Một số phương pháp hiệu chỉnh giải bài toán ngược

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Phạm Thị Gấm MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH GIẢI BÀI TOÁN NGƯỢC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Phạm Thị Gấm MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH GIẢI BÀI TOÁN NGƯỢC Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.0112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH PHẠM KỲ ANH Hà Nội - 2014 Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kết qủa giải tích hàm 1.1.1 Không gian 1.1.2 Toán tử bị chặn 1.1.3 Một số định lí quan trọng 1.2 Nghịch đảo suy rộng Moore - Penrose 1.3 Tốn tử tuyến tính Compact 11 1.4 Định lí phổ 13 1.5 Bài toán ngược 18 Toán tử hiệu chỉnh 23 2.1 Định nghĩa kết 23 2.2 Cấp tối ưu 29 Các phương pháp hiệu chỉnh liên tục 40 3.1 Toán tử hiệu chỉnh liên tục 40 3.2 Qui tắc chọn tham số tiên nghiệm 43 3.3 Sự bão hòa kết ngược lại 51 3.4 Nguyên lý độ lệch 55 3.5 Qui tắc chọn tham số hậu nghiệm cải tiến 61 i Kết luận 88 Tài liệu tham khảo 89 ii BẢNG KÍ HIỆU B(X , Y) Khơng gian tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Y C[a, b] Không gian hàm số thực liên tục [a, b] D(T ) Miền xác định T dim Số chiều khơng gian I Tốn tử đơn vị inf Cận L2 [a, b] Không gian hàm số bình phương khả tích [a, b] N (T ) Tập không điểm T R (T ) Miền giá trị T Rα Toán tử hiệu chỉnh (Rα , α) Phương pháp hiệu chỉnh sup Cận T† Toán tử nghịch đảo suy rộng T T∗ Toán tử liên hợp T x† Nghiệm suy rộng α Tham số hiệu chỉnh iii Mở đầu Trong ứng dụng thực tế thường nảy sinh toán ngược, biết liệu đầu cần khôi phục lại liệu đầu vào, biết liệu vào-ra phải nhận dạng tham số hệ thống Các tốn chụp ảnh cắt lớp, khơi phục ảnh, dự báo đường huyết điều trị bệnh tiểu đường, vv toán ngược thường gặp Bài tốn ngược nói chung tốn đặt khơng chỉnh, tức là, nghiệm khơng phụ thuộc liên tục vào liệu toán Các phương pháp giải số ổn định tốn đặt khơng chỉnh cách đưa toán đặt chỉnh gọi phương pháp hiệu chỉnh Trong luận văn em xin trình bày số phương pháp hiệu chỉnh giải tốn ngược tuyến tính Luận văn gồm chương: • Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, em nhắc lại số khái niệm giải tích hàm, tốn ngược tốn đặt khơng chỉnh • Chương 2: Tốn tử hiệu chỉnh Trong chương này, em trình bày khái niệm toán tử hiệu chỉnh, cấp tối ưu định lí liên quan • Chương 3: Các phương pháp hiệu chỉnh liên tục Chương trình bày toán tử hiệu chỉnh liên tục, qui tắc chọn tham số tiên nghiệm, nguyên lý độ lệch,qui tắc chọn tham số hậu nghiệm cải tiến Lời cảm ơn Trước tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH Phạm Kỳ Anh, người trực tiếp hướng dẫn tận tình bảo em suốt trình em học tập thực luận văn Em xin cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán - Cơ - Tin học toàn thể thầy giáo, giáo khoa Tốn - Cơ - Tin học, phòng Sau đại học, trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên - Đại Học Quốc Gia Hà Nội giúp đỡ em suốt trình học tập làm luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới đồng nghiệp, gia đình bạn bè động viên, giúp đỡ tạo điều kiện mặt q trình tơi học tập làm luận văn Do thời gian thực luận văn khơng nhiều, kiến thức cịn hạn chế nên làm luận văn em khơng tránh khỏi sai sót Em mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 10 tháng 11 năm 2014 Học viên Phạm Thị Gấm Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại số kết giải tích hàm trình bày số khái niệm tốn ngược tốn đặt khơng chỉnh 1.1 1.1.1 Một số kết qủa giải tích hàm Khơng gian Cho X khơng gian tuyến tính trường số thực phức K Các phần tử X gọi véc tơ, phần tử K vô hướng Một chuẩn khơng gian tuyến tính X hàm giá trị thực không âm x −→ x , x ∈ X , thỏa mãn: (i) ∀x ∈ X , x = ⇔ x = 0, (ii) αx = |α| x , ∀x ∈ X , ∀α ∈ K, (iii) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ X Một khơng gian tuyến tính với chuẩn gọi khơng gian tuyến tính định chuẩn Dễ thấy ánh xạ (x, y) −→ x − y , (x, y) ∈ X × X , xác định mêtric X Một không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ gọi khơng gian Bannach Xét khơng gian tuyến tính X với tích vơ hướng , ánh xạ (x, y) −→ x, y X × X thỏa mãn tính chất: (i) x, x ≥ 0, ∀x ∈ X , (ii) ∀x ∈ X , x, x = ⇔ x = 0, (iii) αx, y = α x, y , ∀α ∈ K, ∀x, y ∈ X , (iv) x + y, u = x, u + y, u , ∀x, y, u ∈ X , (v) x, y = y, x , ∀x, y ∈ X Một khơng gian tuyến tính với tích vơ hướng gọi khơng gian có tích vơ hướng Một bất đẳng thức quan trọng không gian có tích vơ hướng Bất đẳng thức Schwarz hay gọi Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz Bất đẳng thức Schwarz: với x, y không gian tích vơ hướng | x, y |2 ≤ x, x y, y Sử dụng bất đẳng thức Schwarz suy ánh xạ x −→ x = x, x , x ∈ X , xác định chuẩn X Nếu X đầy đủ với metric xác định chuẩn X gọi không gian Hilbert Bất đẳng thức Holder : với x = (α1 , α2 , , αn ), y = (β1 , β2 , , βn ) Kn < p < ∞, ta có n n |αj |p |αj βj | ≤ j=1 j=1 p n |βj |q q , j=1 q > cho p + q = pq Các phần tử x, y khơng gian có tích vơ hướng gọi trực giao với x, y = Ta ký hiệu x ⊥ y