chuyên đề số phức

TOAN LUYENTHI BAIDOC a+bi J2Jjlluuàl lUàlfJ bai lijp, ML� plwp, gMi &i: dtµtg � 570(Vn(j)lut gMi � @a£ ,.;/ � (]Jal lijp, mL � iii MỤC LỤC A CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN TRÊN TẬP SỐ PHỨC I LÝ THUYẾT II CÁC DẠNG TOÁN VỚI PHÉP TOÁN CƠ BẢN III SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570 VN-PLUS ĐỂ GIẢI 14 IV BÀI TẬP RÈN LUYỆN 22 ĐỀ BÀI 22 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 25 B CĂN BẬC HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC 28 I CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC 28 II GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 30 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC 30 ĐƯA PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO VỀ NHỮNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 31 III SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570VN-PLUS ĐỂ GIẢI 38 IV BÀI TẬP RÈN LUYỆN 44 ĐỀ BÀI 44 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 48 C TẬP HỢP ĐIỂM CỦA SỐ PHỨC 53 I LÝ THUYẾT 53 II MỘT SỐ BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH 54 III SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570 VN- PLUS 61 IV BÀI TẬP RÈN LUYỆN 64 ĐỀ BÀI 64 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 69 D BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA SỐ PHỨC 75 I PHƯƠNG PHÁP QUY VỀ TÌM MIN-MAX CỦA HÀM MỘT BIẾN KẾT HỢP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA SỐ PHỨC 75 II PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI BÀI TỐN MIN-MAX 84 III SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570 VN-PLUS ĐỂ GIẢI 92 V BÀI TẬP RÈN LUYỆN 93 ĐỀ BÀI 93 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI 96 E DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC 101 I LÝ THUYẾT 101 II MỘT SỐ BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH 102 III SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570VN-PLUS ĐỂ GIẢI 105 IV MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ỨNG DỤNG CỦA DẠNG LƯỢNG GIÁC 107 V BÀI TẬP RÈN LUYỆN 109 F TUYỂN TẬP CÁC CÂU SỐ PHỨC VẬN DỤNG CAO 111 I ĐỀ BÀI 111 II ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 118 Chuyên đề: SỐ PHỨC A CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN TRÊN TẬP SỐ PHỨC I LÝ THUYẾT Định nghĩa o Một số phức biểu thức dạng z  a  bi với a, b   i  1 o i gọi đơn vị ảo, a gọi phần thực b gọi phần ảo số phức z  a  bi Tập hợp số phức kí hiệu      a  bi / a, b  ; i  1 o Chú ý: - Khi phần ảo b   z  a số thực - Khi phần thực a   z  bi  z số ảo - Số   0i vừa số thực, vừa số ảo  a  c o Hai số phức nhau: a  bi  c  di     với a, b, c, d    b  d   o Hai số phức z1  a  bi;  z  a  bi gọi hai số phức đối Số phức liên hợp Số phức liên hợp z  a  bi với a, b   a  bi kí hiệu z Một số tính chất số phức liên hợp: a) z  z b) z  z '  z  z ' c) z z '  z z ' z  z d)     z '  z ' c) z  z '  z  z ' z số thực  z  z ; z số ảo  z  z Ví dụ: Số phức liên hợp số phức z   2i số phức z   2i Số phức liên hợp số phức z   3i số phức z   3i Biểu diễn hình học số phức Trong mặt phẳng phức Oxy ( Ox trục thực, Oy trục ảo ), số phức z  a  bi với a, b   biểu diễn điểm M a; b  Ví dụ:  A 1; 2 biểu diễn số phức z1   2i  B 0; 3 biểu diễn số phức z2  3i  C 3;1 biểu diễn số phức z  3  i  D 1;2 biểu diễn số phức z   2i Môđun số phức o Môđun số phức z  a  bi   a, b    z  a  b o Như vậy, môđun số phức z z khoảng cách từ điểm M biểu diễn số phức  z  a  bi   a, b    đến gốc tọa độ O mặt phẳng phức là: OM  a  b  zz o Một số tính chất môđun:    z  0; z   z  0;    z  z ,   z  z ,   z  z    z  z  z1 + z    z  z '  z  z '  z  z '    z 1.z  z1 z    z1 z2  z1 z2 Các phép toán tập số phức Cho hai số phức z  a  bi ; z '  a ' b ' i   với a, b, a ', b '   số k   o Tổng hai số phức: z  z '  a  a ' (b  b ')i o Hiệu hai số phức: z  z '  a  a ' (b  b ')i o Số đối số phức z  a  bi z  a  bi   o Nếu u, u ' theo thứ tự biểu diễn số phức z , z '   u  u ' biểu diễn số phức z  z '   u  u ' biểu diễn số phức z  z ' o Nhân hai số phức: z z '  a  bi a ' b ' i   a.a ' b.b '  a.b ' a '.b i o Số phức nghịch đảo: z 1  z z o Chia hai số phức: Nếu z  z ' z '.z  , nghĩa muốn chia số phức z ' cho số phức z  ta nhân z z tử mẫu thương z' cho z z  Chú ý: i 4k  1;  i 4k 1  i;  i 4k 2  1;  i 4k 3  i   (k  ) II CÁC DẠNG TOÁN VỚI PHÉP TOÁN CƠ BẢN PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỔNG QUÁT Phương pháp o Bước 1: Gọi số phức z cần tìm z  a  bi   a, b    o Bước 2: Biến đổi theo điều kiện cho trước đề (thường liên quan đến mơđun, biểu thức có chứa z, z, z , ) để đưa phương trình hệ phương trình ẩn theo a b nhờ tính chất số phức ( phần thực phần ảo ), từ suy a b suy số phức z cần tìm MỘT SỐ BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH Bài tốn Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp tính mơđun số phức z : a ) z  2  4i   2i 1  3i  b) z  2  4i 5  2i   Giải: a) z  2  4i   2i 1  3i    4i  2i  6i   6i    6i  Phần thực: ; Phần ảo: ; Số phức liên hợp: z   6i Môđun z  82  62  10 b) z  2  4i 5  2i    Phần thực: 4  5i 2  i   5i  10  i 20 i i2  2i 22  12  14i  93 94  18  16i    i 5 93 94 93 94 ; Phần ảo: ; Số phức liên hợp: z   i 5 5 2  93   94  17485 Môđun z            Bài toán Cho số phức z   2i Tìm mơđun số phức w  zi  z 1  2i  Giải: w  zi  z 1  2i   (3  2i)i  (3  2i)(1  2i)  3i    6i  2i    7i Vậy w  52  72  74  5i 2i Bài toán Gọi M, N hai điểm biểu diễn số phức z1, z2 mặt phẳng phức Mệnh đề sau đúng?   A z1  z  OM  ON   C z1  z  OM  MN    B z1  z  MN     D z  z  OM  MN Giải: M, N hai điểm biểu diễn số phức z1, z2 mặt phẳng phức   nên OM biểu diễn số phức z ,ON biểu diễn số phức z     OM ON  NM biểu diễn số phức z1  z2    z1  z  NM  MN Chọn B Bài toán Cho ba số phức z 1,  z ,  z phân biệt thỏa mãn z  z  z  1   Biết z3 z1 z2 z 1,  z ,  z biểu diễn điểm A,  B,  C mặt phẳng phức Tính góc ? ACB A 60 B 90 C 120 D 150 Giải: Gọi M điểm biểu diễn số phức z , N điểm biểu diễn số phức z (z số phức liên hợp z ) Khi M N đối xứng qua Ox Gọi A ',  B ',  C ' điểm biểu diễn số phức z 1,  z ,  z Từ giả thiết z z z 1     2   z  z  z (do z  z  z  ) z3 z1 z z1 z2 z3    Suy OA  OB '  OC '  OA 'C ' B ' hình bình hành     Mà OA  OB '  OC '  OA 'C ' B ' hình thoi với A 'C ' B '  1200   120 (do ACB  A  Vậy ACB 'C ' B ' đối xứng qua Ox ) Chọn C Bài tốn Tìm phần thực, phần ảo số phức sau:  1  i   1  i   1  i    1  i  Giải: 20 1  i  21 P   1  i   1  i    1  i   20 1 i 20 2 10  1  i   1  i   1  i   2i  1  i   210 1  i    210 1  i   P   210  210  i i Vậy phần thực 210 phần ảo 210  21   Bài toán Tính S  1009  i  2i  3i   2017i 2017 Giải: Cách 1: S  1009  i  2i  3i  4i   2017i 2017   2i     1009  4i  8i   2016i 2016  i  5i  9i   2017i 2017  10  6i  10i   2014i 2014   3i  7i  11i   2015i 2015 504 505 504 504 n 1 n 1 n 1 n 1 11   1009   4n   i  4n  3   4n  2  i  4n  1  1009  509040  509545i  508032  508536i  2017  1009i Cách 2: Đặt f x    x  x  x   x 2017  f  x    2x  3x   2017x 2016  xf  x   x  2x  3x   2017x 2017 1 Mặt khác: f x    x  x  x   x 2017   2018x 2017 x  1  x 2018  x 2018    f  x   x 1 x  1  xf  x   x  x  1 Thay x  i vào 1 2 ta được: (1)  S  1009;  (1)=(2) , nên: S  1009  i    1009  i 2018  2018i   2017  1009i 2018i 2017 i  1  i 2018  2i i  1 Bài toán Cho số phức z     1  i Tính w  1  z   z  z  z 2017  Giải : Ta có z    z  z   1  i    z         2018x 2017 x  1  x 2018     2   z 3k    Do với k   , ta có z 3k 1  z    z 3k 2  z     z 3k    z 3k 1   z  z   z 3k 2   z  z Vì từ đến 2017 có: 673 số chia dư , 672 số chia dư , 672 số chia hết      w  1  z   z  z  z 2017  2672 z  672   z 673  2672.z 2018  2672.z 3.6722   1 i   2671  3i  2672.z  2672 1  z   2672    2    Bài tốn Tìm số z cho: z  (2  i)z   5i     (A,A1  2014) Giải: Gọi số phức z cần tìm z  a  bi   a, b    Ta có: z  (2  i )z   5i     a  bi  (2  i )(a  bi )   5i  a  bi  2a  2bi   bi   5i  3a  b  (a  b )i   5i 3a  b  a 2      z   3i     a  b  b       Bài tốn Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: z  (2  i )  10 z z  25 Giải: Gọi số phức cần tìm z  a  bi   a, b    Ta có: z z  z  a  b  25   (1) Lại có: z  (2  i )  10  a  2  b  1  10  a  b  4a  2b   0   2 2 Thay (1) vào (2) ta được: 25  4a  2b   10  b  2a  10 a  Nên  a  b  25  a  (2a  10)2  25  5a  40a  75     a3  Vậy z  z   4i Bài tốn 10 Tìm số thực a, b, c cho hai phương trình az  bz  c  0,   cz  bz  a  16  16i  có nghiệm chung z   2i Giải Theo giả thiết phương trình az  bz  c  có nghiệm z   2i đó: b   b   3a  b  c  a 1  2i   b 1  2i   c   3a  b  c  4a  2b i    4a  2b  Tương tự phương trình cz  bz  a  16  16i  có nghiệm z   2i đó: 1 c 1  2i   b 1  2i   a  16  16i   c 3  4i   b  2bi  a  16  16i   a  b  3c  16   a  b  3c  16  b  2c  8 i    2  b  2c     Từ 1, 2 suy a, b, c   1; 2;5 Bài toán 11 _ Cho z z số phức liên hợp z Biết z  z   z  z  Tìm z Giải : _    z  a  bi  a  bi   a  bi   2bi  Gọi z  a  bi a,b   Ta có : z  z _   z z    z z   Ta có: z  z  z     bi  Mà z  a  3a 2bi  3a bi z  3  b2  z z2 z3  z2 z z   z       z3    a  3ab  3a 2b  b i 2 2 3a b  b  3a  b  a     z   b  b  b  Bài tốn 12 Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện: z   2i  z   4i z  2i z i số ảo Giải : Đặt z  x  yi  (x , y ) Theo ta có : x   y  2i  x   4  y i  x  1  y  2  x  3  y  4  y  x  Số phức w  z  2i z i  x  y  2 i x  1  y i  2 x  y  2y  1  x 2y  3 i x  y  1  x  y  2y  1    12    x     Vậy z   12  23 i w số ảo   x  y  1    23 7   y y x 5         ... z số thực  z  z ; z số ảo  z  z Ví dụ: Số phức liên hợp số phức z   2i số phức z   2i Số phức liên hợp số phức z   3i số phức z   3i Biểu diễn hình học số phức Trong mặt phẳng phức. .. sau kết luận sai? A.Môđun số phức z số thực dương B.Môđun số phức z số thực C Môđun số phức z số thực không âm D Môđun số phức z số phức C z  2016 1  i   Câu 25 Số phức z     i  A... HAI CỦA SỐ PHỨC I CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC LÝ THUYẾT Nội dung lý thuyết Cho số phức w Mỗi số phức z thỏa mãn z  w gọi thức bậc w Mỗi số phức w  0 có hai bậc hai hai số phức đối z  và – z 