Tích phân ngẫu nhiên đối với Martingale: Luận văn ThS. Toán học: 60 46 15

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN VĂN TÍNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN ĐỐI VỚI MARTINGALE LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN VĂN TÍNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN ĐỐI VỚI MARTINGALE Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60.46.15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG Hà Nội - 2011 Mục lục Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Khơng gian Lp tính đo 1.2 Hàm biến phân bị chặn tích phân Stieltjes 1.3 Không gian xác suất,biến ngẫu nhiên,lọc 1.4 Điều kiện hội tụ 1.5 Quá trình ngẫu nhiên 1.5.1 Các định nghĩa 1.5.2 Hai trình ngẫu nhiên quan trọng 1.6 Thời điểm dừng 1.7 Kỳ vọng có điều kiện tính chất 1.7.1 Các định nghĩa kỳ vọng có điều kiện 1.7.2 Các tính chất kỳ vọng có điều kiện 1.8 Martingale Tích phân ngẫu nhiên L2 -Martingale 2.1 Các tập hợp q trình dự đốn 2.2 Khoảng thời gian ngẫu nhiên 2.3 Độ đo tập hợp dự đoán 2.4 Định nghĩa tích phân ngẫu nhiên 2.5 Mở rộng phép lấy tích phân hàm lấy tích phân 7 10 11 11 13 15 16 17 17 18 26 28 29 32 34 42 Cơng thức Ito 47 3.1 Q trình biến phân bậc hai tính chất 47 3.1.1 Định nghĩa đặc trưng biến phân bậc hai 48 3.1.2 Tính chất biến phân bậc hai L2 -Martingale 51 i 3.2 3.3 3.1.3 Định lý giới hạn Công thức Ito chiều Ứng dụng công thức Ito 3.3.1 Đặc trưng chuyển động Brown 3.3.2 Quá trình mũ 3.3.3 Một họ Martingale sinh M 54 56 59 59 62 65 Kết luận 71 Tài liệu tham khảo 72 LỜI NĨI ĐẦU Giải tích ngẫu nhiên ngày đóng vai trị quan trọng lý thuyết xác suất - thống kê đại, có ứng dụng rộng rãi tất lĩnh vực khác công nghệ thông tin, công nghệ viễn thơng, kinh tế, thị trường chứng khốn, bảo hiểm, dự báo rủi ro, nông nghiệp.Và giảng dạy hầu hết trường đại học ngồi nước, thu hút nhiều nhà khoa học khơng ngừng nghiên cứu phát triển Trong tích phân ngẫu nhiên khái niệm quan trọng giải tích ngẫu nhiên Từ khái niệm người ta xây dựng nên loại tích phân ngẫu nhiên Martingale,mở rộng tích phân Ito, chúng có ý nghĩa mặt lý thuyết ứng dụng Do nhà toán học nhà kinh tế nghiên cứu phát triển Phạm vi luận văn hệ thống lại số kết có tìm hiểu thêm tính chất tích phân ngẫu nhiên, xem xét số ứng dụng tích phân ngẫu nhiên, khái quát lại kiến thức giải tích ngẫu nhiên sở bước đầu tìm hiểu tích phân ngẫu nhiên Martingale Luận văn chia làm chương cụ thể sau: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày kiến thức sở cần cho chương tiếp theo.Trọng tâm là: Martingale, martingale liên tục, martingale liên tục phải, martingale địa phương, martingale liên tục phải địa phương Chương 2: Tích phân ngẫu nhiên Nghiên cứu tập hợp q trình dự đốn được, khoảng thời gian ngẫu nhiên, độ đo tập dự đốn được, mở rộng phép lấy tích phân hàm lấy tích phân địa phương Chương 3: Cơng thức Ito Tìm hiểu biến phân bậc hai tính chất biến phân bậc hai, công thức Ito ứng dụng cơng thức Ito Tuy có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên vấn đề luận văn chưa trình bày sâu sắc khơng thể tránh khỏi có sai sót cách trình bày Mong bảo thầy góp ý xây dựng bạn bè đồng nghiệp Em xin chân thành cảm ơn! Hà nội, ngày 10 tháng năm 2011 Học viên Nguyễn Văn Tính Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Lp tính đo Giả sử (S, Σ) không gian đo được, gồm tập hợp S khác rỗng σ- trường Σ tập S Một hàm X : S → Rd gọi Σ- đo X −1 (A) ∈ Σ với tập Borel A Rd , X −1 kí hiệu nghịch ảnh Một định nghĩa giữ nguyên tương tự hàm ¯ = [−∞, ∞] Ta sử dụng X ∈ Σ có nghĩa " X Σ- đo X :S→R " X ∈ bΣ có nghĩa ” X bị chặn Σ đo " Nếu Γ họ Σ, hàm X : S → Rd gọi Γ- đơn giản X = nk=1 ck 1Λk với ck số Rd , tập hợp Λk ∈ Γ, n ∈ N Một hàm gọi Σ-đo Ngược lại hàm Σ- đo giới hạn theo điểm dãy hàm Σ-đơn giản Ví dụ : Một hàm Σ-đo X : S → R giới hạn theo điểm dãy {X n } hàm Σ-đơn giản xác định bởi: n2n Xn = k=0 −n2n k 1{k2−n 2n + k=−1 X lim P [|Xn − X| > ε] → n→∞ Định nghĩa 1.4.2 Dãy biến ngẫu nhiên Xn gọi hội tụ hầu chắn đến biến ngẫu nhiên X tồn tập A có xác suất không cho Xn (ω) → X(ω) với 10 ω∈ /A [0, t]2 supj | 1jn (ω)| supj | 2jn (ω)| tiến đến không n → ∞ Từ tính chất 1jn (ω) điều kiện s → ∂f ∂y (Ms , Vs )(ω) từ s → Vs (ω) biến phân bị chặn [0, t] hầu hết ω có tính chất sau đây: t ∂f (Mtjn , Vtjn ) + ∂y j jn ∂f (Ms , Vs )dVs ∂y (Vt(j+1)n − Vtjn ) → hầu chắn n → ∞ Từ tính chất 2jn (ω) từ j (Mt(j+1)n − Mtjn )2 → [M ]t theo xác suất ,khi n → ∞ Theo định lý 3.1.1 (ii), có tính chất sau đây: j 2jn (Mt(j+1)n − Mtjn )2 → theo xác suất ,khi n→∞ Chứng minh hoàn thành hai bước: Đầu tiên ta chứng minh M − M0 , ∂∂xf2 , bị chặn, số hạng (3.15) kéo theo hai đạo hàm hội tụ theo xác suất, tới số hạng xấp xỉ (3.12) Thì ta mở rộng (3.12) tới trường hợp tổng quát xấp xỉ hàm f , đạo hàm riêng bị chặn dùng dãy địa phương hóa M V ∂2f Giả sử M − M0 , ∂f ∂x , ∂x2 bị chặn µM độ đo hữu hạn P Đối với n, trình X n xác định Xn = j ∂f ∂f (Mtjn , Vtjn )1[tjn ,t(j+1)n ] + (M0 , V0 )1{0}×Ω ∂x ∂x dự đoán dãy {X n } hội tụ theo điểm R+ × Ω tới 1[0,t] ∂f ∂x (M, V ) hội tụ bị chặn L Bởi phép đẳng cự từ dM = d(M − M0 ) ta có: t j ∂f (Mtjn , Vtjn )(Mt(j+1)n − Mtjn ) = ∂x ∂f (Ms , Vs )dMs ∂x Xsn dMs → Trong L2 n → ∞ Cũng theo định lý 3.1.3 với Y = ∂2f ∂x2 (M, V có j t ∂ 2f (Mtjn , Vtjn )(Mt(j+1)n − Mtjn )2 → ∂x 58 ∂ 2f (Ms , Vs )d[M ]s ∂x2 ), ta theo xác suất n → ∞ Điều biểu diễn (3.15) hội tụ theo xác suất tới phía bên phải (3.12) (3.12) cố định hầu chắn Vì ta có chứng minh định lý M − M0 , ∂f ∂x , ∂ f ∂x2 bị chặn Để mở rộng đến trường hợp tổng quát, n cho gn hàm giá trị thực liên tục R2 cho gn = f hình vng Cn = [−(n + 1), (n + 1)] × [−(n + 1), (n + 1)], 2 n ∂ gn ∂gn Và ∂g ∂x , ∂x2 , ∂y tồn liên tục bị chặn R Cho τn = inf{t > n : |Mt − M0 | ∧ |Vt | > n} M n = {Mt∧τn , t ∈ R+ } Thì M n − M0n , ∂g ∂x ∂∂xg2n bị chặn Do (3.12) giữ nguyên với M n , gn , t ∧ τn , thay vị trí M, f , t tương ứng Vì ta có hầu chắc với t t∧τn ∂gn (Ms , Vs )dMs ∂x gn (Mt∧τn , Vt∧τn ) − gn (M0 , V0 ) = t∧τn ∂gn (Ms , Vs )dVs ∂y + (3.16) t∧τn + ∂ gn (Ms , Vs )d[M ]s ∂x2 Đối với t không đổi, τn > t với n đủ lớn phụ thuộc vào ω, n vậy, (3.16) giữ nguyên Với t ∧ τn thay t gn thay f (3.12) thay (3.16) n → ∞ 3.3 3.3.1 Ứng dụng công thức Ito Đặc trưng chuyển động Brown Định lý 3.3.1 Một trình M chuyển động Brown R martingale địa phương liên tục với biến phân bậc hai [M ] cho: [M ]t = t hầu chắn với t 59 (3.17) Chứng minh Nếu phần hệ trực tiếp định nghĩa chuyển động Brown thí dụ sau định lý 3.1.1 Ngược lại, giả sử M martingale địa phương liên tục cho (3.17) giữ nguyên Gọi {τk } dãy địa phương hóa M cho {Mt∧τk − M0 , t ∈ R+ } L2 - martingale với k Thì cách áp dụng (3.2) M − M0 từ [M − M0 ] = [M ]t , ta t∧τk (Mt∧τk − M0 )2 = (Ms − M0 )d(Ms − M0 ) + [M ]t∧τk Bằng cách lấy kỳ vọng ,dùng định lý 3.1.2 (ii) điều giả định [M ] ,ta kết luận E (Mt∧τk − M0 )2 = E(t ∧ τk ) t Do sup k vế trái đẳng thức bị chặn {Mt∧τk − M0 , k ∈ N} khả tích đều, mệnh đề 1.4.1 Điều cho mệnh đề 1.8.13 mà M − M0 martingale cách áp dụng bổ đề Fatou đẳng thức mà Mt − M0 ∈ L2 với t Do M − M0 L2 -martingale Với α ∈ R, cho φα hàm giá trị phức xác định φα (x) = eiαx với x R Bằng cách áp dụng định lý 3.2.1 để phần thực ảo φα tách ra, ta thấy công thức Ito cố định φα M − M0 Vì ta có hầu chắn t φα (Mu − M0 )d(Mu − M0 ) φα (Mt − M0 ) − φα (0) = + 21 t φα (Mu − M0 )d[M ]u Đó hầu chắn t exp(iα(Mt − M0 )) − = iα exp(iα(Mu − M0 ))d(Mu − M0 ) (3.18) t α2 − exp(iα(Mu − M0 ))du 60 Đoạn sử dụng để hiển thị cho τ s mà Ms+τ − Ms độc lập Fs biến phân phân bố bình thường ,với trung bình khơng phương sai τ Trong phần đây, hàm giá trị phức N xác định R+ × Ω gọi martingale phần thực phần ảo N martingale Trong dạng tương tự, kỳ vọng có điều kiện hàm giá trị phức Ω tổng kỳ vọng có điều kiện phần thực thời gian i phần ảo hai xác định Từ M − M0 L2 - martingale exp(iα(M − M0 )) bị chặn, theo sau từ định lý 2.4.3 mà tích phân ngẫu nhiên (3.18) xác định martingale có kỳ vọng khơng Vì τ s F ∈ Fs , lấy kỳ vọng (3.18) F , t = s + τ t = s trừ kết phương trình E{1F (exp(iα(Ms+τ − M0 )) − exp(iα(Ms − M0 )))}   s+τ   α exp(iα(Mu − M0 ))du = − E 1F   (3.19) s Cho ψ(u) = E{1F (exp(iα(Ms+τ − M0 )))} Thì thay đổi biến số phía bên phải (3.19) định lý Fubini ta có τ ψ(τ ) − ψ(0) = − α ψ(u)du (3.20) Hàm ψ liên tục M Sau cách phân tích , (3.20) thỏa mãn: ψ(τ ) = ψ(0)exp(− α2 τ ) Từ F ∈ Fs tùy ý,nó có tính chất sau E(exp(iα(Ms+τ − M0 ))|Fs ) = exp iα(Ms − M0 ) − α2 τ E(exp(iα(Ms+τ − Ms ))|Fs ) = exp(− α2 τ ) 61 (3.21) Cho Y = Ms+τ − Ms , Z ∈ Fs β ∈ R Thì (3.21) E(exp(iαY )) = exp(− α2 τ ) E(exp(i(αY + βZ))) = exp(− 21 α2 τ )E(exp(iβZ)) = E(exp(iαY ))E(exp(iβZ)) Y Z độc lập ,và Y độc lập Fs Vì ta chứng tỏ τ s Mà Ms+τ − Ms độc lập Fs hàm đặc trưng α → exp(− 21 α2 τ ) Do biến phân bình thường với trung bình khơng phương sai τ ,theo M có tính chất (i) (ii) xác định chuyển động Brown R 3.3.2 Quá trình mũ Áp dụng công thức Itô, ta chứng minh với martingale địa phương liên tục M với trình biến phân A, trình mũ Z α = {exp(αMt − 12 α2 At ), t ∈ R+ } martingale địa phương liên tục với α ∈ R Ngược lại kết chứng minh, chứng minh không sử dụng công thức Itô Hơn nữa, ta cho điều kiện xác định "địa phương" bỏ qua Định lý 3.3.2 Cho M A q trình thích ứng liên tục cho A tăng A0 = Đối với α ∈ R, cho Z n trình xác định Ztα = exp αMt − α2 At ) Khi hai khẳng định sau tương đương (i) M martingale địa phương [M ] = A (ii) Với α ∈ R, Z α martingale địa phương Hơn nữa, M L2 -martingale với [M ] = A α cho Z0α ∈ L2  t  E  (Zsα )2 dAs  < ∞ với t 62 (3.22) Thì Z α L2 -martingale Ngược lại hai điều kiện sau thỏa mãn (a) Biến ngẫu nhiên At bị chặn với t, (b) Có α0 > cho E(exp(α0 |Mt |)) < ∞ với t Z α martingale với |α| 21 α0 M L2 -martingale với [M ] = A Chứng minh Giả sử (i) cố định Để chứng minh (ii) theo sau, ta áp dụng công thức Ito với f (x, y) = exp(αx − 12 α2 y) ta hầu chắn t t f (Mt , At ) − f (M0 , A0 ) = αf (Ms , As )dMs + 0 + 12 − α2 f (Ms , As ) dAs t α2 f (Ms , As )dAs Sự rút gọn tới t Ztα − Z0α = α Zsα dMs (3.23) Từ Z α trình liên tục, có tính chất sau Từ định lý 2.5.3 mà phía bên phải (3.23) martingale địa phương Z α martingale địa phương Nếu M thực L2 -martingale (3.22.) cố định, từ (3.6) mà Z α ∈ Λ2 (P, M ) hệ tích phân ngẫu nhiên (3.23) L2 -martingale Vì Z α , Z0α ∈ L2 Một điều kiện thỏa mãn (3.22) sau t E exp(2αMs )dAs < ∞ với t Với chứng minh (ii) thỏa mãn (i) ,ta dùng bổ đề sau mà cho điều kiện đủ M trở thành L2 -martingale Bổ đề 3.3.3 Giả sử với điều kiện (a) (b) định lý 3.3.2 Thì M L2 -martingale với [M ] = A Chứng minh Có số K > cho |α| |x − αy|exp αx − α2 y (x − αy)2 exp αx − α2 y 63 Kexp(α0 |x|) Kexp(α0 |x|) α0 (3.24) với x ∈ R y ∈ R+ Với martingale ta có α0 , từ Z α exp αMt − α2 At dP (3.25) s < t, F ∈ Fs |α| exp αMs − α2 As dP = F F Bởi đẳng thức (3.24) bị chặn As At , thực tế E(exp(α0 |Mr |)) hữu hạn với r = s r = t, ta khẳng định phép vi phân hai lần với lưu ý α dấu tích phân (3.25) Lấy vi phân lần cho (Ms − αAs )exp αMs − α2 As dP F (Mt − αAt )exp αMt − α2 At dP = F hai lần cho {(Ms − αAs )2 − As }exp αMs − α2 As dP F {(Mt − αAt )2 − At }exp αMt − α2 At dP = F Bằng tập hợp α = biểu thức ta được: Ms dP = F Mt dP (3.26) {(Mt )2 − At }dP (3.27) F {(Ms )2 − As }dP = F F Từ (3.26), (3.27) điều kiện (a) M L2 -martingale, từ (3.27) mà (M )2 − A martingale Do tính phân tích (M )2 ta kết luận [M ] = A 64 Bây ta quay trở lại để chứng minh (ii) thỏa mãn (i) Giả sử Z α martingale địa phương với α ∈ R Với k ∈ N, cho τk = inf{t > : |Mt | ∨ |At | > k} , Mtk = Mt∧τk − M0 Akt = At∧τk α Thì Zt∧τ − Z0α martingale bị chặn hệ là: k Ztα,k ≡ exp αMtk − 21 α2 Akt α = (Zt∧τ − Z0α )exp(−αM0 )1{τk >0} + k Từ M k Ak bị chặn, ứng dụng bổ đề 3.3.3 cho Z α,k , ta kết luận M k L2 -martingale với [M k ] = Ak theo sau M martingale địa phương với {τk } dãy địa phương hóa Hơn từ Mtk = (M − M0 )t∧τk [M − M0 ] = [M ], ta có [M k ]t = [M ]t∧τk Cho k → ∞ dùng[M k ] = Ak , ta A = [M ] 3.3.3 Một họ Martingale sinh M Trong chứng minh bổ đề 3.3.3, ta nhận thấy điều kiện trình bày đây: dZ α dα =M α=0 d2 Z α dα2 = M2 − A α=0 martingale Tiếp theo ta mở rộng kết tới đạo hàm có cấp cao Điều cung cấp cho ta với kỹ thuật cho đa thức sinh M A martingale Kí hiệu: Với n ∈ N0 cho Hn (x, y) biểu thị hàm đa thức x y xác định dn Hn (x, y) = n exp αx − α2 y dα 65 α=0 Thì exp αx − α2 y ∞ = n=0 αn Hn (x, y) n! với α R Định lý 3.3.4 Cho M A trình thích nghi liên tục cho A tăng A0 = Giả sử điều kiện (a) (b) định lý 3.3.2 thỏa mãn Thì với n ∈ N0 , Hn (M, A), martingale Chứng minh Với n = 0, H0 (M, A) ≡ rõ ràng martingale Cho n ∈ N Thì có số Kn > cho với |α| 21 α0 , x ∈ R y ∈ R+ |x − αy|m exp αx − 21 α2 y Kn exp(α0 |x|) ,với m= 1,2, ,n Sau bổ đề 3.3.3 phép lấy vi phân dấu tích phân (3.25) cho tập α = mà dn Z α dαn = Hn (M, A) α=0 martingale Đa thức Hn (x, y) có quan hệ tới đa thức Hermite hn (x) công thức y Hn (x, y) = ( ) n hn (x/ 2y) (3.28) Thí dụ: H0 (x, y) = 1, H1 (x, y) = x, H2 (x, y) = x2 − y, H3 (x, y) = x3 − d 3xy, H4 (x, y) = x4 −6x2 y+3y Từ công thức đệ quy biết dz hn (z) = 2nhn−1 (z) với n ∈ N Sau cho n ∈ N ∂ Hn (z) = 2nHn (z) với n ∈ N ∂y ∂ n nz Hn (x, y) = Hn (x, y) − Hn−1 (x, y) với n ∈ N ∂y 2y 2y Bằng cách dùng công thức đệ quy từ (3.29) 66 (3.29) (3.30) hn (z) = 2zhn−1 (z) − 2(n − 1)hn−2 (z) với n= 2,3, số hạng Hn Hn (x, y) = xHn−1 (x, y) − (n − 1)yHn−2 (x, y) với n= 2,3, ta thỏa mãn (3.30) để ∂ n(n − 1) Hn (x, y) = − Hn−2 (x, y) với n= 2,3, ∂y (3.31) Do (3.29) (3.31) ta có ∂2 ∂ Hn (x, y) + Hn (x, y) = với n= 2,3, ∂y ∂x2 (3.32) Điều kiện định lý 3.3.4 ,khi M0 = ta có cơng thức Ito t Hn (Mt − At ) − Hn (0, 0) = ∂ ∂x Hn (Ms , As )dMs t + t + ∂ ∂y Hn (Ms , As )dAs ∂2 ∂x2 Hn (Ms , As )dAs Rút gọn điều (3.29), (3.32) thực tế Hn (0, 0) = với n n = 2, 3, t nHn−1 (Ms , As )dMs Hn (Mt , At ) = Từ H1 (Mt , At ) = Mt theo sau phép quy nạp mà n ∈ N t tn−1 Hn (Mt , At ) = n! t1 0 dMs dMt1 dMtn−1 (3.33) Vì ta hồn thành định lý 3.3.4 Định lý 3.3.5 Giả sử điều kiện định lý 3.3.4 giữ nguyên M0 = Thì với n ∈ N martingale Hn (M, A) cho tích phân ngẫu nhiên tức là, Hn (Mt , At ) cho (3.33) 67 t Xs dBs B Bây ta có minh họa kết Mt = chuyển động Brown R X B × F - q trình thích nghi đo bị chặn , X µ ˜B - hầu khắp nơi ,bằng q trình dự đốn bị chặn với tích phân ngẫu nhiên Vì thỏa mãn để xét X dự đốn bị chặn Ví dụ Cho B chuyển động Brown R Thường cho {Ft , t ∈ R+ } lọc liên kết với B, P biểu thị lớp tập hợp dự đoán Từ dB = d(B −B0 ), ta giả sử B0 = Cho X trình dự đoán bị chặn Giả sử C > cho |X|2 C Thì X ∈ Λ2 (P, B) t M = { Xs dBs , t ∈ R+ } L2 -martingale liên tục thực [B]s = s, biến phân bậc hai M cho bởi: t (Xs )2 ds [M ]t = Do X bị chặn, [M ]t Ct với t Bằng định lý 3.3.2, với α ∈ R, Z α = exp(αM − α2 [M ]) martingale địa phương Từ Z α dương ,bởi bổ đề Faton mà {τk } dãy địa phương hóa Z α α E(Ztα ) = E( lim Zt∧τ ) k k→∞ α lim inf E(Zt∧τ ) k k→∞ α E(Zt∧τ ) = E(Z0α ) = 1, kết hợp điều với [M ]t k E [exp(αMt )] = E exp exp α Ct E(Ztα ) Tiếp theo xét  t   Ct, ta α [M ]t Ztα 2 exp α Ct (3.34)  t E  (Zsα )2 d[M ]s  = E  (exp(2αMs − α2 [M ]s ))(Xs )2 ds 0  t CE  exp(2αMs )ds 68  Bằng cách áp dụng định lý Fubini vào hàng cuối dùng (3.34) với α thay 2α Ta có  t  E  (Zsα )2 d[M ]s  Ctexp(2α2 Ct) Vì điều kiện (3.22) định lý 3.3.2 thỏa mãn từ Z0α = , suy Z α L2 -martingale (3.34), α0 > ta có E(exp(α0 [Mt ])) E(exp(α0 Mt ) + exp(−α0 Mt ) 2exp( α02 Ct) (3.35) Vì giả thiết định lý 3.3.4 thỏa mãn Hn (M, [M ]) martingale với n ∈ N0 Theo định lý 3.3.5 ta có phép biểu diễn sau với n ∈ N  t  t tn−1 Hn (Mt , [M ]t ) = n! Xs dBs  Xt1 dBt1 dBtn−1 . 0 Trong thực tế, ta chứng minh, Hn (M, [M ]) L2 -martingale với n ∈ N0 Đối với k ∈ N E(|Mt |k ) k!E{exp([Mt ])} 2k!exp Ct Ở bất đẳng thức thứ hai xác định (3.35),[M ]t Do k m N0 Ct E(|Mt |k )(|M |t )m )) < ∞ Từ Hn (Mt , [M ]t ) hàm đa thức Mt [M ]t , E(|Hn (Mt , [M ]t )|2 ) bị chi phối tổ hợp tuyến tính hữu hạn số hạng tạo thành hữu hạn Điều chứng minh Hn (M, [M ]) L2 -martingale với n ∈ N0 Tóm lại ta q trình dự đốn bị chặn X t1 mà M = { Xs dBs , t ∈ R+ },Z α = exp(αM − 21 α2 [M ]) , Hn (M, [M ]) 69 L2 -martingale liên tục với α ∈ R n ∈ N0 Một ứng dụng kết này, ta đưa ví dụ cho n = làm người ta có giới hạn M cách sử dụng thực tế Hn (M, [M ]) martingale Với n = ta có: H4 (Mt , [M ]t ) = (Mt )4 − 6(Mt )2 [M ]t + 3([M ]t )2 Và cách lấy kỳ vọng ta = E{(Mt )4 − 6E{(Mt )2 [M ]t } + 3E{([M ]t )2 } Vì E{(Mt )4 } 6E{(Mt )2 [M ]t } E{(Mt )4 }E{([M ]t )2 } ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz để bất đẳng thức thứ hai cách chia hai vế cho E{(Mt )4 } (khi khác không), ta E{(Mt )4 } 36E{([M ]t )2 } Do    E    t 4    Xs dBs     2  t     36E  (Xs ) ds     70 36C t2 (3.36) KẾT LUẬN Tích phân ngẫu nhiên Martingale đề tài rộng khó, nhiên khn khổ luận văn Thạc sĩ chúng tơi trình bầy số kết quan trọng tích phân ngẫu nhiên Martingale tập hợp q trình dự đoán được, khoảng thời gian ngẫu nhiên, độ đo tập hợp dự đoán được, martingale liên tục, martingale liên tục phải, để từ xây dựng tích phân ngẫu nhiên sở Đặc biệt nghiên cứu tích phân ngâu nhiên L2 martingale liên tục phải liên tục phải địa phương Từ mở rộng phép lấy tích phân hàm lấy tích phân cần Bên cạnh luận văn cịn trình bầy đặc điểm nêu tính chất biến phân bậc hai Ngồi luận văn cịn trình bầy cơng thức Ito chiều, ứng dụng công thức Ito Đặc biệt nũa phép lấy tích phân với mối quan hệ tới chuyển động Brown, trình mũ Tuy nhiên Martingale không liên tục Lp - martingale liên tục với p > tìm điều kiện , cách chứng minh , xây dựng tích phân ngẫu nhiên chúng khó khăn phức tạp Với phạm vi thời gian cho phép tác giả không sâu vào vấn đề hướng muốn nghiên cứu tiếp 71 Tài liệu tham khảo [1] Đặng Hùng Thắng,” Q trình ngẫu nhiên tính tốn ngẫu nhiên ”, NXB - Đại học Quốc gia Hà Nội ,2006 [2] Billinglsley,P.,Convergence of Probability Measures,John Wiley and Sons,New York,1968 [3] Chung,K.L.,A Course in Probability Theory,2nd ed., New York,1974 [4] Chung,K.L.„and Li P,.Lectures from Markov Processes to Brownian Motion,Springer-Verlag,New York,1982 [5] Chung,K.L.,and Li,P.," Comparison of probability and eigen-value methods for the Schră odinger equation” ,to appear in Advances in Applied Mathematics [6] Coddington,E,A,An Introduction to Ordinary Differential Equations, Prentice-Hall,New Jersey,1961 [7] Dellacherie,C.,and Meyer,P.A., Probabilities and potentiel,,Vol I, North-Holland,Amsterdam,1978 [8] K.L.Chung.,and R.J.Williams., introduction to stochastic integration, Birkhă auser Boston ã Basel ã Stuttgart,1983 [9] Musiela, M and Rutkowski, M (2005).Martingale Methods in Financial Modelling Springer, 2nd edition [10] Rogers, L C G and Williams, D (2000) Diffusions, Markov Processes and Martingales: Volume Two: Ito Calculus Cambridge University Press, 2nd edition 72