Đề thi khảo sát, chọn độituyển Môn: Toán Lớp 8. Năm học: 2005 - 2006. Thời gian: 120 phút (Không kể giao đề). Bài 1 (3 điểm): Giả sử (a 2 + b 2 ) 3 = (a 3 + b 3 ) 2 và ab 0. Tìm giá trị của các biểu thức sau: a) A = 2 2 2 2 a b + b a ; b) B = 3 3 3 3 a b + b a . Bài 2 (2 điểm): Xét hai biểu thức x y z P = + + y+z x+z x+y ; 2 2 2 x y z Q = + + y+z z+x x+y . a) Chứng minh rằng: Nếu P = 1 thì Q = 0; b) Nếu Q = 0 thì có nhất thiết P = 1 hay không? Vì sao? Bài 3 (2 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D; E theo thứ tự di chuyển trên cạnh AB; AC sao cho BD = AE. Xác định vị trí D; E sao cho: a) DE có độ dài nhỏ nhất; b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất. Bài 4 (1 điểm): Tìm tỉ lệ ba cạnh của một tam giác, biết rằng cộng lần lợt độ dài hai đờng cao của tam giác đó thì tỉ lệ các kết quả là 5:7:8. Bài 5 (2 điểm): a) Cho các số a 1 ; a 2 ; a 3 ; ; a 2005 . Biết rằng: k 2 2 2k+1 a = (k +k) với k = 1; 2; 3; ; 2005. Hãy tính tổng: S = a 1 + a 2 + a 3 + + a 2005 ? b) Gọi A là tổng của 10 số thực dơngvà B là tổng của 10 số nghịch đảo của chúng. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của A.B ? Ghi chú: - Tờ đề bài có 01 trang. - Giám thị không giải thích gì thêm ! Hớng dẫn chấm bài thi khảo sát, chọn độituyển http://violet.vn/tranthuquynh81 Môn: toán lớp 8. Câu hỏi Điểm từng phần Bài 1: Từ (a 2 + b 2 ) 3 = (a 3 + b 3 ) 2 , khai triển và rút gọn 2 vế ta đợc: 3a 2 b 2 (a 2 + b 2 ) = 2a 3 b 3 3(a 2 + b 2 ) = 2ab (Vì ab 0) 2 2 a +b 2 = ab 3 (Chia cả 2 vế cho ab 0) a b 2 + = b a 3 . Từ đó: a) A = 2 2 2 2 a b + b a = ( a b + b a ) 2 - 2 = ( 2 3 ) 2 - 2 = = 14 9 = 1 5 9 . b) B = 3 3 3 3 a b + b a = ( a b + b a ) 3 - 3 a b . b a ( a b b a + ) = = 1 46 19 = 27 27 . 1,5 đ 0,75 đ 0,75đ Bài 2: a) Vì x y z P= + + y+z x+z x+y = 1 (x + y + z)( x y z + + y+z x+z x+y ) = x + y + z 2 2 2 x y z xy xz xy yz zx zy + + + + + + + + y+z x+z x+y x+z x+y y+z x+y y+z x+z = x + y + z 2 2 2 x y z xy zx xy zy xz yz + + + + + + + + y+z x+z x+y y+z y+z x+z x+z x+y x+y ữ ữ ữ = x + y + z 2 2 2 x y z + + y+z x+z x+y + x + y + z = x + y + z 2 2 2 x y z Q= + + y+z z+x x+y = 0. b) Nếu 2 2 2 x y z Q= + + y+z z+x x+y = 0, và tổng x + y + z 0, ta thực hiện phép biến đổi tơng đơng ngợc với quá trình trên thì suy ra P = 1. Còn nếu x + y + z = 0 thì P = - 3. 1 đ 1 đ Bài 3: a) Gọi M và N là trung điểm của AB và AC, sau đó kẻ DP và EQ MN. Chứng minh: MPD = NQE (ch-gn) MP = NQ PQ = MN. Chứng minh: DE PQ. Vậy DE nhỏ nhất D M và E N. b) Nhận xét: S BDEC = S ABC - S ADE , do đó S BDEC nhỏ nhất S ADE lớn nhất, mà 2.S ADE = AD.AE 2 AD+AE 2 ữ = 2 AB 2 ữ Nên S ADE lớn nhất AD = AE D M và E N. Vậy S BDEC nhỏ nhất D M và E N. 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Bài 4: http://violet.vn/tranthuquynh81 Q A C B E D N M P Giả sử a b b c c a h +h h +h h +h = = 5 7 8 = h; theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta tính đợc h a = 3h; h b = 2h và h c = 5h (1). Nếu gọi S là diện tích tam giác đó thì ta có: ah a = bh b = ch c = 2S thay (1) vào ta có dãy đẳng thức: a.3h = b.2h = c.5h 3a = 2b = 5c a b c = = 10 15 6 . Vậy: Ba cạnh tơng ứng của tam giác tỉ lệ với 10; 15 và 6. 0,5 đ 0,5 đ Bài 5: a) Biến đổi: 2 2 k 2 2 2 2 2 2 2k+1 (k+1) -k 1 1 a = = = - (k +k) k (k+1) k (k+1) Thay k lần lợt bằng 1; 2; 3; ; 2005 sau đó cộng vế với vế 2005 đẳng thức vừa lập đợc, rồi rút gọn vế phải. Ta đợc: 22 2006 2007.2005 2006 1 1 == S . b) Gọi 10 số dơng đã cho là: x 1 ; x 2 ; x 3 ; ; x 10 . Ta có : 1 2 10 1 2 10 91 2 1 3 1 10 10 2 1 3 1 10 1 10 9 1 1 1 A.B = (x +x + +x )( + + .+ ) x x x xx x x x x x x A.B =10+ + + + + + + + .+ + x x x x x x x x ữ ữ ữ ữ Có 90 :2 = 45 dấu ngoặc trong cách viết trên. Theo BĐT Cauchy ta có j j i i j i j i x x x x + 2 . =2 x x x x , i; j = 1; 2; ; 10. Do đó A.B 10 + 90 = 100 Min A.B = 100 khi x 1 = x 2 = x 3 = = x 10 . 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ http://violet.vn/tranthuquynh81 . 2007.2005 2006 1 1 == S . b) Gọi 10 số dơng đã cho là: x 1 ; x 2 ; x 3 ; ; x 10 . Ta có : 1 2 10 1 2 10 91 2 1 3 1 10 10 2 1 3 1 10 1 10 9 1 1 1 A.B = (x +x. b c = = 10 15 6 . Vậy: Ba cạnh tơng ứng của tam giác tỉ lệ với 10 ; 15 và 6. 0,5 đ 0,5 đ Bài 5: a) Biến đổi: 2 2 k 2 2 2 2 2 2 2k +1 (k +1) -k 1 1 a = = =