chuyên đề số phức

TOAN LUYENTHI BAIDOC a+bi J2Jjlluuàl lUàlfJ bai lijp, ML� plwp, gMi &i: dtµtg � 570(Vn(j)lut gMi � @a£ ,.;/ � (]Jal lijp, mL � iii MỤC LỤC A CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN TRÊN TẬP SỐ PHỨC I LÝ THUYẾT II CÁC DẠNG TOÁN VỚI PHÉP TOÁN CƠ BẢN III SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570 VN-PLUS ĐỂ GIẢI 14 IV BÀI TẬP RÈN LUYỆN 22 ĐỀ BÀI 22 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 25 B CĂN BẬC HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC 28 I CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC 28 II GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 30 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC 30 ĐƯA PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO VỀ NHỮNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 31 III SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570VN-PLUS ĐỂ GIẢI 38 IV BÀI TẬP RÈN LUYỆN 44 ĐỀ BÀI 44 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 48 C TẬP HỢP ĐIỂM CỦA SỐ PHỨC 53 I LÝ THUYẾT 53 II MỘT SỐ BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH 54 III SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570 VN- PLUS 61 IV BÀI TẬP RÈN LUYỆN 64 ĐỀ BÀI 64 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 69 D BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA SỐ PHỨC 75 I PHƯƠNG PHÁP QUY VỀ TÌM MIN-MAX CỦA HÀM MỘT BIẾN KẾT HỢP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA SỐ PHỨC 75 II PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI BÀI TỐN MIN-MAX 84 III SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570 VN-PLUS ĐỂ GIẢI 92 V BÀI TẬP RÈN LUYỆN 93 ĐỀ BÀI 93 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI 96 E DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC 101 I LÝ THUYẾT 101 II MỘT SỐ BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH 102 III SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570VN-PLUS ĐỂ GIẢI 105 IV MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ỨNG DỤNG CỦA DẠNG LƯỢNG GIÁC 107 V BÀI TẬP RÈN LUYỆN 109 F TUYỂN TẬP CÁC CÂU SỐ PHỨC VẬN DỤNG CAO 111 I ĐỀ BÀI 111 II ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 118 Chuyên đề: SỐ PHỨC A CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN TRÊN TẬP SỐ PHỨC I LÝ THUYẾT Định nghĩa o Một số phức biểu thức dạng z  a  bi với a, b   i  1 o i gọi đơn vị ảo, a gọi phần thực b gọi phần ảo số phức z  a  bi Tập hợp số phức kí hiệu      a  bi / a, b  ; i  1 o Chú ý: - Khi phần ảo b   z  a số thực - Khi phần thực a   z  bi  z số ảo - Số   0i vừa số thực, vừa số ảo  a  c o Hai số phức nhau: a  bi  c  di     với a, b, c, d    b  d   o Hai số phức z1  a  bi;  z  a  bi gọi hai số phức đối Số phức liên hợp Số phức liên hợp z  a  bi với a, b   a  bi kí hiệu z Một số tính chất số phức liên hợp: a) z  z b) z  z '  z  z ' c) z z '  z z ' z  z d)     z '  z ' c) z  z '  z  z ' z số thực  z  z ; z số ảo  z  z Ví dụ: Số phức liên hợp số phức z   2i số phức z   2i Số phức liên hợp số phức z   3i số phức z   3i Biểu diễn hình học số phức Trong mặt phẳng phức Oxy ( Ox trục thực, Oy trục ảo ), số phức z  a  bi với a, b   biểu diễn điểm M a; b  Ví dụ:  A 1; 2 biểu diễn số phức z1   2i  B 0; 3 biểu diễn số phức z2  3i  C 3;1 biểu diễn số phức z  3  i  D 1;2 biểu diễn số phức z   2i Môđun số phức o Môđun số phức z  a  bi   a, b    z  a  b o Như vậy, môđun số phức z z khoảng cách từ điểm M biểu diễn số phức  z  a  bi   a, b    đến gốc tọa độ O mặt phẳng phức là: OM  a  b  zz o Một số tính chất môđun:    z  0; z   z  0;    z  z ,   z  z ,   z  z    z  z  z1 + z    z  z '  z  z '  z  z '    z 1.z  z1 z    z1 z2  z1 z2 Các phép toán tập số phức Cho hai số phức z  a  bi ; z '  a ' b ' i   với a, b, a ', b '   số k   o Tổng hai số phức: z  z '  a  a ' (b  b ')i o Hiệu hai số phức: z  z '  a  a ' (b  b ')i o Số đối số phức z  a  bi z  a  bi   o Nếu u, u ' theo thứ tự biểu diễn số phức z , z '   u  u ' biểu diễn số phức z  z '   u  u ' biểu diễn số phức z  z ' o Nhân hai số phức: z z '  a  bi a ' b ' i   a.a ' b.b '  a.b ' a '.b i o Số phức nghịch đảo: z 1  z z o Chia hai số phức: Nếu z  z ' z '.z  , nghĩa muốn chia số phức z ' cho số phức z  ta nhân z z tử mẫu thương z' cho z z  Chú ý: i 4k  1;  i 4k 1  i;  i 4k 2  1;  i 4k 3  i   (k  ) II CÁC DẠNG TOÁN VỚI PHÉP TOÁN CƠ BẢN PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỔNG QUÁT Phương pháp o Bước 1: Gọi số phức z cần tìm z  a  bi   a, b    o Bước 2: Biến đổi theo điều kiện cho trước đề (thường liên quan đến mơđun, biểu thức có chứa z, z, z , ) để đưa phương trình hệ phương trình ẩn theo a b nhờ tính chất số phức ( phần thực phần ảo ), từ suy a b suy số phức z cần tìm MỘT SỐ BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH Bài tốn Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp tính mơđun số phức z : a ) z  2  4i   2i 1  3i  b) z  2  4i 5  2i   Giải: a) z  2  4i   2i 1  3i    4i  2i  6i   6i    6i  Phần thực: ; Phần ảo: ; Số phức liên hợp: z   6i Môđun z  82  62  10 b) z  2  4i 5  2i    Phần thực: 4  5i 2  i   5i  10  i 20 i i2  2i 22  12  14i  93 94  18  16i    i 5 93 94 93 94 ; Phần ảo: ; Số phức liên hợp: z   i 5 5 2  93   94  17485 Môđun z            Bài toán Cho số phức z   2i Tìm mơđun số phức w  zi  z 1  2i  Giải: w  zi  z 1  2i   (3  2i)i  (3  2i)(1  2i)  3i    6i  2i    7i Vậy w  52  72  74  5i 2i Bài toán Gọi M, N hai điểm biểu diễn số phức z1, z2 mặt phẳng phức Mệnh đề sau đúng?   A z1  z  OM  ON   C z1  z  OM  MN    B z1  z  MN     D z  z  OM  MN Giải: M, N hai điểm biểu diễn số phức z1, z2 mặt phẳng phức   nên OM biểu diễn số phức z ,ON biểu diễn số phức z     OM ON  NM biểu diễn số phức z1  z2    z1  z  NM  MN Chọn B Bài toán Cho ba số phức z 1,  z ,  z phân biệt thỏa mãn z  z  z  1   Biết z3 z1 z2 z 1,  z ,  z biểu diễn điểm A,  B,  C mặt phẳng phức Tính góc ? ACB A 60 B 90 C 120 D 150 Giải: Gọi M điểm biểu diễn số phức z , N điểm biểu diễn số phức z (z số phức liên hợp z ) Khi M N đối xứng qua Ox Gọi A ',  B ',  C ' điểm biểu diễn số phức z 1,  z ,  z Từ giả thiết z z z 1     2   z  z  z (do z  z  z  ) z3 z1 z z1 z2 z3    Suy OA  OB '  OC '  OA 'C ' B ' hình bình hành     Mà OA  OB '  OC '  OA 'C ' B ' hình thoi với A 'C ' B '  1200   120 (do ACB  A  Vậy ACB 'C ' B ' đối xứng qua Ox ) Chọn C Bài tốn Tìm phần thực, phần ảo số phức sau:  1  i   1  i   1  i    1  i  Giải: 20 1  i  21 P   1  i   1  i    1  i   20 1 i 20 2 10  1  i   1  i   1  i   2i  1  i   210 1  i    210 1  i   P   210  210  i i Vậy phần thực 210 phần ảo 210  21   Bài toán Tính S  1009  i  2i  3i   2017i 2017 Giải: Cách 1: S  1009  i  2i  3i  4i   2017i 2017   2i     1009  4i  8i   2016i 2016  i  5i  9i   2017i 2017  10  6i  10i   2014i 2014   3i  7i  11i   2015i 2015 504 505 504 504 n 1 n 1 n 1 n 1 11   1009   4n   i  4n  3   4n  2  i  4n  1  1009  509040  509545i  508032  508536i  2017  1009i Cách 2: Đặt f x    x  x  x   x 2017  f  x    2x  3x   2017x 2016  xf  x   x  2x  3x   2017x 2017 1 Mặt khác: f x    x  x  x   x 2017   2018x 2017 x  1  x 2018  x 2018    f  x   x 1 x  1  xf  x   x  x  1 Thay x  i vào 1 2 ta được: (1)  S  1009;  (1)=(2) , nên: S  1009  i    1009  i 2018  2018i   2017  1009i 2018i 2017 i  1  i 2018  2i i  1 Bài toán Cho số phức z     1  i Tính w  1  z   z  z  z 2017  Giải : Ta có z    z  z   1  i    z         2018x 2017 x  1  x 2018     2   z 3k    Do với k   , ta có z 3k 1  z    z 3k 2  z     z 3k    z 3k 1   z  z   z 3k 2   z  z Vì từ đến 2017 có: 673 số chia dư , 672 số chia dư , 672 số chia hết      w  1  z   z  z  z 2017  2672 z  672   z 673  2672.z 2018  2672.z 3.6722   1 i   2671  3i  2672.z  2672 1  z   2672    2    Bài tốn Tìm số z cho: z  (2  i)z   5i     (A,A1  2014) Giải: Gọi số phức z cần tìm z  a  bi   a, b    Ta có: z  (2  i )z   5i     a  bi  (2  i )(a  bi )   5i  a  bi  2a  2bi   bi   5i  3a  b  (a  b )i   5i 3a  b  a 2      z   3i     a  b  b       Bài tốn Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: z  (2  i )  10 z z  25 Giải: Gọi số phức cần tìm z  a  bi   a, b    Ta có: z z  z  a  b  25   (1) Lại có: z  (2  i )  10  a  2  b  1  10  a  b  4a  2b   0   2 2 Thay (1) vào (2) ta được: 25  4a  2b   10  b  2a  10 a  Nên  a  b  25  a  (2a  10)2  25  5a  40a  75     a3  Vậy z  z   4i Bài tốn 10 Tìm số thực a, b, c cho hai phương trình az  bz  c  0,   cz  bz  a  16  16i  có nghiệm chung z   2i Giải Theo giả thiết phương trình az  bz  c  có nghiệm z   2i đó: b   b   3a  b  c  a 1  2i   b 1  2i   c   3a  b  c  4a  2b i    4a  2b  Tương tự phương trình cz  bz  a  16  16i  có nghiệm z   2i đó: 1 c 1  2i   b 1  2i   a  16  16i   c 3  4i   b  2bi  a  16  16i   a  b  3c  16   a  b  3c  16  b  2c  8 i    2  b  2c     Từ 1, 2 suy a, b, c   1; 2;5 Bài toán 11 _ Cho z z số phức liên hợp z Biết z  z   z  z  Tìm z Giải : _    z  a  bi  a  bi   a  bi   2bi  Gọi z  a  bi a,b   Ta có : z  z _   z z    z z   Ta có: z  z  z     bi  Mà z  a  3a 2bi  3a bi z  3  b2  z z2 z3  z2 z z   z       z3    a  3ab  3a 2b  b i 2 2 3a b  b  3a  b  a     z   b  b  b  Bài tốn 12 Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện: z   2i  z   4i z  2i z i số ảo Giải : Đặt z  x  yi  (x , y ) Theo ta có : x   y  2i  x   4  y i  x  1  y  2  x  3  y  4  y  x  Số phức w  z  2i z i  x  y  2 i x  1  y i  2 x  y  2y  1  x 2y  3 i x  y  1  x  y  2y  1    12    x     Vậy z   12  23 i w số ảo   x  y  1    23 7   y y x 5         Câu 26 Gọi z  x  yi  x , y   số phức thỏa mãn hai điều kiện z   z   26 3  i z xy đạt giá trị lớn Tính tích 2 A xy  B xy  13 Câu 27 Có số phức z thỏa A C xy  16 9 D xy  z 1 z i   1? i z 2z B C D Câu 28 Gọi điểm A,  B biểu diễn số phức z ; z ;   z 1.z  0 mặt phẳng tọa độ ( A,  B,  C A,  B ,  C  không thẳng hàng) z12  z 22  z 1.z Với O gốc tọa độ, khẳng định sau đúng? A Tam giác OAB C Tam giác OAB vuông cân B B Tam giác OAB vuông cân O D Diện tích tam giác OAB khơng đổi Câu 29 Trong số phức thỏa mãn điều kiện z   4i  z  2i Tìm mơđun nhỏ số phức z  2i A B C D  Câu 30 Tìm điều kiện cần đủ số thực m,  n để phương trình z  mz  n  khơng có nghiệm thực   m  4n    B m  4n  m    n0      m  4n    D m  4n  m    n0    A m  4n    m  4n    C m    n0    Câu 31 Nếu z  a;   a  0 z a z A lấy giá trị phức C B số ảo D lấy giá trị thực Câu 32 Cho số phức z thỏa mãn z   2i  Tìm mơđun nhỏ số phức z   i A B 2 C D 2z  z   i , z số phức thỏa mãn z2  i   1  i z  i    i  z Gọi N điểm mặt phẳng cho Ox,ON  2 , Câu 33 Gọi M điểm biểu diễn số phức         Ox ,OM góc lượng giác tạo thành quay tia Ox tới vị trí tia OM Điểm   N nằm góc phần tư nào? A Góc phần tư thứ (I) C Góc phần tư thứ (III) B Góc phần tư thứ (II) D Góc phần tư thứ (IV) Câu 34 Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z   4i  biểu thức 2 M  z   z  i đạt giá trị lớn Tính mơđun số phức z  i A z  i  41 B z  i  C z  i  D z  i  41 Câu 35 Các điểm A,  B,  C A,  B ,  C  biểu diễn số phức z 1,  z ,  z z 1,  z 2,  z 3 mặt phẳng tọa độ ( A,  B,  C A,  B ,  C  không thẳng hàng) Biết z  z  z  z 1  z 2  z 3 , khẳng định sau đúng? A Hai tam giác ABC A B C  B Hai tam giác ABC A B C  có trực tâm C Hai tam giác ABC A B C  có trọng tâm D Hai tam giác ABC A B C  có tâm đường tròn ngoại tiếp Câu 36 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy điểm M điểm biểu diễn số phức z  2  3i 1  i   gọi  góc tạo chiều dương trục hồnh vectơ OM Tính sin 2 A  12 Câu 37 Cho số phức z  A B 12 C 12 D  12 m  i , m   Tìm mơđun lớn z  m m  2i  B C D Câu 38 Cho số phức z có z  m;   m  0 Với z  m; tìm phần thực số phức A m B m C m z 1 D 4m 2m Câu 39 Cho số phức z1, z thỏa mãn z1  , z  biểu diễn mặt phẳng phức   z  z2  điểm M , N Biết  OM ,ON  , tính giá trị biểu thức z1  z  A 13 B  C D 13 10   2i Biết tập hợp điểm biểu z R I w  3  4i  z   2i diễn cho số phức đường tròn , bán kính Khi Câu 40 Cho thỏa mãn z   thỏa mãn 2  i  z  A I 1; 2, R  B I 1;2, R  C I 1;2, R  D I 1; 2, R  Câu 41 Trong số phức z thỏa z   4i  , gọi z số phức có mơ đun nhỏ Khi A Khơng tồn số phức z B z  C z  D z  Câu 42 Tìm tập hợp điểm M biểu diễn hình học số phức z mặt phẳng phức, biết số phức z thỏa mãn điều kiện: z   z   10 A Tập hợp điểm cần tìm đường tròn có tâm O 0; 0 có bán kính R  x y2   25 B Tập hợp điểm cần tìm đường elip có phương trình C Tập hợp điểm cần tìm điểm M x ; y  mặt phẳng Oxy thỏa mãn x  4 phương trình  y2  x  4  y  12 D Tập hợp điểm cần tìm đường elip có phương trình x y2   25 Câu 43 Trong mặt phẳng phức Oxy , số phức z thỏa z  2i   z  i Tìm số phức z biểu diễn điểm M cho MA ngắn với A 1, 3 A  i B  3i D 2  3i C  3i Câu 44 Trong mặt phẳng phức Oxy , tập hợp biểu diễn số phức Z thỏa  z   i  hình vành khăn Chu vi P hình vành khăn ? A P  4 B P   C P  2 D P  3 Câu 45 Trong mặt phẳng phức Oxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức Z thỏa mãn  z2  z 2 z  16 hai đường thẳng d1, d2 Khoảng cách đường thẳng d1, d2 ? A d d1, d2   B d d1, d2   C d d1, d2     D d d1, d2    Câu 46 Cho số phức z thỏa mãn z  2z   z   2i z  3i  Tính | w | , với w  z   2i A | w | B | w | C | w | D | w |  Câu 47 Giả sử A, B theo thứ tự điểm biểu diễn số phức z1 , z2 Khi độ dài AB A z  z1 B z  z1 C z1  z D z1  z Câu 48 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z   Tìm giá trị lớn T  z i  z 2i A max T  B max T  C max T  D max T  Câu 49 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z   z   10 A Đường tròn x  2  y  2  100 B Elip x y2   25 C Đường tròn x  2  y  2  10 x y2   25 21 2 2 D Elip   z 1  z i    Câu 50 Tìm nghiệm phức z thỏa mãn hệ phương trình phức:  z  3i  1     z i A z   i B z   i C z   i D z   i II ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 1D 2C 3C 4D 5D 6A 7D 8A 9C 10A 11A 12A 13B 14A 15D 16A 17C 18B 19A 20C 21D 22C 23C 24B 25B 26D 27A 28A 29C 30D 31B 32C 33B 34D 35C 36A 37A 38D 39B 40C 41D 42D 43A 44C 45B 46C 47B 48B 49D 50D Câu Phương pháp tự luận: Vì z  z z  z nên hai số phức khác Đặt w  z1  z z1  z z  z  a , ta có a2 a2  z1 z2  z  z  z  z z  z2 2 w      w    z1  z  z  z z  z1 a a  z1 z Từ suy w số ảo Phương pháp trắc nghiệm: Số phức z 1, z khác thỏa mãn z  z nên chọn z  1; z  i , suy z1  z z1  z  1i i 1i số ảo  Chọn D Câu w  2z   i  z  z   4i   Giả sử w  x  yi w 1  i w 1  i   4i   w   i   8i   w   9i  1 x, y   , 1  x  7  y  9 2   16  Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức w hình tròn tâm I 7;  , bán kính r  Vậy diện tích cần tìm S  .4  16  Chọn C Câu Phương pháp tự luận Giả sử z  x  yi x , y    z  3i  z   i  x  y  3i  x  2  y  1i  x  y  3  x  2  y  1  6y   4x   2y   4x  8y    x  2y    x  2y     z  x  y  2y  1  y  5y  4y   y      5  2 2 2 2 y    x  Vậy z   i  Chọn C 5 5 Phương pháp trắc nghiệm Suy z  Giả sử z  x  yi x, y   z  3i  z   i  x  y  3i  x  2  y  1i  x  y  3  x  2  y  1 2  6y   4x   2y   4x  8y    x  2y   Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện z  3i  z   i đường thẳng d : x  2y     Phương án A: z   2i có điểm biểu diễn 1;   d nên loại A Phương án B: z    i có điểm biểu diễn 5    ;   d nên loại B  5    Phương án D: z  1  2i có điểm biểu diễn 1;2  d nên loại B Phương án C: z   i có điểm biểu diễn 5 1 2  ;    d  5 Câu Gọi z  x  yi ta có z   3i  x  yi   3i  x   y  3 i Theo giả thiết x  2  y  3  nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm đường 2 tròn tâm I 2; 3 bán kính R  Ta có z   i  x  yi   i  x   1  y  i  x  1 Gọi M x ; y  H 1;1 HM  x  1  y  1 2  y  1 Do M chạy đường tròn, H cố định nên MH lớn M giao HI với đường tròn  x   3t Phương trình HI :  , giao HI đường tròn ứng với t thỏa mãn:   y   t       , M 2   ;3  ;  9t  4t   t   nên M 2    13   13 13  13 13 Tính độ dài MH ta lấy kết HM  13   Chọn D Câu Cách 1: Ta có: z1  z  z   z  z  z1 z  z  z   z 13  z 23  z 33  z1z  z 1z z1  z  z   3z 2z z  z   z13  z 23  z 33  3z1z 2z  z 13  z 23  z 33  3z1z 2z  z13  z 23  z 33  3z1z 2z  z1 z z  3 3 Mặt khác z  z  z  nên z1  z  z   Chọn D Cách 2: thay thử z1  z  z  vào đáp án, thấy đáp án D bị sai Câu Cách 1: Kí hiệu Re : phần thực số phức Ta có z1  z  z  z1  z  z  Re z1z  z 2z  z 3z1    Re z 1z  z 2z  z 3z  (1) 2 2 z1z  z 2z  z 3z1  z1z  z 2z  z 3z1  Re z 1z 2z 2z  z 2z 3z 3z1  z 3z1z1z  2 2 2 2 2 2    z1 z  z z  z z  Re z1 z z  z z z  z z z      Re z 1z  z 2z  z 3z    Re z 1z  z 3z  z 3z  (2) Từ 1 2 suy z  z  z  z 1z  z 2z  z 3z Các h khác: B C suy D đúngLoại B, C Chọn z1  z  z  A D sai  Chọn A Cách 2: thay thử z1  z  z  vào đáp án, thấy đáp án D bị sai   n Câu 7.Giả sử A(3; 3; 0) có dạng P z   a  a1z  a2z   an z a ; a1; a2 ; ;an  ; an  P z    a  a1z  a2z   an z n   a  a1z  a2z   an z n   a  a1z  a 2z   an z n   P z    Chọn D   2 Câu Đặt Có a  a  bi, a, b    a  b  (do z  ) 2a  2b  1 i 2z  i A     iz  b  4a  2b  1 4a  2b  1 2  b   a2 Ta chứng minh 2  b   a 2 4a  2b  1 1 Thật ta có 2  b   a2   4a  2b  1  2  b   a  a  b  2 Dấu “=” xảy a  b  Vậy A   Chọn A Câu Ta có: A   5i 5i 1    Khi z  i  A   Chọn C z z z Câu 10 Ta có: 2  i z  i    i  z  z   i  w  Lúc đó: sin 2  5 1 1  i  M  ;   tan   4  4   tan2  12 tan    0;   cos      Chọn A 2  tan  13  tan  13 Câu 11 Ta có: M  z  z   z   , z   M   M max  Mặt khác: M  1z3 1z  1z  1z3 z  1  M   M   Chọn A   z3  1z3   z3  1, Câu 12 Ta có P   i i 1  Mặt khác:     z z |z | |z | Vậy, giá trị nhỏ P  là , xảy z  2i;  giá trị lớn P xảy 2 z  2i  Chọn A Câu 13 Ta có phương trình  f z   2z  i   z  1  4 Suy ra: f z   15 z  z z  z z  z z  z  Vì z12   z  i z1  i   P  f i .f i  225   1 Mà f i   i  i  1  5;  f i   3i   i  1  85 Vậy từ 1  P  4 17  Chọn B Câu 14 Gọi z  x  yi;   x  ; y     z  2i  x  y  2 i Ta có: z   2i   x  1  y  2  2 Đặt x   sin t ;  y  2  cos t ;  t   0;2   z  2i  1  sin t   4  cos t   26  sin t  cos t   26  17 sin t  ;       2  26  17  z  2i  26  17  z  2i max  26  17  Chọn A Câu 15 Gọi z  x  yi;   x  ; y    Ta có: z   x  y   y   x  x  1;1 1  x  Ta có: P   z   z   y  1  x   y  1  x   1  x  Xét hàm số f x   1  x   1  x ;  x  1;1 Hàm số liên tục 1;1 với x  1;1 ta có: f  x   1  x   1  x  0x   1;1  4 Ta có: f 1  2;  f 1  6;  f    20  Pmax  20  Chọn D   Câu 16 Gọi z  x  yi;   x  ; y    Ta có: z   z z  Đặt t  z  , ta có  z   z   z    t   0;2 Ta có t  1  z 1  z    z z  z  z   2x  x  2 Suy z  z   z  z  z z  z z   z  t2  2x  1  2x   t  Xét hàm số f t   t  t  , t  0;2 Bằng cách dùng đạo hàm, suy  max f t   13 13 ; f t    M n   Chọn A 4 Câu 17 Ta có: OA  z ; OB  z   1i 1i z  z  z 2    1i 1i z  z .z  Ta có: BA  OA  OB  BA  z  z   z  2 2 2 Suy ra: OA  OB  AB AB  OB  OAB tam giác vuông cân B  Chọn C Câu 18 Áp dụng bất đẳng thức u  v  u  v , ta 2 z  4  z   4  z  z  z    z   2 z  z  z   z   z  z    z   Vậy, z nhỏ  1, khi z  i  i z lớn  1, khi z  i  i  Chọn B Câu 19 Gọi z  x  yi;   x  ; y    Ta có: z   2i   x  1  y  2  2 Đặt x   sin t; y  2  cos t ;  t  0;2  Lúc đó: z  1  sin t   2  cos t    4 sin t  cos t    42  82 sin t   ;       2 2    z   sin t     z    5;      10   z max   đạt z  i  Chọn A  5   Câu 20 Ta có AB biểu diễn số phức  i; DB biểu diễn số phức  3i Mặt khác      3i  3i nên AB.DB  Tương tự (hay lí đối xứng qua Ox ), DC AC  Từ i suy AD đường kính đường tròn qua A,  B,  C ,  D Vậy I 1; 0  z   Chọn C Câu 21 Ta có: z  2  i  4  i   16  13i  M 16;13  tan   Ta có: cos 2  13 16 425  tan2    Chọn D 87  tan  Câu 22 Gọi z  a  bi  z  a  bi;   a  ;  b    Khơng tính tổng quát ta gọi b  Do z1  z   2bi   b  Do z1,  z hai số phức liên hợp nên z1.z   , mà z1 z 22  z 13 z z     z13   b  Ta có: z13  a  bi   a  3ab  3a 2b  b i    3a 2b  b    2  a  a b       Vậy z1  a  b   Chọn C m   6i    (2i )m  2m.i m Câu 23 Ta có: z     i  z số ảo m  2k  1, k   (do z  0;  m   * ) Vậy có 25 giá trị m thỏa yêu cầu đề  Chọn C Câu 24 Ta có: z2 1 z z  z   z  z số ảo  Chọn B z z z z z z z Câu 25 Gọi z  x  yi;   x  ; y    Ta có: 1  i  z   2i  10  1  i  z  6  2i  10  z   4i  1i  x  2  y  4  2 Đặt x   sin t; y   cos t;  t   0;2    Lúc đó:  z   sin t   4  cos t     25  sin t  cos t  25  4   8  sin t  ;      2  z  25  20 sin t     z   5;     z max  đạt z   6i  Chọn B Câu 26 Đặt z  x  iy  x , y    Thay vào điều kiện thứ nhất, ta x  y  36 Đặt x  cos t, y  sin t Thay vào điều kiện thứ hai, ta có P   z     i  18  18 sin t        3 3 z   i  Chọn D Dấu xảy sin t    1  t    2    z 1    1 x    z 1  i z        x y i  z      z    i    Câu 27 Ta có:   z i z i   z 4x  2y  3  2      y   1     z       Chọn A 2 Câu 28 Ta có: z1  z  z1.z  z1  z1 z  z ;   z1  z1 z  z1 Do z1   z  z  z2 z1 ;   (1) Mặt khác: z1  z z  z   z1  z z1  z  z  z  Từ (1) (2) suy ra: z2  z1 z1 z2 z1 z2 (do z  ) (2)  z  z Vậy ta có: z  z  z  z  OA  OB  AB  Chọn A Câu 29 Gọi z  x  yi;   x  ; y    Ta có: z   4i  z  2i  x  2  y  4 2  x  y  2  x  y    y   x 2 2 Ta có: z  2i  x  y  2  x  6  x   2x  12x  36  x  3  18  18  z  2i 2  18  z   i  Chọn C Câu 30 Phương trình z  mz  n  khơng có nghiệm thực trường hợp: TH 1: Phương trình vơ nghiệm, tức m  4n   TH 2: Phương trình t  mt  n  0;   t  z Câu 31 Ta có:  m  4n           có hai nghiệm âm  S    m      P  n       Chọn D a a 2z a 2z z  a2  z   z  z số ảo  Chọn B z  z  z z z z z Câu 32 Gọi z  x  yi;   x  ; y     z   i  x  1  y  1 i Ta có: z   2i   x  1  y  2  2 Đặt x   sin t ;  y  2  cos t ;  t   0;2   z   i  3 sin t   1  cos t   10  cos t   z  2i   z   i 2  , z   i  Chọn C Câu 33 Ta có:     19 19 19  i  M  ;    tan   1  i z  i    i  z  z  3i  w   82 82 82 82  Lúc đó: sin 2  133  tan2  156 tan    0;   cos      Chọn C 2 205  tan  205  tan  Câu 34 Gọi z  x  yi;   x  ; y    Ta có: z   4i   C  : x  3  y  4  : 2 tâm I 3; 4 R  Mặt khác: 2 2  M  z   z  i  x  2  y   x  y  1   4x  2y   d : 4x  2y   M      Do số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên d C  có điểm chung  d I ; d   R   M max 23  M   23  M  10  13  M  33   x   4x  2y  30   33     z  i   4i  z  i  41  Chọn D   2 x  3  y  4  y  5        Câu 35 Gọi z  x  y1i;  z  x  y2i;  z  x  y 3i;   x k ;  yk  ;  k  1; Khi đó: A x ; y1 ;  B x ; y ;  C x ; y  , gọi G trọng tâm  x  x  x y  y  y  3 ABC  G  ;   3    Tương tự, gọi z 1  x 1  y1i;  z 2  x 2  y2i;  z 3  x 3  y 3i;   x k ;  yk  ;  k  1; Khi đó: A x 1; y1 ;  B  x 2; y 2 ;  C  x 3 ; y 3  ,  x   x   x  y   y   y   3 ; gọi G  trọng tâm A B C   G     3  Do z1  z  z  z 1  z 2  z 3  x  x  x   y1  y  y  i  x 1  x 2  x 3   y1  y2  y 3 i x  x  x  x   x   x   3   G  G   Chọn C      y      y y y y y 3   1 Câu 36 Ta có: z  2  3i 1  i    i  M 5; 1  tan    5 tan  Ta có: sin 2     Chọn A 12  tan  Câu 37 Ta có: z m  i  m m  2i   m i   z  m 1 m 1 1 z   z  i;  m  max m 1  Chọn A Câu 38 Gọi Re z  phần thực số phức z Ta xét:    1 m z m z 2m  z  z         m  z m  z  m  z m  z m  z m  z  m  z.z  mz  mz   2m  z  z 1 2m  z  z       Re  Chọn D  2m  mz  mz m 2m  z  z  m  m  z  2m Câu 39 Dựng hình bình hành OMPN mặt phẳng phức, biểu diễn :  2     z1  z  z1  z  z1 z cos 1500  z1  z z  OP z  z  z2       1  2   z1  z  MN z z  z z    2 z  z  z1  z  z1 z cos 30        Chọn B     Câu 40 Đặt z  a  bi z  c  , với a;b; c   Lại có w  3  4i  z   2i  z  w   2i  4i Gọi w  x  yi với x ; y   Khi z  c   w   2i w   2i c   c  x  yi   2i  5c  4i  4i x  1  y  2 2  5c  x  1  y  2  25c 2 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường tròn I 1;2 Khi có đáp án C có khả theo R   5c   c  Thử c  vào phương trình (1) thỏa mãn  Chọn C Câu 41 Cách 1: Đặt z  a  bi   (a, b  ) Khi z   4i   (a  3)2  (b  4)2  Suy biểu diễn hình học số phức z đường tròn C  tâm I 3; 4 bán kính R  Gọi M z  điểm biểu diễn số phức z Ta có: M z   C  z  OM  OI  R  Vậy z bé M z   C   IM Cách 2: a   cos  a  3  cos    Đặt       b   sin  b  4  sin     z  a  b  (2 cos   3)2  (2 sin   4)2  29  12 cos   16 sin  3   29  20  cos   sin   29  20 cos(  )    5  z   Chọn D Câu 42 Ta có: Gọi M x ; y  điểm biểu diễn số phức z  x  yi Gọi A 4; 0 điểm biểu diễn số phức z  Gọi B 4; 0 điểm biểu diễn số phức z  4 Khi đó: z   z   10  MA  MB  10 (*) Hệ thức chứng tỏ tập hợp điểm M elip nhận A, B tiêu điểm x y2 2 Gọi phương trình elip   1, a  b  0, a  b  c a b Từ (*) ta có: 2a  10  a    AB  2c   2c  c   b  a  c  Vậy quỹ tích điểm M elip: E  : x y2   Chọn D  25 Câu 43 Gọi M x , y  điểm biểu diễn số phức z  x  yi x , y  R  Gọi E 1, 2 điểm biểu diễn số phức  2i Gọi F 0, 1 điểm biểu diễn số phức i Ta có: z  2i   z  i  ME  MF  Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trung trục EF : x  y   Để MA ngắn MA  EF M  M 3,1  z   i => Chọn A Câu 44 Gọi M x , y  điểm biểu diễn số phức z  x  yi x , y  R  Gọi A 1,1 điểm biểu diễn số phức 1  i  z   i    MA  Tập hợp điểm biểu diễn hình vành khăn giới hạn đường tròn đồng tâm có bán kính R1  2, R2   P  P1  P2  2 R1  R2   2 => Chọn C Lưu ý cần nắm vững lý thuyết hình vẽ dạng học lớp tránh nhầm lẫn sang tính diện tích hình tròn Câu 45 Gọi M x , y  điểm biểu diễn số phức z  x  yi x , y  R   Ta có: z  z 2 z  16  x  2xyi  y  x  2xyi  y  2x  2y  16  4x  16  x  2  d d1, d2    Chọn B Ở lưu ý hai đường thẳng x = x = -2 song song với Câu 46 Ta có         z  2z   z   2i z  3i   z   2i z   2i  z   2i z  3i  z   2i    z   2i  z  3i      Trường hợp : z   2i   w  1  w  1 Trường hợp 2: z   2i  z  3i  Gọi z  a  bi (với a, b   ) ta        a 1 b 2 i  a 1  b  i  b 2 Suy w  z   2i  a   iw  2   b   a  2  b     2 Từ 1 ,   suy | w |  Chọn C Câu 47 Giả sử z1  a  bi , z2  c  di ,  a, b, c, d    Theo đề ta có: A a;b  , B c; d   AB  2 c  a   d  b   Chọn B  z  1  1  i   z  1  1  i  z  z  a  c   d  b i  z  z  Câu 48 T  z  i  z   i c  a   d  b  2  Đặt w  z  Ta có w  T  w  1  i   w  1  i  Đặt w  x  y.i Khi w   x  y T  x  1  y  1i  x  1  y  1 i  x  1  y  1  x  1  y  1 2   2 1  x  1  y  1  x  1  y  1  2x  2y  4  2 2 2 2 Vậy max T   Chọn B Câu 49 Gọi M x ; y  điểm biểu diễn số phức z  x  yi , x , y   Gọi A điểm biểu diễn số phức Gọi B điểm biểu diễn số phức 2 Ta có: z   z   10  MB  MA  10 Ta có AB  Suy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z Elip với tiêu điểm A 2; 0 , B 2; 0 , tiêu cự AB   2c , độ dài trục lớn 10  2a , độ dài trục bé 2b  a  c  25   21 Vậy, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z   z   10 Elip có phương trình x y2   Chọn D  25 21 Câu 50 Gọi M  x, y  điểm biểu diễn số phức z  x  yi x , y  R  Gọi A, B điểm biểu diễn số phức i Gọi C , D điểm biểu diễn số phức i 3i Ta có: z   z  i  MA  MB với A 1,  ; B  0,1  M thuộc đường trung trực 1 AB z  3i   z  i  z  3i  MC  MD với C  0, 1 ; D  0,3  M thuộc đường trung trực z i  CD y  x  M 1,1  z   i => Chọn D M giao điểm 1 ;   M thỏa hệ:   y 1 ... z số thực  z  z ; z số ảo  z  z Ví dụ: Số phức liên hợp số phức z   2i số phức z   2i Số phức liên hợp số phức z   3i số phức z   3i Biểu diễn hình học số phức Trong mặt phẳng phức. .. sau kết luận sai? A.Môđun số phức z số thực dương B.Môđun số phức z số thực C Môđun số phức z số thực không âm D Môđun số phức z số phức C z  2016 1  i   Câu 25 Số phức z     i  A... TRÌNH BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC I CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC LÝ THUYẾT Nội dung lý thuyết Cho số phức w Mỗi số phức z thỏa mãn z  w gọi thức bậc w Mỗi số phức w  0 có hai bậc hai hai số phức đối z  và