8 Dạng bài về hàm số “275 câu hỏi và đáp án ôn tập Vè Hàm Số”

8 Dạng bài về hàm số 275 câu hỏi và đáp án thi THPT QG Tổng hợp hơn 270 câu hỏi và đáp án đề Toán về hàm số về các dạng bài toán thi THPT QG. Bộ đề gồm 8 dạng bài tập về hàm số rất bổ ích cho thầy và trò tham khảo.

8 DẠNG BÀI VỀ HÀM SỐ “275 CÂU HỎI VÀ ĐÁP ÁN CÁC DẠNG TOÁN THI THPT QG” Phần A CÂU HỎI Dạng Tích phân Dạng 1.1 Áp dụng TÍNH CHẤT để giải 2 ∫ f ( x ) dx = Câu Biết A Câu Biết tích phân A −7 Câu 3.Biết ∫ ∫ g ( x ) dx = B −4 ∫ 1 ∫ f ( x ) dx = −2 Câu Biết A −1 ∫ ∫ g ( x ) dx = −4 B −6 ∫ g ( x ) dx = Câu Cho A − ∫ g ( x ) dx = Khi C −1 ∫  f ( x ) + g ( x )  dx D C −2 D , D −8 B f ( x ) dx = [ f ( x) + g ( x) ] dx , ∫ C g ( x)dx = −4 A ∫  f ( x ) − g ( x )  dx B f ( x )dx = , f ( x ) dx = ∫ ∫  f ( x ) − g ( x ) dx C −5 D , ∫  f ( x ) − g ( x )  dx C − B D 12 Câu Khẳng định khẳng định sau với hàm f , g liên tục K a , b số thuộc K ? b b b A b ∫ [ f ( x) + g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx +2 ∫ g ( x)dx a a b C b a ∫ a f ( x ) dx = Câu Cho A I = −2 , ∫ −2 a B a b f ( t ) dt = −4 Tính I = − B ∫ f ( x)dx a b ∫ g ( x)dx a b ∫ [ f ( x).g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ∫ g ( x)dx a ∫ b f ( x) dx = g ( x) ∫ D a b  f ( x)dx =  ∫ f ( x )dx  a  ∫ f ( y ) dy C I = D I = −5 Câu Cho ∫0 A 16 f ( x ) dx = ∫ ∫ g ( x ) dx = B −18 f ( x) Câu Cho A ∫ dx = −1 ; f ( x) ∫ , ∫ Câu 10 Cho A 12 f ( x ) dx = − 3 ∫ dx = Tính ∫ f ( x) f ( x ) dx = f ( x) C 24 D 10 dx C D Khi B Câu 11 Cho hàm số  f ( x ) + g ( x ) dx B 2 ∫ f ( x ) dx D −12 C liên tục, có đạo hàm [ −1; 2] , f ( −1) = 8;f ( ) = −1 Tích phân ∫ f ' ( x ) dx −1 A C −9 B Câu 12 Cho hàm số f ( x) liên tục R có A I = Câu 13 Cho A B I = 36 −1 ∫ f ( x ) dx = 3∫ f ( x ) dx = Câu 14 Cho hàm số A F′( x) = A ln Tích phân liên tục ¡ B ∫ f ( x ) dx D ∫ f ( x ) dx = 10 , ∫ f ( x ) dx = C liên tục ¡ thoả mãn ∫ f ( x ) dx = Tích phân ∫ f ( x ) dx D x − F ( 1) = giá trị F ( ) 1 + ln B C ln f ( x) Tính D I = 13 C Câu 16 Cho hàm số I= I = ∫ f ( x )dx B f ( x) f ( x)dx = 9; ∫ f ( x)dx = C Câu 15 Nếu ∫ D D + ln 12 , ∫ f ( x ) dx = , ∫ f ( x ) dx = 12 I = ∫ f ( x ) dx Tính A I = 17 B I = C I = 11 D I = 10 f ( x) Câu 17 Cho hàm số 10 6 ∫0 f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx = 0;10 ] [ liên tục thỏa mãn , Tính P = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx B P = A P = 10 C P = D P = −6 1;3 Câu 18 Cho f , g hai hàm liên tục đoạn [ ] thoả: 3 ∫  f ( x ) + 3g ( x ) dx = 10 , B A ∫  f ( x ) − g ( x ) dx = Tính C ∫  f ( x ) + g ( x ) dx D 10 f ( x) Câu 19 Cho hàm số 10 ∫ liên tục đoạn [ 0;10] f ( x ) dx = ; ∫ f ( x ) dx = Tính P = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx B P = 10 A P = D P = −4 C P = Câu 20 Cho f , g hai hàm số liên tục [ 1;3] thỏa mãn điều kiện đồng thời A ∫  f ( x ) − g ( x ) dx=6 B ∫  f ( x ) + 3g ( x ) dx=10 Tính ∫  f ( x ) + g ( x ) dx C D Câu 21 f , Cho g ∫1  f ( x ) + 3g ( x )  dx = 10 1;3] [ hai hàm liên tục thỏa: ∫  f ( x ) − g ( x )  dx = A Tính B I = ∫  f ( x ) + g ( x )  dx C D Dạng 1.2 Áp dụng bảng công thức π π Câu 22 Cho ∫ f ( x ) dx = Tính A I = Câu 23 Cho A ∫ f ( x ) dx = −1 I= 17 I = ∫  f ( x ) + 2sin x  dx = B I = 5+ π C I = ∫ g ( x ) dx = −1 −1 B I= D I = + π Tính I = ∫  x + f ( x ) − 3g ( x )  dx −1 C I= D I= 11 −2 ∫ f ( x ) dx = Câu 24 Cho hai tích phân A 13 −2 ∫ f ( x)dx = Câu 25 Cho −1 ∫ g ( x ) dx = 5 Tính B 27 C −11 2 ∫ g ( x)dx = −1 −1 , B I= ∫  f ( x ) − g ( x ) − 1 dx −2 D ∫ [ x + f ( x) + 3g ( x)] dx −1 17 C 11 D A ∫ Câu 26 Cho A 12 ∫ f ( x ) dx = 2 ∫ g ( x ) dx = −1 ,0 f ( x ) dx = −2 Câu 27 Cho A −140 ∫  f ( x ) − 3x Tích phân B −130 ∫ Câu 29 Cho A D 10  dx D −133 Khi B −3 f ( x ) dx = C −120 ∫ 4 f ( x ) − x  dx = 1 bằng: C B Câu 28 Cho A ∫  f ( x ) − g ( x ) + x  dx ∫ f ( x ) dx bằng: C D −1 ∫ ( f ( x ) − 3x ) dx tích phân B C D −1 Câu 30 Tính tích phân I= A I = ∫ ( x + 1) dx −1 B I = C I = D I =− π Câu 31 Cho hàm số f ( x) π + 16π − 16 A Biết f ( 0) = π −4 B 16 f ' ( x ) = 2sin x + 1, ∀x ∈ ¡ π + 15π C 16 , ∫ f ( x ) dx π + 16π − 16 16 D π Câu 32 Cho hàm số π2 −2 A f ( x) ∫0 f ( x ) dx f ′ ( x ) = 2sin x + ∀x ∈ R Biết , , 2 π + 8π − π + 8π − 3π + 2π − 8 B C D f ( 0) = π Câu 33 Cho hàm số f ( x) Biết f (0) = f ′( x) = cos x + 3, ∀x ∈ ¡ , ∫ f ( x)dx bằng? π + 8π + B π + 8π + 8 A π + 6π + 8 C π2 +2 D C D C -1 π D C I = D I = ∫ ( 3x + 1) ( x + 3) dx Câu 34 Tích phân A 12 B π ∫ sin xdx Câu 35 Giá trị A B Câu 36 Tính tích phân A I = I = ∫ (2 x + 1)dx B I = b ∫ ( 3x − 2ax − 1) dx a , b Câu 37 Với tham số thực Giá trị tích phân 3 2 A b − b a − b B b + b a + b C b − ba − b D 3b − 2ab − Câu 38 Biết hàm số đúng? A m + n = f ( x ) = mx + n B m + n = −4 π Câu 39 Giả sử A − I = ∫ sin xdx = a + b thỏa mãn B − 2 ∫ 2 f ( x ) dx = , ∫ f ( x ) dx = C m + n = D m + n = ( a, b Ô ) Khi giá trị C − a − b 10 D 2 Câu 40 Cho hàm số A m Câu 41 Cho ∫ ( 3x f ( x) liên tục ¡ B −2 C 18 Tính − 18 D Giá trị tham số m thuộc khoảng sau đây? −∞;0 ) B ( 0; C ( ) Câu 42 Biết hàm số ∫ f ( x ) dx − x + 1) dx = −1; ) A ( ∫ ( f ( x ) + 3x ) dx = 10 Khẳng định f ( x ) = ax + bx + c thỏa mãn ∫ f ( x ) dx = − −3;1) D ( 2 , ∫ f ( x ) dx = −2 A − B − 4 C D Dạng Tích phân HÀM HỮU TỶ Câu 43 dx ∫ 2x + ln 35 A 2 Câu 44 B 7 ln C D ln C D ln 2 ln dx ∫ 3x − ln B A ln 2 Câu 45 Tích phân A ln dx ∫ x +3 15 B  16 225 C log D ln  ∫  x + 1− x + ÷ dx = aln2+ bln Câu 46 Cho đúng? A a+ 2b = B a+ b = với a,b số nguyên Mệnh đề C a− 2b = D a+ b = −2 C I = D I = e e 1  I = ∫  − ÷dx x x  1 Câu 47 Tính tích phân 1 I= I = +1 e e A B Câu 48 Tính tích phân A Câu 49 I =− I =∫ 21 100 dx x+2 B I = ln C I = log D I= 4581 5000 dx ∫ 3x − ln B A ln Câu 50 Tính tích phân A I = − ln I =∫ C ln ln D C I = + ln D I = ln x −1 dx x B I= dx ∫ ( x + 1) ( x + 1) = a ln + b ln + c ln Câu 51 Biết A −3 B Khi giá trị a + b + c C D x+2 dx = a + b ln c, x Câu 52 Biết với a, b, c ∈ ¢, c < Tính tổng S = a + b + c A S = B S = C S = D S = ∫ I= Câu 53 Biết A 50 3x + x − ∫−1 x − dx = a ln + b, ( a, b ∈ ¡ ) Khi giá trị a + 4b B 60 C 59 D 40 x2 − −1 dx = + n ln ∫ x +1 m Câu 54 Biết , với m, n số nguyên Tính m + n A S = B S = C S = −5 D S = −1 1 I =∫ Câu 55 Tích phân biểu thức a + b A ( x − 1) x2 +1 dx = a − ln b a , b số ngun Tính giá trị B C −1 D x2 + x + b ∫3 x + dx = a + ln với a , b số nguyên Tính S = a - 2b B S = −2 C S = D S = 10 Câu 56 Biết A S =  ∫  x Câu 57 Cho A P = Câu 58 Cho ∫x 2 + x  10 a ÷dx = + ln x +1 b b ∫x Câu 59 Cho A 12 D P = x+3 dx = a ln + b ln + c ln + 3x + , với a, b, c số nguyên Giá trị a + b + c A với a, b ∈ ¤ Tính P = a + b ? B P = C P = B 5x − dx = a ln + b ln + c ln − 3x + B C D a − 3b + c , với a, b, c số hữu tỉ Giá trị C D 64 x2 + x + b ∫3 x + dx = a + ln Câu 60 Biết A S = với a , b số nguyên Tính S = a - 2b B S = −2 C S = D S = 10 Câu 61 Biết A 14 ∫x π a dx = + x +1 b ( a , b ∈ ¢ , a < 10 ) Khi B 15 C 13 a + b có giá trị D 12 x2 + 5x + ∫0 x + x + dx = a + b ln + c ln Câu 62 Biết A −8 B 10 , ( a, b, c Ô ) Giá trị abc C −12 D 16 3x + x − ∫−1 x − dx = a ln + b Câu 63 Giả sử Khi đó, giá trị a + 2b A 30 B 60 C 50 D 40 π 3sin x − cos x ∫ sin x + 3cos x dx = Câu 64 Biết −11 ln + b ln + c ( b, c ∈ Q ) 22π B 22 A b Tính c ? 22 C 3π 22π D 13 x3 + x + x + a a ∫1 x − x + dx = b + c ln Câu 65 Biết với a , b , c số nguyên dương b phân số tối giản Tính P = a − b − c A −5 B −4 C D x + 15 x + 11 ∫0 x + 5x + dx = a + b ln + c ln Câu 66 Cho T = a.c − b A B với a , b , c số hữu tỷ Biểu thức C −1 D Dạng Giải tích phân phương pháp VI PHÂN F ( x) Câu 67 Cho A Câu 68 ∫e I= nguyên hàm hàm số B Câu 69 ∫e 1 e ln x x Tính: I = F ( e ) − F ( 1) ? C I = D I = e 1( e − e) C D e − e x +1 dx 1( e + e) A I= f ( x) = B e − e 3 x −1 dx (e +e ) A ( e −e ) B ∫ f (x)dx = 12 Câu 70 Cho A I = 5 e −e C D e − e C I = D I = I = ∫ f (3x)dx Tính B I = 36 Câu 71 Cho với m, p, phân số tối giản Giá trị A 10 B Câu 72 Tích phân A ln − Câu 73 Tính K =∫ D C ln D − ln C K = ln K = ln D dx x +1 I =∫ có giá trị B − ln x dx x −1 K = ln B A K = ln Câu 74 Biết A 22 C x ∫ xe +2 dx = ( a b c e −e B ) với a, b, c ∈ ¢ Giá trị a + b + c C D e x +1 dx = ln ( ae + b ) + x ln x Câu 75 Biết với a, b số nguyên dương Tính giá trị biểu 2 thức T = a − ab + b ∫x A B x C D p q p Câu 76 Biết , m, n, p, q số nguyên dương q phân số tối giản Tính T = m + n + p + q A T = 11 B T = 10 C T = D T = ∫ ( x + 1) e x− dx = me − n Câu 77 Số điểm cực trị hàm số A B f ( x) = x2 2tdt ∫ 1+ t 2x C D Câu 78 Cho hàm số y = f ( x) f = f ( 1) = có đạo hàm ¡ đồng thời thỏa mãn ( ) Tính I = ∫ f ′ ( x ) e f ( x ) dx tích phân A I = 10 B I = −5 C I = D I = Dạng Giải tích phân phương pháp ĐỔI BIẾN SỐ Dạng 4.1 Hàm số tường minh Dạng 4.1.1 Hàm số chứa thức 21 ∫x dx x+4 Câu 79 Cho đúng? A a − b = −2c 55 ∫x = a ln + b ln + c ln , với a, b, c số hữu tỉ Mệnh đề sau B a + b = −2c C a + b = c D a − b = −c dx = a ln + b ln + c ln11 x+9 , với a, b, c số hữu tỉ Mệnh đề Câu 80 Cho 16 đúng? A a + b = 3c B a − b = −3c C a − b = −c D a + b = c I = ∫ x x − 1dx Câu 81 Tính tích phân đúng? A ln Câu 82 Biết tích phân T = a+b+c A T = −1 Câu 83 Tích phân ∫ A ∫ ( x + 1) Câu 84 Biết P = a +b +c A P = 18 e Câu 85 Biết ∫x ∫ 1+ ex ex + C I = 2∫ udu dx = a + b ln + c ln B T = , với a, b, c D I = ∫ udu số nguyên Tính C T = D T = C D dx 3x + B I = ∫ udu 21 B I = ∫ udu cách đặt u = x − , mệnh đề dx dx = a − b − c x + x x +1 với a, b, c số nguyên dương Tính B P = 46 C P = 24 D P = 12 ln x dx = a + b + ln x với a, b số hữu tỷ Tính S = a + b 10 ∫ F ′ ( x ) dx = F ( x ) Lại có: = F ( ) − F ( 1) 1 F ( ) − F ( 1) = ln F ( ) = F ( 1) + ln = + ln 2 Suy Do 12 Câu 16 Ta có: 1 10 Câu 17 Ta có Suy 12 10 12 4 0 10 10 6 ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx = − = 3 1 3 1 2∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx = ⇔ ∫ f ( x ) dx + 3∫ g ( x ) dx = 10 ( 1) ⇔ ∫  f ( x ) − g ( x ) dx = ∫  f ( x ) + 3g ( x ) dx = 10 Đặt Câu 18 I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx = + − = ( 2) X = ∫ f ( x ) dx Y = ∫ g ( x ) dx , 1  X + 3Y = 10 X =   Từ ( ) ( ) ta có hệ phương trình:  X − Y = ⇔ Y = ∫ f ( x ) dx = Do ta được: ∫ g ( x ) dx = Vậy ∫  f ( x ) + g ( x ) dx = + = 10 Câu 19 Ta có: ∫ 10 f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx ⇒ = P +3⇒ P = Câu 20 Ta có: 3 ∫  f ( x ) + 3g ( x ) dx=10 ⇔ ∫ f ( x ) dx+3∫ g ( x ) dx=10 1 3 1 ∫ 2 f ( x ) − g ( x ) dx=6 ⇔ 2∫ f ( x ) dx-∫ g ( x ) dx=6 Đặt 3 1 u = ∫ f ( x ) dx; v = ∫ g ( x ) dx 3  ∫ f ( x ) dx=4 1 ⇒ 3 u + 3v = 10 u =  g x dx=2 ⇔  ∫ ( ) u − v = v = 1   Ta hệ phương trình: Vậy ∫  f ( x ) + g ( x ) dx=6 39 a = ∫ f ( x ) dx Câu 21 Đặt b = ∫ g ( x ) dx Khi đó, ∫  f ( x ) + 3g ( x )  dx = a + 3b , ∫  f ( x ) − g ( x )  dx = 2a − b  a + 3b = 10  a = ⇔  b = Theo giả thiết, ta có  2a − b = Vậy I = a + b = Dạng 1.2 Áp dụng bảng công thức Câu 22 Chọn A Ta có π π π π 0 0 π I = ∫  f ( x ) + 2sin x  dx = ∫ f ( x ) dx +2 ∫ sin x dx = ∫ f ( x ) dx − cos x 02 = − ( − 1) = Câu 23 Chọn A x2 I = ∫  x + f ( x ) − 3g ( x )  dx = −1 Ta có: 2 −1 2 −1 −1 + ∫ f ( x ) d x − ∫ g ( x ) dx 17 + 2.2 − ( −1) =2 = Câu 24 Lời giải I= ∫  f ( x ) − g ( x ) − 1 dx = −2 = −2 −2 −2 ∫ −2 5 −2 −2 f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx − ∫ dx = ∫ −2 5 −2 −2 f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx − ∫ dx ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x )dx − ∫ dx = + 4.3 − x −2 = + 4.3 − = 13 Câu 25 Chọn A Ta có Câu 26 Chọn D 2 2 −1 −1 −1 −1 ∫ [ x + f ( x) + 3g(x)] dx = ∫ xdx + ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx = 2 2 0 ∫  f ( x ) − 5g ( x ) + x  dx = ∫ f ( x ) dx − 5∫ g ( x ) dx + ∫ xdx 0 ∫ 4 f ( x ) − 3x Câu 27 Câu 28 Chọn A 5 0  dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ x dx = −8 − x 2 5 + 4−3 = 2 = + + = 10 = −8 − 125 = −133 x2  f x − x  dx = ⇔ f x dx − xdx = ⇔ f x dx − =1 ∫1  ( )  ∫1 ( ) ∫1 ∫1 ( ) 2 1 ⇔ 4∫ f ( x ) dx = ⇔ ∫ f ( x ) dx = Câu 29 Chọn A 40 1 ∫ ( f ( x ) − 3x ) dx = 2∫ f ( x ) dx − 3∫ x dx = − = 2 0 I= ∫ ( x + 1) dx = ( x −1 Câu 30 Câu 31 Chọn A + x) −1 = 0−0 = f ( x ) = ∫ ( 2sin x + 1) dx = ∫ ( − cos x ) dx = x − sin x + C Ta có f ( 0) = ⇒ C = Vì f ( x ) = x − sin x + Hay π π 0   ∫ f ( x ) dx = ∫  x − sin x + ÷ dx Suy π π2 π + 16π − = x + cos x + x = +π − = 16 16 Câu 32 Chọn C x + 3) dx = ∫ ( − cos x + ) dx = ∫ ( − cos x ) dx = x − sin x + C 4.0 − sin + C = ⇔ C = f ( 0) = Ta có nên f ( x ) = x − sin x + Nên ∫ f ′ ( x ) dx =∫ ( 2sin π ∫ π π     f ( x ) dx = ∫  x − sin x + ÷dx =  x + cos x + x ÷ = π + 8π − 2   0 0 Câu 33 Chọn B Ta có , f ( x ) = ∫ f ( x)dx = ∫ (2 cos x + 3)dx = ∫ (2 = ∫ (cos x + 4) dx + cos x + 3)dx sin x + x + C =2 f (0) = ⇒ C = f ( x) = sin x + x + Vậy nên π π 0 ∫ f ( x)dx = ∫ ( sin x + x + 4)dx π = (− cos x + x + x) = π + 8π + Câu 34 Ta có: 1 0 ∫ ( 3x + 1) ( x + 3) dx = ∫ ( 3x + 10 x + 3) dx = ( x + x + 3x ) = 41 ∫ ( 3x + 1) ( x + 3) dx = Vậy : Câu 35 Chọn B π π ∫0 sin xdx = − cos x = + Tính Câu 36 Chọn B I = ∫ (2 x + 1)dx = ( x + x ) = + = Ta có Câu 37 Chọn A 0 b ∫ ( 3x Ta có − 2ax − 1) dx = ( x − ax − x ) b = b3 − ab − b m x + nx + C Câu 38 Ta có: ∫ = m 1 ∫0 f ( x ) dx = ⇒  x2 + nx ÷ = ⇔ m + n = ( 1) Lại có: m 2 ∫0 f ( x ) dx = ⇒  x + nx ÷ = ⇔ 2m + 2n = ( ) f ( x ) dx = ∫ ( mx + n ) dx 1  m+n =3 m = 2 ⇔  n = Từ ( 1) ( ) ta có hệ phương trình: 2m + 2n = ⇒m+n = Câu 39 Chọn B π π 1 = sin xdx = − cos3 x + ∫0 3 Ta có Câu 40 Ta có: ∫ ( f ( x ) + 3x ) dx = 10 2 ⇔ ∫ f ( x ) dx = 10 − x m Câu 41 Ta có: Vậy ∫ ( 3x m ∈ ( 0; ) Câu 42 Ta có: ∫ Lại có: ∫ Suy a=b= ⇒ a −b = 2 0 ⇔ ∫ f ( x ) dx + ∫ 3x dx = 10 ⇔ ∫ f ( x ) dx = 10 − ∫ 3x 2dx 0 2 ⇔ ∫ f ( x ) dx = 10 − = 0 − x + 1) dx = ⇔ x − x + x ( ) m = ⇔ m3 − m + m − = ⇔ m = a b x + x + cx + C = a b f ( x ) dx = − ⇒  x + x + cx ÷ = − ⇔ a + b + c = − 2 3 0 2 ( 1) f ( x ) dx = ∫ ( ax + bx + c ) dx 42 b 2 x + cx ÷ = −2 ⇔ a + 2b + 2c = −2 ( 2) 0 13 b a  13 13 f ( x ) dx = ⇒  x3 + x + cx ÷ = ⇔ 9a + b + 3c = 2   2 ( 3) a ∫ f ( x ) dx = −2 ⇒  x ∫ + 1 3 a + b + c = −   a = 8  a + 2b + 2c = −2 ⇔ b =  3  13 16  c = − a + b + c =  2  Từ ( ) , ( ) ( ) ta có hệ phương trình:   16  ⇒ P = a + b + c = 1+ +  − ÷= −  3 Dạng Tích phân HÀM HỮU TỶ Câu 43 Chọn C 2 dx 1 ∫1 x + = ln x + = ( ln − ln ) = ln Ta có Câu 44 Chọn C 2 dx 1 ∫1 3x − = ln 3x − = ( ln − ln1) = ln Ta có Câu 45 Chọn D dx ∫ x + = ln x + = ln Câu 46 Chọn A  1  ∫  x + − x + ÷ dx = [ ln x + − ln x + ] 0 = 2ln2 − ln ; a = 2;b = −1 Câu 47 Chọn A e e Câu 48 1 1   I = ∫  − ÷dx =  ln x + ÷ = x x  x 1 e  1 3 dx I =∫ = ln ( x + ) = ln − ln = ln x+2 Dạng Một số tốn tích phân khác Câu 253 Chọn A 43 f ′( x) = x [ f ( x) ] Từ hệ thức đề cho: (1), suy f ′( x) ≥ với x ∈[1; 2] Do f ( x) hàm khơng giảm đoạn [1;2] , ta có f ( x) ≤ f (2) < với x ∈[1; 2] [ f ( x) ] ⇒ f ′( x) [ f ( x) ] = x, ∀x ∈ [ 1; 2] Chia vế hệ thức (1) cho Lấy tích phân vế đoạn [1; 2] hệ thức vừa tìm được, ta được: f ′( x) ∫ [ f ( x) ] 2 1 dx = ∫ xdx ⇒ ∫ f (2) = − −1 1 df (x ) = ⇒ = ⇒ − = 2 f ( x) f (1) f (2) f ( x)] [ f (1) = − nên suy Do Chú ý: tự kiểm tra phép biến đổi tích phân có nghĩa Câu 254 Chọn D 2 f ′( x) f ′( x) f ′ ( x ) = x  f ( x )  ⇒ = x3 ⇒ ∫ dx = ∫ x 3dx f ( x) f ( x) 1 Ta có:   15 1 15 ⇔  − = ⇔ − + = ⇔ f = − ( ) ÷ ÷ f ( ) f ( 1)  f ( x)   f ( − x ) = ( x + 3) , f ( x + 1) ⇒ f ( − x ) = ( x + 3) f ( x + 1) ( 1)   f ( + x ) = ( x + 3) f ( − x ) ( )   Câu 255 Ta có: ⇒ f ( − x ) = x + = ( − x − 1) + Từ ( 1) ( ) ⇒ f ( x ) = ( x − 1) + ⇒ f ′′ ( x ) = 2 ⇒ I = ∫ ( x − ) dx = ( x − x ) = Câu 256 Ta có: e x ³ e1- x Û x ³ 1- x Û x ³ I = ò max { e , e x =- 1- x Do }dx = ò e 1- x Suy ra: ìï 1- x ïï e £ x £ max { e x , e1- x } = ïí ïï x £ x £ ïï e ïỵ dx + ò e dx =- e1- x x +e x 1 3 3 1 e + e +e - e = e 2 ( e ) 44  5π  π  sin  − x ÷cos  + x ÷  12  6  ∫0  5π   π  dx = ∫0  5π   π  dx cot  − x ÷tan  + x ÷ cos  − x ÷si n  + x ÷  12  6   12  6  7π  π  π π  7π sin + si n  − x ÷ 2sin ÷ 4 12 4  dx =  −1 + 12 ÷dx =∫ ∫0  7π 7π π  π ÷ sin − si n  − x ÷ sin − si n  − x ÷÷  12 12 4  4   π Câu 257 π  7π π  5π  π tan cos  − x + + x ÷÷  12  12  ÷dx =  −1 + tan 7π = ∫  −1 + ∫0  12  5π  π  ÷ 0 cos − x si n + x  ÷  ÷ ÷   12  6    π  π   5π   cot  + x ÷− tan  12 − x ÷÷÷dx      π  7π  π 2+ π   5π  =  − x + tan ln sin  + x ÷− ln cos  − x ÷÷÷ = − + ln  12  6   12   2 Do a = 3; b = 3; c = Vậy a + b + c = 34 Câu 258 Chọn C Ta có: x f ( x ) f '( x ) = f ( x ) − x ⇔ x f ( x) f '( x) = f ( x ) − x 2 ⇔ x f ( x) f '( x ) + f ( x ) = f ( x ) − x ⇔ ∫ ( x f ( x) ) ' dx = 3∫ f ( x)dx − ∫ xdx 2 2 ⇔ ( x f ( x) ) 2 Câu 259 Vậy − f ′( x)  f ( x )  1 = − ∫ ( x + 1) dx = − x − x + C ⇒ f ( x ) = f ( x) −x − x + C 1 0 I = ∫ f ( x ) dx = −∫ Vậy f ( x) = − x+ x + x +1 1 dx = −∫ dx 2 x + x +1 1  x+ ÷ + 2  π Đặt Câu 260 = − ( x + 1) , ∀x ∈ ¡ ′ ÷ ÷ = − ( x + 1) , ∀x ∈ ¡  f ( ) = −1 ⇒ C = −1 Do = 3I − ⇔ = 3I − ⇔ I = f ′ ( x ) = ( x + 1)  f ( x )  , ∀x ∈ ¡ ⇒  ⇒   f ( x) I = −∫  −π π  π = tan t , t ∈  ; ÷ 2  2  Suy π + tan t ) ( π dt = − dt = − ∫ 3 π ( + tan t ) 45 lời giải Chọn A ( ) f ( x ) f ' ( x ) + 18 x = x + x f ' ( x ) + ( x + 1) f ( x ) Ta có f ( x) + x3 = ( x + x ) f ( x ) lấy nguyên hàm vế ta được:  f ( x ) = x2 ⇒ f ( x ) − 3x + x f ( x ) + 12 x = ⇒   f ( x ) = x ( ) f ( x ) = 6x TH1: không thoả mãn kết 1 0 ∫ ( x + 1) e dx = ae + b, ( a, b Ô ) f ( x ) = x ⇒ ∫ ( x + 1) e f ( x ) dx = ∫ ( x + 1) e x dx = TH2: Vậy a − b = f ( x) e − 4 a = ;b = − 4 Suy Vì f ( x ) > ∀x ∈ ( 0;1) ta có: Câu 261  f ( x )  ex f ( x ) − ex f '( x ) f ( x) − f ′( x) = −  ⇔ =− e x x x − x x x − x2  f ( x )  2  ex  ' −2 −2 ex ⇒  = ⇒ d x = ÷ ∫1 x x − x ÷ f ( x)  f ( x)  x x − x 2 −2 = 5 e e e − =2 e− 1 1 1 f ÷ f ÷ f ÷ 2 5 5 1 2 −2 1 d x = d x= d = − = −4  ÷ ∫1 x x − x ∫1 ∫1 x  x x −1 −1 5 5 x x ⇒2 e− Câu 262 e 1 = −4 ⇔ f  ÷ = 1 5 f ÷ 5 ( e+2 e ) ≈ 5,97 Chọn A Ta có  = ∫ −  Đặt M = ∫  f ( x ) + 3xf ( x ) − f ( x ) xf ( x ) − x xf ( x ) dx   ( f ( x) x− ) f ( x) a= x− f ( x )   , ( f ( x) − x f ( x) b= )  + f ( x )  dx   ( a + b) ( a + b)  dx ≥ ∫ − x dx = − M = ∫ − ab ( a + b ) dx ≥ ∫  −  24   0 1 Câu 263 Ta có f ( x ) f ′ ( x ) + 18 x = ( 3x + x ) f ′ ( x ) + ( x + 1) f ( x ) ⇒ ∫  f ( x ) f ′ ( x ) + 18 x dx = ∫ ( x + x ) f ′ ( x ) + ( x + 1) f ( x ) dx 46 ′ 1 ′ ⇒ ∫  f ( x ) + x  dx = ∫ ( 3x + x ) f ( x )  dx 2  ⇒ f ( x ) + x3 = ( 3x + x ) f ( x ) + C , với C số f ( 0) = Mặt khác: theo giả thiết nên C = f ( x ) + x3 = ( 3x + x ) f ( x ) ( 1) , ∀x ∈ ¡ Khi  f ( x ) = 2x ⇔  ( 1) ⇔ f ( x ) + 12 x3 = ( x + x ) f ( x ) ⇔  f ( x ) − x   f ( x ) − x  =  f ( x ) = x Trường hợp 1: Với Trường hợp 2: Với ∫ ( x + 1) e f ( x) f ( x ) = x , ∀x ∈ ¡ f ( x ) = x, ∀x ∈ ¡ , ta có f ′ ( 0) = (loại) , ta có : 1 2x  ( x + 1) e x  e dx = ∫ ( x + 1) e dx =  −  ∫ dx = e − 4  0 2x  a = ⇒ ⇒ a −b =1 b = −  109 ∫1  f ( x ) − f ( x ) ( − x )  dx = − 12 ⇔ − Câu 264 ⇔ 2 ∫ ( f ( x) − ( − x) ) − 2 dx − ∫ ( − x) − 2 dx = − 109 12 ( f ( x ) − ( − x ) ) − ( − x )  dx = − 109 ∫1   12 −  x 2 109 2 ∫1 ( − x ) dx = ∫1 ( − x + x ) dx =  x − 3x + ÷ = 12 − − − 2 Mà 2 ∫ ( f ( x) − ( − x) ) Suy dx = −  1  1 ∀x ∈  − ;   f ( x ) − ( − x )  ≥ 0, ∀x ∈  − ;   2  nên f ( x ) = − x ,  2 Vì Vậy 2  −1 f ( x) 3− x 1− x + 2 d x = d x = d x = ∫0 x − ∫0 x − ∫0 x − ∫0  x + + ( x − 1) ( x + 1)   ÷ ÷dx   x −1  =  − ln x + + ln = ln ÷ x +1   47  du = dx  n +1  ⇒ − ( − x2 ) u = x 2 n n  I n = ∫ x ( − x ) dx v = dv = x ( − x ) dx ( n + 1)    Xét Đặt Câu 265 In = − x ( − x2 ) n +1 + n +1 ⇒ I n +1 = ( n + 2) 1 ( n + 1) ∫ ( 1− x ) n +1 ∫ (1− x ) (1− x ) n +1 dx = ( n + 1) ∫ (1− x ) n +1 dx dx 1  n +1 n +1 − x d x − x ( − x ) dx  ) ∫ ( ∫ ( n + 2)  0  I n +1 2n + I ⇒ I n +1 =  ( n + 1) I n − I n +1  ⇒ = ⇒ lim n +1 = ( n + 2) In 2n + n→+∞ I n ⇒ I n +1 = Cách Đặt t = a − x ⇒ dt = −dx Câu 266 Đổi cận x = ⇒ t = a; x = a ⇒ t = 0 a a a f ( x ) dx dx −dt dx dx =∫ =∫ =∫ =∫ 1+ f ( x) a 1+ f ( a − t ) 1+ f ( a − x) 1+ 1+ f ( x) 0 f ( x) a I =∫ Lúc a f ( x ) dx a dx 2I = I + I = ∫ + = 1dx = a + f ( x ) ∫0 + f ( x ) ∫0 a Suy I= a ⇒ b = 1; c = ⇒ b + c = Do Câu 267 Ta có: π ∫ sin π π π  π     x − ÷d x = ∫ 1 − cos  x − ÷ d x = ∫ ( − sin x ) d x 4     π  2 =  x + cos x ÷ = π − 2  0 Do đó: π  ∫  f ( x ) − 2 π π  π   f ( x ) sin  x − ÷ d x + ∫ 2sin  x − ÷d x = − π + π − =  4   2 π  π π    ⇔ ∫  f ( x ) − 2 f ( x ) sin  x − ÷+ 2sin  x − ÷ d x = 4     π 2  π   ⇔ ∫  f ( x ) − sin  x − ÷ d x =    π π   f ( x ) − sin  x − ÷ = f ( x ) = sin  x − ÷ 4    Suy , hay Bởi vậy: 48 π π π π π2   f x d x = sin x − d x = − cos x − ( )  ÷  ÷ =0 ∫0 ∫0 4 0   t = a − x ⇒ d t = − d x Câu 268 Đặt a a a 1 I =∫ dx = ∫ dt = ∫ dx 1+ f ( x) 1+ f ( a − t ) 1+ f ( a − x) 0 Thay vào ta a   f ( a − x) − f ( x) 0= ∫ dx + f x + f a − x ( ) ( ) ( ) ( )  , hàm số f ( x) liên tục dương   Suy f ( a − x) = f ( x) [ 0; a ] [ 0; a ] đoạn Suy , đoạn a Mà f ( x) f (a − x) = ⇒ f ( x ) = Vậy a I = ∫ dx = 2 Ta có: f ( x ) + f ( − x ) = − x ( 1) Câu 269 Đặt t = − x ⇒ x = − t , phương trình ( 1) trở thành f ( − t ) + f ( t ) = t Thay t x ta phương trình f ( x ) + f ( − x ) = x ( ) ( 1) Từ ( ) có hệ phương trình x − 1− x 1 1 f ( x ) dx = ∫ x − − x dx = ∫ xdx − ∫ − xdx 50 50 50 ⇒ f ( x) = ⇒∫ ( ) ta  2 f ( x ) + f ( − x ) = − x   3 f ( x ) + f ( − x ) = x ( ) *Xét I = ∫ xdx Đặt u = x ⇒ u = x ⇒ dx = 2udu Đổi cận: x = ⇒ u = ; x = ⇒ u = 1 2u ⇒ I = ∫ u du = = 3 *Xét J = ∫ − x dx Đặt v = − x ⇒ v = − x ⇒ dx = −2vdv Đổi cận: x = ⇒ v = ; x = ⇒ v = 1 2v ⇒ J = −2∫ v dv = 2∫ v dv = = 3 2 ⇒ ∫ f ( x ) dx = − = 5 15 49 π x sin 2018 x I = ∫ 2018 dx sin x + cos 2018 x Câu 270 Xét tích phân Đặt x = π − t ⇒ d x = − d t Khi x = t = π Khi x = π t = π ( π − t ) sin 2018 ( π − t ) ( π − x ) sin 2018 x d x d t = 2018 ∫0 sin 2018 x + cos 2018 x ( π − t ) + cos 2018 ( π − t ) π sin Ta có I = −∫ π π sin 2018 x x sin 2018 x d x − dx 2018 2018 2018 2018 ∫ sin x + cos x sin x + cos x 0 =π∫ π sin 2018 x = π ∫ 2018 dx−I sin x + cos 2018 x π π sin x dx 2018 ∫ sin x + cos 2018 x I= Suy π J =∫ Xét tích phân π − π J =−∫ 2018 sin x dx sin x + cos 2018 x 2018 π x = −u ⇒ d x = −du Đặt π x= u = Khi π t=− Khi x = π Nên 2018 π  sin 2018  − u ÷   cos 2018 x du = ∫ dx π  π  2018 x + cos 2018 x sin 2018  − u ÷+ cos 2018  − u ÷ π sin − 2  2  cos 2018 x f ( x) = sin 2018 x + cos2018 x hàm số chẵn nên: Vì hàm số ∫π − 2018 π cos x cos 2018 x d x = ∫0 sin 2018 x + cos2018 x d x sin 2018 x + cos 2018 x Từ ta có:  π2  π 2018 2018 π sin x sin x  ÷ =  ∫ 2018 d x + ∫ 2018 d x÷ ππ sin 2018 x 2018 2018 I = ∫ 2018 d x  sin x + cos x x + cos x π sin ÷ sin x + cos 2018 x   π π   π 2 sin 2018 x cos 2018 x ÷ =  ∫ 2018 d x + ∫ 2018 d x÷ 2018 2018  sin x + cos x sin x + cos x ÷   50 = π π π sin x + cos x π π2 d x = d x = ∫0 sin 2018 x + cos 2018 x ∫0 2018 2018 Như a = , b = Do P = 2a + b = 2.2 + = Câu 271 Theo ta có hàm số f ( x ) đồng biến [ 0; 2] ⇒ f ( x ) ≥ f ( ) = > f ( x ) > ∀x ∈ [ 0; ]  f ′ ( x ) ′ f ′′ ( x ) f ( x ) −  f ′ ( x )    = f ( x)   f ( x )   Ta có  f ( x )  − f ( x ) f ′′ ( x ) +  f ′ ( x )  = Theo đề  2  f ′ ( x ) ′ ⇒  =1 ⇒ f ′′ ( x ) f ( x ) −  f ′ ( x )  =  f ( x )   f ( x)  ⇒ 2 f ′( x) f ′( x)  x2 2 = x+C ⇒ ∫ dx = ∫ ( x + C ) dx ⇒ ∫ d ( f ( x ) ) =  + Cx ÷ f ( x) f ( x) f ( x)  0 0 ⇒ ln f ( x ) = + 2C Do Câu 272 ln f ( x ) ⇒ ln e − ln = + 2C ⇒ C = x f ′ ( x ) ( + f ( x) ) f ( x ) = f ( x ) + f ( − x ) f ( x ) + f ( − x ) f ( x ) = f ( x ) + f ( x ) + = ( f ( x ) + 1) I =∫ f ′( x) = x+2 f ( x)  x2 1 =  + x ÷ ⇒ ln f ( 1) =  0 ⇒ f ( 1) = e ( + f ( − x) ) ⇒ dx u = x du = dx   f ′( x) ⇒ dv = d x v=−   1+ f ( x) ( 1+ f ( x) )  Đặt  3 −x dx −3 I= +∫ = + I1 + f ( x ) 0 + f ( x ) + f ( 3) ⇒ f ( 3) = 2 Đặt t = − x ⇒ dt = −dx Đổi cận x = ⇒ t = x =3⇒t = f ( 0) = 51 3 dt I1 = ∫ = + f ( − t ) ∫0 I1 = ∫ + f ( x) + f ( x) I = −1 + Vậy f ( x ) dx dx =∫ 1+ f ( x) 1+ f ( x) dx = ⇒ I1 = 3 = 2 - Đặt t = a − x ⇒ dx = −dt ; đổi cận: x = ⇒ t = a , x = a ⇒ t = Câu 273 a a a a 1 ⇒I =∫ dx = ∫ dt = ∫ dx + f ( x) 1+ f ( a − t ) + f ( a − x) 0 =∫ 1+ f ( x) a a a f ( x) 1+ f ( x) dx + ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx a = x0 =a + f ( x) + f ( x) + f ( x) 0 0 dx a =∫ f ( x) + f ( x) dx a ⇒ 2I = ∫ Vậy I= a Câu 274 Ta có π π 0 ∫ f ′ ( x ) sin xdx = ∫ sin xdf ( x ) =  f ( x ) sin x  π π − ∫ f ( x ) d sin x π π   π  = f  ÷sin  ÷− f ( ) sin ( 2.0 ) − ∫ f ( x ) cos xdx 4  4 π π π  = f  ÷− ∫ f ( x ) cos xdx = −2 ∫ f ( x ) cos xdx 4 0 π Do ∫ f ( x ) cos xdx = π π π π 1 1 4 π cos x d x = + cos x d x = x + sin x ( )  ÷ = ∫0 ∫0  0 Mặt khác: Bởi vậy: π π π 0 ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) cos xdx + ∫ cos 2 xdx = π π π − + 8 π ⇔ ∫  f ( x ) − f ( x ) cos x + cos 2 x  dx = 0 π ⇔ ∫  f ( x ) − cos x  dx = ⇒ f ( x ) = cos x Nên: 52 π I=∫ Câu 275 π π 1 f ( x ) dx = ∫ cos xdx = sin x = 4 0 y = f ( x) - Đặt f ( x + 1) = y + Khi từ giả thiết ta có : , y +1   f ÷=  x +  ( x + 1) ,  y +1  f − ÷= −  x +1  ( x + 1)  x      = − y +1 + = x + 2x − y f + 1÷ = f  − ÷= f  − ÷+ ( x + 1) ( x + 1) ( 1)  x +1   x +1 Suy  x +  y x2 + y  x +1  1 1 f = f + = + f = + = ÷  ÷  ÷ x2  x  x x2 , Và  x     ÷=  x  f ÷= f  x + ÷  x +1   ÷  x   x +1  x2 + y f ÷  x = x2 2  x +1   x +  = x + y2  ÷  ÷ ( x + 1)  x   x  x2 + 2x − y = ( 2) x2 + y ( x + 1) ⇒ x + x − y = x + y ⇒ y = x hay f ( x ) = x - Từ ( 1) ( ) suy : ( x + 1) 1 1 f ( x) d ( x + 1) x I =∫ dx = ∫ dx = ∫ = ln ( x + 1) = ln ≈ 0,35 f x + x + x + ( ) 0 0 Do đó: Vậy I ∈ ( 0;1) 2 53 ... 20 18 π cos x cos 20 18 x d x = ∫0 sin 20 18 x + cos20 18 x d x sin 20 18 x + cos 20 18 x Từ ta có:  π2  π 20 18 20 18 π sin x sin x  ÷ =  ∫ 20 18 d x + ∫ 20 18 d x÷ ππ sin 20 18 x 20 18 20 18 I = ∫ 20 18. .. 20 18  − u ÷   cos 20 18 x du = ∫ dx π  π  20 18 x + cos 20 18 x sin 20 18  − u ÷+ cos 20 18  − u ÷ π sin − 2  2  cos 20 18 x f ( x) = sin 20 18 x + cos20 18 x hàm số chẵn nên: Vì hàm số. .. sin 20 18 x + cos 20 18 x ( π − t ) + cos 20 18 ( π − t ) π sin Ta có I = −∫ π π sin 20 18 x x sin 20 18 x d x − dx 20 18 20 18 20 18 20 18 ∫ sin x + cos x sin x + cos x 0 =π∫ π sin 20 18 x = π ∫ 20 18 dx−I