Khảo sát tính chất phi cổ điển của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) lẻ

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÂM THỊ TUYẾT NHUNG KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP THÊM HAI PHOTON TÍCH SU (1,1) LẺ Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN Mã số : 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU Người hướng dẫn khoa học PGS.TS TRƯƠNG MINH ĐỨC Thừa Thiên Huế, năm 2017 i LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các kết quả, số liệu, đồ thị nêu luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa cơng bố cơng trình nghiên cứu khác Huế, tháng 10 năm 2017 Tác giả luận văn Lâm Thị Tuyết Nhung ii LỜI CẢM ƠN Để hồn thành tốt luận văn tốt nghiệp này, tơi xin đặc biệt bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS.TS Trương Minh Đức tận tâm giảng dạy, hướng dẫn, giúp đỡ tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập, nghiên cứu thực luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô khoa Vật Lý phòng Đào tạo sau Đại học, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế tận tình giảng dạy, hướng dẫn tơi q trình học tập hồn thành luận văn Qua đây, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình bạn bè, anh, chị học viên Cao học khóa 24 động viên, góp ý, giúp đỡ tạo điều kiện cho tơi suốt q trình thực đề tài Huế, tháng 10 năm 2017 Tác giả luận văn Lâm Thị Tuyết Nhung iii MỤC LỤC Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục Danh sách hình vẽ MỞ ĐẦU NỘI DUNG 12 Chương CƠ SỞ LÝ THUYẾT 12 1.1 Trạng thái kết hợp 12 1.1.1 Định nghĩa 12 1.1.2 Các tính chất trạng thái kết hợp 16 1.1.3 Trạng thái kết hợp thêm photon 19 1.2 Trạng thái nén 20 1.3 Một số tính chất phi cổ điển 22 1.3.1 Tính chất nén tổng 22 1.3.2 Tính chất nén hiệu 24 1.3.3 Tính chất nén Hillery bậc cao 24 1.3.4 Tính chất phản kết chùm bậc cao 25 1.3.5 Sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 27 1.4 Các tiêu chuẩn đan rối 28 1.4.1 Tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy 28 1.4.2 Tiêu chuẩn đan rối entropy von Newmann 30 Chương KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT NÉN CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP THÊM HAI PHOTON TÍCH SU (1,1) LẺ 33 2.1 Trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1,1) lẻ 33 2.1.1 Trạng thái hai mode kết hợp SU (1,1) 33 2.1.2 Trạng thái hai mode kết hợp SU (1,1) lẻ 34 2.1.3 Trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1,1) lẻ 35 2.2 Khảo sát tính chất nén tổng trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1,1) lẻ 37 2.3 Khảo sát tính chất nén hiệu trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1,1) lẻ 41 2.4 Khảo sát tính chất nén Hillery bậc cao trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1,1) lẻ Chương 46 KHẢO SÁT TÍNH CHẤT PHẢN KẾT CHÙM VÀ SƯ VI PHẠM BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHYSCHWARZ CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP THÊM HAI PHOTON TÍCH SU (1,1) LẺ 53 3.1 Khảo sát tính chất phản kết chùm trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1,1) lẻ 53 3.1.1 Trường hợp tổng quát 53 3.1.2 Trường hợp l =1, p=1 56 3.1.3 Trường hợp l =2, p=1 57 3.1.4 Trường hợp l =2, p=2 57 3.1.5 Trường hợp l =3, p=1 58 3.1.6 Trường hợp l =3, p=2 58 3.1.7 Trường hợp l =3, p=3 59 3.1.8 Trường hợp l =4, p=3 59 3.2 Khảo sát vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU ( 1,1) lẻ 61 Chương KHẢO SÁT TÍNH CHẤT ĐAN RỐI CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP THÊM HAI PHOTON TÍCH SU (1,1) LẺ 65 4.1 Khảo sát tính chất đan rối trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1,1) lẻ tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy 65 4.2 Khảo sát tính chất đan rối trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1,1) lẻ tiêu chuẩn đan rối entropy von Newmann 69 KẾT LUẬN 73 TÀI LIỆU THAM KHẢO 75 DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ Hình 2.1 Sự phụ thuộc S trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ q = (đường chấm chấm gạch), q = (đường chấm gạch) trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) lẻ q = (đường nét liền), q = (đường nét đứt) vào biên độ kết hợp r Hình 2.2 40 Sự phụ thuộc tham số nén hiệu D trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ q = (đường nét liền), q = (đường nét đứt), q = (đường chấm chấm gạch) vào biên độ kết hợp r Hình 2.3 45 Sự phụ thuộc tham số H2 (φ) trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ q = (đường nét liền), q = (đường nét đứt), q = (đường chấm chấm gạch) vào biên độ kết hợp r Hình 3.1 49 Sự phụ thuộc Aab (1, 1) trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ q = (đường chấm chấm gạch), q = (đường chấm gạch) trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) lẻ q = (đường nét liền), q = (đường nét đứt) vào biên độ kết hợp r 56 Hình 3.2 Sự phụ thuộc Aab (2, 1) trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ q = (đường chấm chấm gạch), q = (đường chấm gạch) trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) lẻ q = (đường nét liền), q = (đường nét đứt) vào biên độ kết hợp r Hình 3.3 57 Sự phụ thuộc Aab (2, 2) trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ q = (đường chấm chấm gạch), q = (đường chấm gạch) trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) lẻ q = (đường nét liền), q = (đường nét đứt) vào biên độ kết hợp r Hình 3.4 57 Sự phụ thuộc Aab (3, 1) trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ q = (đường chấm chấm gạch), q = (đường chấm gạch) trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) lẻ q = (đường nét liền), q = (đường nét đứt) vào biên độ kết hợp r Hình 3.5 58 Sự phụ thuộc Aab (3, 2) trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ q = (đường chấm chấm gạch), q = (đường chấm gạch) trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) lẻ q = (đường nét liền), q = (đường nét đứt) vào biên độ kết hợp r 58 Hình 3.6 Sự phụ thuộc Aab (3, 3) trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ q = (đường chấm chấm gạch), q = (đường chấm gạch) trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) lẻ q = (đường nét liền), q = (đường nét đứt) vào biên độ kết hợp r Hình 3.7 59 Sự phụ thuộc Aab (4, 3) trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ q = (đường chấm chấm gạch), q = (đường chấm gạch) trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) lẻ q = (đường nét liền), q = (đường nét đứt) vào biên độ kết hợp r Hình 3.8 59 Sự phụ thuộc A(1, 1), A(2, 1), A(3, 1) trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ vào r với q = Đường biểu diễn tham số chọn theo thứ tự tương ứng với đường nét liền, đường nét đứt, đường chấm chấm gạch Hình 3.9 60 Sự phụ thuộc I trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ q = (đường chấm chấm gạch), q = (đường chấm gạch) trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) lẻ q = (đường nét liền), q = (đường chấm gạch) vào biên độ kết hợp r 63 Hình 4.1 Sự phụ thuộc R1 trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ q = (đường nét liền), q = (đường nét đứt), q = (đường chấm chấm gạch) vào biên độ kết hợp r ứng với m = n = Hình 4.2 69 Sự phụ thuộc Ev trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ q = (đường nét liền), q = (đường nét đứt), q = (đường chấm gạch) vào biên độ kết hợp r 72 [16] Hillery M (1985), Conservation laws and nonclassical states in nonlinear optical systems, Physical Review A, 31(1), pp 338 - 342 [17] Hillery M (1987), Squeezing of the square of the field amplitude in second harmonic generation, Optics communications, 62(2), pp 135 - 138 [18] Hillery M (1989), Sum and difference squeezing of the electromagnetic field, Physical Review A, 40(6), pp 3147 - 3155 [19] Hillery M., and Zubairy M S (2006), Entanglement conditions for two-mode states: Applications, Physical Review A, 74(3), pp 032333-1 - 032333-7 [20] Hollenhorst J N (1979), Quantum limits on resonant-mass gravitational-radiation detectors, Physical Review D, 19(6), pp 1669 - 1679 [21] Nguyen Thi Xuan Hoai, and Truong Minh Duc (2016), Nonclassical properties and teleportation in the two-mode photon-added displaced squeezed states, International Journal of Modern Physics B, 30(7), 1650032-1 - 1650032-15 [22] Klauder J R (1963), Continuous-Representation Theory II Generalized Relation between Quantum and Classical Dynamics, Journal of Mathematical Physics, 4(8), pp 1058 - 1073 [23] Klauder J R., McKenna J., and Currie D G (1965), On "Diagonal" Coherent-State Representations for Quantum-Mechanical Density Matrices, Journal of Mathematical Physics, 6(5), pp 734 - 739 [24] Lee C T (1990), Many-photon antibunching in generalized pair coherent states, Physical Review A, 41(3), pp 1569 - 1575 77 [25] Lee C T (1990), Higher-order criteria for nonclassical effects in photon statistics, Physical Review A, 41(3), pp 1721 - 1723 [26] Sanders B C (2012), Review of entangled coherent states, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 45(24), pp 244002-1 244002-15 [27] Mancini, S., Giovannetti, V., Vitali, D., and Tombesi, P (2002), Entangling macroscopic oscillators exploiting radiation pressure, Physical review letters, 88(12), pp 120401 - 120401 [28] Muirhead R F (1903), Proofs that the arithmetic mean is greater than the geometric mean, The Mathematical Gazette, 2(39), pp 283 - 287 [29] Perelomov A M (1972), Coherent states for arbitrary Lie group, Communications in Mathematical Physics, 26(3), pp 222 - 236 [30] Slusher R., Hollberg L W., Yurke B., Mertz J C., and Valley J F (1985), Observation of squeezed states generated by four-wave mixing in an optical cavity, Physical Review Letters, 55(22), pp 2409 - 2412 [31] Stoler D (1970), Equivalence classes of minimum uncertainty packets, Physical Review D, 1(12), pp 3217 - 3219 [32] Sudarshan E C G (1963), Equivalence of semiclassical and quantum mechanical descriptions of statistical light beams, Physical Review Letters, 10(7), pp 277 - 279 [33] Tara K., and Agarwal G S (1994), Einstein-Podolsky-Rosen paradox for continuous variables using radiation fields in the paircoherent state, Physical Review A, 50(4), pp 2870 - 2875 78 [34] Weiner J., Bagnato V S., Zilio S., and Julienne P S (1999), Experiments and theory in cold and ultracold collisions, Reviews of Modern Physics, 71(1), pp - 85 [35] Zubairy M S (1982), Nonclassical effects in a two-photon laser, Physics Letters A, 87(4), pp 162 - 164 79 PHỤ LỤC PL.1 Chứng minh hệ thức giao hốn (cơng thức (2.1) chương 2) ˆ 0, K ˆ + = (ˆ a† a ˆ + ˆb†ˆb + 1), a ˆ†ˆb† • K † ˆ†ˆb† = (ˆ aa ˆ + ˆb†ˆb), a = a ˆ† a ˆ, a ˆ†ˆb† + ˆb†ˆb, a ˆ†ˆb† = † a ˆ a ˆ, a ˆ† ˆb† + a ˆ† a ˆ† a ˆ, ˆb† + a ˆ† a ˆ† , ˆb† a ˆ+ a ˆ† , a ˆ† ˆb† a ˆ ˆ† b a ˆ, a ˆ† ˆb† + ˆb† a ˆ† ˆb, ˆb† + a ˆ† ˆb† , ˆb† ˆb + ˆb† a ˆ† , a ˆ† ˆb†ˆb †ˆ† ˆ +, a b +a ˆ†ˆb† ) = K = (ˆ ˆ 0, K ˆ − = (ˆ a† a ˆ + ˆb†ˆb + 1), a ˆˆb • K † aa ˆ + ˆb†ˆb), a ˆˆb = (ˆ a ˆ† a ˆ, a ˆˆb + ˆb†ˆb, a ˆˆb = † = a ˆ a ˆ, a ˆ ˆb + a ˆ† a ˆ† a ˆ, ˆb + a ˆ a ˆ† , ˆb a ˆ+ a ˆ† , a ˆ ˆbˆ a ˆ† ˆ ˆ ˆ† ˆ ˆ b b, a ˆ b+b a ˆ b, b + a ˆ ˆb† , ˆb ˆb + a ˆ† , a ˆ† ˆb†ˆb + ˆ −, = (−ˆ aˆb − a ˆˆb) = −K ˆ +, K ˆ− = a • K ˆ†ˆb† , a ˆˆb + =a ˆ† a ˆ† , a ˆ ˆb + a ˆ† a ˆ ˆb† , ˆb† + a ˆ a ˆ† , ˆb ˆb† + a ˆ† , a ˆ ˆbˆb† = −ˆ a† a ˆ − ˆbˆb† P ˆ = −(ˆ a† a ˆ + ˆbˆb† + 1) = −2K Toán tử Casimar ˆ +K ˆ− + K ˆ −K ˆ +) ˆ 02 − (K Cˆ = K †ˆ† ˆ † a† a ˆ + ˆb†ˆb + 1) − (ˆ ˆb + a ˆˆbˆ a†ˆb† ) = (ˆ aa ˆ + ˆb†ˆb + 1)(ˆ aba † † = (ˆ aa ˆa ˆa ˆ + 2ˆ a† a ˆˆb†ˆb + ˆb†ˆbˆb†ˆb + 2ˆ a† a ˆ + 2ˆb†ˆb + 1) †ˆ† ˆ − (ˆ aba ˆb + a ˆˆbˆ a†ˆb† ) † † = a ˆa ˆa ˆa ˆ + ˆb†ˆbˆb†ˆb + 2ˆ a† a ˆ + 2ˆb†ˆb + − 2(ˆ a† a ˆ + 1)(ˆb†ˆb + 1) † † = (ˆ aa ˆa ˆa ˆ + ˆb†ˆbˆb†ˆb − 2ˆ a† a ˆˆb†ˆb − 1) † = (ˆ aa ˆ − ˆb†ˆb) − = (∆2 − 1) PL.2 Chứng minh biểu thức (2.2) Trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) Perelomov định nghĩa sau |ϕ ab ˆ + − α∗ K ˆ − )|q, = exp(αK ∞ = (1 − |ξ|2 ) 1+q n=o ab (m + q)! m!q! ξ m |m + q, m ab (2.2) Chúng chứng minh (2.2) dựa vào khai triển Baker-Hausdorff Khai ˆ † − α∗ K ˆ − ) dạng triển exp(αK ˆ † , −α∗ K ˆ− αK ˆ † ) exp(−α∗ K ˆ − ) exp − K ˆ † , −K ˆ− = exp(αK ˆ † − α∗ K ˆ − ) = exp(αK ˆ † ) exp(−α∗ K ˆ − ) exp − exp(αK ˆ † ) exp(−α∗ K ˆ − ) exp −|α|2 K ˆ0 = exp(αK P (P2) Thay (P.2) vào (2) ta |−ϕ ab ˆ |q, ˆ † ) exp(−α∗ K ˆ − ) exp −|α|2 K = exp(αK ab Thực phép biến đổi theo khai triển Taylor, ta ˆ |q, exp −|α|2 K = ab n − 12 |α|2 (q + 1) ∞ |q, n! n=0 ab n = exp − |α|2 (q + 1) |q, ab (P3) Thay (P2) vào (P3) ta n |−ϕ ab = exp − |α|2 (q + 1) |q, ˆ ab exp(αK† ) exp(−α ∗ ˆ − )|q, K ab (4.1) ˆ − ) ta tính Đối với thừa số exp(−α∗ K ˆ − )|q, exp(−α∗ K = |q, ab ab Nên |−ϕ 1+q 2 ab = exp |α| |q, ˆ ab exp(αK† )|q, ab (P4) Tương tự, ∞ ˆ †) = exp(αK (m + q)! |m + q, m m!q! αm m=0 ab (P5) Kết hợp (P4) (P5) ta |−ϕ ab = exp |α| 1+q ∞ αm m=0 (m + q)! |m + q, m m!q! ab (P6) Tiếp tục khai triển chuỗi Taylor thừa số exp −|α|2 ta có exp −|α| |α|4 |α|6 = − |α| + − + 2! 2! P (P7) Suy 1+q |α| − = − |α| + 2! ∞ |−ϕ ab αm m=0 (m + q)! |m + q, m m!q! ab , (P8) α = − 21 θ exp (−iϕ) Đặt ξ = − tanh( 2θ ) exp(−iϕ) lấy gần ta ∞ |ϕ ab = (1 − |ξ| ) 1+q m=o (m + q)! m!q! ξ m |m + q, m ab (đpcm) PL.3 Chứng minh biểu thức (2.17) e−i2φ a ˆˆbˆ aˆb = ba ψ|e−i2φ a ˆˆbˆ aˆb|ψ ∞ = 4e −i2φ 1+q |N | (1 − |ξ| ) m=o ∞ (2n + q + 2)! (2n + 1)!q! × n=o ξ 2n+1 ab (2m + q + 2)! (2m + 1)!q! (ξ ∗ )2m+1 (2m + 2)(2n + 2) × ba 2m + 2, 2m + q + 2|ˆ aa ˆˆbˆb|2n + q + 2, 2n + ∞ −i2φ = 4e 1+q |N | (1 − |ξ| ) m=o ∞ (2n + q + 2)! (2n + 1)!q! × n=o × ξ 2n+1 (2m + q + 2)! (2m + 1)!q! ab (ξ ∗ )2m+1 (2m + 2)(2n + 2) (2n + q + 2)(2n + q + 1)(2n + 1)(2n + 2)δ2m+q+2,2n+q δ2m+2,2n ∞ −i2φ = 4e 1+q |N | (1 − |ξ| ) (2m + q + 4)! 4m+2 |ξ| ξ (2m + 4) (2m + 1)!q! m=o PL.4 Chứng minh biểu thức (2.18) a ˆ†ˆb† a ˆˆb = ba ψ|ˆ a†ˆb† a ˆˆb|ψ ∞ 2 1+q = 4|N | (1 − |ξ| ) m=o ab (2m + q + 2)! (2m + 1)!q! P (ξ ∗ )2m+1 ∞ × n=o (2n + q + 2)! (2n + 1)!q! ξ 2n+1 (2m + 2)(2n + 2) × ba 2m + 2, 2m + q + 2|ˆ a† a ˆˆb†ˆb|2n + q + 2, 2n + ∞ (2m + q + 2)! (2m + 1)!q! 1+q = 4|N | (1 − |ξ| ) m=o ∞ × n=o (2n + q + 2)! (2n + 1)!q! ξ 2n+1 ab (ξ ∗ )2m+1 (2m + 2)(2n + 2) × (2n + q + 2)(2n + 2)δ2m+q+2,2n+q+2 δ2m+2,2n+2 ∞ 1+q = 4|N | (1 − |ξ| ) n=o (2n + q + 2)! 4n+2 |ξ| (2n + q + 2)(2n + 2)2 (2n + 1)!q! PL.5 Chứng minh biểu thức (2.19) eiφ a ˆ†ˆb† = ba ψ|eiφ a ˆ†ˆb† |ψ ab ∞ = 4eiφ |N |2 (1 − |ξ|2 )1+q m=o ∞ × n=o (2n + q + 2)! (2n + 1)!q! (2m + q + 2)! (2m + 1)!q! ξ 2n+1 (ξ ∗ )2m+1 (2m + 2)(2n + 2) × ba 2m + 2, 2m + q + 2|ˆ a†ˆb† |2n + q + 2, 2n + ∞ iφ 1+q = 4e |N | (1 − |ξ| ) m=o ∞ × n=o × (2n + q + 2)! (2n + 1)!q! (2m + q + 2)! (2m + 1)!q! ξ 2n+1 ab (ξ ∗ )2m+1 (2m + 2)(2n + 2) (2n + q + 3)(2n + 3)δ2m+q+2,2n+q+3 δ2m+2,2n+3 ∞ iφ 1+q = 4e |N | (1 − |ξ| ) n=o (2n + q + 3)! 4n+2 ∗ |ξ| ξ (2n + 3) (2n + 1)!q! PL.6 Chứng minh biểu thức (2.20) e−iφ a ˆˆb = ba ψ|e−iφ a ˆˆb|ψ ab P ∞ = 4e−iφ |N |2 (1 − |ξ|2 )1+q m=o ∞ × n=o (2n + q + 2)! (2n + 1)!q! (2m + q + 2)! (2m + 1)!q! ξ 2n+1 (ξ ∗ )2m+1 (2m + 2)(2n + 2) × ba 2m + 2, 2m + q + 2|ˆ aˆb|2n + q + 2, 2n + ∞ = 4e −iφ 1+q |N | (1 − |ξ| ) m=o ∞ × n=o × (2n + q + 2)! (2n + 1)!q! (2m + q + 2)! (2m + 1)!q! ξ 2n+1 ab (ξ ∗ )2m+1 (2m + 2)(2n + 2) (2n + q + 2)(2n + 2)δ2m+q+2,2n+q+1 δ2m+2,2n+1 ∞ = 4e −iφ 1+q |N | (1 − |ξ| ) (2m + q + 3)! 4m+2 |ξ| ξ(2m + 3) (2m + 1)!q! m=o PL7 Chứng minh biểu thức (2.31) e−i2φ a ˆ†ˆbˆ a†ˆb = ba ψ|e−i2φ a ˆ†ˆbˆ a†ˆb|ψ ab ∞ = 4e−i2φ |N |2 (1 − |ξ|2 )1+q m=o ∞ × n=o (2n + q + 2)! (2n + 1)!q! ξ 2n+1 (2m + q + 2)! (2m + 1)!q! (ξ ∗ )2m+1 (2m + 2)(2n + 2) × ba 2m + 2, 2m + q + 2|ˆ a† a ˆ†ˆbˆb|2n + q + 2, 2n + ∞ −i2φ = 4e 2 1+q |N | (1 − |ξ| ) m=o ∞ × n=o × (2n + q + 2)! (2n + 1)!q! ξ 2n+1 (2m + q + 2)! (2m + 1)!q! (ξ ∗ )2m+1 (2m + 2)(2n + 2) (2n + q + 4)(2n + q + 3)(2n + 2)(2n + 1) × δ2m+q+2,2n+q+4 δ2m+2,2n =0 P ab ei2φ a ˆˆb† = ba ψ|eiφ a ˆˆb† |ψ ab ∞ = 4e i2φ 1+q |N | (1 − |ξ| ) m=o ∞ × n=o (2n + q + 2)! (2n + 1)!q! (2m + q + 2)! (2m + 1)!q! ξ 2n+1 (ξ ∗ )2m+1 (2m + 2)(2n + 2) × ba 2m + 2, 2m + q + 2|ˆ aˆb† |2n + q + 2, 2n + ∞ = 4e i2φ 1+q |N | (1 − |ξ| ) m=o ∞ × n=o × (2n + q + 2)! (2n + 1)!q! (2m + q + 2)! (2m + 1)!q! ξ 2n+1 ab (ξ ∗ )2m+1 (2m + 2)(2n + 2) (2n + q + 2)(2n + 3)δ2m+q+2,2n+q+1 δ2m+2,2n+3 =0 e−iφ a ˆ†ˆb = ba ψ|e−iφ a ˆ†ˆb|ψ ab ∞ = 4|N |2 e−iφ (1 − |ξ|2 )1+q m=o ∞ × n=o (2n + q + 2)! (2n + 1)!q! (2m + q + 2)! (2m + 1)!q! ξ 2n+1 (ξ ∗ )2m+1 (2m + 2)(2n + 2) × ba 2m + 2, 2m + q + 2|ˆ a†ˆb|2n + q + 2, 2n + ∞ −iφ = 4|N | e 1+q (1 − |ξ| ) m=o ∞ × n=o × (2n + q + 2)! (2n + 1)!q! (2m + q + 2)! (2m + 1)!q! ξ 2n+1 ab (ξ ∗ )2m+1 (2m + 2)(2n + 2) (2n + q + 3)(2n + 2)δ2m+q+2,2n+q+3 δ2m+2,2n+1 =0 P PL8 Chứng minh biểu thức (2.28) ˆb†ˆb = ba ψ| ˆb†ˆb |ψ ab ∞ (2m + q + 2)! (2m + 1)!q! 1+q = 4|N | (1 − |ξ| ) m=o ∞ × n=o (2n + q + 2)! (2n + 1)!q! ξ 2n+1 (ξ ∗ )2m+1 (2m + 2)(2n + 2) × ba 2m + 2, 2m + q + 2|ˆb†ˆb|2n + q + 2, 2n + ∞ (2m + q + 2)! (2m + 1)!q! 1+q = 4|N | (1 − |ξ| ) m=o ∞ × n=o (2n + q + 2)! (2n + 1)!q! ξ 2n+1 ab (ξ ∗ )2m+1 (2m + 2)(2n + 2) × (2n + 2)δ2m+q+2,2n+q+2 δ2m+2,2n+2 ∞ 1+q = 4|N | (1 − |ξ| ) n=o (2n + q + 2)! 4n+2 |ξ| (2n + 2)2 (2n + 1)!q! PL9 Chứng minh biểu thức (2.31) a ˆ† a ˆ = ba ψ|ˆ a† a ˆ|ψ ab ∞ (2m + q + 2)! (2m + 1)!q! 1+q = 4|N |2 (1 − |ξ| ) m=o ∞ × n=o (2n + q + 2)! (2n + 1)!q! ξ 2n+1 (ξ ∗ )2m+1 (2m + 2)(2n + 2) × ba 2m + 2, 2m + q + 2|ˆ a† a ˆ|2n + q + 2, 2n + ∞ (2m + q + 2)! (2m + 1)!q! 1+q = 4|N | (1 − |ξ| ) m=o ∞ × n=o (2n + q + 2)! (2n + 1)!q! ξ 2n+1 (ξ ∗ )2m+1 (2m + 2)(2n + 2) × (2n + q + 2)δ2m+q+2,2n+q+2 δ2m+2,2n+2 P ab ∞ 1+q = 4|N | (1 − |ξ| ) n=o (2n + q + 2)! 4n+2 |ξ| (2n + 2)(2n + q + 2) (2n + 1)!q! PL10 Chứng minh biểu thức (3.7) (l) (l) = ba ψ|ˆ n(p) ˆ b |ψ a n n ˆ (p) ˆb a n ∞ = 4|N | (1 − |ξ| ) m=o ∞ × n=o (2n + q + 2)! (2n + 1)!q! = ba ψ|ˆ a†p a ˆpˆb†lˆbl |ψ (2m + q + 2)! (2m + 1)!q! 1+q ab ξ 2n+1 ab (ξ ∗ )2m+1 (2m + 2)(2n + 2) × ba 2m + 2, 2m + q + 2|ˆ a†p a ˆpˆb†lˆbl |2n + q + 2, 2n + ∞ (2m + q + 2)! (2m + 1)!q! 1+q = 4|N | (1 − |ξ| ) m=o ∞ × n=o × (2n + q + 2)! (2n + 1)!q! ξ 2n+1 ab (ξ ∗ )2m+1 (2m + 2)(2n + 2) (2n + q + 2)! (2n + 2)! δ2m+q+2,2n+q+2 δ2m+2,2n+2 (2n + q + − p)! (2n + − l)! ∞ 1+q = 4|N | (1 − |ξ| ) n=o × 2 (2n + q + 2)! 4n+2 |ξ| (2n + 2) (2n + 1)! (2n + 2)! (2n + q + 2)! (2n + q + − p)! (2n + − l)! PL11 Chứng minh biểu thức (3.8) (p−1) n ˆ (l+1) n ˆb a = ba ψ|ˆ a†(l+1) a ˆ(l+1)ˆb†(p−1)ˆb(p−1) |ψ ∞ (2m + q + 2)! (2m + 1)!q! 1+q = 4|N | (1 − |ξ| ) m=o ∞ × n=o (2n + q + 2)! (2n + 1)!q! ξ 2n+1 ab (ξ ∗ )2m+1 (2m + 2)(2n + 2) × ba 2m + 2, 2m + q + 2|ˆ a†(l+1) a ˆ(l+1)ˆb†(p−1)ˆb(p−1) |2n + q + 2, 2n + ∞ 2 1+q = 4|N | (1 − |ξ| ) m=o (2m + q + 2)! (2m + 1)!q! P (ξ ∗ )2m+1 ab ∞ × n=o × (2n + q + 2)! (2n + 1)!q! (2m + 2)(2n + 2) (2n + q + 2)! (2n + q − − l)! (2n + 2)! δ2m+q+2,2n+q+2 δ2m+2,2n+2 (2n + − p)! ∞ 1+q = 4|N | (1 − |ξ| ) n=o × ξ 2n+1 (2n + q + 2)! (2n + q + 2)! 4n+2 |ξ| (2n + 2) (2n + 1)! (2n + q − − l)! (2n + 2)! (2n + − p)! PL12 Chứng minh biểu thức (3.9) (l+1) n ˆ a(p−1) n ˆb = ba ψ|ˆ a†(p−1) a ˆ(p−1)ˆb†(l+1)ˆb(l+1) |ψ ∞ (2m + q + 2)! (2m + 1)!q! 1+q = 4|N | (1 − |ξ| ) m=o ∞ × n=o (2n + q + 2)! (2n + 1)!q! ξ 2n+1 ab (ξ ∗ )2m+1 (2m + 2)(2n + 2) × ba 2m + 2, 2m + q + 2|ˆ a†(p−1) a ˆ(p−1)ˆb†(l+1)ˆb(l+1) |2n + q + 2, 2n + ∞ 2 1+q = 4|N | (1 − |ξ| ) n=o × (2n + q + 2)! 4n+2 (2n + q + 2)! |ξ| (2n + 2) (2n + 1)! (2n + q + − p)! (2n + 2)! δ2m+q+2,2n+q+2 δ2m+2,2n+2 (2n − − l)! ∞ 2 1+q = 4|N | (1 − |ξ| ) n=o × ab (2n + q + 2)! 4n+2 (2n + q + 2)! |ξ| (2n + 2) (2n + 1)! (2n + q + − p)! (2n + 2)! (2n − − l)! PL13 Chứng minh biểu thức (4.5) ˆb†kˆbk =ba ψ|ˆb†nˆbn |ψ ab ∞ 2 1+q = 4|N | (1 − |ξ| ) m=o P 10 (2m + q + 2)! (2m + 1)!q! (ξ ∗ )2m+1 ∞ (2n + q + 2)! (2n + 1)!q! × n=o ξ 2n+1 (2m + 2)(2n + 2) × ba 2m + 2, 2m + q + 2|ˆb†nˆbn |2n + q + 2, 2n + ∞ (2m + q + 2)! (2m + 1)!q! 1+q = 4|N | (1 − |ξ| ) m=o ∞ (2n + q + 2)! (2n + 1)!q! × n=o × ξ 2n+1 (ξ ∗ )2m+1 (2m + 2)(2n + 2) (2n + 2)! δ2m+q+2,2n+q+2 δ2m+2,2n+2 (2n + − k)! ∞ 1+q = 4|N | (1 − |ξ| ) n=o × (2n + q + 2)! 4n+2 |ξ| (2n + 2) (2n + 1)!q! (2n + 2)! (2n + − k)! ∞ 1+q = 4|N | (1 − |ξ| ) n=o (2n + q + 2)! 4n+2 |ξ| (2n + 2) (2n + 1)!q! k × (2n + − j) j=1 PL14 Chứng minh biểu thức (4.6) a ˆlˆbk = ba ψ|ˆ amˆbn |ψ ab ∞ (2m + q + 2)! (2m + 1)!q! 1+q = 4|N | (1 − |ξ| ) m=o ∞ × n=o (2n + q + 2)! (2n + 1)!q! ξ 2n+1 (ξ ∗ )2m+1 (2m + 2)(2n + 2) × ba 2m + 2, 2m + q + 2|ˆ alˆbk |2n + q + 2, 2n + ∞ (2m + q + 2)! (2m + 1)!q! 1+q = 4|N | (1 − |ξ| ) m=o ∞ × n=o ab (2n + q + 2)! (2n + 1)!q! ξ 2n+1 P 11 (ξ ∗ )2m+1 (2m + 2)(2n + 2) ab × ba 2m + q + 2, 2m + 2| |2n + q + − l, 2n + − k ∞ = 4|N | (1 − |ξ| ) m=o ∞ × n=o × (2n + q + 2)! (2n + 1)!q! (2n + 2)! (2n + q + − l)! (2n + − k)! ab (2m + q + 2)! (2m + 1)!q! 1+q (2n + q + 2)! ξ 2n+1 (ξ ∗ )2m+1 (2m + 2)(2n + 2) (2n + q + 2)! (2n + 2)! (2n + q + − l)! (2n + − k)! Khi δ2m+q+2,2n+q+2−l δ2m+2,2n+2−k δ2m+q+2,2n+q+2−l δ2m+2,2n+2−k   2m = 2n − l =0⇔  2m = 2n − k ⇔l=k ∞ mˆn ⇒ ba ψ|ˆ a b |ψ ab 2 1+q = 4|N | (1 − |ξ| ) n=0 (2n + q + 1)! 4n+2 l |ξ| ξ (2n + 1)!q! l × (2n + q + + j)(2n + q + + l)(2n + + l) j=1 P 12 ... để khảo sát tính chất đan rối trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ 32 Chương KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT NÉN CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP THÊM HAI PHOTON TÍCH SU (1,1) LẺ... Khảo sát tính chất nén tổng trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1,1) lẻ 37 2.3 Khảo sát tính chất nén hiệu trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1,1) lẻ. .. Chương KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT NÉN CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP THÊM HAI PHOTON TÍCH SU (1,1) LẺ 33 2.1 Trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1,1) lẻ 33 2.1.1 Trạng thái