Toán lớp 12: 6 thi online điểm biểu diễn số phức có lời giải chi tiết

ĐỀ THI: TÌM TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC (CĨ LỜI GIẢI CHI TIẾT) MƠN TỐN: LỚP 12 Câu 1(NB) Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z , biết số phức z có điểm biểu diễn nằm trục tung A Trục tung B Trục hồnh C Đường phân giác góc phần tư (I) góc phần tư (III) D Đường phân giác góc phần tư (I), (III) đường phân giác góc phần tư (II), (IV) Câu 2(NB) Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn: | z  (3  4i) | A Đường tròn tâm I  3, 4  bán kính R  B Đường tròn tâm I  3,  bán kính R  C Đường tròn tâm I  3, 4  bán kính R  D Đường trịn tâm I  3,  bán kính R  Câu 3(TH) Tìm tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện | z (i  1)   i | A Đường thẳng x  y   B Đường tròn x2  ( y  1)2  C Cặp đường thẳng song song y  2 D Đường tròn ( x  1)2  y  Câu 4(TH) Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn: | z  i || (1  i) z | A Đường tròn tâm I  0, 1 bán kính R  B Đường trịn tâm I  0,1 bán kính R  2 C Đường tròn tâm I  0, 1 bán kính R  D Đường trịn tâm I  0,1 bán kính R  Câu 5(TH) Tìm tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện | z 1  2i || 3i   z | A Đường thẳng 2x  14y   B Đường thẳng 6x   C Đường thẳng 3x  4y   D Đường thẳng 3x  4y   Câu 6(NB) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng toạ độ thoả mãn điều kiện | z  i | là: A Đường thẳng qua hai điểm A 1,1 B  1,1 B Hai điểm A 1,1 B  1,1 C Đường trịn tâm I  0, 1 bán kính R  D Đường tròn tâm I  0,1 bán kính R  Câu 7(TH) Xác định tất điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z cho z  ( z )2 A  x,0∣ x  R  0, y ∣ y  R B {( x, y)∣ x  y  0} Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! C {(0, y)∣ y  R} D {( x,0)∣ x  R} Câu 8(NB) Xác định tập hợp tất điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z cho z số thực âm A {(0, y)∣ y  R} B {( x,0)∣ x  R} C {(0, y)∣ y  0} D {( x,0)∣ x  0} Câu 9(TH) Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện | z  i || z  z  2i | A đường thẳng có phương trình x  4y  13  B parabol có phương trình x  y C parabol có phương trình 4x  y D đường trịn có phương trình x2  ( y  2)2  Câu 10(TH) Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện | z  || i  z | đường thẳng d có phương trình A 2x  4y  13  B 4x  2y   C 2x  4y  13  D 4x  2y   Câu 11(VD) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho số phức z thỏa mãn | z  i || z  3i | Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z A Một đường thẳng B Một đường tròn C Một hyperbol D Một elip Câu 12(VD) Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C điểm biểu diễn số phức z1  1  3i , z2   5i , z3   i Tìm số phức với điểm biểu diễn D cho tứ giác ABCD hình bình hành A  3i B  i C  3i D  5i Câu 13(NB) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z 1  i  số thực là: A Đường trịn bán kính B Trục Ox C Đường thẳng y  x D Đường thẳng y  x Câu 14(VD) Cho số phức v  a  bi Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z  v  là: A Đường tròn ( x  a)2  ( y  b)2  B Đường thẳng y  b C Đường thẳng x  a D Đường thẳng x  y  a  b   Câu 15(VD) Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: số phức w  ( z  i)(2  i) số ảo là: A Đường tròn x  y  B Đường thẳng x  y   Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! D Đường parabol 2x  y C Đường thẳng x  y   Câu 16(VDC) Cho số phức z thỏa mãn z  Biết tập hợp biểu diễn số phức w    4i  z  i đường trịn Tìm bán kính R đường trịn A R  20 B R  C R  D R  25 Câu 17(VD) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện | z  |  | z  | 10 A Đường tròn ( x  2)2  ( y  2)2  100 B Elip x2 y  1 25 C Đường tròn ( x  2)2  ( y  2)2  10 D Elip x2 y  1 25 21 Câu 18(NB) Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z , biết số phức z có điểm biểu diễn nằm trục hồnh A Trục tung B Trục hồnh C Đường phân giác góc phần tư (I) góc phần tư (III) D Trục tung trục hoành Câu 19(VDC) Cho số phức z thỏa mãn z   Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w  1  i  z  i đường trịn Tính bán kính r đường trịn A r  B r  D r  2 C r  Câu 20(VD) Cho số phức z có | z | Tập hợp điểm M mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn số phức w  z  3i đường trịn Tính bán kính đường trịn A R  B R  D R  C R  ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM 1D 6D 11A 16A 2A 7A 12B 17D 3D 8C 13C 18D 4A 9B 14A 19D 5A 10B 15C 20A Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN TUYENSINH247.COM Câu Phương pháp: Phương pháp tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Bước 1: Gọi số phức z  x  yi có điểm biểu diễn M ( x; y) Bước 2: Thay z vào đề  Sinh phương trình: +) Đường thẳng: Ax  By  C  +) Đường tròn: x2  y  2ax  2by  c  +) Parabol: y  a.x  bx  c +) Elip: x2 y  1 a b Cách giải: Giả sử z  a  bi , ta có z  (a  bi)2  a  b2  2abi Số phức z có điểm biểu diễn nằm trục tung a2  b2   a  b Chọn đáp án D Sai lầm thường gặp: - Nhầm lẫn điều kiện để điểm biểu diễn nằm trục tung cho 2ab  dẫn đến kết sai - Chưa phân biệt góc phần tư hệ tọa độ Oxy Câu Phương pháp: Phương pháp tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Bước 1: Gọi số phức z  x  yi có điểm biểu diễn M ( x; y) Bước 2: Thay z vào đề  Sinh phương trình: +) Đường thẳng: Ax  By  C  +) Đường tròn: x2  y  2ax  2by  c  +) Parabol: y  a.x  bx  c +) Elip: x2 y  1 a b Cách giải: Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! Giả sử ta có số phức z  a  bi Thay vào | z  (3  4i) | có | a  bi  (3  4i) | | (a  3)  (b  4)i |  (a  3)  (b  4)   (a  3)  (b  4)  Chọn đáp án A Câu Phương pháp: Phương pháp tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Bước 1: Gọi số phức z  x  yi có điểm biểu diễn M ( x; y) Bước 2: Thay z vào đề  Sinh phương trình: +) Đường thẳng: Ax  By  C  +) Đường tròn: x2  y  2ax  2by  c  +) Parabol: y  a.x  bx  c x2 y +) Elip:  1 a b Cách giải: Giả sử ta có số phức z  x  yi Thay vào điều kiện | z(i  1)   i | có | ( x  yi)(i  1)   i | | ( x  y  1)  ( x  y  1)i |  ( x  y  1)  ( x  y  1)   ( x  y  1)2  ( x  y  1)2   ( x  1)2  y  2( x  1) y  ( x  1)2  y  2( x  1) y   2( x  1)2  y   ( x  1)2  y  Chọn đáp án D Câu Phương pháp: Phương pháp tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Bước 1: Gọi số phức z  x  yi có điểm biểu diễn M ( x; y) Bước 2: Thay z vào đề  Sinh phương trình: +) Đường thẳng: Ax  By  C  +) Đường tròn: x2  y  2ax  2by  c  +) Parabol: y  a.x  bx  c +) Elip: x2 y  1 a b Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! Cách giải: Giả sử ta có số phức z  a  bi Thay vào | z  i || (1  i) z | có | (a  bi)  i || (1  i)(a  bi) || a  (b 1)i || (a  b)  (a  b)i |  a  (b  1)2  (a  b)2  (a  b)2  a  (b  1)2  (a  b)2  (a  b)2  a2  b2  2b   2a2  2b2  a  b2  2b   a  (b  1)2  Chọn đáp án A Câu Phương pháp: Phương pháp tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Bước 1: Gọi số phức z  x  yi có điểm biểu diễn M ( x; y) Bước 2: Thay z vào đề  Sinh phương trình: +) Đường thẳng: Ax  By  C  +) Đường tròn: x2  y  2ax  2by  c  +) Parabol: y  a.x  bx  c +) Elip: x2 y  1 a b Cách giải: Giả sử ta có số phức z  x  yi Thay vào điều kiện | z 1  2i || 3i   z | có | ( x  yi) 1  2i || 3i   2( x  yi) | | ( x 1)  ( y  2)i || (1  x)  (3  y)i |  ( x  1)2  ( y  2)2  (1  x)2  (3  y)2  4( x  1)2  4( y  2)2  (1  x)2  (3  y)2  x2  8x   y  16 y  16  x2  x   y  12 y   x  28 y  10   x  14 y   Chọn đáp án A Câu Phương pháp: Phương pháp tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Bước 1: Gọi số phức z  x  yi có điểm biểu diễn M ( x; y) Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! Bước 2: Thay z vào đề  Sinh phương trình: +) Đường thẳng: Ax  By  C  +) Đường tròn: x2  y  2ax  2by  c  +) Parabol: y  a.x  bx  c +) Elip: x2 y  1 a b Cách giải: Giả sử ta có số phức z  a  bi Thay vào | z  i | có | a  bi  i | | a  (b  1)i |  a  (b  1)2  Chọn đáp án D Câu Phương pháp: Phương pháp tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Bước 1: Gọi số phức z  x  yi có điểm biểu diễn M ( x; y) Bước 2: Thay z vào đề  Sinh phương trình: +) Đường thẳng: Ax  By  C  +) Đường tròn: x2  y  2ax  2by  c  +) Parabol: y  a.x  bx  c x2 y +) Elip:  1 a b Cách giải: Giả sử ta có số phức z  a  bi Thay vào z  ( z )2 có (a  bi)2  (a  bi)2  a  b2  2abi  a  b2  2abi  2abi  2abi  2ab  2ab  ab  Suy a  b  Chọn đáp án A Câu Phương pháp: Phương pháp tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Bước 1: Gọi số phức z  x  yi có điểm biểu diễn M ( x; y) Bước 2: Thay z vào đề  Sinh phương trình: Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! +) Đường thẳng: Ax  By  C  +) Đường tròn: x2  y  2ax  2by  c  +) Parabol: y  a.x  bx  c x2 y  1 a b +) Elip: Cách giải: Giả sử ta có số phức z  x  yi Ta có z  ( x  yi)2  x2  y  xyi  x2  y  z số thực âm    xy  x   y  Chọn C Sai lầm thường gặp: HS thường mắc phải sai lầm điều kiện số thực âm: cho x  y2  xy  Câu Phương pháp: Phương pháp tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Bước 1: Gọi số phức z  x  yi có điểm biểu diễn M ( x; y) Bước 2: Thay z vào đề  Sinh phương trình: +) Đường thẳng: Ax  By  C  +) Đường tròn: x2  y  2ax  2by  c  +) Parabol: y  a.x  bx  c x2 y  1 a b +) Elip: Cách giải: Giả sử ta có số phức z  x  yi Thay vào điều kiện | z  i || z  z  2i | có | ( x  yi)  i || ( x  yi)  ( x  yi)  2i | | x  ( y 1)i || 2( y  1)i | x  ( y 1)  4( y  1)  x2  4( y 1)2  4( y  1)2  x2  y  y   y  y   x  16 y  x  y Chọn B Câu 10 Phương pháp: Phương pháp tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! Bước 1: Gọi số phức z  x  yi có điểm biểu diễn M ( x; y) Bước 2: Thay z vào đề  Sinh phương trình: +) Đường thẳng: Ax  By  C  +) Đường tròn: x2  y  2ax  2by  c  +) Parabol: y  a.x  bx  c +) Elip: x2 y  1 a b Cách giải: Giả sử ta có số phức z  x  yi Thay vào điều kiện | z  || i  z | có | x  yi  || i  ( x  yi) || ( x  2)  yi ||  x  (1  y)i |  ( x  2)2  y  ( x)2  (1  y)2  x   2 y   x  y   Chọn B Câu 11 Phương pháp: Phương pháp tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Bước 1: Gọi số phức z  x  yi có điểm biểu diễn M ( x; y) Bước 2: Thay z vào đề  Sinh phương trình: +) Đường thẳng: Ax  By  C  +) Đường tròn: x2  y  2ax  2by  c  +) Parabol: y  a.x  bx  c +) Elip: x2 y  1 a b Cách giải: Giả sử ta có số phức z  x  yi Thay vào điều kiện | z  i || z  3i | có | x  yi  i || x  yi  3i || x  ( y  1)i || x  ( y  3)i | x  ( y  1)  x  ( y  3)  2 y   y   y  1 Chọn A Câu 12 Phương pháp: Điều kiện để ABCD hình bình hành AB  DC Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! Cách giải: Ta có A  1,3 , B 1,5 C  4,1 Giả sử số phức với điểm biểu diễn D x  yi Suy D  x, y  , ta có AB  (2, 2) DC  (4  x,1  y) 4  x  ABCD hình bình hành AB  DC   1  y  x    y  1 Chọn B Sai lầm thường gặp: Xác định nhầm điều kiện AB  CD dẫn đến kết sai Câu 13 Phương pháp: Phương pháp tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Bước 1: Gọi số phức z  x  yi có điểm biểu diễn M ( x; y) Bước 2: Thay z vào đề  Sinh phương trình: +) Đường thẳng: Ax  By  C  +) Đường tròn: x2  y  2ax  2by  c  +) Parabol: y  a.x  bx  c +) Elip: x2 y  1 a b Cách giải: Giả sử ta có số phức z  x  yi Ta có z(1  i)  ( x  yi)(1  i)  ( x  y)  ( x  y)i z (1  i) số thực x  y  Chọn C Sai lầm thường gặp: Nhầm lẫn điều kiện để số phức số thực Câu 14 Phương pháp: Phương pháp tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Bước 1: Gọi số phức z  x  yi có điểm biểu diễn M ( x; y) Bước 2: Thay z vào đề  Sinh phương trình: +) Đường thẳng: Ax  By  C  10 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! +) Đường tròn: x2  y  2ax  2by  c  +) Parabol: y  a.x  bx  c +) Elip: x2 y  1 a b Cách giải: Giả sử ta có số phức z  x  yi Thay vào điều kiện | z  v | ta có | x  yi  (a  bi) | | ( x  a)  ( y  b)i |  ( x  a)2  ( y  b)  Chọn A Câu 15 Phương pháp: Phương pháp tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Bước 1: Gọi số phức z  x  yi có điểm biểu diễn M ( x; y) Bước 2: Thay z vào đề  Sinh phương trình: +) Đường thẳng: Ax  By  C  +) Đường tròn: x2  y  2ax  2by  c  +) Parabol: y  a.x  bx  c +) Elip: x2 y  1 a b Cách giải: Giả sử ta có số phức z  x  yi Ta có w  ( x  yi  i)(2  i)  (2 x   y)  ( x  y  2)i w ảo 2x   y  Chọn C Sai lầm thường gặp: Nhầm lẫn điều kiện để số phức số ảo Câu 16 Phương pháp: Phương pháp tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Bước 1: Gọi số phức z  x  yi có điểm biểu diễn M ( x; y) Bước 2: Thay z vào đề  Sinh phương trình: 11 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! +) Đường thẳng: Ax  By  C  +) Đường tròn: x2  y  2ax  2by  c  +) Parabol: y  a.x  bx  c +) Elip: x2 y  1 a b Cách giải: Giả sử w  a  bi Ta có w  (3  4i) z  i  a  bi  (3  4i) z  i  a  (b  1)i  (3  4i) z  a  (b  1)i  (3  4i) a  (b  1)i z  4i 25  z  [3a  4b   (4a  3b  3)i] 25 z Theo giả thiết cho z  nên ta có  2 3a  4b     4a  3b  3   42   25  (3a  4b  4)2  (4a  3b  3)2  1002  25a2  25b2  25  50b  1002  a2  b2  2b   202  a  (b  1)2  202 Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn số phức w đường trịn có bán kính 20 Chọn A Câu 17 Phương pháp: Phương pháp tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Bước 1: Gọi số phức z  x  yi có điểm biểu diễn M ( x; y) Bước 2: Thay z vào đề  Sinh phương trình: +) Đường thẳng: Ax  By  C  +) Đường tròn: x2  y  2ax  2by  c  +) Parabol: y  a.x  bx  c +) Elip: x2 y  1 a b 12 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! Cách giải: Giả sử ta có số phức z  x  yi Thay vào điều kiện z   z   10 có | ( x  yi)  |  | ( x  yi)  | 10 | ( x  2)  yi |  | ( x  2)  yi | 10  ( x  2)2  y  ( x  2)2  y  10  ( x  2)2  y  10  ( x  2)2  y  ( x  2)2  y  100  20 ( x  2)2  y  ( x  2)2  y  4 x  100  20 ( x  2)2  y  x  100  20 ( x  2)2  y  8x   25  ( x  2)2  y  x   25  x  ( x  2)2  y  (25  x)2  25[( x  2)2  y ]  x2  100 x  625  25x2  25 y  100 x  100  21x2  25 y  525  x2 y  1 25 21 Chọn D Câu 18 Phương pháp: Phương pháp tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Bước 1: Gọi số phức z  x  yi có điểm biểu diễn M ( x; y) Bước 2: Thay z vào đề  Sinh phương trình: +) Đường thẳng: Ax  By  C  +) Đường tròn: x2  y  2ax  2by  c  +) Parabol: y  a.x  bx  c +) Elip: x2 y  1 a b Cách giải: 13 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! Giả sử z  a  bi , ta có z  (a  bi)2  a  b2  2abi a  Số phức z có điểm biểu diễn nằm trục hồnh 2ab    b  Chọn đáp án D Sai lầm thường gặp: Nhầm lẫn điều kiện để điểm biểu diễn số phức nằm trục hoành cho a  b2  Câu 19 Phương pháp: Phương pháp tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Bước 1: Gọi số phức có điểm biểu diễn Bước 2: Thay Sinh phương trình: vào đề +) Đường thẳng: +) Đường tròn: +) Parabol: +) Elip: Cách giải: Giả sử 14 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! Theo giả thiết z   nên ta có (a  b  3)2  (a  b  1)    (a  b  3)  (a  b  1)  16  2a  2b  10  8a  4b  16 4  a  b  4a  2b    (a  2)  (b  1)  Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn số phức w đường trịn có bán kính 2 Chọn D Câu 20 Phương pháp: Phương pháp tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Bước 1: Gọi số phức z  x  yi có điểm biểu diễn M ( x; y) Bước 2: Thay z vào đề  Sinh phương trình: +) Đường thẳng: Ax  By  C  +) Đường tròn: x2  y  2ax  2by  c  +) Parabol: y  a.x  bx  c +) Elip: x2 y  1 a b Cách giải: Giả sử w  a  bi Ta có w  z  3i  a  bi  z  3i  z  a  (b  3)i Theo giả thiết | z | | z |  a  (b  3)2  42 Tập hợp điểm M mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn số phức w đường tròn có bán kính Chọn A 15 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! ... hợp điểm mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn số phức w đường trịn có bán kính 20 Chọn A Câu 17 Phương pháp: Phương pháp tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Bước 1: Gọi số phức z  x  yi có điểm biểu. .. phẳng tọa độ Oxy biểu diễn số phức w đường trịn có bán kính 2 Chọn D Câu 20 Phương pháp: Phương pháp tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Bước 1: Gọi số phức z  x  yi có điểm biểu diễn M ( x; y)... nhất! HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN TUYENSINH247.COM Câu Phương pháp: Phương pháp tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Bước 1: Gọi số phức z  x  yi có điểm biểu diễn M ( x; y)