2 < u1 … Ta thấy có ý C hợp lí Chọn C 𝟏 Vd5 Cho tổng Sn = 𝟏 𝟐 A S2 = 𝟏 𝟐𝟑 𝟏 𝟑𝟒 𝟏 𝟒𝟓 𝟏 𝒏 𝒏 𝟏 𝟐 𝟑 Lựa chọn sau C S3 = B S2 = D S3 = Ta có Sn=  Sn= = − Chọn A un+1= un2 + 2vn2 Vd6 Cho hai dãy số (un) (vn) xác định sau: u1=3, v1=2 Công thức tổng quát hai dãy (un) (vn) : (Hocmai.vn) 9|Page với n vn+1 = 2un.vn 𝟐 Sđt: 0585249685 [NGUYỄN THÀNH NHÂN] Chọn D Vd7 Xét tính bị chặn dãy số sau: un= (-1)n A Dãy số bị chặn C Dãy số bị chặn B Dãy số bị chặn D Dãy số không bị chặn Ta dễ thấy rằng, dãy số dãy đan dấu, số hạn tuần hồn lập lại theo quy luật: 1;-1;1;-1;1;-1;1;…… Ta có nhận xét: -1≤ un ≤ Vì dãy số bị chặn bị chặn  dãy số bị chặn Chọn A 10 TIPS: |Page I Sđt: 0585249685 [NGUYỄN THÀNH NHÂN] "Nhiều đọc giả hiểu nhầm rằng: dãy số không tăng ngặt, giảm ngặt (luôn tăng, ln giảm) dãy khơng bị chặn Thế nhưng, trường hợp đặc biệt, dãy số bị cô lập lại hai giá trị -1 tạo thành khoảng biến thiên tất nhiên biến thiên khoảng Vì vậy: dãy số bị chặn " Vd8 Xét tính bị chặn dãy số sau: un = 2021 - x + 𝒙𝟐 𝟒 A Dãy số bị chặn số 2020 C Dãy số không bị chặn B Dãy số bị chặn số 2020 D Dãy số bị chặn -2020 bị chặn 2020 Ta có: un = 2021 - n + = 2020 + (1 - n + ) = 2020 + ( - 1)2 2020 Dấu "=" xảy khi: n= Vậy dãy số bị chặn số 2020 Chọn B 𝟏 𝟐 Vd9 Cho dãy số (un) xác định u1=1, un+1= un+ ( )n, n N* Số hạng un dãy biểu diễn dạng a.2n-b un= c.2n tổng a+b+c là: A C B D Ta có: un+1= un+ ( )n  un= un-1+ ( )n-1 un-1= un-2+ ( )n-2 ………………… 11 | P a g e Sđt: 0585249685 [NGUYỄN THÀNH NHÂN] u2= u1+ ( )1 Cộng đẳng thức vế theo vế được: un+1+ un+un-1+…+u3+u2= un+un-1+…+u2+u1+( )n+( )n-1+( )n-2+…+( )2+( )1  un+1 = u1 +( )n+( )n-1+( )n-2+…+( )2+( )1= + ( )n+( )n-1+( )n-2+…+( )2+( )1 Nhận thấy : ( )n+( )n-1+( )n-2+…+( )2+( )1 tổng cấp số nhân có cơng bội q=2 t1=( )n Sn= t1 − − = ( )n − − = ( )n − = − a.2n-b c.2n Suy ra: a=1, b=1, c=1 Vậy a+b+c= Chọn B Vd10 Cho dãy số (un) xác định u1= 11, un+1= 10un+1-9n, n N* Số hạng un biễu diễn dạng un = 𝒂𝒏 +b.n+c Giá trị biểu thức a.b-c là: A 10 C -12 B 12 D -10 Ta có: un+1= 10un+1-9n Ta có: u1= 11=10 +1 u2= 102= 10 +2 u3= 1003=10 +3 …… n Dự đốn un=10 +n (Đến ta dễ dàng suy ra: a=10, b=1, c=0 a.b-c=10 Chọn A) Ta chứng minh quy nạp: 12 | P a g e [NGUYỄN THÀNH NHÂN] Sđt: 0585249685 Với n=1, ta có u1=11=10 +1 (đúng) k Giả sử với n=k, ta có uk= 10 +k k+1 Ta cần chứng minh rằng: uk+1=10 +k+1 k Ta có uk+1= 10uk+1-9k= 10.(10 +k)+1-9k=10 k+1 +k+1 (đpcm) Vậy công thức tổng quát dãy (un) un=10n+n Lập luận tương tự ta chọn A Tiếp theo, xin giới thiệu với quý bạn đọc phương pháp chọn hàm dãy số, phương pháp hay giúp ta giải số tốn khơng thể quy dạng thơng thường tơi trình ví dụ Vd11 Cho dãy số (un) cho hệ tức truy hồi sau: un+1= un -3n2-n-1, u1=1 Tìm cơng thức tổng qt dãy un A un= -2n3+n2+n+2 C un= -n3+n2-n+2 B un= -n3+n2+n+2 D un= -n3+n2+n-2 Từ đáp án ta dễ dàng nhận thấy un hàm số bậc ba theo n Vì ta có ý tưởng đặt: un= an +bn +cn+d (1) Ta có: u1=1 (2) u2 = -4 (3) u3= -19 (4) u4= -50 (5) Từ (1)(2)(3)(4)(5)  { 4 Suy un= -n +n -n+2 Chọn C TIPS: I "Ta dùng casio thử đáp án:" Ta có: u1=1 13 | P a g e { Sđt: 0585249685 [NGUYỄN THÀNH NHÂN] u2 = -4 u3= -19 u4= -50 Câu C: với n=1 => u1=1 Với n=2 => u2 = -4 Với n=3 => u3= -19 … Chọn C Vd12 Cho dãy số (un) cho hệ tức truy hồi sau: 3un+1- un =2n2-4, u1=-1 Tìm cơng thức tổng quát dãy un A un= -n3+n+2 C un= n2-3n+1 B un= -2n3+n2+1 D un= n2+n-2 TIPS: I "Ở ví dụ trước, ta dễ dàng nhận diện "loại" hàm bị ẩn đi, với ví dụ này, ta có hai loại hàm, thế, ta ưu tiên đặt hàm có bậc cao nhất" Ta đặt: un= an +bn +cn+d (1) Ta có: u1= -1 u2=-1 (3) u3=1 (4) u4=5 (5) (2) Từ (1)(2)(3)(4)(5)  { { Vậy: un=n -3n+1 Chọn C Vd13 Cho dãy có số hạng là: -1; 3; 19; 53 Tính u10 A u10= 971 C u10= 197 B u10=187 D u10= 781 14 | P a g e Sđt: 0585249685 [NGUYỄN THÀNH NHÂN] TIPS: I "Đây tốn hay địi hỏi suy luận logic người làm, ta dạng hàm bị ẩn đi, dựa vào kiện đề bài: cho số hạng, ta suy nghĩ đến hệ phương trình ẩn số => hàm số bậc 3." Ta đặt: un= an +bn +cn+d (1) Ta có: u1= -1 u2=3 (2) (3) u3=19 (4) u4=53 (5) Từ (1)(2)(3)(4)(5)  { { Suy ra: un=n -3n+1 Vậy: u10= 971 Chọn A *** Mạn phép xin trình bày phương pháp hay cô: Phạm Thị Thu Huyền sở chọn hàm Ta xét lại ví dụ 13 Vd13* Cho dãy có số hạng là: -1; 3; 19; 53,111,199,323,489 Tính u10 A u10= 971 C u10= 197 B u10=187 D u10= 781 Ta kẻ bảng: uk uk uk uk -1 19 53 16 12 34 18 111 58 24 6 199 88 30 323 124 36 489 166 42 Nhận thấy đến hàng uk độ chênh lệch số ( số ) Suy ra: hàm ẩn cần tìm có dạng phương trình bậc 3… Ta đặt: un= an +bn +cn+d (1) 15 | P a g e Sđt: 0585249685 Ta có: u1= -1 u2=3 [NGUYỄN THÀNH NHÂN] (2) (3) u3=19 (4) u4=53 (5) Từ (1)(2)(3)(4)(5)  { { Suy ra: un=n -3n+1 Vậy: u10= 971 ***Đánh giá: "Phương pháp hay để tìm dạng hàm cách logic, cách trình đẹp, dễ hiểu ,tuy nhiên, ta nhận thấy mặt yếu ta cần phải biết liệu lớn ( số hạng đầu ta xét hàm bậc 2, số hạng đầu cho hàm bậc 3,…." Đây hướng khai thác đẹp, ta áp dụng tiếp tương tự un+1 un+1 Vd14 Cho u - n2+n = 1, u1 = 2020 Tính ∑𝟐𝟎𝟏𝟗 𝟏 n A B - C D un+1 un+1 un+1 un+1+n +n Ta có: u - n2+n =  u = n2+n n n 2 un+1(n +n) = un.un+1+un(n +n) ( un+1 - un)(n +n) = un.un+1 un+1 - un 1  u u =n(n+1)  u -u = n n+1 n n+1 ∑ =∑  =   ) = 1- = 1u2020 16 | P a g e => u2020 = - Sđt: 0585249685 [NGUYỄN THÀNH NHÂN] Chọn A Vd15 an = 𝟐 √𝟐 √𝟐 √𝟐 𝟐 √𝟐 (n dấu căn) Lim an có giá trị là: A 1,99999 C 1,5 B D √ Đặt: x = √ √ x = √ √ −  x -x-2=0  √ √ √ =2+x Vậy lim an = Chọn B Vd16 Cho dãy số xác định bởi: un+2 + 6un = 5un+1 u2 = 2u1 = Dãy số dãy: A Cấp số cộng có cơng sai C Cấp số nhân có cơng bội B Dãy số ngun tố D Có cơng thức tổng quát là: un=2n Ta có: un+2 + 6un = 5un+1  un+2-2un+1=3(un+1-2un)(*) Đặt bn= un+1-2un b1= u2-2u1=2-2.1=0 n (*)  bn+1=3bn=3 bn-1=3 bn-2= =3 b1 n-1 bn=3 b1=0  un+1-2un=0 un+1=2un Vậy dãy số dãy cấp số nhân có cơng bội 17 | P a g e [NGUYỄN THÀNH NHÂN] Sđt: 0585249685 Chọn C un+1 2020 un =1+ un , 𝒙 𝑵 𝒏 𝟏 Vd17 Cho dãy số (un) xác định sau: u1= u12020 u22020 u32020 un2020 Tính : lim ( u + u + u + + u ) n+1 A C 2021 B 2020 D 2021 Ta có: un+1=un+un 2021  un+1-un=un 2020 1 un u - u = u n n+1 n+1 2020 u1 Ta có: ( u 2020 u2 + u 2020 u3 + u 2020 un 1 1 + + u )= u - u + u - u n+1 2 1 + +u - u n n+1 1 =u - u = 1- u n+1 n+1 un+1 2020 >1, nên dãy tăng un =1+ un Ta có: nên lim u = 0; n+1 Lim un+1 =+ 2020 Vậy u1 lim ( u 2020 u2 + u 2020 u3 + u 2020 un + + u ) n+1 =1 Chọn D Vd18 Cho dãy số (un) : un= (1-a)n + (1+a)n, a (0;1), n số nguyên dương CTTQ dãy: A un+1 = un +a.[(1+a)n+(1-a)n] C un+1 = un + 2a.[(1+a)n-(1-a)n] B un+1 = 2un +a.[(1+a)n- (1-a)n] D un+1 = un + a.[(1+a)n- (1-a)n] 18 | P a g e Sđt: 0585249685 n [NGUYỄN THÀNH NHÂN] n Ta có: un= (1-a) + (1+a) , Suy ra: un+1= (1-a)n+1+(1+a)n+1 => un+1-un=[ (1-a).(1-a)n + (1+a).(1+a)n ]-[ (1-a)n + (1+a)n]  un+1-un= -a.(1-a)n+a.(1+a)n = a.[(1+a)n-(1-a)n] Vậy: un+1 = un + a.[(1+a)n- (1-a)n] Chọn D 𝟏 𝟐𝟐 Vd19 Cho dãy số xác định Sn = 𝟏 𝟏 𝟑𝟐 𝟏 𝟑𝟐 𝟏 𝟏 𝟒𝟐 𝟏 𝒏𝟐 𝟏 Tìm S2020 3 A C B 3 D Ta có điều chứng minh sau đây: = = ( ) = ( ) ( Suy ra: ) ( = = 1+ = 1+ …… = 1+ Nên Sn= (1+1+1+….+1) (n số 1) + (  Sn= n + Vậy S2020 = 19 | P a g e )( = = Dễ dàng có được: = ( ) ( ) = = ) ( = 1+ =1+ - ) ( ) 𝟏 𝒏 𝟏 𝟐 ,n 𝟐 Sđt: 0585249685 [NGUYỄN THÀNH NHÂN] Chọn C TIPS: I " Đối với số dạng tốn tính tổng hữu hạn này, ta nên biến đổi biểu thức tổng quát (thường đặt sau cùng) trước Từ đó, ta dễ dàng đọng hóa tốn, dễ nhìn quy luật Nhưng hình thức thi trắc nghiệm Tơi có nhận xét sau đễ đơn giản hóa cách chứng minh: = = 1+6= 1+ = = 1+ = 1+ Từ đễ dàng có kết luận: Và Sn= n + = 1+ - Bảng công thức, "nên nhớ" Sn= 1+2+3+4+5+….+n= (Cơng thức tính tổng số tự nhiên liên tiếp, 1) Sn= 1+3+5+7+….+(2n-1) = n2 (Cơng thức tính tổng số tự nhiên lẻ liên tiếp, 1) Sn= 12+22+32+…+n2= (Cơng thức tính tổng số phương liên tiếp, 1) Sn= 13+23+33+…+n3= Sn= 15+25+35+…+n5= (Cơng thức tính tổng lập phương số tự nhiên liên tiếp, 1) n2(n+1)2(2n2+2n-1) (Cơng thức tính tổng mũ số tự nhiên liên tiếp, 1) Sn= Sn= Sn= Sn= 1+a+a2+a3+…+an= [ − − Sn=1-a+a2-a3+…-a2n-1+a2n= (a,n ] , a>1, n>0) (a,n , a>1, n>0) Sn= 1.4+4.7+7.10+…+(3n-2)(3n+1)=n.(n+1)2 Sn= 20 | P a g e Sđt: 0585249685 [NGUYỄN THÀNH NHÂN] "Để hiểu sâu cách thấu đáo, xin bổ sung thêm vài dạng tập tự luyện cho quý bạn đọc nâng cao kĩ sáng tạo." Câu Cho dãy số xác định bởi: un= 2n+3, dãy số cho có quy luật nào: A Dãy số cấp số nhân có cơng bội q=2 C Dãy số cấp số nhân có công bội q=3 B Dãy số cấp số cộng có cơng sai d=3 D Dãy số cấp số cộng có cơng sai d=2 Câu Cho dãy số xác định bởi: un= n2+2 Tính tổng 100 số hạng dãy A 338550 C 833550 B 383550 D.558033 (Hướng dẫn: ta dùng chức ∑ máy casio để tính nhanh) Câu Cho dãy số xác định bởi: un=( +n)n - ,n số nguyên dương Tìm giới hạn dãy số A C B D (Hướng dẫn: dùng bất đẳng thức cauchy để đánh giá +n) Câu Biết (un) cấp số cộng có số hạng đầu 2020, cơng sai 2021 Viết công thức tổng quát dãy A un=2020n+2021 C 1010n+2021 B un= 2021n +2020 D 2021n+1010 Câu Dãy số :1; -1; 1; -1; 1; -1; 1;…… Có số hạng tổng quát là: A (-1)2n-2 C (-1)n B -1n+2 D (-1)n-1 Câu Viết công thức truy hồi dãy (un), biết un2= un+1.un-1 u3=2u2=4u1=4 A un+1=2un C un+1=un+2 B un+1=2n D un+1=2n+1 "Hướng dẫn: Cách 1: viết số hạng tìm quy luật 21 | P a g e Sđt: 0585249685 [NGUYỄN THÀNH NHÂN] Cách 2: dùng hệ cấp số nhân" Câu Xét dãy: un+1=un+ , n * , u1=1 Xác định số hạng tổng quát dãy A un= 2-( )n C un= 1-( )n B un= 2-( )n-1 D un= 1-( )n-1 Câu Cho dãy số (un) xác định sau: un+1=2un+6.2n, n u1=1 Công thức số hạng tổng quát dãy là: A un=3(n+1).2n-6.2n-1 C un=3n.2n-5.2n-1 B un=3n.2n-5.2n-2 D un=3n.2n-6.2n-1 "Hướng dẫn: đặt un= 2n.vn triệt tiêu 2n+1ở hai vế" Câu Cho dãy số hữu hạn (un) có dạng khai triển sau: -3;-3;-1;3;9;17;27;39;53;69 Tìm cơng thức tổng qt dãy số: A un=n2-3n-1 C un=n2-2n-1 B un=n2-3n-2 D un=2n2-3n-1 Câu 10 Cho dãy số xác định bởi: un+1= A B √ − ( −√ ) √ ,n Tính u2021 biết u1=√ C √ D √ "Hướng dẫn: đặt un= tanvn ta phải nắm vững công thức lượng giác: tan(a+b)= − tan( ) = √ -1 biến đổi đến cùng, ta được: un=tan[ +(n-1) ] " Câu 11 Tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy số sau, biết: un+1 = A un= B un= C un= − 22 | P a g e D un= ,n , u1=1 Sđt: 0585249685 "Hướng dẫn: ta đặt: un= [NGUYỄN THÀNH NHÂN] =>vn=vn-1+1=> CSC, tìm cơng thức tổng qt vn=> cơng thức tổng quát un" Câu 12 Cho dãy số có số hạng đầu sau:u1, u2, u3, u4, u5, u6 = 783, u7, u8, u9, u10 = 998; Biết tổng ba số hạng liên tiếp 2020 Tính tổng 10 số hạng đầu A 7085 C 8075 B 7058 D 8057 "Hướng dẫn: dựa vào cặp số (u6, u7, u8) (u7, u8, u9) để suy lần lượt: u9, u8, u7, u5, u4, u3, u2, u1." un Giá trị 998 239 783 998 239 783 998 239 783 Đáp án 1.D 6.A 11.A 2.A 7.B 12.B 3.A 8.C _HẾT _ 23 | P a g e 4.B 9.A 5.D 10.A 10 998 ... 0585249685 [NGUYỄN THÀNH NHÂN] Vd4 Cho dãy số (un) xác định bởi: un =