Cơ sở groebner của môđun con

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐINH THỊ THẢO QUÝ CƠ SỞ GROEBNER CỦA MÔĐUN CON LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THEO ĐỊNH HƯỚNG: Nghiên cứu NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS PHAN VĂN THIỆN Thừa Thiên Huế, năm 2017 ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐINH THỊ THẢO QUÝ CƠ SỞ GROEBNER CỦA MÔĐUN CON Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THEO ĐỊNH HƯỚNG: Nghiên cứu NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS PHAN VĂN THIỆN Thừa Thiên Huế, năm 2017 i LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tôi, số liệu kết nghiên cứu ghi luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa cơng bố cơng trình khác Đinh Thị Thảo Quý ii LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn Thầy giáo, PGS.TS Phan Văn Thiện Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc kính trọng Thầy Thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi q trình học tập hồn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến q Thầy Khoa Tốn, Thầy Đại học Huế Viện Toán học dạy dỗ truyền đạt kiến thức cho tơi suốt q trình học tập Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường ĐHSP Huế, phòng Đào tạo sau Đại học, khoa Toán trường ĐHSP Huế tạo điều kiện cho tơi suốt khóa học Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, anh chị Cao học Tốn khóa XXIV trường ĐHSP Huế chun ngành Đại số Lý thuyết số động viên, giúp đỡ trình học tập vừa qua Ngày 15 tháng 09 năm 2017 Học viên thực Đinh Thị Thảo Quý iii Mục lục Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục Lời nói đầu Cơ sở Groebner iđêan vành k[x1 , , xn ] 1.1 1.2 1.3 Vành đa thức k[x1 , , xn ] 1.1.1 Đa thức bậc đa thức Định lý Hilbert sở 1.1.2 Iđêan đơn thức 1.1.3 Thứ tự từ k[x1 , , xn ] 10 1.1.4 Thuật toán chia 16 Cơ sở Groebner iđêan k[x1 , , xn ] 18 1.2.1 Định nghĩa sở Groebner 18 1.2.2 Cách tìm sở Groebner iđêan 20 Một số ứng dụng sở Groebner iđêan 23 1.3.1 Bài toán thử thành viên iđêan 24 1.3.2 Bài toán thử hai iđêan 26 1.3.3 Bài tốn tìm lớp đại diện k[x1 , , xn ]/I 26 1.3.4 Bài tốn tìm sở k-không gian véctơ k[x1 , , xn ]/I 27 Cơ sở Groebner môđun 2.1 28 R-môđun Rm 28 2.1.1 Đơn thức, đa thức Rm 28 2.1.2 Môđun đơn thức Rm 30 2.2 2.3 2.1.3 Thứ tự từ đơn thức Rm 30 2.1.4 Thuật toán chia Rm 32 Cơ sở Groebner môđun R-môđun Rm 35 2.2.1 Cơ sở Groebner môđun 35 2.2.2 Cách tìm sở Groebner mơđun 37 Ứng dụng sở Groebner môđun 39 2.3.1 Bài tốn thử thành viên mơđun 39 2.3.2 Bài tốn thử mơđun con, thử hai mơđun 41 2.3.3 Bài tốn tìm lớp đại diện mơđun thương Rm /M 42 2.3.4 Bài tốn tìm sở k-không gian véctơ Rm /M 43 2.3.5 Bài tốn tìm giao iđêan thương hai môđun 43 Kết luận 47 LỜI NĨI ĐẦU Tính tốn hình thức, hay cịn gọi Đại số máy tính (Computer Algebra) xuất khoảng bốn chục năm trở thành chuyên ngành độc lập Cơ sở Groebner lĩnh vực nghiên cứu Đại số máy tính Khoa học máy tính Lý thuyết sở Groebner ngày thu hút quan tâm nhiều người đưa cơng cụ tính tốn hữu ích áp dụng rộng rãi toán học, khoa học, kỹ thuật khoa học máy tính Cơ sở Groebner giới thiệu vào năm 1965 nhà toán học người Áo Bruno Buchberger với ý tưởng tổng qt hóa lý thuyết vành đa thức biến Điểm mấu chốt khởi đầu cho hình thành lý thuyết sở Groebner việc mở rộng thuật toán chia hai đa thức biến sang trường hợp đa thức nhiều biến Vấn đề thu hút nhiều quan tâm nhà toán học năm vừa qua, nhiên sở Groebner môđun ứng dụng lại chưa nghiên cứu nhiều Vấn đề đặt từ lý thuyết sở Groebner iđêan vành đa thức k[x1 , , xn ], với k trường, ta mở rộng cho môđun nào, từ Cơ sở Groebner mơđun có ứng dụng nghiên cứu Xuất phát từ lý trên, chọn đề tài "CƠ SỞ GROEBNER CỦA MÔĐUN CON" để nghiên cứu với hy vọng làm phong phú vấn đề Trong khn khổ luận văn cao học, ngồi việc tổng quan kiến thức sở Groebner iđêan vành đa thức trường k, nghiên cứu sở Groebner cho môđun R-môđun Rm đưa số ứng dụng Đây nội dung luận văn Kết trình bày luận văn bao gồm hai chương: Chương : Cơ sở Groebner iđêan vành k[x1 , , xn ] Trong chương chúng tơi trình bày số khái niệm, tính chất sở Groebner iđêan vành đa thức nhiều biến ứng dụng Đây nội dung bản, từ thấy mở rộng chương sau Chương : Cơ sở Groebner mơđun Chương chương luận văn, gồm mục Mục 2.1, chúng tơi trình bày định nghĩa R-môđun Rm Tiếp theo, Mục 2.2 trình bày sở Groebner mơđun R-mơđun Rm Và cuối cùng, Mục 2.3, đưa số ứng dụng cở sở Groebner môđun R-môđun Rm Những nội dung trình bày Chương mở rộng Chương Tài liệu tham khảo luận văn [1], [2] [3] Ngoài ra, muốn tham khảo nhiều lý thuyết Cơ sở Groebner mơđun con, người đọc xem thêm tài liệu [4] [5] Chương Cơ sở Groebner iđêan vành k[x1, , xn] Trong suốt luận văn này, giả sử k trường Trong chương này, trình bày số kiến thức lý thuyết sở Groebner, cụ thể hệ thống kiến thức vành đa thức, iđêan đơn thức, thứ tự từ, sở Groebner iđêan vành đa thức n biến k[x1 , , xn ] ứng dụng Tài liệu tham khảo chương [1] [2] 1.1 Vành đa thức k[x1, , xn] 1.1.1 Đa thức bậc đa thức Định lý Hilbert sở Cho k trường, R = k[x1 , , xn ] vành đa thức n biến trường k Nhắc lại đơn thức biểu thức có dạng xa11 · · · xann , (a1 , , an ) ∈ Nn gọi số mũ đơn thức Nếu a1 = · · · = an = đơn thức kí hiệu Phép nhân tập đơn thức định nghĩa sau: (xa11 · · · xann )(xb11 · · · xbnn ) = xa11 +b1 · · · xann +bn Từ biểu thức có dạng αxa11 · · · xann , α ∈ k gọi hệ số từ Hai từ khác không αxa11 · · · xann βxa11 · · · xann đồng dạng với Kí hiệu x = (x1 , , xn ), a = (a1 , , an ) ∈ Nn xa = xa11 · · · xann Đa thức n biến x1 , , xn trường k tổng từ: αa xa , f (x) = a∈Nn αa ∈ k có số hữu hạn hệ số αa = Từ αa xa với αa = gọi từ đa thức f (x) xa đơn thức f (x) αa xa g(x) = Hai đa thức f (x) = a∈Nn n βa xa xem nhau, a∈Nn αa = βa với a ∈ N Ta định nghĩa phép cộng đa thức sau: αa xa ) + ( ( a∈Nn βa xa ) = a∈Nn (αa + βa )xa a∈Nn Ta đồng từ αxa với đa thức βb xb , b∈Nn βa = α βb = với b = a Như tất từ với hệ số đồng với đa thức có tất hệ số 0, ta gọi đa thức đa thức khơng, kí hiệu Đa thức α đa thức tương ứng với từ α.1 Nếu α1 xa1 , , αp xap tất từ f (x) xem f (x) tổng đa thức từ qua phép đồng trên: f (x) = α1 xa1 + · · · + αp xap , a1 , , ap ∈ Nn số mũ khác Biểu diễn gọi biểu diễn tắc đa thức f (x) Phép nhân đa thức định nghĩa sau: αa xa )( ( a∈Nn γa = βa xa ) = a∈Nn γa xa , a∈Nn αb βc b,c∈Nn ,b+c=a Chú ý 1.1.1 (i) Khi n = 1, ta có vành đa thức biến thông thường, đa thức biến thường viết dạng f (x) = an xn + · · · + a1 x + a0 (n ∈ N, a0 , , an ∈ R) (ii) Khi tập biến xác định, ta kí hiệu đa thức đơn giản f, g, thay cho f (x), g(x), αa xa số Bậc tổng thể đa thức f (x) = a∈Nn degf (x) = max{a1 + · · · + an |αa = 0} Đối với đa thức biến, bậc tổng thể bậc thông thường Đôi bậc tổng thể đa thức nhiều biến gọi tắt bậc, khơng có hiểu nhầm xảy Vịng 2: Cả lm(f1 ) lm(f2 ) khơng chia hết lm(g) = (x2 , 0) r := r + lt(g) = (x2 , 0) g := g − lt(g) = (2xy − y, y) Vòng 3: (xy, 0) = lm(f1 ) chia hết lm(g) = (xy , 0) lt(g) a1 := a1 + = 2y lt(f1 ) (2xy , 0) g := (2xy − y, y) − (xy − x, y ) (xy, 0) = (2xy − y, −2y + y) Vòng 4: (xy, 0) = lm(f1 ) chia hết lm(g) = (xy, 0) lt(g) a1 := a1 + = 2y + lt(f1 ) (2xy, 0) g := (2xy − y, −2y + y) − (xy − x, y ) (xy, 0) = (2x − y, −2y − 2y + y) Vòng 5: Cả lm(f1 ) lm(f2 ) không chia hết lm(g) = (x, 0) r := r + lt(g) = (x2 + 2x, 0) g := g − lt(g) = (−y, −2y − 2y + y) Như F f −→+ (x2 + 2x − y, −2y − 2y + y) = r Hơn f = (2y + 2)f1 + f2 + r Định lý 2.1.22 [2, tr.146] Cho tập F = {f1 , , fs } gồm véctơ khác không f ∈ Rm , "Thuật toán chia" tạo nên đa thức a1 , , as ∈ R r ∈ Rm cho f = a1 f1 + · · · + as fs + r, với r đa thức dư F , lm(f ) = max(lp(a1 )lm(f1 ), , lp(as )lm(fs ), lm(r)) Chứng minh Xem [2, tr.146] 34 2.2 Cơ sở Groebner môđun R-môđun Rm 2.2.1 Cơ sở Groebner môđun Bây ta định nghĩa "Cơ sở Groebner môđun con" Cho M môđun Rm Định nghĩa 2.2.1 [2, tr.147] Tập G = {g1 , , gt } chứa môđun M gọi sở Groebner M với f ∈ M , tồn i ∈ {1, , t} cho lm(gi ) chia hết lm(f ) Cho tập W Rm , môđun dẫn đầu W môđun Rm , Lt(W ) = lt(w)|w ∈ W ⊆ Rm Cơ sở Groebner môđun Rm có tính chất tương tự sở Groebner iđêan vành đa thức k[x1 , , xn ] Định lý 2.2.2 [2, tr.147] Cho môđun M ⊆ Rm G = {g1 , , gt } ⊆ M với gi = (1 ≤ i ≤ t) Các mệnh đề sau tương đương: (i) Với f ∈ M , tồn i cho lm(gi ) chia hết lm(f ) (tức là, G sở Groebner M ); G (ii) f ∈ M f −→+ 0; (iii) f ∈ M , tồn h1 , , ht ∈ R cho f = h1 g1 + · · · + ht gt lm(f ) = max1≤i≤t (lp(hi )lm(gi )); (iv) Lt(G) =Lt(M ); G G (v) Với f ∈ Rm , f −→+ r1 , f −→+ r2 r1 , r2 rút gọn G, r1 = r2 Chứng minh (i)=⇒(ii) G Cho f ∈ Rm , tồn r ∈ Rm rút gọn G cho f −→+ r Vì f − r ∈ M , nên f ∈ M r ∈ M G Rõ ràng, r = (tức f −→+ 0) f ∈ M Ngược lại, f ∈ M r = r ∈ M Mà theo (i), tồn i cho lm(gi ) chia hết lm(r), mâu thuẫn G với r rút gọn G Do đó, r = f −→+ (ii)=⇒(iii) 35 G Cho f ∈ Rm , f −→+ 0, theo định lý 2.1.21 chứng minh quy nạp ta suy (iii) (iii)=⇒(iv) Rõ ràng Lt(G) ⊆ Lt(M ) Để chứng minh chiều ngược lại, ta chứng minh với f ∈ M lt(f ) ∈ Lt(G), lt(f ) phần tử sinh Lt(M ) Ta có: lt(f = lt(hi )lt(gi ), i tổng tính với i cho lm(f ) = lp(hi )lm(gi ), suy điều phải chứng minh (iv)=⇒(i) Cho f ∈ Rm Khi lt(f ) ∈ Lt(G), t hi lt(gi ), lt(f ) = i=1 với hi ∈ Rm Khai triển vế phải ta thấy từ chia hết cho lp(gi ) Vì vậy, lt(f ) chia hết cho lp(gi ) (đpcm) (i)=⇒(v) G G Với f ∈ Rm , f −→+ r1 , f −→+ r2 r1 , r2 rút gọn G Vì f − r1 f − r2 thuộc G nên r1 − r2 ∈ G Hơn nữa, r1 − r2 rút gọn G, mà theo (ii), r1 = r2 (v)=⇒(ii) G Cho f ∈ G , f −→+ r mà r rút gọn, theo tính r = Hệ 2.2.3 [2, tr.147] Nếu G = {g1 , , gt } sở Groebner môđun M Rm , M = g1 , , gt Chứng minh Rõ ràng g1 , , gt ⊆ M gi ∈ M Ngược lại, lấy f ∈ M , G theo Định lý 2.2.1 f −→+ gi ∈ g1 , , gt Hệ 2.2.4 [2, tr.147] Mọi môđun khác không M Rm có sở Groebner Chứng minh Chứng minh tương tự phần iđêan 36 2.2.2 Cách tìm sở Groebner mơđun Đặt X = Xei Y = Y ei , bội chung nhỏ X Y, kí hiệu BCNN(X, Y) định nghĩa • i = j; • Lei với L = BCNN(X, Y ) i = j Ví dụ 2.2.5 BCNN((x2 yz, 0), (xy , 0)) = (x2 y z, 0)) BCNN((x2 y, 0), (0, xy )) = (0, 0)) Định nghĩa 2.2.6 [2, tr.148] Cho = f , g ∈ Rm , L = BCNN(lm(f ), lm(g)) Khi đó: S(f , g) = L L f− g, lt(f ) lt(g) gọi S-đa thức f g Ví dụ 2.2.7 Xét R = Q[x, y] với thứ tự từ điển phân bậc x < y, R2 với thứ tự từ TOP với e1 < e2 , S((y + 1, 5x3 y + y), (xy , 3xy + x)) (0, x3 y ) (0, x3 y ) (y + 1, 5x y + y) − (xy , 3xy + x) = 3 (0, 5x y) (0, 3xy ) y2 x = (y + 1, 5x3 y + y) − (xy , 3xy + x) 3 = ( y + y − x y , y − x ) 5 Định lý 2.2.8 [2, tr.148] Cho G = {g1 , , gt } ∈ Rm với gi = Khi G sở Groebner môđun M = g1 , , gt Rm với i = j, G S(gi , gj ) −→ +0 Chứng minh Xem [2, tr.148] 37 Ta có "Thuật tốn Buchberger" [2, tr.149] INPUT: F = {f1 , , fs } ∈ Rm với fi = (1 ≤ i ≤ s) OUTPUT: G = {g1 , , gt }, sở Groebner f1 , , fs KHỞI TẠO: G := F , G := {{fi , fj }|fi = fj ∈ G} WHILE G = ∅ Chọn {f , g} ∈ G G := G − {{f , g}} G S(f , g) −→+ h với h rút gọn G IF h = THEN G := G ∪ {{u, h}|∀u ∈ G} G := G ∪ {h} Ví dụ 2.2.9 Xét đa thức (Q[x, y])3 : f1 = (0, y, x), f2 = (0, x, xy − x), f3 = (x, y , 0), f4 = (y, 0, x) Xét thứ tự từ điển phân bậc Q[x, y] với x > y thứ tự từ TOP (Q[x, y])3 với e1 > e2 > e3 Ta sử dụng Thuật toán Buchberger để tính Cơ sở Groebner cho M = f1 , f2 , f3 , f4 sau: G S(f1 , f2 ) = yf1 − f2 = (0, y − x, x) −→+ (−x, −x − y, 0) Vì (−x, −x − y, 0) rút gọn G, đặt f5 = (−x, −x − y, 0), thêm vào G Ta có: S(f1 , f4 ) = f1 − f4 = (−y, y, 0) Một lần nữa, (−y, y, 0) rút gọn G, đặt f6 = (−y, y, 0), thêm G vào G Ta thấy S(f2 , f4 ) −→+ Ta cần xét: G S(f5 , f6 ) = yf5 − xf6 = (0, −2xy − y , 0) −→+ (0, −2xy − x − y, 0) (0, −2xy − x − y, 0) rút gọn G, đặt f7 = (0, −2xy − x − y, 0), thêm vào G Xét: 1 G S(f3 , f7 ) = 2xf3 + yf7 = (2x2 , −xy − y , 0) −→+ (0, −2x2 + x + y, 0) 2 1 Đặt f8 = (0, −2x + x + y, 0) thêm vào G, xét: 2 1 G S(f3 , f8 ) = 2x2 f3 + y f8 = (2x3 , xy + y , 0) −→+ 2 G S(f7 , f8 ) = xf7 − yf8 = (0, −x2 − xy − y , 0) −→+ 2 Vì ta có: G = {f1 , f2 , f3 , f4 , f5 , f6 , f7 , f8 } sở Groebner M 38 Định nghĩa 2.2.10 [2, tr.150] Cơ sở Groebner G = {g1 , , gt } ∈ Rm sở Groebner thu gọn với i, gi rút gọn G \ {gi } lc(gi ) = với i = 1, , t Như với i, khơng có từ khác khơng gi chia hết cho lm(gj ) với j = i Định lý 2.2.11 [2, tr.150] Cho trước thứ tự từ Khi mơđun M khác khơng Rm có sở Groebner thu gọn với thứ tự từ Cơ sở Groebner tính dễ dàng M sinh tập hữu hạn véctơ Rm Chứng minh Chứng minh tương tự phần iđêan Ví dụ 2.2.12 Quay lại Ví dụ 2.2.8, ví dụ ta tính G = {f1 , f2 , f3 , f4 , f5 , f6 , f7 , f8 } sở Groebner M Bây ta thấy lm(f1 ) chia hết lm(f2 ) lm(f4 ) nên loại f2 f4 khỏi G sở Groebner Hơn nữa, f3 −→+ (0, y − x − y, 0) Vì sở Groebner thu gọn M 1 {(0, y, x), (0, y − x − y, 0), (0, x2 − x − y, 0), 4 1 (0, xy + x + y, 0), (y, −y, 0), (x, x + y, 0)} 2 2.3 Ứng dụng sở Groebner môđun Cho M = f1 , , fs môđun Rm , phần ta giải câu hỏi sau: (i) Cho f ∈ Rm , f có thuộc M hay khơng? (đây tốn thử thành viên mơđun con) Nếu f thuộc M tìm h1 , , hs ∈ R cho f = h1 f1 + · · · + hs fs ; (ii) M môđun Rm , kiểm tra xem M có chứa M khơng, M ⊆ M M = M ; (iii) Tìm lớp đại diện mơđun thương Rm /M ; (iv) Tìm sở k-không gian véc tơ Rm /M 2.3.1 Bài tốn thử thành viên mơđun Đặt F = {f1 , , fs } ∈ Rm (fi = 0, ∀1 ≤ i ≤ s) M = f1 , , fs , G = {g1 , , gt } sở Groebner M với thứ tự từ 39 Cho f ∈ Rm , theo Định lý 2.2.1 ta có: G f ∈ Rm ⇐⇒ f −→+ Do đó, ta xác định f ∈ Rm hay không Hơn nữa, f ∈ Rm , ta áp dụng Thuật tốn chia cho mơđun phần 2.1.2, ta có: f = h1 g1 + · · · + ht gt Nếu xem F G ma trận cột fi gj , ta tìm ma trận T s × t cho G = F T Do ta biểu diễn f tổ hợp tuyến tính f1 , , fs Ví dụ 2.3.1 Cho R = Q[x, y] Ta xét môđun M R3 sinh F = {f1 , f2 , f3 , f4 } với f1 = (xy, x, y), f2 = (y + y, x + y , x), f3 = (−x, y, x), f4 = (y , y, x) Ta sử dụng thứ tự từ điển R với x > y TOP với e1 > e2 > e3 R3 Từ dẫn đầu gạch chân: f1 = (xy, x, y), f2 = (y + y, x + y , x), f3 = (−x, y, x), f4 = (y , y, x) Cơ sở Groebner thu gọn M G = {g1 , g2 , g3 , g4 , g5 , g6 } với g1 = (y + y, y − y, −y), g2 = (y, x + y − y, 0), g3 = (x + y , 0, 0), g4 = (y , y, x), g5 = (y , y , −y ), g6 = (y − 2y, −y + 2y, y − y − 3y + y + 2y) Xét f = (−2y, y − 1, xy + y) Để kiểm tra f có thuộc M khơng, ta áp dụng Thuật tốn chia cho môđun: y,g4 f −→ (−y − 2y, −y + y − 1, y) −1,g1 −→ (−y, −1, 0) Vì ye1 e2 khơng chia hết lm(gi ), nên (−y, −1, 0) rút gọn G, f khơng thuộc M Xét g = (xy − xy + y, xy + x + 2y − y, y + xy), ta lại áp dụng Thuật toán chia cho môđun: y ,g3 g −→ (−xy − y + y, xy + x + 2y − y, xy + y ) y ,g2 −→ (−xy − y − y + y, x − y + y + 2y − y, xy + y ) −y,g3 −→ (−y − y + y + y, x − y + y + 2y − y, xy + y ) 40 y,g4 −→ (−y − y + y, x − y + y + y − y, y ) 1,g2 −→ (−y − y , −y + y , y ) −y ,g1 −→ (0, 0, 0) Do g ∈ M Hơn nữa, ta có: g = y g3 + y g2 − yg3 + yg4 + g2 − y g1 = −y g1 + (y + 1)g2 + (y − y)g3 + yg4 Ta có: g1 g2 g3 g4 g5 g6  = f1 f2 f3 f4 −1 0 −y − x   1 0 x+y   −y −1 y(1 − x)  y − −1 1 xy − x − y h1   h2   h3   h4 với h1 = x2 + 2xy − xy − 2x + y − y − 3y + y + 2; h2 = −x2 − xy + 2x + 2y + y − 2; h3 = x2 y + xy − xy − 3xy − 2y + y + 4y; h4 = −x2 y + x2 − xy + 2xy + 2xy − 2x − 2y − 3y + Vì ta có: g = −y g1 + (y + 1)g2 + (y − y)g3 + yg4 = −y (−f1 + f2 − yf3 + (y − 1)f4 ) + (y + 1)(f2 − f4 ) + (y − y)(−f3 + f4 ) + yf4 = y f1 + f2 + yf3 − f4 2.3.2 Bài tốn thử mơđun con, thử hai môđun Cho M môđun Rm , M = f , , f l Khi M ⊆ M f i ∈ M với i = 1, , l Hơn nữa, M ⊆ M M = M M ⊆ M Ta tìm sở Groebner cho M M sử dụng tính chất sở Groebner thu gọn môđun để xác định xem M = M hay khơng Ví dụ 2.3.2 Xét Ví dụ 2.3.1 Cho M môđun R3 sinh {f2 , f3 , f4 , g} Vì g ∈ M nên M môđun M Tuy nhiên, với thứ tự 41 Ví dụ 2.3.1, sở Groebner thu gọn M {g , g , g , g , g , g } với g = (y, x + y − y, 0), g = (x + y , 0, 0), g = (y , y , −y ), g = (y + y , y − y , −y ), g = (y , y, x), g = (y − 2y , −y + 2y , y − y − 3y + y + 2y ) Vì sở Groebner thu gọn M không M nên hai môđun M M không Bây giờ, ta xét môđun M R3 sinh {f2 , f3 , g}, M mơđun M Hơn nữa, sở Groebner thu gọn M M nên M = M 2.3.3 Bài tốn tìm lớp đại diện mơđun thương Rm /M Cho M môđun Rm Tìm lớp đại diện mơđun thương Rm /M Ta cần tìm G sở Groebner M Khi với f ∈ Rm , ta biết: tồn r ∈ Rm rút gọn G, cho G f −→+ r Ta gọi r dạng chuẩn f G kí hiệu r = NG (f ) Mệnh đề 2.3.3 [2, tr.155] Cho f g thuộc Rm Khi f + M = g + M ∈ Rm /M ⇐⇒ NG (f ) = NG (g) Vì {NG (f )|f ∈ Rm } tập lớp môđun thương Rm /M Hơn ánh xạ: NG : Rm −→ Rm f −→ NG (f ) tuyến tính Chứng minh Theo Thuật tốn chia Rm , ta có tồn q ∈ M cho f = q + NG (f , nên f − NG (f ) ∈ M Suy f + M = NG (f ) + M thuộc Rm /M Với c1 , c2 ∈ R f1 , f2 ∈ Rm ta có c1 f1 + c2 f2 − (c1 NG (f1 ) + c2 NG (f2 )) ∈ M c1 NG (f1 ) + c2 NG (f2 ) rút gọn G Vì vậy, NG (c1 f1 + c2 f2 ) = c1 NG (f1 ) + c2 NG (f2 ) ánh xạ NG : Rm −→ Rm 42 f −→ NG (f ) tuyến tính Ta có f + M = g + M tồn q ∈ M cho f = q + g Do đó: NG (f ) = NG (q) + NG (g) Nhưng q ∈ M nên q = Do NG (f ) = NG (g) Ngược lại, NG (f ) = NG (g), f − g = (f − NG (f )) − (g − NG (g)) ∈ M f + M = g + M 2.3.4 Bài tốn tìm sở k-khơng gian véctơ Rm /M Mệnh đề 2.3.4 [2, tr.155] Một sở k-không gian véctơ Rm /M bao gồm tất lớp đa thức X ∈ Rm cho khơng có lm(gi ) chia hết X Chứng minh Ta thấy với f ∈ Rm , f + M = NG (f ) + M ∈ Rm /M Vì NG (f ) rút gọn G, nên tổ hợp k tuyến tính đơn thức X ∈ Rm cho khơng có lm(gi ) chia hết X Do đó, lớp đơn thức độc lập tuyến tính (theo tính dạng chuẩn) Ví dụ 2.3.5 Xét Ví dụ 2.3.1: Các từ dẫn đầu sở Groebner thu gọn x3 e1 , ye2 , ye1 , ye3 , x3 e2 , x5 e3 Vì sở Q-khơng gian véctơ R3 /M {e1 , xe1 , x2 e1 , e2 , xe2 , x2 e2 , e3 , xe3 , x2 e3 , x3 e3 , x4 e3 } 2.3.5 Bài tốn tìm giao iđêan thương hai môđun Cho y1 , , yl biến mới, xét môđun khác không M ⊆ (R[y1 , , yl ])m = (k[x1 , , xn , y1 , , yl ])m Định nghĩa 2.3.6 [2, tr.156] Cho X1 , X2 đơn thức biến x, Y1 , Y2 đơn thức biến y, ta định nghĩa thứ tự từ    X < X   x X1 Y1 < X2 Y2 ⇐⇒    X < = X , Y < Y x y Thứ tự từ gọi thứ tự rút gọn với x lớn y Định lý 2.3.7 [2, tr.156] Cho G sở Groebner M với thứ tự từ TOP (R[y1 , , yl ])m Khi G ∩ Rm sở Groebner M ∩ Rm 43 Chứng minh Xem [2, tr.156] Ví dụ 2.3.8 Trong Ví dụ 2.3.1, sở Groebner thu gọn M có véctơ theo biến y, g1 , g5 , g6 Do theo định lý ta có M ∩ (Q[x])3 sinh {g1 , g5 , g6 } Mệnh đề 2.3.9 [2, tr.157] Cho M = f1 , , fs N = g1 , , gt môđun Rm đặt w biến Xét L = wf1 , , wfs , (1 − w)g1 , , (1 − w)gt ⊆ (R[w])m Khi M ∩ N = L ∩ Rm Chứng minh Cho f ∈ M ∩ N , f = wf + (1 − w)f , nên ta có f ∈ L ∩ Rm Ngược lại, giả sử f ∈ L ∩ Rm , tức là: f ∈ wf1 , , wfs , (1 − w)g1 , , (1 − w)gt ⊆ (R[w])m , nên ta có: s wfi (x1 , , xn )hi (x1 , , xn , w) f (x1 , , xn ) = i=1 t wgi (x1 , , xn )h i (x1 , , xn , w), + j=1 mà w không biến f (x1 , , xn ) nên chọn w = f ∈ M chọn w = f ∈ N Ví dụ 2.3.10 Cho M mơđun R3 ví dụ 2.3.1, N môđun R3 sinh g1 = (x, y, xy) Cơ sở Groebner thu gọn cho wf1 , wf2 , wf3 , wf4 , (1− w)g1 ⊆ (R[w])3 thứ tự từ TOP với e1 > e2 > e3 xét với thứ tự từ điển R[w] với x > y > w có véctơ mà số thuộc R3 h1 = (9x2 − 7xy + 2xy + 25xy + 7xy − 9xy − 9xy, 9xy − 7y + 2y + 25y + 7y − 9y − 92 , 9xy − 7xy + 2xy + 25xy + 7xy − 9xy − 9xy ), h2 = (xy − xy − 3xy + xy + 2xy , y − y − 3y + y + 2y , xy − xy − 3xy + xy + 2xy ) Vì M ∩ N = h1 , h2 ⊆ R3 44 Định nghĩa 2.3.11 [2, tr.157] Cho M N hai môđun Rm , iđêan thương N : m định nghĩa N : M = {f ∈ R|f M ⊆ N } ⊆ R Bổ đề 2.3.12 [2, tr.157] Cho M = f1 , , fs ⊆ Rm N mơđun Rm Khi s N :M = N : fi i=1 Chứng minh Nếu f ∈ N : M f M ⊆ N , cụ thể ffi ∈ N với i = 1, , s, s f ∈ N : fi i=1 s Ngược lại, giả sử f ∈ N : fi , f fi ⊆ N với i = 1, , s Vì i=1 f M ⊆ N , nên f ∈ N : M Bổ đề 2.3.13 [2, tr.158] Cho N môđun Rm f véctơ Rm Khi N : f = {r ∈ R|g = rf ∈ N ∩ f } Do đó, để tính N : f trước tiên ta tìm tập sinh N ∩ f , sau chia tập sinh f cách sử dụng Thuật tốn chia, thương tập sinh N : f Ví dụ 2.3.14 Trong Ví dụ 2.3.10, ta thấy: M ∩ g1 = h1 , h2 , với h1 = (9x − 7y + 2y + 25y + 7y − 9y − 9y)g1 h2 = (y − y − 3y + y + 2y )g1 Do đó, theo Bổ đề 2.3.13 ta có M : g1 = 9x − 7y + 2y + 25y + 7y − 9y − 9y, y − y − 3y + y + 2y ⊆ R Cho g2 = (x + y , x, y ) ∈ R3 Tính M : g1 , g2 ? Áp dụng Bổ đề 2.3.12, ta tính M : g2 Tiếp tục với Ví dụ 2.3.10 ta có h3 = (y − y − 3y + y + 2y )g2 , 45 h4 = (9x + 2y − 7y − 2y + 16y + 9y − 9y)g2 Vì vậy, theo Bổ đề 2.3.13 M : g2 = y − y − 3y + y + 2y , 9x + 2y − 7y − 2y + 16y + 9y − 9y ⊆ R, nên theo Bổ đề 2.3.12 ta có: M : g1 , g2 = (M : g1 ) ∩ (M : g2 ) Để tìm giao trên, ta tính sở Groebner iđêan w(9x − 7y + 2y + 25y + 7y − 9y − 9y), w(y − y − 3y + y + 2y ), (1 − w)(y − y − 3y + y + 2y ), (1 − w)(9x + 2y − 7y − 2y + 16y + 9y − 9y) R[w] thứ tự từ điển với x > y > z Cơ sở Groebner gồm đa thức, với số khơng chứa biến w, u1 = y − y − 3y + y + 2y u2 = 9xy − 5y + 4y + 14y − 5y − 9y u3 = 3x2 − y + 2y + y − 2y − 3y Vì M : g1 , g2 = u1 , u2 , u3 ⊆ R 46 KẾT LUẬN Tóm lại luận văn này, chúng tơi trình bày nội dung lý thuyết sở Groebner iđêan vành đa thức R = k[x1 , , xn ] cách hệ thống, logic: • Đưa định nghĩa: iđêan đơn thức, thứ tự từ, thuật toán chia, sở Groebner iđêan vành đa thức k[x1 , , xn ] • Trình bày Thuật tốn Buchberger cơng cụ để tính sở Groebner iđêan vành đa thức k[x1 , , xn ] • Giới thiệu số ứng dụng sở Groebner iđêan vành đa thức k[x1 , , xn ] Từ đó, chúng tơi trình bày lại mở rộng lý thuyết sở Groebner cho môđun Rm Cụ thể là: • Đưa định nghĩa: đơn thức, đa thức Rm , thứ tự từ đơn thức Rm , sở Groebner mơđun • Xây dựng Thuật toán chia, Thuật toán Buchberger Rm cơng cụ để tính sở Groebner mơđun • Giới thiệu số ứng dụng sở Groebner môđun Hướng phát triển luận văn: Từ nội dung trình bày mơđun con, nghiên cứu phát triển tìm sở Groebner mơđun xoắn ứng dụng Tác giả cố gắng với lực có hạn, khơng tránh khỏi sai sót, mong nhận góp ý q Thầy Cơ giáo bạn Tác giả xin chân thành cảm ơn! 47 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] L.T Hoa (2003), Đại số máy tính Cơ sở Groebner, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [2] Adams W., Loustaunau P (1994), An introduction to Groebner bases, AMS [3] Cox D.A., Little J and O’Shea D (2004), Using Algebraic Geometry, Springer [4] Decker W., Schreyer F.O (2007), Varieties, Groebner Bases and Algebraic Curves, Saarbruecken [5] Klin M., Jones G.A and Jurisic A (2009), Algorithmic Algebraic Combinatorics and Groebner Bases, Springer Email address: thaoquy2007.qd@gmail.com Tel: +84905246297 Typed by LATEX 48 ... Cơ sở Groebner môđun R -môđun Rm 2.2.1 Cơ sở Groebner môđun Bây ta định nghĩa "Cơ sở Groebner môđun con" Cho M môđun Rm Định nghĩa 2.2.1 [2, tr.147] Tập G = {g1 , , gt } chứa môđun M gọi sở. .. 32 Cơ sở Groebner môđun R -môđun Rm 35 2.2.1 Cơ sở Groebner môđun 35 2.2.2 Cách tìm sở Groebner mơđun 37 Ứng dụng sở Groebner môđun 39... ứng dụng khác [1] 27 Chương Cơ sở Groebner môđun Cho k trường, R = k[x1 , , xn ] Trong chương này, trình bày sở Groebner, thuật tốn tìm sở Groebner cho môđun R -môđun Rm (m số nguyên dương)