Khảo sát đội tuyển 3.doc

Đề thi khảo sát đội tuyển Môn: Toán - Lớp 9. Năm học: 2006 - 2007. Thời gian: 120 phút (Không kể giao đề). Bài 1 ( 2,5 điểm ) : Câu a (1.5 điểm): Tìm các số tự nhiên có dạng N = abcd biết rằng abcd chia hết cho 11; a = b + c và bc là số chính ph- ơng. Câu b (1 điểm): Có thể tìm đợc năm số tự nhiên liên tiếp sao cho lập phơng của số này bằng tổng lập phơng của bốn số kia hay không? Hãy chứng tỏ điều khẳng định của em ? Bài 2 (2,5 điểm): Câu a (1.5 điểm): Cho P = ( ) 3 4 2 4 2 7 6 2 x - x 4x - 1 - 4 x + 1 x + 29x + 78 1,5 - x - . : x + 1 x + 6x - x - 6 3x + 12x - 36 ữ 1. Rút gọn P; 2. Tìm x biết rằng |P| =15. Câu b (1 điểm): Cho a; b; c > 0 sao cho: 1 1 1 + + 2 + a 2 + b 2 + c 1. Tìm giá trị lớn nhất của P = abc. Bài 3 (2,5 điểm): Câu a (1.5 điểm): Cho 3 số a; b; c thuộc đoạn [1; 2]. Chứng minh rằng (a + b + c).( 1 1 1 + + a b c ) 10. Dấu = xảy ra khi nào ? Câu b (1 điểm): Cho a; b; c là ba số dơng thoả mãn hệ thức: 1 + a + 1 1 1 + b + 1 c + 1 2 Chứng minh rằng: abc 8 1 . Bài 4 (2,5điểm): Câu a (1,5 điểm): Cho tam ABC cân tại A nội tiếp đờng tròn tâm O. Gọi D là trung điểm cạnh AC và G là trọng tâm tam giác ABD. Chứng minh các đờng thẳng OG và BD vuông góc. Câu b (1 điểm): Cho tứ giác lồi ABCD có diện tích S > 1. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một cạnh của tứ giác có độ dài lớn hơn 1, có thể khẳng định rằng ABCD có ít nhất hai cạnh lớn hơn 1 hay không ? Vì sao ? ----------------------------------------------------------------- Ghi chú: - Đề thi có 01 trang. - Giám thị không giải thích gì thêm ! đáp án Đề thi khảo sát đội tuyển Môn: Toán Lớp 9. Năm học: 2006 - 2007. Bài 1 ( 2,5 điểm ) : Câu a (1.5 điểm): Vì bc là số chính phơng nên chữ số tận cùng c chỉ có thể là: 0; 1; 4; 5; 6 hoặc 9. Mặt khác: abcd chia hết cho 11 nên ta có: a + c - b - d nhận giá trị 0; 11 Ta xét 3 trờng hợp sau: *Trờng hợp 1: Nếu a + c - b - d = 0. Ta có hệ: a + c = b + d a = b + c Ta có các chữ số: 9812; 1012; 4048. *Trờng hợp 2:Nếu a + c - b - d = 11. Ta có hệ: a + c - b - d = 11 a = b + c Ta có các số: 7161; 9361; 9097. *Trờng hợp 3: Nếu a + c - b - d = -11. Ta có hệ: a + c - b - d = -11 a = b + c Hệ này vô nghiệm ! Vậy bài toán có 6 số là: 9812; 1012; 4048; 7161; 9361; 9097. Câu b (1 điểm): Ta phải tìm 5 số tự nhiên liên tiếp: (x+1); (x+2); (x+3); (x+4); (x+5) với xN sao cho: (x+1) 3 + (x+2) 3 + (x+3) 3 + (x+4) 3 = (x+5) 3 . Giải ra ta có: 3x 3 + 15x 2 + 15x = 25. Ta thấy: vế trái chia hết cho 3, nhng vế phải là số 25 không chia hết cho 3 nên phơng trình vô nghiệm. Vậy không thể tìm đợc 5 số tự nhiên liên tiếp thoả mãn điều kiện đã cho. Bài 2 (2,5 điểm): Câu a (1.5 điểm): 1) Khai triển và rút gọn ta có kết quả: P = 3 x - 2 . 2 x + 3 . Chú ý rằng: Để P có nghĩa thì x phải thoả mãn: x - 26; -3; 2; -6. Ta có: x - 2 0 x + 3 > x > 2 hoặc x < - 3. x - 2 0 x + 3 < - 3 < x < 2. 2) Khi |P| = 15, ta tính đợc x 1 = -32 9 và x 2 = -28 11 . Câu b (1 điểm): Ta có a; b; c > 0 và 1 1 1 + + 2 + a 2 + b 2 + c 1 abc + ab + bc + ca 4. Theo Bất đẳng thức Cauchy ta có: abc + ab + bc + ca 4 4 abc.ab.bc.ca = 4 ( ) 3 4 abc 4 ( ) 3 4 abc 4 ( ) 3 4 abc 1 Suy ra: abc 1. Vậy MaxP = 1 abc = ab = bc = ca a = b = c = 1. Bài 3 (2,5 điểm): Câu a (1.5 điểm): Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử: 1 a b c 2. Khi đó: a b b c 1- 1- + 1- 1- b c a b ữ ữ ữ ữ 0 b a a c c b 1 - - + + 1 - + - c b c b a a 0 a b b c a c + + + 2 + + b a c b c a . Vậy: (a + b + c).( 1 1 1 + + a b c ) = 3 + a b b c a c + + + + + b a c b c a ữ 5 + 2 a c + c a ữ (1) Mặt khác: 1 a c 2 1 a 1 2 c Do đó: a 1 a 2 0 c 2 c ữ ữ 2 2 5a a 1 0 2c c + 2 2 a 5a 1 c 2c + a c 5 c a 2 + (2) Từ (1) và (2) ta có: (a + b + c).( 1 1 1 + + a b c ) 5 + 5 = 10. Dấu bằng xảy ra khi hai trong ba số bằng 2 còn số kia bằng 1. Câu b (1 điểm): Ta có: 1 1 1 1 1 2 1 1 1+a 1+b 1+c 1+b 1+c = + ữ ữ = b c 1+b 1+c ( ) ( ) bc 2 1+b 1+c . Tơng tự: 1 1+b ( ) ( ) ac 2 1+a 1+c và 1 1+c ( ) ( ) ab 2 1+a 1+b . Nhân theo từng vế ba bất đẳng thức cùng chiều với các vế là số dơng ta đợc: 1 1+a . 1 1+b . 1 1+c 8. ( ) ( ) ( ) abc 1+a 1+b 1+c abc 1 8 . Vậy: abc 1 8 . Bài 4 (2,5điểm): Câu a (1,5 điểm): ABC cân tại A nên trọng tâm H của ABC là giao điểm của BD và OH. G là trọng tâm của ABD nên đờng thẳng DG qua trung điểm E của AB và do đó ED // BC dẫn đến DG OH. Mặt khác: G, H lần lợt là trọng tâm của các tam giác ABD và ABC nên GH //AC. AC là dây cung, D là trung điểm của AC OD AC cho nên GH OD. Nh vậy: Trong OGD, H là trực tâm OG BD. Câu b (1 điểm): A C B E D O G H Đặt AB = a; BC = b; CD = c; DA = d; S 1 = S ABC ; S 2 = S CDA ; CC 1 AB. Ta có: S ABC = 1 2 AB.CC 1 1 2 ab ( ) 1 1 2 2 2S ab ab+cd 2 S +S 2S 2 2S cd = > (*) Giả sử tất cả các cạnh của tứ giác đều nhỏ hơn hoặc bằng 1, khi đó ab + cd 2 điều này mâu thuẫn với (*). Vậy phải có ít nhất một cạnh của tứ giác lớn hơn 1. Không thể khẳng định đợc có ít nhất hai cạnh lớn hơn 1. Chẳng hạn: Hình thang ABCD có AB // CD; AB = BC = AD = 1; CD = 2. Ta tính đợc: S ABCD = 3 2 4 > 1 mà trong hình thang này chỉ có một cạnh CD > 1. Ghi chú: Nếu học sinh có cách làm khác mà đúng thì giám khảo căn cứ vào bài làm của học sinh và thang điểm để cho điểm cho hợp lý ! B C A D C 1 a b c d . 936 1; 9097. Câu b (1 điểm): Ta phải tìm 5 số tự nhiên liên tiếp: (x+1); (x+2); (x +3) ; (x+4); (x+5) với xN sao cho: (x+1) 3 + (x+2) 3 + (x +3) 3 + (x+4) 3. (x+4) 3 = (x+5) 3 . Giải ra ta có: 3x 3 + 15x 2 + 15x = 25. Ta thấy: vế trái chia hết cho 3, nhng vế phải là số 25 không chia hết cho 3 nên phơng trình