Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Dương Phước Sang - 33 - THPT Chu Văn An Phn PhnPhn Phn III. NGUYÊN HÀM III. NGUYÊN HÀM III. NGUYÊN HÀM III. NGUYÊN HÀM - -- - TÍCH PHÂN TÍCH PHÂNTÍCH PHÂN TÍCH PHÂN VÀ (NG D*NG VÀ (NG D*NGVÀ (NG D*NG VÀ (NG D*NG I. TÓM TẮT CÔNG THỨC VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1. Bảng công thức nguyên hàm và nguyên hàm mở rộng 1 1 2 2 1. . ( ) 1 . ( ) . 1 1 1 1 ln . ln . 1 1 2 . 2 . 1 1 1 1 1 . . ( ) . . ax b x x ax b dx x C a dx ax C ax b x x dx C ax b dx C a ax b dx x C dx C x ax b a ax b dx x C dx C a x ax b dx C dx C x a ax b x ax b e e dx e C e dx a α α α α α α + + + + = + = + + = + + = ⋅ + + + + = + = + + + = + = + + = − + = − ⋅ + + + = + = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ i i i i i i i i i i i i 2 2 2 2 sin( ) cos . sin cos( ). cos( ) sin . cos sin( ). tan( ) 1 1 . tan . cos cos ( ) cot( ) 1 1 . cot . sin sin ( ) C ax b x dx x C ax b dx C a ax b x dx x C ax b dx C a ax b dx x C dx C a x ax b ax b dx x C dx C a x ax b + + = + + = + + = − + + = − + + = + = + + + = − + = − + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ i i i i i i i i 2. Công thức tích phân Với ( )F x là một nguyên hàm của hàm số ( )f x trên đoạn [ ; ]a b thì ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx F x F b F a= = − ∫ 3. Phương pháp đổi biến số (loại 2): xét ( ) . ( ). b a I f t x t x dx   ′ =     ∫ 1 Đặt ( )t t x= ( ).dt t x dx ′ ⇒ = (và 1 số biểu thức khác nếu cần) 2 Đổi cận: ( )x b t t b= ⇒ = ( )x a t t a= ⇒ = 3 Thay vào: ( ) ( ) ( ). t b t a I f t dt= ∫ và tính tích phân mới này (biến t) www.VNMATH.com  01688559752 dpsang@gmail.com Tài liệu tham khảo - 34 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán  Vài dạng tích phân đổi biến thông dụng: Dạng tích phân Cách đặt Đặc điểm nhận dạng ( ) ( ) t x dx t x ′ ⋅ ∫ ( )t t x= mẫu ( ) . ( ) t x e t x dx ′ ∫ ( )t t x= mũ ( ) ( ) . ( ).f t x t x dx ′ ∫ ( )t t x= ngoặc ( ) ( ) . ( ) n f t x t x dx ′ ∫ ( ) n t t x= căn ( ) ln dx f x x ⋅ ∫ lnt x= ln x (sin ).cosf x xdx ∫ sint x= cos .x dx đi kèm biểu thức theo sin x (cos ).sinf x xdx ∫ cost x= sin .x dx đi kèm biểu thức theo cos x 2 (tan ) cos dx f x x ⋅ ∫ tant x= 2 cos dx x đi kèm biểu thức theo tan x 2 (cot ) sin dx f x x ⋅ ∫ cott x= 2 sin dx x đi kèm biểu thức theo cotx ( ). ax ax f e e dx ∫ ax t e= ax e dx đi kèm biểu thức theo ax e Đôi khi thay cách đặt ( )t t x= bởi . ( )t m t x n= + ta sẽ gặp thuận lợi hơn 4. Phương pháp tích phân từng phần ( ) . . . b b b a a a u dv u v v du= − ∫ ∫  Vài dạng tích phân đổi biến thông dụng: Với ( )P x là một đa thức, ta cần chú ý các dạng tích phân sau đây  ( ). sin .P x ax dx ∫ , ta đặt ( ) sin . u P x dv ax dx   =    =     ( ). cos .P x ax dx ∫ , ta đặt ( ) cos . u P x dv ax dx   =    =     ( ). . ax P x e dx ∫ , ta đặt ( ) . ax u P x dv e dx   =     =    www.VNMATH.com Dương Phước Sang - 35 - THPT Chu Văn An  .sin . ax e bx dx ∫ , ta đặt sin . ax u e dv bx dx   =     =    (khoâng coù ) ( ). ln . , n f x x dx dx x ∫  ta đặt ln ( ). n u x dv f x dx   =     =    5. Tính diện tích hình phẳng Cho hai hàm số ( )y f x= và ( )y g x= đều liên tục trên đoạn [ ; ]a b , H là hình phẳng giới hạn bởi các đường: 1 2 ( ) : ( ),( ) : ( ),C y f x C y g x x a= = = và x b= Khi đó, diện tích của hình phẳng H là: ( ) ( ) b a S f x g x dx= − ∫  Lưu ý 1: nếu 2 ( )C là trục hoành thì ( ) 0g x = và ( ) b a S f x dx= ∫  Lưu ý 2: Khi tính tích phân ( ) b a s x dx ∫ ta cần lưu ý như sau:  Nếu ( ) 0, [ ; ]s x x a b≥ ∀ ∈ thì ( ) ( ). b b a a s x dx s x dx= ∫ ∫  Nếu ( ) 0, [ ; ]s x x a b≤ ∀ ∈ thì ( ) ( ). b b a a s x dx s x dx= − ∫ ∫  Nếu ( )s x không có nghiệm trên khoảng ( ; )a b thì ( ) ( ). b b a a s x dx s x dx= ∫ ∫  Nếu ( )s x có nghiệm 1 2 n c c c< < < ⋯ trên khoảng ( ; )a b thì 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n b c c b a a c c s x dx s x dx s x dx s x dx= + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ⋯ 6. Tính thể tích vật thể tròn xoay Hình H giới hạn bởi: ( )y f x= , Ox, ,x a x b= = Thể tích vật thể do hình H quanh trục hoành là: 2 [ ( )] b a V f x dxπ= ∫ www.VNMATH.com  01688559752 dpsang@gmail.com Tài liệu tham khảo - 36 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán VÍ DỤ MINH HOẠ Bài 1 : Tính 3 0 2 3 1 x A dx x = + ∫ 2 3 1 cos sin (1 cos ) x C dx x x π π − = + ∫ 2 2 1 3 . . x B x e dx − = ∫ 4 2 ln 1 .ln x D dx x x + = ∫ Bài giải Câu a: 3 0 2 3 1 x A dx x = + ∫  Đặt 2 2 2 1 1t x t x= + ⇒ = + 2 . 2 . . .t dt x dx t dt x dx⇒ = ⇒ =  Đổi cận: 3x = ⇒ 2t = 0x = ⇒ 1t =  Vậy, ( ) 2 2 2 1 1 1 3. 3. 3 6 3 3 tdt A dt t t = = = = − = ∫ ∫ Câu b: 2 2 1 3 . . x B x e dx − = ∫  Đặt 2 t x= 1 2 2dt xdx xdx dt⇒ = ⇒ =  Đổi cận: 2x = ⇒ 4t = 1x = − ⇒ 1t =  Vậy, ( ) 4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 1 3 . 2 t t e dt B e e e= = = − ∫ Câu c: 2 2 3 3 2 1 cos sin sin (1 cos ) (1 cos ) x x C dx dx x x x π π π π − = = + + ∫ ∫  Đặt 1 cos sin .t x dt x dx= + ⇒ = − sin .x dx dt⇒ = −  Đổi cận: 2 x π = ⇒ 1t = 3 x π = ⇒ 3 2 t =  Vậy, ( ) 3 3 2 2 3 2 1 1 2 2 1 1 1 . t dt C dt t t = − = = − ∫ ∫ ( ) 2 1 1 3 1 3 = − − = Câu d: 4 2 ln 1 .ln x D dx x x + = ∫  Đặt 1 lnt x dt dx x = ⇒ =  Đổi cận: 4x = ⇒ 2 ln 2t = 2x = ⇒ ln 2t =  Vậy, ( ) ln 4 ln 4 ln 4 ln 2 ln 2 ln 2 1 1 1 ln t D dx dt t t t t   +    = = + = +        ∫ ∫ ( ) ( ) ln 4 ln ln 4 ln 2 ln ln 2 ln 4     = + − + =         www.VNMATH.com Dương Phước Sang - 37 - THPT Chu Văn An Bài 2 : Tính các tích phân sau đây: 2 0 ( 1)sinE x xdx= − ∫ π 2 1 3 . x F x e dx − = ∫ 2 2 1 (3 1)ln .G x x dx= − ∫ Bài giải Câu e: 2 0 ( 1)sinE x xdx= − ∫ π  Đặt 1 sin cos u x du dx dv xdx v x     = − =   ⇒     = = −        Suy ra, ( ) ( ) 2 2 2 0 0 0 ( 1)cos cos 0 1 sinE x x xdx x= − − + = − − + ∫ π π π 2 1 sin sin 0 0= − + − = π Câu f: 2 1 3 . x F x e dx − = ∫  Đặt 3 3 x x u x du dx dv e dx v e     = =     ⇒     = =        Như vậy, ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 3 . 3 6 3 3 x x x F x e e dx e e e − − − − = − = + − ∫ 2 2 1 2 2 2 3 3 3 6 6 3( ) 6 3 3e e e e e e e e e e − = + − − = + − + = + Câu g: 2 2 1 (3 1)ln .G x x dx= − ∫  Đặt 2 3 1 ln (3 1) u x du dx x dv x dx v x x      = =     ⇒     = −   = −      ( ) ( ) 2 2 2 3 2 3 1 4 3 3 1 1 1 ln ( 1). 6 ln 2 6 ln 2G x x x x dx x x= − − − = − − = − ∫ Bài 3 : Tính các tích phân sau đây 2 1 1 x H x e dx x      = −       ∫ 2 2 0 ( 1).I x x xdx= + + ∫ 3 2 1 2 1 e t t J dt t − + = ∫ 2 0 (1 2 sin ) sinK a ada π = + ∫ Bài giải Câu h: 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ( 1) 1. x x x H x e dx xe dx xe dx dx x      = − = − = −       ∫ ∫ ∫ ∫  Xét 2 1 1 : x H xe dx= ∫ Đặt x x u x du dx dv e dx v e     = =     ⇒     = =       www.VNMATH.com  01688559752 dpsang@gmail.com Tài liệu tham khảo - 38 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 . 2 x x x H xe e dx e e e e⇒ = − = − − = = ∫ ⋯  Xét ( ) 2 2 2 1 1 1 2 1 1H dx x= = = − = ∫  Vậy, 2 1 2 1H H H e= − = − Câu i: 2 2 2 2 2 2 0 0 0 ( 1). . 1.I x x x dx x dx x xdx= + + = + + ∫ ∫ ∫  Xét ( ) 2 2 2 3 1 8 1 3 3 0 0 I x dx x= = = ∫  Xét 2 2 2 0 1.I x xdx= + ∫ . Đặt 2 1t x tdt xdx= + ⇒ = Đổi cận: 2x = ⇒ 5t = 0x = ⇒ 1t = ( ) 5 5 5 2 3 1 2 3 1 1 1 .I t tdt t dt t⇒ = = = ∫ ∫ 5 5 1 3 − =  Vậy, 5 5 7 1 2 3 I I I + = + = Câu j: 3 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 ln e e e t t t t t t t J dt t dt t − +         = = − + = − −           ∫ ∫ ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 3 2 2 1 2 2 2 ln 2 ln 1 e e e e e= − − − − − = − − Câu k: 2 2 2 0 0 (1 2 sin )sin (sin 2 sin )K a ada a a da π π = + = + ∫ ∫ 2 0 (sin 1 cos 2 )a a da π = + − ∫ ( ) 2 sin 2 2 0 cos a a a π = − + − ( ) ( ) sin sin 0 2 2 2 2 2 cos cos 0 0 1= − + − − − + − = + π π π π Bài 4 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây: a) 3 3 2y x x= − + , trục hoành, 1x = − và 3x = b) 2 4y x= − − và 2 4 2y x x= − c) 3 2y x x= − và tiếp tuyến của nó tại điểm có hoành độ bằng –1 d) 3 y x x= − và 2 y x x= − www.VNMATH.com Dương Phước Sang - 39 - THPT Chu Văn An Hướng dẫn giải và đáp số Câu a:  Xét 3 3 ( ) 3 2 ( ) ( ) 3 2 ( ) 0 f x x x f x g x x x g x   = − +   ⇒ − = − +   =     Diện tích cần tìm là 2 3 1 3 2S x x dx − = − + ∫  Bảng xét dấu của 3 3 2x x− + trên đoạn [ 1;2]− x 1− 1 2 3 3 2x x− + + 0 + Vậy, ( ) 2 3 1 3 2S x x dx − = − + ∫ ( ) 4 2 2 3 21 4 2 4 1 2 x x x − = − + = Câu b: Xét 2 4 2 2 4 ( ) 4 ( ) ( ) 3 4 ( ) 2 f x x f x g x x x g x x x   = − −   ⇒ − = − −   = −     Cho 4 2 3 4 0x x− − = 2x⇔ ⇔ = ±⋯  Diện tích cần tìm là 2 4 2 2 3 4S x x dx − = − − ∫  Bảng xét dấu của 4 2 3 4x x− − trên đoạn [ 2;2]− x 2 − 2 4 2 3 4x x− − − ( ) 2 2 4 2 5 3 1 96 5 5 2 2 ( 3 4) 4S x x dx x x x − − ⇒ = − − − = − − − = ∫ Câu c:  HD: viết phương trình tiếp tuyến thoả đề (đáp số: 2y x= + )  Xét 3 3 ( ) 2 ( ) ( ) 3 2 ( ) 2 f x x x f x g x x x g x x   = −   ⇒ − = − −   = +     Cho 3 3 2 0 1x x x− − = ⇔ = − hoặc 2x =  Diện tích cần tìm là: 2 3 1 3 2S x x dx − = − − ∫  Bảng xét dấu của 3 3 2x x− − trên đoạn [ 1;2]− x 1 − 2 3 3 2x x− − − ( ) 2 2 3 4 2 27 1 3 4 2 4 1 1 ( 3 2) 2S x x dx x x x − − = − − − = − − − = ∫ –1 www.VNMATH.com  01688559752 dpsang@gmail.com Tài liệu tham khảo - 40 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán Câu d: Xét 3 3 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) f x x x f x g x x x x g x x x   = −   ⇒ − = + −   = −     Cho 3 2 2 0 2; 0; 1x x x x x x+ − = ⇔ = − = = .  Diện tích cần tìm là 1 3 2 2 2S x x x dx − = + − ∫  HD: xét dấu 3 2 2x x x+ − và đưa đến công thức 0 1 3 2 3 2 2 0 ( 2 ) ( 2 )S x x x dx x x x dx − = + − − + − ∫ ∫ ( ) ( ) 0 1 4 3 2 4 3 2 37 1 1 1 1 4 3 4 3 12 2 0 x x x x x x − = + − − + − = Bài 5 : Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình (H) quanh trục Ox biết (H) giới hạn bởi: siny x= ,Ox, 0x = và 3 2 x π = Bài giải  Ta có, ( ) sinf x x= . Xét đoạn [ ] 3 2 0; π  Thể tích cần tìm là: 3 2 2 0 (sin )V x dx π π= ∫ 3 3 3 2 2 2 2 0 0 0 1 cos 2 1 cos 2 sin 2 2 2 x x V xdx dx dx π π π π π π   −    = = = −       ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 3 2 2 1 1 3 1 3 2 4 4 4 4 0 sin 2 sin 3 .0x x π π π π π π π= − = − − = BÀI TẬP VỀ TÍCH PHÂN Bài 6 : Tính các tích phân sau đây a) 1 2 0 .(2 1)x x dx− ∫ b) ln2 0 (3. 5) x x e e dx − − ∫ c) 1 3 1 (2 3 )x dx − − ∫ d) 2 1 1 t te t dt t + − ∫ e) 2 1 (1 ) x x x e x dx xe + − ∫ f) 2 3 1 3 2t t dt t + − ∫ g) ( ) 2 2 1 1 t t dt− ∫ h) ( ) 2 1 2 2 x x x dx − − + ∫ i) 1 3 0 (1 )x x dx− ∫ j) 4 6 cos 4 . cos 3x xdx π π ∫ k) 6 4 sin 3 .sin .t t dt π π − ∫ l) 4 2 0 tan xdx π ∫ m) 1 2 0 1 . cos x x e e dx x −       +       ∫ n) 2 1 ln2 0 1 x x e dx e + + ∫ o) 2 0 1 x dx− ∫ www.VNMATH.com Dương Phước Sang - 41 - THPT Chu Văn An p) 3 2 1 2 5t t dt t − ∫ q) 2 2 0 3 1 1 x x dx x − − + ∫ r) 1 2 1 3 1 ( 1) x dx x x + + ∫ m) 3 6 2 2 2 tan cos sin x x dx x π π − ∫ n) 3 2 0 2 cos 2 1 cos x dx x π − ∫ o) 4 2 0 sin .x dx π ∫ Bài 7 : Tính các tích phân sau đây a) 2 0 sin 1 3 cos x dx x π + ∫ b) 2 2 1 1 2 3 x dx x x − − − ∫ c) 2 1 1 0 . x x e dx − ∫ d) 1/ 2 2 1 x e dx x ∫ e) 2 6 2 cos (1 sin ) xdx x π π − + ∫ f) 2 0 4 1 (1 ) x dx x − − ∫ g) 2 0 sin . 8 cos 1 x dx x π + ∫ h) 19 0 3 2 3 8 xdx x + ∫ i) 2 1 1 ln e x dx x + ∫ j) 1 1 (1 ln ) e e dx x x− ∫ k) 3 1 . 4 ln e dx x x− ∫ l) 1 ln . .(ln 3) e e x dx x x + ∫ m) 1 2012 0 ( 1)x x dx− ∫ n) 1 2 0 1x x dx+ ∫ o) 7 3 0 . 1x x dx+ ∫ p) 2 2 3 sin . cos .x x dx π π − ∫ q) 4 0 sin2 .cos 2 x e xdx π − ∫ r) 0 5 4 .x x dx − − ∫ s) 2 2 sin 2 1 cos x dx x π π + ∫ t) 1 2 2 0 4 (2 1) x dx x + ∫ u) ln 3 0 1 x dx e − + ∫ Bài 8 : Tính các tích phân sau đây a) 1 0 ( 1) x x e dx+ ∫ b) 1 0 (2 1) x x e dx− ∫ c) 1 2 1 0 . x x e dx − ∫ d) ln 5 ln 2 2 ( 1) x x e dx− ∫ e) ln 2 0 ( 1) x x e dx − − ∫ f) 2 0 2 .cos .x x dx π ∫ g) 4 0 (2 1)cosx xdx π − ∫ h) 0 (1 )cosx xdx π− − ∫ i) 2 0 2 .sinx xdx π ∫ j) 4 0 ( 1)sin 2x xdx π + ∫ k) 4 0 sin 2x xdx π ∫ l) 1 ln . e x dx ∫ m) 1 2 .(ln 1) e x x dx− ∫ n) 3 2 2 ln( 1)x x dx− ∫ o) 2 2 1 ln xdx x ∫ p) 3 2 2 0 ( 1). x x e dx+ ∫ q) 4 0 sin x e xdx π ∫ r) 4 1 x e dx ∫ www.VNMATH.com  01688559752 dpsang@gmail.com Tài liệu tham khảo - 42 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán Bài 9 : Tính các tích phân sau đây a) 1 0 (3. 5 ) x x e e x dx − − ∫ b) ( ) 0 cosx x x dx π + ∫ c) 2 2 0 ( ) x x x e dx+ ∫ d) 2 1 lnx x dx x + ∫ e) 4 1 x x e dx x + ∫ f) 2 1 1 ln e x x dx x + ∫ g) ( ) 1 ln 1 e x x dx+ ∫ h) 4 0 ( cos )sinx x xdx π + ∫ i) 2 1 ( 2 ) x x xe dx+ ∫ j) 1 0 1 1 x x xe x dx e + + + ∫ k) 2 0 1 sin 1 cos x dx x π − + ∫ l) 2 2 1 ( 1).lnx x dx x − ∫ Bài 10 : Tính các tích phân sau đây 1) ( ) 0 2 1 1 x x e e dx − − ∫ 2) 2 1 ( 1) dx x x + ∫ 3) 6 0 cos 2 sin 1 xdx x π + ∫ 4) 1 0 3 1.x dx+ ∫ 5) 2 1 (2 1)ln .x x dx+ ∫ 6) 1 ln( 1) e x dx+ ∫ 7) 2 2 1 1 ln x dx x + ∫ 8) 4 1 ln . e x dx x ∫ 9) 2 2 2 1 lnx x dx x + ∫ 10) 1 0 2 1 1 x dx x − + ∫ 11) 4 1 ( 2) dx x x + ∫ 12) 3 2 2 0 2 1 x dx x + ∫ 13) 4 tan 2 0 cos x e dx x π ∫ 14) 2 0 cos sin 1 cos x x dx x π − + ∫ 15) 2 ln 2 3 0 ( 4) x x e dx e + ∫ 16) 0 ln 6 3. x x e e dx+ ∫ 17) 0 ( cos ) x x e x dx π + ∫ 18) 0 2 sinx xdx π ∫ 19) 3 4 3 0 cos sin cos x x dx x π + ∫ 20) 2 1 (ln 1) e dx x x + ∫ 21) 2 1 ln . (ln 2) e x dx x x + ∫ 22) 2 2 0 sin 2 .sin .x x dx π ∫ 23) 2 2 0 sin . cosx xdx π ∫ 24) 1 0 (4 1) x x e dx+ ∫ 25) 2 1 ln 1 e x x dx x + ∫ 26) 2 0 sin 2 . 1 cos x dx x π + ∫ 27) 2 0 sin 2 . 3 sin 1 x dx x π + ∫ 28) 0 (1 cos )cos .x x dx π− − ∫ 29) ( ) 2 0 4 1x x dx− + ∫ 30) 1 0 ( 3) x xe dx+ ∫ 31) ( cos 2)x x dx π π− − ∫ 32) 1 ( ln 2) e x x x dx+ ∫ 33) 2 1 3 0 x x e dx ∫ www.VNMATH.com [...]...www.VNMATH.com BÀI TẬP VỀ ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN Bài 11 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây a) y = − 1 x 3 + x 2 − 2 , trục hoành, x = 0 và x = 2 3 3 2 b) y = x + 1, x = −1, x = 2 và trục hoành c) y = x 3 − 12x và y = x 2 d) y = − x 2 + 2x và y + x = 2 e) y = x 3 − 1 và tiếp tuyến của nó tại điểm có tung độ bằng –2 f) y = x 3 − 3x + 2 và trục hoành g) y = x 2 − 2x và y = −x 2 +... Bài 14 : Chứng minh rằng hàm số F (x ) = x ln x − x + 3 là một nguyên hàm của hàm số f (x ) = ln x trên ℝ 1 − cos 4x là 4 nguyên hàm của cùng một hàm số với mọi x thuộc ℝ Bài 16 : Tìm giá trị của tham số m để F (x ) = mx 3 + (3m + 2)x 2 − 4x + 3 Bài 15 : Chứng minh rằng F (x ) = sin 4 x + cos4 x và G (x ) = là một nguyên hàm của hàm số f (x ) = 3x 2 + 10x − 4 trên ℝ Bài 17 : Tìm a,b và c để F (x... hoành và x = 1 2 e) y = , trục hoành, x = 0, x = 1 2−x f) y = 2 − x 2 , y = 1 ( ∆ là trục hoành) ( ∆ là trục hoành) g) y = 2x − x 2 và y = x ( ∆ là trục hoành) h) y = 3 2x + 1 , y = 3 và trục tung ( ∆ là trục tung) Dương Phước Sang - 43 - ( ∆ là trục hoành) THPT Chu Văn An 01688559752 www.VNMATH.com dpsang@gmail.com BÀI TẬP VỀ NGUYÊN HÀM Bài 13 : Chứng minh rằng hàm số F (x ) = e x (x 2 + 1) là một nguyên. .. 3 − 3x + 2 và trục hoành g) y = x 2 − 2x và y = −x 2 + 4x h) y = x 2 − 2x và y = x i) y = x 3 − x 2 và y = 1 9 (x − 1) ( 2) j) (C ) : xy = 1 + x , x = 1 và tiếp tuyến với (C ) tại điểm 2; 3 3x + 1 ,Ox , x = 0 1−x l) y = ln x , x = 1 , x = e và trục hoành k) y = e ln x m) y = x − 1 + , y = x − 1 và x = e x Bài 12 : Tính thể tích các vật thể tròn xoay khi quay các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau... ) = (ax 2 + bx + c)e x là một nguyên hàm của hàm số f (x ) = (x − 3)e x trên ℝ Bài 18 : Tìm nguyên hàm F (x ) của hàm số f (x ) = cos x (2 − 3 tan x ) biết rằng F (π) = 1 Bài 19 : Tìm nguyên hàm F (x ) của hàm số f (x ) = 1 + 2x 2 thỏa mãn điều x kiện F (−1) = 3 Bài 20 : Tìm nguyên hàm F (x ) của hàm số f (x ) = 1 + ln x x2 thỏa mãn điều kiện F (e) = 0 Bài 21 : Tìm nguyên hàm F (x ) của hàm số f... Bài 21 : Tìm nguyên hàm F (x ) của hàm số f (x ) = x (2 − x )2 thỏa mãn điều kiện F (−1) = 3 Bài 22 : Tìm nguyên hàm F (x ) của hàm số f (x ) = (1 − 2x )2 thỏa mãn x điều kiện F (−1) = 1 Bài 23 : Tìm nguyên hàm F (x ) của hàm số f (x ) = (4x + 1)e x thỏa mãn điều kiện F (1) = −e Bài 24 : Tìm nguyên hàm F (x ) của hàm số f (x ) = (1+x ln x )e x thỏa mãn x điều kiện F (1) = −e Tài liệu tham khảo - . III. NGUYÊN HÀM III. NGUYÊN HÀM III. NGUYÊN HÀM III. NGUYÊN HÀM - -- - TÍCH PHÂN TÍCH PHÂNTÍCH PHÂN TÍCH PHÂN VÀ (NG D*NG VÀ (NG D*NGVÀ (NG D*NG VÀ (NG. liệu tham khảo - 34 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán  Vài dạng tích phân đổi biến thông dụng: Dạng tích phân Cách đặt Đặc điểm nhận dạng ( ) ( ) t x dx t x