Tích phân đối với độ đo ngẫu nhiên ổn định và độ đo ngẫu nhiên Poiso : Luận văn ThS. Toán học: 60 46 15

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Chu Văn Sơn TÍCH PHÂN ĐỐI VỚI ĐỘ ĐO NGẪU NHIÊN ỔN ĐỊNH VÀ ĐỘ ĐO NGẪU NHIÊN POISSON LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Chu Văn Sơn TÍCH PHÂN ĐỐI VỚI ĐỘ ĐO NGẪU NHIÊN ỔN ĐỊNH VÀ ĐỘ ĐO NGẪU NHIÊN POISSON Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60 46 15 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG Hà Nội - Năm 2012 Mục lục Mở đầu Bảng ký hiệu viết tắt Phân bố ổn định phân bố Poisson 1.1 1.2 Biến ngẫu nhiên ổn định R 1.1.1 Các định nghĩa tương đương phân bố ổn định 1.1.2 Tính chất biến ngẫu nhiên ổn định 1.1.3 Biến ngẫu nhiên α-ổn định đối xứng 15 Phân phối ổn định nhiều chiều 16 1.2.1 Véc tơ ngẫu nhiên ổn định Rd 16 1.2.2 Hàm đặc trưng véc tơ ngẫu nhiên ổn định 21 1.2.3 Véc tơ ngẫu nhiên ổn định chặt véc tơ ngẫu nhiên ổn định đối xứng 23 1.3 Quá trình ngẫu nhiên ổn định 24 1.4 Biến ngẫu nhiên Poisson 26 Tích phân độ đo ngẫu nhiên ổn định 2.1 2.2 29 Định nghĩa tích phân ổn định q trình ngẫu nhiên ổn định 29 Định nghĩa cấu trúc tích phân ngẫu nhiên ổn định 34 2.2.1 Độ đo ngẫu nhiên α-ổn định 34 2.2.2 Định nghĩa cấu trúc tích phân ổn định 37 2.3 Tính chất tích phân độ đo ngẫu nhiên ổn định 42 2.4 Ví dụ 50 Tích phân độ đo ngẫu nhiên Poisson 55 3.1 Độ đo ngẫu nhiên Poisson 55 3.2 Tích phân độ đo ngẫu nhiên Poisson 58 3.3 Mở rộng tích phân độ đo ngẫu nhiên Poisson 61 3.4 Độ đo ngẫu nhiên Poisson quy tâm 65 Kết luận 70 Tài liệu tham khảo 71 MỞ ĐẦU Trong giải tích ngẫu nhiên, Tích phân ngẫu nhiên đóng vai trị quan trọng, phục vụ đắc lực cho việc tính tốn ngẫu nhiên, nghiên cứu trình ngẫu nhiên phương trình vi phân ngẫu nhiên Trong luận văn này, cố gắng trình bày cách có hệ thống định nghĩa tính chất tích phân độ đo ngẫu nhiên ổn định độ đo ngẫu nhiên Poisson mà lĩnh hội thời gian qua Các kết trình bày luận văn chủ yếu trình bày [9], [11], trình bày lại vấn đề tơi chứng minh chi tiết kết dựa sở chứng minh có, bổ sung thêm ví dụ minh họa Nội dung luận văn chia làm ba chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Nội dung chương gồm: +) Các định nghĩa tương đương biến ngẫu nhiên ổn định, biến ngẫu nhiên ổn định chặt biến ngẫu nhiên ổn định đối xứng tính chất biến ngẫu nhiên ổn định +) Định nghĩa tính chất biến ngẫu nhiên ổn định nhiều chiều +) Quá trình ngẫu nhiên ổn định +) Biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson Chương Tích phân ngẫu nhiên ổn định Nội dung chương gồm: +) Hai phương pháp định nghĩa tích phân ngẫu nhiên ổn định: • Định nghĩa tích phân ngẫu nhiên ổn định q trình ngẫu nhiên ổn định • Định nghĩa cấu trúc tích phân ngẫu nhiên ổn định +) Các tính chất tích phân ngẫu nhiên ổn định +) Một số ví dụ minh họa Chương Tích phân độ đo ngẫu nhiên Poisson Nội dung chương gồm: +) Định nghĩa tích phân độ đo ngẫu nhiên Poisson hàm f ∈ L1 (ν) mở rộng tới hàm thuộc L1,0 (ν) +) Độ đo ngẫu nhiên Poisson quy tâm tích phân độ đo ngẫu nhiên Poisson quy tâm Khi nghiên cứu đề tài nhận thấy nội dung đề tài có nhiều vấn đề khó, địi hỏi nhiều kiến thức sâu sắc giải tích ngẫu nhiên, trình độ thời gian cịn hạn chế nên luận văn cịn nhiều thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến phê bình bảo thầy phản biện độc giả Trong q trình học tập nghiên cứu tơi thầy GS TSKH Đặng Hùng Thắng cung cấp tài liệu tận tình hướng dẫn, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Thầy giúp đỡ q báu Tơi xin cảm ơn thầy khoa Tốn - Cơ - Tin học, đặc biệt thầy cô môn Xác suất - Thống kê truyền đạt cho nhiều kiến thức quý báu Cuối xin cảm ơn thành viên lớp cao học chuyên ngành Lý thuyết Xác suất Thống kê tốn học khóa 2009-2011 tổ chức buổi thảo luận để nâng cao trình độ chuyên môn, cảm ơn tất bạn bè đồng nghiệp có ý kiến đóng góp để luận văn hoàn thiện Hà Nội, ngày 25 tháng 04 năm 2012 Học viên Chu Văn Sơn BẢNG KÝ HIỆU VIẾT TẮT (Ω, F, P ) không gian xác suất (E, ε, m) không gian đo Sα (σ, β, µ) phân phối α-ổn định, số ổn định α, tham số σ, β, µ SαS phân phối α-ổn định đối xứng Poisson (λ) phân phối Poisson tham số λ T không gian hàm f : E → R đo thỏa mãn |f (x)|α m(dx) < ∞ α = E |f (x)β(x) ln |f (x)||m(dx) < ∞ α = E M độ đo ngẫu nhiên ổn định I(f ) tích phân hàm f độ đo ngẫu nhiên ổn định f (x)M (dx) tích phân hàm f độ đo ngẫu nhiên ổn định M E ξ độ đo ngẫu nhiên Poisson N (E) họ độ đo đếm E f (x)ξ(ω, dx) tích phân hàm f độ đo ngẫu nhiên Poisson ξ E Xf L1 (ν) tích phân hàm f độ đo ngẫu nhiên Poisson ξ     L1 (ν) = h : E → R, h đo được, |h|dν < ∞   E L1 (P ) L1 (P ) = X : Ω → R, X biến ngẫu nhiên, E[|X|] < ∞ L1,0 (ν) L1,0 (ν) = {f : E → R, |f | ∧ ∈ L1 (ν)} Chương Phân bố ổn định phân bố Poisson 1.1 1.1.1 Biến ngẫu nhiên ổn định R Các định nghĩa tương đương phân bố ổn định Định nghĩa 1.1.1 Một biến ngẫu nhiên X gọi có phân bố ổn định với số thực dương A, B tồn số thực dương C số D cho: d AX1 + BX2 = CX + D, (1.1) với X1 , X2 độc lập X Biến ngẫu nhiên X thỏa mãn (1.1) gọi ổn định chặt (1.1) với D = Biến ngẫu nhiên X gọi ổn định đối xứng phân bố đối xứng tức X −X có phân bố Một biến ngẫu nhiên ổn định đối xứng ổn định chặt Định lý 1.1.2 Với biến ngẫu nhiên ổn định X, có số thực α ∈ (0, 2] cho C (1.1) thỏa mãn C α = Aα + B α (1.2) Số α gọi số ổn định, biến ngẫu nhiên ổn định X có số ổn định α gọi biến ngẫu nhiên α-ổn định Ví dụ 1.1.3 Nếu X biến ngẫu nhiên Gaussian với trung bình µ phương sai v (S ∼ N (µ, v )) X ổn định với α = Vì AX1 + BX2 ∼ N ((A + B)µ, (A2 + B )v ), suy (1.1) thỏa mãn với C = (A2 + B ) D = (A + B − C)µ Định nghĩa 1.1.4 (Định nghĩa tương đương 1.1.1) Một biến ngẫu nhiên X gọi có phân bố ổn định với ∀n ≥ có số dương bn số thực an cho: d X1 + X2 + · · · + Xn = bn X + an , (1.3) với X1 , X2 , , Xn độc lập X Nếu X ổn định theo nghĩa 1.1.1 ổn định theo định nghĩa 1.1.4 Điều ngược lại Do định nghĩa 1.1.1 1.1.4 tương đương Định nghĩa 1.1.5 (Tương đương 1.1.1 1.1.4) Một biến ngẫu nhiên X gọi có phân bố ổn định có dãy biến ngẫu nhiên độc lập Y1 , Y2 , , Yn , hai dãy số dương {dn } {an } cho: Y1 + Y2 + · · · + Yn d + an ⇒ X dn (1.4) Định nghĩa 1.1.6 (Tương đương định nghĩa 1.1.1; 1.1.4; 1.1.5) Một biến ngẫu nhiên X gọi có phân bố ổn định có tham số < α ≤ 2, σ ≥ 0, −1 ≤ β ≤ số thực µ cho hàm đặc trưng cho công thức: E exp iθX =   exp −σ α |θ|α − iβsign(θ) tan   πα + iθµ (1.5)   exp −σ|θ| + iβ sign(θ) ln |θ| + iµθ π Tham số α gọi số ổn định    1 sign(θ) =   −1 α = 1, α = θ > 0, θ = 0, θ < Nhận xét: 1) Hàm đặc trưng (1.5) viết dạng E exp iθX = exp{σ α (−|θ|α + iθω(θ, α, β)) + iµθ}, với ω(θ, α, β) =  πα  β|θ|α−1 tan    α = 1,    −β ln |θ| π α = 2) Do hàm đặc trưng (1.5) đặc trưng tham số: α ∈ (0, 2]; σ ≥ 0; β ∈ [−1, 1] µ ∈ R Nên ta ký hiệu phân bố ổn định Sα (σ, β, µ) viết X ∼ Sα (σ, β, µ) Một số trường hợp đặc biệt: a) Phân bố Gaussian: S2 (σ, 0, µ) = N (µ, 2σ ), với hàm mật độ (x−µ) √ e− 4σ2 f (x) = 2σ π b) Phân bố Cauchy: S1 (σ, 0, µ) với hàm mật độ f (x) = 2σ π((x − µ)2 + 4σ ) Bởi mệnh đề 3.1.2 ta kết luận ξ(A1 ), ξ(A2 ), , ξ(Am ) biến ngẫu nhiên độc lập ξ(Ai ) ∼ P oisson(ν(Ai )) ∞ νi Mệnh đề 3.1.3 Giả sử ν1 , ν2 , dãy độ đo hữu hạn ε, ν = i=1 σ hữu hạn, với k = 1, 2, đặt ξk độ đo ngẫu nhiên với độ đo trung bình νk , n giả sử ξ1 , ξ2 , độc lập ξ = ξk độ đo ngẫu nhiên Poisson với k=1 độ đo trung bình ν Chứng minh Bởi mệnh đề 3.1.2 j ≥ tồn không gian xác suất (Ωj , Fj , Pj ) độ đo ngẫu nhiên Poisson ξj (Ωj , Fj , Pj ) với độ đo trung bình νj Xét khơng gian tích (Ω, F, P ) Ω = Ω1 × Ω2 × F = F1 × F2 × P = P1 × P2 × Chú ý biến ngẫu nhiên Xi xác định (Ωi , Fi , Pi ) coi biến ngẫu nhiên (Ω, F, P ) Xi (ω) = Xi (ωi ) Ta có: a) Với A ∈ ε i ≥ 1, ξi (A) ∼ P oisson(νi (A)); b) Nếu A1 , A2 , ∈ ε ξ1 (A1 ), ξ2 (A2 ), biến ngẫu nhiên độc lập; ∞ c) ξ(A) = ξi (A) độ đo ngẫu nhiên Poisson với độ đo trung bình ν i=1 a) b) có định nghĩa Với c), ý ξ độ đo đếm ε với điểm ω Hơn từ a) b) hệ 1.3.2 ta có ξ(A) ∼ P oisson(ν(A)) Bây giả sử B1 , B2 , ∈ ε, rời biến ngẫu nhiên ξ1 (B1 ), ξ2 (B1 ), , ξ1 (B2 ), ξ2 (B2 ), , ξ1 (Bn ), ξ2 (Bn ), độc lập Suy ξ(B1 ), ξ(B2 ), độc lập ξ độ đo ngẫu nhiên với độ đo trung bình ν Giả sử ν độ đo σ hữu hạn, định nghĩa, tồn tập rời Ei cho ∞ Ei ν(Ei ) < ∞ với i ≥ E= i=1 57 Với i ≥ 1, xét độ đo νi xác định ε công thức νi (A) = ν(A ∩ Ei ) ∞ νi mệnh đề 3.1.3 ta có kết luận sau: Mỗi độ đo νi hữu hạn ν = i=1 Hệ 3.1.4 Giả sử ν độ đo σ-hữu hạn ε, tồn độ đo ngẫu nhiên Poisson với độ đo trung bình ν 3.2 Tích phân độ đo ngẫu nhiên Poisson Đặt (Ω, F, P ) không gian xác suất, (E, ε) không gian đo, ν độ đo σ-hữu hạn (E, ε) Đặt ξ độ đo ngẫu nhiên Poisson với độ đo trung bình ν Với ω ∈ Ω, ξ(ω, ·) độ đo đếm ε Nếu f : E −→ R hàm đo với |f |dν < ∞ ta E ω −→ f (x)ξ(ω, dx) E R− biến ngẫu nhiên n cj 1Aj với n ∈ Đầu tiên xét hàm đơn giản f xác định E, f = j=1 N, c1 , c2 , , cn ∈ R A1 , A2 , , An ∈ ε cho ν(Aj ) < ∞ Với j ∈ {1, 2, , n}, Xf (ω) = f (x)ξ(ω, dx) E n = cj ξ(Aj ) j=1 biến ngẫu nhiên Chú ý E[Xf ] = E[|Xf |] ≤ f dν, E |f |dν, E 58 (3.1) đẳng thức xảy f ≥ Đặt không gian L1 (ν) =   |h|dν < ∞ h : E → R : h đo được,  E    L1 (P ) = X : Ω → R : X biến ngẫu nhiên, E[|X|] < ∞ không gian Banach với chuẩn : ||h|| = |h|dν ||X|| = E[|X|] E Do không gian hàm đơn giản E trù mật L1 (ν), với f ∈ L1 (ν) Chúng ta chọn dãy {fn } hàm đơn giản, fn −→ f hội tụ điểm |fn | ≤ |f | Ta chứng minh {Xfn } hội tụ theo xác suất (Chứng minh mục 3.3), tức tồn biến ngẫu nhiên Xf = p− lim Xfn ∈ L1 (p) Suy Xf (ω) = f (x)ξ(ω, dx) biến ngẫu nhiên thỏa mãn (3.1) Ta E ký hiệu: Xf = f (x)ξ(dx) =< f, ξ > E Mệnh đề 3.2.1 Với f, g ∈ L1 (ν) ta có: a) Nếu f ≤ g ν− h.c.c Xf ≤ Xg P− h.c.c b) Nếu α ∈ R ν− h.c.c Xαf = αXf P− h.c.c c) Xf +g = Xf + Xg P− h.c.c Với A ∈ ε đặt FA = σ(ξ(B) : B ∈ ε, B ⊂ A) Chú ý A1 A2 rời FA1 FA2 độc lập Tức H1 ∈ FA1 , H2 ∈ FA2 P (H1 ∩ H2 ) = P (H1 )P (H2 ) 59 Mệnh đề 3.2.2 Giả sử f, g ∈ L1 (ν), có giá khơng giao |f ||g|dν = E Xf Xg độc lập Chứng minh Đặt A = {|f | > 0}, B = {|f | = 0} f (x)ξ(dx) Xf FA đo được, Xf = A g(x)ξ(dx) (h.c.c) Xg FB đo Xg = B Do FA FB độc lập ⇒ Xf Xg độc lập Mệnh đề 3.2.3 Nếu f, g ∈ L1 (ν) thì: f = g ν− h.c.c ⇔ Xf = Xg P− h.c.c Chứng minh Điều kiện đủ suy trực tiếp từ tính chất tuyến tính Xf Ta chứng minh điều kiện cần, khơng tính tổng qt ta cần chứng minh Xf = P− h.c.c f = ν− h.c.c Do f = f + − f − với f + = f 1{f ≥0} , f − = −f 1{f ta có:      −1  P {|Xf | ≥ b} ≤ |f | ∧ adν + − exp −a |f | ∧ adν    b E E Chứng minh Ta có P {|Xf | ≥ b} ≤ P {X|f | ≥ b} ≤ P X|f |1{|f |≤a} ≥ b + P X|f |1{|f |>a} > Theo bất đẳng thức Markov ta có P X{|f |1{|f |≤a } ≥ b ≤ b |f |dν ≤ {|f |≤a} b (|f | ∧ a)dν E Do P X{|f |1{|f |>a} } > = P {ξ(|f | > a) > 0} ξ {|f | > a} ∼ P oisson(ν{|f | > a}) 61 Ta có P {ξ(|f | > a) > 0} = − e−ν{|f |>a} ≤ − exp    −a−1 |f | ∧ adν E    Xét không gian véc tơ L1,0 (ν) = {f : E → R, |f | ∧ ∈ L1 (ν)} Ta có L1 (ν) ⊂ L1,0 (ν), L1,0 (ν) chứa tất hàm đơn giản xác định E với giá có độ đo ν hữu hạn Nếu ν độ đo hữu hạn khơng gian véc tơ chứa tất hàm đơn giản đo Cho f, g ∈ L1,0 (ν) Ta xác định khoảng cách f g |f − g| ∧ 1dν d(f, g) = E d xác định metric L1,0 (ν) Chú ý d không sinh từ chuẩn ta dễ dàng kiểm tra (a) d(f − g, p − q) = d(f − p, q − g) (b) d(f − g, 0) = d(f, g) Chú ý |f | ∧ 1dν = E |f |dν + ν{|f | > 1}, {|f |≤1} f ∈ L1,0 (ν) ⇔ hai biểu thức vế phải đẳng thức hữu hạn Mệnh đề 3.3.2 Với metric d, không gian hàm đơn giản trù mật L1,0 (ν) Tức là: f ∈ L1,0 (ν) tồn dãy hàm đơn giản {fn } cho |fn | ≤ f với n fn −→ f hội tụ điểm hội tụ theo metric d Chứng minh Lấy f ∈ L1,0 (ν), giả sử f ≥ 0, đặt n2n −1 fn (x) = 1{k2−n ≤f 1} < ∞ fn dν ≤ fn dν + {f >1} {f ≤1} Và với n, ≤ (f − fn ) ∧ ≤ (f ∧ 1) ∈ L1 (ν) Do lim (f − fn ) ∧ = nên theo định lý hội tụ bị chặn ta có n→∞ lim d(f, fn ) = 0, với f ∈ L1,0 (ν) n→∞ Viết f = f + − f − , xác định fn+ fn− (3.2), fn = fn+ − fn− Do L1,0 (ν) không gian tuyến tính d metric d(f, fn ) ≤ d(f + , fn+ ) + d(f − , fn− ) Giả sử f ∈ L1,0 (ν) theo mệnh đề 3.3.2 tồn dãy hàm đơn giản fn cho {fn } hội tụ tới f với metric d từ mệnh đề 3.3.1 với a = ta thấy với ∀m, n b > P {|Xfn − Xfm | ≥ b} = P {|Xfn −fm | ≥ b} ≤ d(fn , fm ) + − e−d(fn ,fm ) b Ta kết luận {Xfn } dãy Cauchy theo xác suất, tồn biến ngẫu nhiên Xf cho Xf = lim Xfn (theo xác suất) n→∞ Giới hạn không phụ thuộc vào việc chọn dãy hàm đơn giản hội tụ tới f Do với f ∈ L1,0 (ν), Xf xác định định nghĩa phù hợp với định nghĩa Xf f ∈ L1 (ν) Trước tiếp tục, xem xét trường hợp tổng quát không gian 63 L1,0 (ν) Từ mệnh đề 3.3.1 xét khơng gian L1,a (ν) = {f : E → R : |f | ∧ a ∈ L1 (ν)}, với a = Tuy nhiên L1,a (ν) = L1,0 (ν) metric tương ứng (|f − g| ∧ a)dν d tương đương da (f, g) = E Mệnh đề 3.3.3 Nếu f ∈ L1,0 (ν) với ∀θ ∈ R,     iθXf iθf (x) E e = exp (e − 1)ν(dx)   E Chứng minh Đầu tiên ta xét hàm đơn giản f Khơng tính tổng quát, viết n cj 1Aj , với ν(Aj ) < ∞, ∀j ∈ {1, 2, , n} f= j=1 A1 , A2 , , An dời Do ξ(A1 ), ξ(A2 ), , ξ(An ) độc lập ξ(Aj ) ∼ P oisson(ν(Aj )) ta có n n E e iθXf E(e = iθcj ξ(Aj ) exp ν(Aj )(eiθcj − 1) )= j=1 j=1     iθcj = exp (e − 1)ν(Aj )   j=1     iθf (x) = exp (e − 1)ν(dx)   n E Trường hợp tổng quát có xấp xỉ f dãy hàm đơn giản{fn } theo mệnh đề 3.3.2 lưu ý hai vế đẳng thức     iθXfn iθfn (x) E e = exp (e − 1)ν(dx)   E hội tụ theo định lý hội tụ bị chặn 64 3.4 Độ đo ngẫu nhiên Poisson quy tâm ξ độ đo ngẫu nhiên Poisson với độ đo trung bình ν Chúng ta định nghĩa độ đo ngẫu nhiên quy tâm ξ ξ(A) = ξ(A) − ν(A), A ∈ ε, ν(A) < ∞ Với K ∈ ε, ν(K) < ∞ ω ∈ Ω, hạn chế ξ(ω, ·) K độ đo hữu hạn có dấu f (x)ξ(dx) với f ∈ L1,0 (ν) Đặt f = Trong mục trước ta định nghĩa E n cj 1Aj hàm đơn giản với ν(Aj ) < ∞ Thì tích phân f với độ đo ngẫu j=1 nhiên quy tâm ξ biến ngẫu nhiên Xf xác định n f (x)ξ(dx) − Xf = E cj (ξ(Aj ) − ν(Aj )) f (x)ν(dx) = j=1 E Ta có E[Xf ] = Rõ ràng từ định nghĩa f, g hàm đơn giản, α, β ∈ R Xαf +βg = αXf + β Xg Do tích phân với độ đo ngẫu nhiên Poisson quy tâm hàm tuyến tính khơng gian hàm đơn giản Tiếp theo ta mở rộng định nghĩa đến không gian     2 L (ν) = h : E → R : h đo được, h dν < ∞   E không gian Banach với chuẩn:  ||h||2 =  E 65 1 h2 dν    Tương tự L (P ) = X : Ω → R, X biến ngẫu nhiên,  X dP < ∞ Ω    không gian Banach với chuẩn: ||X||2 = (EX ) Mệnh đề 3.4.1 Nếu f hàm đơn giản, f dν E[X f ] = E n cj 1Aj với A1 , A2 , , An tập rời nhau, ν(Aj ) < ∞ Chứng minh f = j=1 Do ξ(A1 ), ξ(A2 ), , ξ(An ) độc lập, ξ(Aj ) ∼ P oisson(ν(Aj )) nên ta có   n E[X f] n ci cj (ξ(Aj ) − ν(Aj ))(ξ(Ai ) − ν(Ai )) =E j=1 i=1 n n c2j E[ξ(Aj ) = c2j ν(Aj ) − ν(Aj )] = j=1 j=1 f dν = E Do không gian hàm đơn giản trù mật L2 (ν) mở rộng định nghĩa Xf tới tất f ∈ L2 (ν) Trong mục 3.2, {fn } dãy hàm đơn giản hội tụ tới f L2 (ν) ta xác định Xf = lim Xfn L2 (P ) n→∞ Rõ ràng X tuyến tính L2 (ν) Mỗi f ∈ L2 (ν) ta có f dν E[Xf ] = E[X f ] = E 66 Từ suy Xf xác định đẳng cấu tuyến tính từ L2 (ν) vào L2 (p) Trước tiếp tục ta ý f hàm đơn giản E[Xf ] ≤ |f |dν E Bất đẳng thức dẫn đến mở rộng X tới không gian L1 (ν) Do ν không thiết hữu hạn, không gian L1 (ν) L2 (ν) không thiết so sánh Bây mở rộng định nghĩa Xf tới lớp hàm f rộng với mục đích ta xét khơng gian véc tơ L2,1 (ν) = {f : E → R : |f |2 ∧ |f | ∈ L1 (ν)} tương đương ta đặt Φ(z) = z ∧ (2z − 1) L2,1 (ν) = LΦ (ν) = {f : E → R : Φ(|f |) ∈ L1 (ν)} Chú ý: L1 (ν) ⊂ LΦ (ν) L2 (ν) ⊂ LΦ (ν) LΦ (ν) chứa tất hàm đơn giản xác định E, có giá có độ đo hữu hạn Φ lồi không giảm, Φ(0) = 0, Φ thỏa mãn lim z −1 Φ(z) = 0, z→∞ LΦ (ν) không gian Orliczt với chuẩn   f ||f ||Φ = inf c : Φ  c E dν <    Trong mệnh đề 3.2.2 không gian hàm đơn giản với giá có độ đo hữu hạn trù mật LΦ (ν) Chứng minh khẳng định tương tự mệnh đề 3.3.2 67 Mệnh đề 3.4.2 Không gian hàm đơn giản trù mật LΦ (ν) nghĩa với f ∈ LΦ (ν) tồn dãy hàm đơn giản {fn } cho |fn | ≤ |f | với ∀n {fn } hội tụ điểm hội tụ theo || · ||Φ tới f Mệnh đề 3.4.3 Nếu f : E → R hàm đơn giản với giá có độ đo hữu hạn E[|Xf |] ≤ 3||f ||Φ Chứng minh Cố định a > với c > < α < E[|Xf |] ≤ c · E +c·E Xc−1 f 1{c−1 |f |≤1} Xc−1 f 1{c−1 |f |>1} ≤c· E Xc−1 f 1{c−1 |f |≤1} |c−1 f |1{c−1 |f |>1} dν + 2c E |c−1 f |1{c−1 |f |>1} dν c−2 f 1{c−1 |f |≤1} µ(dν) + 2c ≤ E E Φ(c−1 |f |)dν Φ(c−1 |f |)dν + 2c ≤c E E Chọn c = ||f ||Φ ⇒ vế trái bất đẳng thức bị chặn 3||f ||Φ Giả sử f ∈ LΦ (ν), theo mệnh đề 3.4.2 tồn dãy {fn } hàm đơn giản hội tụ tới f || · ||Φ Từ mệnh đề 3.4.3 suy ∀m, n ≥ 1, P Xfn − Xfm ≥ a ≤ 3||fn − fm ||Φ a ⇒ {Xfn } dãy Cauchy theo xác suất ⇒ tồn biến ngẫu nhiên Xf cho lim Xfn = Xf (theo xác suất) n→∞ Định nghĩa không phụ thuộc vào việc chọn dãy {fn } Chú ý định nghĩa Xf với hàm f ∈ L2 (ν) phù hợp với định nghĩa f ∈ LΦ (ν) Mệnh đề 3.4.4 Nếu f ∈ LΦ (ν) ∀θ ∈ R E eiθXf = exp (eiθf (x) − − if (x))ν(dx) 68 (3.3) Chứng minh Từ mệnh đề 3.3.3 suy (3.3) với f hàm đơn giản Lấy f ∈ LΦ (ν) {fn } mệnh đề 3.4.2 cho Xf = lim Xfn theo xác suất n→∞ Khơng tính tổng quát ta giả sử {Xfn } hội tụ h.c.c tới Xf Ω Do θ ∈ R, lim E eiθXfn = E eiθXf n→∞ Mặt khác {fn } hội tụ điểm tới f ⇒ ∀θ ∈ R, lim (eiθfn − − ifn ) = eiθf − − if n→∞ Nhưng tồn số k > cho |eiθfn − − ifn | ≤ k |fn |2 ∧ |fn | ≤ k |f |2 ∧ |f | ∈ L1 (ν) Và từ định lý hội tụ bị chặn ta có điều phải chứng minh 69 KẾT LUẬN Luận văn trình bày cách có hệ thống vấn đề Tích phân độ đo ngẫu nhiên ổn định độ đo ngẫu nhiên Poisson Đối với Tích phân độ đo ngẫu nhiên ổn định, luận văn trình bày định nghĩa độ đo ngẫu nhiên ổn định định nghĩa tích phân độ đo ngẫu nhiên ổn định I(f ) với hàm thuộc T theo trình tự: n i) Định nghĩa với hàm đơn giản f ∈ T Với f (x) = cj 1Aj (x) j=1 n I(f ) = f (x)M (dx) = cj M (Aj ) j=1 E ii) Với f ∈ T bất kỳ, xấp xỉ f dãy hàm đơn giản {f (n) } ∈ T (do không gian hàm đơn giản trù mật T ) chứng tỏ {I(f (n) )} hội tụ theo xác suất từ định nghĩa I(f ) = p− lim I(f (n) ) n→∞ Một phương pháp khác định nghĩa tích phân ngẫu nhiên ổn định là: Định nghĩa tích phân ngẫu nhiên ổn định trình ngẫu nhiên ổn định trình bày luận văn chủ yếu để chứng tỏ định nghĩa độ đo ngẫu nhiên ổn định tồn Các tính chất tích phân với độ đo ngẫu nhiên ổn định trình bày cách có hệ thống chứng minh nhận xét quan trọng bật Mệnh đề 2.3.2, Định lý 2.3.3 Định lý biểu diễn 2.3.6 Đối với tích phân độ đo ngẫu nhiên Poisson, luận văn trình bày phương pháp tương tự định nghĩa tích phân ngẫu nhiên độ đo ngẫu nhiên ổn định Ngoài luận văn trình bày mở rộng tích phân độ đo ngẫu nhiên Poisson với hàm thuộc L1,0 (ν) Độ đo ngẫu nhiên Poisson quy tâm tích phân độ đo ngẫu nhiên Poisson quy tâm trình bày luận văn 70 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1 ] Nguyễn Viết Phú (2002, 2004), Bài giảng tích phân ngẫu nhiên Phương trình vi phân ngẫu nhiên [2 ] Nguyễn Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến (2004), Cơ sở Lý thuyết xác suất, NXB ĐHQG Hà Nội [3 ] Đặng Hùng Thắng (2005), Mở đầu Lý thuyết xác suất ứng dụng, NXB Giáo Dục [4 ] Đặng Hùng Thắng (2006), Quá trình ngẫu nhiên Tính tốn ngẫu nhiên, NXB ĐHQG Hà Nội [5 ] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2000), Lý Thuyết Xác suất, NXB Giáo Dục [6 ] Nguyễn Duy Tiến (2001), Các mơ hình xác suất ứng dụng - Phần III: Giải tích ngẫu nhiên, NXB ĐHQG Hà Nội [7 ] Nguyễn Duy Tiến, Đặng Hùng Thắng (2001), Các mơ hình xác suất ứng dụng - Phần II: Quá trình dừng ứng dụng, NXB ĐHQG Hà Nội [8 ] Trần Hùng Thao (2000), Tích phân ngẫu nhiên phương trình vi phân ngẫu nhiên, NXB Khoa học kỹ thuật Tiếng Anh [9 ] Gennady Samorodnitsky Murad S.Taqqu, Stable random Processes [10 ] Thang D.H (2001), Vector random stable measures and random integrals, Acta Mathematica Vietnamica, Vol 26, pp 205-218 [11 ] Thomas G.Knutz (2001), Lectures on Stochastic Analysis, Department of Mathematics, University of Wisconsin-Madison 71