đây là tài liệu mình đã mua đề sử dụng cho việc ôn thi vào lớp 12 , tài liệu trình bày khá rõ ràng , đầy đủ kiến thức, còn cung cấp thêm nhiều dạng nâng cao và các dạng hay gặp trong đề thi đại học
TỰ HỌC ĐIỂM MƠN TỐN Fanpage: Tài liệu KYS Group: Kyser ôn thi THPT CHƯƠNG II: LŨY THỪA – MŨ VÀ LOGARIT BÀ I 1: LŨY THỪA I – LÝ THUYẾT KIẾN THỨC CƠ BẢN a Định nghĩa lũy thừa - Cho số thực b số nguyên dương n ( n ≥ 2) Số a gọi bậc n số b a n = b - Chú ý: ° Với n lẻ b ∈ : Có bậc n b , kí hiệu n b b < : Không tồn bậc n b Với n chẵn: ° b = : Có bậc n b số b > : Có hai bậc n a hai số đối nhau, có giá trị dương ký hiệu n b , có giá trị âm kí hiệu − n b Số mũ α Cơ số a Lũy thừa a α α = n ∈ * a∈ aα = a n= a ⋅ a a ( n thừa số a ) α =0 a≠0 α a= a= −n, (n ∈ * ) α= a≠0 α −n a= a= α= m , ( m ∈ , n ∈ * ) n a>0 α m n a= a= an n am , ( n a = b ⇔ a = bn ) = α lim rn ,( rn ∈ , n ∈ * ) a>0 aα = lim a rn b Một số tính chất lũy thừa - Giả thuyết biểu thức xét có nghĩa: aα ⋅ a β = aα + β ; α −α α aα aα a b a α −β α β α β α α α = a ; ( a ) = a ; = ⋅ ( ab ) a b ; ⋅ = α ; b= β a b a b - Nếu a > aα > a β ⇔ α > β ; Nếu < a < aα > a β ⇔ α < β - Với < a < b , ta có: a m < b m ⇔ m > ; a m > b m ⇔ m < - Chú ý: ° Các tính chất trường hợp số mũ nguyên không nguyên ° Khi xét lũy thừa với số mũ số mũ nguyên âm số a phải khác ° Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên số a phải dương c Một số tính chất bậc n - Với a, b ∈ ; n ∈ * , ta có: ° 2n a n =,∀ a a;° n +1 a n +1 = a,∀a Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng ° 2n ° 2n ab= a n b , ∀ab ≥ ; ° ⋅ 2n = ab n +1 a 2n a +1 , ∀ab ≥ 0, b ≠ ; ° n= 2n b b a = b a ⋅ n +1 b ,∀a, b n +1 n +1 n +1 a ,∀a, ∀b ≠ b -Với a, b ∈ , ta có: am = ° n ° n m ° (n a) a= Nếu nm m , ∀a > , n nguyên dương, m nguyên a , ∀a ≥ , n , m nguyên dương p q = n m n p a= m a q , ∀a > 0, m, n nguyên dương, p, q nguyên Đặc biệt: n a = m⋅n a m ( Yêu cầu: Vận dụng thành thạo định nghĩa, tính chất lũy thừa.) II – DẠNG TOÁN Da ̣ng 1: Biến đổi biểu thức liên quan Phương pháp giải - Tư ̣ luâ ̣n thuầ n túy - Trắ c nghiêm ̣ (Cách nhâ ̣n xét bài toán, meọ mư ̣c để lo ̣a trừ) - Casio, Công thức giải nhanh … Vı́ du ̣ điể n hın ̀ h Ví dụ 1: Kết luận số thực a (2a + 1) −3 > (2a + 1) −1 − 0, y > Biểu thức rút gọn K là? C x + B 2x A x 9= a 2b 9a b D x − Lời giải Chọn A Giải theo tự luận Rút gọn x − y = x − y ( ) −1 −2 −1 y y− x y y x + = − 1 = Rút gọn 1 − = x x x x y − x x Vậy K = x− y x = y − x ( ) Giải theo casio 12 Ta hiểu đáp án A K = x hay hiệu x − y −1 y y + − x với 1 − x x giá trị x; y thỏa mãn điều kiện x > 0, y > - Nhập hiệu vào máy tính Casio (Q)^a1R2$$pQn^a1R2$$)d(1p2saQnRQ)$$+aQnRQ)$)^p1pQ) Chọn giá trị X = 1.25 Y = thỏa x > 0, y > dùng lệnh gán giá trị CALC r1.25=3= - Ta tính giá trị x dễ dàng tính giá trị y = 12log9 x 12^i9$Qz= Vậy ta khẳng định 90% đáp án A - Để cho yên tâm ta thử chọn giá trị khác, ví dụ = X 0.55, = Y 1.12 r0.55=1.12= Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng Kết 0, ta chắn A đáp số xác Chú ý: Nếu khẳng định ( hệ thức ) với giá trị x, y thỏa mãn điều kiện đề Vậy ta cần chọn giá trị X , Y > để thử ưu tiên giá trị lẻ, tránh số tránh (có khả xảy trường hợp đặc biệt) Da ̣ng 3: Dạng khác Ví dụ 5: Một người gửi số tiền M triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 0,7% / tháng Biết người khơng rút tiền khỏi ngân hàng sau tháng, số tiền lãi nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi lãi kép) Sau ba năm, người muốn lãnh số tiền triệu đồng, khoảng thời gian không rút tiền lãi suất khơng đổi, người cần gửi số tiền M là: A triệu 600 ngàn đồng B triệu 800 ngàn đồng C triệu 700 ngàn đồng D triệu 900 ngàn đồng Lời giải Chọn A Giải theo tự luận Áp dụng công thức với Tn = , r = 0,007, n = 36 , số tiền người cần gửi vào ngân hàng năm (36 tháng)= là: M Tn = ≈ 3,889636925 triệu đồng n (1 + r ) (1,007 )36 VÍ DỤ TỔNG HỢP Ví dụ Cho f ( x ) = x x2 f (1,3) bằng: x A 0,13 B 1,3 C 0, 013 D 13 Hướng dẫn giải Chọn đáp án B Phương pháp tự luận x x x x 1,3 = = x ⇒ f (1,3) = x x6 x 1,3 > nên ta có: = Vì = f ( x) Ví dụ Cho f ( x ) = x x 12 x Khi f (2, 7) A 0, 027 B 0, 27 C 2, D 27 Hướng dẫn giải Chọn đáp án C Phương pháp tự luận Vì= x 2, > nên ta có: = f ( x) 12 2, x= x x x= x x 12 x ⇒ f ( 2, ) = Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ôn thi THPT Ví dụ Đơn giản biểu thức 81a 4b , ta được: A −9a b B 9a b D 3a b C 9a 2b Hướng dẫn giải Chọn đáp án B Phương pháp tự luận Ví dụ Đơn giản biểu thức b) ( 9a= b 81a= 2 a 2b 9a b 9= x8 ( x + 1) , ta được: B − x ( x + 1) A x ( x + 1) C x ( x − 1) D x ( x + 1) Hướng dẫn giải Chọn đáp án D Phương pháp tự luận Ví dụ Đơn giản biểu thức x8 ( x + 1) = 4 x ( x + 1) = x ( x + 1) = x x + x ( x + 1) , ta được: C x ( x + 1) B x ( x + 1) A − x ( x + 1) 3 D x ( x + 1) Hướng dẫn giải Chọn đáp án B Phương pháp tự luận x3 ( x + 1) = ( x ( x + 1) ) 3 = x ( x + 1) Ví dụ Khẳng định sau −1 A a = 1∀a C < B a > ⇔ a > 1 1 D < 4 4 Hướng dẫn giải Chọn đáp án C Đáp án A B sai áp dụng trực tiếp lí thuyết Dùng máy tính để kiểm tra kết đáp án A D (2 Ví dụ Nếu ) −1 a+ < −1 A a < −1 B a < C a > −1 D a ≥ −1 Hướng dẫn giải Chọn đáp án A ( ) Do − > nên − a+2 < − ⇔ a + < ⇔ a < −1 Ví dụ Trong khẳng định sau đây, khẳng định sai? A ( 0, 01) − > (10 ) − B ( 0, 01) C ( 0, 01) − = (10 ) − D a = 1, ∀a ≠ − < (10 ) − Hướng dẫn giải Chọn đáp án B Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng Dùng máy tính kiểm tra kết Ví dụ Trong khẳng định sau đây, khẳng định đúng? ) ) ( ( C ( − ) < ( − ) A − ( D ( < 2− B ) ( ) 2) < ( − 2) 11 − > 3− 11 − Hướng dẫn giải Chọn đáp án C Dùng máy tính kiểm tra kết ( Ví dụ 10 Nếu A m > 3− ) m− < 3+ B m < C m > D m ≠ Hướng dẫn giải Chọn đáp án C += Ta có ⇒ 3− ( 3− ) 2m−2 < ( 3− ) −1 ⇔ 2m − > −1 ⇔ m > Ví dụ 11 Cho n nguyên dương ( n ≥ ) khẳng định sau khẳng định đúng? A a n = n a ∀a > C a n = n a ∀a ≥ B a n = n a ∀a ≠ D a n = n a ∀a ∈ Hướng dẫn giải Chọn đáp án A Áp dụng định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ ta có đáp án A đáp án xác Ví dụ 12 Khẳng định sau khẳng định sai? ab = a b ∀a, b B A C 2n 2n a n ≥ ∀a , n nguyên dương ( n ≥ 1) a n = a ∀a , n nguyên dương ( n ≥ 1) D a = a ∀a ≥ Hướng dẫn giải Chọn đáp án A Áp dụng tính chất bậc n ta có đáp án A đáp án xác Ví dụ 13 Cho a > 0, b < , khẳng định sau khẳng định sai? A C a 4b = ab B a 2b = ab D a 3b3 = ab a 4b = − a 2b Hướng dẫn giải Chọn đáp án A Áp dụng tính chất bâc n ta có đáp án A đáp án xác Ví dụ 14 Tìm điều kiện a để khẳng định A ∀a ∈ B a ≤ Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ơn thi THPT (3 − a ) =− a khẳng định đúng? C a > D a ≥ Hướng dẫn giải Chọn đáp án D a − neu a ≥ (3 − a ) = a − ⇔ −a + neu a < Ta có Ví dụ 15 Cho n ∈ N ; n ≥ khẳng định sau đúng? 1 A a n = n a , ∀a ≠ n B a n = n a , ∀a > n C a = a , ∀a ≥ D a = n a , ∀a ∈ n Lời giải: Chọn đáp án B Đáp án B Đáp án A, C, D sai điều kiện a Ví dụ 16 Khẳng định sau khẳng định sai? ab = a b ∀a, b B A C 2n 2n a n ≥ ∀a , n nguyên dương ( n ≥ ) a n = a ∀a , n nguyên dương ( n ≥ ) D a = a ∀a ≥ Hướng dẫn giải Chọn đáp án A a ≥ Vì đẳng thức xáy b ≥ Ví dụ 17 Cho a > 0, b < , khẳng định sau khẳng định sai? A a 4b = ab B a 3b3 = ab C a 2b = ab D a 2b = ab Hướng dẫn giải Chọn đáp án A Do a > 0, b < nên Ví dụ 18 Nếu a > a b a 4b = (ab) = ab = −ab Đáp án A đáp án xác > b B a > 1; b < A a > 1;0 < b < C < a < 1; b < D a < 1;0 < b < Hướng dẫn giải Chọn đáp án A Do Vì 1 1 > nên a > a ⇒ a > < nên b >b ⇒ < b < đáp án A đáp án xác ( Ví dụ 19 Cho a , b số dương Rút gọn biểu thức P = A ab B a 2b Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng a b 12 ) a b C ab kết : D a 2b Hướng dẫn giải Chọn đáp án C ( = P ) a b = 12 a b a b a b = = ab Vậy đáp án C xác 12 a b a b α Ví dụ 20 Cho < 27 Mệnh đề sau đúng? α < −3 A α > B α > D −3 < α < C α < Hướng dẫn giải Chọn đáp án D α α Ta có < 27 ⇔ < 33 ⇔ α < ⇔ −3 < α < Vậy đáp án D đáp án xác Ví dụ 21 Giá trị biểu thức A = ( a + 1) + ( b + 1) −1 A −1 với B (2 + 3) a= −1 b= (2 − 3) C −1 D Hướng dẫn giải Chọn đáp án C ) + (2 − ( A = ( a + 1) + ( b + 1) = + + −1 −1 ) −1 −1 1 + =1 3+ 3− +1 3= Vậy đáp án C đáp án xác Ví dụ 22 Cho số thực dương a b Biểu thức thu gọn biểu thức a+b (3 3 ) − − P = ab : a b a+3b A −1 B D −2 C Hướng dẫn giải Chọn đáp án B ( a )3 + ( b )3 2 a+b (3 3 3 ) ( ) P = − ab : a − b = − ab : a − b a+3b a+3b ( a + b )( a − a b + b2 ) 3 − ab : ( a − b ) 3 a+ b = ( a − ab + b − ab ) : ( a − b ) =( a − b ) : ( a − b ) =1 2 2 Ví dụ 23 Cho số thực dương a b Biểu thức thu gọn biểu thức ( ) 1 a b P = a3 + b3 : + + b a A ( 3 ab a + b) 3 B ab C ab a+3b D ab ( a + b ) Hướng dẫn giải Chọn đáp án C Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ôn thi THPT ( ) 1 a b P = a3 + b3 : + + = b a ( = a+ (3 a + b) b ): 3 = a b ( a + b )⋅ Ví dụ 24 Cho số thực dương x Biểu thức a b mũ hữu tỉ có dạng x , với A a + b = 509 ( a + b ) : + a + b = ( a + b ) : 3 a b a3b (3 a + b) = a b + a + b2 a3b 3 a3b ⋅ a+3b x x x x x x x x viết dạng lũy thừa với số a phân số tối giản Khi đó, biểu thức liên hệ a b là: b B a + 2b = 767 C 2a + b = 709 D 3a − b = 510 Hướng dẫn giải Chọn đáp án B x x= x x x x x x Cách 1: x(x ) = x x x x x Nhận xét: x x x x x⋅x 31 31 63 x x x x ⋅ x16 = x x x x16 = x x xx 32 = x x x 32 127 127 255 255 255 a 255, = b 256 x ⋅ x 128 = x 128 = x 256 Do = x x ⋅ x 64 = x x 64 = x x 128= = = x x x x x x x x x x x4 = x x= 15 15 = x x = x x x8 63 x x x x x x x⋅x 28 −1 255 x x x x x x x= x x= x 256 Ví dụ 25 Cho số thực dương phân biệt a b Biểu thức thu gọn biểu thức = P a− b 4a + 16ab = P m a + n b Khi biểu thức liên hệ m n − có dạng 4 4 a− b a+ b là: A 2m − n =−3 B m + n =−2 C m − n = D m + 3n = −1 Hướng dẫn giải Chọn đáp án A a− b 4a + 16ab ( a ) − ( b ) a a + a b P= − =4 − 4 a−4b a+4b a−4b a+4b ( a − b )( a + b ) a−4b − 24 a ( a + b) = a + b − a = b − a Do m = −1; n = 4 a+ b Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng TỰ HỌC ĐIỂM MƠN TỐN Fanpage: Tài liệu KYS Group: Kyser ôn thi THPT BÀ I 2: HÀM SỐ LŨY THỪA I – LÝ THUYẾT Định nghĩa: Hàm số y = xα , với α ∈ , gọi hàm số lũy thừa Tập xác định: Tập xác định hàm số y = xα là: D = α số nguyên dương D = \ {0} với α nguyên âm D = (0; +∞) với α không nguyên Đạo hàm: Hàm= số y xα , (α ∈ ) có đạo hàm với x > ( xα )′ = α xα −1 Tính chất hàm số lũy thừa khoảng (0; +∞) (khảo sát hàm lũy thừa) = y xα , α > = y xα , α < A Tập khảo sát: (0; +∞) A Tập khảo sát: (0; +∞) B Sự biến thiên: B Sự biến thiên: y′ α xα −1 > 0, ∀x > = y′ α xα −1 < 0, ∀x > = Giới hạn đặc biệt: Giới hạn đặc biệt: α α lim+ x = 0, lim x = +∞ x →0 x →+∞ Tiệm cận: Khơng có lim+ xα = +∞, lim xα = x →0 x →+∞ Tiệm cận: Trục Ox tiệm cận ngang Trục Oy tiệm cận đứng C Bảng biến thiên: C Bảng biến thiên: D Đồ thị: Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ơn thi THPT 10 Chọn A [Phương pháp tự luận] 3 x − > ⇔ x>3 log ( x − 1) > ⇔ 3 x − > Ví dụ 9: Tìm tập nghiệm bất phương trình log 0,2 ( x − 3) + ≥ A ( 3, 28] B [ 28, +∞ ) C ( 3, +∞ ) D ( −∞; 28 ) Hướng dẫn giải Chọn B [Phương pháp tự luận] x > ⇔ x ≥ 28 log 0,2 ( x − 3) + ≥ ⇔ −2 x − ≥ 0.2 Ví dụ 10: Tâ ̣p nghiê ̣m của bấ t phương trı̀nh < log x < là: A ( 8;16 ) B ( 0;16 ) C ( 8; +∞ ) D Hướng dẫn giải Chọn A [Phương pháp tự luận] < log x < ⇔ < x < 16 DẠNG BIẾN ĐỔI BẤT PHƯƠNG TRÌNH VỀ DẠNG CÙNG CƠ SỐ log a f ( x ) > log a g ( x ) , log a f ( x ) < log a g ( x ) log a f ( x ) ≥ log a g ( x ) , log a f ( x ) ≤ log a g ( x ) a) Phương pháp giải tư ̣ luâ ̣n Vı́ du ̣ 1: Tìm tập nghiệm bất phương trình log 0,5 ( x + 11) < log 0,5 ( x + x + ) A S = ( −∞; −3) ∪ (1; +∞ ) B S = C S = ( −2;1) D S = ( −3;1) ( −∞; −2 ) ∪ (1; +∞ ) Lời giải Cho ̣n C Giải theo tự luâ ̣n 4 x + 11 > log 0,5 ( x + 11) < log 0,5 ( x + x + ) ⇔ x + x + > ⇔ −3 < x < 4 x + 11 > x + x + Vı́ du ̣ 2: Tìm tập nghiệm bất phương trình log ( x + 1) > log ( − x ) 1− 1+ A S = ; −1; ∪ Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ơn thi THPT B S = ( −1; ) 102 1− 1+ D S = −∞; ; +∞ ∪ 1− 1+ C S = ; Lời giải Cho ̣n A Giải theo tự luâ ̣n −1 < x < log ( x + 1) > log ( − x ) ⇔ log ( − x ) + log ( x + 1) < ⇔ ( − x )( x + 1) < ⇔ −1 < x < 1− 1+ hay ≥1 2 x − 6x + log ( − x ) ≥ x − 6x + x < 1 ⇔ 1 ⇔ ≤ x Vı́ du ̣ 4: Tìm tập nghiệm bất phương trình log ( x + 1) ≤ log ( x − 1) A S = ( −∞;1] B S= (1; +∞ ) C ( −1;1) 1 D ;1 2 Hướng dẫn giải Chọn D [Phương pháp tự luận] 1 x > x > log ( x + 1) ≤ log ( x − 1) ⇔ ⇔ 2 x + ≥ 2x −1 x ≤ 2 g ( x ) log ( − x ) Tìm tập nghiệm bất phương trình Vı́ du ̣ 5: Cho hàm số f ( x ) = log x = f ( x + 1) < g ( x + ) 1 A S = −∞; 2 1 B S = −1; 2 C S = ( 0; ) D S = ( −∞; ) Hướng dẫn giải Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng 103 Chọn B [Phương pháp tự luận] x +1 > f ( x + 1) < g ( x + ) ⇔ log ( x + 1) < log ( − x ) ⇔ 2 − x > ⇔ −1 < x < x +1 < − x Vı́ du ̣ 6: Tâ ̣p nghiê ̣m của bấ t phương trıǹ h log 0,8 ( x + x ) < log 0,8 ( −2 x + ) là: A (1; ) B ( −∞; −4 ) ∪ (1; ) C ( −∞; −4 ) ∪ (1; +∞ ) D ( −4;1) Hướng dẫn giải Chọn B [Phương pháp tự luận] x2 + x > x < −1 hay x > x < −4 ⇔ x < ⇔ log 0,8 ( x + x ) < log 0,8 ( −2 x + ) ⇔ −2 x + > x + x > −2 x + x < −4 hay x > 1 < x < THÔNG HIỂU Vı́ du ̣ 7: Tìm nghiệm nguyên nhỏ bất phương trình log (1 − x ) ≤ log (1 − x ) A x = B x = C x = 1− D x = 1+ Hướng dẫn giải Chọn A [Phương pháp tự luận] 1 − x > −1 < x < ⇔ 1− log (1 − x ) ≤ log (1 − x ) ⇔ 1 − x > 1+ x , x ≤ ≤ ≤ 2 log (1 − x ) (1 − x ) ≤ −1 < x ≤ 1− hay ≤ x ≤ Vı́ du ̣ 8: Điều kiện xác định bất phương trình log 0,5 (5x + 15) ≤ log 0,5 ( x + 6x + ) là: x < −4 B x > −2 A x > −2 −2 < x ≤ ( C x > −3 D ) 29 − Hướng dẫn giải Chọn A [Phương pháp tự luận] 5 x + 15 > x > −3 ⇔ ⇔ x > −2 x < −4 hay x > −2 x + 6x + > Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ơn thi THPT 104 Vı́ du ̣ 9: Tập nghiệm bất phương trình log ( x − x + ) + log ( x − 1) ≥ là: A S = [1;6] B S = ( 5;6] S C = ( 5; +∞ ) D S= (1; +∞ ) Hướng dẫn giải Chọn A [Phương pháp tự luận] x2 − 6x + > ⇔ 5< x ≤6 log ( x − x + ) + log ( x − 1) ≥ ⇔ x − > x −1 log ≥0 x − 6x + Vı́ du ̣ 10: Điều kiện xác định bất phương trình log (4 x + 2) − log ( x − 1) > log x là: A x > − B x > C x > D x > −1 Hướng dẫn giải Chọn C [Phương pháp tự luận] x > x > BPT xác định khi: 4 x + > ⇔ x > − ⇔ x > x −1 > x > VẬN DỤNG THẤP Vı́ du ̣ 11: Nghiệm nguyên nhỏ bất phương trình log 0,2 x − log ( x − ) < log 0,2 là: A x = B x = C x = D x = Hướng dẫn giải Chọn D [Phương pháp tự luận] Điều kiện: x > x < −1 log 0,2 x − log ( x − ) < log 0,2 ⇔ log 0,2 x ( x − ) < log 0,2 ⇔ x − x − > ⇔ x > So điều kiện suy x > [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập vào hình máy tính log 0,2 X − log ( X − ) − log 0,2 Nhấn CALC cho X = (nhỏ nhất) máy tính hiển thị Vậy loại đáp án B Nhấn CALC cho X = máy tính hiển thị -0.6094234797.Vậy chọn D đáp án C) máy tính hiển thị – 0,6309297536 Vậy loại C, chọn D Vı́ du ̣ 12: Nghiệm nguyên lớn bất phương trình log ( 4.3x −1 ) > x − là: Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng 105 B x = A x = C x = D x = −1 Hướng dẫn giải Chọn C [Phương pháp tự luận] log ( 4.3x −1 ) > x − ⇔ 4.3x −1 > 32 x −1 ⇔ 32 x − 4.3x < ⇔ < 3x < ⇔ x < log [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập vào hình máy tính log ( 4.3 X −1 ) − X + Nhấn CALC cho X = (lớn nhất) máy tính hiển thị –1.738140493 Vậy loại đáp án A Nhấn CALC cho X = máy tính hiển thị – 0.7381404929 Vậy loại B Nhấn CALC cho X = máy tính hiển thị 0.2618595071 Vậy chọn C Vı́ du ̣ 13: Nếu đặt t = log x −1 x −1 x +1 bất phương trình log log trở thành bất phương < log log x +1 x +1 x −1 trình nào? t −1 A < t B t − < t −1 C >0 t t2 +1 D 3 + log 52 x ⇔ ( log x 53 + log x x ) log 52 x > + log 52 x 2 3 1 ⇔ ( 3log x + 1) log x > + log 52 x ⇔ + log x > + log 52 x ⇔ log 52 x − log x < 2 2 ⇔ < log x < 1 ⇔ 50 < x < ⇔ < x < (thỏa mãn điều kiện) Vậy số nghiệm nguyên bất phương trình Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ơn thi THPT 106 Vı́ du ̣ 15: Gọi S tổng tất giá trị nguyên tham số m ( m < 3) để bất phương trình log ( mx − x ) ≤ log vô nghiệm Tính S 5 A S = −3 B S = −7 C S = D S = −4 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Chọn A log ( mx − x ) ≤ log ⇔ mx − x ≥ ⇔ x − mx + ≤ 5 x − mx + ≤ vô nghiệm ⇔ x − mx + > ∀x ∈ R ⇔ ∆ < ⇔ −4 < m < Vı́ du ̣ 16: Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình log (5 x − 1).log (2.5 x − 2) > m − có nghiệm x ≥ ? A m ≥ B m > C m ≤ D m < Hướng dẫn giải Chọn D [Phương pháp tự luận] BPT ⇔ log (5 x − 1).log (2.5 x − 2) > m − ⇔ log (5 x − 1) 1 + log (5 x − 1) > m − Đặt t log ( x − 1) x ≥ ⇒ t ∈ [ 2; +∞ ) = BPT ⇔ t (1 + t ) > m − ⇔ t + t > m − ⇔ f (t ) ≥ m − Với f (t = ) t2 + t f , (t ) = 2t + > với t ∈ [ 2; +∞ ) nên hàm đồng biến t ∈ [ 2; +∞ ) Nên Minf= (t ) f= (2) Do để để bất phương trình log (5 x − 1).log (2.5 x − 2) > m − có nghiệm x ≥ thì: m − ≤ Minf (t ) ⇔ m ≤ Vı́ du ̣ 17: Tìm tất giá trị thực tham số m cho khoảng ( 2;3) thuộc tập nghiệm bất phương trình log ( x + 1) > log ( x + x + m ) − (1) A m ∈ [ −12;13] B m ∈ [12;13] C m ∈ [ −13;12] D m ∈ [ −13; −12] Hướng dẫn giải Chọn A [Phương pháp tự luận] x2 + 4x + m m > − x − x = f ( x) x +1 > (1) ⇔ ⇔ g ( x) m < x − x + = x2 + 4x + m > −12 x = m ≥ Max f ( x) = 2< x 0 < x ≤ log 22 x − 5log x + ≥ ⇔ log x ≤ ⇔ ≥ 16 x log x ≥ Vı́ du ̣ 5: Tìm tập nghiệm S bất phương trình log 21 x + 3log x + ≤ 3 A S =[ −2; −1] B S = ∅ C S = [3;9] S D = [9; +∞ ) Hướng dẫn giải Chọn C [Phương pháp tự luận] x > log 21 x + 3log x + ≤ ⇔ −2 ≤ log ≤ −1 ⇔ ≤ x ≤ 3 THÔNG HIỂU Vı́ du ̣ 6: Cho hàm số f= ( x ) 3ln x − g ( x ) = ln x Gọi S tập tất giá trị nguyên x thỏa điều kiện x < 10 f ( x ) < g ( x ) Tính số phần tử S ứng với A 10 B C S = D S = Hướng dẫn giải Chọn B [Phương pháp tự luận] Điều kiện x > x < e ln x < f ( x ) < g ( x ) ⇒ 3ln x − < ln x ⇔ ln x − 3ln x + > ⇔ ⇔ x e > ln x > Vậy < x < e hay x > e Vı́ du ̣ 7: Cho hàm số f ( x ) = log x g ( x ) = − Tìm tất giá trị thực x để log x − f ( x) > g ( x) x > A 2 < x < 0 < x < B 4 < x < C < x < D < x < Hướng dẫn giải Chọn A [Phương pháp tự luận] f ( x ) > g ( x ) ⇔ log x > − 1 < log x < log 22 x − 3log x + 2 ⇔ >0⇔ log x > log x − log x − Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng 109 2 < x < ⇔ x > Vı́ du ̣ 8: Tìm nghiệm bất phương trình log x + log x ≥ 1 = A S 0; ∪ (1; +∞ ) 2 B S = (1; ) ∪ ( 3; +∞ ) (1; +∞ ) S D = ( 3; +∞ ) C S= Hướng dẫn giải Chọn B [Phương pháp tự luận] log 32 x − 3log x + 1 >0 0 < log x < hay log x > ⇔ log x + log x > ⇔ log x 1 ≠ x > 1 ≠ x > 1 < x < hay x > ⇔ 1 ≠ x > VẬN DỤNG THẤP Vı́ du ̣ 9: Tìm nghiệm bất phương trình log x ≥ log x S A = [5; +∞ ) 1 C S = ;5 \ {1} 5 1 = B S 0; ∪ [1; +∞ ) 5 1 = S ;1 ∪ [5; +∞ ) D 5 Hướng dẫn giải Chọn D [Phương pháp tự luận] 1 log x − ≥ ⇔ −1 ≤ log x < ⇔ ≤ x < ≤ x < log x > log x ≥ log x ⇔ log x ⇔ 5 x≥5 x ≥ 1 ≠ x > Vı́ du ̣ 10: Biết bất phương trình f ( x ) + x > có tập nghiệm S1 = [ −1; ) Tìm tập nghiệm S bất phương trình f ( log x ) + log x > A S = [ −1; ) C S = [10;100 ) B S = ( 0; ) 1 D S = ;100 10 Hướng dẫn giải Chọn D [Phương pháp tự luận] Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ơn thi THPT 110 YCBT ⇔ −1 < log x < ⇔ < x < 100 10 Vı́ du ̣ 11: Biết bất phương trình g ( log x ) − > có tập nghiệm S= ( 9; +∞ ) Tìm tập nghiệm S bất phương trình g ( log x ) − > A S= ( 4; +∞ ) B S= ( 9; +∞ ) C S= ( 2; +∞ ) S D = ( 3; +∞ ) Hướng dẫn giải Chọn A [Phương pháp tự luận] Ta có x > ⇔ log x > ⇒ log x > ⇒ x > Vı́ du ̣ 12: Tìm tập nghiệm S bất phương trình ( x − log 2 x − 5log ( A S = ( 2; ) B S = C S = [ 2; ) D S = (1; ) ) x+4 ( x − log 2 x − 5log ) x + < ⇒ < log x x > Vậy ≤x≤ hay x > 12 Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng 111 VẬN DỤNG CAO Vı́ du ̣ 14: Bất phương trình lg x − m lg x + m + ≤ có nghiệm x > giá trị m là: A ( −∞; −3) ∪ [ 6; +∞ ) C [ 6; +∞ ) B ( −∞; −3) D (3;6] Hướng dẫn giải Chọn A [Phương pháp tự luận] Điều kiện: x > Đặt t = lg x , với x > 1= → lg x > Khi phương trình cho trở thành t − mt + m + ≤ ⇔ t + ≤ m(t − 1) (*) t2 + TH1: Với t − > ⇔ t > , Khi (*) m ≥ f (t ) = (I) t −1 Xét hàm số với t > , có f '(t) = t − 2t − (t − 1) t.1 ;f '(t) = ⇔ ⇔t=3 t 2t − − = (t) f= (3) Khi để (I) có nghiệm m ≥ max f (t) = Suy max f= (1;+∞ ) (1;+∞ ) t2 + (II) TH2: Với t − < ⇔ t < , (*) ⇔ m ≤ f (t) = t −1 t − 2t − t2 + < 0; ∀t ∈ (0;1) Xét hàm số f (t) = với t ∈ (0;1) , = có f '(t) t −1 (t − 1) Suy max f (t) = f (0) = −3 Khi để (I) có nghiệm m < max f (t) = −3 (1;+∞ ) (1;+∞ ) Vậy m ∈ ( −∞; −3) ∪ [ 6; +∞ ) giá trị cần tìm tốn Vı́ du ̣ 15: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = m log x − log x + m + 3 xác định khoảng ( 0; +∞ ) A m ∈ ( −∞; −4 ) ∪ (1; +∞ ) B m ∈ [1; +∞ ) C m ∈ ( −4;1) D m ∈ (1; +∞ ) Hướng dẫn giải Chọn A [Phương pháp tự luận] Đặt t = log x , x ∈ ( 0; +∞ ) ⇔ t ∈ y= m log 32 x − log x + m + Hàm số y = y= trở thành y = m log x − log x + m + 3 mt − 4t + m + xác định khoảng ( 0; +∞ ) xác định ⇔ mt − 4t + m + > 0, ∀x ∈ mt − 4t + m + ⇔ ∆ ' = − m − 3m < ⇔ m < −4 hay m > Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ơn thi THPT 112 Vı́ du ̣ 16: Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương log23 x m log x 2m có tập nghiệm S = ( x1 ; x2 ) thỏa mãn x 1.x 81 , với x1 , x2 hai nghiệm phương trình ln2 x m ln x 2m A m 4 C m < 81 B m D m 44 Hướng dẫn giải Chọn A [Phương pháp tự luận] ln2 x m ln x 2m ln có nghiệm hai phân biệt ∀m ∈ x1 x2 > 81 ⇔ log x1 + log x2 > ⇔ m > …… DẠNG LOGARIT HÓA loga f ( x ) > g( x ) Phương pháp: ⇔ f ( x ) > a g ( x ) (a > 1) (0 < a < 1) < VD1: Giải bất phương trình: log (5 − x ) < − x A < x < D x < C x < log B < x < log x 5 − > Lời giải: log (5 − ) < − x ⇔ ⇔0< x log 10 5 − x > 10 Lời giải: log (5 − x ) < − x ⇔ ⇔ x < log x x−2 5 − > 2 VD3: Số nghiệm nguyên bất phương trình: log x ( log (9 x − 72) ) ≤ A B C D 9 x − 72 > x x > log 73 0 < x ≠ 9 > 73 x Lời giải: log x log (9 − 72) ≤ ⇔ ⇔ ⇔ x x log (9 − 72) ≤ x x ≤ log (9 − 72) > x log (9 − 72) ≤ x ( ) DẠNG GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ VD1: Tìm m để x 0, thỏa mãn BPT log x x m log x x m A ≤ m < B < m < C ≤ m D m < Lời giải: Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng 113 x x m Điều kiện: x2 x m x x m Đặt t log x x m , t BPT có dạng: t 4t 5 t Vì t nên ta t log x x m x x m x x 1 m Vậy BPT I : x x m x x m BPT có nghiệm với x 0, hệ (I) có nghiệm với x 0, Khi BPT hệ (I) có nghiệm với x 0, Xét hàm số f x x x ta có bảng biến thiên 1 m 1 Từ bảng biến thiên ta suy 4 m VD2: Xác định m để bất phương trình A m ≤ log 22 x log 22 ≥ m (1) có nghiệm với ∀ m > B m ≤ C m < D m < Lời giải: Đặt t = log 22 x , điều kiện t > Khi (1) có dạng: y = t t −1 ≥ m (2) Vậy (1) nghiệm với ∀ m > ⇔ (2) nghiệm với ∀ t >1 Xét hàm số: y = t t −1 Tập xác định D = (1, + ∞ ) Đạo hàm: y’ = t−2 (t − 1)3 y’ = ⇔ t - = ⇔ t = Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ơn thi THPT 114 Bảng biến thiên: t +∞ y’ - + +∞ y Vậy bpt nghiệm với ∀ t >1 ⇔ m ≤ DẠNG SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Dạng 6: Sử dụng tính đơn điệu Phương pháp: - Đưa BPT cho hai vế, vế hàm số đồng biến (hoặc không đổi) vế hàm số nghịch biến (hoặc khơng đổi) - Tìm nghiệm BPT - Dựa vào tính chất hàm số đơn điệu để suy nghiệm BPT VD1: Giải bất phương trình: log5 x log x B < x < A < x < C x < l D x < Lời giải: Điều kiện: x Đặt t log5 x x 4t t BPT trở thành log5 t t Hàm số f t t t t t nghịch biến f 1 5t Bất phương trình trở thành f t f 1 t log x x Vậy BPT có nghiệm x VD2: Số nghiệm nguyên âm bất phương trình: log x log x A B C D Lời giải: x Điều kiện: x 1 x Xét hàm số y = f(x) = log x log x Hàm số y f1 ( x) log x y f ( x) log x đồng biến 1; ⇒ Hàm số y log x log x đồng biến 1; Ta có f(0) = 1, đó: + Nếu x > f(x) > f(0) ⇔ log Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng x log x nên x > nghiệm 115 + Nếu -1 < x ≤ f(x) ≤ f(0) ⇔ log x log x nên -1 < x ≤ không nghiệm VD3: Số nghiệm nguyên dương bất phương trình: log x x 12 x x x 12 (1) 7 x A B C D Lời giải: x − x − 12 ≥ 4 < x < (*) Điều kiện: x − x − 12 ⇔ >0 x < −3 7−x Biến đổi bất phương trình dạng: log x x 12 + x − x − 12 ≤ log ( − x ) + − x (2) Xét hàm số y = f x log3 x x Hàm số y = f(x) hàm số đồng biến (0, + ∞ ) tổng hai hàm số đồng biến y = log3x y = x Khi (2) biến đổi sau f( x − x − 12 ) ≤ f(7- x) (*) ⇔ x x 12 x x x 12 7 x Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ơn thi THPT 2 61 4 x 61 ⇔x ≤ ⇔ 13 13 x 3 116 ... đạo hàm - Dùng cơng thức tính đạo hàm học - Thay vào đẳng thức chứa đạo hàm ta thu kết * Đối với tốn tìm min, max - Tìm đạo hàm hàm số - Tìm nghiệm thuộc khoảng xét - Tính giá trị hàm số điểm đầu... giải - Sử dụng tính chất logarit - Casio: -Bước : Dựa vào hệ thức điều kiện buộc đề chọn giá trị thích hợp cho biến -Bước : Tính giá trị liên quan đến biến gắn vào A, B, C giá trị tính lẻ -Bước... HÀM SỐ LOGARIT Phương pháp: * Đối với toán cực trị hàm biến - Tính đạo hàm hàm số - Tìm nghiệm phương trình y′ = - Xét dấu đạo hàm - Suy cực đại, cực tiểu hàm số * Đối với toán nhiều biến - Tìm