TÍNH THỂ TÍNH BẰNG CÁCH lắp GHÉP + tỉ số

Aplus nơi chia sẻ tri thức, khơi nguồn đam mê sáng tạo! DẠNG 2: TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN BẰNG CÁCH PHÂN CHIA LẮP GHÉP KHỐI HOẶC SO SÁNH TỈ SỐ Trong nhiều tốn, việc tính trực tiếp thể tích khối đa diện dạng (phương pháp trực tiếp) gặp khó khăn hai lí do: Website: aplusedu.vn PHƯƠNG PHÁP Tính thể tích cách chia nhỏ + Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà dễ dàng tính thể tích chúng + Sau đó, ta cộng kết lại, ta có kết cần tìm Tính thể tích cách bổ sung: Ta ghép thêm vào khối đa diện khối đa diện khác, cho khối đa diện thêm vào khối đa diện dễ dàng tính thể tích Tính thể tích tỉ số thể tích: So sánh thể tích khối cần tính với đa diện khác biết trước dễ dàng tính thể tích Trong phương pháp này, ta thường hay sử dụng kết toán: Bài toán: Cho hình chóp S.ABC Lấy A, B, C tương ứng cạnh SA, SB, SC Khi đó: VS ABC SA SB SC  VS ABC SA SB SC Chứng minh:    VS ABC VASBC d A ,  SB C  SSBC   Ta có: VS ABC VASBC d A,  SBC  SSBC    S  1 d A,  SBC  SB.SC.sin  3 1 d A,  SBC  SB.SC.sin  SA SB SC    đpcm SA SB SC    A' C'  B' A C   SC  BSC Trong đó:   B Vì AA   SBC   S     SA d  A,  SBC   SA d A,  SBC  B Chú ý: Kết điểm A, B, C có điểm A  A, B  B, C  C Thông thường, loại này, đề thường cho điểm chia đoạn theo tỉ lệ, song song, hình chiếu.… ANPHA EDUCATION APUS TÂY HN 0973.514.674 -1- On line:TOLIHA.VN Off line: P.2205 CT2A Tân Tây Đô HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS + Hoặc khó xác định tính chiều cao + Hoặc tính diện tích đáy khơng dễ dàng Khi đó, ta làm theo phương pháp gián tiếp trình bày sau Aplus nơi chia sẻ tri thức, khơi nguồn đam mê sáng tạo! VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Cho hình vẽ với E, F trung điểm cạnh bên SB SC S F a C A c Website: aplusedu.vn b B Khối S.AEF tích là: abc A 24 Phân tích: B abc 12 C abc D 11 abc 12 BA.BC + SA chiều cao khối chóp SABC nên ta tính thể tích chóp SABC theo công thức: + Tam giác ABC vuông B nên SABC  VSABC  SABC SA + Áp dụng cơng thức tỉ lệ thể tích VSAEF SA SE SF  ta tìm V SAEF VSABC SA SB SC Lời giải : Tam giác ABC vuông B nên SABC  1 bc  VSABC  SABC SA  abc VSAEF SA SE SF 1 1     VSAEF  VSABC  abc  Chọn đáp án A VSABC SA SB SC 2 4 24 Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC, AB, BC, SC lấy điểm M, N, P cho AM  2MB, BN  4NC , SP  PC Tỉ lệ thể tích hai khối chóp S.BMN A.CPN : A B ANPHA EDUCATION APUS TÂY HN 0973.514.674 C -2- D On line:TOLIHA.VN Off line: P.2205 CT2A Tân Tây Đô HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS E Aplus nơi chia sẻ tri thức, khơi nguồn đam mê sáng tạo! Phân tích: S + Để áp dụng công thức tỉ lệ thể tích ta cần đổi đỉnh cho khối chóp cần tính có P cạnh tỉ lệ tương ứng với cạnh hình chóp SABC C A + Với khối chóp S MNB ta chuyển đỉnh B M VS BMN VB MNS BM BN BS   VS ABC VB ACS BA BC BS Website: aplusedu.vn HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS N đáy SMN B BM BN  , BN  BC   BA BC + Với khối chóp ACPN ta chuyển đỉnh C đáy ANP : AM  MB  V A.CPN VC ANP CA CN CP   , VS ABC VC ABS CA CB CS BN  BC  CN CP  , SP  PC   CB CS Sau lập tỉ lệ hai tỉ số thu kết Lời giải : + VS BMN VB MNS BM BN BS 4     VS ABC VB ACS BA BC BS 15 + V A.CPN VC ANP CA CN CP 1     VS ABC VC ABS CA CB CS 10  VS BMN  :   Chọn đáp án B V A.CNP 15 10   BSC   60 o , ASC   90 o Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có SA  SB  a , SC  a , ASB Thể tích khối chóp S.ABC V Tỉ số A B 6V : a3 C Phân tích : D 3 S Bài tốn u cầu tính thể tích khối S.ABC ta khó xác định chiều cao khối chóp 60 60 cần dựng thêm đường phụ M Gọi M trung điểm SC, ta có SM  a  SAM vng cân S Gọi H trung điểm AM  SH  a AM  2 H C A Ta có : AB = BM = a AB2  BM  AM B  ABM vuông cân B ANPHA EDUCATION APUS TÂY HN 0973.514.674 -3- On line:TOLIHA.VN Off line: P.2205 CT2A Tân Tây Đô Aplus nơi chia sẻ tri thức, khơi nguồn đam mê sáng tạo!  BH  a AM   SH  BH  SB2  a2  SHB vuông cân H 2 Ta có SH  AM , SH  HB  SH   ABM  ta đễ dàng tính VS ABM  SH.SABM V SC   VS ABC  2VS ABM Dựa vào tỉ số thể tích: S ABC  VS ABM SM Gọi M trung điểm SC , ta có SM  a  SAM vuông cân S Gọi H trung điểm AM Website: aplusedu.vn Ta có AM  SA2  SM  a  SH  a AM  2   60 o  BSM  BM  a  BSM Ta có SM = SB = a BSC Ta có AB = BM = a  ABM cân B Mặt khác: AB2  BM2  2a2 AM  2a2  AB2  BM  AM  ABM vuông cân B (định lý pitago đảo)  BH  a AM  2 a 2 a 2 2 2 Ta có SH  BH     a  SH  BH  SB  a         2  SHB vuông cân H (định lý pitago đảo) Ta có SH  AM , SH  HB  SH   ABM  SABM  1 a a2 a3 a2  VS ABM  SH.SABM   AB.BM  3 2 12 2 VS ABC 6V SC a3    Chọn đáp án B    VS ABC  2VS ABM  VS ABM SM a    , BSC    , ASC   * Tổng quát: Cho chóp S.ABC có SA  a, SB  b, SC  c ASB abc  cos2  cos2   cos2  2cos cos cos Thể tích khối chóp S.ABC là: VS ABC  Áp dụng vào ta được: VS ABC  a.a.2a a3  cos2 600  cos2 600  cos2 900  2cos600 cos600 cos900  6 6V   Chọn đáp án B a3 Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC tam giác vng B có AB  a , BC  a , SA vng góc với mặt phẳng  ABC  SA = 2a Gọi H, K hình chiếu vng góc A  cạnh SB SC Thể tích khối chóp A.BCKH V Tỉ số giá trị sau: A B ANPHA EDUCATION APUS TÂY HN 0973.514.674 C a3 gần giá trị V D -4- On line:TOLIHA.VN Off line: P.2205 CT2A Tân Tây Đô HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS Lời giải : Aplus nơi chia sẻ tri thức, khơi nguồn đam mê sáng tạo! Phân tích: 1 SABC  AB.BC  VSABC  AB.BC.SA Mặt phẳng  AHK  chia khối SAB thành hai khối: SAHK ABCKH  V ABCKH  VSABC  VSAHK VSAHK SA SH SK SH SK   VSABC SA SB SC SB SC Dựa vào tam giác vng SAB, SAC ta tính tỉ lệ Website: aplusedu.vn Lời giải : HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS Ta tính V SAH K dựa vào cơng thức SH SK SB SC S + Ta có : VSABC  1 a3 AB.BC.SA  a.a 3.2 a  6 K AC  AB2  BC  a2  3a2  a  SAC vuông cân A  K trung điểm A SC H C +  SAB vuông A có : SH SH.SB SA2 SA 4a2      2 2 2 SB SB SB SA  AB 4a  a V SA SH SK  SAHK    VSABC SA SB SC 5 B 2 a 3 2a 3  VSAHK  VSABC   5 15 Vậy VABCKH  VSABC  VSAHK   a3 2a3 a3   15 a3   2, 89  Chọn đáp án C V Ví dụ 5: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a, góc mặt bên mặt phẳng đáy  thoả mãn cos = Mặt phẳng  P  qua AC vng góc với mặt phẳng  SAD  chia khối chóp S ABCD thành hai khối đa diện Tỉ lệ thể tích hai khối đa diện gần với giá trị giá trị sau: A 0,11 B 0,13 ANPHA EDUCATION APUS TÂY HN 0973.514.674 C 0,7 -5- D 0,9 On line:TOLIHA.VN Off line: P.2205 CT2A Tân Tây Đô Aplus nơi chia sẻ tri thức, khơi nguồn đam mê sáng tạo! Phân tích: S ABCD hình chóp tứ giác S SO   ABCD  Các mặt bên tạo với đáy góc nên ta cần chọn mặt  SCD  M A D Kẻ CM  SD Website: aplusedu.vn  AC  BD  AC   SBD   AC  SD Ta có   AC  SO N O B C  SD   ACM    ACM   SAD  nên mặt phẳng  P   ACM  + Mặt phẳng  P  chia khối chóp S.ABCD thành khối MACD SABCM Ta tính tỉ số thể tích khối MACD so với khối SABCD Dễ thấy VSABCD  VSACD đến ta đổi đỉnh khối M ACD thành D.MAC vận dụng cơng thức tỉ lệ thể tích VD AMC DM DA DC DM   VD.SABC DS DA DC DS Việc tính DM, DS dựa vào hệ thức lượng tam giác vuông Lời giải:   S ABCD hình chóp tứ giác SO  ABCD Gọi N trung điểm CD   CD  SN , CD  ON    SCD  ,  ABCD   SNO   SCD    ABCD   CD  AC  BD  AC   SBD   AC  SD Kẻ CM  SD Ta có   AC  SO  SD   ACM    ACM   SAD  nên mặt phẳng  P   ACM  a ON 3a  2 + Xét tam giác SON vuông O có : SN   cos SNO 2  3a   a  SO  SN  ON        a   2 2 + Xét tam giác SOD vng O có : SD  SO  OD  Ta có SSCD a  2 a  a 10        3a a 1 SN CD 3a 10  CM.SD  SN.CD  CM    2 SD 10 a 10 ANPHA EDUCATION APUS TÂY HN 0973.514.674 -6- On line:TOLIHA.VN Off line: P.2205 CT2A Tân Tây Đô HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS      SCD  ,  ABCD   SNO Aplus nơi chia sẻ tri thức, khơi nguồn đam mê sáng tạo!  3a 10  a 10 + Xét tam giác MCD vng M có : DM  CD  CM  a      10  10   2 a 10 V MACD VMACD DM DA DC DM 10 Ta có :      VSABCD 2.VSACD DS DA DA DC a 10 10 V Mặt phẳng  P  chia khối chóp S.ABCD thành khối MACD SABCM 10 SABCD V  VSABCD  V MACD  VSABCM  VSABCM  10 SABCD V Do : MACD   0,11  Chọn đáp án A VSABCM Website: aplusedu.vn  VMACD  Tổng qt: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a, góc mặt bên mặt phẳng đáy  Mặt phẳng  P  qua AC vuông góc với mặt phẳng  SAD  chia khối chóp S ABCD thành hai khối đa diện Tỉ lệ thể tích hai khối đa diện V1  cos2  V2 Lời giải: Ta có: SD  SN  ND  ON a a  ND  1  cos    cos  2.cos  cos SNO 1 Ta có : SSCD  CM.SD  SN.CD 2 a a SN CD a cos   CM    a SD  cos  cos2   2.cos   DM  CD  CM  a  a2 a.cos    cos   cos  a.cos  V MACD V DM DA DC DM  MACD    VSABCD 2.VSACD DS DA DC DS  VMACD  Do :  cos  a  cos  2.cos   cos   cos   cos  cos2   V  V   VSABCD   VSABCD  SABCD SABCM 2  cos   cos2    cos   V MACD  cos  VSABCM ANPHA EDUCATION APUS TÂY HN 0973.514.674 -7- On line:TOLIHA.VN Off line: P.2205 CT2A Tân Tây Đô HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS Aplus nơi chia sẻ tri thức, khơi nguồn đam mê sáng tạo! CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN Câu Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' tích V Thể tích khối chóp ACB ' D ' là: V V 3V B C 4 Câu Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ tích V A 2V HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS B' D C' Website: aplusedu.vn A' I B C A 2V C I ABB ' A ' Trong hình đây, hình tích A A A ' B ' C ' B C ' ABC D A '.BCC ' B ' Câu Cho hình vẽ với E, F trung điểm cạnh bên SB SC S F a E C A c b B Khối ABCFE tích A abc 24 Câu Cho hình B chóp abc 12 S.ABC C có abc D abc   60 o , SA  2cm, SB  3cm, SC  4cm , ASB  ASC  120 Thể tích khối chóp S.ABC A 2 B ANPHA EDUCATION APUS TÂY HN 0973.514.674 C -8-   90 , BSC D 3 On line:TOLIHA.VN Off line: P.2205 CT2A Tân Tây Đô Aplus nơi chia sẻ tri thức, khơi nguồn đam mê sáng tạo! Câu Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy ABCD hình vng cạnh 20cm, cạnh SA = 30cm vng góc vói đáy Gọi B’, D’ hình chiếu vng góc A lên SB SD Mặt phẳng  AB ' D '  cắt SC C’ Thể tích khối chóp S AB ' C ' D ' gần giá trị A 2120cm3 B 2770cm3 C 1440cm3   D 1470cm3 Câu Cho hình chóp S ABCD Mặt phẳng P chứa AB qua trọng tâm G VS ABMN có giá trị VS ABCD 3 B C D 4 Câu Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh 15cm Gọi M điểm thuộc A A ' cho AM  10 cm Mặt phẳng  P  chứa CM song song với BD chia khối Website: aplusedu.vn A lập phương thành hai phần Thể tích phần lớn A 1687, 5cm3 C 2250cm3 B 2531, 25cm3 D 1125cm3 Câu Cho khối lăng trụ tam giác A B C A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a Cạnh AA '  a tạo với đáy góc 450 Thể tích khối tứ diện ACA’B’ a3 a3 a3 a3 B C D 12 Câu Cho khối hộp chữ nhật A B C D A ' B ' C ' D ' có AB  4cm, BC  8cm, AA '  6cm A Lấy E, F trung điểm BC CD Mặt phẳng  A ' EF  chia khối hộp thành hai     phần Gọi x cm3 thể tích phần nhỏ, y cm3 thể tích phần lớn Giá trị 5x  y A 160 B 512 C 544 D 128 Câu 10 Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a Gọi G trọng tâm tam giác ABC, góc SG mặt phẳng  SBC  300 Mặt phẳng  P  chứa BC vng góc với SA chia khối chóp S ABC thành hai phần Tỉ số thể tích hai phần A B ANPHA EDUCATION APUS TÂY HN 0973.514.674 C -9- D On line:TOLIHA.VN Off line: P.2205 CT2A Tân Tây Đô HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS tam giác SAC cắt SC, SD M, N Tỷ lệ T  Aplus nơi chia sẻ tri thức, khơi nguồn đam mê sáng tạo! ĐÁP ÁN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 10 Đáp án B D C A D B C A C A Website: aplusedu.vn Câu V ACB ' D '  V  V B AB ' C  V A ' AB ' D '  V C '.CB ' D '  V D ACD '  VACB ' D '  V  A' V V   Chọn đáp án B B' D' C' A D B C Chú ý: Khối tứ diện có cạnh tạo cặp đường chéo (không song song) mặt bên song VHép song hình hộp tích: VTø diƯn  Câu VA ' BCC ' B'  2V  Chọn đáp án D 1 bc  VSABC  SABC SA  abc 1  VSABC  abc 24 Câu Tam giác ABC vuông B nên SABC  VSAEF SA SE SF 1     VSAEF VSABC SA SB SC 2 1 abc  abc  abc  Chọn đáp án C 24 Câu Tương tự ví dụ 3, áp dụng công thức giải nhanh: abc VS ABC   cos2  cos2   cos2  2cos cos cos 2.3.4 VS ABC   cos2 60  cos2 900  cos2 1200  2cos60 cos900 cos120  2  Chọn đáp án A  VABCFE  VSABC  VSAEF  ANPHA EDUCATION APUS TÂY HN 0973.514.674 - 10 - On line:TOLIHA.VN Off line: P.2205 CT2A Tân Tây Đô HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS HƯỚNG DẪN GIẢI CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Aplus nơi chia sẻ tri thức, khơi nguồn đam mê sáng tạo! Câu 1 + VS ABCD  SA.SABCD  30.202  4000cm3 3 2 SC ' SA SA 30     2 2 2 SC SC 17 SA  AC 30  20  20 2 SD ' SA SA 30     2 2 SD SD 13 SA  AD 30  20 V 2V SA SC ' SD ' SC ' SD '  + S AB 'C ' D '  SAC ' D '  VS ABCD 2VSACD SA SC SD SC SD S C' D' B' C Website: aplusedu.vn B  VS AB 'C ' D '  HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS D A 9 81 324000 VS ABCD  4000   1466cm  Chọn đáp án D 17 13 221 221 Câu + SCD   P   MN  CD / / MN S nên M, N trung điểm SC, SD V V  VSABM VSAMN V   SABM + T  S ABMN  SAMN VS ABCD VSACD  VSABC 2VSACD 2VSABC N SA SM SN SA SB SM 1      SA SC SD SA SB SC 8  Chọn đáp án B G A M K O B Câu + OO ' MC  K , Từ K kẻ đường thẳng song song với BD cắt BB’, DD’ N P mặt phẳng  P   MNCP  + OK đường trung bình  CAM  OK  AM  5cm  DP  OK  cm + V ABCD A ' B' C ' D '  153  3375cm3 mặt phẳng chia khối phương thành A ' B ' C ' D ' MNCP ABCDPMN  lập D C A' B' O' M D' C' N K  P P hai phần D A B O C  + Ta có ACC ' A ' chia khối ABCDPMN thành hai phần vậy: 1 V ABCDPMN  2VCADPM  .S ADPM CD   DP  AM  AD.CD  1125cm 3 3  VA ' B'C ' D ' MNCP  3375cm  1125cm  2250cm3  Chọn đáp án C ANPHA EDUCATION APUS TÂY HN 0973.514.674 - 11 - On line:TOLIHA.VN Off line: P.2205 CT2A Tân Tây Đô Aplus nơi chia sẻ tri thức, khơi nguồn đam mê sáng tạo! Câu a2   + Ta có AA ',  ABC   A ' AH  45o A' +  ABC  SABC    C' B' a3 Khối lăng trụ chia làm ba khối chóp C.A’B’C’, B’.ABC ACA’B’ ta có: Website: aplusedu.vn VABC A ' B' C '  SABC A ' H  HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS  A ' AH vng H có: A ' H  AA '.sin  A ' AH  a C A H B 1 VC A' B'C '  VABC A' B'C ' VB' ABC  VABC A' B'C ' 3 a3  VACA' B '  VABC A ' B' C '  VC A ' B' C '  VB' ABC  V ABC A ' B'C '   Chọn đáp án A 12 Câu + Ta có VABCD A' B'C ' D '  AB.BC.AA '  192cm3 A' + Mặt phẳng  A ' EF  cắt đoạn AB, AD, D' C' B' BB’, DD’ I, J, M, N BM IB DN JD   Ta có:   AA ' IA DD ' JA 1 V A ' AIJ  AI AJ.AA '  12.6.6  72cm3 6 N A M D J F B E C I 1 BC AB BB ' BE.BI MB   4.2.2  cm3 , 6 2 1 DC AD DD ' VNDFJ  DF.DJ.ND   2.4.2  cm3 6 2 200 376  VA ' MEFNDAB  VA ' AIJ  VMBIE  VNDFJ  cm  VA ' B'C ' D ' NFEM  V ABCDA ' B'C ' D '  V A ' MEFNDAB  cm 3  5x  y  544  Chọn đáp án C VMBIE  ANPHA EDUCATION APUS TÂY HN 0973.514.674 - 12 - On line:TOLIHA.VN Off line: P.2205 CT2A Tân Tây Đô Aplus nơi chia sẻ tri thức, khơi nguồn đam mê sáng tạo! Câu 10 + Do S ABC hình chóp tam giác S  SG   ABC   SG  BC , N mà BC  AM  BC  SAM    SBC    SAM  C A G vng góc SG lên  SBC  SM     Website: aplusedu.vn     30 o  SG ,  SBC   SG , SM  GSM M B + Kẻ MN  SA , ta có BC   SAM   SA  BC  SA   NBC  nên  P   NBC  + Xét tam giác SGM vng M có: SG a a   AM.cot 300  a  a  SM  SG  GM.cot GSM    3 2 cos GSM 2 a 2 a 3 a 21  + Xét tam giác SGA vng G có: SA  SG  AG           2 a a 1 SG AM 2 3a SSAM  MN SA  SG AM  MN    2 SA 14 a 21 + Xét tam giác SNM vng N có: 2  a   3a  a 21 SN  SM  MN          14  42     2 a 21 VSNBC SN SB SC SN 1 Ta có:    42   VSNBC  VSABC Mặt phẳng  P  chia khối chóp VSABC SA SB SC SA a 21 7 6 thành khối SNBC NABC  VSABC  V SNBC  V NABC  VNABC  VSABC VSNBC   Chọn đáp án A Vậy VNABC ANPHA EDUCATION APUS TÂY HN 0973.514.674 - 13 - On line:TOLIHA.VN Off line: P.2205 CT2A Tân Tây Đô HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS  SBC    SAM   SM nên hình chiếu   SBC    SAM  , SG   SAD  ... D 11 abc 12 BA.BC + SA chiều cao khối chóp SABC nên ta tính thể tích chóp SABC theo công thức: + Tam giác ABC vuông B nên SABC  VSABC  SABC SA + Áp dụng cơng thức tỉ lệ thể tích VSAEF SA... đam mê sáng tạo! Phân tích: S + Để áp dụng công thức tỉ lệ thể tích ta cần đổi đỉnh cho khối chóp cần tính có P cạnh tỉ lệ tương ứng với cạnh hình chóp SABC C A + Với khối chóp S MNB ta chuyển... 3: Cho hình chóp S.ABC có SA  SB  a , SC  a , ASB Thể tích khối chóp S.ABC V Tỉ số A B 6V : a3 C Phân tích : D 3 S Bài tốn u cầu tính thể tích khối S.ABC ta khó xác định chiều cao khối chóp