Điều kiện nội xạ trên lớp môđun con đóng

Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm 1.2 Môđun nội xạ vành liên quan 3 Môđun thỏa điều kiện mở rộng lớp mơđun đóng 2.1 Vành môđun giả c - nội xạ 2.1.1 Về môđun giả c - nội xạ 2.1.2 Áp dụng lớp môđun giả c - nội xạ vào lớp vành nửa đơn 2.2 Vành môđun giả c∗ - nội xạ 2.2.1 Định nghĩa, tính chất 2.2.2 Vành tự đồng cấu môđun giả c∗ - nội xạ 6 10 11 11 15 LỜI GIỚI THIỆU Gần đây, số tác giả đưa trường hợp tổng qt hóa mơđun tựa nội xạ môđun giả nội xạ (xem [6], [19], [20], [26], ) Môđun tự - c - nội xạ trường hợp đặc biệt tổng qt hóa mơđun tựa nội xạ nghiên cứu Harada [9] Nhắc lại, môđun M gọi GQ - nội xạ (tổng quát hóa tựa nội xạ) với mơđun N đẳng cấu đến mơđun đóng K M, đồng cấu từ M → N mở rộng đến M Năm 2000, Clara Smith giới thiệu định nghĩa M - c - nội xạ sau: môđun N gọi M - c - nội xạ với mơđun đóng A M đồng cấu A → M, mở rộng đến đồng cấu từ M → N Năm 2005, Đinh Quang Hải nghiên cứu tổng qt hóa mơđun M - nội xạ giả M - nội xạ Môđun N gọi giả M - nội xạ môđun A M đơn cấu từ A → N mở rộng đến đồng cấu từ M → N Môđun M gọi giả nội xạ M giả M - nội xạ Theo hướng nghiên cứu này, chọn đề tài luận văn là: "Điều kiện nội xạ lớp mơđun đóng" Mục đích luận văn ý đến tổng qt hóa mơđun M - c - nội xạ môđun giả M - nội xạ, mơđun giả M - c - nội xạ môđun giả M - c∗ - nội xạ số tính chất Đề tài nhằm trình bày cách hệ thống chi tiết kiến thức tảng môđun giả c - nội xạ môđun giả c∗ - nội xạ làm sở cho nghiên cứu sâu Trong luận văn này, nghiên cứu số tính chất môđun giả c - nội xạ môđun giả c∗ - nội xạ Ngoài lời giới thiệu kết luận, luận văn chia làm hai chương sau: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, giới thiệu số khái niệm mơđun liên quan đến nội dung luận văn như: mơđun, mơđun đóng, mơđun cốt yếu, môđun bất biến đầy, Chương 2: Môđun thỏa điều kiện mở rộng lớp môđun đóng Phần thứ chương, chúng tơi nghiên cứu vành môđun giả c - nội xạ Trong phần này, chúng tơi đưa số tính chất môđun giả M - c - nội xạ môđun giả c - nội xạ Đồng thời áp dụng chúng vào lớp vành nửa đơn Phần thứ hai nghiên cứu vành môđun giả c∗ - nội xạ Trong phần này, nghiên cứu tính chất đặc biệt mơđun giả M - c - nội xạ, mơđun giả c∗ - nội xạ Sau đó, chúng tơi nghiên cứu vành tự đồng cấu môđun giả c∗ - nội xạ Chương Kiến thức chuẩn bị Trong toàn luận văn này, vành R xét vành kết hợp với đơn vị = tất môđun R - môđun Unita 1.1 Một số khái niệm Định nghĩa 1.1.1 Cho vành R M gọi R - môđun phải M nhóm cộng aben với phép tốn nhân (ngồi) Ánh xạ: M × R → M thỏa mãn điều kiện sau: (m, r) → mr (i) quy tắc kết hợp: m(rr ) = (mr)r (ii) quy tắc phân phối: (m + m )r = mr + mr m(r + r ) = mr + mr (iii) quy tắc Unita: m1 = m với ∀m, m ∈ M, ∀r, r ∈ R Chúng ta thường ký hiệu R - môđun phải M MR Tương tự, ta có khái niệm R - mơđun trái Ký hiệu: R M Định nghĩa 1.1.2 Cho MR A nhóm M A gọi môđun M Nếu A R - môđun phải với phép toán cộng nhân hạn chế A Ký hiệu: A ≤ M Ngoài ra, viết A < M để A môđun thực M Định nghĩa 1.1.3 A gọi mơđun đóng M với mơđun B = M mà A ≤e B B = A tương đương, tồn môđun B M cho B cực đại với tính chất B ∩ B = Định nghĩa 1.1.4 Định nghĩa Cho MR, = A ≤ M Môđun A gọi cốt yếu M A ∩ N = 0, ∀N ≤ M, N = ⇐⇒ ∀N ≤ M, A ∩ N = ⇒ N = Ký hiệu: A ≤e M Định nghĩa Đơn cấu f : M → N gọi cốt yếu Imf ≤e M Định lý Cho = A ≤ M Khi đó, điều kiện sau tương đương: i) A ≤e M ii) ∀m ∈ M m = 0, tồn x ∈ R: = mx ∈ A Định nghĩa 1.1.5 Môđun M gọi M = môđun khác M cốt yếu M Định nghĩa 1.1.6 Cho M, N hai R - mơđun phải Đồng cấu α từ M vào N ánh xạ α: M → N thỏa: ∀a1 , a2 ∈ M, ∀r1 , r2 ∈ R: [α(a1 r1 + a2r2 )] = α(a1 )r1 + α(a2 )r2 Lúc đó, ta viết α : MR → NR Đặc biệt, f : M → M gọi tự đồng cấu M Ký hiệu: End(M) = {tự đồng cấu M} : Vành tự đồng cấu M Định lý 1.1.7 ([7]) A đóng B, B đóng M A đóng M 1.2 Môđun nội xạ vành liên quan Định nghĩa 1.2.1 Môđun Q gọi nội xạ đơn cấu f : K → M đồng cấu g : K → U tồn đồng cấu p : M → U cho: pf = g, nghĩa biểu đồ sau giao hoán: U g ✲ ♣ ✻ ■♣ ♣ p ♣♣ ♣♣ ♣ f ✲ K M Khi đó, ta gọi p mở rộng g theo đơn cấu f Định nghĩa 1.2.2 Cho A ≤ M A gọi hạng tử trực tiếp M ∃B ≤ M cho M = A ⊕ B hay M = A + B A ∩ B = Định nghĩa 1.2.3 Cho MR Chúng ta xét điều kiện sau M C1: Mỗi môđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M C2: Mỗi môđun M đẳng cấu đến hạng tử trực tiếp M, hạng tử trực tiếp M Môđun MR gọi mở rộng (hoặc CS) thỏa mãn C1 Mơđun MR gọi liên tục thỏa mãn C1 C2 Vành R gọi vành liên tục phải (t.ư CS) RR liên tục (t.ư CS) Định nghĩa 1.2.4 Môđun M gọi chiều Goldie hữu hạn E(M) tổng trực tiếp hữu hạn mơđun khơng phân tích Định nghĩa 1.2.5 Một môđun M vành R gọi thỏa điều kiện dây chuyền tăng dãy tăng môđun M1 ⊂ M2 ⊂ M dừng, nghĩa tồn n cho: Mn = Mn+1 = Ký hiệu: ACC Tương tự, ta có định nghĩa điều kiện dây chuyền giảm Ký hiệu: DCC Định lý 1.2.6 (Định lý Osofsky’s) Một vành R gọi nửa đơn Artin R - môđun phải xyclic nội xạ Định nghĩa 1.2.7 Vành quy Von Neumann vành R với tính chất phần tử a ∈ R tồn b ∈ R cho a = aba Chương Môđun thỏa điều kiện mở rộng lớp mơđun đóng Tồn kết luận văn lấy từ báo nhóm tác giả [18] [23] Tuy nhiên, kết chứng minh cách vắn tắt Trong đề tài này, chứng minh lại cách chi tiết, rõ ràng hồn chỉnh 2.1 Vành mơđun giả c - nội xạ 2.1.1 Về môđun giả c - nội xạ Định nghĩa 2.1.1 Cho M, N môđun Môđun N gọi giả M - c - nội xạ mơđun đóng A M đơn cấu f từ A → N mở rộng đến đồng cấu g từ M → N N ♣ ✻ ■♣ ♣ g ♣♣ ♣♣ i✲ ✲ A M f với i : A → M đơn cấu tắc Mơđun M gọi giả c - nội xạ M giả M - c - nội xạ Vành R gọi giả c - nội xạ phải RR giả c - nội xạ Tiếp theo, đưa số đặc trưng môđun giả M - c - nội xạ Nhưng trước hết, giới thiệu định nghĩa sau: Cho M R - môđun phải S = EndR (M) vành tự đồng cấu Một môđun X M gọi bất biến đầy M với ∀s ∈ S, ta có s(X) ≤ X Ký hiệu: X ≤f M Bổ đề 2.1.2 Cho M, N hai mơđun Khi đó, (1) Nếu N giả M - c - nội xạ A hạng tử trực tiếp N A giả M - c - nội xạ (2) Nếu N giả M - c - nội xạ B môđun đóng M N giả B - c - nội xạ (3) Nếu M giả c - nội xạ A giả c - nội xạ với mơđun đóng bất biến đầy A M (4) Giả sử M M N N Nếu N giả M - c - nội xạ N giả M - c - nội xạ N giả M - c - nội xạ N giả M - c - nội xạ Chứng minh (1) Gọi A hạng tử trực tiếp N mơđun C đóng M Xét biểu đồ đồng cấu sau: ❄ i1 ✲ ♣♣ g ♣♣ f ♣♣ ♣ ❄✠ C M A i2 ❄ N với i1 , i2 đơn cấu tắc f đơn cấu Giả sử N = A ⊕ A , p: N → A phép chiếu tắc xác định n = a + a ∈ N , a ∈ A, a ∈ A , p(n) = a Vì N M - c - nội xạ nên tồn f : M → N cho f i1 = i2 f Đặt g = pf Khi đó, gi1 = pf i1 = pi2 f = f (do pi2 = ) Vậy A giả M - c - nội xạ (2) Gọi B môđun đóng M Giả sử A đóng B Khi đó, A đóng M (theo Định lý 1.1.0.7) Xét biểu đồ đồng cấu sau: A i1 ✲ B i2 ✲ M f ❄ N với i1 , i2 đơn cấu tắc f đơn cấu Vì N giả M - c - nội xạ nên tồn đồng cấu f : M → N cho f i2 i1 = f Do đó, với a ∈ A f (a) = f (a) Khi đó, hạn chế f |B : B → N mở rộng f (vì ∀ a ∈ A, f |B (a) = f (a)) Vậy N giả B - c - nội xạ (3) Gọi H mơđun đóng A f : H → A đơn cấu Xét biểu đồ đồng cấu sau: H iH ✲ A iA ✲ M f ❄ A iA ❄ M với iH , iA đơn cấu tắc Ta có H đóng A A đóng M, nên H đóng M (theo Định lý 1.1.0.7) Vì M giả c - nội xạ nên tồn đồng cấu h: M → M cho hiA iH = iA f Khi đó, h |A : A → M đồng cấu Mặt khác, h(A) ≤ A (do A mơđun đóng bất biến đầy M) nên xem h |A : A → A đồng cấu h |A (x) = f (x), ∀x ∈ H Vậy A giả c - nội xạ (4) a) Giả sử N giả M - c - nội xạ Xét biểu đồ sau với A đóng M , i đơn cấu tắc f đơn cấu ♣ ✻ ■♣ ♣ f ♣♣ ♣♣ ♣ i✲ ✲ A N f M Chúng ta cần tồn f : M → N cho f i = f Thật vậy, M M nên ∃ φ: M → M đẳng cấu Theo giả thiết, A đóng M nên φ(A) đóng M Khi đó, f ϕ : φ(A) → N đơn cấu với ϕ: φ(A) → A đẳng cấu xác định ∀ a ∈ A, ϕ(φ(a)) = a Xét biểu đồ đồng cấu sau: N fϕ ♣ ✻ ■♣ ♣ φ(A) ♣♣g ♣♣ ♣♣ ♣ i1 ✲ M ❅ ■ ❅ φ ❅ ❅ ❅ M Vì N giả M - c - nội xạ nên tồn g : M → N cho: gi1 = f ϕ Đặt f = gφ Chúng ta cần chứng minh f i = f Thật vậy, ∀ a ∈ A, ta có f i(a) = f (a) = gφ(a) = gi1 (φ(a)) = f ϕ(φ(a)) = f (a) Vậy, N giả M - c - nội xạ N nên tồn φ : N → N đẳng b) Giả sử N giả M - c - nội xạ Vì N cấu Xét biểu đồ sau: ✲ A i✲ M f ❄ N φ ❄ N với i đơn cấu tắc, f đơn cấu Vì N giả M - c - nội xạ φf đơn cấu nên tồn f : M → N cho f i = φi Đặt h = φ−1 f Khi đó, hi = f Vậy N giả M - c - nội xạ Từ định nghĩa môđun CS, có: Mệnh đề 2.1.3 Mơđun M CS R - môđun giả M - c - nội xạ Chứng minh (=⇒) Vì M CS nên mơđun đóng A M hạng tử trực tiếp M Lấy N môđun Xét biểu đồ sau với f đơn cấu ✲ A p ✲ M f ❄ N Xét pA : M → A toàn cấu tắc Khi đó, f pA mở rộng f (⇐=) Giả sử K môđun đóng M Từ giả thiết, tồn đồng cấu f : M → K mở rộng đồng cấu đồng i : K → K Vậy K hạng tử trực tiếp M Vậy A giả M - c - nội xạ Suy M CS Mệnh đề sau điều kiện cần đủ cho môđun giả M - c - nội xạ Mệnh đề 2.1.4 Cho M, N hai môđun, X = M ⊕ N πM : X → M phép chiếu tắc Các điều kiện sau tương đương: (1) N giả M - c - nội xạ (2) Mỗi môđun K X, πM (K) mơđun đóng M với K ∩ M = K ∩ N = 0, tồn C ≤ X cho K ≤ C N ⊕ C = X Chứng minh (1) =⇒ (2) Giả sử K ≤ X, πM (K) mơđun đóng M với K ∩ M = K ∩ N = 0, πM : M ⊕ N → M πN : M ⊕ N → N tồn cấu tắc Chúng ta kiểm tra được, N ⊕ K = N ⊕ πM (K) Giả sử ϕ : πM (K) → πN (K) đồng cấu xác định bởi: k = m + n ∈ K (với m ∈ M, n ∈ N ), ϕ(m) = n Dễ dàng chứng minh ϕ đơn cấu Vì N giả M - c - nội xạ nên tồn đồng cấu ϕ : M → N mở rộng ϕ Đặt C = {m + ϕ(m) | m ∈ M } Vì vậy, X = N ⊕ C K ≤ C (2) =⇒ (1) Lấy A môđun đóng M ϕ : A → N đơn cấu Đặt K = {a − ϕ(a) | a ∈ A } Vì vậy, πM (K) = A, K ∩ M = N ⊕ K = N ⊕ πM (K) = N ⊕ A Theo giả thiết, tồn môđun C X chứa K cho N ⊕ C = X Giả sử π : N ⊕ C → N phép chiếu tắc Vì hạn chế π |M mở rộng ϕ Với M ⊕ N mơđun giả c - nội xạ có kết sau: Định lý 2.1.5 Nếu M ⊕ N mơđun giả c - nội xạ N M - c - nội xạ Chứng minh Lấy A mơđun đóng M f : A → M đồng cấu Chúng ta xác định g : A → M ⊕ N g(a) = (f (a), a), ∀a ∈ A Khi g đơn cấu Theo Bổ đề 2.1.2, M ⊕ N giả M - c - nội xạ Do đó, g mở rộng đến đồng cấu g : M → M ⊕ N Giả sử πN : M ⊕ N → N phép chiếu tắc πN g : M → N mở rộng f 2.1.2 Áp dụng lớp môđun giả c - nội xạ vào lớp vành nửa đơn Trước hết, có ví dụ chứng tỏ tổng trực tiếp môđun giả c - nội xạ không giả c - nội xạ Ví dụ 2.1.6 Giả sử p nguyên tố nguyên, M1 = Z/pZ M2 = Z/p3 Z Khi đó, M1, M2 mơđun giả c - nội xạ (bởi đều) Nhưng M1 ⊕ M2 giả c - nội xạ Chúng ta có câu hỏi đặt là: Khi tổng trực tiếp hai môđun giả c - nội xạ giả c - nội xạ Định lý sau câu trả lời kết mục Nhắc lại, vành R gọi nửa đơn Artin R vành nửa đơn, nghĩa iđêan phải hạng tử trực tiếp RR Chúng ta có định lý quan trọng sau: Định lý 2.1.7 Cho R vành Khi đó, điều kiện sau tương đương: (1) R nửa đơn Artin (2) Mỗi tổng trực tiếp hai môđun giả c - nội xạ giả c - nội xạ 10 (3) Mỗi môđun giả c - nội xạ nội xạ (4) Bất kì tổng trực tiếp họ mơđun giả c - nội xạ giả c - nội xạ Chứng minh (1) =⇒ (2) Theo định nghĩa nửa đơn Artin (2) =⇒ (3) Chúng ta ý đến tổng trực tiếp M ⊕ E(M), với M giả c - nội xạ Theo giả thiết, M ⊕ E(M) giả c - nội xạ Chú ý rằng, M mơđun đóng M ⊕ E(M) Giả sử i : M → M ⊕ E(M) đơn cấu xác định bởi: i(m) = (0, m) với m ∈ M Theo Bổ đề 2.1.2, M giả M ⊕ E(M) c - nội xạ Khi đó, tồn đồng cấu α : M ⊕ E(M) → M cho αi = 1M Nhưng i = ι2 ι với ι : M → E(M), ι2 : E(M) → M ⊕ E(M) đơn cấu tắc thế, 1M = (αι2 )ι Vì vậy, M hạng tử trực tiếp E(M) Do đó, M nội xạ (3) =⇒ (1) Lấy S môđun nửa đơn Khi môđun S hạng tử trực tiếp S Suy S giả c - nội xạ Theo (3) S nội xạ Mặt khác, lấy {Si | i ∈ N}là họ môđun đơn Ei = E(Si ) bao nội xạ Si Từ ý (3) ta có ⊕i∈N Si cốt yếu ⊕i∈N Ei sau đó: ⊕i∈N Si = ⊕i∈N Ei nội xạ Do đó, ⊕i∈N Ei nội xạ Vì thế, R vành Nơte phải Chúng ta viết E(RR) = K1 ⊕ K2 ⊕ ⊕ Kn với số R - môđun phải Ki nội xạ khơng phân tích Với i = 1, 2, k, giả sử = x ∈ Ki Vì Ki nên xR xR giả c - nội xạ Suy xR hạng tử trực tiếp Ki xR = Ei Nghĩa là, Ei đơn với i = 1, 2, k Vậy E(RR) nửa đơn Từ đó, RR nửa đơn (1) =⇒ (4) =⇒ (2) Rõ ràng Hệ 2.1.8 Các điều kiện sau tương đương: i) R vành nửa đơn Artin ii) Tổng trực tiếp hai môđun giả c - nội xạ nội xạ 2.2 Vành môđun giả c∗ - nội xạ 2.2.1 Định nghĩa, tính chất Tiếp theo, tiếp tục nghiên cứu trường hợp đặc biệt môđun giả M - c - nội xạ, môđun giả c∗ - nội xạ Trước hết, có định nghĩa sau: Định nghĩa 2.2.1 Cho M, N môđun Môđun N gọi giả M - c∗ - nội xạ môđun A M đẳng cấu đến mơđun đóng M, đơn cấu từ A → N mở rộng đến đồng cấu từ M → N Môđun M gọi giả c∗ - nội xạ M giả M - c∗ - nội xạ Vành R gọi giả c∗ - nội xạ phải RR giả c∗ - nội xạ 11 Chúng ta có mối liên hệ sau: M - nội xạ → M - c - nội xạ ↓ ↓ giả M - nội xạ → giả M - c∗ - nội xạ → giả M - c - nội xạ Ví dụ 2.2.2 i) Đặt M = Z ⊕ Z Z - mơđun Vì vậy, MZ CS giả M - c - nội xạ Nhưng M không giả M - c∗ - nội xạ Thật vậy, đặt A = {(2n, 0) ∈ M | n ∈ Z } B = {(n, n) ∈ M | n ∈ Z } Do đó, B mơđun đóng M A B Chúng ta xác định f : A → B f (2n, 0) = (n, n) với n ∈ Z Khi đó, f đơn cấu Giả sử g : M → M mở rộng f Khi đó, g(1, 0) = (x, y) với x, y ∈ Z f (2, 0) = g(2, 0) = (2x, 2y) (1, 0) = (2x, 2y) Hay = 2x (mâu thuẫn) Vậy, M không giả RR - c∗ - nội xạ ii) Giả sử R = Z Khi đó, RR giả RR - c - nội xạ không giả RR ∗ c - nội xạ iii) Giả sử D miền - P CI phải miền nguyên Gọi E(D) bao nội xạ D Khi đó, E(D)/D nửa đơn, E(D) mơđun lớn M chứa D Hơn nữa, M D môđun liên tục phải không giả nội xạ xem [6, Remark 2.9] Vậy, M giả c∗ - nội xạ không nội xạ Với định nghĩa nêu trên, có mệnh đề sau: Mệnh đề 2.2.3 Cho M R - môđun Các điều kiện sau tương đương: (1) M nội xạ (2) M giả N - c∗ - nội xạ cho R - môđun N (3) M giả N - c - nội xạ cho R - môđun N Chứng minh (1) =⇒ (2) =⇒ (3) Rõ ràng (3) =⇒ (1) Chúng ta ý đến tổng trực tiếp M ⊕ E(M) Giả sử i : M → M ⊕ E(M) đơn cấu xác định i(m) = (0, m) với m ∈ M Theo giả thiết, M giả M ⊕ E(M) - c - nội xạ có đồng cấu α : M ⊕ E(M) → M cho αi = 1M Mặt khác, i = ι2 ι với ι : M → E(M), ι2: E(M) → M ⊕ E(M) đơn cấu tắc thế, 1M = (αι2 )ι Suy M hạng tử trực tiếp E Vậy M nội xạ Bổ đề 2.2.4 Cho M, N hai mơđun Khi đó, (1) Nếu N giả M - c∗ - nội xạ A hạng tử trực tiếp N A giả M - c∗ - nội xạ (2) Nếu N giả M - c∗ - nội xạ B môđun đóng M N giả B - c∗ - nội xạ (3) Nếu M giả M - c∗ - nội xạ A mơđun đóng bất biến đầy hồn tồn M A giả c∗ - nội xạ 12 Chứng minh (1) Giả sử K môđun M đẳng cấu với mơđun đóng M, f : K → A đơn cấu N = A⊕B Khi đó, tồn đồng cấu f : M → N mở rộng f Đặt g = πA f với πA : N → A tồn cấu tắc Ta có, g đồng cấu từ M vào A Vì f (k) = f (k) ∈ A với k ∈ K nên g(k) = f = f (k) với k ∈ K Vậy g : M → A đồng cấu mở rộng f (2) Giả sử K môđun B đẳng cấu với mơđun đóng C B f : K → N đơn cấu Ta có C mơđun đóng M Theo giả thiết, tồn đồng cấu f : M → N mở rộng đơn cấu f Với b ∈ B, đặt g(b) = f (b) Khi đó, g đồng cấu mở rộng f từ B vào N (3) Giả sử K môđun A đẳng cấu với mơđun đóng C A f : K → A đơn cấu Ta có C mơđun đóng M Theo giả thiết, tồn đồng cấu f : M → M mở rộng đơn cấu f Vì A mơđun bất biến đầy hồn tồn M nên f (A) ≤ A Khi đó, f |A đồng cấu mở rộng f Do đó, A giả c∗ - nội xạ Với tính chất trên, có đặc trưng mơđun M - c∗ - nội xạ: Mệnh đề 2.2.5 Cho M, N hai môđun, X = M ⊕ N Các điều kiện sau tương đương: (1) N giả M - c∗ - nội xạ (2) Mỗi môđun K X, K đẳng cấu đến môđun đóng M với K ∩ M = K ∩ N = 0, tồn C ≤ X cho K ≤ C N ⊕ C = X Chứng minh (1) =⇒ (2) Giả sử K ≤ X, K đẳng cấu đến mơđun đóng M với K ∩ M = K ∩ N = 0, πM : M ⊕ N → M πN : M ⊕ N → N phép chiếu tắc Chúng ta kiểm tra được, N ⊕ K = N ⊕ πM (K) K πM (K) đẳng cấu đến mơđun đóng M Gọi ϕ πM (K) : πM (K) → πN (K) đồng cấu xác định k = m + n ∈ K (với m ∈ M, n ∈ N ), ϕ(m) = n Dễ dàng chứng minh ϕ đơn cấu Vì N giả M - c∗ - nội xạ nên tồn đồng cấu ϕ: M → N mở rộng ϕ Đặt C = {m + ϕ(m)| m ∈ M} Vì vậy, X = N ⊕ C K ≤ C (2) =⇒ (1) Lấy A môđun M với A đẳng cấu đến môđun đóng M ϕ : A → N đơn cấu Đặt K = {a -ϕ(a) | a ∈ A } Vì vậy, πM (K) = A, K ∩ M = N ⊕ K = N ⊕ πM (K) = N ⊕ A Khi đó, K A Từ giả thiết, tồn môđun C X chứa K với N ⊕ C = X Gọi π : N ⊕ C → N phép chiếu tắc Khi đó, hạn chế π |M mở rộng ϕ Chú ý môđun giả c - nội xạ thỏa mãn điều kiện C2 xem Ví dụ 2.2.2 Nhưng với mơđun giả c∗ - nội xạ, có kết sau: Định lý 2.2.6 Nếu M mơđun giả c∗ - nội xạ M thỏa mãn điều kiện C2 13 Chứng minh Giả sử M môđun giả c∗ - nội xạ B hạng tử trực tiếp M với A B Giả sử f : A → B đẳng cấu Khi B hạng tử trực tiếp M, B giả M - c∗ - nội xạ mơđun theo Bổ đề 2.1.2 Lúc đó, tồn đồng cấu α : M → B mở rộng f cho αi = f với i : A → M đơn cấu tắc Suy (f −1 α)i = 1A Nghĩa là, i đơn cấu chẻ hay A hạng tử trực tiếp M Trong Định lý 2.2.6, môđun M CS mơđun giả M - c - nội xạ Hơn nữa, mơđun giả M - c∗ - nội xạ có định lý sau: Định lý 2.2.7 Môđun M liên tục R - môđun giả M - c∗ nội xạ Chứng minh (=⇒) Giả thiết M liên tục Khi đó, mơđun M đẳng cấu đến mơđun đóng M hạng tử trực tiếp M Suy môđun giả M - c∗ - nội xạ (⇐=) Theo Mệnh đề 2.1.3 Định lý 2.2.6 Hệ 2.2.8 Môđun M liên tục M môđun CS giả c∗ - nội xạ Chúng ta có mối liên hệ sau: giả nội xạ giả c∗ - nội xạ → C2 nội xạ → tựa nội xạ liên tục a v | a ∈ F , v ∈ V } với F - không gian vectơ a V dimV = vành giao hốn, địa phương, Artin C2 khơng giả c∗ nội xạ xem [16, Example 2.12] ii) Môđun giả nội xạ không liên tục xem [6, Remark 2.7] Ví dụ 2.2.9 i) Xét vành R = { Bổ đề 2.2.10 Nếu M môđun giả c∗ - nội xạ mơđun M đẳng cấu đến mơđun đóng M mơđun đóng M Chứng minh Giả thiết M môđun giả c∗ - nội xạ B môđun đóng M với A B Giả sử f : A → B đẳng cấu Khi M giả M - c∗ - nội xạ tồn đồng cấu α : M → M mở rộng f Giả sử A mở rộng cốt yếu cực đại A M Khi A mơđun đóng M, α |A đơn cấu 14 α(A) ≤e α(A ) Nhưng B = α(A) thế, B ≤e α(A ) Suy B = α(A ) vậy, A = A Với M ⊕ N môđun giả c∗ - nội xạ có kết sau: Định lý 2.2.11 Nếu M ⊕ N môđun giả c∗ - nội xạ N M - nội xạ Chứng minh Đặt X = M ⊕ N giả c∗ - nội xạ Giả sử A ≤ X với A ∩ M = K phần bù X M chứa A Giả sử π : X → N phép chiếu tắc Do đó, M ⊕ π(K) = M ⊕ K π(K) ≤e N Dễ dàng chứng minh được: πK : K → π(K) đồng cấu Mặt khác, theo Bổ đề 2.2.10, ta có π(K) mơđun đóng X Suy π(K) = N Khi đó, X = M ⊕ K Vậy, N M - nội xạ Hệ 2.2.12 Với số nguyên n ≥ 2, M n giả c∗ - nội xạ M tựa nội xạ Hệ 2.2.13 Cho vành R, điều kiện sau tương đương: (1) R Artin nửa đơn (2) Mỗi R mơđun phải có hệ sinh đếm giả c∗ - nội xạ Chứng minh (1) =⇒ (2) Rõ ràng (2) =⇒ (1) Giả sử M R - mơđun xyclic phải Khi đó, (M ⊕ RR)(N) (M ⊕ RR)(N) ⊕ (M ⊕ RR)(N) giả c∗ - nội xạ Theo Định lý 2.2.11, (M ⊕ RR )(N) môđun tựa nội xạ Suy ra, M nội xạ Vậy, R Artin nửa đơn theo Định lý Osofsky’s 2.2.2 Vành tự đồng cấu môđun giả c∗ - nội xạ Định lý 2.2.14 Giả sử M = ⊕i∈I Mi , Mi Khi đó, M liên tục M giả c∗ - nội xạ Chứng minh (=⇒) Rõ ràng (=⇒) Giả sử M môđun giả c∗ - nội xạ M = ⊕i∈I Mi Theo Định lý 2.2.6, M thỏa mãn điều kiện C2 Mi theo [16, Proposition 1.30] Suy Mi liên tục với i ∈ I Mặt khác, với j ∈ I ⊕i∈I\j Mi Mj - nội xạ theo Định lý 2.2.11 Do đó, M CS theo [15, Theorem 2.13] Vậy M liên tục Vành R gọi vành tựa Frobenius vành tựa nội xạ phải Artin phía Từ định nghĩa tính chất nêu trên, có đặc trưng vành tựa Frobenius: 15 Định lý 2.2.15 Cho vành R Khi đó, điều kiện sau tương đương: (1) R vành tựa Frobenius (2) Mỗi R môđun phải nội xạ giả c∗ - nội xạ (3) R(N) giả RR - c∗ - nội xạ (4) R −CS đếm với chiều Goldie hữu hạn RR giả c∗ - nội xạ Chứng minh (1) =⇒ (2) =⇒ (3) (1) =⇒ (4) Rõ ràng (3) =⇒ (1) Theo Định lý 2.2.11 (4) =⇒ (1) Theo (4), R liên tục phải Theo giả thiết, R có chiều Goldie hữu hạn nên đơn cấu từ RR → RR toàn cấu Khi đó, R vành nửa hồn chỉnh theo [16, Lemma 4.26] Vậy, RR nửa Artin phải theo [10, Theorem 1] R tựa Frobenius theo [4, Corollary 7] Như biết, M môđun giả nội xạ S = End(M), S/J (S) vành quy Von Neumann J (S) = W (S) = {s ∈ S | Ker(s) ≤e M} Trong phần tiếp theo, chứng minh kết cho môđun giả c∗ - nội xạ Định lý 2.2.16 Giả sử M môđun giả c∗ - nội xạ S = End(M) Khi đó, S/J (S) vành quy Von Neumann J (S) = W (S) = {s ∈ S | Ker(s) ≤e M} Chứng minh Dễ dàng thấy rằng, W (S) iđêan trái S Với s ∈ W (S) t ∈ S ts ∈ W (S), Kerts ≤ Ker(1 + ts) = vậy, Ker(1 + ts) = Suy ra, A = (1 + ts)(M) M Giả sử φ : A → M xác định φ((1 + ts(m)) = m với m ∈ M Khi đó, φ đơn cấu Lúc tồn u ∈ S cho u mở rộng φ Suy u(1 + ts) = Nghĩa là, s ∈ J (S) Vậy W (S) ≤ J (S) Với λ ∈ S, gọi L phần bù Kerλ M Khi đó, L mơđun đóng M Chúng ta xét đồng cấu sau φ : λ(L) → M xác định φ(λ(s)) = x với x ∈ L Khi đó, φ đơn cấu λ(L) Lhay λ(L) đẳng cấu đến mơđun đóng M Vì M giả c∗ - nội xạ nên tồn θ ∈ S cho θ mở rộng φ Do vậy, Kerλ + L Ker(λθλ − λ) Kerλ ⊕ L ≤e M Suy λθλ − λ ∈ W (S) Trong trường hợp đặc biệt, λ ∈ J (S) (1 − θλ)(L) = hay L = Khi đó, Kerλ ≤e M λ ∈ W (S) Vậy, J (S) = W (S) S/J (S) vành quy Von Neumann Căn Jacobson vành R giao tất iđêan phải cực đại R Ký hiệu: J 16 Ký hiệu: Zr = {x ∈ R | ∃I ≤e RR : xI = 0} gọi iđêan suy biến phải vành R Hệ 2.2.17 Nếu R vành giả c∗ - nội xạ R/J vành quy Von Neumann J = Zr Hệ 2.2.18 Giả sử MR vành giả c∗ - nội xạ phải S = End(M) Khi đó, điều kiện sau tương đương: (1) S vành hoàn chỉnh phải (2) Với dãy vô hạn s1, s2 , ∈ S dãy Ker(s1) ≤ Ker(s2 s1) ≤ dừng Chứng minh (1) =⇒ (2) Giả sử si ∈ S, i = 1,2, Khi S hồn chỉnh phải S thỏa mãn DCC iđêan trái hữu hạn Vì thế, dãy Ss1 ≥ Ss2 s1 ≥ dừng Nghĩa ∃n > cho Ssn sn−1 s1 = Ssk sk−1 s1 với k ≥ n Do đó, Ker(sn sn−1 s1 ) = Ker(sk sk−1 s1 ) với k > n (2) =⇒ (1) Theo Định lý 2.2.16 [5, Lemma 1.9] Bổ đề 2.2.19 Giả sử MR R mơđun phải S = End(MR ) Khi đó, (1) lS (A(M)) = lS (A), với A ⊆ S với A(M) = s(M) s∈A (2) lS (rM )(lS (A))) = lS (A) với A ⊆ S Chứng minh (1) Giả sử a ∈ lS (A), a.A = Vì thế, a.s = a(s(M)) = với ∀s ∈ A Suy a ∈ lS (A(M)) Do đó, lS (A) ≤ lS (A(M)) Ngược lại, với a ∈ lS (A(M)), có a.s(M) = với s ∈ A Do đó, a ∈ lS (A) (2) Rõ ràng, lS (rM (lS (A))) ≥ lS (A) Ngược lại, với s ∈ lS (A) s.A(M) = Suy A(M) ≤ rM (lS (A)) Vì thế, lS (A(M)) ≥ lS (rM (lS (A))) Theo (1), có kết cần tìm Giả sử ∅ = A ⊂ S = End(M) Đặt: Kerf = {m ∈ M | f (m) = 0, ∀f ∈ A} KerA = f∈A Nếu X ≤ M X = KerA, cho ∅ = A ⊂ S X gọi M - linh hóa tử Mệnh đề 2.2.20 Giả sử MR môđun giả c∗ - nội xạ với S = End(MR ) Nếu MR thỏa ACC M - linh hóa tử, S nửa nguyên sơ 17 Chứng minh Bây giờ, yêu cầu S thỏa mãn ACC linh hóa tử phải DCC linh hóa tử trái Chú ý dãy giảm lS (A1 ) ≥ lS (A2) ≥ với Ai ⊆ Si , Khi đó, rM (lS (A1)) ≤ rM (lS (A2)) ≤ Từ giả thiết, tồn n ∈ N cho rM (lS (An )) = rM (lS (Ak )) với k > n lS rM (lS (An)) = lS rM (lS (Ak )) Theo Bổ đề 2.2.19 lS (An ) = lS (Ak ) với k > n Điều cho thấy S thỏa mãn DCC linh hóa tử trái ACC linh hóa tử phải Suy ra, J (S) lũy linh xem [26, Lemma 22] Định lý 2.2.16 Vậy, S nửa nguyên sơ theo Hệ 2.2.18 Hệ 2.2.21 Nếu R vành - c∗ - nội xạ phải thỏa mãn ACC linh hóa tử phải R nửa ngun sơ Mơđun M gọi hữu hạn trực tiếp không đẳng cấu đến hạng tử trực tiếp thực M Hoặc tương đương f g = 1M kéo theo gf = 1M , với f, g ∈ End(M) Mệnh đề 2.2.22 Môđun M giả c∗ - nội xạ hữu hạn trực tiếp tự đơn cấu đẳng cấu Chứng minh (=⇒) Giả sử f : M → M đơn cấu Khi đó, M f (M) Gọi i : ∗ f (M) → M đơn cấu tắc Vì M giả c - nội xạ tồn đồng cấu g : M → M mở rộng f −1 : f (M) → M cho gi = f −1 i✲ ♣ ♣♣ ♣ g ♣ ♣♣ ♣ ♣♣ ❄✠ f (M) f −1 M M Mặt khác, với m ∈ M ta có gi(f (m)) = f −1 (f (m)) Suy g(f (m)) = m Do gf = 1M Vì M hữu hạn trực tiếp nên suy f g = 1M , nghĩa f toàn cấu Vậy f đẳng cấu (⇐=) Rõ ràng Hệ 2.2.23 Vành R giả c∗ - nội xạ phải hữu hạn trực tiếp đơn cấu RR → RR đẳng cấu 18 Tài liệu tham khảo [1] F.W Anderson, K.R Fuller, Rings and Categories of Modules, Springer-Verlag, New York 1974 [2] C Celik, Modules satisfying a lifting condition, Turkish J Math 18 (1994), no 3, 293-301 [3] C.S Clara, P.F Smith, Modules which are self-injective relative to closed submodules, Contemporary of Mathematics 259, American Math Soc Providence, pp 487-499, 2000 [4] J Clark and D V Huynh, When is a self-injective semiperfect ring quasi Frobenius?, J Algebra 165 (1994), 531542 [5] N Ding, M F Yousif, and Y Zhou, Modules with annihilator conditions, Comm Algebra 30(5)(2002), 2309-2320 [6] H Q Dinh , A note on pseudo-injective modules, Communication in Algebra, 33(2005), 361-369 [7] N.V Dung, D.V Huynh, P.F Smith, R Wisbauer, Extending Modules, Pitman 1996 [8] K R Goodearl and R B Warfield, An Introduction to Noncommutative Noetherian Rings, London Mathematical Society Student Texts 16, Cambridge University Press, 1989 [9] M Harada, On Modules with Extending Properties, Osaka J Math 19 (1982), 203-215 [10] D V Huynh, A right countably sigma-CS ring with ACC or DCC on projective principal right ideals is left artinian and QF-3, Trans Am Math Soc 347 (1995), 3131-3139 [11] S K Jain, S Singh On pseudo-injective modules and self pseudo-injective rings, Journal Math Sc (1967), 23-31 19 [12] S K Jain, S Singh, On quasi-injective and pseudo-injective modules, Canadian Math Bull 18 (1975), 359-366 [13] S K Jain, S Singh, Quasi-injective and pseudo-injective modules, Canad Math Bull., 18(3)(1975), 134-141 [14] T Y Lam, A First Course in Noncommutative Rings, Springer Graduate Text, 1991 [15] S.H Mohammed and B.J Măuller, Continous and Discrete Modules, London Math Soc LN 147: Cambridge Univ.Press., 1990 [16] W.K Nicholson, M.F Yousif, Quasi-Frobenius Rings, Cambridge Univ.Press 2003 [17] W K Nicholson and M F Yousif, Principally injective rings, Journal of Algebra, 174(1995), 77-93 [18] Truong Cong Quynh and Phan Hong Tin, Modules satisfying extension conditions under monomorphism of their closed submodules, preprint [19] N V Sanh and K P Shum, Endomorphism rings of quasi-principally injective modules, Comm Algebra 29 (1)(2001), 1437-1443 [20] N.V Sanh, K.P Shum, S Dhompongsa and S Wongwai, On quasi-principally injective modules and rings, Algebra Colloquium 6(3) (1999), 269-276 [21] S Singh, S K Jain, On pseudo injective modules and self pseudo-injective rings, The Journal of Mathematical Sciences, 2(1)(1967), 125-133 [22] M L Teply, Pseudo-injective modules which are not quasi-injective, Proc Amer Math Soc., 49(2)(1975), 305-310 [23] Phan Hồng Tín Trương Công Quỳnh, Về môđun giả c∗ nội xạ, Tạp chí Khoa học Cơng nghệ - Đại học Đà Nẵng, 6(47)2011, 118-126 [24] T Wakamatsu, Pseudo-projectives and pseudo-injectives in abelian categories, Math Rep Toyama Univ., 2(1979), 133-142 [25] Wisbauer, R.: Foundations of Module and Ring Theory, Gordon and Breach Reading 1991 [26] Zhu, Zhanmin, Pseudo PQ-injective modules, to appear in Turk J Math [27] Zhu, Zhanmin, Yu Jinxiang, On GC2 modules and their endomorphism rings, Linear Multilinear Algebra 56 (5)(2008), 511-515 20 KẾT LUẬN Đề tài bao gồm ba phần: Lời giới thiệu, nội dung kết luận Phần nội dung đề tài trình bày hai chương Trong chương một, chúng tơi trình bày nội dung liên quan sử dụng chương sau Trong chương hai, nghiên cứu môđun giả M - c - nội xạ giả M - c∗ - nội xạ Một số tính chất chúng tơi trình bày chứng minh tường minh Do phạm vi nghiên cứu thời gian có hạn nên em khơng thể thể rõ hết nội dung đề cập đề tài sai sót Kính mong Q Thầy Cơ đọc bổ sung đóng góp ý kiến cho đề tài hoàn chỉnh 21 ... luận văn là: "Điều kiện nội xạ lớp mơđun đóng" Mục đích luận văn ý đến tổng quát hóa mơđun M - c - nội xạ mơđun giả M - nội xạ, mơđun giả M - c - nội xạ môđun giả M - c∗ - nội xạ số tính chất... mơđun tựa nội xạ môđun giả nội xạ (xem [6], [19], [20], [26], ) Môđun tự - c - nội xạ trường hợp đặc biệt tổng quát hóa môđun tựa nội xạ nghiên cứu Harada [9] Nhắc lại, môđun M gọi GQ - nội xạ (tổng... - nội xạ (2) Nếu N giả M - c - nội xạ B mơđun đóng M N giả B - c - nội xạ (3) Nếu M giả c - nội xạ A giả c - nội xạ với mơđun đóng bất biến đầy A M (4) Giả sử M M N N Nếu N giả M - c - nội xạ