D01 các bài toán tổng hợp về mũ và lôgarit muc do 4

Câu 18: [2D2-7.1-4] (THPT Chuyên Thái Bình - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Tính tích tất  x    x  x  nghiệm thực phương trình log   2  2x  A B C D Lời giải Chọn D Điều kiện: x   x 1   x   x    PT:  log  2  2x  Đặt t  5 1 x2  1  x  x  2x 2x 2x PT trở thành log t  2t  (2)   Xét hàm f  t   log t  2t t  hàm đồng biến nên:  2  f  t   f  2  t  (t/m) 2x2  1   x  x   (t/m) Vậy x1 x2  (theo Viet ) 2x Với t  Câu 21: [2D2-7.1-4] (THPT Lê Xoay – Vĩnh Phúc – Lần – 2018) Cho cấp số cộng  an  , cấp số nhân  bn  thỏa mãn a2  a1  b2  b1  ; hàm số f  x   x3  3x cho f  a2    f  a1  f  log b2    f  log2 b1  Số nguyên dương n nhỏ lớn cho bn  2018an là: A 16 B 15 C 17 Lời giải D 18 Chọn B Hàm số f  x   x3  3x có bảng biến thiên sau: Theo giả thiết   f  a2    f  a1    f  a2   f  a1      a2  a1  a2  a1  0  a1  a2  Từ suy  , f  x    x  Ta xét trường hợp: 0  a1   a2   f  a2      f  a2   2 a2    Nếu  a1  a2   a1   f  a1    f  a1       f  a2    Nếu  a1   a2  điều f a      Do xảy trường hợp a1  0; a2  Từ suy an  n  1 n  1 Tương b2  b1  nên log b2  log b1  , suy log b2  b    bn  2n 1  n  1  log a1  b1  Xét hàm số g  x   2x  2018x khoảng  0;   , ta có bảng biến thiên   2018   g  log ln      2018  log ln  11   g 12   20120   g 13  18042   g 14   11868  g 15   2498   Ta có nên số nguyên dương nhỏ n thỏa g  n  1  n 1  15  n  16 Câu 50: [2D2-7.1-4] [THPT TRẦN QUỐC TUẤN - Lần 1- 2018] [2D2-0.0-4] Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn hệ thức: 2log a  log b  log  a  6b  Tìm giá trị lớn PMax biểu thức ab  b P a  2ab  2b2 A PMax  B PMax  C PMax  D PMax  Lời giải Chọn C Ta có: 2log a  log b  log  a  6b   log a  log  ab  6b2   a  ab  6b2 a a a        3   b b b Do a, b dương nên  a  b a Đặt t  ,  t  b Khi đó: P  ab  b t 1  2 a  2ab  2b t  2t  Xét hàm số f  t   Ta có: f   t   t t 1 với  t  t  2t  2 t  2t  2t   Suy f  t   f    Do PMax   0, t   0; 2 1 Vậy Max f  t   t   0;2 2 HẾT -Câu 37: [2D2-7.1-4] (THPT Chuyên Thái Nguyên - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Tính tổng tất nghiệm phương trình e A   sin  x    4  tan x thuộc đoạn  0;50  ? 1853 B 2475 C 2671 D 2105 Lời giải Chọn B Điều kiện: x  Phương trình e   k , k    sin  x    4  tan x  sin x  cos x   ln sin x  ln cos x   ln cos x  cos x  ln sin x  sin x     tan x   tan x   + Khi cos x  sin x  , xét hàm số f  t   ln t  t , tập  1;0  f  t    suy f   t   , t   1;0  t Nên hàm số f  t   ln t  t nghịch biến  1;0  Mà phương trình Nên ln cos x  cos x  ln sin x  sin x có dạng f  cos x   f  sin x  ln cos x  cos x  ln sin x  sin x  cos x  sin x + Khi cos x  sin x  , xét hàm số f  t   ln t  t , tập  0;1 f  t    suy f   t   , t   0;1 t 1 Nên hàm số f  t   ln t  t đồng biến  0;1 Mà phương trình Nên ln cos x  cos x  ln sin x  sin x có dạng f  cos x   f  sin x   2 ln cos x  cos x  ln sin x  sin x  cos x  sin x    Từ 1   ta có cos x  sin x  sin  x     x   k , k  4  Do xét x  0;50  nên  Mà k   199  k  50    k  4  k 0;1;2;3 ;49 Vậy phương trình cho có nghiệm   ; 4 ;   2 ; ;   49 Dãy số 50 số hạng đầu liên tiếp cấp số cộng có số hạng đầu u1  d   nên tổng nghiệm S50   công sai 50    2475   50  1       Câu 45: [2D2-7.1-4] (SGD Hà Nam - Năm 2018) Cho dãy số  un  có số hạng đầu u1  thỏa mãn log 22 (5u1 )  log 22 (7u1 )  log 22  log 22 un1  7un với n  Giá trị nhỏ n để un  1111111 B A 11 C Lời giải D 10 Chọn D Vì un1  7un nên dễ thấy dãy số  un  cấp số nhân có cơng bội q  Ta có: log 22 (5u1 )  log 22 (7u1 )  log 22  log 22  (log  log u1 )2  (log  log u1 )2  log 22  log 22  2log 5.log u1  2log 22 u1  2log 7.log u1  log u    2log  2log u1  2log  u  ( L )  log 35u1   u1  35 Ta có: un  u1.7n1 un  1111111  n1  1111111  7n1  35.1111111 35  n  log7 (35.1111111)  Mà n  * nên giá trị nhỏ trương hợp n  10 Câu 31: [2D2-7.1-4] (THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh - lần - 2017 - 2018 - BTN) Cho phương trình   0 log   m  3m2      Gọi S tập hợp tất giá trị m nguyên để phương trình cho có nghiệm thuộc đoạn [6;8] Tính tổng bình phương tất phần tử tập S  m3 3m2 1   log81 x3  3x    A 20 B 28  x3 3 x 1  C 14 D 10 Lời giải Chọn B Ta có 2  m3 3m2 1   log81 x  3x    x3 3 x 1    log3 x3  3x       0 log  m3  3m2       x3 3 x 1  m3 3m2 1    log3 m3  3m2   Xét hàm số f  t   2t.log3 t với t  ; Ta có f   t   2t ln 2.log3 t  2t Suy hàm số f  t  đồng biến  2;   Do phương trình tương đương với m3  3m2   x3  3x  1  0t  t ln 1 Vẽ đồ thị hàm số g  x   x3  3x  từ suy đồ thị g  x  đồ thị g  x  hình vẽ Từ đồ thị suy 1 có 6, 7,8 nghiệm   g  m   Từ đồ thị suy giá trị nguyên m 3, 2, 1,0,1, 2,3 Vậy S  28 Câu 47: [2D2-7.1-4] (THPT Lê Quý Đôn - Hải Phịng - 2018 - BTN) Tìm tập hợp giá trị tham số m để phương trình (ẩn x ): 3log2 x   m  3 3log2 x  m2   có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn : x1 x2  A  1;   \ 0 B  0;   C Lời giải Chọn A - ĐK : x  \  1;1 D  1;   - Ta có : 3log2 x   m  3 3log2 x  m2    32log2 x   m  3 3log2 x  m2   (1) - Đặt t  3log2 x , t  Ta bất phương trình : t   m  3 t  m2   (2) Nhận thấy : (1) có hai nghiệm phân biệt (2) có hai nghiệm phân biệt dương    2   6 m   m  1  m  3  (m  3)     m  1 (*)  t1  t2   m  3    m3 m  3 m        t1t2  m   Khi : (2) có hai nghiệm t1 , t2 thỏa mãn : log2  x1x2  t1.t2  m2   3log2 x1.3log2 xx  m2   3log2 x1 log2 x2  m2    m2  Từ x1 x2   log  x1 x2    3log2  x1x2    m2    m2   m  Kết hợp điều kiện (*) ta : m  1;   \ 0 Câu 15: [2D2-7.1-4] (Đồn Trí Dũng - Lần - 2017 - 2018) Trong tất cặp  x; y  thỏa mãn log x2  y2 2  x  y    Tìm m để tồn cặp  x; y  cho x2  y  x  y   m  A 10 C 10 B 10 10 D 10 2 2 10 Lời giải Chọn C Ta có log x2  y2   x  y     x2  y  x  y   1 Giả sử M  x; y  thỏa mãn pt 1 , tập hợp điểm M hình trịn  C1  tâm I  2;  bán kính R1  Các đáp án đề cho ứng với m  Nên dễ thấy x2  y  x  y   m  phương trình đường trịn  C2  tâm J  1;1 bán kính R2  m Vậy để tồn cặp  x; y  thỏa đề khi  C1   C2  tiếp xúc  C1   C2   IJ  R  R  10  m   m     IJ  R1  R2  m  10    10    Câu 47: [2D2-7.1-4](THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai - Lần -2018 - BTN) Cho a, b, c số thực lớn Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức: P   log bc a log ac b 3log ab c A Pmin  20 B Pmin  10 C Pmin  18 D Pmin  12 Lời giải Chọn A Ta có: P     2log a bc  2log b ac  8log c ab 2logbc a log b log ab c ac  2loga b  2log a c  2logb a  2logb c  8logc a  8log c b   2log a b  2logb a    2log a c  8logc a    2logb c  8log c b  Vì a, b, c số thực lớn nên: log a b, logb a, log a c, log c a, logb c, logc b  Do áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: P  2log a b.2logb a  2log a c.8logc a  2logb c.8logc b     20 a  b log a b  log b a   Dấu “=” xảy log a c  log c a  c  a  a  b  c  log c  log b  c  b c  b Vậy Pmin  20 Câu 50: [2D2-7.1-4] (THPT Yên Lạc_Trần Phú - Vĩnh Phúc - Lần - 2018 - BTN) Tính tổng S tất  5x  3x  x 1 x nghiệm phương trình: ln     5.3  30 x  10   6x   A S  B S  C S  1 D S  Lời giải Chọn A Điều kiện x   Phương trình tương đương ln  5x  3x   ln  x     5x  3x    x     ln  5x  3x    5x  3x   ln  x     x   (1) Xét hàm sô f  t   ln t  5t , t  Có f '  t     ,  t  nên f  t  đồng biến Từ 1 t suy f  5x  3x   f  x    5x  3x  x   5x  3x  x   Xét g  x   5x  3x  x  , g '  x   5x ln  3x ln  2 g ''  x   5x  ln 5  3x  ln 3  x   Nên g '  x   có khơng q nghiệm suy g  x   có không nghiệm     ;     Mà g    g 1  Vậy phương trình có nghiệm 0,1 Do S  HẾT Câu 42: [2D2-7.1-4] [SDG PHU THO_2018_6ID_HDG] Số giá trị nguyên m  200; 200  để 3.a A 200 loga b b logb a  m log a b  với a , b  1;   là: B 199 C 2199 D 2002 Lời giải Chọn A Đặt log a b  x , x  Suy b  a x Khi 3.a loga b b logb a    m log a b   3.a  a x x2 x 2.a x  m  m.x   x 2.a x  , với x  x 2a x  x.ln a   có f   x    , x   0;   nên f  x  liên tục đồng biến  0;   x2 Bảng biến thiên Xét hàm số f  x   Dựa vào BBT ta thấy m  f  x   m  2ln a Vì ln a  0, a  1, 3.a loga b b logb a  m log a b  với a , b  1;   m  Và m  200; 200  nguyên nên có 200 số nguyên m thỏa yêu cầu toán Câu 36: [2D2-7.1-4] [THPT Chuyên Thái Nguyên]  trình: x2   Tìm tập nghiệm bất phương  ln x  B  2; 1  1;  A 1; 2 C 1;  D 1; 2 Lời giải Chọn B Điều kiện: x   2 x 4     ln x  Khi đó: x   ln x    x 4  1   2  ln x      x  2  x  2 2 x 4    x      1  x  Trường hợp :   HVN   x  ln x  x    x2   2  x  2 2 x      2  x  1   x    x  1  x    Trường hợp :  1  x  ln x  x  x    Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S   2; 1  1;2  Câu 3155: [2D2-7.1-4] [THPT Hồng Hoa Thám - Khánh Hịa] Áp suất khơng khí P (đo milimet thủy ngân, kí hiệu mmHg ) suy giảm mũ so với độ cao x (đo mét), tức P giảm theo công thức P  P0 e xi , với P0  760  mmHg  áp suất mức nước biển ( x  0), i hệ số suy giảm Biết độ cao 1000 m áp suất khơng khí 672,71  mmHg  Hỏi áp suất khơng khí A 5000 m 672, 713  mmHg  độ cao ? 7602 B 2000 m C 3000 m Lời giải D 4000 m Chọn C 672, 713 P13   mmHg  , x2  m  : Đặt P1  672,71 mmHg  , x1  1000 m , P2  7602 P0 độ cao tương ứng với P2 P Ta có: P1  P0 e x1i  i  ln x1 P0 x P3 P P2  P0 e x2i  x2  ln  ln 13  3x1  3000 m i P0 ln P1 P0 P0 Câu 3369: [2D2-7.1-4] [THPT CHUYÊN BÌNH LONG - 2017] Cho  a   b, ab  Tìm GTLN biểu thức P  log a ab  1  log a b  log a ab b B P  A P  C P  4 Lời giải D P  Chọn C P  log a ab  4  log a ab   log a ab  a log ab 1  log a b  log a ab a log a log a ab b b b Từ giả thiết  a   b, ab   log a ab  log a    log a ab  ;  log a ab    4(Cosi)  P  4  log a ab P  log a ab    4     log a ab   log a ab  log a ab   Dấu "  " xảy  a3b  Câu 11 [2D2-7.1-4] [THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp] Xét số thực dương a, b thỏa mãn log9 a  log 12 b  log 15  a  b  Mệnh đề đúng? A a   2;3 b B a   3;9  b C a   0;  b D a   9;16  b Lời giải Chọn C a  9t 1 log9 a  t    b  12t   Đặt log9 a  log 12 b  log 15  a  b   t  log 12 b  t log 15  a  b   t a  b  15t  3 t t    12  Thế 1   vào  3 ta  12  15    +   =1   15   15  t t t Dễ thấy   có nghiệm t  t t t t  12  12    12  9 Xét hàm số f  t     +    f   t     ln +   ln  0, t   15   15   15  15  15  15 số f  t  nghịch biến Do hàm Vậy t  nghiệm phương trình   a  91 a    0;  Do t  nên  b  144 b Câu 437 [2D2-7.1-4] [CHUYÊN ĐHSP HN - 2017] Chuyện kể rằng: Ngày xưa, có ơng vua hứa thưởng cho vị quan quà mà vị quan chọn Vị quan tâu: “Hạ thần xin Bệ Hạ thưởng cho số hạt thóc thơi ạ! Cụ thể sau: Bàn cờ vua có 64 với thứ xin nhận hạt, thứ gấp đơi đầu, thứ lại gấp đơi thứ 2, … sau nhận số hạt thóc gấp đơi phần thưởng dành cho ô liền trước” Giá trị nhỏ n để tổng số hạt thóc mà vị quan từ n (từ ô thứ đến ô thứ n ) lớn triệu A 18 B 19 C 20 D 21 Lời giải Chọn C Bài toán dùng tổng n số hạng cấp số nhân Ta có: Sn  u1  u2   un   1.2  1.2   1.2 n 1 2n    2n  1 Sn  2n   106  n  log 106  1  19.93 Vậy n nhỏ thỏa yêu cầu 20 Câu 79: [2D2-7.1-4] [NGUYỄN KHUYẾN TPHCM] Cho a số nguyên dương lớn thỏa mãn 3log3  a  a  2log a Tìm phần nguyên log  2017a   A 14  B 22 C 16 Lời giải D 19 Chọn B Đặt t  a , t  , từ giả thiết ta có 3log3 1  t  t   2log t  f  t   log3 1  t  t   log t  f  t   3t  2t  3ln  2ln 3 t   2ln  2ln 3 t  2ln   ln t  t  ln t ln 2.ln  t  t  t  Vì đề xét a nguyên dương nên ta xét t  Xét g  t    3ln  2ln 3 t   2ln  2ln 3 t  2ln 8 4  Ta có g   t   3ln t  2ln t  t  3ln t  2ln  9 9  g t    t  ln  3ln Lập bảng biến thiên suy hàm số g  t  giảm khoảng 1;   Suy g  t   g 1  5ln  6ln   f   t   Suy hàm số f  t  giảm khoảng 1;   Nên t  nghiệm phương trình f  t   Suy f  t    f  t   f    t   a   a  4096 Nên số nguyên a lớn thỏa mãn giả thiết toán a  4095 Lúc log  2017a   22,97764311 Nên phần nguyên log  2017a  22 Câu 95: [2D2-7.1-4] [QUẢNG XƯƠNG I] Trong nghiệm ( x; y) thỏa mãn bất phương trình log x2  y2 (2 x  y)  Giá trị lớn biểu thức T  x  y bằng: A B C Lời giải D.9 Chọn B 2  x  y  Bất PT  log x2  y (2 x  y )    ( I ), 2  2 x  y  x  y Xét T= 2x  y 2  0  x  y  ( II )  2  0  x  y  x  y TH1: (x; y) thỏa mãn (II)  T  x  y  x  y  TH2: (x; y) thỏa mãn (I) x  y  x  y  ( x  1)2  ( y  x  y  2( x  1)   ( 2y  2 ) )2  Khi 2  2  (22  ) ( x  1)2  ( y  )   2  9 9   Suy : max T   ( x; y)  (2; ) 2 BÌNH LUẬN y  log a b - Sử dụng tính chất hàm số logarit đồng biến a  nghịch biến  a   a    g  x     f  x   g  x  log a f  x   log a g  x     0  a   f  x      f  x   g  x  - Sử dụng bất đẳng thức BCS cho hai số  a; b  ,  x; y  ax  by  Dấu “=” xảy Câu 37 a  b2  x  y  a b  0 x y [2D2-7.1-4] (THPT Chuyên Bắc Ninh - Lần - 2017 - 2018) Cho x , y số thực dương thỏa mãn log3 2x  y 1  x  y Tìm giá trị nhỏ biểu thức T   x x y y A  C  B D Lời giải Chọn D Ta có log 2x  y 1  x  y  log3  x  y  1  log3  x  y   x  y x y  log3  x  y  1  log3  3x  y   x  y   log3  x  y  1  x  y   log3  3x  y   3x  y (*) Xét hàm số f  t   log3 t  t với t    0, t  , suy hàm số f  t  liên tục đồng biến  0;   t ln Do *  x  y   3x  y  x  y   x   y Khi f   t   2 1      Xét T   x y 1 y y 1 y y y Vì x, y    y  Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có T  3  3  3  y 1  y  y 1  y   x  1 y  x   Dấu "  " xảy  1  y  y   2 y   y y    Câu 41: [2D2-7.1-4] (Chuyên Vinh - Lần - 2018 - BTN) Giả sử a , b số thực cho x3  y3  a.103 x  b.102 x với số thực dương x, y, z thoả mãn log  x  y   z log  x  y   z  Giá trị a  b bằng? A 31 B 29 C  31 Lời giải Chọn B z   102 z  10.10 z log  x  y   z  x  y  10   xy  Ta có   2 2 z log x  y  z  x  y  10.10       D  25  102 z  10.10 z  z Khi x  y   x  y   x  y  xy   10 10.10   , suy   1 29 x3  y  15.102 z  103 z Vậy a  15, b    a  b  2 3 2 z Câu 45: [2D2-7.1-4] (Sở Phú Thọ - Lần - 2018 - BTN) Cho hàm số f  x   e f 1 f   f  3 f  2017   e A 2018 m n 1 x2   x 12 Biết m phân số tối giản Tính P  m  n2 n C D 1 Lời giải  m, n   B 2018 với Chọn D Ta có f  x  e Do 1 1 f 1  e.e x2   x 1 e 1  1      x x 1  x x 1 ; f    e.e 1  e ; f  3  e.e 1  1      2   1  x x 1   x x 1  1  1  f 1 f   f  3 f  2017   e2017 e e ;…; f  2016   e.e 2018 2017  e 2018  2017 1  1    x x 1  1  2016 2017  ex  1 x 1  e.e x ; f  2017   e.e  x 1 1  2017 2018 2018 1 2018 e  m  20182  , n  2018 Vậy P  1 Câu 45: (THPT Sơn Tây - Hà Nội - 2018 – BTN – 6ID – HDG) Cho dãy số  un  [2D2-7.1-4] thỏa mãn 22u1 1  23u2  1  log3  u32  4u1   4  un1  2un với n  Giá trị nhỏ n để Sn  u1  u2   un  5100 C 233 B 231 A 230 D 234 Lời giải Chọn D Theo giả thiết, un1  2un nên  un  cấp số nhân với công bội q  Suy un  u1.2n1 với n  * , n 8  4u1 1 1 1   log3  u3  u3   log3  u3  4u1   4 4   8  Mà 2.4u1  u1   nên 1 tương đương   1   log  u3  u3   log  u   3   4     8  hay u1  2.4u1  u1  1  log  u32  u3   4  Ta lại có 22u1 1  23u2   2.4u1   2n 2n   Khi Sn  u1  u2   un  u1 1 2 Do đó, Sn  5100  2n  100 2n   100  n  233   log5 2 ...  18 042   g  14   11868  g 15   249 8   Ta có nên số nguyên dương nhỏ n thỏa g  n  1  n 1  15  n  16 Câu 50: [2D 2-7 . 1 -4 ] [THPT TRẦN QUỐC TUẤN - Lần 1- 2018] [2D 2-0 . 0 -4 ] Cho... f  t   f    Do PMax   0, t   0; 2 1 Vậy Max f  t   t   0;2 2 HẾT -Câu 37: [2D 2-7 . 1 -4 ] (THPT Chuyên Thái Nguyên - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Tính tổng tất nghiệm phương... nên giá trị nhỏ trương hợp n  10 Câu 31: [2D 2-7 . 1 -4 ] (THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh - lần - 2017 - 2018 - BTN) Cho phương trình   0 log   m  3m2      Gọi S tập hợp tất giá trị m ngun