Phân sai kähler của tập hữu hạn điểm

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ∼∼∼∼ ∼∼∼∼ TRNG TH XUN M ă PHN SAI KAHLER CA TP HỮU HẠN ĐIỂM TRONG Pn × Pm Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS LÊ NGỌC LONG Thừa Thiên Huế, năm 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, số liệu kết nghiên cứu ghi luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố cơng trình khác Trương Thị Xn Mỹ ii LỜI CẢM ƠN Lời đầu, xin gửi đến TS Lê Ngọc Long lời cảm ơn sâu sắc tận tình giúp đỡ động viên Thầy tơi suốt q trình Thầy giảng dạy lớp Cao học K24 q trình tơi hồn thành Luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn tất quý Thầy, Cô khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Huế tận tình giảng dạy truyền đạt kiến thức bổ ích suốt khóa học Trường Đại học Sư phạm Huế Chân thành cảm ơn bạn học viên Cao học khóa 24 chuyên ngành Đại số lý thuyết số tất bạn bè tơi ln hỗ trợ tơi suốt q trình học tập Cuối xin cảm ơn Ba, Mẹ tồn thể gia đình tơi-những người động viên nhiều động lực giúp tơi hồn thành Luận văn Mặc dù cố gắng Luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tơi mong thầy giáo bạn đánh giá, góp ý để Luận văn hoàn chỉnh Trương Thị Xuân Mỹ iii Mục lục Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục Lời nói đầu TẬP HỮU HẠN ĐIỂM TRONG Pn × Pm 1.1 Vành song phân bậc iđêan song 1.2 Iđêan tập hữu hạn điểm vành tọa độ 1.3 Hàm Hilbert tập hữu hạn điểm 1.4 Vành Cohen-Macaulay tập điểm có tính ACM 1.5 Hàm Hilbert tập điểm có tính ACM 5 11 15 23 ă PHN SAI KAHLER CA TP HU HN IM 2.1 Phõn sai Kăahler 2.2 Mối liờn h gia hm Hilbert ca phõn sai Kăahler v vành tọa độ 2.3 Hàm Hilbert Phân sai Kăahler vi trng hp c bit v ỏp dng 27 27 34 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 47 39 LỜI NÓI ĐẦU Cho K trường có đặc số khơng cho Pn × Pm khơng gian xạ ảnh bội trường K với m, n ≥ Vành tọa độ Pn × Pm vành đa thức S = K[X0 , , Xn , Y0 , , Ym ] trang bị song phân bậc với deg(Xi ) = (1, 0) deg(Yj ) = (0, 1) Cho X = {P1 , , Ps } tập hữu hạn điểm Pn × Pm ký hiệu IX iđêan song phân bậc S tập X Khi vành tọa độ X R = S/IX Vành vành song phân bậc cảm sinh từ song phân bậc S Có nhiều hướng để nghiên cứu tính chất hình học tập điểm X, số xem xét đối tượng đại số liên kết với X, chẳng hạn xem xét hàm Hilbert R, số Betti song phân bậc, giải tự song phân bậc R, vân vân Hướng nghiên cứu thu hút nhiều nhà tốn học quan tâm (ví dụ xem [2, 3, 5, 6, 7, 16, 17]) Ta viết R = (i,j)∈N2 Ri,j phân tích thành tổng trực tiếp thành phần song phân bậc Ri,j Hàm Hilbert X định nghĩa HFX (i, j) = dimK Ri,j với (i, j) ∈ N2 Trong [16], A Van Tuyl ta hoàn toàn biết giá trị hàm Hilbert X ta tính với tập hữu hạn (i, j) ∈ N2 thích hợp Hơn ông dùng hàm Hilbert để nghiên cứu đặc trưng cho tập điểm X có tính ACM (xem [17]) Ở đây, tập X có tính ACM vành tọa độ vành Cohen-Macaulay Dưới ta giả sử tập X tập có tính ACM ký kiệu x0 , y0 ảnh X0 , Y0 vành tọa độ R Trong trường hợp này, ta giả thiết {x0 , y0 } tạo thành dãy quy R ta đặt Ro = K[x0 , y0 ] Đối tượng nghiên cứu luận văn iđêan Fitting ϑX môđun vi phân song phân bậc Ω1R/Ro đại số song phân bậc R/Ro Iđêan Fitting bất biến phản ánh nhiều tính chất cấu trúc đại số (ví dụ xem [9, 13, 14]) Trong trường hợp cụ thể này, iđêan ϑX iđêan song phân bậc R sinh định thức bậc m + n ma trận Jacobian tập sinh IX tương ứng với {x1 , , xn , y1 , , ym }, cịn gọi phân sai Kă ahler õy, xi and yj l nh RX Xi Yj tương ứng Mục đích luận văn thiết lập mối quan hệ hm Hilbert ca phõn sai Kăahler v vnh ta R Trừ số trường hợp đặc biệt việc tính toỏn hm Hilbert ca phõn sai Kă ahler ca điểm khơng gian xạ ảnh khơng hồn tồn đơn giản Trong [9], tác giả xác định đa thc Hilbert ca phõn sai Kăahler cho im bộo Pn đưa chặn cho số quy Gần đây, hai mục cuối báo [4], tác giả mở rộng kết tập điểm béo P1 × P1 Tuy nhiên có số kết qu v phõn sai Kăahler ỳng Pn nhng khụng mở rộng khơng gian P1 × P1 Trong luận văn này, sử dụng chương trình đại số máy tính ApCoCoA đưa code để tính tập sinh tối tiểu hàm Hilbert phân sai Kăahler X i vi hu hn im X Pn × Pm Đồng thời, chúng tơi xem xét cấu trúc đại số hàm Hilbert bất biến vài áp dụng Kết luận văn mà đạt thiết lập mối quan h gia hm Hilbert ca phõn sai Kăahler v vnh tọa độ R sau (xem định lý 2.2.2 2.2.6) Định lý Cho X ⊆ Pn × Pm tập s điểm phân biệt có tính ACM, cho {h1 , , ht } tập sinh nhỏ gồm phần tử song ϑX cho deg(hk ) = (ik , jk ) với k = 1, , t Với j ∈ N, ta đặt i0 := max{ik | jk ≤ j, k = 1, , t} Ta có HFϑX (i, j) = HFϑX (i0 + s, j) với i ≥ i0 + s Với i ∈ N, ta đặt j0 := max{jk | ik ≤ j, k = 1, , t} Ta có HFϑX (i, j) = HFϑX (i, j0 + s) với j ≥ j0 + s Ta có HFϑX (i, j) ≤ HFX (i, j) ≤ HFϑX (i+n(s−1), j +m(s−1)) với (i, j) ∈ N2 Định lý ta hoàn toàn biết giá trị hàm Hilbert ϑX ta tính với tập hữu hạn (i, j) ∈ N2 thích hợp Hơn HFϑX (i, j) = s với (i, j) ((n + 1)(s − 1), (m + 1)(s − 1)) Trong trường hợp đặc biệt sau ta công thức cho hàm Hilbert ϑX (xem Định lý 2.3.3) Định lý Cho X tập s = s1 s2 điểm phân biệt có tính ACM Pn ×Pm cho αX = (s2 , , s2 ) βX = (s1 , , s1 ) Cho π1 : Pn × Pm → Pn π2 : Pn × Pm → Pm s1 s2 phép chiếu tắc, cho X1 = π1 (X) X2 = π2 (X), ký hiệu rX1 , rX2 số quy HFX1 HFX2 Nếu X1 X2 tập giao đầy đủ, ϑX iđêan HFϑX (i, j) = HFX (i − rX1 , j − rX2 ) với (i, j) ∈ N2 Bây giờ, vào chi tiết chương Luận văn chia thành hai chương Trong Chương trình bày số khái niệm, ký hiệu, kiến thức liên quan tới tập hữu hạn điểm khơng gian xạ ảnh bội Pn × Pm Mục 1.1 giới thiệu vành song phân bậc, iđêan song nhất, môđun song phân bậc Chúng đề cập đến hàm Hilbert môđun song phân bậc đưa ví dụ minh họa Trong Mục 1.2 chúng tơi trình bày định nghĩa số tính chất đối tượng đại số liên kết tập hữu hạn điểm Pn × Pm iđêan song liên kết vành tọa độ Hàm Hilbert tập hữu hạn điểm X Pn × Pm xem xét Mục 1.3 Trong đó, chúng tơi nhắc lại tính chất hàm Hilbert X, đặc biệt Định lý 1.3.6 để tính hàm Hilbert X ta cần tính giá trị hữu hạn số (i, j) ∈ N2 Ở Mục 1.4, chúng tơi trình bày số kiến thức liên quan đến vành Cohen-Macaulay tập hữu hạn điểm có tính ACM Pn × Pm Đồng thời, xem xét tập giao đầy đủ Pn × Pm , tập giao đầy đủ có tính ACM, tập X = X1 × X2 với X1 ⊆ Pn X2 ⊆ Pm tập giao đầy đủ tập X tập giao đầy đủ (xem Mệnh đề 1.4.20 Hệ 1.4.17 1.4.21) Trong mục cuối Chương khảo sát hàm Hilbert tập điểm có tính ACM Pn × Pm Trong Chương 2, chúng tơi đưa định nghĩa nghiên cứu cấu trúc đại s ca phõn sai Kăahler i vi ACM hu hạn điểm X không gian xạ ảnh bội Pn × Pm Trong Mục 2.1, chúng tơi trình bày số khái niệm đại số song phân bc, khỏi nim mụun vi phõn Kăahler v mt s tớnh cht c bn ca mụun vi phõn Kăahler 1R/Ro Tiếp theo chúng tơi trình bày định nghĩa phõn sai Kăahler v mt s tớnh cht c bn Chúng tơi đưa mã code chương trình đại số máy tính ApCoCoA [19] để tính hệ sinh tối thiểu hàm Hilbert phân sai Kăahler X R Trong Mc 2.2, chỳng tụi xem xét mối liên hệ hàm Hilbert phân sai Kăahler v vnh ta (xem cỏc nh lý 2.2.2 2.2.6) Cuối cùng, Mục 2.3, trình bày cơng thức hàm Hilbert phân sai Kăahler mt vi trng hp c bit v ỏp dng ca phõn sai Kăahler vic xem xột tập Cayley-Bacharach (xem Định lý 2.3.3 Mệnh đề 2.3.10 2.3.13) CHƯƠNG TẬP HỮU HẠN ĐIỂM TRONG Pn × Pm Trong chương trình bày số kiến thức liên quan tới tập hữu hạn điểm khơng gian xạ ảnh bội Pn × Pm trường K có đặc số khơng Trước hết đề cập đến vành song phân bậc, iđêan song nhất, môđun song phân bậc hàm Hilbert chúng Sau đó, chúng tơi xem xét số tính chất đối tượng đại số liên kết tập hữu hạn điểm Pn × Pm iđêan song liên kết, vành tọa độ, hàm Hilbert Đặc biệt, quan tâm tới việc xem xét tập điểm có tính ACM hàm Hilbert chúng Các kiến thức trình bày nhằm tham khảo cho nội dung chương sau Hầu hết kết chương biết, chúng tơi trình bày nội dung mà bỏ qua phần chứng minh Để rõ chứng minh kết độc giả tham khảo tài liệu [5, 6, 11, 16, 17, 18] Trong suốt luận văn này, làm việc trường K có đặc số khơng vành vành giao hốn có đơn vị 1.1 Vành song phân bậc iđêan song Trong mục chúng tơi tổng qt hóa khái niệm kí hiệu từ trường hợp phân bậc chuẩn tắc thông thường tới song phân bậc Định nghĩa 1.1.1 Cho S vành Vành S gọi vành song phân bậc tồn họ nhóm tương ứng với phép cộng {Si,j | (i, j) ∈ Z2 } cho: ( a1 ) S = (i,j)∈Z2 Si,j , (a2 ) Si1 ,j1 · Si2 ,j2 ⊆ Si1 +i2 ,j1 +j2 với (i1 , j1 ), (i2 , j2 ) ∈ Z2 Các phần tử Si,j gọi phần tử song bậc (i,j) Với F ∈ Si,j ta viết deg(F ) = (i, j) Mọi phần tử F ∈ S viết cách dạng F = (i,j)∈Z2 Fi,j , Fi,j phần tử song bậc (i, j) Ta gọi Fi,j thành phần song bậc (i,j) F Chú ý vành song phân bậc S phần tử phần tử S deg(0) = (i, j) với (i, j) ∈ Z2 Dưới đây, ta xem xét trường hợp S = K[X0 , , Xn , Y0 , , Ym ] vành đa thức n + m + biến X0 , , Xn , Y0 , , Ym trường K với m, n ≥ Ta trang bị song phân bậc S việc đặt deg(X0 ) = · · · = deg(Xn ) = (1, 0) deg(Y0 ) = · · · = deg(Ym ) = (0, 1) Mỗi đơn thức X0a0 Xnan Y0b0 Ymbm ∈ S có bậc deg(X0a0 Xnan Y0b0 Ymbm ) = (a0 + + an , b0 + + bm ) phần tử K có bậc (0, 0) Đa thức F ∈ S đa thức song đơn thức F có bậc Ta dễ thấy Si,j = i < j < Với (i, j) ∈ N2 , tập Si,j không gian véctơ hữu hạn chiều K Một sở Si,j tập hợp đơn thức X0a0 Xnan Y0b0 Ymbm ∈ S | (a0 + a1 + + an , b0 + b1 + + bm ) = (i, j) Do đó, chiều Si,j dimK Si,j = i+n i j+m j với (i, j) ∈ Z2 Ví dụ 1.1.2 Cho m = n = S = K[X0 , X1 , Y0 , Y1 ] Khi ta có dimK Si,j = i < j < 0, dimK Si,j = (i + 1)(j + 1) với (i, j) ∈ Z2 cho i, j ≥ Đa thức F = X02 Y0 Y12 + X0 X1 Y13 ∈ S2,3 , F đa thức song S Bậc F deg(F ) = (2, 3) Đa thức G = X03 Y0 + X0 X1 Y0 Y1 không đa thức song X03 Y0 ∈ S3,1 X0 X1 Y0 Y1 ∈ S2,2 Tuy nhiên, G đa thức bậc S vành phân bậc chuẩn tắc thơng thường, có nghĩa phân bậc xác định deg(X0 ) = deg(X1 ) = deg(Y0 ) = deg(Y1 ) = Định nghĩa 1.1.3 Một iđêan I S gọi iđêan song ta có I = (i,j)∈Z2 (I ∩ Si,j ) Nhận xét 1.1.4 Cho I iđêan song phân bậc S Vành thương S/I vành song phân bậc cảm sinh từ vành song phân bậc S, tức với (i, j) ∈ Z2 ta có (S/I)i,j = Si,j /Ii,j Mệnh đề sau đưa vài tính chất iđêan song Mệnh đề 1.1.5 Cho I iđêan S Các phát biểu sau tương đương: Iđêan I iđêan song Nếu F ∈ I F = (i,j)∈Z2 Fi,j phân tích F thành tổng thành phần song nhất, ta có Fi,j ∈ I Tồn hệ sinh I gồm phần tử song Ví dụ 1.1.6 Xét vành song phân bậc S = K[X0 , , Xn , Y0 , , Ym ] Mọi iđêan đơn thức I S iđêan song Iđêan I = X0 X1 Y02 Y1 + X12 Y03 , X03 Y02 + X0 X12 Y0 Y1 iđêan song S Bởi đa thức X0 X1 Y02 Y1 + X12 Y03 X03 Y22 + X1 X22 Y0 Y1 đa thức song với bậc tương ứng (2, 3) (3, 2) Định nghĩa 1.1.7 Một S -môđun hữu hạn sinh M gọi môđun song phân bậc tồn họ nhóm tương ứng với phép cộng {Mi,j | (i, j) ∈ Z2 } cho: M = (i,j)∈Z2 Mi,j , Si1 ,j1 · Mi2 ,j2 ⊆ Mi1 +i2 ,j1 +j2 với (i1 , j1 ), (i2 , j2 ) ∈ Z2 Ví dụ 1.1.8 Cho I iđêan song S Khi I S/I S -mơđun song phân bậc Tiếp theo giới thiệu hàm Hilbert môđun song phân bậc Định nghĩa 1.1.9 Cho M S -môđun song phân bậc hữu hạn sinh Hàm Hilbert M hàm số HFM : Z2 → N xác định sau: HFM (i, j) = dimK Mi,j với (i, j) ∈ Z2 Đặc biệt, I iđêan song S hàm Hilbert S/I cho bởi: với (i, j) ∈ Z2 HFS/I (i, j) = dimk (S/I)i,j = dimk Si,j − dimk Ii,j Với (i1 , j1 ), (i2 , j2 ) ∈ Z2 ta viết (i1 , j1 ) (i2 , j2 ) (hay (i2 , j2 ) (i1 , j1 )) i1 ≤ i2 j1 ≤ j2 Trong trường hợp M S -môđun song phân bậc hữu hạn sinh cho HFM (i, j) = với (i, j) (0, 0), ta viết hàm Hilbert M ma trận vô hạn với số hàng cột Ví dụ 1.1.10 Với n = m = 2, xét vành song phân bậc S = K[X0 , X1 , X2 , Y0 , Y1 , Y2 ] iđêan đơn thức I = X1 , X2 , Y1 , Y2 ⊆ S Hàm Hilbert S thỏa mãn HFS (i, j) = dimK Si,j = với (i, j) (0, 0) Với (i, j) (0, 0), ta có HFS (i, j) = dimK Si,j = i+2 i j+2 j Define HFKaehlerDifferentPnxPm(I,L,N,M); I = I_X Iđêan liên kết tập ACM X N = n+1, M = m+1 (P^nxP^m) L kính thước ma trận HF_{\vartheta_X} cần in J := I.Gens; MatJ := Jacobian(J); Col := Concat(2 N,(N+2) (N+M)); SubM := Submat(MatJ,1 Len(J),Col); IT := Minors(M+N-2, SubM); NewL := Ideal(IT)+I; HF1 := BiHilbert(I,L,L); HF2 := BiHilbert(NewL,L,L); Return HF1-HF2; EndDefine; Ta kết thúc mục với ví dụ minh họa việc tính hàm Hilbert ϑX sau Ví dụ 2.1.13 Cho X ⊆ P2 × P2 tập điểm phân biệt xem xét Ví dụ 2.1.10 Sử dụng hàm ApCoCoA HFKaehlerDifferentPnxPm( ) với I = IX , N = M = 3, L = 7, ta tính hàm Hilbert phân sai Kă ahler X 0 2 2 HFϑX 2.2        =       0 2 2   0 3 3    4 4         5 5  5 5 5 5 5 Mối liên hệ hàm Hilbert phân sai Kă ahler v vnh ta Trong mc ny xem xét mối quan hệ hm Hilbert ca phõn sai Kăahler v vnh ta Chúng tiếp tục làm việc với tập hữu hạn điểm X ⊆ Pn × Pm có tính ACM x0 , y0 dãy quy R Hơn nữa, sử dụng phép chiếu tắc π1 : Pn × Pm → Pn π2 : Pn × Pm → Pm , ta đặt X1 = π1 (X) X2 = π2 (X) Hơn nữa, sử dụng phép chiếu tắc π1 : Pn × Pm → Pn π2 : Pn × Pm → Pm , ta đặt X1 = π1 (X) X2 = π2 (X) Nhắc lại số rX1 = min{i ∈ N | HFX1 (j) = #X1 với j ≥ i} gọi số quy 34 HFX1 (hay X1 ) Tương tự, ta có số quy HFX2 (hay X2 ) rX2 = min{i ∈ N | HFX2 (j) = #X2 với j ≥ i} Trước hết có tính chất sau Mệnh đề 2.2.1 Cho X tập s điểm phân biệt có dạng X = {P × Q1 , , P × Qs } ⊆ Pn × Pm Khi đó, với (i, j) ∈ N2 , ta có HFϑX (i, j) = HFϑRX /K[y0 ] (j) ≤ HFX2 (j) Đặc biệt, ta có HFϑX (i, j) = s với j ≥ mrX2 Chứng minh Ta giả sử P = [1 : : : 0] viết IP ×Qk = X1 , , Xn , Lk,1 , , Lk,m với k = 1, , s Khi theo Mệnh đề 1.4.20 ta có đẳng thức IX = X1 , , Xn +IX2 Cho {F1 , , Fr } hệ sinh gồm đa thức K[Y0 , , Ym ] iđêan IX2 Tập hợp {X1 , , Xn , F1 , , Fr } hệ sinh gồm đa thức song iđêan IX Với k ≥ 0, {j1 , , jk } ⊆ {1, , n}, {jk+1 , , jn+m } ⊆ {1, , r}, định thức ma trận Jacobi {Xj1 , , Xjk , Fjk+1 , , Fjn+m } tương ứng với {X1 , , Xn , Y1 , , Ym } thỏa mãn ∂(Xj1 , , Xjk , Fjk+1 , , Fjn+m ) =0 ∂(X1 , , Xn , Y1 , , Ym ) k < n ∂(X , ,X ,F , ,F ) n jn+1 jn+m Điều suy ϑX sinh phần tử có dạng ∈ R với ∂(x1 , ,xn ,y1 , ,ym ) {jn+1 , , jn+m } ⊆ {1, , r} Do vậy, ta nhận ϑX ⊆ ϑRX2 /K[y0 ] R Hơn nữa, ϑRX1 /K[x0 ] = , Hệ 2.1.12 suy ϑX = ϑRX2 /K[y0 ] R Bây ta cố định j ∈ N Giả sử HFϑRX /K[y0 ] (j) = t {h1 , , ht } sở K -không gian véctơ (ϑRX2 /K[y0 ] )j ⊆ (RX2 )j Ta thấy vành R thỏa mãn R = P/( X1 , , Xn + IX2 ) ∼ = K[X0 ][Y0 , , Ym ]/IX2 = RX2 [x0 ] Do đó, bao hàm thức {h1 , , ht } ⊆ ϑX HFϑX (0, j) ≥ t Hơn nữa, phần tử x0 không ước khơng R, ta có dimK (ϑRX2 /K[y0 ] R)i,j = dimK ((ϑRX2 /K[y0 ] )j xi0 ) = t với i ∈ N Vì vậy, ta nhận HFϑX (i, j) = HFϑRX /K[y0 ] (j) với i, j ∈ N Hơn nữa, HFϑX (i, j) = s với j ≥ mrX2 theo [9, Corollary 2.6] Tính chất ta cố định số j ∈ N hàm Hilbert ca phõn sai Kăahler l hng vi giỏ tr đủ lớn i 35 Định lý 2.2.2 Cho X ⊆ Pn × Pm tập s điểm phân biệt có tính ACM, cho j ∈ N, cho {h1 , , ht } tập sinh nhỏ gồm phần tử song ϑX cho deg(hk ) = (ik , jk ) với k = 1, , t, cho i0 := max{ik | jk ≤ j, k = 1, , t} Khi đó, với i ≥ i0 , HFϑX (i, j) = HFϑX (i + 1, j) HFϑX (i + 1, j) = HFϑX (i + 2, j) Đặc biệt, ta có HFϑX (i, j) = HFϑX (i0 + s, j) với i ≥ i0 + s Chứng minh Giả sử HFϑX (i, j) = HFϑX (i + 1, j) Vì x0 khơng ước không R, nên ánh xạ nhân µx0 : (ϑX )i,j → (ϑX )i+1,j , f → x0 · f đơn cấu Thật với phần tử f ∈ Ker(µx0 ), ta có µx0 (f ) = x0 · f = Suy f = x0 khơng ước không R Mặt khác, dimK (ϑX )i,j = dimK (ϑX )i+1,j µx0 đơn cấu, nên tồn cấu Khi µx0 đẳng cấu K -khơng gian véc tơ Vì vậy, ta có (ϑX )i+1,j = x0 · (ϑX )i,j Hiển nhiên, x0 · (ϑX )i+1,j ⊆ (ϑX )i+2,j Mặt khác, xét f ∈ (ϑX )i+2,j \ {0} Vì {h1 , , ht } tập sinh ϑX i ≥ i0 , nên fk = tk=1 hk gk với gk ∈ R deg gk = (i + − ik , j − jk ) cho i + − ik ≥ Chú ý jk > j gk = Ta viết gk = x0 lk0 + · · · + xn lkn với lk0 , , lkn ∈ R có bậc deg(lk0 ) = · · · = deg(lkn ) = (i + − ik , j − jk ) Vậy t t hk (x0 lk0 + · · · + xn lkn ) = f= k=1 (hk x0 lk0 + · · · + hk xn lkn ) k=1 Dễ thấy deg(hk lk0 ) = · · · = deg(hk lkn ) = (i + 1, j) Do với ≤ k ≤ t ≤ u ≤ n ta có hk lku ∈ (ϑX )i+1,j Vì (ϑX )i+1,j = x0 · (ϑX )i,j , ta viết hk lku = x0 hku với hku ∈ (ϑX )i,j Từ suy t t (x20 hk0 f= + · · · + xn x0 hkn ) = x0 ( k=1 (x0 hk0 + · · · + xn hkn )) k=1 Vậy ta nhận f ∈ x0 · (ϑX )i+1,j Do x0 · (ϑX )i+1,j = (ϑX )i+2,j HFϑX (i + 1, j) = HFϑX (i + 2, j) Hơn nữa, ta thấy ≤ HFϑX (i, j) ≤ HFX (i, j) ≤ s Do đó, khẳng định chứng minh HFϑX (i, j) = HFϑX (i0 + s, j) với i ≥ i0 + s Nhận xét 2.2.3 Với ký hiệu định lý trên, Định lý 1.3.6 HFX (i, j) = HFX (t − 1, j) = a ≤ s với i ≥ t − t = #X1 Ta có HFϑX (i, j) = HFϑX (i0 + a, j) với i ≥ i0 + a Tương tự, với i ∈ N bất kỳ, ta cho j0 := max{jk | ik ≤ i, k = 1, , t} đặt b = HFX (i, r − 1) với r = #X2 Khi đó, ta có HFϑX (i, j) = HFϑX (i, j0 + b) với j ≥ j0 + b 36 Ví dụ 2.2.4 Cho X ⊆ P2 × P2 tập điểm phân biệt xem xét Ví dụ 2.1.10 Ta bit hm Hilbert ca phõn sai Kăahler X 0 2 2 HFϑX        =       0 2 2   0 3 3    4 4         5 5  5 5 5 5 5 Hơn nữa, với j = ta có i00 = max{ik | jk ≤ 0, k = 1, , 8} = Tương tự, với j = 1, ta có i01 = max{ik | jk ≤ 1, k = 1, , 8} = = max{ik | jk ≤ 2, k = 1, , 8} = i02 Khi đó, với j = ta có HFϑX (4, 0) = HFϑX (5, 0) = nên HFϑX (i, 0) = với i ≥ i00 = Với j = 1, ta có HFϑX (4, 1) = HFϑX (5, 1) = nên HFϑX (i, 1) = với i ≥ i01 = Với j = 2, ta có HFϑX (4, 2) = HFϑX (5, 2) = nên HFϑX (i, 2) = với i ≥ i02 = Hơn nữa, với j ≥ ta có HFϑX (i, j) = với i ≥ Ta xét thêm ví dụ với n = m = Ví dụ 2.2.5 Với n = 2, m = K = Q, ta xét tập X = {P1 × Q1 , P1 × Q3 , P2 × Q1 , P3 × Q1 , P3 × Q2 } ⊆ P2 × P3 với P1 = [1 : : 0], P2 = [1 : : 0], P3 = [1 : : 1], Q1 = [1 : : : 0], Q2 = [1 : : : 0], Q3 = [1 : : : 1] Khi đó, S = K[X0 , X1 , X2 , Y0 , Y1 , Y2 , Y3 ], iđêan liên kết điểm IP1 ×Q1 = X1 , X2 , Y1 , Y2 , Y3 , IP1 ×Q3 = X1 , X2 , Y0 − Y1 , Y0 − Y2 , Y0 − Y3 , IP2 ×Q1 = X0 − X1 , X2 , Y1 , Y2 , Y3 , IP3 ×Q1 = X0 − X1 , X0 − X2 , Y1 , Y2 , Y3 , IP3 ×Q2 = X0 − X1 , X0 − X2 , Y0 − Y1 , Y0 − Y2 , Y3 Iđêan IX = IP1 ×Q1 ∩ IP1 ×Q3 ∩ IP2 ×Q1 ∩ IP3 ×Q1 ∩ IP3 ×Q2 có tập sinh X2 − Y3 , Y1 Y3 − Y32 , Y1 Y4 − Y42 , Y3 Y4 − Y42 , X3 Y4 , X1 Y3 − X3 Y3 − X1 Y4 , X1 X3 − X32 , X2 Y4 , X2 Y3 − X3 Y3 , X2 X3 − X32 , X1 X2 − X22 Hơn nữa, X tập ACM x0 , y0 tạo thành dãy quy R = S/IX Áp dụng hàm ApCoCoA KaehlerDifferentPnxPm(I,N,M) với I = IX , N = M = 4, ta có tập sinh tối tiểu ϑX R y34 , x0 y33 , x20 y32 , y24 , x2 y23 , x22 y22 , x22 y02 , x21 y02 , x20 y02 , x32 y0 − 2x32 y2 , x31 y0 − 2x32 y2 , x30 y1 − 2x32 y2 − 2x30 y3 , x41 − x42 37 Với i = 0, 1, 2, ta có j0i = max{jk | ik ≤ i, k = 1, , 13} = Sử dụng hàm ApCoCoA HFKaehlerDifferentPnxPm( ) với I = IX , N = 3, M = 4, L = 7, ta tính hàm Hilbert ca phõn sai Kăahler X 0 0 2 2 HFϑX        =       0 2 2   0 5 5 5    5 5 5         5 5 5  5 5 5 5 5 5 Với i = 0, ta có HFϑX (0, 4) = HFϑX (0, 5) = nên HFϑX (0, i) = với j ≥ j00 = Với i = 1, ta có HFϑX (1, 4) = HFϑX (1, 5) = nên HFϑX (1, j) = với j ≥ j01 = Với i = 2, ta có HFϑX (2, 4) = HFϑX (2, 5) = nên HFϑX (2, j) = với j ≥ j02 = Hơn nữa, với i ≥ ta có HFϑX (i, j) = với j ≥ Định lý 2.2.6 Cho X ⊆ Pn × Pm tập s điểm phân biệt có tính ACM Khi đó, ta có HFϑX (i, j) ≤ HFX (i, j) ≤ HFϑX (i + n(s − 1), j + m(s − 1)) với (i, j) ∈ N2 Chứng minh Vì ϑX iđêan song R, HFϑX (i, j) ≤ HFX (i, j) với (i, j) ∈ N2 Sau đây, ta bất đẳng thức HFX (i, j) ≤ HFϑX (i + n(s − 1), j + m(s − 1)) Như chứng minh Mệnh đề 2.1.11.b), ta thấy tồn m(r−1) ∈ ϑRX1 /K[x0 ] R · ϑRX2 /K[y0 ] R ⊆ ϑX Ở đây, X1 = π1 (X), y0 phần tử h = xn(t−1) X2 = π2 (X), t = #X1 , r = #X2 Chú ý h phần tử song bậc (n(t − 1), m(r − 1)) phần tử ước không R Như vậy, ánh xạ nhân µh : Ri,j → (ϑX )i+n(t−1),j+m(r−1) cho µh (f ) = hf đơn cấu không gian véctơ K Do vậy, theo Mệnh đề 2.1.11.a) t ≤ s r ≤ s, ta có HFX (i, j) ≤ HFϑX (i + n(t − 1), j + m(r − 1)) ≤ HFϑX (i + n(s − 1), j + m(s − 1)) với (i, j) ∈ N2 Từ Định lý 1.3.6 2.2.6 Mệnh đề 2.1.11 ta nhận hệ sau Hệ 2.2.7 Nếu (i0 , j0 ) ∈ N2 cho HFϑX (i0 , j0 ) = s, ta có HFϑX (i, j) = s với (i, j) (i0 , j0 ) Đặc biệt, ta có chọn (i0 , j0 ) = ((t − 1)(n + 1), (r − 1)(m + 1)) với t = #X1 r = #X2 38 ((s − 1)(n + 1), (s − 1)(m + 1)) Ví dụ 2.2.8 Cho X ⊆ P2 × P3 tập điểm phân biệt xem xét Ví d 2.2.5 Ta bit hm Hilbert ca phõn sai Kăahler ϑX   0 0 2 2 HFϑX        =       0 2 2   0 5 5 5    5 5 5         5 5 5  5 5 5 5 5 5 Rõ ràng với s = 5, ta có HFϑX (i, j) = với (i, j) ((5 − 1)(2 + 1), (5 − 1)(3 + 1)) = (12, 16) Hơn nữa, ta thấy HFϑX (2, 2) = 5, HFϑX (i, j) = với (i, j) (2, 2) 2.3 Hm Hilbert ca Phõn sai Kă ahler vài trường hợp đặc biệt áp dụng Trong mục sử dụng giả thiết ký hiệu mục 2.2 Việc thiết lập công thc cho hm Hilbert ca phõn sai Kăahler i vi tập ACM X ⊆ Pn × Pm đơn giản Dưới đây, xem xét vấn đề vài trường hợp đặc biệt tập X, nghiên cứu vài áp dng ca phõn sai Kăahler Ta t X1 = (X) X2 = π2 (X), π1 , π2 phép chiếu tắc Hơn nữa, cho rX1 rX2 lần lược số quy hàm Hilbert HFX1 HFX2 Trước hết ta xét trường hợp n = m = Theo [4, Proposition 7.3], ta có tính chất sau Mệnh đề 2.3.1 Cho X tập s điểm phân biệt có tính ACM P1 × P1 cho X1 = π1 (X) X2 = π2 (X) Nếu X tập giao đầy đủ hàm Hilbert ϑX thỏa mãn HFϑX (i, j) = HFX (i − rX1 , j − rX2 ) với (i, j) ∈ N2 Từ mệnh đề chúng tơi mong muốn có tính chất tương tự cho tập giao đầy đủ Pn × Pm Từ Mệnh đề 2.2.1.a) 1.3.2 [9, Lemma 3.1(ii)] ta suy hệ sau Hệ 2.3.2 Cho X = {P × Q1 , , P × Qs } ⊆ Pn × Pm Nếu X2 = {Q1 , , Qs } ⊆ Pm tập giao đầy đủ (tức IX2 sinh m đa thức K[Y0 , , Ym ]), 39 ta có HFϑX (i, j) = HFX (i, j − rX2 ) với i, j ∈ N Tiếp theo ta phát biểu chứng minh kết tổng quát hóa Mệnh đề 2.3.1 sau Ở ta sử dụng ký hiệu αX βX định nghĩa Ký hiệu 1.4.18 Định lý 2.3.3 Cho X tập s = s1 s2 điểm phân biệt có tính ACM Pn × Pm cho αX = (α1 , , αs1 ) = (s2 , , s2 ) βX = (β1 , , βs2 ) = (s1 , , s1 ) Giả sử s1 s2 X1 = π1 (X) ⊆ Pn X2 = π2 (X) ⊆ Pm tập giao y Khi ú phõn sai Kă ahler X iđêan song hàm Hilbert thỏa mãn HFϑX (i, j) = HFX (i − rX1 , j − rX2 ) với (i, j) ∈ N2 Chứng minh Vì X1 X2 tập giao đầy đủ, ta có IX1 = F1 , , Fn ⊆ K[X0 , , Xn ] IX2 = G1 , , Gm ⊆ K[Y0 , , Ym ] với Fi , Gj đa thức khác , ,Fn ) deg(∆1 ) = không Theo [9, Lemma 3.1], ϑRX1 /K[x0 ] R = ∆1 với ∆1 = ∂(F ∂(x1 , ,xn ) (rX1 , 0), ϑRX2 /K[y0 ] R = ∆2 với ∆2 = ∂(G1 , ,Gm ) ∂(y1 , ,ym ) deg(∆2 ) = (0, rX2 ) Hơn nữa, phần tử ∆2 không ước phần tử ∆1 không ước không RX1 không RX2 Theo Mệnh đề 1.4.20 ta có IX = IX1 S + IX2 S = F1 , , Fn , G1 , , Gm Ta nhận thấy ma trận quan hệ Ω1R/Ro tương ứng với {dx1 , , dxn , dy1 , , dym }  ∂F1 ∂x1  ∂F  ∂x12  · · ·   ∂Fn  ∂x1       · · · ∂F1 ∂xn ∂F2 ∂xn ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ∂Fn ∂xn ··· ··· ··· ··· ∂G1 ∂y1 ∂G2 ∂y1 ··· ··· ··· ··· ··· ∂Gm ∂y1 ··· ··· ··· ···    ···     ∂G1   ∂ym  ∂G2  ∂ym   ···   ∂Gm ∂ym Điều suy ϑX iđêan sinh phần tử có dạng ∆= ∂(F1 , , Fn ) ∂(G1 , , Gm ) ∂(F1 , , Fn , G1 , , Gm ) = · = ∆1 · ∆2 ∂(x1 , , xn , y1 , , ym ) ∂(x1 , , xn ) ∂(y1 , , ym ) Giả sử tồn điểm P × Q ∈ X cho ∆(P × Q) = Khi ∆(P × Q) = (∆1 · ∆2 )(P × Q) = ∆1 (P ) · ∆2 (Q) = 40 Suy ∆1 (P ) = ∆2 (Q) = Điều mâu thuẫn với ∆1 không ước không RX1 ∆2 khơng ước khơng RX2 Do ∆(P × Q) = với P × Q ∈ X Giả sử ∆ ước không R, tồn ∆ = R cho ∆ · ∆ = Với P × Q ∈ X (∆ · ∆ )(P × Q) = ∆(P × Q) · ∆ (P × Q) = Vì ∆ = nên tồn điểm P × Q ∈ X cho ∆ (P × Q ) = Suy ∆(P × Q ) = Điều mâu thuẫn với điều vừa Do ∆ khơng ước khơng R Ánh xạ nhân µ∆ : R → ϑX (rX1 , rX2 ), f → ∆ · f đẳng cấu môđun song phân bậc Do HFϑX (i, j) = HFX (i − rX1 , j − rX2 ) với (i, j) ∈ N2 Ví dụ 2.3.4 Cho m = n = Đặt Pi = [1 : i] ∈ P1 với i ∈ N Qj = [1 : j] ∈ P1 với j ∈ N kí hiệu Pij = Pi × Qj Cho X tập sáu điểm P1 × P1 : X = {P11 , P12 , P13 , P21 , P22 , P23 } Khi đó, ta có αX = (3, 3) βX = (2, 2, 2) X tập có tính ACM Hơn nữa, ta có rX1 = rX2 = Hàm Hilbert X xác định ma trận   3 3       HFX =                  6 6  6 6 6 6 6 6 6 6 Theo định lý trờn, hm Hilbert ca phõn sai Kăahler X l  HFϑX       =      0 0 0 0 3  0 6 0 6 0 6 0 6            Phần lại mục dành để thảo luận tính Cayley-Bacharach tập hữu hạn điểm Trước hết ta xét tập s điểm phân biệt X ⊆ Pn Khi tập X tập có tính Cayley-Bacharach (hay tập Cayley-Bacharach) siêu 41 mặt có bậc nhỏ rX chứa s − điểm X chứa tất điểm X Chú ý tập giao đầy đủ X ⊆ Pn tập Cayley-Bacharach (xem [2, Theorem 5]) Tiếp theo ta xem xét tính Cayley-Bacharach tập hữu hạn điểm X ⊆ n P × Pm Sau ta phát biểu đa thức tách tập điểm có tính ACM Pn × Pm Định nghĩa 2.3.5 Cho X ⊆ Pn × Pm tập s điểm phân biệt có tính ACM, cho P × Q ∈ X Đa thức tách điểm P × Q đa thức song F ∈ S cho F (P × Q) = and F (P × Q ) = for all P × Q ∈ X \ {P × Q} Một đa thức tách F P × Q gọi nhỏ không tồn đa thức tách G P × Q cho deg(G) ≤ deg(F ) Theo [5, Theorem 5.7], với điểm P × Q ∈ X tất đa thức tách nhỏ có bậc Do ta có định nghĩa sau Định nghĩa 2.3.6 Với ký hiệu định nghĩa phía Bậc điểm P × Q ∈ X xác định degX (P × Q) = deg(F ) với F đa thức tách nhỏ P × Q Bổ đề liệt kê từ [5, Section 5] số tính chất đa thức tách tập X ⊆ Pn × Pm Bổ đề 2.3.7 Cho X ⊆ Pn × Pm tập s điểm phân biệt có tính ACM, cho P × Q ∈ X, cho Y = X \ {P × Q} Với (i, j) (i, j) degX (P × Q) tồn đa thức tách F P × Q có bậc deg(F ) = Nếu F đa thức tách P × Q IX : F = IP ×Q Ta có  HF (i, j) X HFY (i, j) = HFX (i, j) − (i, j) degX (P × Q) (i, j) degX (P × Q) Nếu F G hai đa thức tách P × Q có bậc, tồn c ∈ K \ {0} cho G − cF ∈ IX Định nghĩa 2.3.8 Tập X gọi tập có tính Cayley-Bacharach (hay tập Cayley-Bacharach) điểm X có bậc 42 Theo bổ đề ta nói X tập Cayley-Bacharach hàm Hilbert tập X \ {P × Q} độc lập với việc chọn P × Q Nhận xét 2.3.9 Ta viết X1 = π1 (X) = {P1 , , Ps1 } ⊆ Pn X2 = π2 (X) = {Q1 , , Qs2 } ⊆ Pm Nếu Pk × Ql ∈ X ta có degX (Pk × Ql ) ≤ (rX1 , rX2 ) Thực vậy, ta ln tìm thấy đa thức Fk ∈ K[X0 , , Xn ] có bậc rX1 cho Fk (Pk ) = Fk (Pk ) = với k = k (xem[9, Remark 1.3]) Đa thức Fk gọi đa thức tách Pk X1 Tương tự, tồn đa thức tách Gl ∈ K[Y0 , , Ym ] Ql X2 có bậc rX2 Khi đó, đa thức Fk Gl đa thức tách Pk × Ql X Mệnh đề 2.3.10 Cho X tập s = s1 s2 điểm phân biệt có tính ACM Pn × Pm cho αX = (α1 , , αs1 ) = (s2 , , s2 ) βX = (β1 , , βs2 ) = (s1 , , s1 ) s1 m P Pn s2 Nếu X1 = π1 (X) ⊆ X2 = π2 (X) ⊆ tập Cayley-Bacharach (đặc biệt, tập giao đầy đủ), với Pk × Ql ∈ X ta có degX (Pk × Ql ) = (rX1 , rX2 ) Đặc biệt, X tập có tính Caylay-Bacharach Chứng minh Giả sử F đa thức tách Pk × Ql ∈ X với bậc deg(F ) = (i, j) ≺ (rX1 , rX2 ) Không tổng quát ta giả sử i < rX1 Theo Mệnh đề 1.4.20 ta viết F = αuv Tu Tv (mod IX ) uv với {Tu }u ⊆ (K[X0 , , Xn ])i có ảnh tạo thành sở (RX1 )i , {Tv }v ⊆ (K[Y0 , , Ym ])i có ảnh tạo thành sở (RX2 )i , αuv ∈ K Đặt αuv Tv (Ql )Tu ∈ (K[X0 , , Xn ])i Fk = uv Vì F đa thức tách điểm (Pk × Ql ) X, với Pk ∈ X1 ta có Fk (Pk ) = ( αuv Tv (Ql )Tu )(Pk ) = uv αuv Tv (Ql )Tu (Pk ) uv αuv Tv · Tu )(Pk × Ql ) = F (Pk × Ql ) = =( uv với Pk ∈ X1 \ {Pk } ta có αuv Tv (Ql )Tu )(Pk ) = Fk (Pk ) = ( uv αuv Tv (Ql )Tu (Pk ) uv αuv Tv · Tu )(Pk × Ql ) = F (Pk × Ql ) = =( uv 43 Do Fk đa thức tách Pk X1 có bậc i < rX1 Mặt khác, X1 tập có tính Cayley-Bacharach nên theo định nghĩa đa thức tách có bậc ≥ rX1 , đặc biệt deg(Fk ) ≥ rX1 Điều mâu thuẫn Vì ta có degX (Pk × Ql ) = (rX1 , rX2 ) Ví dụ 2.3.11 Cho n = m = 2, cho Pi = [1 : i] P1 với i ∈ N cho Q1 = [1 : : 0], Q2 = [1 : : 0], Q3 = [1 : : 1] P2 Ta xét X tập 12 điểm X = {P11 , P12 , P13 , P21 , P22 , P23 , P31 , P32 , P33 , P41 , P42 , P43 } ⊆ P1 × P2 với Pij = Pi × Qj , ≤ i ≤ ≤ j ≤ Khi X tập có tính ACM ta có αX = (3, 3, 3, 3) βX = (4, 4, 4) Hơn nữa, ta có X1 = {P1 , P2 , P3 , P4 } ⊆ P1 X2 = {Q1 , Q2 , Q3 } ⊆ P2 với rX1 = rX2 = Chú ý, tập hữu hạn điểm P1 tập giao đầy đủ nên tập Cayley-Bacharach Đặc biệt, X1 tập Cayley-Bacharach Vì rX2 = đa thức tách điểm X2 ln có bậc lớn 1, nên X2 tập Cayley-Bacharach Vậy deg(Pij ) = (3, 1) với ≤ i ≤ ≤ j ≤ Hơn nữa, theo Mệnh đề 2.3.10, tập X tập Cayley-Bacharach Trong trường hợp n = m = 1, bậc điểm X hồn tồn xác định thơng qua định lý sau (xem [4, Theorem 2.14]) Định lý 2.3.12 Cho X ⊆ P1 × P1 tập s điểm phân biệt có tính ACM, cho X1 = π1 (X) = {P1 , , Ps1 }, X2 = π2 (X) = {Q1 , , Qs2 }, cho αX = (α1 , , αs1 ) βX = (β1 , , βs2 ) Khi bậc điểm Pk × Ql ∈ X degX (Pk × Ql ) = (βl − 1, αk − 1) Đặc trưng tập có tính Cayley-Bacharach P1 × P1 qua phân sai Kăahler c phỏt biu sau õy (xem[4, Proposition 7.3]) Mệnh đề 2.3.13 Cho X ⊆ P1 × P1 tập s điểm phân biệt có tính ACM, cho X1 = π1 (X) = {P1 , , Ps1 }, X2 = π2 (X) = {Q1 , , Qs2 }, cho αX = (α1 , , αs1 ) βX = (β1 , , βs2 ) Khi pháp biểu sau tương đương X tập Cayley-Bacharach α1 = · · · = αs1 = s2 β1 = · · · = βs2 = s1 Mọi điểm X có bậc (s1 − 1, s2 − 1) X l giao y Phõn sai Kăahler X không chứa đa thức tách điểm P × Q ∈ X với bậc ≺ (2s1 − 2, 2s2 − 2) 44 Ví dụ 2.3.14 Cho m = n = Đặt Pi = [1 : i] ∈ P1 với i ∈ N Qj = [1 : j] ∈ P1 với j ∈ N kí hiệu Pij = Pi × Qj Cho X tập sáu điểm P1 × P1 : X = {P11 , P12 , P13 , P21 , P22 , P23 } Khi X1 = π1 (X) = {P1 , P2 } , X2 = π2 (X) = {Q1 , Q2 , Q3 } tập X = X1 × X2 có tính ACM Vì X1 X2 tập giao đầy đủ, nên chúng tập CayleyBacharach Theo Mệnh đề 2.3.10 tập X tập Cayley-Bacharach Hàm Hilbert X xác định ma trận   3 3       HFX =                  6 6  6 6 6 6 6 6 6 6 Trong trng hp ny phõn sai Kăahler ϑX X iđêan sinh phần tử sau x1 y12 − 2/3x2 y12 − 12/11x1 y1 y2 + 8/11x2 y1 y2 + 3/11x1 y22 − 2/11x2 y22 Hm Hilbert ca phõn sai Kăahler X l HFϑX       =       0 0 0 0 3  0 6 0 6 0 6 0 6 45            KẾT LUẬN Tóm lại, luận văn làm việc đây: - Đưa nhìn tổng quan đối tượng đại số liên kết với tập hữu hạn điểm X khơng gian xạ ảnh bội Pn × Pm hàm Hilbert chúng Đặc biệt, giúp đỡ chương trình đại số máy tính ApCoCoA chúng tơi đưa ví dụ cụ thể minh họa cho tính chất đối tượng - Đưa mã code KaehlerDifferentPnxPm( ) HFKaehlerDifferentPnxPm( ) ApCoCoA để tính hệ sinh tối thiểu hàm Hilbert phõn sai Kăahler X R bit iờan liờn kết X - Thiết lập mối quan hệ gia hm Hilbert ca phõn sai Kăahler v ca vnh tọa độ R (xem Định lý 2.2.2 2.2.6) - Trong trường hợp đặc biệt tập X chúng tơi cơng thức cho hàm Hilbert ϑX (xem Mệnh đề 2.2.1 Định lý 2.3.3), tập X = X1 × X2 ⊆ Pn × Pm với X1 ⊆ Pn X2 ⊆ Pm tập Cayley-Bacharach (tương ứng, tập giao đầy đủ) tập X tập Cayley-Bacharach (tương ứng, tập giao đầy đủ) (xem Mệnh đề 1.4.20 2.3.10 Hệ 1.4.21) Tác giả cố gắng với lực có hạn thời gian khơng nhiều, khơng tránh khỏi sai sót Tác giả kính mong q Thầy Cơ bạn đóng góp ý kiến để Luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] W Bruns and J Herzog (1993), Cohen-Macaulay Rings, Cambridge Stud Adv Math 39, Cambridge University Press, Cambridge [2] E.D Davis, A.V Geramita, and F Orecchia (1985), Gorenstein algebras and the Cayley-Bacharach theorem, Proc Amer Math Soc 93 , 593-597 [3] G.D Dominicis and M Kreuzer (1999), Kă ahler differentials for points in Pn , J Pure Appl Algeba 141 , 153-173 [4] E Guardo, M Kreuzer, T.N.K Linh and L.N Long (2016), Kă ahler differentials for fat point schemes in P1 × P1 , arXiv:1611.09851v1 [math.AG] [5] E Guardo and A Van Tuyl (2008), ACM sets of points in multiprojective space, Collect Math 59, no 2, 191–213 [6] E Guardo and A Van Tuyl (2015), Arithmetically Cohen-Macaulay Sets of Points in P1 × P1 , Springer Briefs in Mathematics, Springer [7] H.T Ha and A Van Tuyl (2004), The regularity of points in multi-projective spaces, J Pure Appl Algebra 187 , 153–167 [8] Klaus Hulek (2000), Elementary Algebraic Geometry, translated by Helena Verill, Student mathematical library, V 20, American Mathematical Society [9] M Kreuzer, T.N.K Linh, L.N Long (2015), Kă ahler differentials and Kă ahler differents for fat point schemes, J Pure Appl Algebra 219, 4479–4509 [10] M Kreuzer and L Robbiano (2000), Commutational Commutative Algebra 1, Springer-Verlag [11] M Kreuzer and L Robbiano (2005), Commutational Commutative Algebra 2, Springer-Verlag [12] Ernst Kunz (1985), Introduction to Commutative Algebra and Algebraic Geometry, Birkhăauser Boston [13] E Kunz (1986), Kăahler Differentials, Adv Lectures Math, Wieweg Verlag, Braunschweig 47 [14] R E Macrae (1965), On an application of the Fitting invariants, J Algebra 2, 153-169 [15] R.Y.Sharp (2000), Steps in Commutative Algebra, London Mathematical Society Student Texts [16] A Van Tuyl (2002), The border of the Hilbert function of a set of points in Pn1 × · · · × Pnk , J Pure Appl Algebra 176, 223–247 [17] A Van Tuyl (2003), The Hilbert function of ACM set of points in Pn1 ×· · ·×Pnk , J Algebra 264, 420–441 [18] A Van Tuyl (2001), Sets of Points in Multi-Projective Spaces and their Hilbert Funtion, PhD Thesis, Queen’s University, Canada [19] The ApCoCoA Team, ApCoCoA: Approximate Computations in Commutative Algebra, available at http://www.apcocoa.org 48 ... nói đầu TẬP HỮU HẠN ĐIỂM TRONG Pn × Pm 1.1 Vành song phân bậc iđêan song 1.2 Iđêan tập hữu hạn điểm vành tọa độ 1.3 Hàm Hilbert tập hữu hạn điểm 1.4 Vành Cohen-Macaulay tập điểm có... = S/IX 1.3 Hàm Hilbert tập hữu hạn điểm Trước xem xét hàm Hilbert tập hữu hạn điểm không gian xạ ảnh bội Pn × Pm , ta nhắc lại vài tính chất hàm Hilbert tập hữu hạn điểm không gian xạ ảnh thông...   .    Hàm sai phân thứ HFX tập hữu hạn điểm X có tính ACM có tính chất sau (với trường hợp tổng quát xem [5, Theorem 3.2]) Mệnh đề 1.5.7 Cho X tập hữu hạn điểm có tính ACM Pn × Pm