D07 hai đường chéo nhau (mượn mặt phẳng) muc do 4

Câu 43: [1H3-5.7-4] (THPT Trần Nhân Tông - Quảng Ninh - Lần - 2017 - 2018 BTN) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật cạnh AB  a , AD  2a Mặt phẳng  SAB   SAC  vuông góc với  ABCD  Gọi H hình chiếu vng góc A SD Tính khoảng cách AH SC biết AH  a A 73 a 73 B 73 a 73 C 19 a 19 D 19 a 19 Lời giải Chọn C S H D A K B C Trong tam giác SAD vuông A đường cao AH , ta có 1 1 1 1 2a    2     nên SA  AH SA2 AD2 SA AH AD2 a 4a 4a SD  SA2  AD  4a 4a  4a  3 DH AD   SD SD HK DK DH CK      Kẻ HK SC với K  CD , suy SC DC DS DK SC  AHK  Khi AD  DH SD  d  AH ; SC   d  SC;  AHK    d  C;  AHK    d  D;  AHK   Ta có AC  a , SC  a 19 a 57 , nên HK  SC  4 nên 3a a 73 nên AK  AD  DK  DC  4 73a 57a a2   2 AH  AK  HK 16 16   sin HAK  57 cos HAK   AH AK a 73 73 73 2.a Ta có DK  SAHK  1 a 73 57 57 AH AK sin HAK  a  a 2 73 DH 3 2a a   d  H ;  ABCD    SA   SD 4 Cũng từ SADK  1 3a 3a AD.DK  2a  2 4 1 3a a a3 Do VDAHK  SADK d  H ;  ABCD     3 Bởi d  D;  AHK    3VDAHK  SAHK a3  3a  3a 19 19 57 57 a a 19 Vậy d  AH ; SC   d  D;  AHK    19 Câu 48: [1H3-5.7-4] (THPT Lê Quý Đơn - Hải Phịng - 2018 - BTN) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh Hai mặt phẳng  SAB   SAC  vng góc với mặt phẳng đáy Góc SB mặt phẳng đáy 60 Gọi M , N điểm thuộc cạnh đáy BC CD cho BM  2MC CN  ND Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo DM SN A 3 730 B 3 370 C Lời giải Chọn B 370 D 730 S A D H N A D I J N I B J B M E M C - Vì hai mặt phẳng  SAB   SAC  vng góc với mặt phẳng đáy nên SA   ABCD   SBA  60 góc SB mặt phẳng đáy  SA  AB.tan 60  3 - Trong mặt phẳng  ABCD  dựng NE // DM cắt BC E , cắt AC J Gọi I giao điểm DM AC Ta có: DM // NE  DM //  SNE   d  DM ; SN   d  DM ;  SNE    d  I ;  SNE   CJ CE CN     IJ  IC CI CM CD 3 IC CM 1    IC  IA  IJ  IA  IJ  AJ Lại có : BC // AD  IA AD 10 Do NE // DM  Mặt khác : d  I ;  SNE   d  A;  SNE    IJ  d  I ;  SNE    d  A;  SNE    10 AJ 10 - Xét tam giác DAN tam giác CDM có: DA  CD , DN  CM , ADN  DCM  90  DAN  CDM (c.g.c)  DAN  CDM  DAN  ADM  CDM  ADM  90  AN  DM  AN  NE  NE   SAN    SNE    SAN  (có giao tuyến SN ) - Dựng AH  SN H  AH   SNE   AH  d  A;  SNE   - Ta có : SA  3 , AN  AD2  DN  10 1 1 37 30       AH  AH SA2 AN 27 10 270 37  d  DM ; SN   3 AH  10 370 E C Câu 50 [1H3-5.7-4] (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018 - BTN) Cho tứ diện ABCD có cạnh 2 Gọi G trọng tâm tứ diện ABCD M trung điểm AB Khoảng cách hai đường thẳng BG CM A B C D 5 14 10 Lời giải Chọn B A M G D B J H I N K C Gọi N trung điểm CD , G trung điểm MN AG qua trọng tâm H AH   BCD  BCD tam giác Ta có AH  AB2  BH  2  2 2 6     3   AH  Gọi K trung điểm CN GK //CM nên CM //  BGK  Do đó: Ta có: GH  d  BG; CM   d  C;  BGK    d  N ;  BGK    d  H ;  BGK   Kẻ HI  BK , HJ  GI với I  BK , J  GI Khi HJ  d  H ;  BGK   Ta có BK  BN  NK    2  2 26     2   HJ   BGK  KN 2 Ta có HI  BH sin KBN  BH   BK 26 13 2 HI HG 2 13 Do đó: HJ    2 HI  HG    3      13    3 2 Vậy d  BG; CM   d  H ;  BGK    HJ   2 14 Câu 43: [1H3-5.7-4](THPT CHUYÊN KHTN - LẦN - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O , AB  a , BC  a Tam giác ASO cân S , mặt phẳng  SAD  vng góc với mặt phẳng  ABCD  A a  ABCD  , góc SD 60 Khoảng cách hai đường thẳng SB AC B 3a C a D 3a Lời giải Chọn D  SAD    ABCD  ,  SAD    ABCD   AD ; SH  AD SH   ABCD  Ta có mp  SAD  , kẻ Mặt khác Gọi I trung điểm OA , tam giác ASO cân S nên AO  SI , AO  SH  HI  OA Tam giác vuông ADC DC  DAC  30 tan DAC   AD có D AC  AD2  DC  2a AI a 2a   HD  cos 30 3 2a vuông A có HB  AH  AB  , AB2  IB.HB Tam giác AHI vuông I có AH  Tam giác ABH a Trong mặt phẳng  IB   ABCD  , dựng hình bình hành ABEC BE // AC , BE   SBE   AC //  SBE  d  SB, AC   d  AC,  SBE    d  I ,  SBE   IB 3  nên d  I ,  SBE    d  H ,  SBE   HB 4 Lại có tam giác OAB tam giác cạnh a nên BI  AC  BI  BE , Mà BE  SH  BE   SBH    SBE    SBH   SBE    SBH   SB Trong mặt phẳng  SBH  , kẻ HK  SB HK   SBE   HK  d  H ,  SBE   1    HK  a HK SH HB 3a Vậy d  H ,  SBE    HK  a d  I ,  SBE    d  H ,  SBE    4 Tam giác SBH vuông H có Câu 31 [1H3-5.7-4] Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' có cạnh a Gọi M, N trung điểm AB CD Khi đó, tỉ số A B 2 a d  MN , A ' C  VA A ' B 'C ' D ' C Lời giải Ta có: VA A ' B 'C ' D ' 1  AA '.S A ' B 'C ' D '  a.a  a3 3 Vì MN / /  A ' BC   d  MN , A ' C   d  MN ,  A ' BC    d  M ,  A ' BC   Vì AM   A ' BC   B   d  M ,  A ' BC    d  M ,  A ' BC   d  A,  A ' BC   d  A,  A ' BC    MB  AB D  AA ' B ' B  ,   BC   AA ' B ' B   BC  AH    AH   AA ' B ' B  Trong kẻ AH  A ' B,  H  A ' B  Vì  AH  A ' B Vì   AH   A ' BC   d  A,  A ' BC    AH  AB  BH  AH  BC Ta có: BH  a 2 A' B a a   AH  a     2 2   1 a Khi đó: d  MN , A ' C   d  M ,  A ' BC    d  A,  A ' BC    AH  2 a a d  MN , A ' C  a   Vậy VA A ' B 'C ' D ' a Chọn đáp án C Câu [1H3-5.7-4] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân A , AB  AC  2a , hình chiếu vng góc đỉnh S lên mặt phẳng  ABC  trùng với trung điểm H cạnh AB Biết SH  a , khoảng cách đường thẳng SA BC A 2a B 4a C Lời giải Chọn đáp án A Dựng Ax //BC  d  SA, BC   d  B; SAx  Dựng HK  Ax   SHK   Ax Dựng HE  SK  d  B, SAx   2d  H , SAx  a D a Ta có: HK  AH sin HAK  a sin 56  d  H , SAx   HE  Do d  SA, BC   Câu SH HK SH  HK 2  a a 2a [1H3-5.7-4] Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng  ABCD  điểm H thuộc đoạn BD cho HD  3HB Biết góc mặt phẳng  SCD  mặt phẳng đáy 45 Khoảng cách hai đường thẳng SA BD A 3a 34 17 B 2a 13 C 2a 38 17 Lời giải Chọn đáp án A Dựng HK  CD  CD   SHK   SCD, ABCD   SKH  45 Ta có: HKD vng cân K 3a 3a HK  KD   SH  HK tan 45  2 Dựng Ax //BD ta có: d  SA, BD   d  BD,  SAx    d  H ,  SAx   Dựng HE  Ax  HE  OA  a Dựng HF  SE  HF   SAx  Ta có: HF  SH HE SH  HE  3a 34 17 2a 51 13 D Câu [1H3-5.7-4] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy mặt phẳng  SBD  tạo với mặt phẳng  ABCD  góc 60 Gọi M trung điểm AD Tính khoảng cách hai đường thẳng SC BM 6a 2a 3a a A B C D 11 11 11 11 Lời giải Chọn đáp án A Gọi O tâm hình vng ABCD  AO  BD  BD   SAO  Do  SBD  ,  ABCD    SOA  60  SA  a Qua C vẽ đường thẳng song song với BM cắt AD E Khi BM //  SCE   d  BM , SC   d  M ,  SCE   Mà ME  2 AE  d  M ,  SCE    d  A,  SCE   3 Kẻ AH  CE H suy CE   SAH  AH CE  CD.AE Kẻ AK  SH K suy AK   SCE   d  A,  SCE    AK Mà AH  1 3a 3a    AK  nên 2 AK AH SA 11 Do d  BM , SC   Câu 3a 2a  11 11 [1H3-5.7-4] Cho hình chóp S ABC có độ dài đường cao từ đỉnh S đến mặt phẳng đáy  ABC  a 21 Góc tạo mặt bên với mặt phẳng đáy 60 Commented [A1]: MATHTYE Gọi M , N trung điểm AB, SC Tính khoảng cách hai đường thẳng SA, MN A 9a 42 B 3a 42 C 6a 42 D 12a 42 Lời giải Chọn đáp án A Gọi H tâm tam giác ABC, I trung điểm BC Suy  SBC  ,  ABC    SI , AI   SIA  60 Đặt AB  x  HI  x x AI   SH  tan 60.HI  x a 21 2a 21 3a  x  SABC  7 Gọi P trung điểm AC suy NP / / SA  SA / /  MNP    d  SA, MN   d  SA,  MNP    d  A,  MNP    • 3VA.MNP  d  N ,  ABC    SAMP  • SMNP  3VA.MNP SMNP 9a 392 1 a 21 a a 21 MP.NP   2 28 Do d  A,  MNP    9a 9a  d  SA, MN   42 42 Câu 50: [1H3-5.7-4](SỞ GD-ĐT PHÚ THỌ-Lần 2-2018-BTN) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a Gọi I trung điểm AB, hình chiếu S lên mặt phẳng  ABC  trung điểm CI , góc SA mặt đáy 45 ( tham khảo hình vẽ đây) Khoảng cách hai đường thẳng SA CI A a 77 22 B a 21 C a 21 14 D a 14 Lời giải Chọn A Do CI  AB nên ta dựng hình chữ nhật AIHM Vẽ HK  SM K Khi HK   SAM  hay  HK  d  H ,  SAM   Ta có: nên CI //AM CI //  SAM  Suy  d  CI , SA  d  CI ,  SAM    d  H ,  SAM    HK 2 a a a 3 AHI vuông I  AH  AI  HI        4     AHS vuông cân H  SH  AH  SHM vuông a cân H 1 16 44 a 77       HK  HK SH HM 7a a 7a 22 a 70 , đáy ABC tam giác vuông A, AB  2a, AC  a hình chiếu S lên mặt phẳng  ABC  trung Câu 2579 [1H3-5.7-4] Cho hình chóp S.ABC có SC  điểm cạnh AB Tính khoảng cách hai đường thẳng BC SA 3a 4a a A B C 5 D 2a Lời giải Chỏn B Tam giác AHC vuông cân cạnh a nên CH  a Tam giác SHC vuông H nên SH  SC2  CH  2a Dựng AK  BC, HI  BC Đường thẳng qua A song song với BC cắt IH D  BC / / SAD   d  BC,SA   d  BC, SAD    d  B, SAD    2d  H, SAD   AD  SDH   SAD   SDH    Kẻ HJ  SD  HJ  SAD   d H, SAD   HJ Ta có: 1 2a a    AK   HD  AK AB2 AC2 5 1 2a 4a Vậy d  BC,SA      HJ  HJ HD2 HS2 5 Vậy chọn đáp án B Câu 2580 [1H3-5.7-4] Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC cạnh 3a Chân đường cao hạ từ đỉnh S lên mặt phẳng  ABC  điểm thuộc cạnh AB cho AB  3AH , góc tạo đường thẳng SC mặt phẳng  ABC  600 Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC A a 25 B a 45 C a 15 D a Lời giải Chỏn A Nhận thấy SH   ABC   HC hình chiếu SC lên mặt phẳng ABC SCH 60o góc SC mặt phẳng  ABC  Ta có : HC  AC  AH  2AC AH cos 60o  9a  a  2.3a.a  7a 2  HC  a  SH  HC.tan 60o  a 21 Dựng AD  CB  AD//CB  BC //  SAD   d  SA; BC   d  BC;  SAD    d  B;  SAD    3d  H ;  SAD   Dựng HE  AD E  AD   SHE    SAD    SHE  (theo giao tuyến SE)  Dựng HF   SE  F  HF   SAD   HF  d H ;  SAD  Ta có ; HE  AH sin 60o   a 1 29 a 21 3a 21       HF   d  B;  SAD    HF HE SH 3a 21a 21a 29 29 Vậy d  SA; BC   3a 21 Vậy chọn đáp án A 29 Câu 2590 [1H3-5.7-4] Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi, tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng  ABCD  Biết AC  2a, BD  4a Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AD SC A 4a 13 91 B 4a 1365 a 165 C 91 91 Hướng dẫn giải D a 135 91 Chọn C Gọi O  AC  BD, H trung điểm AB, suy SH  AB Do AB   SAB    ABCD   SAB    ABCD  nên SH   ABCD  Ta có: OA  OB  AC 2a  a 2 BD 4a   2a 2  Ab  OA2  OB  a  4a  a SH  AB a 15 1  ; S ABCD  AC.BD  2a.4a  4a 2 2 Thể tích khối chóp S ABCD 1 a 15 2a3 15 VS ABCD  SH S ABCD  4a  3 Ta có: BC / / AD  AD / /  SBC   d  AD, SC   d  AD;  SBC    d  A;  SBC   Do H trung điểm AB B  AH   SCB   d  A;  SBC    2d  H ;  SBC   Kẻ HE  BC, H  BC Do SH  BC  BC   SHE  Kẻ HK  SE, K  SE, ta có BC  HK  HK   SBC   HK  d  H ;  SBC   HE  2S BCH S ABC S ABCD 4a 2a     BC BC BC 2a 5 1 91 2a 15 2a 1365       HK   HK HE SH 4a 15a 60a 91 91 Vậy d  AD, SC   HK  4a 1365 Vậy chọn đáp án C 91 ...   19 Câu 48 : [1H 3-5 . 7 -4 ] (THPT Lê Q Đơn - Hải Phịng - 2018 - BTN) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh Hai mặt phẳng  SAB   SAC  vng góc với mặt phẳng đáy Góc SB mặt phẳng đáy... 28 Do d  A,  MNP    9a 9a  d  SA, MN   42 42 Câu 50: [1H 3-5 . 7 -4 ](SỞ GD-ĐT PHÚ THỌ-Lần 2-2 018-BTN) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a Gọi I trung điểm AB, hình chiếu S lên mặt. .. [1H 3-5 . 7 -4 ] Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi, tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng  ABCD  Biết AC  2a, BD  4a Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AD SC A 4a 13 91 B 4a