Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 13 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
13
Dung lượng
1,39 MB
Nội dung
Aplus nơi chia sẻ tri thức, khơi nguồn đam mê sáng tạo! DẠNG 2: TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN BẰNG CÁCH PHÂN CHIA LẮP GHÉP KHỐI HOẶC SO SÁNH TỈ SỐ Trong nhiều tốn, việc tính trực tiếp thể tích khối đa diện dạng (phương pháp trực tiếp) gặp khó khăn hai lí do: Website: aplusedu.vn PHƯƠNG PHÁP Tính thể tích cách chia nhỏ + Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà dễ dàng tính thể tích chúng + Sau đó, ta cộng kết lại, ta có kết cần tìm Tính thể tích cách bổ sung: Ta ghép thêm vào khối đa diện khối đa diện khác, cho khối đa diện thêm vào khối đa diện dễ dàng tính thể tích Tính thể tích tỉ số thể tích: So sánh thể tích khối cần tính với đa diện khác biết trước dễ dàng tính thể tích Trong phương pháp này, ta thường hay sử dụng kết toán: Bài toán: Cho hình chóp S.ABC Lấy A, B, C tương ứng cạnh SA, SB, SC Khi đó: VS ABC SA SB SC VS ABC SA SB SC Chứng minh: VS ABC VASBC d A , SB C SSBC Ta có: VS ABC VASBC d A, SBC SSBC S 1 d A, SBC SB.SC.sin 3 1 d A, SBC SB.SC.sin SA SB SC đpcm SA SB SC A' C' B' A C SC BSC Trong đó: B Vì AA SBC S SA d A, SBC SA d A, SBC B Chú ý: Kết điểm A, B, C có điểm A A, B B, C C Thông thường, loại này, đề thường cho điểm chia đoạn theo tỉ lệ, song song, hình chiếu.… ANPHA EDUCATION APUS TÂY HN 0973.514.674 -1- On line:TOLIHA.VN Off line: P.2205 CT2A Tân Tây Đô HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS + Hoặc khó xác định tính chiều cao + Hoặc tính diện tích đáy khơng dễ dàng Khi đó, ta làm theo phương pháp gián tiếp trình bày sau Aplus nơi chia sẻ tri thức, khơi nguồn đam mê sáng tạo! VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Cho hình vẽ với E, F trung điểm cạnh bên SB SC S F a C A c Website: aplusedu.vn b B Khối S.AEF tích là: abc A 24 Phân tích: B abc 12 C abc D 11 abc 12 BA.BC + SA chiều cao khối chóp SABC nên ta tính thể tích chóp SABC theo công thức: + Tam giác ABC vuông B nên SABC VSABC SABC SA + Áp dụng cơng thức tỉ lệ thể tích VSAEF SA SE SF ta tìm V SAEF VSABC SA SB SC Lời giải : Tam giác ABC vuông B nên SABC 1 bc VSABC SABC SA abc VSAEF SA SE SF 1 1 VSAEF VSABC abc Chọn đáp án A VSABC SA SB SC 2 4 24 Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC, AB, BC, SC lấy điểm M, N, P cho AM 2MB, BN 4NC , SP PC Tỉ lệ thể tích hai khối chóp S.BMN A.CPN : A B ANPHA EDUCATION APUS TÂY HN 0973.514.674 C -2- D On line:TOLIHA.VN Off line: P.2205 CT2A Tân Tây Đô HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS E Aplus nơi chia sẻ tri thức, khơi nguồn đam mê sáng tạo! Phân tích: S + Để áp dụng công thức tỉ lệ thể tích ta cần đổi đỉnh cho khối chóp cần tính có P cạnh tỉ lệ tương ứng với cạnh hình chóp SABC C A + Với khối chóp S MNB ta chuyển đỉnh B M VS BMN VB MNS BM BN BS VS ABC VB ACS BA BC BS Website: aplusedu.vn HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS N đáy SMN B BM BN , BN BC BA BC + Với khối chóp ACPN ta chuyển đỉnh C đáy ANP : AM MB V A.CPN VC ANP CA CN CP , VS ABC VC ABS CA CB CS BN BC CN CP , SP PC CB CS Sau lập tỉ lệ hai tỉ số thu kết Lời giải : + VS BMN VB MNS BM BN BS 4 VS ABC VB ACS BA BC BS 15 + V A.CPN VC ANP CA CN CP 1 VS ABC VC ABS CA CB CS 10 VS BMN : Chọn đáp án B V A.CNP 15 10 BSC 60 o , ASC 90 o Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có SA SB a , SC a , ASB Thể tích khối chóp S.ABC V Tỉ số A B 6V : a3 C Phân tích : D 3 S Bài tốn u cầu tính thể tích khối S.ABC ta khó xác định chiều cao khối chóp 60 60 cần dựng thêm đường phụ M Gọi M trung điểm SC, ta có SM a SAM vng cân S Gọi H trung điểm AM SH a AM 2 H C A Ta có : AB = BM = a AB2 BM AM B ABM vuông cân B ANPHA EDUCATION APUS TÂY HN 0973.514.674 -3- On line:TOLIHA.VN Off line: P.2205 CT2A Tân Tây Đô Aplus nơi chia sẻ tri thức, khơi nguồn đam mê sáng tạo! BH a AM SH BH SB2 a2 SHB vuông cân H 2 Ta có SH AM , SH HB SH ABM ta đễ dàng tính VS ABM SH.SABM V SC VS ABC 2VS ABM Dựa vào tỉ số thể tích: S ABC VS ABM SM Gọi M trung điểm SC , ta có SM a SAM vuông cân S Gọi H trung điểm AM Website: aplusedu.vn Ta có AM SA2 SM a SH a AM 2 60 o BSM BM a BSM Ta có SM = SB = a BSC Ta có AB = BM = a ABM cân B Mặt khác: AB2 BM2 2a2 AM 2a2 AB2 BM AM ABM vuông cân B (định lý pitago đảo) BH a AM 2 a 2 a 2 2 2 Ta có SH BH a SH BH SB a 2 SHB vuông cân H (định lý pitago đảo) Ta có SH AM , SH HB SH ABM SABM 1 a a2 a3 a2 VS ABM SH.SABM AB.BM 3 2 12 2 VS ABC 6V SC a3 Chọn đáp án B VS ABC 2VS ABM VS ABM SM a , BSC , ASC * Tổng quát: Cho chóp S.ABC có SA a, SB b, SC c ASB abc cos2 cos2 cos2 2cos cos cos Thể tích khối chóp S.ABC là: VS ABC Áp dụng vào ta được: VS ABC a.a.2a a3 cos2 600 cos2 600 cos2 900 2cos600 cos600 cos900 6 6V Chọn đáp án B a3 Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC tam giác vng B có AB a , BC a , SA vng góc với mặt phẳng ABC SA = 2a Gọi H, K hình chiếu vng góc A cạnh SB SC Thể tích khối chóp A.BCKH V Tỉ số giá trị sau: A B ANPHA EDUCATION APUS TÂY HN 0973.514.674 C a3 gần giá trị V D -4- On line:TOLIHA.VN Off line: P.2205 CT2A Tân Tây Đô HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS Lời giải : Aplus nơi chia sẻ tri thức, khơi nguồn đam mê sáng tạo! Phân tích: 1 SABC AB.BC VSABC AB.BC.SA Mặt phẳng AHK chia khối SAB thành hai khối: SAHK ABCKH V ABCKH VSABC VSAHK VSAHK SA SH SK SH SK VSABC SA SB SC SB SC Dựa vào tam giác vng SAB, SAC ta tính tỉ lệ Website: aplusedu.vn Lời giải : HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS Ta tính V SAH K dựa vào cơng thức SH SK SB SC S + Ta có : VSABC 1 a3 AB.BC.SA a.a 3.2 a 6 K AC AB2 BC a2 3a2 a SAC vuông cân A K trung điểm A SC H C + SAB vuông A có : SH SH.SB SA2 SA 4a2 2 2 2 SB SB SB SA AB 4a a V SA SH SK SAHK VSABC SA SB SC 5 B 2 a 3 2a 3 VSAHK VSABC 5 15 Vậy VABCKH VSABC VSAHK a3 2a3 a3 15 a3 2, 89 Chọn đáp án C V Ví dụ 5: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a, góc mặt bên mặt phẳng đáy thoả mãn cos = Mặt phẳng P qua AC vng góc với mặt phẳng SAD chia khối chóp S ABCD thành hai khối đa diện Tỉ lệ thể tích hai khối đa diện gần với giá trị giá trị sau: A 0,11 B 0,13 ANPHA EDUCATION APUS TÂY HN 0973.514.674 C 0,7 -5- D 0,9 On line:TOLIHA.VN Off line: P.2205 CT2A Tân Tây Đô Aplus nơi chia sẻ tri thức, khơi nguồn đam mê sáng tạo! Phân tích: S ABCD hình chóp tứ giác S SO ABCD Các mặt bên tạo với đáy góc nên ta cần chọn mặt SCD M A D Kẻ CM SD Website: aplusedu.vn AC BD AC SBD AC SD Ta có AC SO N O B C SD ACM ACM SAD nên mặt phẳng P ACM + Mặt phẳng P chia khối chóp S.ABCD thành khối MACD SABCM Ta tính tỉ số thể tích khối MACD so với khối SABCD Dễ thấy VSABCD VSACD đến ta đổi đỉnh khối M ACD thành D.MAC vận dụng cơng thức tỉ lệ thể tích VD AMC DM DA DC DM VD.SABC DS DA DC DS Việc tính DM, DS dựa vào hệ thức lượng tam giác vuông Lời giải: S ABCD hình chóp tứ giác SO ABCD Gọi N trung điểm CD CD SN , CD ON SCD , ABCD SNO SCD ABCD CD AC BD AC SBD AC SD Kẻ CM SD Ta có AC SO SD ACM ACM SAD nên mặt phẳng P ACM a ON 3a 2 + Xét tam giác SON vuông O có : SN cos SNO 2 3a a SO SN ON a 2 2 + Xét tam giác SOD vng O có : SD SO OD Ta có SSCD a 2 a a 10 3a a 1 SN CD 3a 10 CM.SD SN.CD CM 2 SD 10 a 10 ANPHA EDUCATION APUS TÂY HN 0973.514.674 -6- On line:TOLIHA.VN Off line: P.2205 CT2A Tân Tây Đô HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS SCD , ABCD SNO Aplus nơi chia sẻ tri thức, khơi nguồn đam mê sáng tạo! 3a 10 a 10 + Xét tam giác MCD vng M có : DM CD CM a 10 10 2 a 10 V MACD VMACD DM DA DC DM 10 Ta có : VSABCD 2.VSACD DS DA DA DC a 10 10 V Mặt phẳng P chia khối chóp S.ABCD thành khối MACD SABCM 10 SABCD V VSABCD V MACD VSABCM VSABCM 10 SABCD V Do : MACD 0,11 Chọn đáp án A VSABCM Website: aplusedu.vn VMACD Tổng qt: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a, góc mặt bên mặt phẳng đáy Mặt phẳng P qua AC vuông góc với mặt phẳng SAD chia khối chóp S ABCD thành hai khối đa diện Tỉ lệ thể tích hai khối đa diện V1 cos2 V2 Lời giải: Ta có: SD SN ND ON a a ND 1 cos cos 2.cos cos SNO 1 Ta có : SSCD CM.SD SN.CD 2 a a SN CD a cos CM a SD cos cos2 2.cos DM CD CM a a2 a.cos cos cos a.cos V MACD V DM DA DC DM MACD VSABCD 2.VSACD DS DA DC DS VMACD Do : cos a cos 2.cos cos cos cos cos2 V V VSABCD VSABCD SABCD SABCM 2 cos cos2 cos V MACD cos VSABCM ANPHA EDUCATION APUS TÂY HN 0973.514.674 -7- On line:TOLIHA.VN Off line: P.2205 CT2A Tân Tây Đô HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS Aplus nơi chia sẻ tri thức, khơi nguồn đam mê sáng tạo! CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN Câu Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' tích V Thể tích khối chóp ACB ' D ' là: V V 3V B C 4 Câu Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ tích V A 2V HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS B' D C' Website: aplusedu.vn A' I B C A 2V C I ABB ' A ' Trong hình đây, hình tích A A A ' B ' C ' B C ' ABC D A '.BCC ' B ' Câu Cho hình vẽ với E, F trung điểm cạnh bên SB SC S F a E C A c b B Khối ABCFE tích A abc 24 Câu Cho hình B chóp abc 12 S.ABC C có abc D abc 60 o , SA 2cm, SB 3cm, SC 4cm , ASB ASC 120 Thể tích khối chóp S.ABC A 2 B ANPHA EDUCATION APUS TÂY HN 0973.514.674 C -8- 90 , BSC D 3 On line:TOLIHA.VN Off line: P.2205 CT2A Tân Tây Đô Aplus nơi chia sẻ tri thức, khơi nguồn đam mê sáng tạo! Câu Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy ABCD hình vng cạnh 20cm, cạnh SA = 30cm vng góc vói đáy Gọi B’, D’ hình chiếu vng góc A lên SB SD Mặt phẳng AB ' D ' cắt SC C’ Thể tích khối chóp S AB ' C ' D ' gần giá trị A 2120cm3 B 2770cm3 C 1440cm3 D 1470cm3 Câu Cho hình chóp S ABCD Mặt phẳng P chứa AB qua trọng tâm G VS ABMN có giá trị VS ABCD 3 B C D 4 Câu Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh 15cm Gọi M điểm thuộc A A ' cho AM 10 cm Mặt phẳng P chứa CM song song với BD chia khối Website: aplusedu.vn A lập phương thành hai phần Thể tích phần lớn A 1687, 5cm3 C 2250cm3 B 2531, 25cm3 D 1125cm3 Câu Cho khối lăng trụ tam giác A B C A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a Cạnh AA ' a tạo với đáy góc 450 Thể tích khối tứ diện ACA’B’ a3 a3 a3 a3 B C D 12 Câu Cho khối hộp chữ nhật A B C D A ' B ' C ' D ' có AB 4cm, BC 8cm, AA ' 6cm A Lấy E, F trung điểm BC CD Mặt phẳng A ' EF chia khối hộp thành hai phần Gọi x cm3 thể tích phần nhỏ, y cm3 thể tích phần lớn Giá trị 5x y A 160 B 512 C 544 D 128 Câu 10 Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a Gọi G trọng tâm tam giác ABC, góc SG mặt phẳng SBC 300 Mặt phẳng P chứa BC vng góc với SA chia khối chóp S ABC thành hai phần Tỉ số thể tích hai phần A B ANPHA EDUCATION APUS TÂY HN 0973.514.674 C -9- D On line:TOLIHA.VN Off line: P.2205 CT2A Tân Tây Đô HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS tam giác SAC cắt SC, SD M, N Tỷ lệ T Aplus nơi chia sẻ tri thức, khơi nguồn đam mê sáng tạo! ĐÁP ÁN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 10 Đáp án B D C A D B C A C A Website: aplusedu.vn Câu V ACB ' D ' V V B AB ' C V A ' AB ' D ' V C '.CB ' D ' V D ACD ' VACB ' D ' V A' V V Chọn đáp án B B' D' C' A D B C Chú ý: Khối tứ diện có cạnh tạo cặp đường chéo (không song song) mặt bên song VHép song hình hộp tích: VTø diƯn Câu VA ' BCC ' B' 2V Chọn đáp án D 1 bc VSABC SABC SA abc 1 VSABC abc 24 Câu Tam giác ABC vuông B nên SABC VSAEF SA SE SF 1 VSAEF VSABC SA SB SC 2 1 abc abc abc Chọn đáp án C 24 Câu Tương tự ví dụ 3, áp dụng công thức giải nhanh: abc VS ABC cos2 cos2 cos2 2cos cos cos 2.3.4 VS ABC cos2 60 cos2 900 cos2 1200 2cos60 cos900 cos120 2 Chọn đáp án A VABCFE VSABC VSAEF ANPHA EDUCATION APUS TÂY HN 0973.514.674 - 10 - On line:TOLIHA.VN Off line: P.2205 CT2A Tân Tây Đô HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS HƯỚNG DẪN GIẢI CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Aplus nơi chia sẻ tri thức, khơi nguồn đam mê sáng tạo! Câu 1 + VS ABCD SA.SABCD 30.202 4000cm3 3 2 SC ' SA SA 30 2 2 2 SC SC 17 SA AC 30 20 20 2 SD ' SA SA 30 2 2 SD SD 13 SA AD 30 20 V 2V SA SC ' SD ' SC ' SD ' + S AB 'C ' D ' SAC ' D ' VS ABCD 2VSACD SA SC SD SC SD S C' D' B' C Website: aplusedu.vn B VS AB 'C ' D ' HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS D A 9 81 324000 VS ABCD 4000 1466cm Chọn đáp án D 17 13 221 221 Câu + SCD P MN CD / / MN S nên M, N trung điểm SC, SD V V VSABM VSAMN V SABM + T S ABMN SAMN VS ABCD VSACD VSABC 2VSACD 2VSABC N SA SM SN SA SB SM 1 SA SC SD SA SB SC 8 Chọn đáp án B G A M K O B Câu + OO ' MC K , Từ K kẻ đường thẳng song song với BD cắt BB’, DD’ N P mặt phẳng P MNCP + OK đường trung bình CAM OK AM 5cm DP OK cm + V ABCD A ' B' C ' D ' 153 3375cm3 mặt phẳng chia khối phương thành A ' B ' C ' D ' MNCP ABCDPMN lập D C A' B' O' M D' C' N K P P hai phần D A B O C + Ta có ACC ' A ' chia khối ABCDPMN thành hai phần vậy: 1 V ABCDPMN 2VCADPM .S ADPM CD DP AM AD.CD 1125cm 3 3 VA ' B'C ' D ' MNCP 3375cm 1125cm 2250cm3 Chọn đáp án C ANPHA EDUCATION APUS TÂY HN 0973.514.674 - 11 - On line:TOLIHA.VN Off line: P.2205 CT2A Tân Tây Đô Aplus nơi chia sẻ tri thức, khơi nguồn đam mê sáng tạo! Câu a2 + Ta có AA ', ABC A ' AH 45o A' + ABC SABC C' B' a3 Khối lăng trụ chia làm ba khối chóp C.A’B’C’, B’.ABC ACA’B’ ta có: Website: aplusedu.vn VABC A ' B' C ' SABC A ' H HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS A ' AH vng H có: A ' H AA '.sin A ' AH a C A H B 1 VC A' B'C ' VABC A' B'C ' VB' ABC VABC A' B'C ' 3 a3 VACA' B ' VABC A ' B' C ' VC A ' B' C ' VB' ABC V ABC A ' B'C ' Chọn đáp án A 12 Câu + Ta có VABCD A' B'C ' D ' AB.BC.AA ' 192cm3 A' + Mặt phẳng A ' EF cắt đoạn AB, AD, D' C' B' BB’, DD’ I, J, M, N BM IB DN JD Ta có: AA ' IA DD ' JA 1 V A ' AIJ AI AJ.AA ' 12.6.6 72cm3 6 N A M D J F B E C I 1 BC AB BB ' BE.BI MB 4.2.2 cm3 , 6 2 1 DC AD DD ' VNDFJ DF.DJ.ND 2.4.2 cm3 6 2 200 376 VA ' MEFNDAB VA ' AIJ VMBIE VNDFJ cm VA ' B'C ' D ' NFEM V ABCDA ' B'C ' D ' V A ' MEFNDAB cm 3 5x y 544 Chọn đáp án C VMBIE ANPHA EDUCATION APUS TÂY HN 0973.514.674 - 12 - On line:TOLIHA.VN Off line: P.2205 CT2A Tân Tây Đô Aplus nơi chia sẻ tri thức, khơi nguồn đam mê sáng tạo! Câu 10 + Do S ABC hình chóp tam giác S SG ABC SG BC , N mà BC AM BC SAM SBC SAM C A G vng góc SG lên SBC SM Website: aplusedu.vn 30 o SG , SBC SG , SM GSM M B + Kẻ MN SA , ta có BC SAM SA BC SA NBC nên P NBC + Xét tam giác SGM vng M có: SG a a AM.cot 300 a a SM SG GM.cot GSM 3 2 cos GSM 2 a 2 a 3 a 21 + Xét tam giác SGA vng G có: SA SG AG 2 a a 1 SG AM 2 3a SSAM MN SA SG AM MN 2 SA 14 a 21 + Xét tam giác SNM vng N có: 2 a 3a a 21 SN SM MN 14 42 2 a 21 VSNBC SN SB SC SN 1 Ta có: 42 VSNBC VSABC Mặt phẳng P chia khối chóp VSABC SA SB SC SA a 21 7 6 thành khối SNBC NABC VSABC V SNBC V NABC VNABC VSABC VSNBC Chọn đáp án A Vậy VNABC ANPHA EDUCATION APUS TÂY HN 0973.514.674 - 13 - On line:TOLIHA.VN Off line: P.2205 CT2A Tân Tây Đô HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS SBC SAM SM nên hình chiếu SBC SAM , SG SAD ... D 11 abc 12 BA.BC + SA chiều cao khối chóp SABC nên ta tính thể tích chóp SABC theo công thức: + Tam giác ABC vuông B nên SABC VSABC SABC SA + Áp dụng cơng thức tỉ lệ thể tích VSAEF SA... đam mê sáng tạo! Phân tích: S + Để áp dụng công thức tỉ lệ thể tích ta cần đổi đỉnh cho khối chóp cần tính có P cạnh tỉ lệ tương ứng với cạnh hình chóp SABC C A + Với khối chóp S MNB ta chuyển... 3: Cho hình chóp S.ABC có SA SB a , SC a , ASB Thể tích khối chóp S.ABC V Tỉ số A B 6V : a3 C Phân tích : D 3 S Bài tốn u cầu tính thể tích khối S.ABC ta khó xác định chiều cao khối chóp