Chuyên đề số chính phươngg

SỐ CHÍNH PHƯƠNG Định nghĩa : Số phương bình phương số nguyên Vd: = 22 ;16 = 42 Các tính chất số phương a Số phương có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, khơng thể có chữ số tận 2, 3, 7, Như để chứng minh số khơng phải số phương ta số có hàng đơn vị 2, 3, 7, b Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa TSNT với số mũ chẵn, không chứa TSNT với số mũ lẻ Vd: ⇒ 3600 = 60 = 24.32.52 Để chứng minh số khơng phải SCP ta số phân tích TSNT có số mũ lẻ c Số phương có dạng 3n 3n + ( SCP có dạng 3n + ( n∈ N a ≡ 0,1(mod 3) ) khơng có ) d Số phương có dạng 4n 4n + ( SCP có dang 4n + 4n + ( n∈ N a ≡ 0,1(mod 4) ) khơng có ) e Số ước số số phương số lẻ, ngược lại số có số lượng ước lẻ số phương f Nếu số phương chia hết cho p chia hết cho p2 g Nếu a.b SCP (a,b) = ⇒ a, b số phương h Số phương tận chữ số hàng chục chữ số chẵn ( 121, 49, …) - Số phương tận chữ số hàng chục - Số phương tận chữ số hàng chục chẵn - Số phương tận chữ số hàng chục lẻ *) HỆ QUẢ : Số phương chia hết cho chia hết cho - Số phương chia hết cho chia hết cho 25 - Số phương chia hết cho chia hết cho - Số phương chia hết cho chia hết cho 16 Dạng 1: Chứng minh số số phương - Ta Biến đổi để đưa số bình phương số tự nhiên Bài 1: Chứng minh với số nguyên x, y A = ( x + y )( x + y )( x + y )( x + y ) + y Là số phương Lời giải Cách 1: A = ( x + xy + y )( x + xy + y ) + y = x + 10 x y + 35 x y + 50 xy + 25 y = ( x + xy )2 + 2.( x + xy ).5 y + (5 y ) = ( x +5 xy + y ) Vì x, y, z ∈ Z ⇒ x ,5 xy,5 y ∈ Z ⇒ x + xy + y ∈ Z ⇒ A Cách 1: Đặt số phương x + xy + y = t (t ∈ Z ) ⇒ A = (t − y )(t + y ) + y = t = ( x + xy + y ) ( dpcm) Bài 2: Chứng minh tích bốn số tự nhiên liên tiếp cộng them số phương Lời giải Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là: n, n + 1, n + 2, n + ( Ta có: n∈Z ) n( n + 1)(n + 2)( n + 3) + = ( n + 3n + 1) (dpcm) Bài 3: Chứng minh tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp SCP Lời giải Gọi số tự nhiên liên tiếp là: Ta có: n − 2, n − 1, n, n + 1, n + 2( n ∈ N , n ≥ 2) (n − 2)2 + (n − 1)2 + n + (n + 1)2 + (n + 2) = 5n + 10 = 5( n + 2) Vì n2 số phương nên n khơng thể có chữ số tận nên n2 + không chia hết cho 5, hay 5(n + 2) khơng phải số phương Bài 4: Cho hai số phương liên tiếp CMR tổng hai số cộng với tích chúng số phương lẻ Lời giải Gọi hai số phương liên tiếp là: a2 ( a + 1) ( a ∈ Z ) Theo ta có: a + (a + 1) + a (a + 1)2 = a + 2a + 3a + 2a + = (a + 2a + 3a ) + (a + 2a + 1) = (a + a ) + 2(a + a ) + = (a + a + 1) SCP lẻ a + a = a(a + 1) số chẵn ⇒ a2 + a + số lẻ Bài 5: Chứng minh số n2 + 2014 với n nguyên dương số phương Lời giải Giả sử n2 + 2014 số phương Đặt n + 2014 = k ⇒ k − n = 2014 ⇔ ( k + n)( k − n) = 2014 Ta có ( k + n) − ( k − n ) = n Mặt khác ta lại có : Mà chẵn ⇒ k + n; k − n tính chất chẵn lẻ (k + n)(k − n) = 2014 ⇒ k − n; k + n 2014M4 ⇒ ( k + n)(k − n) ≠ 2014 ⇒ Bài 6: Chứng minh số có dạng ⇒ k; n tính chẵn lẻ chia hết cho hay (k − n)(k + n)M4 số nguyên dương n để SCP n − n + 2n3 + 2n , n ∈ N , n > SCP Lời giải Ta có : n − n + 2n3 + 2n = n (n − n + 2n + 1) = n n (n + 1)(n − 1) + 2(n + 1)  = n (n + 1)(n − n + 2) = n (n + 1) ( n3 + 1) − ( n − 1)  = n (n + 1)  (n + 1)(n − n + 1) − ( n + 1)(n − 1)  = n ( n + 1) (n − 2n + 2) Ta chứng minh n − 2n + số phương ( dựa vào n < A < (n + 1)2 ) Ta có : n − 2n + = (n − 1) + > (n − 1) ; n − 2n + = n − 2( n − 1) < ⇒ (n − 1) < n − 2n + < n ⇒ n − 2n + Khơng phải số phương Bài 7: Chứng minh tổng bình phương hai số lẻ SCP Lời giải Vì a, b hai số lẻ, ta đặt a = 2k + (k , m ∈ N ) ⇒ a + b = 4( k + k + m + m) + = 4t + 2(t ∈ N )  b = 2m + Khơng có số phương dạng 4t + 2(t ∈ N ) ⇒ a + b khơng phải số phương Bài 8: Cho số phương có chữ số hàng chục khác chữ số hàng đơn vị Chứng minh tổng chữ số hàng chục số phương số CP Lời giải Cách 1: Ta biết số phương có chữ số hàng đơn vị chữ số hàng chục lẻ Vì chữ số hàng chục số phương cho : 1, 3, 5, 7, Khi tổng chúng : 25 = 52 số phương Cách 2: Nếu số phương M = a2 có chữ số hàng đơn vị chữ số tận a nên aM2 ⇒ aM4 Theo dấu hiệu chia hết cho hai chữ số tận M 16, 36, 56, 76, 96 Do ta có : + + + + = 25 = 52 số phương Bài 9: Cho A = 22 + 23 + 24 + + 20 CMR : A + khơng số phương Lời giải A = 22 + 23 + 24 + + 220 ⇒ A = 23 + 24 + + 221 ⇒ A − A = A = 221 − 2 ⇒ A + = 221 = 2.(210 ) Khơng phải số phương b Cho B = 31 + 32 + + 3100 CMR : 2B + không số phương Lời giải B = 31 + 32 + + 3100 ⇒ 3B = 32 + 33 + + 3100 ⇒ B + = 3101 = 3.(350 ) ⇒ dpcm A = 11 155 56 { { Bài 10: Chứng minh n +1 n số phương Lời giải n +1 A = 11 1.10 + 55 5.10 +6 = { { n +1 A= n 99 n+1 10 n +1 − n+1 5(10 n − 1) 10 + 55 5.10 + = 10 + 10 + { 9 n 102 n + − 10n+1 + 5.10 n+1 − 50 + 54 102 n+ + 4.10n+1 + 10n+1 + 2 = =( ) 9 B = 11 1122 225 14 43 14 43 b Chứng minh 1997 1998 số phương Lời giải 1999 B = 11 11.10 + 22 22.10 + = (101997 − 1).101999 + (101998 − 1).10 + 14 43 123 9 1997 1998 100 005 14 43 3996   1998 1998 = (10 + 2.5.10 + 25) =  (10 + 5)  = ( 1997 ) 3  A = 11 { + 44 123 + nchuso1 c nchuso số phương Lời giải 1= Ta có : A= Vì d e 101 − 102 − 103 − ;11 = ;111 = 9 102 n − 4(10n − 1) 10 n + 4.102 + 10n + 2 + +1 = =( ) 9 10 n +2M3 ⇒ A số phương 10n + A = 11 { + 11 { + 66 123 + = ( ) 2n n +1 n 2.10 n + A = 44 ) { +7 =( 123 + 22 123 + 88 n 2n n +1 Bài 11: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + k ( k + 1)(k + 2) Lời giải CMR: 4S + số phương Ta có: k (k + 1)(k + 2) = ⇒S= 1 k (k + 1)(k + 2) [ (k + 3) − (k − 1) ] = k (k + 1)(k + 2)(k + 3) − (k − 1)k (k + 1)(k + 2) 4 k (k + 1)( k + 2)( k + 3) ⇒ S + = k ( k + 1)( k + 2)( k + 3) + = Bài 12: Khó Cho dãy số có số 16, số sau tạo cách viết thêm số 15 vào số liền trước nó: 16, 1156, 111556,… Chứng minh số dãy số phương Lời giải Trong số dãy trên, số chữ số ln số chữ số chữ số A = 11 11 55 55 123 n.chu so.1 n −1.chu so.5 Đặt thuộc dãy số Ta chứng minh A số phương n a = 11 11 { → 10 = 9a + Thật vậy, đặt n.chu so.1 Ta có: n n 2 A = 11.11 + 5.11 11 { 10 + 11 11 10 + + = 11 11.10 123 + = a(9a + 1) + 5a + = (3a + 1) = 33 33 123 n.chu so.1 n −1.chu so.1 n.chu so.1 n −1.chu so.3 n.chu so.1 Vậy A số phương Dạng 2: Tìm giá trị biến để biểu thức số phương Bài 1: Tìm số tự nhiên n cho số sau số phương a d n + 2n + 12 n + n + 1598 b e [ HSG – BG – 2013] n(n + 3) n + 4n + 2013 n + 2n + 18 Lời giải c* f [ HSG – LĐ – 2015] 13n + a Đặt n + 2n + 12 = k (k ∈ N ) ⇒ (n + 2n + 1) − k = −11 ⇔ k − (n + 1) = 11 ⇔ (k + n − 1)(k − n − 1) = 1.11 = (−1).(−11) Ta lại có: +) TH1: +) TH2: k + n −1 > k − n −1 k + n + = 11 k + n = 10 k = ⇔ ⇔ (tm)  k − n − = k − n = n =  k + n + = −1  k = −6 ⇔ (loai )  k − n − = −11 n = Vậy n = b n( n + 3) = a ⇔ 4n + 12n = 4a ⇔ 4n + 12n + = 4a + ⇔ (2n + 3) − 4a = ⇔ (2n + − 2a )(2n + + 2a) = +) TH1: +) TH2:  2n + + a = n = ⇔ (tm )  n + − a = a =   2n + + 2a = −1  n = −4 ⇔ (loai )  2n + − 2a = −9 a = Vậy n = c Đặt 13 + = y ( y ∈ N ) ⇒ 13( n − 1) = y − 16 ⇔ 13(n − 1) = ( y + 4)( y − 4) ⇒ ( y + 4)( y − 4) M 13 mà 13  y = 13k −  y + 4M 13 ∈ ρ ⇒  ⇒ ( k ∈ N ) ⇒ 13( n − 1) = (13k ± 4) − 16 = 13k (13k ± 8) ⇒ 13k ± 8k + = n y − M 13 y = 13 k +   Vậy n = 13k ± 8k + 1(k ∈ N ) 13n + 13 số phương d n + n + 1598 = m (m ∈ N ) ⇒ (4n + 4n + 1) + 6355 = 4m ⇒ (2n + 1) + 6355 = m (2m + 2n + 1)(2m − 2n − 1) = 6355 = 6355.1 = 155.41 = 271.5 = 205.31 Ta có: 2m + 2n + > 2m – 2n – số lẻ nên có trường hợp ⇒ n ∈ { 1588,316, 43, 28} e n + 4n + 2013 = m (m ∈ N ) ⇒ (n + 2)2 + 2009 = m ⇔ (m + n + 2)(m + n − 2) = 2009.1 = 287.7 = 49.41 Vì m + n + > m + n – nên có trường hợp xảy Bài 2: Tìm số tự nhiên n có hai chữ số, biết 2n + 3n + số phương Lời giải Vì n có hai chữ số 10 ≤ n ≤ 99 ⇒ 20 ≤ 2n ≤ 198 ⇒ 21 ≤ 2n + ≤ 199 Mà 2n + số phương lẻ ⇒ 2n + ∈ { 25; 49;81;121;169} ⇒ n ∈ { 12;24;40;60;84} ⇒ 3n + ∈ { 37;73;121;181;253} ⇒ n = 40 Bài 3: Tìm số tự nhiên n có hai chữ số cho cộng số với số có hai chữ số viết theo thứ tự ngược lại ta số phương Lời giải Gọi số cần tìm là: ab(1 ≤ a, b ≤ 9) Số viết theo thứ tự ngược lại : Tổng hai số : ba ab + ba = 11(a + b) Vì tổng hai số số phương, đặt 11( a + b) = m (m ∈ N ) ⇒ a + b = 11 ⇒ 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92 có số : Bài 4: Tìm tất số tự nhiên n cho : n − 14n − 256 số phương Lời giải Đặt n, k ∈ N ⇒ n + k − > n − k − Do +) +) +) +) n − 14n − 256 = k ( k ∈ N ) ⇔ (n − 7) − k = 305 ⇔ (n − k − 7)( n + k − 7) = 305 = 61.5 = (−1)(−305) = (−61)(−5) n + k − = 61 n = 40 ⇔ (tm)  n − k − = k = 32   n + k − = ⇔ n = 160(tm)  n − k − = 305 n − k − = −305 ⇒ n = −146(loai ) n − k − = −61 ⇒ n = −26(loai ) Bài 5: Tìm số tự nhiên n để 28 + 211 + 2n số phương Lời giải Đặt +) 28 + 211 + 2n = a (a > 0, a ∈ N ) ⇒ 482 + 2n = a ⇒ 2n = (a − 48)(a + 48) n = ⇒ ( a − 48)( a + 48) = ⇒ voly +) a + 48 = x 2 y = x = x y y x− y n>0⇒ ( x + y = n; x > y ) ⇒ 96 = − ⇒ (21 − ⇔ ⇒ n = 12 31) = ⇔  x − y y a − 48 = 2 = y = le Bài : Tìm số tự nhiên n ≥1 cho : 1!+ 2!+ + n! 10 số phương b c 11.19.27.63.99 − 122.93 12.13.14.15.16 − 3.12.13.14.82 Lời giải A = 7.13.25.63.105 44 43 + 113 ⇒ tc : tc:5 a 11.19.27.63.99 44 43 − 122.92 ⇒ tc : tc:1 b tc:4 c 12.13.14.15.16 44 43 − 3.12.13.14.82 44 43 = 12.13.14(15.16 − 3.82) = 12.13.14(3.80 − 3.82) < ⇒ khongla : SCP tc:0 tc:4 Bài 4: Cho bốn chữ số 0, 2, 3, Tìm SCP có bốn chữ số gồ bốn chữ số Lời giải Gọi A SCP có bốn chữ số cần tìm A khơng có tận nên chữ số tận A 0, +) Nếu chữ số tận A suy chữ số hàng chục ( vô lý ) +) Nếu chữ số tận A suy chữ số hàng chục A phải số chẵn suy ⇒A Có : Có thể : 3204 2304 3024 562 < 3204 < 57 ; 2304 = 482 ;54 < 3024 < 552 Vậy số cần tìm : 2304 Bài 5: Chứng minh tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp khơng số phương Lời giải 29 Gọi số tự nhiên liên tiếp : Đặt n − 2, n − 1, n, n + 1, n + 2(n ∈ N , n ≥ 2) S = (n − 2) + ( n − 1) + n + (n + 1) + ( n + 2) = 5( n + 2) Vì n2 khơng có chữ số tận nên n2 + chữ số tận S M ⇒ n + 2M/ ⇒  ⇒S  S M/ 25 khơng số phương Bài 6: Chứng minh số sau không số phương a 1212 + 1312 + 1412 ⇒ tc : 7{100 + 101 ⇒ tc : tc:1 b 100100 + 98 + ⇒ tc : c Bài 7: Tìm SCP có bốn chữ số viết chữ số: 3, 6, 8, Lời giải SCP có tận ⇒ chữ số hàng chục Thử lại 8836 = 942 Bài 8: Tìm SCP có bốn chữ số sau: 2, 3, Lời giải SCP có tận +) Nếu chữ số tận suy chữ số hàng chục chẵn = ⇒ có số: 3924, 9324 Thử lại: Đi phân tích TSNT xem số thỏa mãn +) Nếu chữ số tận ⇒ chữ số hàng chục 30 3429; = 57 44329; 2349;3249 43 loai Có số: Dạng 5: Phương pháp phản chứng để giải tốn số phương Bài 1: Chứng minh với ∀n ∈ N , thì: 3n + khơng số phương Lời giải +) +) n = ⇒ 3n + = ⇒ khongla : SCP n = ⇒ 3n + = ⇒ khongla : SCP +) Với Giải sử n≥2 3n + số phương m − = 3k ⇒ + = m (m ∈ N , m > 3) ⇔ m − = ⇔ (m − 2)(m + 2) = ⇔  ( k + q = n) q m + = n 2 n (k , q ∈ N ; k , q ≥ 1) ⇒ (m + 2) − (m − 2) = 3q − 3k ⇔ = 3q − 3k (*) VT (*)M/ ⇒ Voly ⇒ 3n + : khonglaSCP  VP(*)M Bài 2: Chứng minh không tồn hai số phương có hiệu 10002 31 Lời giải Giả sử có hai số phương : m2 n2 thỏa mãn điều kiện ban đầu, tức : m2 – n2 = 10002 Với giả thiết m > n ⇔ (m − n)(m + n) = 10002 Vì m2 – n2 số chẵn nên m2 n2 tính chẵn lẻ suy m n tính chẵn lẻ ⇒ m + nM2; m − nM2 ⇒ ( m + n)( m − n)M4 Mà : 10002 không chia hết cho ⇒ vô lý Bài 3: Chứng minh với n ngun dương n2 + khơng số phương Lời giải n2 + = m2 (m ∈ N * ) ⇔ m n = 2{ ⇒ dpcm 14 2−43 M Giải sử n + số phương, đặt M/ Bài 4: Chứng minh tích bốn số nguyên dương liên tiếp khơng số phương Lời giải Đặt S = n(n + 1)( n + 2)( n + 3)( n ∈ N * ) Ta chứng minh S khơng số phương Giả sử Đặt S = m (m ∈ N * ) ⇒ n(n + 1)(n + 2)( n + 3) = m ⇔ (n + 3n)(n + 3n + 2) = m n + 3n = a (a ∈ N * ) ⇒ a ( a + 2) = m ⇔ a + 2a = m ⇔ ( a + 1) = m + ⇔ (a + 1) − m = a + − m = ⇔ (a + − m)(a + + m) = ⇔  ⇒ m = 0(voly ) ⇒ S : khonglasochinhphuong a + + m = Bài 5: Chứng minh tổng abc + bca + cab khơng số phương Lời giải 32 Đặt S = abc + bca + cab = 111(a + b + c ) = 3.37(a + b + c ) Giả sử S số phương ⇒ SM 37 ⇒ S M 37 ⇒ a + b + cM 37 a + b + c ≤ 27 ⇒ voly ⇒ S : khonglasochinhphuong Mà Bài 6: Chứng minh với số nguyên dương n n + 24 không SCP Lời giải Giải sử n + 24 +) n lẻ, đặt Có: 49 : ⇒ a2 : số phương, đặt n + 24 = a (a ∈ N * ) n = 2k + ⇒ n + 24 = 49k.7 + 24 = a dư ⇒ 49 k : dư ; 7.49k : dư dư ( vô lý ) +) n chẵn, ⇒ k + 24 = a ( k ≠ 0) ⇒ 24 = (7 k ) − a = (a − k )( a + k ) ⇒ ( a − k )(a + k ) = 2.12 = 4.6 Vì a − 7k ; a + 7k tính chất chẵn lẻ Xét hai trường hợp được: Vậy n + 24 2.7 k = 10;2.7 k = ⇒ không tồn k không số phương Bài 7: Chứng minh khơng tồn số tự nhiên n cho: Lời giải 13n + = m2 (*) 33 13n + số phương +) Với n chẵn, n lẻ ⇒m chẵn lẻ ⇒ m, n tính chẵn lẻ 13 {n + : ⇒ du : ⇒ khongtontai +) Nếu m, n số lẻ chia 4:du1 +) Nếu m, n chẵn VT (*) : 4du ⇒ voly ⇒ dpcm  VP(*)M4 Bài 8: Chứng minh rằng: n − 5n − 35M/(∀n ∈ N ) Lời giải Giả sử ngược lại: n − 5n − 35M 121∀n ∈ N ⇒ 4n − 20n − 140M 121 ⇒ (2n − 5) − 165M 121 = 112 (1) Ta có: 165 = 11.15M 11 ⇒ (2n − 5) M 11 ⇒ 2n − 5M 11 Vì 11 số nguyên tố *) Nhận xét: Nếu ⇒ (2n − 5)2 M 112 = 121(2) ⇒ 165 = 11.15M 121 = 112 ( voly) ⇒ dpcm a Mp mà p số nguyên tố ⇒ a Mp 34 Dạng 6: Sử dụng tính chất chia hết để giải tốn số phương Nhận xét: a c e g a ≡ 0,1(mod 3) b a ≡ 0,1, 4(mod 5) d a ≡ 0,1(mod 4) a ≡ 0,1, 4(mod 7) a ≡ 0,1, 4(mod8)( a : chan ⇒≡ 0, 4; a : le ⇒≡ 1) a ≡ 0,1, 4,5,6,9(mod10) - Số phương chia hết cho h f a ≡ / 2,3,7,8(mod10) p n +1 ⇒ Mp n + ( p ∈ ρ ) Bài 1: Các số sau có phải số phương khơng? a b c 21000 = (2500 ) ⇒ phai 31993 = 31992.3 = (3996 ) ⇒ khongphai 4101 = (22 )101 = (2101 ) ⇒ phai Bài 2: Các số sau có số phương khơng + 312 + 343 2+ 320 +43 a a ≡ 0,1, 4,9(mod11) M 35 Có: b c d AM A chia dư nên A khơng số phương B = 11 + 112 + 113 = 11(1 + 11 + 121) = 1463 ⇒ tan cungla : ⇒ không 1010 + ⇒ tc : ⇒ khong 1010 + ⇒ tc : không chia hết cho 25 nên khơng số phương 29 87 58 E = 2929 + 5858 + 8787 = 2929 (1 + 214582 29 29 43 + 314 43 ) 4M294 4 M29 43 M/ 29 e Ta có: A chia hết cho 2929 không chia hết cho 2930, mà 29 số ngun tố nên E khơng số phương f A = 1234567890 Ta có: S(A) = 45 A chia hết cho không chia hết A khơng số phương - Hoặc cách khác: A chia hết cho không chia hết cho 25 nên khơng số phương Bài 3: Giả sử N = 1.3.5 2015 Chứng minh số: 2N – ; 2N ; 2N + số phương Lời giải +) 2N M ⇒ N − 1: 3du ⇒ khonglasochinhphuong +) N lẻ +) N lẻ ⇒ N = 2k + ⇒ N = 4k + 2chia 4du ⇒ khonglasochinhphuong  N = 4q +  N + = 8q + ⇒ ⇒ ⇒ khonglasochinhphuong  N = 4q +  N + = 8q + 36 Bài 4: Cho a, b, c số nguyên dương thỏa mãn: a2 + b2 = c CMR: abc chia hết cho 60 Lời giải Ta có: 60 = +) Giả sử abc không chia hết cho ⇒ a , b, c không chia hết cho ( số nguyên tố ) ⇒ a ≡ b ≡ c ≡ 1(mod 3) ⇒ + ≡ 1(mod 3) ⇒ voly ⇒ abcM 3(1) +) Nếu số a, b, c có hai số chẵn abcM4(2) +) Nếu số có số chẵn số lẻ Ta thấy a b lẻ c chẵn ⇒ a + b ≡ + ≡ 2(mod 4); c ≡ 0(mod 4) ⇒ voly Khơng tính tổng quát giả sử a chẵn b, c lẻ ⇒ a ≡ c − b2 ≡ − ≡ 0(mod8) ⇒ a2 M ⇒ aM4 ⇒ abcM4 +) Giả sử a + b ≡ 0, 2,3(mod 5) abcM/ ⇒ a, b, c M/ ⇒ a , b , c ≡ 1, 4(mod 5) ⇒  ⇒ voly ⇒ abc M 5(3) c ≡ 1, Từ 2 (1)(2)(3) ⇒ abcM3.4.5 = 60(dpcm) Bài 5: Cho n số nguyên dương cho 2n + 3n + số phương, chứng minh n chia hết cho 40 Lời giải Đặt 2n + = a ;3n + = b (a, b ∈ N ) 37 Ta có a lẻ 3n = b − 1M ⇒ a ≡ 1(mod 4) ⇒ a − = 2nM4 ⇒ n : chan ⇒ b : le ⇒ b ≡ 1(mod 8) →  ⇒ nM 8(1) (3,8) = +) 2 a + b = 5n + ≡ 2(mod 5) ⇒ a ≡ b ≡ 1(mod 5) ⇒ 2n = a − 1M  2 a , b ≡ 0,1, 4(mod 5) Mà ( 2,5) = ⇒ nM 5(2) ⇒ nM40 Bài 6: Cho A tổng bình phương 111 STN liên tiếp CMR: A khơng phải SCP Lời giải Xét tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp (a − 1) + a + (a + 1) = 3a + ≡ 2(mod 3)∀a ∈ N Chia A thành 37 nhóm, nhóm tổng bình phương STN liên tiếp ⇒ A ≡ 37.2 ≡ 1.2 ≡ 2(mod 3) ⇒ A không số phương Bài 7: Cho A tổng bình phương 108 STN liên tiếp CMR: A khơng SCP Lời giải Xét tổng bình phương STN liên tiếp a + (a + 1)2 + (a + 2) + (a + 3)2 = 4a + 12a + 14 ≡ 2(mod 4)∀a ∈ N Chia A thành 27 nhóm, nhóm STN liên tiếp ⇒ A ≡ 27.2 ≡ 54 ≡ 2(mod 4) ⇒ A : khonglasochinhphuong Bài 8: Viết liên tiếp STN từ đến 101 thành dãy theo thứ tự tùy ý tạo thành số A Chứng minh A khơng số phương Lời giải 38 A ≡ + + + 101 ≡ 101.102 ≡ 101.51 ≡ 2.6 ≡ 3(mod 9) 10n ≡ 1(mod 9) ⇒ AM 3; AM/ ⇒ A : khonglasochinhphuong Dạng 7: Phương pháp kẹp để giải tốn số phương Nội dung phương pháp: Dựa vào tính chất sau: Khơng tồn số phương nằm hai số phương liên tiếp Vd: 4, 9, 16, 25, … Như để chứng minh số K SCP ta cần STN q cho: q < k < (q + 1) Bài 1: Chứng minh số 10224 khơng số phương Lời giải Nhận thấy: 1012 = 10201;1022 = 10404;10201 < 10224 < 10404 ⇔ 1012 < 10224 < 1022 ⇒ khonglasochinhphuong Bài 2: Tìm số tự nhiên n để n + 3n số phương Lời giải +) +) +) n = ⇒ n + 3n = ⇒ lasochinhphuong n = ⇒ n + 3n = ⇒ lasochinhphuong n > 1: (n + 1) = n + 2n + < n + 2n + n = n + 3n;(n + 2) > n + 3n ⇒ (n + 1) < n + 3n < (n + 2) ⇒ n + 3n : khonglasochinhphuong Bài 3: Chứng minh ∀n ∈ N số sau không số phương 39 a n + 7n + 10 b 4n + 5n + Lời giải a Nhận thấy b ∀n ∈ N ⇒ (n + 3) < n + 6n + < (n + 4) ⇒ dpcm (2n + 1) < 4n + 5n + < (2n + 2) Bài 4: Chứng minh tích bốn số nguyên dương liên tiếp không SCP Lời giải Giả sử n∈ N Nhận thấy , đặt S = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) = (n + 3n)(n2 + 3n + 2) = a (a + 2) = a + 2a (a ∈ N * ) a < a + 2a < (a + 1) ⇒ S : khonglasochinhphuong Bài 5: Chứng minh số a S = 20162016 + 20161000 + 2016999 + + 20162 + 2016 không SCP Lời giải Ta có : S > 20162016 = (20161008 ) (1) Ta chứng minh Thật : S < (20161008 + 1) = 20162016 + 2.20161008 + 20161000 + 2016999 + + 2016 + 2016 < 1000.20161000 1000.20161000 < 20161001 < 2.20161008 + ⇒ S < (2016 + 1) (2) ⇒ dpcm b CMR : A = 20182018 + 20181000 + 2018999 + + 20182 + 2018 + Lời giải Ta có : A > 20182018 = (20181009 ) 40 khơng số phương A = 20182018 + + < 20182018 + 20181000 + + 20181000 = 20182018 + 1001.20181000 < 20182018 + 2.20181009 + = (20181009 + 1) ⇒ A : khonglasochinhphuong Bài 6: Chứng minh tổng bốn số tự nhiên liên tiếp khơng số phương Lời giải A = n + ( n + 1) + ( n + 2) + ( n + 3) = 4n + 12n + 14( n ≥ 0) = (2 n + 3) + = (2 n + 4) − n − ⇒ (2n + 3) < A < (2n + 4) ⇒ A : khonglasochinhphuong BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Chứng minh số 40725 khơng số phương Lời giải Ta có số 40725 chia dư nên khơng số phương Hoặc: 2012 < 40725 < 202 Bài 2: Chứng minh với số tự nhiên n số sau khơng phải số phương a) A = n + 2n + b) B = 9n + 8n + 10 Lời giải a) Ta có: n + 2n + < n + 2n + < n + 4n + → (n + 1) < n + 2n + < (n + 2) → A = n + 2n + khơng số phương b) - Với n = 0, n = khơng thỏa mãn - n ≥ → (3n + 1) < 9n + 8n + 10 < (3n + 2)2 Bài 3: Chứng minh tích hai số tự nhiên liên tiếp khác khơng số phương 41 Lời giải Dễ thấy: n < n + n < n + 2n + = ( n + 1) → dpcm Dạng : Dựa vào ý quan trọng sau - Nếu x, y số nguyên dương nguyên tố có tích số phương x, y số phương  xy = m ⇒ x, y : SCP  ( x , y ) =  +) Giả sử x, y, z số nguyên dương, p số nguyên tố thỏa mãn : xy = p.z2 (x,y) =  x = a2   x = pa  ⇒ ; ( a, b ∈ N * )    y = p.b  y = b Bài 1: Cho a, b, c số nguyên dương nguyên tố thỏa mãn : 1 + = a b c Chứng minh : a + b số phương Lời giải Ta có : Giả sử 1 + = ⇒ (a + b)c = ab ⇒ ab − ac − bc = ⇒ a (b − c ) + b − bc = b ⇒ (b − c )(a + b ) = b a b c (a + b, b − c) > ⇒ ∃p ∈ β cho p/a +b p/a ⇒ p / b2 ⇒ p / b ⇒  ⇒ p /(a, b, c) = 1(voly )  p/b − c p/c Nên điều giả sử sai ⇒ (a + b, b − c ) = ⇒ a + b; b − c ⇒ lasochinhphuong Bài 2: Cho n số nguyên dương cho n2 hiệu lập phương hai số tự nhiên liên tiếp Chứng minh n tổng hai số tự nhiên liên tiếp Lời giải 42 Theo giả thiết : n = (k + 1)3 − k (k ∈ N ) ⇒ n = 3k + 3k + ⇒ 4n = 3(4k + 4k + 1) + = 3(2k + 1) + ⇒ (2n − 1)(2n + 1) = 3(2k + 1) Vì 2n + 2n – nguyên tố nên xảy trường hợp sau +) +) 2n − = a a2 + a −1 a + ⇒ a : le ⇒ n = =( ) +( )  2 2 2n + = 3b 2n − = 3a ⇒ b = 3a + ≡ 2(mod 3) ⇒ voly  2n + = b n= Vậy có trường hợp a2 + a − a + =( ) +( ) 2 43 ... Khó Cho dãy số có số 16, số sau tạo cách viết thêm số 15 vào số liền trước nó: 16, 1156, 111556,… Chứng minh số dãy số phương Lời giải Trong số dãy trên, số chữ số ln số chữ số chữ số A = 11 11... phải số phương Bài 8: Cho số phương có chữ số hàng chục khác cịn chữ số hàng đơn vị Chứng minh tổng chữ số hàng chục số phương số CP Lời giải Cách 1: Ta biết số phương có chữ số hàng đơn vị chữ số. .. Vậy số cần tìm : 65 Bài 6: Tìm số phương gồm bốn chữ số cho chữ số cuối số nguyên tố, bậc hai số có tổng chữ số số phương Lời giải Gọi số phải tìm : abcd abcd (1 ≤ a ≤ 9;0 ≤ b, c, d ≤ 9) Là số